Xavier Brun- Matematica Financiera y Estadistica Basica

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Matemática financiera
y estadística básica
Cálculos financieros y conocimientos
estadísticos básicos
Xavier Brun
Oscar Elvira
Xavier Puig
Colección Manuales de Asesoramiento Financiero
 
 
Toda forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra sólo puede ser realizada con la
autorización de sus titulares, salvando la excepción prevista por la ley. Diríjanse al editor, si necesitan fotocopiar o escanear algún
fragmento de esta obra.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLECCIÓN MANUALES DE ASESORAMIENTO FINANCIERO
Director: Xavier Puig Pla
Coordinador: Pablo Larraga López
Supervisión de contenidos: Oscar Elvira Benito, Xavier Brun Lozano
Diseño cubierta: Jordi Xicart
© Bresca Editorial, S.L., Barcelona, 2008
© Estudios y Formación en Finanzas Aplicadas, S.L., 2008
Conversión a ePub: booqlab.com
ISBN (ePub): 978-84-15505-02-0
Índice
Primera parte: Cálculos financieros básicos
Capítulo 1. Conceptos básicos
1.1. Introducción
1.2. Capital financiero
1.3. Equivalencia financiera
1.4. Diferimiento
1.5. Operación al contado y operación financiera
1.5.1. Operación al contado
1.5.2. Operación financiera
1.5.2.1. Definición
1.5.2.2. Elementos de una operación financiera
1.5.2.3. Clasificación
1.6. Rentabilidad y tipo de interés
1.7. Financiación e inversión
Capítulo 2. Capitalización y actualización
2.1. Capitalización
2.2. Actualización
Capítulo 3. Regímenes financieros
3.1. Definición de régimen financiero
3.2. Régimen financiero de interés simple vencido
3.3. Régimen financiero de interés anticipado o descuento comercial simple
3.4. Régimen financiero de interés compuesto a tanto constante vencido
3.5. Relación entre el tipo de interés nominal y el tipo de interés efectivo
Capítulo 4. Medidas de rentabilidad
4.1. Rentabilidad simple
4.2. Valor actual neto (VAN)
4.3. Tasa interna de rentabilidad (TIR)
4.4. Tasa de rentabilidad efectiva (TRE)
4.5. Tasa anual equivalente (TAE)
4.6. Rentabilidad real
4.7. Rentabilidad financiero-fiscal
4.8. Ejercicios a resolver
Capítulo 5. Rentas financieras
5.1. Definición
5.2. Ejemplos de rentas financieras
5.3. Valoración de las rentas
5.4. Valoración de la renta modelo
Capítulo 6. Operaciones de constitución y de amortización
6.1. Operación de constitución
6.1.1. Definición
6.1.2. Componentes de una operación de constitución
6.1.3. Ejemplos de operaciones de constitución
6.2. Operaciones de amortización
6.2.1. Definición
6.2.2. Componentes de una operación de amortización
6.2.3. Préstamo francés
6.3. Ejercicios a resolver
Test. Cálculos financieros básicos
Bibliografía
Segunda parte: Estadística básica
Capítulo 1. Introducción
1.1. Introducción
1.1.1. Rentabilidad
1.1.2. Riesgo
Capítulo 2. Rentabilidad y riesgo de un activo
2.1. Rentabilidad de un activo
2.1.1. Rentabilidad simple
2.1.2. Rentabilidad compuesta
2.1.3. Rentabilidad instantánea o continua
2.2. Medidas de riesgo
2.2.1. Prima de riesgo
2.2.2. Varianza
2.2.3. Volatilidad o desviación estándar
2.2.4. Riesgo total
2.2.5. Covarianza
2.2.6. Correlación
2.2.7. Downside Risk
2.2.8. Distribución normal
Capítulo 3. Rentabilidad y riesgo de una cartera
3.1. Rentabilidad de una cartera
3.2. Riesgo de un activo y de una cartera
3.2.1. Riesgo de un activo
3.2.2. Riesgo de una cartera
3.2.3. Riesgo sistemático
3.2.4. Riesgo específico
Capítulo 4. El concepto de diversificación
4.1. Rentabilidad esperada
4.2. Utilización de covarianza y correlación lineal
4.3. Concepto de diversificación
Test. Estadística básica
Anexo. Demostraciones matemáticas
Bibliografía
Primera parte
Cálculos financieros básicos
Objetivos de la primera parte
Una vez realizada la lectura de esta parte, el asesor financiero deberá ser capaz de:
1. Comprender los conceptos básicos de la matemática financiera: capital financiero,
equivalencia financiera y diferimiento.
2. Capitalizar y actualizar un capital financiero a cualquier momento del tiempo.
3. Aplicar distintos modelos de análisis de rentabilidad de inversiones, así como las
ventajas o limitaciones de cada caso.
4. Saber qué es el VAN, la TIR y la TAE.
5. Calcular correctamente la rentabilidad y la TAE de distintos productos de inversión y
financiación.
6. Valorar rentas de diferentes tipos, aplicando las fórmulas adecuadas y realizando los
cálculos matemáticos correspondientes.
Capítulo 1
Conceptos básicos
Después de leer este capítulo, el lector deberá:
1. Comprender los conceptos básicos en los que se basa la matemática financiera: capital
financiero, equivalencia financiera y diferimiento.
2. Conocer la diferencia entre una operación al contado y una operación financiera.
3. Diferenciar rentabilidad y tipo de interés.
4. Saber qué es una operación de financiación y una de inversión.
1.1. Introducción
Posees una casa en el pueblo que te compraste hace 15 años por 7.500 € y no tienes gran
interés en disfrutar de ella, o lo que es lo mismo, no te gusta el turismo rural.
Esta mañana tu tío, que vive en el pueblo, te ha telefoneado para comentarte que hay un
comprador que está dispuesto a pagar 75.000 € por ella.
¿La venderías?
Tu respuesta es sí. Pero ¿y si el comprador te pide efectuar el pago en tres plazos, uno en el
2010, otro en el 2020 y el último en el 2030?
Seguramente tu respuesta será diferente, porque como podrás deducir, no es lo mismo cobrar
75.000 € hoy (año 2007), que cobrar 25.000 € en el 2010, más 25.000 € en el 2020, más 25.000 €
en el 2030.
Seguramente no aceptarías esta oferta, pero ¿y si te pagaran un interés por diferir la entrega del
capital? Casi seguro que te lo pensarías, ya que al no coincidir la entrega del bien con la
recepción del dinero el planteamiento es distinto.
Este módulo tiene como objetivo presentar una teoría, que es la base matemática que permite
fundamentar y comprender el análisis de los instrumentos financieros que se utilizan en el
mercado, así como el diseño de nuevos productos financieros, presentando todo ello en un
contexto de combinación entre teoría y práctica.
En concreto, toda la matemática financiera se basa en una desigualdad, que es la siguiente:
Valor actual de un capital financiero ≠ Valor futuro de un capital financiero
Es decir, dos capitales idénticos pero en momentos diferentes del tiempo no son equivalentes
ya que existe un coste o tipo de interés implícito por ese diferimiento temporal entre ambos.
De ello se deducen tres conceptos básicos:
– Capital financiero
– Equivalencia financiera
– Diferimiento
A continuación se presenta cada uno de dichos conceptos.
1.2. Capital financiero
Un capital financiero es una cantidad monetaria asociada a un momento determinado del
tiempo. Hablar de 6.000 € aporta poca información si no se añade el referente temporal
correspondiente. No es lo mismo 6.000 € en enero de 2007 que en enero de 2008 o del 2024.
El capital financiero se representa de la siguiente forma:
( C, T )
donde:
C = Cuantía monetaria
T = Momento temporal
Siendo C>0 y T>0, es decir, que tanto «C» como «T» deben ser positivos, nunca negativos.
Por ejemplo, 1.000, 0 y 1.000, 1 son dos capitales financieros diferentes. Si bien ambos
presentan una cuantía de 1.000 €, su diferimiento es distinto. En el primer caso el importe está
disponible hoy y en el segundo es preciso esperar un año para su utilización.
1.3. Equivalencia financiera
Dos capitales financieros son equivalentes si existe indiferencia entre ambos. Si un banco
otorga un crédito de 100.000 € el 28 de septiembre de 2007 con la condición de que el 28 de
septiembre del 2009 el cliente le devuelva 110.000 €, significa que para el banco le es indiferente
el primer capital financiero (100.000 €, 28/9/2007) respecto al segundo (110.000 €, 28/9/2009).
La expresión:
(C, T) es equivalente a (C´, T´)
indica que es posible realizar una operación en que, por ejemplo, el sujeto activo ceda una
cuantía C en el momento T y que el sujeto pasivo, como contraprestación, entregue la cuantía C’ en
el instante T’.
En el entorno económico actual, casi todo sujeto deuna operación financiera exige que C’>C si
T’>T, es decir, prefiere más el dinero hoy, que el dinero mañana, existiendo así una preferencia
por la liquidez.
En toda operación financiera hay dos sujetos:
– excedentario de liquidez
– deficitario de liquidez
{(C1, T1), ... ,(Cn, Tn)}
entrega del deficitario (es equivalente)
{(C’1, T’1), ... , (C’n, T’n)}
entrega del excendentario
Los elementos que intervienen en la equivalencia son:
– Mercado financiero en el que se está presente (hipotecario, bonos, etc.)
– Régimen financiero
– Tipo de interés o de descuento (precio)
– Fecha de valoración
Ejemplo 1
En un préstamo bancario:
{(100.000; 28-9-2007)} es equivalente a {(103.000; 30-3-2008)}
Al banco le es equivalente prestar 100.000 u.m. el día 28 de septiembre de 2007 a que su
cliente le devuelva 103.000 u.m. el día 30 de marzo de 2008. Ya que se trata de:
– Préstamo de devolución única
– Mercado financiero: préstamo a 6 meses.
– Régimen financiero de interés simple vencido
– i = 6%
– Fecha valor 28-9-2007
Existen diversas formas de calcular equivalencias entre uno o varios capitales financieros. A
cada una de ellas se las conoce como «regímenes financieros» y cada uno de ellos utiliza un
«factor financiero» o fórmula matemática para realizar dicho cálculo.
Dicho de otra forma, una operación financiera es la que intercambia dos o más capitales
financieros equivalentes, y un régimen financiero es la forma de calcular el tipo de interés de cada
operación, aplicando su factor financiero correspondiente.
En este sentido, cada régimen financiero tiene un factor financiero determinado.
Concretamente, el factor financiero es la ecuación que define la razón como función de T y
T'. El factor financiero permite calcular la cuantía de un capital financiero equivalente, (C', T'), a
uno dado, (C, T), para el diferimiento T'.
C' = C * f(T, T')
1.4. Diferimiento
El diferimiento hace referencia al momento en que hay que valorar un capital financiero o bien
una renta financiera. Por ello, dado el valor temporal del dinero, parece evidente que no es lo
mismo disponer de un millón de euros a fecha de hoy que dentro de un año. Éste es el origen del
tipo de interés, que no es más que el precio que hay que pagar (o recibir, dependiendo de si eres
el sujeto activo o el sujeto pasivo) por la no disponibilidad de un capital durante un período
determinado.
También hay que diferenciar el tipo de interés real del tipo de interés nominal. En este sentido,
el tipo de interés real (ir) es el precio por el alquiler de éste durante un tiempo determinado,
independientemente de la inflación. El interés real (ir) es interés nominal (in) menos la inflación.
ir = in – inflación
1.5. Operación al contado y operación financiera
Las operaciones comerciales que se pueden hacer entre dos agentes son de dos tipos:
– Operación al contado
– Operación financiera
1.5.1. Operación al contado
Se parte de una situación donde:
A entrega «algo» a B y recibe a cambio «algo» de B
B entrega «algo» a A y recibe a cambio «algo» de A
La entrega-recepción se realiza en un mismo tiempo. Pero estos «algo» no son iguales. Hay dos
elementos distintos, que son los objetos intercambiados, pero donde existe una equivalencia.
El objeto que entrega A es equivalente al objeto que B entrega a A. Lo que hace equivalentes a
estos objetos distintos es el sistema de precios, aceptado por la comunidad.
Ejemplo 2
En julio del año 20X4 una entidad deportiva ficha a un gran jugador portugués, el señor
Decorativo que juega en el F.C. Porto. A cambio entrega otro jugador, el señor Pascua, que
está valorado en 9 millones de € y paga adicionalmente 12 millones de € en efectivo. El total
de la operación es de 21 millones de €. En este caso la comunidad futbolística acepta que un
jugador valga 9 millones de €. En el caso contrario no se hubiera llevado a cabo dicho
intercambio.
Diremos que no hay operación financiera porque no existe un período de diferimiento en el
tiempo.
1.5.2. Operación financiera
1.5.2.1. DEFINICIÓN
Una operación financiera es un intercambio de capitales financieros entre dos personas (físicas
o jurídicas) donde queda pactado:
a) Cantidades de dinero que se intercambian entre ellas.
b) Fechas en que se producirá el intercambio de las cantidades mencionadas.
Es decir, mediante la operación financiera se realiza una transferencia de disponibilidad
monetaria entre los sujetos que participan en la operación. De aquí se desprende que existe:
– un elemento personal: sujetos de la operación
– un elemento material o real: capitales financieros
Los capitales financieros que entrega el sujeto activo de la operación se denominan
PRESTACIÓN, siendo la CONTRAPRESTACIÓN los capitales financieros que el sujeto pasivo
destina a la cancelación de la operación.
Si se considera, a modo de ejemplo, una operación financiera sobradamente conocida, el
préstamo. Generalmente la función del sujeto activo la realiza la entidad financiera que facilita la
disponibilidad de un capital al titular del préstamo, sujeto pasivo de la operación. Éste queda
obligado a amortizar el capital prestado y a pagar los intereses estipulados en el contrato. Los
sujetos de la operación intercambian capitales financieros que constituyen el elemento real o
material de la operación financiera.
Ejemplo 3
Supongamos que B compra una mesa a A y acuerdan que B pagará en un momento futuro,
por ejemplo, a los 30 días del acuerdo.
La contrapartida se pacta para una fecha posterior (30 días). Este intervalo de tiempo es lo que
da origen a una operación financiera. Lógicamente, habrá que pagar algo más que el dinero al
contado.
Aquí es donde aparece un concepto nuevo: el valor temporal del dinero. Es decir, no es lo
mismo 1.000 € hoy, que 1.000 € dentro de 1 año. El motivo es que se espera que haya inflación y
que, por lo tanto, el poder adquisitivo sea mayor en el momento presente que en un futuro.
Por consiguiene, se producen 2 operaciones simultáneamente:
– Operación de préstamo de dinero: retornar la cosa prestada en las mismas condiciones
(derecho mercantil).
– Precio por el diferimiento en el pago = tipo de interés.
Para que esta operación sea financieramente equivalente, deben cumplirse las siguientes
condiciones:
– Que el intercambio no sea simultáneo.
– Que a la operación se le aplique una determinada ley financiera.
– Que la prestación y la contraprestación sean equivalentes financieramente.
Ejemplo 4
Siguiendo con el ejemplo futbolístico, si la entidad deportiva propusiera pagar los 12
millones de € en tres plazos anuales es de suponer que el F.C. Porto no acepte la operación o
bien que el F.C. Porto pida unas cantidades monetarias que sumadas tengan un valor superior
a 12 millones de €; por ejemplo, pagar 4 millones de € ahora, 4,5 millones de € dentro de un
año y 4,5 millones de € dentro de dos años, de forma que la cifra total a pagar en tres
«cómodos» plazos se convierte en 13 millones de €, lo que supone una compensación a
través del interés a favor del F.C. Porto.
 
