Apuntes de teórico de Nivelación Práctico 2

Vista previa del material en texto

Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 1 
Tema 3. Números fraccionarios 
 
Definición y nociones básicas 
 
En el tema anterior, nos habíamos referido a las fracciones, o números fraccionarios, como 
aquellos números obtenidos mediante el cociente o división de dos números enteros. De 
hecho, los números enteros también pueden ser considerados fracciones en las cuales el 
denominador es igual a 1. En este tema, repasaremos las operaciones que admiten los 
números fraccionarios, y el procedimiento para calcularlas, aspectos que a menudo generan 
dudas a los estudiantes. Comenzaremos con algunas definiciones básicas. 
 
Podemos definir a las fracciones como el cociente no efectuado entre dos números enteros. 
En términos más matemáticos: dados a, b  , con b  0, definimos la fracción que 
representa la operación “a dividido b” como: 
 
b
a
 
 
En la expresión anterior, al número a se le llama numerador y al número b se le llama 
denominador. El requisito de que el denominador b sea distinto de 0 se explica por la no 
existencia de la operación cuando el divisor es nulo, es decir, no existe la división entre 0. 
 
Existe más de un criterio para clasificar fracciones. Aquí solamente mencionaremos la 
clasificación en fracciones propias e impropias, dado que luego en el curso de Análisis I (Mat 
01) se manejaran nociones relacionadas. 
 
Las fracciones propias son aquellas en las cuales el numerador es un número menor que el 
denominador y por lo tanto el valor de la fracción se encuentra entre 0 y 1 (si la fracción es 
positiva) o entre –1 y 0 (si la fracción es negativa). Mientras tanto, las fracciones impropias 
son aquellas en las que el numerador es un número mayor que el denominador y entonces van 
a ser siempre mayores que 1 (si la fracción es positiva) o menores que –1 (si la fracción es 
negativa). 
 
Cuando el numerador y el denominador de una fracción son números primos
1
 entre sí (o co-
primos) es decir, no admiten otros divisores en común que 1 y –1, la fracción se denomina 
irreducible. De lo contrario, la fracción se llama reducible y por lo tanto, puede ser 
simplificada a una fracción irreducible. En este último caso, la fracción reducible de la que se 
parte y la fracción irreducible que se obtiene, poseen el mismo valor, aunque se escriban de 
distinta manera, y se denominan fracciones equivalentes. 
 
Para simplificar una fracción, lo que se hace es encontrar el máximo común divisor (m.c.d.)
2
 
del numerador y el denominador (procedimiento que se detalla al final del tema) y luego 
dividir ambos entre ese divisor en común. 
 
 
1
 Un número natural a es primo si admite como divisor a sí mismo y a la unidad. La noción puede extenderse a 
los números enteros, en cuyo caso hay que considerar como divisores también a los respectivos opuestos 
(–a y –1). 
2
 El máximo común divisor entre dos o más números enteros es el mayor número entero que los divide sin dejar 
resto. 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 2 
Ejemplo: Sean las fracciones 
3
1
 y 
9
3
 
Dado que 1 y 3 no admiten otros divisores en común que 1 y –1, decimos que 
3
1
 es una 
fracción irreducible. Mientras tanto, 3 y 9 admiten a 3 y –3 como divisores en común, además 
de 1 y –1. Por lo tanto, 
9
3
 es una fracción reducible. Para simplificar la fracción 
9
3
, podemos 
dividir al numerador y denominador de la misma entre 3 o –3. Dividiendo 3 y 9 entre 3, 
obtenemos 1 y 3, respectivamente. Por lo tanto, la fracción irreducible equivalente a 
9
3
 es 
3
1
. 
Al mismo resultado hubiésemos llegado al dividir a 3 y 9 entre –3. En efecto, obtendríamos 
–1 y –3, respectivamente, cuyo cociente es: 
3
1


 = 
3
1
 
 
Como el estudiante ya sabe, la igualdad anterior surge de aplicar la regla de signos de la 
multiplicación (recordar que la división es un caso particular) que establece: 
 
(+) . (+) = + 
(+) . (–) = – 
(–) . (+) = – 
(–) . (–) = + 
 
En conclusión, las dos fracciones de partida del ejemplo resultaron ser fracciones 
equivalentes y representan al mismo número racional. 
 
Comparación entre fracciones 
 
Dadas dos fracciones, para determinar cuál de ambas es la mayor (o menor), debemos realizar 
el siguiente procedimiento: 
 
1) Si ambas fracciones poseen el mismo denominador, la fracción mayor resultará ser la 
que posee el mayor numerador 
2) Si ambas fracciones tienen el mismo numerador, la fracción mayor resultará ser la que 
posee menor denominador 
3) Si ambas fracciones poseen distintos numeradores y denominadores, el procedimiento 
usual es obtener fracciones equivalentes que puedan compararse, reduciendo el 
problema al caso 1) 
 
En la resolución del caso 3), debe hallarse el común denominador de ambas fracciones. 
 
Ejemplo: 
 
Queremos determinar que fracción es más grande: 
5
3
 ó 
7
4
 
 
Para hallar un común denominador entre las dos fracciones, hay más de un procedimiento. El 
más sencillo, aunque no siempre resulta ser el más práctico, es simplemente multiplicar los 
denominadores de las fracciones involucradas. El inconveniente que tiene esta opción es que 
muchas veces no se obtiene el común denominador más pequeño y entonces se trabaja con 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 3 
números más grandes sin necesidad. La forma de obtener el menor común denominador entre 
dos fracciones es calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m)
3
 entre los denominadores de 
partida. 
 
En este ejemplo, como los denominadores de las fracciones son primos entre sí, el mínimo 
común múltiplo se obtiene simplemente multiplicando ambos números. Cuando esto no 
ocurre, entonces debe aplicarse el procedimiento general para calcular el mínimo común 
múltiplo, descrito al final de este tema. 
 
Tenemos entonces que el común denominador es 35. A continuación, lo que se hace es 
asignar 35 como denominador de ambas fracciones. Ahora bien, en la primera fracción, esto 
supone multiplicar al denominador original, 5, por 7, mientras que en la segunda, supone 
multiplicar al denominador original, 7, por 5. Entonces, para preservar la equivalencia (de 
hecho lo que se hace es obtener una fracción equivalente para cada una de las fracciones de 
partida), se multiplica el numerador de cada fracción, por el factor correspondiente. 
 
Haciendo cuentas: 
 
7.5
7.3
=
35
21
 y 
35
20
5.7
5.4
 
 
Ahora, con las dos fracciones equivalentes obtenidas, es fácil saber cuál es la más grande 
puesto que el problema se reduce al caso 1) arriba enumerado (fracciones con el mismo 
denominador). Está claro que 
35
21
>
35
20
. 
 
