CINEU_Matematica

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MATEMÁTICA
Universidad Nacional de Córdoba
Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Departamento Ingreso
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS
2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO INGRESO
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS
MATEMÁTICA
Diseño y diagramación:
Sebastián Prevotel / Lucía Navarro 
sebastianprevotel@gmail.com
3
Autoridades de la FCEFyN
Decano 
Mg. Ing. Pablo Recabarren
 Vice-Decana 
Mg. Ing. Adriana Cerato 
Secretario General 
Ing. Daniel Lago 
Secretaría Académica (Área Ingeniería) 
Dra. Inga. Magalí Evelín Carro Pérez
 Secretaría Académica (Área Biología) 
Bióloga Analía González 
Secretaría Académica (Área Geología) 
Geólogo Raúl Paredes 
Secretaría Académica de Investigación y Post-Grado (Área Ingeniería) 
Dr. Ing. Federico Pinto 
Secretaría Académica de Investigación y Post-Grado (Área Ciencias Naturales) 
Dra. Marcela Cioccale
 Secretaría de Extensión 
Ing. Luis Antonio Bosch 
Secretaría Técnica 
Ing. Julio Alfredo Capdevila Aliaga 
Secretaría Administrativa 
Sr. Ángel H. Giménez 
Secretaría de Bienestar Estudiantil 
Ing. Oscar Alberto Cáceres
Prosecretaría Académica Área Ingeniería 
Ing. Lisandro A. Capdevila
Prosecretaría de Concursos 
Ing. Germán Naldini
4
 TODA LA INFORMACIÓN DEL INGRESO LA PUEDE ENCONTRAR 
EN LA PÁGINA WEB DE LA FACULTAD http://www.portal.efn.
uncor.edu/ en la sección INGRESANTES. 
Es IMPRESCINDIBLE que lea TODOS los archivos que figuran 
allí. Los exámenes de Matemática se rinden de manera pre-
sencial, y deberá llevar documento oficial que acredite feha-
cientemente su identidad, con foto, y los elementos necesarios 
para realizar la evaluación (lapicera azul o negra, hojas, NO 
está permitido el uso de calculadora). En una pizarra dispuesta 
a la entrada del edificio estará publicada el aula que le corres-
ponde por carrera. Habrá personal para indicarle su ubicación. 
La duración del examen es de una hora y media y al finalizar 
se le informará cuándo estarán las calificaciones obtenidas en 
los avisadores de Ingreso y el día y hora en que usted podrá 
revisar su examen. Recuerde que para aprobar el examen final 
de Matemática del Ciclo de Nivelación es necesario alcanzar un 
60% del puntaje total asignado a la evaluación. Las calificacio-
nes posibles serán Aprobado o No aprobado. Si no aprobara 
el examen en diciembre, recuerde que deberá reinscribirse 
durante ese mismo mes (consultar las fechas en la página web 
de la facultad) para poder cursar Matemática en la modalidad 
presencial. 
Recuerde que para ingresar al Laboratorio de Educación Vir-
tual (LEV), utilizara tanto para su usuario como su contraseña 
su DNI (en caso de error de contraseña recupere la misma). 
Recuerden que el e-mail que usted cargó en el sistema Guaraní 
cuando se inscribió, será a donde le lleguen las notas del 
CINEU y mensajes varios del LEV, por lo que debe de mante-
nerlo actualizado. 
¡Esperamos contarlo entre nuestros alumnos!
INFORMACIÓN IMPRESCINDIBLE 
CINEU
 
5 
 
PRÓLOGO ................................................................................................................. 8 
PROGRAMA .............................................................................................................. 9 
1. LÓGICA SIMBÓLICA. NÚMEROS REALES Y NÚMEROS COMPLEJOS ......... 12 
1.1. Proposiciones. Conectivos lógicos y tablas de verdad. Implicaciones y 
equivalencias lógicas. Tautologías, contradicciones y contingencias. Argumentos y 
modos de demostración........................................................................................ 15 
1.1.1 Proposiciones ......................................................................................... 15 
1.1.2. Conectivos lógicos y tablas de verdad ..................................................... 16 
1.1.3. Implicaciones y equivalencias lógicas ..................................................... 20 
1.1.4. Tautologías, contradicciones y contingencias .......................................... 24 
1.1.5 Argumentos y modos de demostración. ................................................... 26 
1.1.6 Cuantificadores ........................................................................................ 28 
1.2.1 Números reales. Operaciones y Propiedades .......................................... 37 
1.2.2. Potencias y raíces de números reales ..................................................... 39 
1.3. Números complejos ....................................................................................... 44 
1.3.1. Representación gráfica de los números complejos.................................. 50 
1.3.2. Clasificación de los números ................................................................... 50 
1.4. Ejercitación de la Unidad ............................................................................... 51 
2. POLINOMIOS ...................................................................................................... 46 
2.1 Introducción .................................................................................................... 48 
2.1.1 Definición de polinomio ............................................................................ 48 
2.2 Operaciones con polinomios ........................................................................... 50 
2.2.1 Adición: .................................................................................................... 50 
2.2.2 Sustracción de polinomios ........................................................................ 51 
2.2.3 Multiplicación de polinomios ..................................................................... 51 
2.2.4 División de polinomios .............................................................................. 53 
2.3 Divisibilidad y raíces ....................................................................................... 55 
2.3.1 Especialización, valuación o valor numérico de un polinomio ................... 56 
2.3.2 Teorema del resto .................................................................................... 57 
2.4 Raíz de un polinomio ...................................................................................... 57 
2.4.1 Corolario del teorema del resto ................................................................ 58 
2.4.2 Orden de multiplicidad de una raíz ........................................................... 58 
2.4.3 Observaciones: ........................................................................................ 58 
2.5 Transformación de un polinomio en un producto ............................................ 60 
2.6 Ejercitación de la unidad 2 .............................................................................. 62 
 