1.5.2.2. ELEMENTOS DE UNA OPERACIÓN FINANCIERA
En la actividad mercantil, una operación financiera es un intercambio, no simultáneo, entre dos
personas físicas o jurídicas, de capitales o bienes económicos, con la condición de que sea
financieramente equivalente lo recibido a lo entregado en el punto tomado como referencia.
A continuación se presentan los elementos de una operación financiera:
– Origen de la operación financiera.
– Fin de la operación financiera. Fecha de vencimiento.
– Duración. Período comprendido entre el final y el origen de la operación.
– Acreedor. Persona que presta el capital (prestamista).
– Deudor de la operación. Persona que recibe el capital (prestatario).
 
1.5.2.3. CLASIFICACIÓN
a) Según duración:
– A corto plazo,
generalmente inferiores a un año.
– A medio y largo plazo, operaciones financieras a más de un año.
b) Según el número de capitales o de la distribución temporal de los componentes de la
operación financiera:
– Simple, sólointerviene un capital, tanto en la prestación como en la contraprestación.
– Compuesta (de constitución y de amortización), intervienen varios capitales con
vencimientos diferentes, tanto en la prestación como en la contraprestación.
c) Según la ley financiera:
– De capitalización.
– De actualización.
d) Dependiendo de la certeza de la cuantía y el vencimiento:
– Ciertas, aquellas en las que tanto la cuantía como el vencimiento son cantidades ciertas o
seguras.
– Aleatorias, cuando la cantidad o el vencimiento son aleatorios o inciertos.
De la clasificación anterior cabe señalar que para poder realizar un estudio sistemático de las
operaciones financieras es interesante distinguir entre:
– Operación simple
– Operación parcialmente compleja
– Operación totalmente compleja
a) La operación simple se compone de dos capitales financieros:
– Prestación: (C, T)
– Contraprestación: (C’, T’)
Gráficamente;
El descuento de un efecto comercial es un ejemplo de este tipo de operación.
Ejemplo 5
Descuento comercial
La empresa ABC, S.A. lleva al banco a descontar una letra de cambio de 500.000 u.m.
que vence en 60 días. El tipo de descuento que se aplica es del 7% y la base de referencia
360.
El efectivo resultante de esta operación (el análisis de este tipo de operaciones se verá en
el apartado de régimen financiero de interés simple anticipado) es de:
Gráficamente es una operación financiera simple ya que existe un flujo inicial (lo que
desembolsa el banco en el momento inicial o cero) y el flujo final que es lo que cobra por la
letra de cambio en la fecha de vencimiento.
b) En las operaciones parcialmente complejas, la prestación o la contraprestación se
componen de un conjunto de capitales.
Las más usuales en la práctica financiera son la amortización de un capital y la constitución de
un capital.
Amortización de un capital: por ejemplo, los préstamos de amortización periódica.
– Prestación: (C,0) . Es decir, el principal que presta el banco en el momento inicial.
– Contraprestación: {(C’r, T’r)}r=1,..., n . Es decir, las cuotas periódicas que se compromete
el cliente a pagar, normalmente son mensuales.
Ejemplo 6
Compra de una vivienda con una hipoteca
Si un cliente va al banco y pide una hipoteca de 120.000 €, a un interés fijo del 4% a 30
años, a cambio de recibir hoy 120.000 € se compromete a pagar 360 cuotas mensuales de
572,90 €1.
Constitución de un capital: por ejemplo, los planes de ahorro con imposiciones sucesivas.
– Prestación: {(Cr, Tr)}r=1,..., n–1. Es decir, lo que se va aportando al plan de ahorro, sea una
cuenta de ahorro para vivienda, o una cuenta de jubilación o plan de pensiones.
– Contraprestación: (C’n, T’n). Lo que se rescata o lo que se obtiene en una fecha futura, es
decir, el importe que se tiene para comprar una vivienda, o el capital constituido en el
momento de la jubilación.
donde C’ es el capital constituido y C es la cuota de constitución que puede ser fija o variable
según los intereses de la persona que está constituyendo el capital.
Ejemplo 7
Planes de pensiones
Si un cliente constituye un plan de pensiones con aportaciones mensuales de 100 € durante
los próximo 15 años, ¿cuál es el capital que recuperará cuando se jubile, si se le garantiza
una rentabilidad del 3%?
Respuesta: 22.697,27 €2
c) En las operaciones totalmente complejas se contraponen dos conjuntos de capitales.
Ejemplo: una cuenta corriente, en la que se efectúen varias imposiciones y reintegros, o bien
un plan de pensiones que se rescata con cuotas periódicas a partir del día en que una persona
se jubila, en vez de recibirlo de una vez.
Prestaciones: {(Cr, Tr)}r=1,..., n
Contraprestaciones: {(C’s, T’s)}s=2,...., m
1.6. Rentabilidad y tipo de interés
La rentabilidad no es igual al tipo de interés. Existen tres factores que los diferencian:
En primer lugar, el tipo de interés significa cuantitativamente cosas distintas según el régimen
financiero a que corresponda. En segundo lugar, en las operaciones financieras suelen haber
gastos que no se incluyen en el tipo de interés y que afectan a la rentabilidad.
Los gastos pueden ser:
Unilaterales: entregados por una de las dos partes a terceros.
– Impuestos (Estado o comunidades autónomas).
– Corretajes (agentes y corredores).
– Gastos de registro y notario.
– Gastos de publicidad.
Bilaterales: entregadas por una de las dos partes a la otra.
– Comisiones bancarias.
– Primas de emisión.
– Primas de amortización.
Finalmente en el tipo de interés o de descuento puede haber algún convenio de cálculo que no
considere la totalidad de los días de la operación y que no considere los años de 365 días.
Ejemplo 8
Calcular la rentabilidad analizada proporcionada por la adquisición de un producto
financiero (activo financiero) el día 15 de marzo por 122.546 € y vendido el 20 de mayo del
mismo año. El comprador tuvo que pagar comisiones, una de 978 € en el momento de la
adquisición y otra de 1.025 en el momento de la venta. Sin tener en cuenta los impuestos,
calculad la rentabilidad de la operación suponiendo que el importe de la venta ha sido de
155.229 €.
Para el cálculo se han de contar todos los días que realmente ha durado la inversión. Han
sido 66 días. O sea:
Precio de compra: 122.546 + 978 = 123.524 €
Precio de venta: 155.229 – 1.025 = 154.204 €
1.7. Financiación e inversión
Se introduce el concepto a través de un breve ejemplo:
El señor Oliva está decidido a comprarse un coche. Al llegar al concesionario del señor Piñol,
lee un letrero que dice: «Compre ahora y empiece a pagar dentro de un año». El señor Oliva no
duda un momento en aceptar esta oferta. En consecuencia, el señor Piñol le entrega el coche en el
momento inicial y no recibe dinero alguno, solamente el compromiso del señor Oliva de pagarle a
los 12 meses (fecha de liquidación del compromiso). El señor Oliva y el señor Piñol habrán
acordado una cantidad a pagar, finalizado el plazo, que para ambas partes será el equivalente al
pago hoy del vehículo.
Seguramente comprar un coche al contado le resulte más barato que pagarlo al siguiente año. El
motivo es que se espera que haya inflación y que, por lo tanto, el poder adquisitivo sea mayor en
el momento presente que en un futuro.
A continuación se examinan los tipos de algunas operaciones financieras existentes.
Identificados los elementos de la operación financiera, se puede realizar una clasificación
general que responde a las funciones económicas de financiación e inversión.
– Operaciones financieras de financiación.
– Operaciones financieras de inversión.
La diferencia entre una y otra está en las disponibilidades de liquidez (dinero que se tiene en
efectivo) y en los recursos monetarios necesarios con que cuenta una persona.
Ejemplo 9
Juan está felizmente casado con Ana y han tenido tres hijas. Hace dos años ambos estaban
trabajando y, aunque no les sobraba el dinero, tampoco les faltaba de nada.
Si las disponibilidades y los recursos necesarios son iguales, no se requiere
financiación, ni se tienen recursos para invertir.
Al año siguiente una noticia les cambió la vida: la tía rica de Ana les había dejado como
herencia 240.000 €. En un primer momento pensaron en cambiar de casa, pero después
dudaban entre el cambio o hacer caso a sus suegros e invertir en un fondo de inversión muy
rentable.
Si las disponibilidades son superiores a los recursos necesarios, se dispone de un
excedente de dinero, ahorro que se puede invertir para obtener una rentabilidad.
Sin embargo, «la vida está llena de contradicciones», piensa Juan. Con el dinero que
tenían finalmente compraron una bonita casa en las afueras de la ciudad y dos coches para
poder desplazarse hasta la allí. Los gastos han sido tan elevados que ahora se ven obligados
a pedir un préstamo al banco para reformar el tejado, que cedió después del último invierno.
Si las disponibilidades son inferiores a los recursos necesarios, se tiene déficit de
recursos y, por lo tanto, se tendrá que pedir dinero.
En el siguiente esquema se presentan en unhorizonte temporal de Tn años, las disponibilidades
de liquidez y los recursos monetarios necesarios de un individuo:
 