Por lo tanto, la respuesta que buscamos es: 
5
3
>
7
4
 
 
Operaciones 
 
Las operaciones básicas que pueden realizarse con fracciones son las mismas que las de los 
números enteros, es decir: adición, sustracción, multiplicación y división. Veamos ahora el 
procedimiento para realizar cada una de estas operaciones. 
 
Adición/Sustracción 
 
Para realizar sumas y restas con fracciones, se tienen en cuenta consideraciones similares a 
las vistas para comparar fracciones. En efecto, vamos a distinguir dos casos: 
 
1) Las fracciones poseen el mismo denominador 
 
El resultado de la suma/resta se obtiene de sumar/restar los numeradores de las fracciones en 
cuestión, conservando el mismo denominador 
 
 
3
 El mínimo común múltiplo entre dos o más números enteros es el menor número entero que es múltiplo de 
todos ellos. 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 4 
Ejemplo: 
 
Calcular: 
5
1
+
5
6
 
 
5
1
+
5
6
=
5
61
=
5
7
 
 
2) Lasfracciones poseen distinto denominador 
 
Los pasos a seguir son los siguientes: 
 
1) Se calcula un común denominador de ambas fracciones, el cual puede ser el mínimo 
común múltiplo entre los denominadores involucrados, u otro denominador común mayor. 
Este común denominador será el denominador de la fracción suma/resta resultante. 
 
2) Para cada fracción, se divide el común denominador del paso anterior entre el 
denominador de la fracción y el resultado se multiplica por el numerador de la fracción. 
 
3) Los resultados obtenidos para cada fracción en el paso anterior, se suman/restan para dar el 
numerador de la fracción resultado. En caso de ser necesario, la fracción resultado de la 
suma/resta puede simplificarse hasta obtener una fracción irreducible. 
 
Ejemplo: 
 
Calcular: 
8
3
–
3
4
 
 
Debemos calcular el común denominador entre ambas fracciones. Dado que 3 y 8 son primos 
entre sí, el mínimo común múltiplo es el producto de dichos números, 24, y ese será nuestro 
menor denominador común. 
 
El resto del procedimiento es el siguiente: 
 
8
3
–
3
4
= 

24
4.83.3
24
23
= –
24
23
 
 
El resultado obtenido ya es una fracción irreducible. 
 
¿Cómo proceder cuando queremos sumar una fracción y un número entero? 
 
Veamos el siguiente ejemplo. 
 
Ejemplo: 
 
Calcular: 
5
1
+ 4 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 5 
Como ya sabemos, un número entero puede considerarse como un número fraccionario con 
denominador igual a 1. Por lo tanto, la suma a resolver se puede escribir como: 
 
5
1
+
1
4
 
 
De esta forma, queda explícito que nos encontramos en el caso en donde las dos fracciones a 
sumar poseen distintos denominadores. Hay que hallar, entonces, un común denominador. Ya 
vimos que cuando los denominadores eran números primos entre sí, el común denominador 
más pequeño se halla multiplicando ambos denominadores. Para este ejemplo, el mínimo 
común múltiplo es 5. Con este resultado, podemos terminar de resolver el problema de forma 
exactamente análoga al ejemplo anterior: 
 
5
1
+
1
4
=
5
201
=
5
21
 
 
Se obtiene nuevamente una fracción irreducible. 
 
Multiplicación 
 
Para multiplicar dos fracciones cualesquiera, simplemente multiplicamos los numeradores y 
los denominadores de ambas fracciones entre sí. El numerador del resultado será el producto 
de los numeradores y el denominador del resultado será el producto de los denominadores. 
En caso de no obtener una fracción irreducible, se aplica el procedimiento de simplificación. 
 
Ejemplo: 
 
Calcular: 
6
5
.
2
3
 
 
6
5
.
2
3
=
12
15
=
4
5
 
 
4
5
 es entonces la fracción resultado irreducible, que surge de dividir cada componente de la 
fracción entre 3. 
 
División 
 
Para dividir dos fracciones cualesquiera, se transforma la operación en una multiplicación, de 
forma que se multiplica la primera fracción por la fracción inversa de la segunda fracción. La 
fracción inversa se obtiene intercambiando numerador y denominador de lugar. 
 
Ejemplo: 
 
Calcular: 
6
5
:
7
4
 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 6 
6
5
:
7
4
=
6
5
.
4
7
=
24
35
 
 
En ocasiones, cuando se dividen fracciones, la división se representa como una gran fracción 
en donde, tanto el numerador como el denominador, son a su vez fracciones. Esto muchas 
veces genera confusión a la hora de resolver la operación. Veamos un ejemplo. 
 
Ejemplo: 
 
4/3
3/1
 
 
Esta división la podríamos haber expresado también como: 
 
3
1
:
4
3
 
 
Aplicando la definición de división de fracciones, debemos de multiplicar el numerador de la 
fracción por el inverso del denominador, lo que nos queda: 
 
4/3
3/1
=
3
1
.
3
4
=
9
4
 
 
A continuación, se van a recopilar las propiedades que se han visto, junto a algunas más, de 
manera que el estudiante las pueda consultar rápidamente. 
 
Resumen de propiedades de fracciones 
 
Sean a, b, c, d  / b  0 y d  0 
 
1) 
b
a
=
d
c
  a.d = b.c 
 
2) 
cb
ca
.
.
=
b
a
, c  0 
 
3) 
b
a
+
b
c
=
b
ca 
 
 
4) 
b
a
+
d
c
=
db
cbda
.
.. 
 
 
5) 
b
a
.
d
c
=
db
ca
.
.
=
d
a
.
b
c
 
 
6) 
b
a
:
d
c
=
cb
da
.
.
, c  0 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 7 
La segunda igualdad que establece la propiedad 5) permite simplificar las fracciones que 
participan en un producto antes de realizar la operación, y así evitar el paso de simplificación 
luego de realizar la multiplicación. 
 
Ejemplo: 
 
Calcular: 
4
7
.
3
2
 
 
Aplicando la propiedad 5) de fracciones, el producto lo podemos escribir así: 
 
4
7
.
3
2
=
3
7
.
4
2
 
 
La fracción 
4
2
 es reducible a 
2
1
 al dividir numerador y denominador por 2. Sustituyendo en 
la igualdad del paso anterior y haciendo cuentas: 
 
3
7
.
2
1
=
6
7
 
 
Como anticipamos, llegamos a un resultado que ya es irreducible. 
 