6 
3. FUNCIONES ........................................................................................................ 65 
3.1. Funciones ...................................................................................................... 67 
3.1.1. Conjuntos y subconjuntos ....................................................................... 67 
3.1.2. Operaciones con conjuntos ..................................................................... 69 
3.1.3. Par ordenado, producto cartesiano ......................................................... 71 
3.1.4. Ejemplos de productos cartesianos ......................................................... 72 
3.2. Correspondencia entre puntos de la recta y números reales ......................... 72 
3.3. Pares ordenado de Números Reales ............................................................. 74 
3.4. Conjunto de puntos: Intervalos ...................................................................... 75 
3.5. Relación y sus Representaciones .................................................................. 76 
3.6. Funciones ......................................................................................................79 
3.6.1. Imagen de una función ............................................................................ 84 
3.7. Funciones de primer grado y de segundo grado ............................................ 85 
3.7.1. Funciones Constantes ............................................................................. 85 
3.7.2. Funciones de primer grado ...................................................................... 85 
3.7.3. Funciones de segundo grado .................................................................. 88 
3.4. Ejercicios ....................................................................................................... 95 
4. ECUACIONES ................................................................................................... 110 
4.1. Ecuación de 1° grado con una incógnita. ..................................................... 113 
4.2. Ecuación de 1° grado con dos incógnitas. ................................................... 115 
4.3. Sistema de dos ecuaciones de 1° grado con dos incógnitas ........................ 116 
4.4. Ecuación de 2° grado con una incógnita ...................................................... 121 
4.5. Soluciones complejas de una ecuación de 2° grado .................................... 123 
4.6. Reconstrucción de la ecuación de 2° grado conocidas sus raíces ............... 124 
4.7. Sistemas mixtos. Métodos de sustitución ..................................................... 125 
4.8. Ejercitación de la Unidad 4 .......................................................................... 127 
4.9. Resolución de Problemas. Planteamiento de problemas ............................. 132 
4.9.1. Introducción ........................................................................................... 132 
4.9.2. Formulación de expresiones algebraicas .............................................. 132 
4.9.3. Planteamiento de Problemas................................................................. 133 
4.9.4. ¿Qué se necesita para resolver un problema? ...................................... 141 
4.9.5. Respuestas ........................................................................................... 143 
5. TRIGONOMETRÍA ............................................................................................. 145 
5.1. Longitud de un arco de circunferencia ......................................................... 148 
5.2. Ángulos y su Medición ................................................................................. 149 
5.3. Funciones trigonométricas ........................................................................... 151 
5.3.1. Funciones Seno y Coseno .................................................................... 151 
 
7 
 
5.3.2. La Función Tangente ............................................................................ 153 
5.3.3. La Función Cotangente ......................................................................... 155 
5.3.4. La Función Secante .............................................................................. 156 
5.3.5. Función Cosecante ............................................................................... 156 
5.4. Resolución de triángulos .............................................................................. 157 
5.5. Fórmulas de adición..................................................................................... 160 
5.6. Ejercitación de la Unidad 5 .......................................................................... 165 
GUÍA DE EJERCITACIÓN COMPLEMENTARIA .................................................. 168 
Unidad 1 ............................................................................................................. 169 
Unidad 2 ............................................................................................................. 178 
Unidad 3 ............................................................................................................. 185 
Unidad 4 ............................................................................................................. 193 
Unidad 5 ............................................................................................................. 200 
Resultados.......................................................................................................... 211 
Unidad 1.......................................................................................................... 211 
Unidad 2.......................................................................................................... 211 
Unidad 3.......................................................................................................... 212 
Unidad 4.......................................................................................................... 213 
Unidad 5.......................................................................................................... 213 
 
 
 
8 
Joven estudiante: 
¡Bienvenido a la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales! Imaginamos tu sueño. Lo 
imaginamos como un sueño ya en marcha pero que recién comienza. Como un sueño que 
comenzó este año o tal vez hace ya algunos años. Lo imaginamos similar al de los varios miles 
de jóvenes que año tras año y para avanzar sobre distintos campos del conocimiento humano, 
inundan nuestra casa de estudios. Lo imaginamos como un intento de formarse para la vida. 
Lo imaginamos como un sueño repleto de dudas, con miedos, pero con la firme convicción de 
probar que con esfuerzo se puede alcanzar. Para acompañarte en esta importante etapa de tu 
formación, el grupo de docentes del ciclo de nivelación te brindaremos nuestro apoyo, que 
consistirá en orientar el carácter de los estudios que llevarás a cabo, a través de clases teórico-
prácticas y clases de consulta que te prepararán para que puedas desarrollar todo tu potencial 
y afrontar con éxito los requerimientos de las diferentes asignaturas que estén involucradas en 
tu carrera. También recibirás como apoyo, este material escrito que creemos será una 
importante guía de estudio. En relación con la metodología de trabajo, es significativo destacar 
que si bien estaremos en contacto durante las clases y las aulas virtuales, la lectura que hagas 
por tu cuenta de este material de estudio que pone a tu disposición la Facultad, y el esfuerzo 
por resolver los problemas aquí planteados, serán de gran importancia a la hora de medir el 
grado de comprensión de las principales ideas involucradas en este curso de nivelación. Como 
importante, te adelantamos que a medida que avances en el desarrollo del curso, podrás 
autoevaluarte a través de instrumentos (pruebas espejo) que pondremos a tu disposición. Estas 
evaluaciones, también nos servirán a los docentes encargados del curso, para evaluar nuestro 
desempeño. Los contenidos que abordaremos, en su mayoría debieran resultarte conocidos. En 
tu paso por la Escuela Media, seguro que estuviste en contacto con ellos, y además seguro que 
el nivel de profundidad con el que serán abordados en este Ciclo de Nivelación, no será distinto 
al que emplearon tus profesores del nivel medio. Es nuestra intención, por un lado nivelar 
conocimientos y capacidades, y por otro, definir tendencias y vocaciones. Los problemas 
planteados, intentan acercarte la problemática de las distintas carreras de la Facultad, 
naturalmente desde la sencillez con la cual se puede plantear en un curso introductorio, con el 
propósito de que puedas, al menos, vislumbrar tu futuro profesional. 
Te deseamos suerte y que tus sueños comiencen a cumplirse. 
 
 
9 
 
Los matemáticos suelen decir que la esencia de las Matemáticas reside en la belleza de los 
números, figuras y relaciones, y hay una gran verdad en ello. Pero la fuerza motriz de la 
innovación matemática en los siglos pasados ha sido el deseo de entender cómo funciona la 
Naturaleza. Esteaspecto fundamental es pocas veces mencionado. La Matemática forma junto 
con el método experimental el esquema conceptual en que está basada la Ciencia moderna y en 
el que se apoya la Tecnología, existiendo estrechas interacciones entre ellas. Sobre estas bases 
nació la Sociedad Industrial hace varios siglos, y la nueva Sociedad de la Información se 
construye en el presente siguiendo las mismas pautas. 
Matemática del Ciclo de Introducción a los Estudios Universitarios es una actividad curricular 
que pertenece al ingreso de las carreras de la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. 
A través del cursado de la asignatura el alumno desarrollará competencias tales como la de 
utilizar la lógica como fundamento para determinar si un argumento es válido, destreza 
operativa en temas básicos de Álgebra y Trigonometría como aplicación de conceptos teóricos, 
y resolución de problemas. 
En amplios términos la tarea de Matemática es la de utilizar la lógica simbólica para expresar 
los conceptos básicos del Álgebra y la Trigonometría que serán utilizados en materias de primer 
año de cada carrera, llegando al nivel de aplicación de los mismos a través de la resolución de 
problemas. 
El enfoque del dictado se orienta a proveer al alumno de la capacidad de operar con números 
reales y complejos, polinomios, conjuntos, funciones, ecuaciones y trigonometría, y aplicarlos 
en la resolución de problemas. 
Como se trata de una materia de nivelación de contenidos de la Escuela Media, el alumno deberá 
leer previamente a la clase el tema en el material didáctico específico. En clase se realizará una 
síntesis conceptual mediante una exposición dialogada. A continuación se resolverán ejercicios 
y problemas. 
La aprobación se obtiene con el 60 % del puntaje asignado a los ítems de la evaluación. Las 
calificaciones posibles son Aprobado o No aprobado. 
 
