AeroGral_v200311

Vista previa del material en texto

DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
Aeronáutica General
Apuntes de la Cátedra
Departamento de Aeronáutica
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
II
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
Copyright c© 2020 Gustavo Krause
PUBLICACIÓN INDEPENDIENTE
Prohibida su reproducción, almacenamiento o distribución por cualquier medio, total o parcial, sin
el permiso previo y por escrito del autor y/o la editorial. También se encuentra totalmente prohibido
su tratamiento informático y distribución por medios electrónicos tales como internet o cualquier
otro soporte.
Primera impresión, marzo de 2020
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
IV
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
Prefacio
El presente texto está concebido como material de apoyo para estudiantes y profesionales de
la ingeniería que se inician en el ámbito de la Aeronáutica. Este libro surgió de la necesidad de
cubrir de manera introductoria los aspectos más importantes que rigen el vuelo del avión, tanto
desde el punto de vista físico como tecnológico, permitiendo así un abordaje integral del problema
sin necesidad de recurrir a múltiples publicaciones específicas que pueden resultar complejas para
quienes comienzan a introducirse en esta disciplina. Aunque ya existen textos que plantean esta
temática desde un punto de vista similar, ellos no suelen encontrarse en idioma español y –a juicio
del autor– muchas veces carecen de la adecuada fundamentación física y matemática que requiere
la formación de futuros profesionales técnicos de la industria, el desarrollo y la investigación
aeronáutica.
Los contenidos del presente texto surgieron de la recopilación de material realizada durante
los sucesivos dictados de la asignatura introductoria de la carrera de Ingeniería Aeronáutica que
se dicta en la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de la Universidad Nacional de
Córdoba. Teniendo en cuenta que los estudiantes de dicha asignatura cuentan con una buena base
en Física y Matemática, la cual fue adquirida durante los años correspondientes al ciclo básico
de la carrera, se asume que el lector tiene la capacidad de comprender los fundamentos físicos
y los desarrollos matemáticos planteados a lo largo del libro. Por otro lado, se resalta el carácter
introductorio y orientativo de estas notas, recomendándose fervientemente la profundización de los
temas abordados a través de las referencias bibliográficas citadas en el texto.
La organización del libro puede resumirse de la siguiente forma. En el Capítulo 1 se realiza la
presentación de las definiciones y fundamentos físicos elementales que rigen el movimiento de los
fluidos, en nuestro caso particular el aire, necesarios para comprender los fenómenos que involucra
el vuelo del avión. En el Capítulo 2 se presentan las definiciones de las fuerzas y momentos
aerodinámicos más importantes y se introduce el Análisis Dimensional, que es una herramienta
fundamental de la Aerodinámica para dar lugar a los diferentes coeficientes aerodinámicos. En el
Capítulo 3 se hace una introducción al Análisis Experimental, otra de los aspectos fundamentales
de la Aerodinámica. En el Capítulo 4 se abordan los principios básicos de las propiedades de los
perfiles aerodinámicos, que son las formas elementales que permiten el vuelo del avión. En el
V
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
Capítulo 5 se presenta un análsis introductorio para comprender los fundamentos de la aerodinámica
del ala. En el Capítulo 6 se describen los principales componentes del avión, planteando al mismo
como un sistema integral destacando la función principal de cada uno de ellos. Finalmente, en los
Capítulos 7 y Capítulos 8, se realiza un análisis introductorio de la estabilidad, el control y las
performances del avión.
Gustavo Krause
Córdoba, marzo de 2020
VI
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
Índice general
1 Fundamentos físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Propiedades del aire 1
1.1.1 Hipótesis del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Ecuación de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Ecuación hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 La atmósfera terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Atmósfera estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.6 El baroaltímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Fundamentos del flujo de aire 16
1.2.1 Conceptos iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Ecuaciones de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.3 Determinación de la velocidad: El tubo Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.4 Efectos de compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 Flujo viscoso 36
1.3.1 Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.2 Condición de no deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.3 El número de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.4 Flujo laminar y flujo turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.4 Capa límite 47
1.4.1 Desarrollo de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.4.2 Capa límite laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.4.3 Capa límite turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.4.4 Separación de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.4.5 Determinación experimental de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.5 Guía de estudio 56
VII
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
2 Fuerzas y coeficientes aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1 Acciones aerodinámicas sobre un cuerpo 59
2.2 Introducción al Análisis dimensional 62
2.2.1 Principio de homogeneidad dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2 El Teorema Pi de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3 Coeficientes aerodinámicos 67
2.3.1 Condiciones de similitud en Aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4 La fuerza de sustentación 71
2.4.1 Distribución de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.2 El fundamento “circulatorio” de la sustentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5 La fuerza de resistencia aerodinámica 76
2.5.1 Resistencia parásita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.2 Resistencia de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.3 Resistencia de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.5.4 Características generales de la resistencia aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.5.5 Resistencia de esferas y cilindros . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.5.6 Concepto de área frontal equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.6 Problemas propuestos 90
3 Análisis experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1 Medición de presiones 91
3.1.1 Sondas de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.2 Sonda Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1.3 Tomas de presión estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.1.4 Sonda Pitot-estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.1.5 Determinación de la dirección del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2 Indicadores de presión 105
3.2.1 Manómetros de columna de líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2.2 Transductores de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3 Túneles de viento 117
3.3.1 Túneles de viento subsónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3.2 Túnel de viento de circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3.3 Túneles de viento de circuito cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.3.4 Ensayos aerodinámicos en túneles de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.3.5 Consideraciones para el diseño de túneles de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.3.6 Túneles de viento de uso específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4 Perfiles aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1 Introducción 135
4.1.1 Características geométricas de los perfiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1.2 Generación de sustentación en un perfil alar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.1.3 La circulación en perfiles aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2 Características aerodinámicas de los perfiles alares 140
4.2.1 Sustentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2.2 Resistencia aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.3 Momento de cabeceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2.4 Efectos de la geometría del perfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
VIII
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
4.2.5 Efecto del número de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3 Distribución de presiones en un perfil alar 152
4.3.1 Obteniendo el Cl a partir del Cp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.4 Efectos de compresibilidad en los perfiles alares 156
4.4.1 Número de Mach crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.4.2 Divergencia de la resistencia aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.5 Superficies móviles 161
4.5.1 Momento de charnela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.6 Desarrollo y diseño de perfiles alares 163
4.6.1 Etapa de sistematización: Perfiles NACA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.6.2 Etapa computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5 Superficies sustentadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.1 Introducción 177
5.1.1 Definiciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.1.2 Consideraciones aerodinámicas de las alas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.2 Alas finitas 183
5.2.1 Efectos del campo de movimiento tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.2.2 Sustentación en alas finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.2.3 Resistencia inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.2.4 Estrategias para reducir la resistencia inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.3 Efectos de compresibilidad en las alas finitas 202
5.3.1 Influencia del ángulo de flecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.4 Dispositivos hipersustentadores 205
5.4.1 Flaps de borde de fuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.4.2 Flaps de borde de ataque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.4.3 Otros dispositivos hipersustentadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.4.4 Frenos aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6 Componentes del avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.1 Componentes básicos del avión 215
6.1.1 Fuselaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.1.2 Ala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.1.3 Empenaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.1.4 Tren de aterrizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.1.5 Sistema propulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.2 Instrumentos básicos del avión 233
6.2.1 Clasificación de los instrumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.2.2 El altímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.2.3 El anemómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.2.4 El indicador de velocidad vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.2.5 Instrumentos giroscópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.3 Problemas propuestos 255
IX
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
7 Estabilidad y control del avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.1 Introducción 257
7.1.1 El sistema de ejes cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7.1.2 Velocidades, fuerzas y momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7.2 Controles básicos 260
7.2.1 Control lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.2.2 Control longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
7.2.3 Control direccional . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.3 Estabilidad del avión 264
7.3.1 Conceptos básicos de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.3.2 Estabilidad longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.3.3 Modos dinámicos longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.3.4 Estabilidad estática direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.3.5 Estabilidad estática lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
7.3.6 Modos dinámicos asimétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8 Actuaciones del avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.1 Ecuaciones de movimiento 285
8.1.1 Grados de libertad del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.1.2 Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
8.1.3 Ecuaciones de movimiento del vuelo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.1.4 Características de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.2 Performances estáticas 293
8.2.1 Condiciones de vuelo estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
8.2.2 Vuelo estacionario, recto y nivelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.2.3 Trepada estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.2.4 Vuelo sin potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.3 Performances de despegue y aterrizaje 309
8.3.1 Despegue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.3.2 Aterrizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
8.3.3 Efecto suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.4 Vuelo acelerado 323
8.4.1 Giro nivelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8.4.2 Las maniobras de pull-up y pull-down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
8.4.3 El diagrama V–n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
A Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
B Ecuaciones de la Atmósfera Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
X
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
1. Fundamentos físicos
Un avión es un vehículo que se desplaza a través de la atmósfera aprovechando las fuerzas que
se generan por el movimiento relativo entre el aire y dicho vehículo. Estas fuerzas se denominan
fuerzas aerodinámicas y las mismas dependen directamente de las propiedades del medio y de
las características del flujo que se genera alrededor del cuerpo. De este modo, resulta fundamental
conocer las propiedades de la atmósfera terrestre y los principios físicos del flujo de aire para
comenzar a comprender cuáles son los mecanismos que permiten el vuelo de un avión.