Es importante llamar la atención sobre un error sumamente frecuente que es creer que al 
sumar el mismo número al numerador y denominador de una fracción, se mantiene la 
proporcionalidad (se obtiene una fracción equivalente) como sí ocurre cuando en vez de esto, 
se multiplican numerador y denominador por el mismo factor (propiedad 2 de la página 
anterior)): 
 
cb
ca



b
a
 
 
Ejemplo: 
 
Sea la fracción 
2
1
. Si sumamos el número 3 al numerador y denominador y operamos, 
obtenemos: 
 
2
1
=
32
31


=
5
4
 
 
Puesto que 
2
1
 y 
5
4
 son fracciones irreducibles y distintas, está claro que no obtenemos el 
mismo resultado. 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 8 
Otro error común es pretender aplicar la propiedad 3) de fracciones pero operando en el 
denominador en vez del numerador, mediante la separación de términos. Algebraicamente: 
 
c
a
b
a
cb
a


 
 
Ejemplo: 
 
Sea la fracción 
5
1
. Descomponiendo el denominador, podemos expresarla, por ejemplo, 
como: 
 
5
1
=
32
1

 
 
Si intentáramos separar la última fracción en la suma de dos fracciones distintas, y el 
resultado no cambiara, tendríamos que: 
 
5
1
=
2
1
+
3
1
 
 
Para comprobar que esto es falso, hagamos la suma 
2
1
+
3
1
: 
 
2
1
+
3
1
=
6
23
=
6
5
 
 
Claramente, 
5
1
 y 
6
5
 son fracciones irreducibles y distintas. 
 
Cálculo de mínimo común múltiplo 
 
Como se estableció en secciones anteriores, el m.c.m es muy útil para determinar el menor 
común denominador entre dos o más fracciones. El procedimiento para calcular el m.c.m. se 
basa en lo que se denomina descomposición en factores primos de los números de partida. La 
descomposición de un número en factores primos consiste en expresar dicho número como el 
producto de números que son todos primos. 
 
Ejemplo: 
 
Encontrar el m.c.m de los números 50 y 72. 
 
El primer paso es descomponer en factores primos ambos números. Para esto, lo que hacemos 
es dividir sucesivamente el número entre los factores primos que admita. 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 9 
Así, para 50 tenemos: 
 
50 2 
25 5 
5 5 
1 1 
 
 
Y para 72: 
 
72 2 
36 2 
18 2 
9 3 
3 3 
1 1 
 
En ambos casos, el primer renglón de la descomposición posee el número a dividir a la 
izquierda y el factor divisor elegido a la derecha. En el segundo renglón y posteriores, el 
resultado de la división del renglón anterior se ubica a la izquierda y se repite la operación 
con el factor que se ubica a la derecha. 
 
El m.c.m se obtiene multiplicando todos los factores, comunes y no comunes, encontrados en 
la descomposición de ambos números. En el casode los factores comunes, sólo se tendrá en 
cuenta la mayor cantidad de veces en las que el factor aparece en los números estudiados. En 
el ejemplo, el único factor común es el 2, que aparece una sola vez como factor de 50 y tres 
veces como factor de 72 por lo que en el cálculo del m.c.m., este factor se repetirá tres veces: 
 
5.5.1.2.2.2.3.3.1 = 1800 
 
Notar que si 50 y 72 fueran los denominadores de dos fracciones, el m.c.m nos estaría 
indicando el menor común denominador entre ambos denominadores. Si en vez de calcular el 
m.c.m, hubiésemos simplemente multiplicado ambos números, habríamos obtenido 3600 
como común denominador y no 1800, ergo, habríamos obtenido un denominador común que 
no es el menor posible. Como se dijo antes, ambos procedimientos son válidos. 
 
Cálculo de máximo común divisor 
 
Una utilidad importante del m.c.d es la simplificación de fracciones. Para calcular el m.c.d. se 
sigue un procedimiento casi idéntico que el visto para el cálculo del m.c.m. Es decir, en 
primer término se obtiene la descomposición en factores primos de los números deseados. 
Luego, la diferencia es que se consideran solamente los factores comunes entre los números y 
además, se tendrá en cuenta la menor cantidad de veces que el factor aparece en los números 
estudiados. 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 10 
Ejemplo: 
 
Encontrar el m.c.d. de los números 48 y 60 
 
48 2 60 2 
24 2 30 2 
12 2 15 3 
6 2 5 5 
3 3 1 1 
1 1 
 
 
En este ejemplo, tenemos como factores comunes a 1, 2 y 3. 1 aparece como factor la misma 
cantidad de veces en ambos números. La menor cantidad de veces que aparece 2 como factor 
común es 2 (en la descomposición de 60) mientras que la menor cantidad de veces que 
aparece 3 como factor es 1 (en ambas descomposiciones). Por lo tanto, el m.c.d. se obtiene 
multiplicando: 
 
2.2.3 = 12 
 
Notar que si 48 y 60 formaran una fracción, por ejemplo 
60
48
, el m.c.d. nos indica el factor 
(12) por el cual debemos dividir al numerador y denominador para obtener la fracción 
equivalente irreducible, y así simplificar la fracción de partida. Haciendo esto, llegamos a que 
la fracción irreducible equivalente es 
5
4
. 
 
En realidad, muchas veces la simplificación de fracciones se halla directamente trabajando 
con la fracción de partida, dividendo simultáneamente numerador y denominador por el 
mismo factor, de manera sucesiva, en vez de hacer la descomposición en números primos 
explícita. En este caso, haríamos por ejemplo: 
 
60
48
=
30
24
=
15
12
=
5
4
 
 
Es evidente que este procedimiento toma menos tiempo que aplicar la definición de m.c.d. 
aunque el inconveniente es que, en realidad, no estamos calculándolo si lo necesitáramos 
conocer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 11 
Tema 4. Potencias 
 
Es frecuente en Matemática que queramos multiplicar un número por sí mismo varias veces. 
Para esto, en principio lo que hay que hacer es indicar el producto, factor a factor. Si la 
cantidad de veces a multiplicar el número no es grande, pongamos 2 o 3, esto se hace 
rápidamente. Pero cuando son muchas las repeticiones, expresar este tipo de operaciones 
resulta bastante tedioso y poco práctico. Una notación más simple para expresar el producto 
múltiple de un mismo factor (número) es lo que se conoce como potencia de un número. La 
potencia, entonces, va a permitir escribir de forma abreviada el producto formado por varios 
factores iguales. 
 
La potencia se compone de dos elementos: 
 
a) la base a, que es la que indica el valor del factor a multiplicar 
b) el exponente n que es el que indica cuántas veces se multiplica el factor por sí mismo 
 
Notación: a
n 
 
La base a puede ser cualquier número real, es decir natural, entero, racional o irracional. En 
este curso, trabajaremos con bases naturales, enteras y fraccionarias. En tanto, el exponente n, 
podrá ser natural, entero o incluso fraccionario o irracional. En esta sección nos referiremos a 
exponentes enteros, dejando el caso fraccionario para cuando se trate la operación de 
radicación. 
 