 
 
10 
Unidad 1. Lógica simbólica. Proposiciones. Conectivos lógicos y tablas de verdad. 
Implicaciones y equivalencias lógicas. Tautologías, contradicciones y contingencias. 
Argumentos y modos de demostración. Cuantificadores. 
Unidad 2. Números reales y complejos. Los números reales, operaciones y propiedades. 
Potencias y raíces de números reales. Números complejos, operaciones en forma binómica. 
Representación trigonométrica de un número complejo. Producto y cociente de números 
complejos en forma trigonométrica. 
Unidad 3. Polinomios. Polinomios, grado. Operaciones con polinomios; divisibilidad; 
valuación. Teorema del resto. Raíz de un polinomio, orden de multiplicidad. Descomposición 
factorial de un polinomio. Factorización. 
Unidad 4. Relaciones y funciones. Conjuntos y subconjuntos. Operaciones. Par ordenado. 
Producto cartesiano. Correspondencia entre puntos de la recta y números reales. Relación y sus 
representaciones. Funciones, su representación gráfica. Funciones lineal y cuadrática. 
Unidad 5. Ecuaciones de primer y segundo grado. Ecuaciones de primer grado con una 
incógnita. Ecuación de segundo grado con una incógnita. Sistema de dos ecuaciones de primer 
grado con dos incógnitas. 
Unidad 6. Trigonometría. Longitud de un arco de circunferencia. Ángulos y su medición. 
Funciones trigonométricas. Relaciones fundamentales. Fórmulas de adición. Resolución de 
triángulos. 
 
Allendoerfer, Carl y Cletus Oakley. Fundamentos de Matemáticas Universitarias. Tercera 
edición. McGraw-Hill. México. 1973. 
Azpilicueta, J. Guía de Estudio de Matemática. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y 
Naturales. Universidad Nacional de Córdoba. Córdoba. 2013. 
Camuyrano, M. et al. Matemática I. Modelos matemáticos para interpretar la realidad.
 Ed. Estrada Polimodal. Buenos Aries. 2000. 
Millar, C. et al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Octava edición. Addison Wesley 
Longman. México. 1999. 
Rees, P. et al. Álgebra. Décima edición. McGraw-Hill. 1991. México. 
Stewart, J. et al. Introducción al Cálculo. Thomson International. 2007. 
Sobel, Max y Norbert Lerner. Precálculo. Quinta edición. Editorial Prentice Hall. 1998. 
Varsavsky, O. Álgebra para Escuelas Secundarias. EUDEBA 1973. Buenos Aires. 
Zill, D. et al. Precálculo. McGraw-Hill. Interamericana. 2008. México.
 
Como bibliografía se aconseja utilizar los textos de estudio del secundario, sin destacar ninguno 
en particular. 
Esta guía de enseñanza presenta una introducción a la lógica matemática o simbólica, los 
conceptos básicos del número real y del número complejo, sus operaciones y propiedades 
básicas. Considera los polinomios como entes abstractos y estudia sus operaciones y 
propiedades. Previo a la definición de función se estudian los conjuntos y sus propiedades. Hace 
hincapié en las funciones polinómicas de primer y segundo grado y en las funciones 
exponencial y logarítmica. Plantea la resolución de ecuaciones de primer grado con dos 
incógnitas, y de segundo grado con una incógnita. Estudia, también, la resolución de sistemas 
de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y de sistemas mixtos. Desarrolla, en 
trigonometría, resolución de triángulos e identidades trigonométricas fundamentales. En cada 
caso se plantea una introducción teórica al tema, el desarrollo de ejemplos y la ejercitación 
correspondiente. 
El alumno deberá utilizar, además de esta guía, los textos específicos de Matemática que estudió 
en la escuela media, a fin de reforzar el aprendizaje. 
“... la ciencia matemática no es el fruto de la contemplación, no es descriptiva en 
ninguna de sus partes, es una actividad humana reducida a sus elementos intelectuales 
esenciales. Comprender un resultado matemático es saber utilizarlo. Conocer una teoría 
matemática es saber reconstruirla como si fuera su creador. Aprender una demostración de 
memoria sin comprenderla es una proeza que intentan algunos valientes ingenuos, pero es 
la que nunca he visto triunfar...” 
Matemática Moderna. Matemática Viva, de A. Revuz. 
 
Por ello es recomendable estudiar Matemática teniendo a mano abundante papel 
borrador y lápiz. 
 
En consecuencia: 
1. Lea la introducción teórica tratando de comprenderla. 
2. Aclare los conceptos desarrollando personalmente los ejemplos. 
3. Realice la ejercitación correspondiente. Si tiene dificultades, repita los puntos 1 y 2. 
 4. Si no tiene éxito, no desespere, solicite ayuda al docente. 
 
1
LÓGICA SIMBÓLICA
Números reales y números complejos
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
13
OBJETIVOS
Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:
 Operar con proposiciones simples para obtener proposiciones compuestas
mediante operadores lógicos.
 Identificar tautologías, implicaciones lógicas y equivalencias lógicas.
 Comprender los argumentos y los modos de demostración.
 Operar con cuantificadores.
 Identificar números naturales, enteros, racionales, irracionales y complejos.
 Operar con números reales y complejos utilizando sus propiedades.
CONTENIDOS
1.1 Proposiciones. Conectivos lógicos y tablas de verdad. Implicaciones y equivalencias
lógicas. Tautologías, contradicciones y contingencias. Argumentos y modos de
demostración. Cuantificadores.
1.2 Números reales. Operaciones y propiedades. Potencias y raíces de números reales.
1.3 Números complejos. Operaciones en forma binómica.
ESQUEMA CONCEPTUAL
LÓGICA SIMBÓLICA