Si Dj = Rj las disponibilidades y los recursos necesarios son iguales, dicho individuo ni requiere financiación,ni tiene recursos para invertir.
Si Dj > Rj excedentario de recursos → Colocación de dinero = Inversión(Rentabilidad y riesgo)
Si Dj < Rj deficitario de recursos → Toma de dinero = Financiación (Costefinanciero y riesgo específico)
 
En una operación de financiación:
– El sujeto activo no participa en el proyecto económico. Sólo se limita a suministrar liquidez
a cambio del precio pactado, el tipo de interés.
– El precio está sometido a unas condiciones de equilibrio dentro del mercado de dinero,
donde intervienen, como mediadores, la banca y demás entidades de financiación.
En las operaciones de inversión:
– El sujeto activo participa en el proyecto económico asumiendo o compartiendo la titularidad.
– Su aportación no ha de ser necesariamente financiera.
– La finalidad del inversor es conseguir una renta superior al precio del dinero fijado por el
mercado.
– Su rentabilidad no está sometida a las leyes del mercado del dinero.
A continuación se presentan los factores que hacen que se requiera una metodología para poder
comparar entre distintos productos de inversión y financiación.
a) Multitud de operaciones
– Préstamos
– Créditos
– Leasing
– Factoring
– Descuento
– Letras del tesoro
– Pagarés
b) Variedad de intereses
– Bancario
– Preferencial
– Mercado hipotecario (IRPH)
– Deuda pública
– EURIBOR
– Descuento comercial
c) Distintas formas de pagos/cobros
– Anticipado / Diferido
– Constante / Variable
– Amortización y cancelación anticipada
d) Períodos distintos
– Anual
– Semestral
– Trimestral
– Mensual
– Diario
Tras la lectura de este capítulo, debe haber quedado claro:
1. Un capital financiero es una cantidad monetaria asociada a un momento determinado
del tiempo. Por este motivo, hablar de 1.000 € aporta poca información si no se añade el
referente temporal correspondiente. No es lo mismo disponer de 1.000 € en enero de
2020, que en enero de 2021 o de 2050 ya que, aunque son la misma cantidad, el momento
del tiempo en que se obtienen las hace distintas.
2. Para resolver problemas financieros en los que existe intercambio de dinero se utiliza el
principio de equivalencia de capitales. Dos capitales en fechas distintas son
financieramente equivalentes cuando, al referirse a mismo momento, sus importes
coinciden. Mediante el cálculo de equivalencia de capitales se puede obtener el capital
que debe pagarse, aplazar o adelantar una o varias deudas, o bien el capital futuro
obtenido al realizar aportaciones a una cuenta de ahorro. Dichos capitales dependen del
régimen financiero o interés que se utilice, ya sea simple o compuesto.
3. Las operaciones comerciales entre dos agentes pueden ser:
– Operaciones al contado, es decir, aquellas operaciones en las que la entrega del capital
y la recepción del bien se realizan al mismo tiempo. Hay dos objetos intercambiados
distintos, pero existe una equivalencia entre ellos, originada por un sistema de precios
aceptado de forma convencional.
– Operaciones financieras, es decir, el intercambio de capitales entre dos personas
(físicas o jurídicas) donde quedan pactadas las cantidades de dinero que se
intercambian y las fechas en las que se producirá el intercambio de las mismas.
4. En una operación de inversión hay tres factores importantes:
– La cantidad de dinero necesaria, es decir, el capital o montante de la inversión.
– El tipo de interés que se espera obtener de dicha inversión.
– El tiempo estimado de la inversión.
5. En una operación de financiación el precio está sometido a unas condiciones de
equilibrio dentro del mercado de dinero donde intervienen, como mediadores, la banca y
otras entidades de financiación.
 