Ejemplo: 
 
Calcular: 2
4
 
 
La expresión anterior se lee “2 elevado a la 4”. Para resolver la operación, basta con 
multiplicar el número 2 por sí mismo cuatro veces: 
 
2
4
 = 2.2.2.2 = 16 
 
Operaciones con potencias 
 
Las potencias, siendo números reales, admiten las operaciones ya vistas en secciones 
anteriores: suma/resta, multiplicación, división. También se puede realizar la operación 
denominada “potencia de potencia”. Repasemos a continuación la forma de operar cuando 
tenemos potencias y algunas propiedades útiles que simplifican el cálculo. 
 
Suma/Resta 
 
En el caso de la suma y resta de potencias, la única manera de realizar las operaciones es 
primeramente resolviendo las potencias a sumar/restar y luego de esto, la suma o resta se 
realiza como para cualquier número real. La única excepción es cuando las potencias a 
sumar/restar tengan bases y exponentes iguales en cuyo caso pueden agruparse en un único 
término de potencia. 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 12 
Ejemplo: 
 
a) 3.2
4
 – 5.2
4
 + 6.2
4
 = (3 – 5 + 6).2
4
 = 4.2
4
 = 4.2.2.2.2 = 64 
 
b) 2
3
 + 2
5
 = 2.2.2 + 2.2.2.2.2 = 8 + 32 = 40 
 
Multiplicación 
 
Aquí debemos distinguir tres casos distintos: 
 
a) Las potencias no tienen ni igual base ni igual exponente. En esta situación, la operación, en 
principio, se resuelve de manera análoga a la vista para la suma/resta, es decir, primero se 
resuelven las potencias que conforman el producto, y luego se calcula el producto como para 
cualquier conjunto de números reales. 
 
Ejemplo: 
 
2
4
.3
6
 = 2.2.2.2  3.3.3.3.3.3 = 16  729 = 11664 
 
b) Las potencias tienen igual base. En este caso no, es necesario resolver las potencias 
involucradas antes de realizar el producto puesto que el resultado será otra potencia con la 
misma base de las potencias de partida y el exponente será igual a la suma de los exponentes 
de las potencias de partida. 
 
Ejemplo: 
 
4
2
.4
3
 = 4
2+3
 = 4
5
 = 1024 
 
c) Las potencias tienen igual exponente. Como en el caso b), tampoco es necesario resolver 
las potencias involucradas antes de realizar el producto. El resultado será otra potencia con el 
mismo exponente que el exponente de las potencias de partida y la base será el producto de 
las bases de las potencias de partida. 
 
Ejemplo: 
 
5
2
.7
2
 = (5.7)
2
 = 35
2 
= 1225 
 
División 
 
Como acontecía en el caso de la multiplicación, aquí también debemos distinguir tres 
situaciones: 
 
a) Las potencias no tienen ni igual base ni igual exponente. En esta situación, la operación se 
resuelve de manera análoga a la vista para la suma/resta y la multiplicación, es decir, primero 
se resuelven las potencias que conforman la división, y luego se calcula la división como para 
cualquier par de números reales. 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 13 
Ejemplo: 
 
2
4
 : 3
6
 = 16 : 729 = 
729
16
 
Nota: la división también la podemos expresar como: 
6
4
3
2
 
 
b) Las potencias tienen igual base. En este caso, no es necesario resolver las potencias 
involucradas antes de realizar el cociente puesto que el resultado será otra potencia con la 
misma base de las potencias de partida y el exponente será igual a la resta de los exponentes 
de las potencias de partida. 
 
Ejemplo: 
 
4
4
 : 4
2
 = 4
4–2
 = 4
2
 = 16 
 
c) Las potencias tienen igual exponente. Como en el caso b), tampoco es necesario resolver 
las potencias involucradas antes de realizar la división. El resultado seráotra potencia con el 
mismo exponente que el exponente de las potencias de partida y la base será el cociente de 
las bases de las potencias de partida. 
 
Ejemplo: 
 
4
3
 : 2
3
 = (4 : 2)
3 
= 2
3
 = 8 
 
Potencia de una potencia 
 
¿Qué ocurre cuando se desea aplicar una potencia a un número que ya es una potencia? 
Tenemos lo que se denomina potencia de una potencia o potencia de potencia. Esta operación 
se va a calcular conservando la base de la potencia de partida y multiplicando los dos 
exponentes (el exponente de la potencia original y el exponente al cual se eleva dicha 
potencia). Este resultado surge de aplicar las dos operaciones de potencia de manera sucesiva. 
 
Ejemplo: 
 
(5
3
)
2
 = (5.5.5)
2 
= (5.5.5) (5.5.5) = 5
6
 = 15625 
 
Potencia de un producto y de un cociente 
 
Cuando elevamos a un determinado exponente un producto de dos o más números, el 
resultado es igual al producto de dichos números previamente elevados al mismo exponente. 
 
Ejemplo: 
 
(3.4)
2 
 = 3
2
.4
2
 = 144 
 
Análogamente, cuando elevamos a un determinado exponente un cociente de dos números, el 
resultado es igual al cociente de dichos números previamente elevados al mismo exponente. 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 14 
Ejemplo: 
 
2
4
3






= 
2
2
4
3
 = 
16
9
 
 
En realidad, estos resultados se deducen directamente del producto y del cociente de 
potencias con distinta base e igual exponente, respectivamente (casos c)) discutidos 
anteriormente para las operaciones de producto y de cociente. 
 
Es importante señalar que estas características vistas para producto y división de potencias no 
aplican al caso de la adición/sustracción de potencias. En efecto, la potencia de una suma o 
resta de dos números, no es igual a la suma o resta de las mismas potencias de dichos 
números. Esto resulta muy evidente al recordar la fórmula del cuadrado de un binomio: 
 
(a + b)
2
 = a
2
 + 2ab + b
2
 
 
Podemos generalizar que: 
 
(a  b)
n
  a
n
  b
n
 
 
Potencia de exponente negativo 
 
Cuando un número cualquiera se eleva a un exponente de signo negativo, la potencia se 
calcula como el inverso del número elevado al exponente positivo. Está claro entonces que la 
base de este tipo de potencias nunca puede ser el 0. 
 
Ejemplo: 
 
4
–3 
= 
3
4
1






= 
64
1
 
 
Esta propiedad es sencilla de deducir escribiendo el exponente negativo como un producto de 
factores y luego utilizando la operación de potencia de potencia y la definición de inverso: 
 
4
–3 
= 4
–1.3
 = (4
–1
)
3 
=
3
4
1






= 
64
1
 
 
Potencia de base negativa 
 
Cuando la base de la potencia es un número negativo, tendremos dos situaciones distintas 
según la paridad (par o impar) del exponente de la potencia. En efecto, cuando el exponente 
sea un número par, el resultado de la operación será idéntico al resultado de calcular la misma 
potencia pero con base positiva. Pero cuando el exponente sea un número impar, el resultado 
de la operación será el número opuesto al resultado de calcular la misma potencia con base 
positiva. 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 15 
Ejemplo: 
 
a) Calcular: (–5)
4 
 
Aplicando la definición de potencia y la regla de signos para el producto: 
 
(–5)
4 
= (–5).( –5).( –5).( –5) = 625 
 
Como se adelantó antes, el resultado es idéntico al de la potencia 5
4
. 
 
b) Calcular: (–2)
3
 
 
Aplicando la definición de potencia y la regla de signos para el producto: 
 
(–2)
3 
= (–2).( –2).( –2) = –8 
 
Ahora, el resultado es el opuesto al de calcular 2
3
. 
 