REALIDAD MENSURABLE

SISTEMA NUMÉRICO

NÚMEROS REALES

NÚMEROS COMPLEJOS

ÁLGEBRA
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
14
INTRODUCCIÓN
En esta unidad se presenta una introducción a la lógica simbólica y se revisan los
conceptos necesarios para trabajar las principales operaciones en el campo de los números
reales y complejos, que ya se han visto en cursos de la escuela media.
ORIENTACIÓN DEL APRENDIZAJE
Lea la introducción teórica de cada tema y desarrolle personalmente los ejemplos que le
siguen. Realice la ejercitación correspondiente.
BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD
Como bibliografía se aconseja utilizarlos textos de estudio del secundario, sin destacar
ninguno en particular.
Aprender a calcular con exactitud, operar símbolos con facilidad y aplicar con
seguridad las propiedades de los números reales y complejos es un objetivo fundamental
para el estudiante de Ciencias Naturales y de Ingeniería.
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
15
CONTENIDOS
1.2. PROPOSICIONES. CONECTIVOS LÓGICOS Y
TABLAS DE VERDAD. IMPLICACIONES Y
EQUIVALENCIAS LÓGICAS. TAUTOLOGÍAS,
CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS.
ARGUMENTOS Y MODOS DE DEMOSTRACIÓN
1.1.1 PROPOSICIONES
Sin pretender dar una definición filosóficamente irreprochable, diremos que una
proposición es toda sucesión de palabras de la cual tiene sentido afirmar que es verdadera o
falsa. Así por ejemplo:
El sol es verde. (1)
Un cuadrado es un rombo y un rectángulo. (2)
son proposiciones: (1) es falsa y (2) es verdadera.
En cambio,
¡Venga! (3)
¿Qué hora es? (4)
no son proposiciones, pues no tiene sentido decir que sean verdaderas o falsas.
Se debe notar que cuando tiene sentido decir que una expresión es verdadera, también
tiene sentido decir que es falsa, y viceversa. Por ejemplo, si alguien afirmara que (1) es
verdadera, no diríamos que esta afirmación carece de sentido, sino simplemente, que no
corresponde a la realidad.
Dada una proposición, si es verdadera, diremos que su valor de verdad es V (inicial de
“verdad”) y si es falsa diremos que su valor de verdad es F (inicial de “falsedad”).
Por ejemplo, el valor de verdad de (1) es F y el de (2) es V.
Así como en álgebra elemental se usan letras tales como x, y, z, etc. para representar
números, también en lógica se usan letras tales como p, q, r, etc. para representar proposiciones.
Por ejemplo en álgebra suele decirse:
“Sea x un número cualquiera”.
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
16
En lógica por analogía, se usan expresiones tales como:
“Sea p una proposición cualquiera”.
Si x es una letra que se usa para reemplazar números, en álgebra tiene sentido escribir:
x = 2
De igual manera, en lógica, si p es una letra que se usa para reemplazar proposiciones, tiene
sentido escribir:
p = El sol es verde.
1.1.2. CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLAS DE VERDAD
Con los conectivos gramaticales
“y”, “o”, “no”, “si..., entonces..., ”
se forman a partir de proposiciones dadas otras más complejas. Recíprocamente, estos
conectivos nos permiten analizar ciertas proposiciones complejas expresándolas mediante otras
más simples conectadas por ellos.
Por ejemplo, la proposición
Un cuadrado es un rombo y un rectángulo.
Se puede escribir con las proposiciones
p = Un cuadrado es un rombo,
q = Un cuadrado es un rectángulo,
en la forma: p y q. Una proposición de este tipo se llama conjunción.
Además de conectar proposiciones, la palabra “y” tiene otros usos. Así la proposición “Jorge y
Raúl son hermanos” indica una relación entre Jorge y Raúl que no es reducible a una
conjunción. Esto muestra la necesidad de introducir un símbolo cuya única función sea la de
conectar proposiciones. Adoptaremos, entonces, para la conjunción el símbolo  . Con este
símbolo (2) se escribe: p q.
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
17
Teniendo en cuenta todo lo anterior damos la siguiente definición:
Dadas dos proposiciones p, q, se llama conjunción o producto lógico de p y q, a la
proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p, unidas ambas por la palabra
“y”. Se indica p q, y se lee p y q.
Una conjunción es verdadera si ambas componentes son verdaderas, y falsa en caso contrario.
Dadas dos proposiciones p, q, hay solamente cuatro conjuntos posibles de valores de verdad
que se les pueden asignar. Estos cuatro casos posibles y el valor de verdad de la conjunción en
cada uno de ellos se pueden expresar mediante una tabla llamada tabla de verdad de la
conjunción:
P q p  q
V V V
V F F
F V F
F F F
Se puede considerar que esta tabla define el símbolo  , ya que explica cuáles son los valores
de verdad que asume p q en todos los casos posibles.
La disyunción de dos proposiciones se forma enunciando una proposición a continuación de la
otra, unidas ambas por la letra “o”. El uso habitual de esta palabra es ambiguo, pues si, por
ejemplo, decimos:
Comenzaré a estudiar hoy o mañana
es obvio que queda excluida la posibilidad que se den ambas alternativas. En cambio, si
decimos:
Fort es el propietario o el gerente
no queda excluida la posibilidad de que se den ambas afirmaciones parciales, a saber:
Fort es el propietario
y
Fort es el gerente
O sea que el lenguaje habitual admite dos usos diferentes de la palabra “o” que llamaremos
exclusivo e inclusivo, respectivamente. Nosotros utilizaremos el uso inclusivo de la misma,
que formalizamos mediante la siguiente definición:
Dadas dos proposiciones p, q, se llama disyunción o suma lógica de p y q, a la
proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p, unidas ambas por la palabra
“o”, considerada en su uso inclusivo. Se indica p  q, y se lee “p o q”.
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
18
De acuerdo con la definición anterior, una disyunción es falsa solamente si son falsas ambas
componentes, y es verdadera en todos los demás casos. Esto se puede expresar mediante una
tabla, llamada tabla de verdad de la disyunción:
P q p  q
V V V
V F V
F V V
F F F
Al igual que para la conjunción, esta tabla se puede considerar como la definición del símbolo
 .
Nos ocuparemos ahora de la negación de una proposición, considerando la siguiente definición:
Dada una proposición p, se llama negación de p, a la proposición que se obtiene