1.1 Propiedades del aire
Se definen como propiedades de un gas (o mezcla de gases) a un conjunto de cantidades
físicas que permiten describir la condición o el estado del mismo. Estas propiedades físicas son
fundamentales tanto para caracterizar el estado de la atmósfera como para llevar a cabo el estudio
de cualquier fenómeno que involucre el flujo de aire o de cualquier otro gas o mezcla de gases. Para
nuestro análisis se establecen cuatro propiedades fundamentales: densidad, presión, temperatura y
velocidad:
Definición 1.1 — Densidad. La densidad es la cantidad de masa por unidad de volumen de una
determinada sustancia. En nuesto campo de estudio la sustancia se encuentra en estado gaseoso y
la densidad se designa generalmente con la letra griega ρ. Esta propiedad se expresa en unidades
de masa por unidad de volumen (kg/m3 en el Sistema Internacional de unidades). Si 1m3 de
aire tiene una masa de 1kg, entonces la densidad promedio de ese aire es ρ = 1kg/m3.
Definición 1.2 — Presión. La presión es la fuerza por unidad de área ejercida por un fluido
(líquido o gas) en dirección normal a una determinada superficie. La presión p es una cantidad
física fundamental en el estudio de la dinámica de los fluidos y en el Sistema Internacional de
unidades se mide en pascales (1Pa = 1N/m2). Como veremos a continuación, la magnitud de la
presión depende del marco de referencia a partir del cual se la mide.
Cuando hablamos de presión podemos referirnos a una presión absoluta o una presión relativa,
dependiendo de la referencia con la cual se hace la medición. En el primer caso, como su nombre lo
1
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
2 Capítulo 1. Fundamentos físicos
indica, la presión absoluta es justamente la presión que efectivamente se está ejerciendo sobre una
superficie, es decir que se mide con respecto a una referencia de presión nula correspondiente al
vacío absoluto. Esto implica que la presión absoluta es siempre positiva. Por otra parte, la presión
relativa es la diferencia de presión entre la presión (absoluta) medida y una determinada presión
(absoluta) de referencia. Esto significa que la presión relativa puede ser negativa. El valor de la
presión relativa en un determinado punto es el que se obtiene cuando se utiliza un manómetro, que
es el elemento empleado para la medición de presiones. Este elemento provee una lectura relativa
cuya referencia es la presión atmosférica del lugar, de allí que el término presión manométrica
también se utiliza para referirse a la presión relativa.
La presión atmosférica es producto de la fuerza que ejerce la masa del fluido, en este caso
el aire, por acción de la aceleración de la gravedad. En otras palabras, la presión atmosférica
es el “peso” de la columna de aire que se encuentra por encima de un determinado objeto. La
presión atmosférica se mide mediante el uso de un barómetro. De manera general, las presiones
ejercidas por un fluido en reposo por acción gravitatoria se conocen presiones hidrostáticas. Este
tipo de presiones tienen la propiedad de que su valor es constante para una determinada altura
de columna de fluido independientemente de la orientación de la superficie de medición. En un
fluido en movimiento esta propiedad ya no se verifica y decimos que estamos en presencia de una
presión hidrodinámica, cuyo valor sí depende de la orientación de la superficie de medición con
respecto a la dirección del movimiento. Estos conceptos son fundamentales en nuestro estudio y
serán desarrollados más adelante.
Desde el punto de vista de la Teoría Cinética de los Gases, la presión puede entenderse como el
resultado macroscópico de la acción colectiva de las múltiples moléculas que conforman un fluido,
cuyas colisiones con las paredes del recipiente contenedor o del objeto sumergido en el fluido se
traducen en una fuerza neta sobre las superficies. Esta transferencia de cantidad de movimiento
entre las moléculas del fluido y las moléculas de la superficie depende de la frecuencia de las
colisiones, es decir, de la cantidad de veces que las moléculas “chocan” con las paredes,lo cual
está relacionado con la cantidad de moléculas involucradas en el intercambio, y con la velocidad1
de las mismas, cuya magnitud además influye en la intensidad de esos “choques”. El indicador
macroscópico de la velocidad (promedio) de las moléculas es la temperatura.
Definición 1.3 — Temperatura. La temperatura es una medida de la energía promedio de las
moléculas que conforman una sustancia. En un fluido las moléculas pueden desplazarse más o
menos libremente, por lo tanto, a mayor temperatura mayor energia cinética. Esta propiedad se
designa con la letra T y su unidad en el Sistema Internacional es el kelvin (K)·
De acuerdo a esta definición, resulta que existe un nivel mínimo de temperatura dado por el
reposo absoluto de la materia, situación donde las moléculas que conforman la misma se encuentran
“detenidas” y por lo tanto su energía asociada al movimiento es nula. Esta condición (teórica) se
conoce como el cero absoluto y corresponde al punto T = 0K de la escala de medición. Esto
implica que, al igual de lo que sucede con la presión absoluta, la temperatura (absoluta) es siempre
positiva.
Hasta aquí hemos definido las propiedades que definen el estado termodinámico de un fluido
pero aún no hemos establecido a qué se denomina fluido. Como sabemos, la materia puede
presentarse dentro de nuestra atmósfera principalmente de tres formas o estados diferentes: sólido,
líquido o gaseoso. Existe un cuarto estado conocido como plasma, que aunque es por lejos la
principal forma en que se encuentra la materia en el universo, dentro de nuestro planeta sólo se
presenta en situaciones muy particulares. Puede decirse que las características de cada uno de los
1Esta velocidad es la velocidad de agitación molecular de cada molécula, no debe confundirse con la velocidad del
fluido.
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
1.1 Propiedades del aire 3
estados sólido, líquido o gaseaso están dadas por la forma en que se comportan las moléculas que
componen la materia en cada uno de ellos. Mientras que en el estado sólido el movimiento de
las moléculas está restringido solamente a una vibración, en los estados líquido y gaseoso éstas
pueden desplazarse más o menos libremente, lo cual confiere a la materia la capacidad de fluir, es
decir, de deformarse “indefinidamente” frente a la acción de fuerzas tangenciales. A partir de este
comportamiento, el cual está presente en los líquidos y en los gases, un fluido se define simplemente
como aquella sustancia que tiene la capacidad de fluir.
Desde un punto de vista microscópico, está claro que un fluido no puede estar en reposo ya que
su definición justamente implica el movimiento relativamente libre de sus moléculas. Sin embargo,
para las aplicaciones de ingeniería en general estamos más interesadosen lo que sucede con el
fluido a escala macroscópica. A ese nivel, decimos que la velocidad del fluido es un promedio de
las velocidades moleculares de acuerdo a la siguiente definición:
Definición 1.4 — Velocidad. La velocidad del fluido es la medida del movimiento neto del
mismo, es decir, sin considerar las componentes aleatorias de velocidades moleculares. En otras
palabras, la velocidad de una masa de fluido es la velocidad promedio de todas las moléculas
individuales que conforman esa masa, sumadas vectorialmente. La velocidad (vector) se designa
con la letra V y su magnitud (escalar) se expresa como V .
1.1.1 Hipótesis del continuo
Mientras que la densidad, la presión y la temperatura son propiedades termodinámicas, la
velocidad es una propiedad cinemática. Siendo que estas cantidades son definiciones macroscópicas,
la validez de las mismas dependerá fundamentalmente de la escala del problema, de modo que las
promediaciones estadísticas representadas por la densidad, la presión, la temperatura y la velocidad
estén basadas en una cantidad representativa y suficientemente grande de moléculas. Es así que
estas definiciones macroscópicas pierden sentido en condiciones de muy bajas densidades o en
dominios extremadamente pequeños donde el efecto del movimiento individual de las moléculas
no puede caracterizarse de manera colectiva. En principio esto no parecería generar una limitación
significativa considerando que, en los problemas de nuestro interés, usualmente no se presentan
condiciones extremas que invaliden los conceptos anteriores. Sin embargo, esto plantea algunos
problemas desde el punto de vista de la modelización matemática.