1. Más adelante se explica el cálculo de la cuota mensual de operaciones de amortización.
2. Más adelante se explica cómo obtener el resultado.
Capítulo 2
Capitalización y actualización
Después de leer este capítulo, el lector deberá:
1. Comprender el concepto de capitalización y actualización.
2. Saber calcular el valor de un capital financiero equivalente en un momento futuro y en un
momento pasado, a partir de un factor financiero.
El objetivo es la comparación de cantidades distintas en instantes diferentes. En este sentido
hablaremos de dos operaciones básicas sobre las cuales gira toda la teoría de valoración de las
rentas financieras:
– Capitalización
– Actualización
2.1. Capitalización
La pregunta básica que se intenta responder es: ¿cuánto vale mañana un euro de hoy? En este
sentido, el objetivo es pasar una determinada cantidad:
Período actual → Período futuro
Capitalizar es calcular la cuantía de capital financiero equivalente en un momento futuro.
Sin embargo, este cálculo se puede realizar aplicando diversos regímenes financieros o, lo
que es lo mismo, utilizando diversos factores financieros.
Capitalizar 6.000 € a dos años al 10% es una información carente de significado financiero si
no se especifica el régimen financiero que se va a aplicar.
Así, por ejemplo, si se aplica el régimen financiero de interés simple vencido, la operación a
efectuar será la de multiplicar el capital financiero por el factor financiero correspondiente al
régimen de interés simple vencido:
Factor financiero (1 + i·t)
donde:
i = Tipo de interés en tanto por uno
t = Número de períodos.
Ejemplo 1
Cuánto representan 6.000 € al 10% dentro de 2 años.
Aplicando tipo de interés simple
Simple: Cn = C0 (1 + i·t)
6.000 · (1+ 0,1·2) = 7.200 €
Aplicando el régimen de interés compuesto:
Compuesta: Cn = C0(1 + i)t
6.000 * (1 + 0,1)2 = 7.260 €
Al aplicar el régimen de interés compuesto la operación utilizará un factor financiero diferente
y, por consiguiente, el capital financiero resultante a los dos años será también diferente.
Gráficamente puede apreciarse la diferencia entre tipo de interés simple y compuesto, donde el
capital final obtenido:
– Mediante el régimen de tipo de interés simple es superior al obtenido mediante el tipo de
interés compuesto cuando el período es inferior a 1.
– Es el mismo para el período igual a 1.
– Mediante el régimen de tipo de interés compuesto es superior para períodos superiores a 1.
Ejemplo 2
Imposición de 6.000 € a plazo fijo durante 3 meses al 3,5% anual.
Solución:
Imposición de 6.000 € a plazo fijo durante 3 meses al 3,5% anual. Los intereses se abonan
mensualmente y se reinvierten.
Solución:
Imposición de 6.000 € a plazo fijo durante 5 años al 4% anual, sin considerar reinversión
de los intereses.
Solución:
6.000 (1 + 0,04.5) = 7.200,00.
Imposición de 6.000 € a plazo fijo durante 5 años al 4% anual. Los intereses se abonan
anualmente y se reinvierten.
Solución:
6.000 (1+0,04)5 = 7.299,92
2.2. Actualización
Responde a la pregunta: ¿Cuánto vale hoy un euro de mañana? En este sentido se quiere pasar
una determinada cantidad de:
Período futuro → Período actual
Actualizar es calcular la cuantía de capital financiero equivalente en un momento pasado del
tiempo. Es la operación inversa a la capitalización. Así, al actualizar se dividirá el capital
por el factor financiero del régimen financiero seleccionado.
Ejemplo 3
Hoy es día 1 de octubre de 2007 y el día 1 de octubre del año 2009 recibiremos 7.200 €,
¿a qué valor equivaldría dicha cantidad hoy con un tipo de interés del 10%?
Si se aplica el régimen de interés simple:
Si se aplica el régimen de interés compuesto:
Es decir que 7.200 € en octubre del 2009 equivalen a 6.000 € aplicando el régimen de
interés simple vencido al 10%, o bien, equivalen a 5.950,41 € aplicando el régimen de
interés compuesto al 10% anual, hoy 1 de octubre de 2007.
Ejemplo 4
Descuento comercial: letra de cambio
Calcular el valor efectivo de la letra si:
— Nominal: 2.000 €
— Vencimiento: 1 de junio
— Fecha de descuento: 22 de abril
— Tipo de descuento: 4,5% anual
Ejemplo 5
Calcularel precio que se tiene que pagar hoy por una Letra del Tesoro a un año exacto al
2,4% de interés siendo su valor nominal de 1.000 €.
Ejemplo 6
Calcular el precio de compra de un bono cupón cero a 5 años.
Valor nominal: 10.000 € y tipo de interés del 4% anual.
Tras leer este capítulo, debe haber quedado claro:
1. Capitalizar es calcular el valor de un capital financiero equivalente de un capital presente
en un momento futuro. O bien calcular el capital financiero equivalente de un capital
pasado en un momento presente.
2. Actualizar es calcular el valor de un capital financiero equivalente de un capital futuro en
un momento presente, o bien un capital financiero presente en un momento pasado.
3. Para calcular dichos capitales financieros equivalentes se precisa de un régimen
financiero (simple o compuesto).
Capítulo 3
Regímenes financieros
Se pretende que el lector después de leer este capítulo:
1. Conozca los regímenes financieros que tienen las distintas operaciones financieras.
2. Sepa capitalizar o actualizar dependiendo del régimen financiero.
El dinero tiene un valor temporal. Es decir, su precio debe considerarse siempre asociado a
una fecha. Dos capitales distintos, en momentos distintos, pueden tener el mismo valor para una
persona. Se dice entonces que, aunque no sean iguales, esos capitales son equivalentes.
Matemáticamente siempre es posible hallar un tipo de interés que convierta en equivalentes dos
capitales diferentes en fechas distintas.
Como ya se ha indicado en las operaciones financieras, el precio que hay que pagar por el
diferiemiento se llama tipo de interés, régimen financiero o equivalencia financiera.
3.1. Definición de régimen financiero
Un régimen financiero recoge los pactos que establecen los sujetos de una operación
financiera. Decir que se valora una determinada cantidad de dinero al 10% es decir muy poca
cosa. Se precisa de un determinado régimen financiero.
A continuación se presentan los principales regímenes financieros que ayudarán a calcular los
capitales financieros equivalentes en cualquier momento del tiempo:
– Régimen financiero de interés simple (vencido y anticipado).
– Régimen financiero de interés compuesto.
3.2. Régimen financiero de interés simple vencido
En el régimen financiero de interés simple vencido se convienen los siguientes pactos:
– El precio se paga al final de la operación, conjuntamente con la devolución de la cuantía
inicialmente cedida.
– El precio, que se denomina interés, es proporcional a la cuantía inicial y al plazo de la
operación, y se calcula en base al tanto de proporcionalidad i.
De los anteriores pactos se deducen las siguientes relaciones:
I = C’ – C = i · C · t
C’ = C + I = C + i · C · t = C (1 + i · t)
C’ = C (1 + i · t)
Donde:
C’= Capital final
t = Plazo de la operación
i = Tanto de interés
I = Interés total
El plazo de la operación suele expresarse del siguiente modo:
El numerador es el número de días contado de acuerdo con las características del mercado
financiero correspondiente, y el denominador el número de días que se considera que tiene el año
según convenio, puede ser 360 (muy frecuente, por ser año comercial), 365 o 366.
Con un interés del 10% nominal, en este caso:
– 0,10 por días/365 se pagarían menos intereses que si fuera:
– 0,10 por días/360 que se pagaría más.
Con el diferencial se gana dinero. En general las entidades financieras intentan pagar con la
primera opción (365) e intentan cobrar con la segunda (360).
El agente económico:
– Entrega {(C,0)} en el momento inicial
– Recibe {(C’, t)} en el momento de liquidación del compromiso
El factor financiero que se deduce de este régimen es una función lineal:
Un elemento importante a destacar es que el plazo y el tipo de interés tienen que estar referidos
a la misma unidad temporal, generalmente al año.
Ejemplo 1
¿Cuál es el capital final que se obtiene de una cuantía de 60.000 €, colocados al 5% de
interés simple anual durante 10 meses?
C = 60.000 €
i = 5%
Aplicando el mismo régimen financiero en operaciones de actualización:
Agente económico:
Entrega {(C’, t)} entrega en 0 un activo financiero representativo del dinero Recibe: {(C,0)}
recibe en 0 el efectivo
C’ > C Principio de preferencia por la liquidez
C’ = C + C · i · t
C’ = C (1 + i · t)
Ejemplo 2
Calcular el precio que se tiene que pagar por una Letra del Tesoro a 1 año si sabemos que
es un activo emitido al descuento, cuyo nominal es de 1.000 €
C’ = C (1 + i·t)
C’ = 1.000
i = 4,02%
t = 1 año
3.3. Régimen financiero de interés anticipado o descuento
comercial simple
En el régimen financiero de descuento comercial se convienen los siguientes pactos:
– El descuento consiste en anticipar una cuantía C’ con vencimiento dentro de un plazo «t».
– El precio de la anticipación, que se denomina descuento, es proporcional a la cuantía final y
al plazo de la operación, y se calcula en base al tanto de proporcionalidad «ia».
En este caso los intereses se pagan por adelantado. ¿Qué significa?
– 1 u.m. prestada en 0 se devolverá dentro de un año y hoy en 0, se pagarán «ia» u.m. de interés.
– Si prestamos C’ u.m. en 0, se devolverá dentro de un año y hoy en 0, se pagarán C’·ia u.m. de
interés.
– Si prestamos C’ u.m. en 0, se devolverá dentro de t años, y hoy en 0, se pagarán C’· ia ·t u.m.
de interés.
Da = C’· ia ·t
C = C’ – D = C’ – C’ · ia · t → C = C’ (1 – ia ·t)
Siendo:
ia = Tipo de interés o precio en términos anuales
C = Capital inicial, o valor efectivo
C’ = Capital final o nominal
t = Plazo de la operación
ia = Tipo de interés de descuento
D = Descuento total
De los anteriores pactos se deducen las siguientes relaciones:
D = C’ – C = ia· C’ · t
C = C’ – ia · C’ · t
C = C’ (1 – ia· t)
Financieramente, su cálculo sólo es posible cuando 
Ejemplo 3
Calcular el valor efectivo del descuento de un efecto comercial de nominal 1.000 € que
vence dentro de 9 meses y que ha sido descontado al 6% anual.
C’ = 1.000 €
ia = 6%
t = 9 meses = 9/12 años
La letra de cambio, que es un efecto comercial y un documento normalizado y jurídicamente
reconocido y reforzado, sólo se puede emitir cuando hay venta de un objeto (si no, se dice que hay
«peloteo de letras» o «papel de colusión»).
Debe analizarse el origen de la letra de cambio, compra-venta de un objeto:
– Empresa (cliente del banco): entrega a su cliente un bien o le presta un servicio y recibe del
cliente (un compromiso de que pagará en «t»), promesa de pago en «t», por la mercancía
adquirida o el servicio percibido. Nace la letra de cambio, quien debe pagar es el cliente. La
empresa, si necesita dinero porque tiene poca liquidez para afrontar compromisos de pago
(salarios, gastos, etc.), la lleva al banco para conseguir liquidez.
– Cliente de la empresa entrega una letra de cambio, que puede aceptar con su firma y su
compromiso firme de pago. En «t» paga el importe de la letra, que cobrará el banco. Si no
paga, el banco va a la empresa y le descuenta el dinero de la cuenta y reclama el dinero
prestado más una penalización. Es conveniente, aunque no siempre factible, que la letra tenga
un avalador y unas garantías. A su vez se inicia un proceso para intentar que el cliente de la
empresa pague.
– Banco, tendrá la letra en 0, al llegar la fecha «t», el banco va a cobrar del cliente de la
empresa. Pedirá garantías. Hace dos funciones: adelantar dinero y gestión de cobro. Desde su
punto de vista, está realizando una operación de capitalización e inversión, con una
rentabilidad de interés vencido. Para la empresa es un cobro anticipado.
Ejemplo 4
Una letra de cambio
C’ = 150.000
t = 85 días
ia = 7%
Buscar el efectivo comercial de la letra de cambio.
3.4. Régimen financiero de interés compuesto a tanto constante
vencido
En los regímenes financieros a largo plazo la función tiene carácter exponencial, mientras que
en los regímenes financieros simples la f(t) es lineal.
El precio o interés se paga al final de la operación conjuntamente con la devolución de la
cuantía inicialmente cedida.Aunque los intereses, habitualmente, no se pagan de una vez.
El precio se calcula periódicamente y se determina aplicando una constante de
proporcionalidad, «i», a la cuantía inicial de cada período de capitalización y a la extensión del
mismo.
¿Qué significa un «5% como interés compuesto y abono semestral de intereses»?
– i2 = 0,05, donde el 2 indica que el pago es semestral. El subíndice indica la frecuencia anual
de abono de intereses o de capitalización.
– Indica que hay dos abonos de intereses cada año.
Donde:
i m = interés compuesto (aquí el nominal es base anual)
t años = m·t períodos de capitalización en «n» períodos
C1 = C0 + Intereses = C0 + C0 · i m · 1/m
I m = i m· 1/m
C1 = C0 (1 + I m)
Cr = Cr–1 (1 + I m)
→ Cn = C0 (1 + I m)mt —> C’ = C (1 + I m)n
Ejemplo 5
Invertimos en un depósito 1.000.000 de € a un interés anual y abono trimestral en 2 años i4
= 6%.
 es numéricamente correcto, pero no dimensionalmente hablando.
I4 = 0,06 · 1/4 = 0,015, se considera que todos los trimestres son iguales, pero hay trimestres
de 90 ó 91 días.
→ C’ = 1.000.000 (1 + I4)8 = 1.000.000 (1 + 0,015)8 = 1.126.492,59 €
Comparación con el régimen financiero de interés simple vencido
Régimen financiero a interés simple vencido:
f(t) = 1 + i·t
Régimen financiero a interés compuesto vencido:
Si el período es inferior a un año los intereses del interés compuesto son inferiores a los
intereses del interés simple, aunque la diferencia entre ambos es muy pequeña.
A partir del primer período o año la diferencia tiende a ampliarse de forma exponencial, hasta
el punto de que la diferencia (sólo en intereses) puede ser superior a la cantidad prestada (por
ejemplo, préstamo hipotecario a largo plazo de 30 años).
En el interés simple, los incrementos entre períodos o intervalos iguales son iguales. El capital
que genera los intereses es el capital inicial. Los intereses no se acumulan para generar más
intereses.
Así, la diferencia entre ambos, simple y compuesto, es porque en el compuesto se acumulan
intereses que a la vez generan más intereses.
 