colocando la palabra “no” y enunciando a continuación la proposición p. Se indica p, y se
lee no p.
Por ejemplo, si consideramos la proposición (1)
p = El sol es verde.
su negación es
p = No el sol es verde.
Este enunciado resulta chocante, al menos en idioma castellano. Por ello adoptaremos la
convención de aceptar como equivalentes enunciados tales como: “No el sol es verde”, “El sol
no es verde” y “El sol es no verde”. Es decir, cuando una proposición se exprese mediante
palabras, seguiremos los usos corrientes del idioma; pero cuando la proposición se de en forma
simbólica, por ejemplo mediante la letra p, formaremos su negación anteponiendo el símbolo
 en estricto acuerdo con la definición dada. Se suele usar el símbolo ~ en vez de ¬ .
La negación de una proposición verdadera es falsa, y la negación de una proposición falsa es
verdadera. Esto se puede expresar mediante una tabla llamada tabla de verdad de la negación:
p  p
V F
F V
la cual se puede considerar como la definición del símbolo  .
Conviene aclarar que es usual referirse a los símbolos  ,  , introducidos para la conjunción,
disyunción y negación, respectivamente, con el nombre de conectivos lógicos.
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
19
En lógica, los paréntesis se usan con el mismo sentido que en aritmética y en álgebra, es decir,
para indicar como deben agruparse los diferentes elementos de una fórmula. Por ejemplo, en la
expresión “3.(4+5)”, lo que está dentro del paréntesis se debe agrupar y resolver antes de
efectuar la operación de multiplicación indicada por el punto que se encuentra fuera del
paréntesis. Teniendo en cuenta que el resultado de lo que está dentro del paréntesis es 9, la
expresión dada también se puede escribir así: 3.9, lo cual da como resultado final 27. En cambio
si colocamos los paréntesis de este modo “(3.4)+5”, hay que resolver lo que ahora se encuentra
dentro del paréntesis, que es 3.4 = 12, y luego resolver la operación exterior al paréntesis, que
en este caso es la suma: 12+5=17. En resumen, tenemos dos resultados diferentes, que
dependen solamente del modo en que se han agrupado los elementos mediante el uso de
paréntesis:
3.(4+5) = 27
(3.4)+5 = 17
En matemática, es habitual, en el segundo de los casos, no escribir los paréntesis, aunque se los
sobreentiende;es decir, se suele escribir “3.4+5”en lugar de “(3.4)+5”. Esto no es ninguna
cuestión conceptual profunda, se trata solamente de una convención destinada a simplificar la
escritura.
En lógica la situación es similar: la expresión p  q r es ambigua, ya que puede significar la
conjunción de p con la disyunción de q y r, o puede significar la disyunción cuya primera
componente es la conjunción de p y q, y cuya segunda componente es r. Distinguimos los dos
sentidos diferentes agrupando la expresión dada, ya sea así:
p (q  r), o así: (p q)  r.
En expresiones más complejas, además de los paréntesis se usan corchetes y llaves. Por
ejemplo, si quisiéramos indicar la disyunción entre p  r y la conjunción de p con (q) 
t, escribiríamos:
   [( ) ]p r p q t     (1)
Ahora bien, cuando se está habituado al uso de paréntesis, la distinción entre paréntesis,
corchetes y llaves no es necesaria, y se usan solamente paréntesis. Así, la fórmula (1) se escribe:
 p r p q t             
(2)
Con el fin de disminuir el número de paréntesis, convenimos en escribir q t en lugar de (q)
 t, entendiendo que el símbolo  se aplica a q y no a la expresión completa q t. Con esta
convención, (2) adopta la forma:
 p r p q t          
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
20
1.1.3. IMPLICACIONES Y EQUIVALENCIAS LÓGICAS
(Tema desarrollado por la Ing. Especialista Laura Vargas orientado a la materia Informática.)
IMPLICACIÓN
Un concepto fundamental de la lógica y de la matemática es el concepto de deducción o
implicación. En ésta la conexión de dos proposiciones p y q es tal que “si se cumple p se
cumple q”. Este tipo de implicación, que es la que estudiaremos, recibe el nombre de causal y
se puede pensar como un “compromiso”.
La relación “p implica a q”, o “q se deduce de p”, o “p sólo si q”, se anota p q . El conectivo
lógico  se denomina implicación o condicional, p antecedente y q consecuente de la
implicación.
Establecemos la siguiente definición:
Dadas dos proposiciones p, q, se dice que p implica a q, o que q se deduce de p, si
no se verifica que p sea verdadera y q falsa.
Vemos que en la implicación si es verdadero el antecedente p y falso el consecuente q estamos
ante el único caso de falsedad. Podemos pensar que no se cumpe el “compromiso”. Si es
verdadero el consecuente q, en cambio, nada sabemos del antecedente p, puede o no ser
verdadero, por lo que el valor es “verdadero”. Finalmente es verdadero el valor cuando tanto p
como q son falsas.
Ejemplo
Si llueve, voy al cine.
Donde
p=llueve q=voy al cine
Se verifica su falsedad sólo si es verdadero que llueve y falso que esté en el cine, puesto que
afirmé que cuando llueve voy al cine. Se debe tener especial cuidado en evitar confusiones con
el lenguaje natural, donde hay ambigüedad y la expresión del ejemplo se puede confundir con
“sólo voy al cine cuando llueve”, en cuyo caso si estoy en el cine es verdadero que llueve y no
puede ser de otra forma. En cambio en nuestro ejemplo puede ser que esté en el cine y haya sol,
nada se afirma al respecto. También se observa que si no estoy en el cine, seguramente no
llueve.
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
21
La tabla de verdad de la implicación resulta entonces:
P Q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Otros ejemplos:
Si cobro la herencia, pago la deuda.
p=cobro la herencia q=pago la deuda
Si llueve el baile se suspende.
p= llueve q=el baile se suspende
Si la oferta del producto sube, su precio baja.
p=sube la oferta del producto q=baja el precio del producto
También se puede expresar:
Es suficiente que suba la oferta del producto para que su precio baja.
O bien:
El precio del producto baja si sube su oferta.
Cuando se tiene p q , se dice también que p es condición suficiente para q, o bien que se
cumple q si se cumple p (q si p).
En la misma situación, es decir p q , se cumple p sólo si se cumple q (p sólo si q), se dice