Está claro que, en los problemas reales, las propiedades del fluido en general no son uniformes,
sino que son variables dentro del dominio considerado y además pueden cambiar en cada instante
de tiempo. Para representar matemáticamente esta variación se utiliza la definición de campo que
indica que, de manera general, la densidad, la presión y la velocidad2 son una función de las tres
coordenadas espaciales (x,y,z) y del tiempo t:
ρ = ρ(x,y,z, t),
p = p(x,y,z, t),
V = V(x,y,z, t).
Esto indica que las propiedades del fluido varían punto a punto para cada instante de tiempo. Es
aquí donde surge la siguiente contradicción: ¿cómo es posible obtener una propiedad macroscópica
en un punto que, por definición, es infinitamente pequeño?. Para resolver este conflicto se propone
la siguiente idealización.
Definición 1.5 — Hipótesis del continuo. Esta hipótesis supone que el fluido que constituye un
2La temperatura podría obtenerse a partir de las relaciones que vinculan una propiedad termodinámica con las
restantes.
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
4 Capítulo 1. Fundamentos físicos
medio está conformado por elementos de volumen diferenciales infinitamente pequeños, cada
uno de los cuales posee propiedades “puntuales” que definen su propio estado.
La hipótesis del continuo equivale a asumir, por ejemplo, que cualquier volumen de aire, por más
pequeño que sea, tiene las mismas características que el aire a escala macroscópica. Naturalmente,
esta suposición no es verdadera ya que, si se consideran dimensiones en el rango molecular, el
aire luce muy diferente de la forma en que lo percibimos cotidianamente. Sin embargo, cuando
se consideran problemas donde las longitudes características son mucho mayores que el camino
libre medio entre moléculas3, como es el caso de la mayoría de los problemas relacionados al
estudio del vuelo atmosférico, la idealización de la hipótesis del continuo es perfectamente válida
y permite el tratamiento matemático de problemas que involucran el flujo de gases y líquidos de
forma relativamente simple. En el marco de esta hipótesis, la definición de partícula se refiere a un
volumen infinitesimal de fluido, es decir, un punto material que conserva las mismas características
que el fluido a escala macroscópica. Una partícula, definida según el concepto de la hipótesis del
continuo, no debe confundirse entonces con una molécula de fluido ya que. según esta idealización,
una partícula de fluido está formada por una gran cantidad de moléculas.
En términos formales, la validez de la hipótesis del continuo se evalúa en función de una
relación adimensional conocida como el número de Knudsen. Esta relación es simplemente el
cociente entre el camino libre medio molecular λmfp del fluido que conforma el medio y la longitud
de referencia `ref que define la escala del problema, es decir:
Kn=
λmfp
`ref
. (1.1)
La condición de validez de la hipótesis del continuo es entonces Kn� 1. Como veremos a lo largo
de este libro, las cantidades adimensionales son de gran utilidad en el campo de la Mecánica de los
Fluidos.
Es importante notar que la modelización matemática de las propiedades macroscópicas a través
de campos es posible solamente bajo la hipótesis del continuo ya que, de esta manera, es válido
asumir propiedades (macroscópicas) asociadas a un punto. De este modo, la presión y la densidad
pueden definirse en términos de cantidades diferenciales:
p = lı́m
δA→0
δF
δA
=
dF
dA
,
ρ = lı́m
δυ→0
δm
δυ
=
dm
dυ
,
siendo dA un elemento diferencial de área y dυ un elemento diferencial de volumen.
1.1.2 Ecuaciónde estado
Las ecuaciones de estado describen la relación entre las diferentes propiedades termodinámicas
de un gas o una mezcla de gases, como es el caso del aire. Existen diferentes ecuaciones de
estado que son válidas dependiendo del problema analizado, del tipo de gas (o mezcla) y de
las condiciones particulares de densidad, presión y temperatura. En las aplicaciones de nuestro
interés es posible considerar al aire en equilibrio químico y termodinámico, lo cual significa que su
composición química no cambia y que las propiedades termodinámicas satisfacen en todo momento
las relaciones de estado, ya que la escala de tiempo del problema es mucho mayor que el tiempo de
“ajuste” termodinámico. Además, se puede asumir que los valores de presión y temperatura están lo
suficientemente alejados de condiciones extremas, de modo que que es válida la condición de gas
3El camino libre medio se define como la distancia promedio recorrida por las moléculas entre dos colisiones
sucesivas.
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
1.1 Propiedades del aire 5
perfecto o ideal. Esto nos permite suponer que el aire responde a la ecuación de estado de los gases
ideales.
Teniendo en cuenta que la presión se debe a la transferencia de cantidad de movimiento produ-
cida por las colisiones de las moléculas contra la superficie, resulta que la misma es proporcional
a la velocidad de las moléculas y a la frecuencia de las colisiones. Esto implica que la presión es
proporcional a la temperatura (absoluta) T , que es la medida de la energía cinética de las moléculas,
y al número de moléculas nm (por unidad de volumen), entendiendo que a mayor cantidad de
moléculas mayor es la frecuencia de colisiones, entonces:
p = nmkBT.
La constante de proporcionalidad kB = 1,38065× 10−23 J/K en esta relación es la constante de
Boltzmann.
Teniendo en cuenta que el número de moléculas puede escribirse en términos de la densidad
como nm = NAρ/µm, siendo NA = 6,02214× 1023 mol−1 el número de Avogadro y µm la masa
molar del gas (o mezcla), la expresión anterior resulta:
p = ρ
R ′
µm
T, (1.2)
donde R ′ = kBNA = 8,314472J/(Kmol) es la llamada constante universal de los gases. Conside-
rando el caso particular del aire cuya masa molar es µmaire = 28,97×10−3 kg/mol, la ecuación de
estado para esta mezcla de gases es
p = ρRaireT, (1.3)
donde
Raire =
R ′
µm aire
= 287,058
J
Kkg
. (1.4)
es la constante particular del aire. indexconstante del aire
Debe tenerse en cuenta que, naturalmente, la ecuación de estado de los gases ideales no es
válida en cualquier condición. Para presiones muy elevadas o temperaturas demasiado bajas o
demasiado altas, entran en juego efectos que no son considerados por la ecuación de estado ideal y
deben considerarse los efectos de gas real. Estos efectos están asociados a las fuerzas de atracción-
repulsión de las moléculas y al volumen finito que las mismas ocupan. Por lo tanto, en el caso de
que las moléculas resulten muy confinadas, como sucede a muy elevadas presiones (o densidades),
o cuando las fuerzas de atracción-repulsión no sean despreciables, como sucede a muy bajas
temperaturas donde la energía cinética de las moléculas es relativamente baja, la ecuación de estado
de los gases ideales pierde validez y deben considerarse otros modelos como la ecuación de Van
der Waals. Por otro lado, a muy elevadas temperaturas se activan reacciones químicas en el aire
que producen la disociación molecular y el cambio de composición de la mezcla de gases, lo cual
obviamente invalida la utilización de un modelo tan sencillo como el de gas perfecto (o ideal) que
asume el equilibrio químico del medio.
Ejemplo 1.1 Determinar la densidad de un volumen de aire cuya temperatura es de 15 oC y que
se encuentra a una presión de 1atm.
De acuerdo a la ecuación de estado de los gases ideales, la densidad se determina mediante
ρ =
p
RaireT
.
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
6 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Para utilizar esta ecuación es necesario escribir las propiedades del aire en unidades consistentes,
las cuales además deben tener referencias absolutas. Entonces, en el Sistema Internacional de
unidades
p = 1atm = 101325Pa,
T = 15 oC = 288,15K.
Para esta condición la densidad del aire resulta:
ρ =
101325
287,058×288,15
= 1,225
kg
m3
.
Como veremos más adelante, los valores de presión, temperatura y densidad establecidos
en este ejemplo representan una condición de referencia muy importante en las aplicaciones
aeronáuticas: son las llamadas condiciones estándar a nivel del mar. �
1.1.3 Ecuación hidrostática
Como sabemos, todos los elementos que se encuentran sobre la superficie terrestre y en sus
inmediaciones están sumergidos dentro de una masa de aire que conforma la atmósfera terrestre. El
peso de esta masa de aire se traduce en una presión, la llamada presión atmosférica, que ejerce el
fluido sobre los elementos dentro de la atmósfera, cuya magnitud depende de la “altura” de aire que
existe por encima y de la densidad del mismo.