Potencia de exponente 0 
 
Puesto que no impusimos restricciones al valor del exponente de una potencia, bien puede 
este adoptar el valor 0. Es válido preguntarse aquí cuál es el resultado de dicha operación. 
Responderemos esta pregunta utilizando las nociones vistas anteriormente. 
 
Dada cualquier base elevada a un exponente igual a 0, siempre vamos a poder expresar al 
exponente como la resta de cualquier número n menos sí mismo. Esto equivale a plantear el 
cociente cuyo numerador y denominador son iguales a la base de partida, elevados al 
exponente n. Por lo tanto, el resultado será igual a 1. 
 
Ejemplo: 
 
Calcular: 5
0
 
 
Aplicando el razonamiento recién explicado, tenemos que, por ejemplo: 
 
5
0 
= 5
2–2
 = 5
2
.5
–2 
= 
2
2
5
5
= 
25
25
= 1 
 
Notar que el resultado será siempre el mismo con excepción de la base 0. ¿Por qué excluimos 
explícitamente al 0? Si aplicáramos el razonamiento anterior, llegaríamos a que 0
0
 = 
0
0
. 
Puesto que la división entre cero no puede efectuarse, no podemos resolver el cociente. Por 
este motivo, decimos que 0
0 
es indefinido. 
 
Vamos a listar ahora las propiedades más importantes de las potencias, de manera que al 
estudiante le sean más sencillas de consultar. 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 16 
Resumen de propiedades de potencias 
 
1) a
–n
 = 
na
1
, a  0 
 
2) a
0
 = 1, a  0 
 
3) b. a
n 
+c. a
n 
+
 
d. a
n 
= (b + c + d) a
n
 
 
4) a
m
.a
n
 = a
m+n 
 
5) a
m
.b
m
 = (a.b)
m 
6) a
m
 : a
n
 = 
n
m
a
a
= a
m–n 
7) a
m
 : b
m
 = 
m
m
b
a
= 
m
b
a






 
 
8) (a
m
)
n
 = a
m.n 
 
Simplificación de potencias 
 
Se nos pueden proponer ejercicios que involucren expresiones con distintas potencias de 
distintas bases y exponentes y a su vez sujetas a distintas operaciones. Lo que debe hacerse 
en ese caso es lo que se conoce como la simplificación de la expresión en potencias. Esto 
supone obtener una expresión más reducida en donde cada base distinta aparece solamente 
una vez y los exponentes de las potencias son todos positivos. 
 
Ejemplo: 
 
Simplificar: 
3102
63
2.3)2(
32
 
 
Podemos empezar, por ejemplo, agrupando las potencias de igual base en el numerador y 
denominador, aplicando la definición de potencia negativa y potencia de potencia: 
 
3102
63
2.3)2(
32
= 
3110.2
63
2.)
3
1
.(2
3.)
2
1
(

=
3320
61
2.2.2
33
 
 
Paso seguido, operamos con los productos de potencias en el numerador y denominador de la 
expresión para obtener el resultado deseado: 
 
3320
61
2.2.2
33
= 
3320
61
2
3


=
26
5
2
3
 
 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 17 
Tema 5. Radicación 
 
La radicación es una de las operaciones inversas de la potenciación. Consiste en buscar un 
número que multiplicado por sí mismo una determinada cantidad de veces, resulte otro 
número predeterminado. Siguiendo con la relación con la potenciación, en la radicación se 
provee del número total que se obtiene al realizar la potencia, y el exponente de esa potencia. 
Lo que se necesita es encontrar la base de la potencia. 
 
La operación de radicación involucra entonces dos números: el radicando (el total antes 
referido) y el índice (el exponente de la potencia respectiva). El índice es siempre un número 
natural, mientras que, en el caso general, el radicando puede ser cualquier número real. El 
resultado de la operación también puede arrojar cualquier número real. 
 
El símbolo que denota a la radicación es: y se le llama raíz. Dentro de la raíz (a la 
derecha) se escribe el radicando y por fuera (a la izquierda) el índice. 
 
Matemáticamente la equivalencia entre la radicación y la potenciación (o lo que es lo mismo, 
la definición de radicación) se expresa de la siguiente manera: 
 
n a = b  bn = a, con a, b  , n  
 
Ejemplo: 
 
Calcular: 5 32 
 
La expresión anterior se lee “raíz quinta de 32”. Para resolver la operación, se debe de hallar 
el número real que al ser elevado a la potenciade 5, arroja el número 32. En este caso, es 
fácil determinar que el resultado es 2. En efecto, 2
5
 = 2.2.2.2.2 = 32. 
 
En los casos particulares de las raíces de índices 2 y 3, nos referimos a raíz “cuadrada” y a 
raíz “cúbica”. Además, cuando se trata de una raíz cuadrada, generalmente se omite el índice, 
dando por sobrentendido que se trata de 2. 
 
Las raíces exactas son aquellas cuyo resultado es un número entero. En el caso que esto no 
ocurra (se obtenga una fracción o incluso un irracional) puede resultar muy difícil calcularlas 
mentalmente. Existe un algoritmo para calcular raíces de números enteros que es bastante 
engorroso y no lo veremos aquí. 
 
Si bien, en principio, el radicando puede ser cualquier número real, existe en realidad una 
restricción en el caso de raíces con índices pares (2, 4, 6, etc.). En efecto, como se vio en el 
tema de potencias, si multiplicamos cualquier número real (distinto de 0) por sí mismo una 
cantidad par de veces, el resultado siempre será un número positivo. Por lo tanto, las raíces de 
índice par de números negativos, no tendrán solución en el conjunto de los números reales (sí 
dentro de los números complejos, como veremos en el curso de Análisis 1 (Mat 01)). Este 
problema no se suscita en el caso de raíces con índice impar puesto que cualquier número 
negativo multiplicado por sí mismo una cantidad impar de veces, rendirá también un número 
negativo. 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 18 
Ejemplo: 
 
a) Calcular: 3 8 
 
Debemos encontrar un número que multiplicado por sí mismo tres veces, arroje –8. La 
solución es –2 dado que (–2)( –2)( –2) = –8 
 
b) Calcular: 2 25 
 
Ahora, el número a encontrar debería ser aquel que al ser multiplicado por sí mismo, arroje el 
resultado de –25. Los únicos candidatos que tenemos son 5 y –5. Pero rápidamente se 
observa que ninguno de ellos puede ser solución puesto que: 
 
5.5 = (–5).( –5) = 25 
 
Por otra parte, otro aspecto importante a tener en cuenta es que cuando tenemos que calcular 
raíces con índice par de números positivos. Veamos en el siguiente ejemplo que es lo que 
ocurre. 
 