también que q es condición necesaria para p.
IMPLICACIÓN DIRECTA, RECÍPROCA, CONTRARIA, CONTRARRECÍPROCA.
A partir de la implicación vista, llamada directa, surgen otras, de la siguiente manera:
Directa: pq
Recíproca qp
Contraria ¬ p¬ q
Contrarrecíproca ¬ q¬ p
En matemática corresponden a los teoremas directo, recíproco, contrario o inverso y
contrarrecíproco respectivamente.
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
22
Se demuestra que cualquier implicación directa tiene la misma tabla de verdad que la
contrarrecípoca, es decir que son equivalentes. Si se verifica la directa se verifica la
contrarrecíproca, esto es: “si p entonces q” equivale a “si no es q entonces no es p”. Veamos
la tabla de verdad:
P Q pq ¬ q ¬ p ¬ q¬ p
V V V F F V
V F F V F F
F V V F V V
F V V F V V
Ejemplo
Directa:
Si un número es racional, entonces es real (Verdadera).
Recíproca
Si un número es real entonces es racional. (Puede o no ser verdadera, depende del caso)
Contraria:
Si un número no es racional entonces no es real. (Puede o no ser verdadera, depende del caso)
Contrarrecíproca
Si un número no es real, entonces no es racional (Verdadera)
OBSERVACIÓN
Se debe observar que:
I) Del hecho que p q sea verdadera no se deduce necesariamente que su recíproca
o su contraria sean verdaderas. Pueden serlo o no, según el caso particular de que se
trate.
II) De la veracidad de p q se deduce necesariamente la veracidad de su
contrarrecíproca.
III) De la veracidad de pq  se deduce necesariamente la veracidad de p q .
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
23
En los teoremas HT (directo) siempre se verifica que ¬ T¬ H.
Cuando esto último es lo que se prueba se dice que se usó el método de demostración por el
absurdo.
EQUIVALENCIA (O DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL)
Dadas dos proposiciones p, q, se dice que p es equivalente a q si se verifica p q
y q p . Se anota p q . En tal caso, p es el primer miembro y q el segundo miembro
de la equivalencia.
Cuando se tiene p q se dice que p es condición suficiente para q (se cumple q si se cumple
p) y que q es condición necesaria para p (p sólo si q) ahora para la equivalencia p q se
tienen las siguientes expresiones sinónimas:
I) p es condición necesaria y suficiente para q
II) se cumple q si y sólo si se cumple p
Dadas dos proposiciones p, q, la proposición p es equivalente a q, que se anota
p q , es por definición la siguiente: ( p q )  ( q p ). La proposición bicondicional es
verdadera si y sólo si ambas proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad (o ambas
son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas).
A partir de las tablas de verdad de la implicación y de la conjunción resulta la tabla de verdad
de la equivalencia:
P q p q q p    p q q p  
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
La tabla buscada es:
p Q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
24
Ejemplos de relación de equivalencia:
Si r es una raíz del polinomio P(x) (o sea P(r) =0), entonces x-r es un factor de dicho polinomio.
Si y sólo si llueve se suspende el baile.
Si y sólo si la nota obtenida en el examen es mayor o igual a 4 se aprueba.
REGLAS DE PRIORIDAD
La conexión ¬ tiene siempre prioridad más alta. Por consiguiente p q  debe ser comprendida
como ( )p q  , y no como ( )p q  . En el caso de las conexiones binarias, la prioridad más
alta se le da a  , seguida por , y   , en ese orden. En la expresión p q r  , debe ser
entendida como ( )p q r  . Similarmente, p q r  debe ser entendida como ( )p q r  ,
porque  toma prioridad sobre  . La conexión  recibe la prioridad más baja, lo que implica
que p q r  debe entenderse como ( )p q r  .
Las reglas que involucran prioridad son, por supuesto, conocidas por las expresiones
aritméticas. Por ejemplo, en el lenguaje de programación C++, * tiene prioridad sobre +, lo que
significa que a+b*c debe ser interpretado como a+(b*c) .
En algunas expresiones, las reglas de prioridad no son suficientespara eliminar todas las
ambigüedades. Por ejemplo, la expresión p q r  podría ser comprendido como
( )p q r  o como ( )p q r  . La interpretación utilizada depende de la asociatividad de
la conexión  . Generalmente,  es un operador, como lo son los operadores + y / en C++.
Todas las conexiones lógicas binarias son asociativas por la izquierda. Por consiguiente,
p q r  debe ser comprendido como ( )p q r  . Esto es consistente con lenguajes de
programación tales como C++, donde a/b/c se interpreta como (a/b)/c en vez de a/(b/c). Por
lo tanto, los operadores aritméticos binarios en C++ son también asociativos por la izquierda.
1.1.4. TAUTOLOGÍAS,
CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS
Consideremos las siguientes proposiciones:
Colón descubrió América. (1)
Colón descubrió América o Colón no descubrió América. (2)
Ambas son verdaderas. La verdad de (1) es un hecho empírico, que conocemos por la
investigación histórica. Esta proposición podría ser falsa si los acontecimientos históricos
hubieran sido diferentes. En cambio, (2) por su forma, es necesariamente verdadera; su verdad
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
25
es independiente de todo hecho empírico, y subsistiría cualquiera hubiera sido el curso de la
historia.
La proposición (2) resulta de reemplazar p por “Colón descubrió América” en la fórmula
pp  (3)
Ahora bien, cualquier reemplazo en (3) da una proposición verdadera; por ejemplo,
reemplazando p por “Soy el rey de Inglaterra”, se obtiene la proposición verdadera
Soy el rey de Inglaterra o no soy el rey de Inglaterra.
Una fórmula que sólo tiene ejemplos de sustitución verdaderos se llama tautología o verdad
lógica. Para probar que (3) es una tautología construimos la siguiente tabla de verdad:
P ¬ p pp 
V F V
F V V
La primera columna de esta tabla contiene los posibles valores de verdad de p, la segunda se
forma a partir de la primera tabla de verdad de la negación, y la tercera a partir de las anteriores
con la tabla de verdad de la disyunción. Como esta última columna contiene sólo valores V, se
tiene que todos los ejemplos de sustitución de (3) son verdaderos, lo cual significa que (3) es
una tautología.
Las siguientes equivalencias:
))())((
)())((
qpqp
qpqp