La ecuación hidrostática, también llamada ecuación de altura, establece de qué manera varía
la presión de un fluido en reposo en función de la distancia vertical (o altura) a una superficie de
referencia. Para conocer esta variación se analizan las condiciones de equilibrio de fuerzas para un
elemento diferencial de volumen de área dA y altura dh en presencia de un campo gravitatorio de
magnitud g (ver Figura 1.1):
(p+ dp) dA+gρdhdA = pdA,
por lo tanto,
dp
dh
=−ρg. (1.5)
La ecuación (1.5) indica cómo varía la presión con respecto a la altura en un fluido en reposo.
Si el fluido es un líquido podemos asumir con gran nivel de precisión que la densidad es constante
y la ecuación anterior se integra muy fácilmente pero, para el caso de un gas (o mezcla) como el
aire en la atmósfera terrestre, la suposición de ρ = cte ya no es válida. Esto implica que la ecuación
anterior cuenta con dos incógnitas (p y ρ), por lo que debemos imponer una forma de variación
de la densidad para conocer así la distribución de presión con respecto a la altura h. Teniendo en
cuenta las características de la atmósfera, que es el medio que deseamos modelar, en la cual puede
suponerse que la temperatura ambiente varía de forma lineal con la altura o se mantiene constante
con ésta dentro de cada capa atmosférica, asumimos estas dos formas de variación vinculando T y
ρ a través de la ecuación de estado. Para ello, resolvemos la ecuación (1.5) para las condiciones de
temperatura constante (atmósfera isotérmica) y con gradiente térmico constante (variación lineal de
la temperatura con la altura).
Por otro lado, la aceleración de la gravedad g es una cantidad conocida que puede considerarse
constante siempre que se trabaje con variaciones de altura mucho menores que el radio terrestre
(RTierra ≈ 6400km). En lo referente a aplicaciones aeronáuticas convencionales, suponer una
aceleración de la gravedad constante es una simplificación muy aceptable, cuyo valor se toma igual
al que se registra a nivel del mar sobre el ecuador:
g= 9,80665
m
s2
. (1.6)
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
1.1 Propiedades del aire 7
Figura 1.1: Equilibrio de fuerzas en un elemento de volumen de un fluido en reposo.
Temperatura constante
En el caso isotérmico (T = cte), la ecuación hidrostática (1.5) se reescribe considerando la
ecuación de estado (1.3):
dp
dh
=− pg
RT
,
por lo tanto,
dp
p
=− g
RT
dh.
Integrando ambos miembros de la ecuación, siendo pref una presión de referencia conocida a la
altura de referencia href, se obtiene
ˆ p
pref
1
p
dp =−
ˆ h
href
g
RT
dh,
ln
(
p
pref
)
=− g
RT
(h−href) .
De esta forma queda determinada la variación de la presión en función de la altura para una
temperatura constante T :
p
pref
= exp
[
− g
RT
(h−href)
]
. (1.7)
Considerando la ecuación de estado, para T = cte la densidad es proporcional a la presión, entonces
su variación para el caso isotérmico se escribe de la misma manera:
ρ
ρref
= exp
[
− g
RT
(h−href)
]
. (1.8)
Gradiente térmico constanteComo veremos más adelante, en la capa más baja de la atmósfera la temperatura, en general, no
se mantiene constante con la altura sino que varía de manera aproximadamente lineal, disminuyendo
a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Estas variaciones son importantes si se
consideran cambios de altitud del orden de los 500m, por lo que las variaciones de la temperatura
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
8 Capítulo 1. Fundamentos físicos
no pueden despreciarse si tenemos en cuenta que, durante un vuelo convencional, suelen registrarse
cambios en la altura muy superiores a ese valor.
Considerando entonces un gradiente de temperatura constante λ tal que la variación de tempe-
ratura con la altura es:
T (h) = Tref +λ(h−href), (1.9)
la ecuación hidrostática puede escribirse como
dp
p
=− g
Rλ
dT
T
,
ya que, de acuerdo a la ecuación (1.9), tenemos
dT
dh
= λ→ dh = dT
λ
.
Integrando ambos miembros y considerando los valores de referencia pref y Tref a la altura href se
obtiene
ln
(
p
pref
)
=− g
λR
ln
(
T
Tref
)
,
por lo tanto,
p
pref
=
(
T
Tref
)−[g/(λR)]
.
Escribiendo la temperatura en función de la altura se obtiene la expresión de la variación de la
presión con la altura en un medio con gradiente térmico constante:
p
pref
=
[
1+
λ
Tref
(h−href)
]−g/(λR)
. (1.10)
La variación de la densidad se determina considerando la relación p/pref = ρT/(ρrefTref) que surge
de la ecuación de estado, entonces:
ρ
ρref
=
[
1+
λ
Tref
(h−href)
]−g/(λR)−1
. (1.11)
De esta manera quedan definidas las distribuciones de presión y densidad tanto para el caso de
atmósfera isotérmica como para gradiente térmico constante en relación a la altura.
1.1.4 La atmósfera terrestre
De manera general, se define como atmósfera a la capa de gas o mezcla de gases que cubre la
superficie de los cuerpos celestes. En nuestro planeta esta mezcla de gases se denomina aire y está
compuesta mayormente por Nitrógeno y Oxígeno con una composición que varía principalmente
con la distancia a la superficie terrestre. En las regiones donde se desarrolla la vida, es decir, en la
zona cercana a la superficie, y para altitudes de hasta 80km, puede considerarse que la composición
del aire es aproximadamente constante con la siguiente proporción en volumen:
N2 = 78 %
O2 = 21 %
Ar = 1 %
CO2 = 0,3 %
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
1.1 Propiedades del aire 9
Esta condición permite asumir que el medio por el cual se desplazan los aviones (convencio-
nales) está conformado por una mezcla de gases con una composición química constante. Por
otra parte, hay que destacar que, además de los gases indicados anteriormente, también pueden
encontrarse rastros de otros gases en proporciones muy pequeñas, tales como Neón, Hidrógeno,
Criptón y Helio, además de vapor de agua, cuyo porcentaje es muy variable dependiendo de la
región de la Tierra y de la época del año.
Capas de la atmósfera
La atmósfera terrestre puede dividirse en diferentes capas considerando distintos criterios. Por
ejemplo, desde el punto de vista de la concentración de los gases constituyentes, la homósfera es la
capa inferior de la atmósfera donde esta concentración se mantiene aproximadamente constante (a
excepción del vapor de agua y el ozono), mientras que la heterósfera se extiende por encima de la
anterior hasta aproximadamente los 3500km, dentro de la cual la proporción de los gases comienza
a variar debido a fenómenos de difusión molecular. Otra clasificación posible es considerando
la carga eléctrica del gas, donde se diferencia una zona de gases eléctricamente neutros hasta
aproximadamente los 80km de altitud denominada neutrósfera, y una zona de gases ionizados (o
plasma) llamada ionósfera, que se extiende por encima de la anterior hasta los 500km.
Para los objetivos de nuestro estudio, conviene realizar una clasificación más detallada basada en
otros aspectos que incluyen la variación de las propiedades termodinámicas del aire, particularmente
la temperatura, ya que, como veremos más adelante, esto nos permitirá caracterizar la atmósfera y
construir un modelo de la misma. Desde este punto de vista pueden distinguirse principalmente las
siguientes capas atmosféricas:
Tropósfera: es la capa más baja de la atmósfera y donde se producen los fenómenos mete-
reológicos (nubes, tormentas) que percibimos diariamente. Su espesor varía de acuerdo con
la latitud y la época del año desde unos 10km en los polos hasta unos 17km sobre el ecuador.
En condiciones normales, la tropósfera se caracteriza por la disminución de la temperatura
con la altura.
Estratósfera: es la segunda capa atmosférica situada aproximadamente entre los 10km y los
50km, donde la temperatura se mantiene más o menos constante hasta los 36km y luego se
incrementa con la altitud hasta alcanzar un valor de alrededor de 0 oC. Se caracteriza porque
dentro de esta capa se produce la disociación del oxígeno que genera el ozono (O3) entre
los 16km y los 40km. El ozono es el encargado de absorber gran parte de la radiación solar
nociva.
Mesósfera: se extiende desde los 50km a los 80–90km, donde la temperatura disminuye
con la altura. Esta capa finaliza en la Mesopausa, zona en la cual se presenta la segunda
temperatura mínima, del orden de 190K (−83 oC) a una altitud de 85km.