Ejemplo: 
 
Calcular: 4 256 
 
Debemos encontrar un número cuya cuarta potencia rinda el número 256. No es difícil 
concluir que 4 cumple con la condición, puesto que: 4.4.4.4 = 256 
 
Pero –4 también cumple con la igualdad anterior: (–4).( –4).( –4).( –4) = 256 
 
Considerando que el resultado del radical tiene que ser siempre un solo número, ¿cuál es la 
solución aquí, el número positivo o el negativo? La respuesta es que el signo de la solución 
siempre corresponde al signo de la raíz. En este caso, puesto que el signo de la raíz es 
positivo: 
 
4 256 = 4 
 
En otras palabras, la solución de este tipo de raíces es siempre el valor absoluto del número 
que verifique la operación. El signo de la solución lo dará la propia raíz. 
 
Distinto sería el caso si tuviéramos que resolver un radical de estas características en una 
ecuación. En esa situación, sí vamos a admitir siempre como válidas la opción positiva y la 
negativa. Volveremos sobre esto más adelante en el curso, al tratar raíces de polinomios. 
 
Equivalencia entre radicación y potenciación con exponente fraccionario 
 
En el tema sobre potencias, se trabajó con exponentes enteros pero se adelantó que los 
exponentes también podían ser números fraccionarios. En el caso de exponentes 
fraccionarios, existe una equivalencia muy útil con la radicación. En concreto, decimos que la 
potencia de exponente fraccionario de una base dada, es igual a la raíz de la base (que será el 
radicando de la raíz) en donde el denominador de la potencia fraccionara obrará como índice 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 19 
de la raíz y el numerador actuará como exponente del radicando (la base de la potencia de 
partida). 
 
Ejemplo: 
 
a) Transformar en radical la potencia 4
2/5 
 
Aquí tenemos que la base de la potencia, que será el radicando de la raíz, es 4. El 
denominador del exponente fraccionario es 5, el cual será el índice del radical y el numerador 
del exponente fraccionario es 2, el cual se transformará en la potencia a la que quedará 
elevada la base original, dentro de la raíz. 
 
4
2/5
 = 
5 24 
 
b) Transformar en potencia el radical 3 7 
 
El radicando de la raíz, 7, será la base de la potencia fraccionaria equivalente. El índice del 
radical, 3, será el denominador de la potencia fraccionaria mientras que el exponente al que 
está elevado el radicando, 1 en este caso, será el numerador de la potencia fraccionaria. 
 
 3 7 = 71/3 
 
Una consecuencia muy importante de esta equivalencia es que siempre podemos transformar 
un radical en una potencia y luego aplicar todas las propiedades que se vieron anteriormente 
para las potencias. 
 
Resulta útil, igualmente, listar las propiedades de los radicales, tal como hicimos 
anteriormente con las potencias y las fracciones. 
 
Resumen de propiedades de raíces 
 
1) 
n na = (
 
| | 
 
 
2) b.
n ma + c.
n ma + d. 
n ma = (b + c + d).
n ma 
 
3) n ab = n a n b 
 
4) n
b
a
= 
n
n
b
a
 
 
5) n m a = mn a. 
 
6) mn a )( = 
n ma n  m 
 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 20 
7) 
nk mka
. .
= 
n ma , k  0 
 
8) b. n a = 
n nab 
 
Notar la equivalencia de las propiedades con respecto a las operaciones de suma/resta, 
multiplicación, división y radical de radical (2), 3), 4) y 5)) con las correspondientes 
propiedades de potencias. 
 
La propiedad 7) nos dice como simplificar o amplificar radicales. En efecto, si se multiplican 
(o dividen) el índice y el exponente de un radical por un mismo número distinto de cero, se 
obtiene un radical equivalente al primero. 
 
La propiedad 8) nos dice de qué manera introducir (o bien extraer) factores en un radical para 
el caso más simple. Veremos a continuación el procedimiento para el caso más general. 
 
Introducción de factores en un radical 
 
En realidad, para la introducción de factores a un radical, el procedimiento siempre es el 
mismo y se establece en la propiedad 8) de más arriba. Es decir, el factor a introducir se eleva 
a una potencia que es idéntica al índice del radical considerado. Solamente hay que tener 
cuidado si el factor que queremos introducir, está en forma de potencia. 
 
Ejemplo: 
 
Introducir al radical: 3
3
. 4 6 
 
Lo que debemos hacer es elevar el factor fuera de la raíz 3
3
 a la cuarta potencia (el índice de 
la raíz a la cual se introducirá el factor). Quedará planteada así una operación de tipo potencia 
de potencia, que ya sabemos resolver: 
 
(3
3
)
4
 = 3
3.4
 = 3
12 
 
Por lo tanto, la solución al problema se desarrolla así: 
 
3
3
. 4 6 = 
4 4.3 63 = 
4 1263 
 
Extracción de factores de un radical 
 
Para extraer factores que están dentro de un radical, de forma que queden multiplicando al 
radical, debemos distinguir tres casos: 
 
a) El factor está elevado a una potencia menor que el índice del radical 
 
En este caso, el factor no se extrae. 
 
 
 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 21 
Ejemplo: 
 
Extraer del radical: 5 3334 
 
Tanto el factor 4 como el factor 3 están elevados a un exponente menor (3 en ambos casos) 
que el índice de la raíz (5). Por lo tanto, no se extraen. 
 
b) El factor está elevado a una potencia igual al índice del radical 
 
El factor se extrae del radical como potencia de 1. 
 
Ejemplo: 
 
Extraer del radical: 4 432 
 
Podemos extraer solamente el factor 2
4
: 
 
4 432 = 2. 4 3 
 
c) El factor está elevado a una potencia mayor que el índice del radical 
 
Lo quese hace es dividir el exponente al que está elevado el factor entre el índice del radical. 
Entonces, el cociente obtenido es el exponente al que queda elevado el factor fuera del radical 
y el resto obtenido es el exponente al que queda elevado el factor dentro del radical. 
 
Ejemplo: 
 
Extraer del radical: 
3 543 
 
El único factor que puede extraerse es 3
5
. Para esto, dividimos el exponente, 5, entre el 
índice, 3. El cociente de esta división es 1 y el resto es 2. Entonces: 
 
3 543 = 3.
3 243 
 
Reducción a índice común 
 
La reducción a índice común es un procedimiento que se aplica a expresiones que involucran 
radicales con distintos índices, de forma de obtener una expresión en donde todos los 
radicales posean el mismo índice y por lo tanto, más sencilla de simplificar. Para realizar la 
reducción a índice común, se utiliza la propiedad 7) de radicales, vista en páginas anteriores. 
El procedimiento consta de dos pasos: 
 
1) Se halla el mínimo común múltiplo de los índices existentes en la expresión original. Este 
mínimo común múltiplo será el índice común de todas las nuevas raíces. 
 