llamadas leyes de De Morgan, también son tautologías. Las mismas formulan las relaciones
entre la conjunción, la disyunción y la negación, motivo por el cual presentan especial interés.
Otras tautologías de interés, son las siguientes leyes distributivas :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
p q p r p q r
p q p r p q r
     
     
Ejercicio: Demostrar, mediante tablas de verdad, que las fórmulas anteriores son verdades
lógicas.
Consideremos, ahora, las proposiciones:
Hernández escribió el Quijote de la Mancha (4)
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
26
Hernández escribió el Quijote de la Mancha y Hernández no escribió el Quijote
de la Mancha (5)
Ambas son falsas. La falsedad de (4) es un hecho empírico o contingente, en tanto la falsedad
de (5) es independiente de los hechos; es una falsedad necesaria, consecuencia de la forma de
(5). Esta proposición resulta de reemplazar p por “Hernández escribió el Quijote de la Mancha”
en la fórmula
pp  (6)
Ahora bien, cualquier reemplazo en (6) da una proposición falsa.
Una fórmula que sólo tiene ejemplos de sustitución falsos se llama contradicción o falsedad
lógica. Para probar que (6) es una contradicción construimos la siguiente tabla de verdad:
P p pp 
V F F
F V F
Como la última columna contiene sólo valores F, se tiene que todos los ejemplos de sustitución
de (6) son falsos, lo cual significa que (6) es una contradicción.
Las fórmulas que no son tautologías ni contradicciones se llaman contingencias. Una
contingencia es, por consiguiente, una fórmula que tiene entre sus ejemplos de sustitución tanto
proposiciones verdaderas como falsas. Así ,p q p q y p q   son contingencias; lo
cual se puede ver por medio de sus tablas de verdad.
1.1.5 ARGUMENTOS Y MODOS DE DEMOSTRACIÓN.
ARGUMENTOS
Un argumento es una relación entre un conjunto de proposiciones p1 , p2, …, pn llamadas
premisas y otra proposición q llamada conclusión; denotamos un argumento por:
p1 , p2, …, pn  q ( se lee por lo tanto)
Se dice que un argumento es válido si las premisas dan como consecuencia la conclusión;
más formalmente:
Un argumento p1 , p2, …, pn  q es válido si q es verdadero cada vez que las premisas p1 ,
p2, …, pn sean verdaderas.
Un argumento que no es válido se llama falacia.
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
27
Ejemplo 1: El argumento p, p q  q es válido. Este argumento se llama modus ponendo
ponens, o más corto, modus ponens. La demostración de esta regla se obtiene directamente de
la tabla:
P q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Observe que en la primera fila de la tabla q es verdadero cuando p y p q lo son; el
argumento es válido.
Es importante notar que prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos de
condicionales del tipo
(p1 p2 … pn)  q
A los p1 p2… pn se les llama hipótesis y a q se le llama conclusión. Demostrar un teorema
significa probar que el condicional es verdadero. Observe que no se pretende demostrar que q
(la conclusión) es verdadero, sino que q será verdadero siempre que los p1  p2  … pn sean
verdaderos. De aquí que las demostraciones matemáticas comienzan frecuentemente con el
enunciado “suponga que p1 p2 … pn son verdaderos” y concluye con el enunciado “por lo
tanto, q es verdadero”.
Cuando un condicional (p1 p2… pn)  q es una tautología, entonces es siempre verdadero,
independientemente de los valores de verdad de los enunciados que componen los q o de los pi
. En este caso el argumento
p1 , p2, …, pn  q
p1
p2
.
.
.
Pn
___________
 q
es universalmente válido, sin importar qué enunciados reales se sustituyan por las variables en
q y en los pi. La validez depende de la forma de los enunciados y no de sus valores de verdad.
Por ello estos argumentos universalmente válidos están representados por métodos generales
de razonamiento correcto, llamados reglas de inferencia. Los pasos de la demostración
matemática de un problema deberán seguirse de la aplicación de reglas de inferencia y una
demostración matemática debe iniciarse con la hipótesis, seguir a través de varios pasos, cada
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
28
uno justificado por alguna regla de inferencia, y llegar a la conclusión. El argumento p  q, q
 r  p  r es universalmente válido y por lo tanto es una regla de inferencia.
Damos a continuación algunas reglas de inferencia de gran utilidad:
1. p
pq adición
2. p q
 p simplificación
3. p
p  q
 q modus ponens
4. p  q
¬ q
______
 ¬ p modus tollens
5. p  q
¬ p
 q silogismo disyuntivo
6. p  q
q  r
 p  r silogismo hipotético
7. p
q
_____
pq conjunción
1.1.6 CUANTIFICADORES
El objeto fundamental de la lógica no es tanto el estudio de la verdad o falsedad de las
proposiciones compuestas, como el de la validez o invalidez de los razonamientos deductivos.
La validez de cierto tipo de razonamientos no se puede estudiar considerando las proposiciones
que los integran como todos indivisibles, pues la misma depende de la estructura lógica interna
de las proposiciones no compuestas que dichos razonamientos contienen. Es por ello que se
crean técnicas para describir y simbolizar las proposiciones no compuestas de manera que
quede manifiesta su estructura lógica interna.
Entonces conviene que en las proposiciones separaremos los objetos o individuos de los
predicados o propiedades a ellos atribuidos, y que procuremos explicitar ambos con un
simbolismo adecuado.
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
29
Un predicado como
es azul (1)
atribuido a objetos como
el sol, la luna, el hambre (2)
da en algunos casos proposiciones
el cielo es azul, la luna es azul, (3)
y en otros casos, expresiones que no son proposiciones:
el hambrees azul (4)
Para describir en general situaciones como ésta, recurrimos a los métodos del álgebra.
Una expresión como
x + 4 = 7 (5)
se llama ecuación, y no es una proposición, pues no tiene sentido afirmar que sea verdadera o
falsa, ya que “x” no tiene en ella un valor determinado.
La expresión (5) es un molde o esquema donde al reemplazar “x” por nombres de cosas, y si
las cosas son números se obtienen proposiciones. Por ejemplo, al reemplazar “x” por 4 y por 3
se obtienen las proposiciones
4 + 4 = 7 3 + 4 = 7, (6)
de las cuales la primera es falsa y la segunda verdadera. Pero no se obtienen proposiciones al
reemplazar “x” por cosas distintas de números, por ejemplo “la luna”, en cuyo caso se obtiene
la expresión
la luna + 4 = 7 (7)
que no es una proposición.
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
30
De manera semejante, las proposiciones (3) y la expresión (4) se obtienen del esquema
x es azul (8)
reemplazando x por los nombres de objetos (2). Al igual que (5), (8) no es una proposición pues
no puede decirse que sea ni verdadera ni falsa, ya que x no designa ningún objeto, sino que es
una simple señal puesta para marcar un lugar. Pero cuando se reemplaza x por el nombre de un
individuo o cosa de cierta clase o conjunto, (8) se transforma en una proposición verdadera o
falsa.
Todo esto nos lleva a la siguiente definición:
Se llama esquema proposicional en la indeterminada x, a toda expresión que
contiene a “x” y que posee la siguiente propiedad: existe por lo menos un nombre tal que la
expresión obtenida sustituyendo la indeterminada por dicho nombre, es una proposición.
Cuando no haya lugar a confusión, diremos simplemente “esquema” en lugar de “esquema
proposicional”. A las indeterminadas las llamaremos también variables o incógnitas, y a los
nombres de objetos particulares, constantes. Así, el “cielo”, “la luna”, “3”, son ejemplos de
constantes.
Es usual referirse a los esquemas proposicionales con el nombre de “funciones
proposicionales”.
Ejemplos
a) x es interesante
es esquema, pues existe una constante, por ejemplo, “Este libro”, que colocada en lugar de la
variable produce la siguiente proposición:
Este libro es interesante
Que esta proposición sea verdadera o falsa dependerá de cuál sea el libro particular que se esté
señalando.
b) ¿Qué x es?
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
31
No es esquema, pues no hay ninguna constante que colocada en lugar de la variable produzca
una proposición. En efecto, en algunos casos se obtienen expresiones carentes por completo de
sentido, como
¿Qué 3 es?
y cuando se obtienen expresiones con sentido, tales expresiones son preguntas, como
¿Qué hora es? ¿Qué día es?
Las cuales no son proposiciones.
c)
es esquema, pues cualquiera sea la constante que se coloque en lugar de la variable se obtiene
una proposición, siempre falsa.
d) x es un número impar
Es esquema.
Por analogía con lo que se hace en álgebra, utilizaremos símbolos como F(x), G(x),
E(x), P(x), etc. para designar esquemas proposicionales de incógnita x, también llamados
esquemas proposicionales en x; F(y), G(y), etc. para esquemas proposicionales de incógnita y,
también llamados esquemas proposicionales en y; etc.. Se lee: “F de x”, “G de x”, “F de y”, “G
de y”, etc.
Sea F(x) un esquema en “x “ y a una constante. Se dice que “a” satisface a F(x)
si al reemplazar la variable “x” por “a” se obtiene una proposición verdadera.
Ejemplo
Sea el esquema en x
F(x) = x es azul
La constante “el cielo” satisface a F(x) pues la proposición
x x
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
32
F(el cielo) = el cielo es azul
es verdadera. En cambio, la constante “la luna” no lo satisface, pues la proposición
F(la luna) = la luna es azul
es falsa.
Teniendo en cuenta lo dicho para esquemas proposicionales con una sola indeterminada,
estamos en condiciones de definir qué se entiende por esquema proposicional con varias
indeterminadas.
Se llama esquema proposicional en las indeterminadas (o variables) a
toda expresión que contiene dichas indeterminadas y que posee la siguiente propiedad:
existen por lo menos n constantes tales que la expresión obtenida sustituyendo
las indeterminadas respectivamente por es una proposición.
Utilizaremos símbolos como F( ), G( ), etc. para designar
esquemas proposicionales en las indeterminadas .
Ejemplo:
F(x, y) = x es divisor de y
es un esquema o función proposicional con dos indeterminadas, el cual, para x = 2, y = 6,
produce la proposición
F(2,6) = 2 es divisor de 6. (V),
en cambio, para x = 12, y = 6, produce la proposición:
F(12,6) = 12 es divisor de 6. (F)
1........., ,nx x
1........., ,na a
1........., ,nx x 1........., ,na a
1........., nx x 1........., nx x
1........., nx x
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
33
A partir de esquemas proposicionales es posible obtener proposiciones generales
mediante un proceso llamado cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los
símbolos x y x, llamados cuantificadores universal y existencial en x, respectivamente.
Las expresiones
Para todo x, se verifica P(x).
Existe x, tal que se verifica P(x).
se denotan mediante:
y corresponden a una función proposicional P(x) cuantificada universalmente en el primer
caso, y existencialmente en el segundo. Una función proposicional cuantificada adquiere el
carácter de proposición. En efecto, considerando el siguiente ejemplo:
Todos los números enteros son pares.
es claro que hemos enunciado una proposición general y relativa a todos lo números enteros,
cuyo valor de verdad es F. Una traducción más detallada de esta proposición consiste en decir:
Cualquiera que sea x, x es par.
Es decir,
Si cuantificamos existencialmente la misma función proposicional, se tiene:
 x | x es par
O sea, Existe x, tal que x es par.
O bien, Existen enteros que son pares.
O más brevemente, Hay enteros pares.
: ( )
| ( )
x P x
x P x