Termósfera: es la capa situada entre los 90km y los 500km de altitud en la cual la tempera-
tura crece rápidamente hasta unos 250 oC y luego sobre los 1000 oC hasta 2000 oC durante
el día. Las moléculas de N2 y O2 se disocian y se ionizan. Sobre los 300km se forma una
atmósfera aproximadamente isotérmica de unos 400 oC por la noche y hasta 1300 oC durante
el día.
Exósfera: Es considerada la última capa de la atmósfera. En ella se encuentran gases
monoatómicos como Hidrógeno y Helio en capas estratificadas. Esta capa se extiende hasta
donde la intensidad del campo magnético terrestre ya no es capaz de repeler la acción del
plasma interplanetario (viento solar).
Además de las capas atmosféricas detalladas anteriormente, existen subcapas como la Tropo-
pausa, Estratopausa, Mesopausa y Termopausa que separan las capas adyacentes. En la Figura 1.2
se presenta la distribución esquemática de las distintas capas de la atmósfera incluyendo las
clasificaciones basadas en la composición química y en la carga eléctrica del gas.
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
10 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Figura 1.2: Esquema de la atmósfera terrestre. En línea continua se observa la variación
promedio de la temperatura en función de la altitud.
1.1.5 Atmósfera estándar
En algunos pasajes de los párrafos anteriores hemos reemplazado la palabra “altura” por el
término altitud, sin especificar cuál es la diferencia entre estos aparentes sinónimos. Inicialmente po-
dríamos pensar que las propiedades referidas a la atmósfera, de carácter termodinámico, no guardan
relación con el concepto de altitud, de carácter eminentemente geométrico. Sin embargo, teniendo
en cuenta las características de la atmósfera y el principio de funcionamiento de los instrumentos
utilizados para estimar la posición vertical durante un vuelo, las propiedades atmosféricas y la
altitud están estrechamente vinculadas y su relación es fundamental para la operación aeronáutica.
Desde el punto de vista geométrico pueden distinguirse distintos “tipos” de altitud que son
útiles en Aeronáutica:
La altitud geométrica es la mínima distancia entre un objeto y la superficie formada por el
nivel medio del mar. A menudo nos referimos a la altitud geométrica simplemente como
altitud.
La altitud absoluta es similar a la anterior pero tiene como referencia el centro de la Tierra, y
se utiliza cuando se consideran grandes altitudes, como en el caso de vehículos aeroespaciales
o satélites, donde debe tenerse en cuenta la variación de la aceleración de la gravedad con la
distancia al centro de la Tierra.
La altitud geopotencial toma como referencia niveles donde la aceleración de la gravedad
es constante, los cuales no se corresponden estrictamente con nivelesde altitud geométrica
constante ya que, como se sabe, la Tierra no es perfectamente esférica.
Por otra parte, teniendo en cuenta la naturaleza de la atmósfera terrestre, donde la presión, la
densidad y la temperatura varían con la altitud, se definen las altitudes de presión, de densidad y de
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
1.1 Propiedades del aire 11
Capa Altitud inicial
[km]
Gradiente
térmico [K/km]
Temperatura
base Tref [K]
Tropósfera 0 −6,5 288,15
Tropopausa 11 0 216,65
Estratósfera 20 +1,0 216,65
Estratósfera 32 +2,8 228,65
Estratopausa 47 0 270,65
Mesósfera 51 −2,8 270,65
Mesòsfera 71 −2,0 214,65
Mesopausa 85 0,0 186,87
Tabla 1.1: Distribución de temperaturas en la atmósfera estándar internacional (1976) válida
hasta una altitud de 100km .
temperatura. Como ya hemos anticipado, el objetivo de definir este tipo de altitudes obedece a que
la mayoría de los dispositivos primarios utilizados para la estimación de la altitud en aeronaves son,
en realidad, elementos que miden la presión atmosférica, y se valen de que esta presión disminuye
con la altitud, entregando un valor calibrado en unidades de altitud de acuerdo a las variaciones que
se registran en la atmósfera. Sin embargo, la atmósfera terrestre es un sistema dinámico que cambia
constantemente, donde las propiedades del aire varían de acuerdo a la ubicación geográfica, hora del
día, época del año, etc. Claramente no es posible tener en cuenta todas estas condiciones para definir
niveles de presión constante que se traduzcan en unidades de altitud. Entonces, a los efectos de
garantizar una misma calibración de altitudes para los distintos altímetros, independientemente de
las condiciones particulares de la atmósfera en cada lugar, existe una convención internacional que
define un modelo de atmósfera de referencia denominada atmósfera estándar internacional (ISA
por sus siglas en inglés), la cual no sólo permite la navegación aérea, sino que además proporciona
un marco de referencia para la realización de cálculos aerodinámicos y de performance consistentes.
El modelo ISA divide a la atmósfera en distintas capas dentro de las cuales la temperatura varía
linealmente según valores basados en condiciones promedio en latitudes medias. Las propiedades
termodinámicas se obtienen considerando que el aire es un gas perfecto con R = 287,058J/(K kg))
en reposo (velocidad nula), para el cual existe una distribución impuesta de temperatura donde la
presión y la densidad se calculan mediante la ecuación de estado de los gases ideales asumiendo
equilibrio hidrostático con gravedad constante g = 9,80665m/s2. El punto de partida para los
valores de referencia en la atmósfera estándar se establece en el nivel medio del mar donde se fijan
los siguientes valores:
TMSL = 288,15K = 15 oC,
pMSL = 101325Pa = 1atm,
ρMSL = 1,225kg/m3.
(1.12)
En la atmósfera estándar se asume una variación lineal de la temperatura en las distintas
capas atmosféricas. En la Tabla 1.1 se muestran los gradientes térmicos correspondientes a cada
capa (un valor nulo indica temperatura constante), además de las altitudes de transición entre
ellas y las temperaturas de referencia en el inicio de cada capa. Según se observa en esta tabla,
existen regiones de variación lineal de la temperatura (gradiente térmico constante) y regiones de
temperatura constante (regiones isotérmicas). Por lo tanto, teniendo en cuenta los desarrollos de la
Sección 1.1.3, es posible obtener los valores de la presión y la densidad para una altitud dada, tal
como se muestra en el siguiente ejemplo.
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
12 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Ejemplo 1.2 Calcular los valores de densidad, presión y temperatura para una altitud de 14km
en la atmósfera estándar internacional.
Una altitud de 14km corresponde a la Tropopausa (ver Tabla 1.1), por lo tanto el medio es
isotérmico y los valores de referencia necesarios para completar las ecuaciones son los del final
de la Tropósfera. En esa región los valores de referencia son Tref = 288,15K, ρref = 1,225kg/m3,
pref = 101325Pa con gradiente térmico constante λ = −0,0065K/m, entonces en el límite
superior de esta región (h = 11km), utilizando las ecuaciones (1.10) y (1.11) se obtiene:
p11km = pref
(
1+
λ
Tref
11000m
)−g/(λR)
= 22632,6Pa,
ρ11km = ρref
(
1+
λ
Tref
11000m
)−g/(λR)−1
= 0,36393
kg
m3
.
En la Tropopausa tenemos temperatura constante, con lo cual se emplean las expresiones (1.7) y
(1.8) con los valores de referencia calculados anteriormente, resultando:
T14km = 216,65K,
p14km = p11km exp
[
− g
RT11km
(h−11000m)
]
= 14102,3Pa,
ρ14km = ρ11km exp
[
− g
RT
(h−11000m)
]
= 0,22676
kg
m3
.
�
Para agilizar los cálculos en problemas posteriores, en el Apéndice B se presentan las ecuaciones
de la atmósfera estándar incluyendo los valores de referencia de cada capa atmosférica. Con estas
ecuaciones sólo es necesario introducir el valor de la altitud considerando la capa correspondiente
para obtener directamente los resultados de ρ, p y T en unidades del Sistema Internacional.
1.1.6 El baroaltímetro
El altímetro es el instrumento utilizado en una aeronave para conocer la posición vertical de la
misma. Este instrumento es el principal y más importante elemento para la navegación vertical y
para establecer la separación vertical del avión con el suelo y otras aeronaves.