2) Se divide el índice común entre cada uno de los índices originales. Cada radicando original 
se eleva al resultado obtenido en la división previa. 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 22 
Ejemplo: 
 
Reducir a índice común la expresión: 5 . 3 2 
 
El m.c.m. entre 2 y 3 (los índices de las raíces del ejemplo) es 6 (dejamos la comprobación a 
cargo del lector). Ahora dividimos a 6 entre ambos índices, 2 y 3, lo que arroja 3 y 2, 
respectivamente. Por último, elevamos ambos radicandos, 5 y 2, a las potencias encontradas 
en el paso previo que son 3 y 2, respectivamente. El desarrollo es: 
 
5 . 3 2 = 
6 35 .
6 22 = 
6 2325 = 6 500 
 
Procedimientos análogos pueden seguirse en algunos casos de operaciones que involucren 
sumas de productos de raíces con distintos índices. 
 
Racionalización de radicales 
 
En ocasiones puede ocurrir que tengamos que trabajar con una expresión fraccionaria que 
involucre la presencia de raíces en el denominador. Dado que en general resulta más simple 
operar con raíces en el numerador que en el denominador de una fracción, lo que se estila 
hacer es racionalizar la expresión original, de manera que se transforme en una expresión en 
donde los radicales existan en el numerador y no en el denominador. La utilidad de este 
procedimiento se extiende también en la resolución de algunos límites de funciones, lo cual 
se verá en el curso de Análisis 1 (Mat 01). 
 
El procedimiento general de la racionalización consiste en multiplicar el numerador y el 
denominador de la fracción por un mismo factor (de forma de no alterar la fracción) para que 
desaparezca el radical del denominador. Si bien esto es conceptualmente simple de entender, 
a la hora de ponerlo en práctica se deberán de considerar diversas variantes, según la forma 
de la fracción que se quiere racionalizar. Aquí veremos los tres casos más frecuentes: 
 
a) El denominador de la fracción posee una sola raíz cuadrada en donde el radicando está en 
potencia de 1: se multiplica el numerador y denominador por la raíz presente en el 
denominador. 
 
Ejemplo: 
 
Racionalizar la fracción: 
3
5
 
 
Multiplicamos numerador y denominador de la fracción por 3 : 
 
3
5
.
3
3
=
3.3
3.5
 
 
Simplificando: 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 23 
3.3
3.5
=
3
3.5
 
 
Quizás le quede más claro al lector el resultado final de esta racionalización si recuerda la 
equivalencia entre radicales y potencias de exponentes fraccionarios (vista anteriormente en 
este documento). En efecto, al sustituir el producto de radicales por el respectivo producto de 
potencias en el denominador de la izquierda de la última igualdad y aplicar propiedades de 
producto de potencias: 
 
3.3 = 3
1/2
.3
1/2
 = 3
1/2
 
+ 1/2 
= 3
1
 = 3 
 
Al mismo resultado se llega si en vez de aplicar la definición de producto de potencias de 
igual base, se aplica la de potencias de igual exponente: 
 
3.3 = 3
1/2
.3
1/2
 = (3.3)
1/2 
= (3
2
)
1/2
 = 3
1
 = 3 
 
b) El denominador de la fracción posee una sola raíz en donde el radicando está en potencia 
mayor que 1: se multiplica el numerador y denominador por la raíz presente en el 
denominador pero ahora el exponente del radicando es la resta entre el índice de la raíz y el 
exponente original. 
 
Ejemplo: 
Racionalizar la fracción: 
3 22
4
 
 
El índice de la raíz es 3 y el exponente dentro de la raíz es 2. Así que el exponente del 
radicando con el que se multiplicará la expresión será 3 – 2 = 1. 
 
Multiplicamos entonces numerador y denominador por 3 2 : 
 
3 22
4
.
3
3
2
2
=
3 2
3
2.2
2.4
=
3 3
3
2
2.4
=
2
2.4 3
= 3 2.2 
 
Para procesar el denominador en el desarrollo anterior, se puede aplicar la propiedad 3) de 
radicales primero y después el producto de potencias de igual base. 
 
La resolución de este caso también aplica al caso a) cuando se tienen raíces con índice mayor 
que 2 y radicandos en potencia de 1. 
 
c) El denominador de la fracción posee una suma/resta que involucra una o dos raíces 
cuadradas: se multiplica el numerador y denominador de la fracción por el conjugado del 
denominador. 
 
El conjugado de un binomio es igual al propio binomio con el signo central cambiado, es 
decir, si el binomio es una suma de dos términos, el conjugado será la resta de dichos 
términos, mientras que si el binomio es la resta de dos términos, el conjugado será la suma de 
dichos términos. 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 24 
Nota: en el curso de Análisis 1 (Mat 01), al tratar los números complejos, veremos también la 
noción de conjugado aunque no exactamente igual a lo que tratamos aquí. 
 
 
Ejemplo: 
 
Racionalizar la fracción: 
23
2
 
 
Lo que hacemos es multiplicar numerador y denominador por 23  : 
 
)
23
2
(

. )
23
23
(


=
   22 23
)23.(2


=
23
)23.(2


= )23.(2  
 
Para procesar el denominador en el desarrollo anterior, lo que se hizo fue aplicar propiedad 
distributiva de producto en reales primero y luego las propiedad 6) y 1) de radicales. 
 
En el curso de Análisis I (Mat 01), veremos que trabajando con el conjugado de un binomio, 
se pueden resolver algunos tipos de límites de funciones y también simplificar expresiones 
que involucran números complejos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 25 
Tema 6. Logaritmación 
 
La logaritmación es la otra operación inversa de la potenciación. La diferencia es que 
mientras en la radicación lo que se desea hallar es la base de la potencia, a partir de su 
resultado y el exponente, en la logaritmación, lo que se intenta encontrar es el exponente de la 
potencia, dadas la base y el resultado de la misma. 
 
Entonces, en la logaritmación, tenemos involucrados dos números: la base de la operación y 
la cantidad a la que se aplica la operación. El símbolo que denota a la logaritmación es 
usualmente: log y se le llama logaritmo. A la derecha y en subíndice se escribe la base del 
logaritmo y a continuación, en fuente normal, el número al cual se le desea aplicar la 
operación. 
 
Matemáticamente, la equivalencia entre la logaritmación y la potenciación (o lo que es lo 
mismo, la definición de logaritmo) se expresa de la siguiente manera: 
 
loga(b) = c  a
c
 = b con a, b, c  , a, b > 0, a  1 
 
Ejemplo: 
 
Calcular log10(1000) 
 
La expresión anterior se lee “logaritmo en base 10 de 1000”. Para resolver la operación, se 
debe de hallar el númeroreal tal que al elevar la base 10 a dicho número, se obtenga el 
número 1000. En este caso, es fácil determinar que el resultado es 3. En efecto, 10
3
 = 
10.10.10 = 1000. 
 