 
Problema:
Si se obtiene un interés semestral y se quiere pasar a trimestral qué es lo que se debe hacer:
transformar tipos de interés de una determinada periodicidad de capital en tipos de interés
correspondientes a otro período de capital distinto.
im → im’
Con periodicidades distintas, el cambio no es posible directamente. El proceso es el siguiente:
pasar el interés efectivo correspondiente a la misma periodicidad.
i 4 = 12%
C’ = 1 (1 + I 4)nºtrimestres = n = m · t = 4
i 4 .(1/4) = 0,03
C’ = 1 (1 + 0,03)4 → Valor final de una euro invertido al 3% trimestral durante 1 año
Pregunta: ¿Cuál será el i12? Es decir, el precio tal que al final del año tenga exactamente lo
mismo que con i4, con la diferencia de que ahora los intereses se pagan mensuales.
C’= 1 (1+I12)12
C’= 1 (1+0,01)12
De Im → Im’ → (1 + Im)m = (1 + Im)m’
Ejemplo 6
Luis Ramírez quiere saber cuál será el capital final que rescatará, resultante de la
imposición de una prima única de 12.000 € durante 1,5 años al 12% anual capitalizable
trimestralmente.
En el caso de Luis la periodicidad es trimestral. Es decir, m = 4 porque hay cuatro
trimestres en un año. Por lo tanto, el número de períodos que hay en la operación es de n = m
· t = 4 · 1,5 = 6, es decir, hay seis trimestres en un año y medio.
Como el tipo de interés nominal es del 12%, y el interés es anual, se representa como i4 =
0,12. Así pues, cada trimestre se abonará una cuarta parte del 12%.
El interés efectivo resultante es del 3%, es decir, 12% dividido entre 4 trimestres, I4 =
0,12 · 1/4 = 0,03.
Aplicando la fórmula de capitalización con el tipo de interés compuesto se obtiene el
capital final que obtendrá Luis:
C’ = C (1 + Im)n = 12.000 · (1 + 0,03)6 = 14.328,63 €
3.5. Relación entre el tipo de interés nominal y el tipo de interés
efectivo
La relación entre la cuantía inicial (C) y la cuantía final (C’) en régimen financiero de interés
compuesto a tanto constante, obtenida anteriormente, viene dada por la ecuación:
donde i es el tipo de interés nominal. El tipo de interés nominal es anual aunque su frecuencia de
capitalización puede ser distinta a la anual. Para indicar la frecuencia se utiliza el subíndice m
(im).
Ejemplo 7
i12 : tipo de interés nominal capitalizable mensualmente
i12 = 0,10 → tipo nominal del 10% anual capitalizable mensualmente.
El resultado de im/m = Im, que se denomina tipo de interés efectivo y, a diferencia del tanto
nominal, está referido al período de capitalización.
Ejemplo 8
Si i2 = 0,08 es el tipo de interés nominal anual capitalizable semestralmente, el tipo
efectivo semestral (interés semestral) es I2 = i2/2 = 0,04.
Ejemplo 9
Calcular el capital final resultante de la imposición de dos millones de euros durante 2,25
años al 4% anual capitalizable trimestralmente.
C = 2.000.000 €
t = 2,25 años
m = 4
n = m * t = 9
i4 = 0,04
I4 = 0,04 * 1/4 = 0,01
C’ = C (1 + Im)n → 2.000.000 · 1,019 = 2.187.370,55 €
Dos regímenes financieros son equivalentes si sus factores financieros igualan su valor. El
factor financiero es C’/C.
(1 + Im)m = (1 + Im’)m’
→ I m = (1 + I m’)m’/m – 1
Ejemplo 10
Se depositan 3.000.000 de € en una entidad financiera durante 4 años, bajo régimen
financiero de interés compuesto a tanto constante. Hallar el capital final en los siguientes
casos:
a) El capital inicial se coloca a un tanto de interés del 7% anual.
b) El capital inicial se coloca a un tanto de interés del 7% anual con periodificación
semestral.
c) El capital inicial se coloca a un tanto de interés del 7% anual con periodificación
cuatrimestral.
a) C = 3.000.000 €
i = 0,07
m = 1
n = t·m = 4 años
C’ = 3.000.000 (1 + 0,07)4 = 3.932.388,03 €
b) C = 3.000.000 €
i = 0,07
m = 2
t = 4 años
n = t·m = 8 semestres
c) C = 3.000.000 €.
i = 0,07
m= 3
n = t·m = 12 cuatrimestres
Ejemplo 11
Dado I4 = 0,025
1) Hallar los siguientes tanto efectivos equivalentes:
a) I1: (1 + I1) = (1 + I4)4
b) I2: (1 + I2)2 = (1 + I4)4
c) I12: (1 + I12)12 = (1 + I4)4
d) I52: (1 + I52)52 = (1 + I4)4
a) I1 = (1 + I4)4 – 1 = 0,103813
b) I2 = (1 + I4)2 – 1 = 0,050625
c) I12 = (1 + I4)1/3 – 1 = 0,008265
d) I52 = (1 + I4)1/13 – 1 = 0,001901
2) Si C = 3.000 € y t = 3 años, calcular C’ utilizando los anteriores tantos efectivos
equivalentes:
a) C’ = 3.000 · (1 + I1)3 = 4.034,67 €
b) C’ = 3.000 · (1 + I2)6 = 4.034,67 €
c) C’ = 3.000 · (1 + I12)36 = 4.034,67 €
d) C’ = 3.000 · (1 + I52)156 = 4.034,67 €
En los tres regímenes financieros expuestos, la operación de actualizar se realiza dividiendo
por el factor financiero y la de capitalizar se realiza multiplicando por el factor financiero.
Ejemplo 12
Una entidad financiera lanza un depósito semanal al 7% TAE (interés efectivo anual),
siendo la máxima aportación 6.000 €. Se trata de un depósito vinculado a una cuenta
corriente, donde se abonan los intereses y el capital al vencimiento de la operación. Se
pregunta:
a) Cuál es el tipo de interés nominal del depósito.
b) Qué cantidad se abonará semanalmente en función de la cantidad ingresada.
a) Para pasar de interés efectivo anual o TAE a interés nominal se realiza la siguiente
operación:
(1 + TAE) = (1 + I52)52
I52 = (1 + TAE)1/52 – 1
Tipo de interés nominal: I52 · 52
I52 = (1 + 0,07)1/52 – 1
I52 = 0,001302 es un 0,1302 %
I52 · 52 = 0,1302 · 52 = 6,77% de interés nominal
b) La cantidad a abonar será de 0,1302% · 6.000 €= 7,81 €/semana.
NOTA: Los cálculos con 52 semanas son relativamente aproximados, ya que en un año no hay 52 semanas, sino 52,14 o 52,28
semanas; la diferencia va de 0,1302 a 0,1298.
Tras la lectura de este capítulo, debe haber quedado claro:
1. Existen tres regímenes financieros distintos para calcular los intereses a cobrar o pagar en
una operación financiera. Cada uno de ellos tiene unas características peculiares que
afectan a la fórmula matemática o factor financiero que se utiliza. Las principales
características son las siguientes:
 
Simple vencido Simple anticipado Compuesto
Remuneracióna tanto
constante en todo el
plazo.
Remuneración a tanto
constante en todo el plazo.
Remuneración a tanto
constante en todo el plazo.
Devolución de principal
e intereses al final del
plazo.
Devolución de principal al
final del plazo, pero los
intereses se abonan al
principio del mismo.
Devolución de principal e
intereses al final del plazo.
Sólo el principal produce
intereses.
Sólo el principal produce
intereses.
Los intereses se devengan al
final de cada período y se
acumulan al principal.
Factor financiero: (1 + i ·
t) Factor financiero: 1/(1 – i · t) Factor financiero: (1 + i)
n
 