Un altímetro convencional es, en realidad, un baroaltímetro, que básicamente consiste en un
dispositivo que mide la presión abiente en la posición de vuelo. El baroaltímetro está compuesto
por un manómetro conectado a un orificio expuesto a la presión atmosférica local y un dial
indicador cuya escala se encuentra calibrada en unidades de altitud en lugar de expresar unidades
de presión. La transformación entre el valor de presión ambiente y la lectura de altitud que exhibe el
instrumento es posible gracias a la definición de la atmósfera de referencia ISA, cuyo modelo provee
la equivalencia entre presión atmosférica y altitud que permite la calibración del instrumento. En la
Figura 1.3 se muestra el esquema de funcionamiento elemental de un baroaltímetro. Allí vemos
que se dispone una cápsula aneroide4 que se encuentra expuesta a la presión atmosférica exterior.
La deformación de la cápsula, producida por los cambios en la presión ambiente, se transmite
mediante un mecanismo especial al dial indicador, el cual entrega una lectura de altitud o altura
dependiendo de la presión de referencia o de calaje fijada para realizar la estimación. La acción
de fijar la presión de referencia del baroaltímetro se denomina calado, y para esto el instrumento
4Se define como cápsula aneroide a una cápsula elástica cerrada herméticamente que se expande o se contrae frente a
los cambios de presión atmosférica.
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
1.1 Propiedades del aire 13
0
1
2
3
45
6
7
8
9
29.8
29.
6
Figura 1.3: Esquema de funcionamiento elemental de un baroaltímetro.
cuenta con una perilla que permite ajustar el altímetro a la presión correspondiente, la cual se
observa en una pequeña ventana conocida como ventanilla de Kollsman.
Es importante tener en cuenta que la información entregada por un altímetro (convencional) es
una estimación aproximada de la posición vertical de la aeronave con respecto a un determinado
marco de referencia definido por la presión de calaje, de manera de poder comparar esta informa-
ción con la posición de otros elementos (suelo, otras aeronaves) que obviamente debe estimarse
considerando la misma referencia. En todos los casos, aunque estas estimaciones se expresen en
metros (o pies), las mismas son en realidad valores de presión que se transforman a unidades de
longitud utilizando el modelo de atmósfera estándar. En otras palabras, se dice que el altímetro
entrega una altitud de presión de acuerdo a la siguiente definición:
Definición 1.6 — Altitud de presión. La altitud de presión es la altitud que le corresponde a la
presión ambiente local en el modelo de atmósfera estándar (ISA), es decir, la altitud a lacual se
obtiene la misma presión que la ambiente en la atmósfera estándar. Dado que a una altitud de
presión determinada la presión es constante, una superficie de presión constante (isobara) define
una superficie de altitud de presión constante.
El concepto de altitud (a secas) utilizado en la definición anterior es una definición eminen-
temente geométrica y, por lo tanto, no debe cofundirse con la altitud de presión que provee el
altímetro, cuyo marco de referencia está basado en la distribución de presión. La definición formal
de altitud se presenta a continuación.
Definición 1.7 — Altitud. La altitud es la distancia vertical, también entendida como la mínima
distancia, entre el nivel, punto u objeto considerado y el nivel medio del mar (MSL: mean sea
level). Para enfatizar el carácter geométrico de esta definición suele referirse a la altitud real
como altitud verdadera (TA: true altitude), la cual suele expresarse en pies sobre el nivel del
mar (ft AMSL: feet above mean sea level) en el contexto aeronáuticoa.
aEn la operación y la industria aeronáutica se han heredado múltiples unidades del Sistema Imperial que continúan
utilizándose masivamente como consecuencia de la fuerte influencia norteamericana en el sector.
Teniendo en cuenta que la operación de las aeronaves convencionales se produce dentro de
la Tropósfera, la equivalencia entre presión y altitud para obtener la altitud de presión se realiza
considerando la ecuación de altura para gradiente térmico constante. De la ecuación (1.10) se
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
14 Capítulo 1. Fundamentos físicos
obtiene la siguiente expresión:
h =
Tref
λ
[(
p
pref
)−λR/g
−1
]
+href. (1.13)
Entonces, para los valores de referencia de la atmósfera estándar en la Tropósfera (ver Tabla 1.1) y
teniendo en cuenta que el gradiente térmico es negativo, la altitud de presión resulta:
hMSL [m] = 44330,77
[
1−
(
p
pMSL
)0,19027]
. (1.14)
Definición 1.8 — Altitud de densidad. En forma análoga a la altitud de presión, la altitud de
densidad indica la altura necesaria en la atmósfera estándar (ISA) para obtener una densidad
igual a la densidad ambiente.
A diferencia de la altitud de presión, la altitud de densidad no se utiliza como una referencia de
altitud, sino que es más bien un idicador de performance ya que, como veremos más adelante, la
densidad del aire influye directamente en el desempeño de una aeronave. Por ejemplo, una altitud
de densidad elevada, lo cual implica un valor bajo de densidad, reduce la potencia disponible del
motor, disminuye la fuerza de sustentación y extiende las carreras de despegue y aterrizaje. La
altitud de densidad se obtiene mediante la ecuación (1.11):
hρ =
Tref
λ
[(
ρ
ρref
)−1/[g/(λR)+1]
−1
]
+href, (1.15)
lo cual resulta para la tropósfera:
hρMSL [m ] = 44330,77
[
1−
(
ρ
ρref
)0,23497]
, (1.16)
donde ρref es la densidad de referencia. Debido a la complejidad para obtener valores precisos
de densidad, en general es preferible deducir la altitud de densidad indirectamente mediante los
valores de altitud de presión y temperatura ambiente, para lo cual existen gráficos de doble entrada
que permiten realizar esta estimación de manera rápida durante un vuelo.
Otras importantes definiciones altimétricas corresponden a los conceptos de altura y elevación,
los cuales están relacionados con alguna posición sobre la superficie terrestre.
Definición 1.9 — Altura. La altura se define como la distancia vertical entre el nivel, punto u
objeto considerado y la superficie terrestre. Esta cantidad suele expresarse en pies sobre el nivel
del terreno (ft AGL: feet above ground level).
Definición 1.10 — Elevación. La elevación se refiere siempre a un punto fijo sobre la superficie
terrestre e indica la distancia vertical entre ese punto y el nivel medio del mar. Cuando se hace
referencia a la elevación de un aeródromo, ésta indica la elevación más alta del área de aterrizaje.
Al igual que la altitud, la elevación suele expresarse en ft AMSL.
Durante un vuelo, la altura del avión puede conocerse a través de un instrumento denominado
radio altímetro, el cual consiste básicamente en un emisor de señales de radio que mide el tiempo
que le demanda a la señal reflejada en el terreno retornar a la aeronave. Mediante esta información
el instrumento calcula la distancia recorrida por la señal estimando así la altura de vuelo. Aunque el
radio altímetro es un importante dispositivo de seguridad, la información “instantánea” de la altura
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
1.1 Propiedades del aire 15
de vuelo no es de gran utilidad para la navegación aérea. Para este propósito es más adecuado utilizar
referencias fijas como ser el nivel medio del mar dado por la presión estándar o un aeródromo
cercano, cuya posición de referencia vertical se estima considerando la presión atmosférica del
lugar. A partir de este valor se define la altura de presión:
Definición 1.11 — Altura de presión. La altura de presión es la diferencia entre la altitud de
presión del nivel, punto u objeto considerado y la altitud de presión de un punto fijo sobre la
superficie terrestre con respecto al cual se estima la medición.
Ejemplo 1.3 Determinar la altitud de presión y la altura de presión de una aeronave que se
desplaza en una posición donde la presión atmosférica es de 540hPa y se encuentra volando
sobre una superficie de 2000m de elevación cuya presión atmosférica es de 787hPa.
La determinación de la altitud de presión es directa por medio de la ecuación (1.14):
hMSL,avión = 44330,77
[
1−
(
540
1013,25
)0,19027]
= 5002,93m = 16414ft AMSL.
Para obtener la altura de presión primero debemos calcular la altitud de presión del punto de
referencia sobre la superficie terrestre:
hMSL,grnd = 44330,77
[
1−
(
787
1013,25
)0,19027]
= 2080,97m.
Con este valor determinamos la altura de presión de la aeronave
hgrnd,avión = hMSL,avión−hMSL,grnd = 2921,96m = 9586ft AGL.
Nótese que un valor aproximado bastante preciso para la altura de presión puede obtenerse
utilizando la presión y la temperatura ambiente del lugar de referencia sobre la superficie terrestre
como valores de referencia en la ecuación (1.14). Tomando Tgrnd = 288,15−0,0065×2000 =
275,15K se obtiene
h̃grnd,avión = 44330,77
Tgrnd
TMSL
[
1−
(
540
787
)0,19027]
= 2927,56m = 9604ft AGL.
Como vemos, la diferencia entre ambos resultados es de menos del 1%.