Como establece la definición, la base del logaritmo puede ser cualquier número real mayor 
que 0 y distinto de 1, aunque las dos bases más comunes son 10 y e, el número irracional de 
Euler (también llamado constante de Napier). En el caso del logaritmo en base e, podemos 
usar una notación específica: ln. Además, normalmente se omite escribir la base. Nos 
referimos al logaritmo en la base 10 como logaritmo decimal y en la base e como logaritmo 
neperiano o natural. 
 
El requerimiento de que la base de cualquier logaritmo debe ser mayor que 0, tiene como 
consecuencia que el número al cual se le calcula el logaritmo, debe ser un real positivo puesto 
que es imposible que exista una potencia de una base positiva que arroje un número real 
negativo o nulo. En otras palabras, no existe el logaritmo de un número real negativo. En el 
curso de Análisis I (Mat 01), veremos que al trabajar con los números complejos, esta 
restricción no existirá. 
 
Por otra parte, está claro que la base del logaritmo no puede ser 1 puesto que cualquier 
potencia de 1 dará como resultado 1 y la operación perdería el sentido. Un razonamiento 
similar puede establecerse para la imposibilidad de que la base de un logaritmo sea 0. 
 
Por último, el resultado del logaritmo (el exponente de la base dada) puede ser cualquier 
número real, sin restricciones. Al igual que ocurría con las raíces, salvo en casos especiales 
en donde el resultado del logaritmo es un número entero o una fracción sencilla, la operación 
va a ser muy difícil de calcular mentalmente. Existen algunos métodos de cálculo de 
logaritmos pero que no veremos aquí. 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 26 
Veamos, a continuación, las propiedades fundamentales de la logaritmación. 
 
Propiedades de logaritmos 
1) loga(1) = 0 
 
2) loga(a) = 1 
 
3) loga(a
n
) = n 
 
4) loga(xy) = loga(x) + loga(y) 
 
5) loga(
y
x
) = loga(x) – loga(y) 
 
6) loga(x
c
) = c.loga(x) 
 
7) loga )(
n x = 
n
1
loga(x) 
 
Las tres primeras propiedades se derivan directamente de la definición de la operación. Las 
restantes propiedades son muy interesantes y se relacionan con el logaritmo (en cualquier 
base) de distintas operaciones. La propiedad 4), establece que el logaritmo de un producto de 
números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de esos números. La propiedad 5) 
tiene que ver con la operación de división y afirma que el logaritmo de un cociente de 
números es equivalente a la resta del logaritmo del numerador menos el logaritmo del 
denominador del cociente en cuestión. La propiedad 6) refiere a la operación de potencia e 
indica que el logaritmo de una potencia puede calcularse como el exponente de dicha 
potencia multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia. Finalmente, la propiedad 7) 
tiene que ver con el logaritmo de la raíz enésima de un número. Si recordamos la 
equivalencia entre la potenciación con exponente fraccionario y la raíz, esta propiedad se 
deduce directamente de la propiedad 6). En efecto, haciendo en el miembro de la izquierda 
de la propiedad 7): n x = nx
1
 y luego aplicando logaritmo y su propiedad 6), se obtiene 
directamente el miembro de la derecha de la propiedad 7). 
 
Debe de prestarse atención en que no existen propiedades de logaritmos para el caso de 
expresiones que involucren producto o cociente de logaritmos, como sí existen para las 
operaciones de potencia y radicación. Sin embargo, es común que haya confusiones en este 
sentido. 
 
En primer término, el cociente de dos logaritmos no es igual al logaritmo del cociente ni el 
producto de dos logaritmos es igual al logaritmo del producto. Así que: 
 
)(log
)(log
y
x
a
a  loga(
y
x
) 
 
loga(x).loga(y)  loga(xy) 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 27 
Tampoco es cierto que el producto/cociente de dos logaritmos sea igual a la suma/resta, 
respectivamente, de dichos logaritmos: 
 
loga(x).loga(y)  loga(x) + loga(y) 
 
loga(x)/loga(y)  loga(x) – loga(y) 
 
De igual forma, tampoco existen propiedades que relacionen el logaritmo de una suma/resta 
de dos números con las suma/resta de los logaritmos de esos números. Esto es: 
 
loga(x  y)  loga(x)  loga(y) 
 
Para terminar, presentaremos un resultado interesante y útil, que involucra las operaciones de 
potencia y logaritmo. El mismo establece que: 
 
a
loga(b) = b 
 
La igualdad anterior surge directamente de la definición de logaritmo y nos dice que si 
elevamos un número a a un exponente formado por el logaritmo en la base a de un número b, 
obtenemos el propio b. 
 
Veamos un ejemplo para verificar esto. 
 
Ejemplo: 
 
Calcular: 10
log10(100) 
 
Para resolver la operación, primero calculamos el valor del exponente: 
 
log10(100) = 2 
 
Luego, elevamos la base de la potencia al exponente encontrado: 
 
10
2
 = 100 
 
Llegamos así al resultado esperado. 
 
Cambio de base 
 
Dado el logaritmo de un número c en una base determinada, a, es posible obtener el valor del 
logaritmo en otra base, b. Para esto, deberemos aplicar la siguiente fórmula: 
 
logb(c) =
)(log
)(log
b
c
a
a 
 
Notar que no tenemos el inconveniente de que el denominador de la expresión anterior se 
anule puesto que como ya sabemos, el único caso en que eso pasaría sería para b = 1. Pero b 
es la base del logaritmo que queremos hallar y ya sabemos que por definición, nunca será 1. 
Apuntes del curso de Nivelación Matemática 
Federico Iribarne. Cátedra de Matemática. Facultad de Química 28 
Existe una forma equivalente de expresar la igualdad anterior, de forma de que la misma sea 
más sencilla de recordar. En efecto, en vez de expresar la igualdad como un cociente, lo 
haremos como un producto, así: 
 
loga(b).logb(c) = loga(c) 
 
Si consideramos las bases y los números a los cuales le calculamos el logaritmo en el 
miembro de la izquierda de la igualdad anterior, tenemos el orden: a, b, b, c. Tomando los 
extremos, a y c, construimos el logaritmo del miembro de la derecha de la igualdad. 
 
Veamos una aplicación. 
 
Ejemplo: 
 
Sabiendo que log2(8) = 3, calcular log16(8). 
 
Aplicamos la fórmula recién presentada: 
 
log16(8) =
)16(log
)8(log
2
2 
 
Resolviendo los logaritmos del cociente anterior, llegamos a: 
 
)16(log
)8(log
2
2 =
4
3
 
 
 log16(8) =
4
3