2. El interés nominal es el tipo de interés a un año que se aplica para el cálculo de intereses
a cobrar o a pagar. El efectivo es el interés nominal dividido por el período de
liquidación.
Capítulo 4
Medidas de rentabilidad
Se pretende que después de este capítulo el asesor financiero:
1. Conozca los distintos métodos de evaluación de inversiones.
2. Comprenda qué significa un VAN positivo.
3. Escoja correctamente la tasa de actualización.
4. Calcule VAN y TIR de proyectos de inversión y de productos financieros.
5. Sepa escoger entre distintas inversiones en función de su rentabilidad simple, TIR, TRE o
TAE.
Invertir, desde un punto de vista financiero, es renunciar a unas disponibilidades líquidas
ciertas hoy, por unas disponibilidades líquidas, no tan ciertas, en el futuro. Las técnicas de
evaluación de inversión más utilizadas son el VAN (Valor Actual Neto) y la TIR (Tasa de
Rentabilidad Interna). Ambas son herramientas matemáticas que reducen una inversión a un flujo
de fondos de entradas y salidas de dinero en momentos temporales distintos.
La rentabilidad indica la variación, expresada normalmente en tanto por ciento, que
experimenta el valor de un activo durante un cierto período de tiempo. Esta variación, que se
expresa en porcentaje, puede ser positiva o negativa.
Si una familia compra un piso por 120.000 € y después de 5 años lo vende por 150.000 €
obtiene una rentabilidad del 25%, prescindiendo de gastos y de cargas o reducciones fiscales:
Este ejemplo tan simple dista de la realidad ya que normalmente un activo puede producir
beneficios (dividendos, intereses, alquileres, etc.) y generar gastos (contratación, liquidación,
mantenimiento, fedatario público, hacienda). En este sentido el cálculo de la rentabilidad suele ser
más complejo.
En este apartado se empezará explicando qué es una rentabilidad simple para, seguidamente,
analizar el VAN como proceso vinculado a entender la TIR, una tasa de rentabilidad efectiva
(TRE) y una TAE o tasa anual equivalente. También se hará una breve referencia a los conceptos
de rentabilidad real y rentabilidad financiero-fiscal.
4.1. Rentabilidad simple
La rentabilidad simple es la forma de expresar la variación del valor de un activo, durante un
período de tiempo determinado, suponiendo que los beneficios que genera se producen al final del
período.
Su fórmula es:
Dentro del valor final puede haber distintos cobros o rendimientos y costes, mientras que como
valor inicial sólo se considera la inversión inicial sin costes.
Por eso la fórmula podría ser:
Donde:
Vf = Valor final
D = Rendimientos no integrados en el valor final
G = Gastos no integrados en el valor final
Vi = Valor inicial
Ejemplo 1
Una persona invierte 10.000 € en acciones de una empresa. Al cabo de 6 meses las vende
por 9.100 € y, además, deber pagar 60 € en concepto de gastos de venta, que se añaden a los
gastos de compra que ya pagó por importe de 80 €. ¿Cuál ha sido la rentabilidad simple
obtenida en 6 meses, considerando que ha cobrado hace 3 meses un dividendo de 40 €?
[(9.100 + 40 – 80 – 60) – (10.000)] / 10.000 = –1.000 / 10.000 = –10%
En este cálculo no se ha tenido en cuenta el factor tiempo.
4.2. Valor actual neto (VAN)
El valor actual neto de una inversión es el valor actualizado de todos los rendimientos
esperados. Así, por ejemplo, si nos proponen invertir 100 millones de € hoy, con el compromiso
de que en los próximos cinco años recibiremos sucesivamente cada año: 30, 30, 30, 30 y 50
millones de €, sería erróneo analizarlo con la premisa de que aplicamos 100 millones y recibimos
en total 170 millones. Tal como se ha comentado en apartados anteriores, no se pueden comparar
100 millones de € de hoy con 30 millones de € dentro de tres años o de 50 millones de € dentro de
cinco años.
Para poder analizar la inversión deberemos comparar la inversión inicial (100) con los flujos
futuros (30, 30, 30, 30, 50) actualizados, es decir, convertir esas cifras en € de años posteriores a
la fecha de inicio de la inversión a € correspondientes a dicha fecha de inicio. A partir de aquí sí
se podrá comparar unos montantes de € con otros, ya que todos serán equivalentes en el momento
inicial de la inversión.
La fórmula del VAN es la siguiente:
donde:
A = Inversión inicial (en el ejemplo = 100 millones de €).
 
CF1 = Cash flow o flujo de fondos que se ingresarán en el primer período (en el ejemplo 30 millones de €).
 
CF2 = Cash flow o flujo de fondos que se ingresarán en el segundo período (en el ejemplo 30 millones de €).
 
n = Número de períodos de liquidación que tiene la inversión (en el ejemplo: cinco períodos).
 
CF = Cash flow o flujo de fondos que se ingresarán en el último período (en el ejemplo 50 millones de €).
 
k = Tasa de actualización de los flujos futuros (tasa única).
 
Si en el presente ejemplo se calcula el VAN dando a la tasa de actualización «k» el valor del
10%, obtendríamos el siguiente resultado3:
Cuando se calcula el VAN de una inversión, lo que interesa conocer es si éste es positivo o
negativo. En el presente ejemplo, el VAN resultante es positivo, lo que indica que la inversión es
aconsejable. En el caso de que el VAN hubiese dado un resultado negativo estaría indicando que
la inversión analizada no es aconsejable.
VAN positivo = Inversión recomendable
VAN negativo = Inversión no aconsejable
¿Cómo se debe interpretar el VAN?
En primer lugar, se debe entender que el VAN es una técnica de evaluación de inversiones que
lo que hace es poner un «listón» a la inversión analizada. Este «listón» es la tasa de actualización
«k». En el ejemplo anterior se puede interpretar que la inversión ofrece una rentabilidad «superior
al 10%» o, lo que es lo mismo, supera el «listón» del 10%; por eso se considera que la inversión
es «aconsejable».
Se puede observar que si se recalcula el VAN del ejemplo con una tasa de actualización mayor,
por ejemplo del 20%, habrá una mayor probabilidad de que el VAN sea negativo o, lo que es lo
mismo, habrá una probabilidad mayor de que la inversión no supere el nuevo «listón» que se le ha
colocado.
¿Qué favorece un VAN positivo?
Hay tres factores que inciden en el resultado final del VAN:
a) La inversión inicial: cuanto menor sea, más probabilidades de que el VAN sea positivo.
b) Los flujos de fondos futuros: cuanto mayores sean éstos, más probabilidades de obtener un
VAN positivo.
c) La tasa de actualización «k»: cuanto menor sea ésta, también mayor probabilidad tendrá el
VAN de ser positivo.
¿Cuál será entonces la tasa de actualización que se utilizará para calcular un VAN?
Al calcular el VAN de una inversión cada analista utilizará la tasa de rentabilidad mínima
exigida a dicha inversión. Es decir, tiene un sentido de «coste de oportunidad», ya que para
tomar la decisión de realizar o no la inversión le ponemos el «listón» de la rentabilidad a la que
se está renunciando por emprender el proyecto de inversión analizado. Expresado de otra forma,
al calcular el VAN se exige al proyecto de inversión, para que sea aconsejable, que produzca
como mínimo lo que el capital vinculado produciría en el uso alternativo al que se renuncia.
4.3. Tasa interna de rentabilidad (TIR)
El VAN es una cierta medida del beneficio absoluto de un proyecto de inversión, pero con el
cálculo del VAN no se conoce la tasa interna de rentabilidad del proyecto o TIR. Lo único que se
conoce, una vez calculado el VAN, es que siéste es positivo el proyecto ofrece una rentabilidad
mayor que la tasa de actualización «k» utilizada y que, si el VAN es negativo, la rentabilidad del
proyecto es menor que la tasa de actualización «k» utilizada; obviamente si el VAN es cero la
rentabilidad del proyecto coincide con la tasa de actualización.
Así, en el ejemplo numérico utilizado para calcular el VAN, lo único que se conoce respecto a
la TIR (tasa interna de rentabilidad) del proyecto analizado es que ésta es mayor que el 10%.
Al ser el VAN positivo, se sabe que la rentabilidad de la inversión analizada es mayor que el
«listón» que se le ha colocado, luego, si supera ese listón del 10%, el proyecto ofrece una
rentabilidad (TIR) mayor que este 10%.
¿Cómo calcular la TIR de una inversión?
Si al calcular el VAN de una inversión el resultado es igual a cero, resulta que la inversión no
tiene una rentabilidad mayor que el «listón» ni menor que el «listón», luego la TIR sería igual a
ese «listón» o tasa de actualización utilizada.
De aquí se deduce que la TIR es aquella tasa de actualización que hace que el VAN se
iguale a cero.
En este caso, en la fórmula del VAN, ahora la incógnita no es el VAN sino la tasa de
actualización «k», ya que se debe hallar una «k» tal que haga que el VAN sea cero. En este caso
concreto, a «k» se le denomina TIR.
Para despejar la «k» de la fórmula existe un problema matemático, ya que se está frente a un
polinomio de grado «n» y esta operación no tiene una solución única; la forma de calcular ese
valor de «k» que haga que el VAN sea cero será por el método de «iteraciones sucesivas».
Este método de cálculo no es más que ir acotando el valor de «k» entre aquellos valores que
den un VAN positivo y un VAN negativo, hasta conseguir uno que dé como resultado un VAN igual
a cero. En el ejemplo numérico anterior de cálculo del VAN se ha utilizando una tasa de
actualización igual al 10% y el VAN era positivo, mientras que utilizando una tasa de
actualización del 20% el VAN era negativo; por tanto ya se sabe que la TIR estará entre el 10 y el
20%. Habrá que acotar sucesivamente el valor de «k» entre 10 y 20 hasta hallar un valor de TIR
donde el VAN sea igual a cero.
4.4. Tasa de rentabilidad efectiva (TRE)
En este tipo de cálculo, más preciso que el de la TIR, se siguen los siguientes pasos:
a) Calcular el valor final de la inversión, teniendo en cuenta el período de capitalización de
cada uno de los cobros y el tipo de interés aplicado para cada capital.
Vf = D1(1 + i1)n1 + D2 (1 + i2) + ... + Dn(1 + in)n1
donde:
D1 ... n representa cada uno de los ingresos
 