�
Nótese que para el cálculo de la altura de presión no es necesario conocer la elevación del
punto de referencia en la superficie terrestre sino solamente la presión atmosférica del lugar. Esta
presión, la cual generalmente corresponde a un aeródromo cercano y se designa como QFE, es muy
importante en la operación aeronáutica ya que, a partir de este valor, se define la presión QNH, que
es la presión de referencia utilizada para la navegación a altitudes relativamente bajas. Por otro
lado, la presión de la atmósfera estándar a nivel del mar recibe el nombre de QNE y se utiliza como
referencia cuando el vuelo se realiza a grandes altitudes. Estos conceptos se analizarán en detalle en
el Capítulo 6, donde se presentan los principales instrumentos del avión (entre ellos el altímetro).
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
16 Capítulo 1. Fundamentos físicos
1.2 Fundamentos del flujo de aire
La Mecánica de los Fluidos es la rama de la Mecánica de los Medios Continuos que estudia el
movimiento de los fluidos (gases y líquidos) así como las fuerzas que lo provocan y las acciones
que se generan por el movimiento. Dentro de esta disciplina, la Aerodinámica se ocupa del estudio
del flujo de gases, particularmente el aire, y de su interacción con cuerpos sólidos cuando existe
movimiento relativo entre ellos. Un entendimiento acabado de los fenómenos físicos involucrados
en estos procesos es fundamental para todo aquel que pretenda diseñar, construir o inclusive operar
una aeronave.
El objetivo principal de la Aerodinámica es fundamentalmente el de cuantificar y predecir
las fuerzas y momentos que se generan como consecuenciade la interacción entre el sólido y el
medio gaseoso, es decir, determinar las acciones aerodinámicas que experimenta el sólido debido
al movimiento (relativo) del aire. En esta sección presentaremos los conceptos básicos relativos a
estos aspectos.
1.2.1 Conceptos iniciales
Lejos de ser sencillo, el estudio del flujo de gases puede resultar extremadamente complejo si se
consideran todos los fenómenos involucrados en este tipo de problemas. Sin embargo, dependiendo
de la profundidad del análisis y de las características particulares del problema, pueden llevarse a
cabo una serie de simplificaciones que reducen notablemente la dificultad del análisis, permitiendo
su abordaje mediante ecuaciones relativamente sencillas que aún así son de gran utilidad.
A continuación se presentan las principales definiciones y simplificaciones que pueden realizarse
sobre los problemas de flujo de fluidos, y que serán esenciales a lo largo de este texto.
Representación del problema
En los problemas convencionales de Estática y Dinámica, e incluso en muchos problemas
de Termodinámica, suele imponerse la idea de sistema para la representación y el análisis de los
mismos. Esto significa que suponemos que el medio en estudio es una colección de materia de
identidad fija (los elementos o partículas que conforman esa materia son siempre los mismos).
Así, por ejemplo, en el análisis del movimiento de un cuerpo rígido el sistema está constituido
precisamente por ese cuerpo, el cual está formado por una determinada cantidad de materia que
nosotros seguiremos durante el estudio.
En el análisis del flujo de fluidos, la idea de sistema puede resultar desventajosa ya que, en
general, las partículas de materia “acceden” al dominio para luego abandonarlo conforme se
desarrolla el flujo, haciendo imposible la definición de un sistema de identidad fija. Por este motivo
suele utilizarse el enfoque del volumen de control para el análisis de flujos, donde la identidad fija la
constituye una geometría definida en el espacio que no depende del flujo, y cuya masa interna puede
variar en el tiempo. Desde este punto de vista, el fluido fluye a través del volumen de control y el
estudio consiste en analizar lo que sucede dentro y en los límites del mismo, utilizando un marco
de referencia fijo a dicho volumen. Esto es lo que se conoce como un análisis local o euleriano del
problema, el cual se contrapone con el análisis sustancial o lagrangiano.
La definición del volumen de control en general dependerá de las características geométricas del
problema. Así, por ejemplo, si deseamos estudiar las propiedades del flujo a través de una sección
de tubería, el volumen de control estará dado por las paredes de la tubería y por las secciones
transversales a la misma a través de las cuales ingresa y egresa el fluido. Algo similar sucede en
el caso de flujos en conductos o canales. Sin embargo, la definición del volumen de control no
resulta tan trivial cuando se considera el movimiento de cuerpos sólidos en medios fluidos. En estos
casos, el flujo ya no se encuentra confinado en un volumen fijo por lo que suele ser necesario definir
un volumen de control móvil que sigue el movimiento del cuerpo. En la Figura 1.4 se muestran
dos ejemplos de volúmenes de control que ilustran la forma de representar problemas de flujo de
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
1.2 Fundamentos del flujo de aire 17
Figura 1.4: Definición de volúmenes de control para el análisis de problemas de flujo. (a)
Volumen de control fijo. (b) Volumen de control móvil.
fluidos.
Flujo estacionario
La idea de flujo estacionario en principio podría parecer contradictaria, ya que por definición
un flujo implica movimiento. Sin embargo, desde un punto de vista local, la estacionariedad del
flujo se refiere a que las propiedades del fluido en una determinada posición no cambian en el
tiempo, es decir, que la densidad, la presión, la temperatura y la velocidad se mantienen constantes
a lo largo del tiempo y sólo son función de la posición:
ρ = ρ(x,y,z),
p = p(x,y,z),
T = T (x,y,z),
V = V(x,y,z).
(1.17)
La suposición de flujo estacionario es quizás la principal simplificación que puede realizarse
para el tratamiento del movimiento de los fluidos. Con ella se logra una notable simplificación en
las ecuaciones que gobiernan el flujo, ya que todos los términos asociados a variaciones temporales
desaparecen. Naturalmente, esta simplificación será válida únicamente en aquellos problemas
que respondan a la condición de estacionariedad, como por ejemplo el flujo constante de gases o
líquidos a través de un conducto, los movimientos no acelerados de cuerpos en medios fluidos, etc.
Definición del marco de referencia
Si bien la idea más simple de volumen de control es una geometría fija en el espacio, un gran
número de problemas de Mecánica de Fluidos pueden simplificarse considerablemente al utilizar
volúmenes de control móviles, especialmente cuando el movimiento se realiza a velocidad constante.
Estos casos corresponden fundamentalmente al desplazamiento de cuerpos en medios fluidos, como
el que se produce por el vuelo de un avión en la atmósfera terrestre. En esa situación existe una
velocidad relativa entre el aire en reposo y el avión que se mueve a velocidad constante V∞, cuyo
efecto aerodinámico es el mismo que se obtiene al considerar al avión en reposo inmerso en una
corriente de aire de velocidad V∞. En términos formales, esto es una transformación galileana, ya
que el cambio de sistema de referencia se debe solamente a una velocidad constante (en magnitud y
dirección), por lo que la transformación no introduce fuerzas adicionales cuando el sistema inicial
es inercial. Este principio es el que se utiliza en los túneles de viento, en los cuales el análisis
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
18 Capítulo 1. Fundamentos físicos
aerodinámico se realiza experimentalmente colocando un cuerpo en reposo dentro de una corriente
de aire con el objetivo de recrear las condiciones “reales” del movimiento.
La utilización de un volumen de control móvil permite transformar el campo de movimiento
eminentemente inestacionario que produce un cuerpo desplazándose en un fluido en reposo a un
problema estacionario en el cual el cuerpo está fijo e inmerso en una corriente que fluye estacio-
nariamiente a su alrededor. Para ilustrar este concepto imaginemos un automóvil desplázandose
a velocidad constante en una carretera recta. Para un observador ubicado a un lado del camino,
el movimiento es claramente inestacionario, donde el aire cambia sus propiedades en regiones
diferentes a medida que el auto avanza. Pero para un observador que se encuentra dentro del
vehículo, el movimiento del aire es esencialmente estacionario, ya que las propiedades del flujo no
cambian dentro de un volumen que contiene al automóvil y se mueve junto con éste.
Teniendo en cuenta lo anterior, cuando se analiza el movimiento estacionario de cuerpos en
medios fluidos, en general se considera un marco de referencia fijo al cuerpo y alineado con la
velocidad del mismo. Se define como velocidad de la corriente libre a la velocidad del flujo relativa
al cuerpo en regiones tan alejadas del mismo que no existen perturbaciones debidas a su presencia.
Por este motivo, esta velocidad suele indicarse como V∞, haciendo referencia a que se trata de la
velocidad del flujo “en el infinito”. Nótese que en el caso de una transformación galileana en el
problema de un cuerpo en movimiento rectilíneo y uniforme, la velocidad V∞ es igual a la velocidad
de desplazamiento del cuerpo. Del mismo modo que la velocidad, las propiedades restantes del
flujo asociadas a la corriente libre también se indican con el subíndice ∞ (ρ∞, p∞ y T∞).