Vf : es la sumatoria de todos los flujos percibidos y reinvertidos
 
i1 ... n es el tipo de interés al que se reinvierte cada uno de los capitales
 
n1... t es el tiempo que media entre el cobro de cada capital y el final de la operación
b) Hallar el tipo de interés, a interés compuesto, teniendo en cuenta el valor final, el
desembolso inicial y el tiempo total de la operación.
Se aplica la siguiente fórmula:
donde:
Vi es el valor inicial invertido
Vf es la sumatoria de todos los flujos percibidos y reinvertidos
El tipo de interés obtenido (i) es la Tasa de Rentabilidad Efectiva (TRE).
Ejemplo 2
Hace 18 meses un inversor de bolsa invierte 10.000 € en la compra de 1.000 acciones de
10 € cada una. A los seis meses recibe un dividendo de 0,5 €/acción. Si hoy vende las
acciones por 12 euros, ¿cuál es la rentabilidad obtenida?
Tal como se hace con la TIR, se igualan cobros con pagos. Haciendo los cálculos
iterativos pertinentes, la TIR que se obtiene es de 16,551%. Se trata de una TIR anual; si se
expresa en término semestral es 7,959%.
Esta tasa de rentabilidad no se ha anualizado, ya que sería una TIR anual (o TAE que se
verá en el siguiente apartado) del 16,551%. También está suponiendo que los 500 euros
recibidos en concepto de dividendo se han reinvertido al 7,959%.
Si se supone que se reinvierte a un tipo de interés del 2%, después de un año se obtienen
510 €. Por lo tanto el valor final que se obtendrá será de 12.510 € (12.000 por la venta de
las acciones y 510 por los dividendos invertidos en un depósito al 2%).
En este sentido la TRE resultante será de: 16,102%, que se calcula de la siguiente
manera:
Como se puede ver, la TRE es inferior a la TAE o TIR anualizada porque los dividendos
se reinvierten a una tasa inferior a la TIR.
Seguidamente se ve qué es la TAE, que aparece en todos los productos financieros.
4.5. Tasa anual equivalente (TAE)
La TIR da la tasa interna de rentabilidad de un proyecto de inversión, pero esta TIR no tiene
por qué ser necesariamente de un período anual.
La TAE es la TIR anualizada. Cuando una operación financiera no tiene períodos anuales de
liquidación de intereses se debe realizar una transformación de la TIR resultante (mensual,
trimestral, semestral, etc.) en una TIR anual o TAE (tasa anual equivalente o tasa anual efectiva).
La anualización de una TIR se realiza mediante la fórmula siguiente:
TAE = (1 + TIR d)365/d – 1
Donde «d» es el número de días que comprende cada período de liquidación. En caso de aplicar
el año comercial, la fórmula que se aplica es la misma pero con el numerador del exponente igual
a 360:
TAE = (1 + TIR d)360/d – 1
Así, por ejemplo, si se analiza una operación financiera donde se prestan cien millones (100
millones de €) y se pagan intereses en cuatro períodos de liquidación de un montante igual a
cuatro (4) millones de € cada período, devolviéndose el principal (100 millones de €) al final del
último período, la TAE resultante dependerá de los días que comprende cada uno de esos cuatro
períodos de liquidación.
La TIR resultante será igual al 4%
Si los períodos son trimestrales, quiere decir que la TIR es trimestral y la TAE será igual a:
TIR (trimestral) = 4%
TAE = (1 + 0,04)360/90 – 1 = (1,04)4 – 1 =16,99%
Si los períodos son semestrales, quiere decir que la TIR es semestral y la TAE será igual a:
TIR (semestral) = 4%
TAE = (1 + 0,04)360/180 – 1 = (1,04)2 – 1 = 8,16%
En definitiva, la TIR de una operación con períodos de liquidación anual es igual a la TAE.
En el caso de que una operación financiera no tenga períodos de liquidación anuales, se deberá
convertir la TIR anual o TAE mediante la fórmula anteriormente expuesta.
Ejemplo 3
Descuento de letras sin retención
Una entidad financiera presenta la siguiente oferta:
– El tipo de interés que aplica al descuento de efectos es del 4% nominal anual.
– La comisión es del 0,7%.
– El valor nominal de la letra es de 1.000 € y el vencimiento de la misma es a 90 días.
Se pide: calcular la TAE de la siguiente operación.
Solución:
Para solucionar este caso es importante hacer la representación gráfica de la operación.
En el momento inicial la entidad financiera compra el nominal de la letra y cobra los
intereses por anticipado, además de una comisión por el descuento del efecto.
Gráficamente se obtiene el siguiente esquema:
Se obtiene una operación con dos cash-flows. El primero sería la inversión de la entidad
financiera y, a vencimiento, lo que ingresa la entidad financiera. Esto nos da una TIR de:
1,7294%. Esta TIR es trimestral. Para pasarla a TAE:
TAE = (1+0,017293998)4 – 1 = 0,07099, es decir, 7,099% TAE
Ejemplo 4
Imposición a plazo fijo
Depósito a 6 meses. Se formaliza un depósito de 30.000 € y se desea el abono mensual de
intereses. Si el tipo de interés nominal es de 2,50%. Se pide:
a) TAE de la operación
b) Cálculo del abono mensual de intereses
a) TAE = (1+ 0,0250/12)12 – 1 = 0,0253, es decir: 2,53%
b) 30.000 · 0,025/12 = 62,5 euros
Ejemplo 5
Compra de un televisor a plazos
Una tienda de televisores de lujo ofrece la siguiente oferta: llevarse el aparato y pagar en
once mensualidades. Se trata de un préstamo al consumo, se ofrecen las siguientes
condiciones:
Principal del préstamo: 6.000 €
– 11 pagos al final de cada mes por valor de 570,96 € cada uno
Calcular la TAE de la operación
Se obtiene una operación con doce cash–flows. El primero sería la inversión de la
entidadfinanciera (6.000 €), y los once cash-flows siguientes serían las 11 cuotas que se
compromete el cliente a devolver. Esto nos da una TIR de:
0,76950%. Esta TIR es mensual. Para pasarla a TAE:
TAE = (1+0,0076950)12 – 1 = 0,09635, es decir, 9,635% TAE.
Ejemplo 6
Préstamo a 8 meses
Calcular la TAE de la siguiente operación: un préstamo a 8 meses de 6.010,12 € de
principal, a un interés del 10%, con una comisión de apertura del 1,5%. El principal, los
intereses y las comisiones se pagan al final de los 8 meses.
Principal del préstamo: 6.010,12 €
Se devuelve a los 8 meses conjuntamente con los intereses más la comisión
Comisión 1,5% sobre el capital, por tanto será de: 90,15 €
Interés nominal anual: 10%
Interés efectivo mensual: 10/12 = 0,8333% mensual
Interés a pagar:
6.010,12 (capital) * 0,008333 (interés efectivo mensual) * 8 meses = 400,67€
También se podría haber calculado 6.010,12 * 0’10 * 8/12 = 400’67 €
Se obtiene una operación con dos cash–flows. El primero sería la inversión de la entidad
financiera (6.010,12 €), y a vencimiento (8 meses) lo que ingresa la entidad financiera. Esto
da una TIR de:
8,166%. Esta TIR es de 8 meses. Para pasarla a TAE:
TAE = (1+0,08166)12/8 – 1 = 0,1250, es decir, 12,50% TAE
Se eleva a 12/8 ya que la TAE hay que elevarla al número de períodos de 8 meses que
hay en un año, que en este caso es 1,5.
Ejemplo 7
Préstamo anual anticipado
Calcular la TAE de la siguiente operación: préstamo anual anticipado de principal de
6.000 €, a un interés del 10% y una comisión del 1,5%. Los intereses y las comisiones se
pagan al principio del año.
Principal: 6.000 €
Interés: 600 €
Comisión: 90 €
Devolución final del principal a vencimiento: 6.000 €
Gráficamente se obtiene el siguiente esquema:
Se obtiene una operación con dos cash-flows. El primero sería la inversión de la entidad
financiera (5.310 €), y a vencimiento (1 año) lo que ingresa la entidad financiera (6.000 €).
Esto nos da una TIR de:
12,99%. Esta TIR es anual, es decir, automáticamente la TIR es la TAE 12,99%.
Ejemplo 8
Inversión que da el doble
Una entidad financiera le asegura el doble del capital invertido en 7 años y medio. Se
pide calcular la TAE de esta operación.
Gráficamente se obtiene el siguiente esquema:
Se obtiene una operación con dos cash-flows. El primero sería la inversión de la entidad
financiera, y a vencimiento lo que ingresa la entidad financiera. Esto nos da una TIR de:
100%. Esta TIR es de 7,5 años. Para pasarla a TAE:
TAE = (1+ 1)1/7,5 – 1 = 0,0968, es decir, 9,68% TAE
Ejemplo 9
Comprobar qué Plan de Pensiones es más interesante
Dos instituciones financieras ofrecen los siguientes planes de pensiones:
a) Se garantiza el 40% de la inversión a 10 años.
b) Se garantiza el 25% de la inversión a 7 años.
Solución:
a) Del folleto de la institución financiera se obtiene que la TIR del proyecto es del 40%
en 10 años.
De aquí se obtiene que la TAE = (1 + 0,4)1/10 – 1 = 3,42%
b) Del folleto de la institución financiera se obtiene que la TIR del proyecto es del 25%
en 7 años.
De aquí se obtiene que la TAE = (1 + 0,25)1/7–1 = 3,24%
Se elegiría el primer plan de pensiones ya que la TAE es superior.
Ejemplo 10
Un banco le ofrece un Plan de pensiones que le asegura el 102,78% de rendimiento en 5
años. Se pide calcular la TAE de esta operación.
Gráficamente se obtiene el siguiente esquema:
Esta TIR es de 5 años. Para pasarla a TAE:
TAE = (1+ 1,0278)1/5 – 1 = 0,1519, es decir, 15,19% TAE
4.6. Rentabilidad real
Es un concepto sencillo, ya que se limita a restar de la tasa de rentabilidad que se ha calculado,
el importe de la inflación existente para el mismo plazo de la inversión.
Es una cifra a la que se le da cierta importancia por parte de los inversores, ya que no debe
olvidarse que el objetivo fundamental del ahorro y la inversión es preservar el capital para
mantener o incrementar su poder adquisitivo a lo largo del tiempo, y por ello la erosión que
genera la inflación en el valor de dicho patrimonio puede ser de gran importancia.
Si la inflación es del 8% anual y se obtiene un interés del 5% anual, la rentabilidad real es de –
3%, obtenida con la fórmula siguiente:
Rentabilidad real = Tasa de rentabilidad financiera – Inflación
En ocasiones su cálculo también se puede plantear de la siguiente manera:
Inversión de 100 que permite alcanzar una cifra de 105, si bien a dicho valor, en términos de
poder adquisitivo, se le debe aplicar un deflactor del 8%, de forma que el resultado será:
De forma que, en este caso, la rentabilidad real sería del –2,78%.
En este ejemplo la fórmula utilizada es:
Ejemplo 11
Cálculo de rentabilidad real
Un inversor compró un Pagaré de Empresa (cupón cero) con rentabilidad financiera anual
implícita del 4’5%, motivo por el cual pagó 956,94 euros para que al vencimiento al cabo de
un año le abonaran 1.000 €. La inflación del año de la inversión en el Pagaré de Empresa ha
sido del 3%.
¿Cuál ha sido la rentabilidad real de esta operación?
Mediante el uso de la diferencia entre rentabilidad financiera e inflación se obtiene que la
rentabilidad real ha sido 4,5% – 3% = 1,5%
Si bien se puede empelar la fórmula alternativa, de manera que la rentabilidad real sería
igual a:
(1,045 / 1,03) – 1 = 1,456%
4.7. Rentabilidad financiero-fiscal
Este concepto plantea ciertas controversias entre lo que sería su descripción meramente
gramatical y lo que la práctica habitual ha llevado a considerar.
Gramaticalmente, rentabilidad financiero-fiscal debiera ser aquella que incorpora todos los
aspectos positivos y negativos de la rentabilidad financiera (normalmente intereses y posibles
diferenciales de precio) más todos los aspectos positivos y negativos de la tributación, de forma
que incluso se podría denominar a este concepto rentabilidad financiero-fiscal neta.
No obstante, hace algo más de una década, y como consecuencia de la emisión de obligaciones
fiscalmente bonificadas (retención efectiva del 1,2% y deducción en la declaración del IRPF por
el 24%), se llevó a cabo una serie de acciones publicitarias que, toleradas por los diferentes
organismos supervisores, ofrecían una información en la que se denominaba rentabilidad
financiero-fiscal no a la rentabilidad financiero-fiscal neta anteriormente descrita, sino a una
elucubración que podría definirse de la siguiente manera para bonos fiscalmente bonificados
emitidos y amortizados a la par:
Rentabilidad financiera fiscal es aquella que debiera pagar, en términos de cupón, un
producto financiero sin bonificaciones fiscales para igualar la rentabilidad financiera fiscal
neta de un bono con bonificaciones fiscales.
Ejemplo 12
Cálculo de rentabilidad financiero-fiscal de una obligación fiscalmente bonificada
La compañía concesionaria de autopistas CUBPEO, S.A. (Carril Único Bloqueado
Permanentemente En Obras, Sociedad Anónima) emite obligaciones fiscalmente bonificadas
(retención 1,2% y deducción en IRPF 24%).
La emisión se emite y amortiza a la par, por un plazo de 10 años y el cupón es anual del
4%.
La rentabilidad financiero-fiscal para un contribuyente con tipo marginal del 45% es del
5,658%
Justifique la respuesta de forma resumida:
Solución
Flujos que genera la obligación bonificada
 
Cobro de cupón bruto: 4,00%
Retención del 1,2%: –0,048%
Bonificación del 24%: 0,960%
Tributación al 45%: –1,80%
Total 3,112%
 
Se debiera considerar el efecto financiero de que dichos cobros y pagos se produzcan en
momentos diferentes, si bien a efectos de simplificación se han unificado las fechas por
considerar que, a su vez, la incidencia numérica es mínima y la resolución compleja, al no
tener fechas concretas y darse casuísticas de declaraciones positivas a pagar o negativas a
devolver.
Flujos que genera la obligación no bonificada
 
Cobro de cupón bruto: X, XX%
Retención del 15%: –15% de X, XX%
Devolución retención del 15%: +15% de X, XX%
Tributación al 45%: –45% de X, XX%
Total 3,112%
 
Donde 3,112% es igual a 0,55 de X, XXX, de lo que se deduce que X, XXX% es igual a
5,658%, yéste es el montante de cupón que deberá pagar la obligación no bonificada para
igualar la rentabilidad financiero-fiscal neta de la obligación fiscalmente bonificada que
paga un cupón del 4%.
Tras la lectura de este capítulo, debe haber quedado claro:
1. La rentabilidad indica la variación que experimenta el valor de un activo durante un
período de tiempo. Normalmente se expresa en tanto por ciento y el período suele ser
anual. Puede ser positiva o negativa.
2. Hay distintas formas de expresar la rentabilidad. Puede ser simple (tiene en cuenta los
gastos de la compra y venta, pero todo el beneficio se produce al final de la operación),
puede ser la TIR (teniendo en cuenta el momento en que se producen los cash flows,
positivos y negativos, es la tasa resultante de igualar cobros y pagos), puede ser efectiva o
TRE (si se produce alguna reinversión de un cobro) o bien TAE.
3. La TAE es una TIR anualizada.
4.8. Ejercicios a resolver
1. Una entidad financiera lanza un depósito trimestral al 5% TAE, siendo la máxima
aportación de 6.000 euros. Se trata de un depósito vinculado a una cuenta corriente, donde
se abonan los intereses y el capital al vencimiento de la operación. Se pregunta:
a) Cuál es el tipo de interés nominal del depósito
b) Qué cantidad se abonará si la cantidad ingresada es de 3.000 €
2. Depósito a 18 meses. Supongamos que se realiza un depósito de 10.000 euros y se desea el
abono mensual de intereses. Si el tipo de interés nominal es de 1,75%, se pide:
a) TAE de la operación
b) Cálculo del abono mensual de intereses
3. Una entidad financiera le asegura el 41% del capital invertido en 11 años y medio. Se pide
calcular la TAE de esta operación.
4. Una entidad financiera presenta la siguiente oferta:
– Tipo de interés que aplica al descuento de efectos del 7% nominal anual
– La comisión es del 0,25%
– El valor nominal de la letra es de 5.000 euros y el vencimiento de la misma es a 90 días
Se pide:
a) Calcular el efectivo que recibe el cliente
b) Calcular la TAE de la siguiente operación
5. Una tienda de electrodomésticos realiza la siguiente oferta. «Llévese este fantástico
frigorífico de 3.000 € hoy y páguelo en 5 mensualidades de 610,25 €».
Calcular la TAE de la operación
 
3. Conviene recordar que en los cálculos financieros las tasas en tanto por ciento se utilizan en tanto por uno; así, por ejemplo, un
10% se incluirá en la fórmula como 0,10.
Capítulo 5
Rentas financieras
Tras la lectura de este tema, debe quedar claro:
1. Qué es una renta financiera.
2. La diferencia entre distintas rentas financieras que se dan en la realidad.
3. Cómo se valora una renta financiera: Valor inicial y valor final.
4. La valoración de una renta modelo.
5.1. Definición
Una renta financiera es un conjunto de capitales financieros equidistantes en el tiempo. El
concepto exige:
– La existencia de varios capitales financieros en distintos momentos del tiempo (Cj, tj).
– Que los vencimientos sean equidistantes, es decir, que los capitales venzan cada año, cada
trimestre, cada mes, pero siempre con la misma periodicidad.
5.2. Ejemplos de rentas financieras
En la vida práctica aparecen diferentes casos de rentas, por ejemplo:
a) Alquiler de un piso. En esta renta el pago se realiza al principio de cada mes.
b) Se concede un préstamo para comprar una casa y se tienen que pagar 889,50 € cada mes
durante 20 años.
c) Una empresa contrata a un trabajador con un sueldo de 3.600 € al trimestre. La
representación gráfica será:
5.3. Valoración de las rentas
El problema fundamental en las rentas consiste en determinar el capital financiero equivalente
en un momento determinado (C, t) de un conjunto de capitales financieros según un régimen
financiero definido.
Normalmente se desea valorar en dos momentos:
a) Momento inicial: se trasladan todos los términos de la renta al momento inicial (o cero). Es
decir, se tiene que actualizar cada término y a continuación sumarlos. La suma de todos los
términos de la renta actualizados se denomina valor actual de la renta (V0).
b) Momento final: se trasladan todos los términos de la renta al momento final (o momento n).
Es decir, se capitaliza cada término y luego se suman. Dicha suma de todos los términos de
la renta capitalizada se denomina valor final de la renta (Vf).
5.4. Valoración de la renta modelo
En primer lugar se realizará la siguiente clasificación de las rentas:
La renta modelo tiene las siguientes características: es constante, anual, vencida, inmediata,
temporal y valorada a interés compuesto.
Si se hiciera una representación gráfica sería:
donde: X1 = X2 = Xn–1 = Xn = X
a) Su valor actual V0
V0 = X (1+Im)–1 + X (1+Im)–2+ ... +X (1+Im)–n
V0 = X [(1+Im)–1 + (1+Im)–2+ ... + (1+Im)–n]
Lo que está dentro del paréntesis corresponde a una suma de términos de una progresión
geométrica decreciente, de tal manera que se puede expresar como:
b) Su valor final Vf
 El valor final se obtendría multiplicando el V0 por (1+Im)n
 Vf = V0 · (1+Im)n
NOTA IMPORTANTE: Si la renta es anticipada se debe multiplicar la renta modelo por
(1+Im). Ya que cada término Xn produce un interés de Im.
Va = V0 (1+Im)
Siendo Va el valor actual de una renta anticipada y V0 el valor actual de una renta vencida
(renta modelo).
Si la renta es diferida, se tiene que dividir por (1+Im)d (siendo «d» el número de períodos de
diferimiento).
Vd = V0 / (1+Im)d
Siendo Vd el valor actual de una renta diferida y V0 el valor actual de una renta vencida (renta
modelo).
Ejemplo 1
Calcular el valor actual de una renta anual constante, de 4 términos de 5.000 u.m. cada
uno y valorada al 6% de interés compuesto anual.
El problema se podría resolver actualizando cada capital y efectuando la suma de cada
valor actualizado.
Así:
V0 = 5.000 (1,06)–1 + 5.000 (1,06)–2 + 5.000 (1,06)–3 + 5.000 (1,06)–4
V0 = 17.325,53 u.m.
También se puede calcular con la fórmula de las rentas:
Ejemplo 2
Averiguar el capital final que se obtendría haciendo 15 imposiciones anuales constantes
de 6.000 € en una institución financiera que capitaliza al 7% anual compuesto, si la renta es
inmediata y anticipada.
Gráficamente:
Si se capitaliza toda la renta y se valora en un momento final, se obtiene un valor de:
Como se puede observar, el hecho de que sea una renta financiera con términos
anticipados obliga a multiplicar el valor final de la renta modelo por (1+I1) un período (en el
ejemplo por 1,07), ya que si hubiera sido una renta con términos vencidos el valor final de la
renta hubiera sido de 150.774,13 €.
Tras la lectura de este capítulo, debe haber quedado claro:
1. En el cálculo financiero una renta es una sucesión de capitales, con vencimientos
periódicos, que tienen alguna relación entre sí.
2. En las rentas se distinguen distintos conceptos: fechas de constitución (momento en que se
origina la obligación de pagar o el derecho a cobrar la renta), fecha de devengo (momento
a partir del cual se genera la obligación de pago o el derecho de cobro), fecha de cobro o
pago (momento en que se cobra o paga cada uno de los capitales periódicos), fecha de
finalización (momento en que acaba la obligación de pagar o el derecho a cobrar), la
duración (tiempo que media entre la constitución y la finalización) y el término (importe
de cada uno de los capitales periódicos).
3. El problema financiero más habitual es la suma de todos sus términos en un momento
dado. Lo normal es calcular su valor inicial (actualizando los capitales financieros) o su
valor final (capitalizando los capitales financieros). La renta modelo es una renta
constante, temporal, vencida, inmediata. Por ejemplo, un Bono del Estado emitido con tres
años para vencimiento y pago de cupones anuales.
4. El valor inicial y final de una renta prepagable o anticipada son superiores al de una renta
pospagable o vencida, puesto que todos los términos generan intereses durante un período
más. En el caso de una renta diferida, respecto a la renta modelo, únicamente hay que
descontar los períodos de