Concepto de velocidad de flujo y líneas de corriente
La velocidad del flujo debe entenderse como la velocidad de desplazamiento de cada partícula de
fluido5 que conforma dicho flujo. Considerando las idealizaciones de la hipótesis del continuo (ver
Sección 1.1.4), puede definirse una velocidad para cada puntodel dominio, o sea que la velocidad
del gas puede variar punto a punto tanto en magnitud como en dirección. En otras palabras, la
velocidad del flujo en cada punto fijo del dominio es la velocidad del elemento diferencial de masa
en dicho punto fijo para un instante de tiempo dado.
A partir del concepto de la velocidad del flujo se realizan una serie de definiciones que facilitan
la interpretación y el análisis de los problemas que involucran el movimiento de fluidos. Estas
definiciones corresponden a las líneas de corriente, líneas de trayectoria y líneas de traza de un
flujo. Entre ellas, las líneas de corriente están más asociadas al análisis teórico, mientras que las
líneas de trayectoria y las líneas de traza son generalmente más usadas en el análisis experimental.
Definición 1.12 — Líneas de corriente. Una línea de corriente es una curva que en cada punto es
tangente al vector velocidad del flujo. Según su definición, existen infinitas líneas de corriente
asociadas a los infinitos puntos que conforman el dominio, las cuales no pueden intersectarse ya
que hay un solo vector velocidad (y por lo tanto una sola dirección tangencial al mismo) por
cada punto.
Matemáticamente las líneas de corriente se definen considerando un elemento diferencial de
arco ds = (dx, dy, dz), el cual por definición debe ser paralelo a la velocidad V = (u,v,w) en
cada punto, por lo tanto:
ds×V = (w dy− v dz) î+(u dz−w dx) ĵ+(v dx−u dy) k̂ = 0.
De la expresión anterior se deduce
dx
u
=
dy
v
=
dz
w
. (1.18)
5Entendiendo a una partícula de fluido de acuerdo a las idealizaciones asumidas en la hipótesis del continuo (ver
Definición 1.5).
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
1.2 Fundamentos del flujo de aire 19
Figura 1.5: Esquema de una línea de corriente para el instante de tiempo t = ti y una línea de
trayectoria para la partícula P1 en el intervalo t0 ≤ t ≤ tN .
La definición de las líneas de corriente se relaciona con la idea de “fotografía” del movimiento, ya
que las líneas de corriente representan una situación instantánea del flujo. Contrariamente, las líneas
de trayectoria representan la “historia” del movimiento de cada partícula fluida, con lo cual suelen
asociarse a la idea de “película” del movimiento. Esta diferencia puede verse esquemáticamente en
la Figura 1.5.
Definición 1.13 — Líneas de trayectoria. Como su nombre lo indica, una línea de trayectoria es
una curva que representa el camino recorrido por una partícula de fluido dentro del dominio
considerado. Al igual que para las líneas de corriente, en cada instante de tiempo existen infinitas
líneas de trayectoria asociadas a los infinitos elementos de fluido que existen teóricamente,
pero a diferencia del caso anterior, las líneas de trayectoria sí pueden intersectarse ya que dos
elementos de fluido pueden haber ocupado la misma posición en diferentes instantes de tiempo.
La línea de trayectoria para una partícula de fluido P se expresa matemáticamente como las
funciones xP(t), yP(t) y zP(t) que expresan la variación de la posición xP = (xP,yP,zP) de la
partícula en el tiempo:
xP(t) = xP(t0)+
ˆ t
t0
u(xP(τ),τ) dτ,
yP(t) = yP(t0)+
ˆ t
t0
v(xP(τ),τ) dτ,
zP(t) = zP(t0)+
ˆ t
t0
w(xP(τ),τ) dτ.
La expresión anterior es equivalente a:
dxP
dt
= VP(xP, t), (1.19)
que es la ecuación de movimiento cinemática de la partícula P.
Hay que enfatizar el hecho de que el vector xP representa la posición de una misma partícula
a lo largo del tiempo, por lo tanto la derivada dxP/dt es una derivada sustancial y xP no debe
confundirse con una posición fija en el dominio.
Definición 1.14 — Líneas de traza. Una línea de traza se define como una curva formada por
todas las partículas de un flujo que previamente han pasado por un mismo punto del dominio.
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
20 Capítulo 1. Fundamentos físicos
Figura 1.6: Fotografía del flujo de baja velocidad alrededor de un perfil aerodinámico. La
visualización se logra mediante la inyección de humo en algunos puntos del campo
de movimiento.
Nuevamente, dado que existen infinitos puntos dentro de un dominio, existen también infinitas
líneas de traza asociadas a cada uno de estos puntos.
Tanto las líneas de corriente como las líneas de traza representan una “situación instantánea”
que pueden variar. En el caso de flujo estacionario ambos conjuntos de líneas permanecen fijos
en el tiempo. Por otro lado, las líneas de trayectoria también podrán variar o permanecer fijas
dependiendo del recorrido que realicen las “nuevas” partículas de fluido que ingresan al dominio.
Bajo la condición de flujo estacionario, los tres grupos de curvas serán coincidentes entre sí, ya
que los elementos de fluido que pasan por un punto determinado recorrerán siempre la misma
trayectoria, haciendo indistinguibles las líneas de traza de las trayectorias. Además, la velocidad
que experimentará cada partícula de fluido a lo largo de su trayectoria será la misma, ya que el flujo
es estacionario, por lo tanto las líneas de corriente también coinciden con las líneas de trayectoria.
Esto puede verificarse analizando la expresión (1.19), que para el caso donde la velocidad (local)
no depende del tiempo, se reduce a la ecuación (1.18) cuando se considera un punto fijo en la línea
de trayectoria xP.
De esta manera, bajo la condición de flujo estacionario es posible visualizar experimentalmente
las líneas de corriente de forma relativamente sencilla. La técnica consiste en introducir en el
flujo un elemento contaminante que permita la visualización, tal como humo o algún colorante, de
modo que el fluido arrastre dicho elemento con el movimiento. Aunque de esta forma se estarán
reproduciendo líneas de traza tal como sucede con el humo que sale de una chimenea, a diferencia
de dicho ejemplo donde generalmente el viento desplaza el humo aleatoriamente configurando un
flujo no estacionario, la condición de estacionariedad del flujo hace que las líneas de traza coincidan
con las líneas de corriente permitiendo así visualizar estas últimas. En la Figura 1.6 se muestra la
fotografía de las líneas de corriente correspondientes al flujo estacionario alrededor de un perfil
aerodinámico que se observa mediante la inyección de humo.
DR
AF
T
(G
us
ta
vo
Kr
au
se
)
1.2 Fundamentos del flujo de aire 21
Flujo bidimensional
La definición de las líneas de corriente permite estableceer otras definiciones tendientes a
simplificar el tratamiento de los problemas de movimiento de fluidos. Si para un flujo determinado
las líneas de corriente quedan en todo momento contenidas dentro de planos paralelos, se dice
que el movimiento es plano y el mismo puede reducirse a un flujo bidimensional si es que las
propiedades no varían en dirección normal a dichos planos. Un ejemplo de flujo bidimensional es el
que se muestra en la Figura 1.6, ya que el campo de movimiento puede caracterizarse considerando
únicamente dos dimensiones, con un comportamiento se “repite” en la dirección perpendicular al
plano considerado.
La reducción de un problema tridimensional a uno bidimensional es otra de las principales
simplificaciones que pueden realizarse en el tratamiento del flujo de fluidos. Obviamente, la
posibilidad de llevar a cabo esta simplificación dependerá de la naturaleza del problema, ya que
para que su aplicación sea válida el campo de movimiento debe cumplir con los requerimientos del
movimiento plano. Este aspecto se pone en evidencia en el Capítulo 5 cuando se estudia el flujo
alrededor del ala de un avión.
Una simplificación similar a la de flujo bidimensional es la de flujo axisimétrico, la cual se
aplica en el caso de flujos que poseen simetría axial, tal como puede ocurrir en el movimiento de
fluidos a través de tubos rectos de sección circular o en el flujo alrededor de cuerpos de revolución
alineados con la corriente principal. En estos casos, las propiedades del flujo se repiten en cada
plano longitudinal que contiene al eje de simetría del problema, permitiendo reducir los grados de
libertad del análisis.
Flujo no viscoso