: .x x es par
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
34
El valor de verdad es V, y en consecuencia se trata de una proposición. El cuantificador
existencial se refiere a, por lo menos, un x.
Es obvio que una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si
son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquélla. Para asegurar la verdad de una
función proposicional, cuantificada existencialmente, es suficiente que sea verdadera alguna de
las proposiciones asociadas a la función proposicional.
Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas.
La negación de Todos los números enteros son pares.
es No todos los enteros son pares.
es decir Existen enteros que no son pares.
y en símbolos
Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia
el cuantificador en existencial y se niega la función proposicional.
La negación de Existen enteros que son pares.
es No existen enteros pares.
es decir Cualquiera que sea el entero, no es par.
o lo que es lo mismo Todo entero es impar
y en símbolos
Entonces para negar una función proposicional cuantificada existencialmente se cambia
el cuantificador en universal, y se niega la función proposicional.
Se tienen las siguientes equivalencias:
| ( )x P x 
: ( )x P x 
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
35
Ejemplo 1. Sea la proposición:
Todo el que la conoce, la admira.
Nos interesa escribirla en lenguaje simbólico, negarla, y expresar la negación en lenguaje
ordinario.
La proposición dada puede enunciarse.
Cualquiera que sea la persona, si la conoce, entonces la admira.
Aparece clara la cuantificación de una implicación de las funciones proposicionales
P(x) : x la conoce
Q(x) : x la admira
Se tiene
x : P(x)  Q(x)
Teniendoen cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y
una implicación, resulta:
x | P(x)  ¬Q(x)
Pasando al lenguaje ordinario:
Hay personas que la conocen y no la admiran.
Ejemplo 2. Consideremos la misma cuestión en el siguiente caso:
Todo entero admite un inverso aditivo.
Es decir
Cualquiera que sea el entero, existe otro que sumado a él da cero.
Intervienen dos variables y la función proposicional
[ : ( )] | ( )
[ | ( )] : ( )
x P x x P x
x P x x P x
    
   
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
36
P(x, y) : x + y = 0
La expresión simbólica es entonces
x y | x + y = 0
Su negación es
x | ¬[y | x + y = 0]
Es decir,
x | y : x + y  0
su traducción al lenguaje ordinario es
Existe un entero cuya suma con cualquier otro, es distinta de cero. (F)
Ejemplo 3. Sea la proposición
Hay alumnos que estudian y trabajan.
Su enunciado sugiere un cuantificador existencial y dos funciones proposicionales:
P(x) : x estudia
Q(x) : x trabaja
En forma simbólica se tiene
 x | P(x)  Q(x)
Su negación es
 x : ¬[P(x)  Q(x)]
Considerando las leyes de Morgan
 x : ¬P(x)  Q(x)
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
37
Que en lenguaje ordinario se puede expresar como
Cualquiera que sea el alumno, no estudia o no trabaja.
1.2.1 NÚMEROS REALES. OPERACIONES Y PROPIEDADES
Los procedimientos cuantitativos básicos de la ciencia comprenden las operaciones de contar y
medir. Contar significa caracterizar una colección o conjunto de objetos mediante un número,
en tanto que medir es asignar un número a alguna propiedad de un objeto. Las nociones de
“contar” y “medir”, al igual que la de conjunto, distan de ser conceptos simples. Cada una de
estas nociones ha sido objeto de muchos estudios en el campo de la metodología científica. Lo
importante para nosotros en el presente estudio es el hecho de que tanto “contar” como “medir”
conducen a números, y mediante el uso de números y conjuntos es posible lograr una buena
compresión de los fenómenos de la naturaleza.
Los niños aprenden primero a contar y se familiarizan con los números 1, 2, 3 ... (N). En los
primeros estudios, el niño aprendió a sumar, restar, multiplicar y dividir dos números naturales.
Aunque algunas divisiones, como 6:3 = 2 eran posibles, sin embargo fue necesario pasar a
nuevos números para darle sentido a expresiones como 7:2 y 3:5. Para salvar estas situaciones,
se introdujeron las fracciones y se desarrolló la aritmética de las fracciones.
Más adelante el joven estudiante se familiarizó con el cero y con los números negativos tales
como –7, -3, -5/3, etc., y aprendió a realizar operaciones con ellos. El conjunto constituido por
los enteros positivos y negativos y las fracciones positivas y negativas recibe el nombre de
conjunto de los números racionales (Q). La ventaja de utilizar este sistema en vez de usar
únicamente los números positivos consiste en que podemos restar cualquier número racional de
otro número racional. Si sólo dispusiéramos de los números positivos, entonces 3-5, por
ejemplo, carecería de significado.
Cuando se introducen los números irracionales tales como 2 y π se dice que estos números
no se pueden representar como fracciones ordinarias, sino que se escriben como expresiones
decimales infinitas, por ejemplo 1,4142... y 3,1415... Las expresiones decimales de los números
racionales también son infinitas, por ejemplo,
1/4 = 0,25000...
1/3 = 0,33333...
2 = 2.00000...
1/7 = 0,142857142857...
Estas últimas expresiones, sin embargo, se repiten periódicamente a partir de alguna cifra,
mientras que las correspondientes a los números irracionales no tienen esta propiedad. El
conjunto de todos estos números, los racionales y los irracionales, constituyen el conjunto de
los números reales (R). Podemos decir entonces, que un número real es un número que se
puede representar por una expresión decimal infinita.
Si “a” y ”b” son dos números reales cualesquiera, se pueden establecer las siguientes
operaciones en el conjunto de los números reales (R):
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
38
Adición : a b
Multiplicación : a . b
Sustracción : a b
División : :a b , si 0b 
Dos símbolos, a y b , que representan números reales, son números iguales si y solamente si
representan el mismo número real.
Si a, b y c representan números reales y si a b , entonces
a c b c   a . c = b . c
a c b c   / /a c b c (supuesto 0c  )
1.2.1.1. PROPIEDADES OPERATIVAS DE LOS NÚMEROS REALES
I. La adición y la multiplicación son operaciones conmutativas; esto es, si a y b son dos
números reales cualesquiera:
a b b a   a . b = b . a
II. La adición y la multiplicación son operaciones asociativas; esto es, si a ,b y c son
números reales :
(a + b) + c = a + (b + c) a . (b . c) = (a . b ) . c
III. La multiplicación distribuye sobre la suma; esto es, si a , b y c son números reales:
a . (b + c) = a . b + a . c
IV. El número real “0” es el elemento neutro en la adición; es decir, si “ a ”es un número real
cualquiera:
0a a 
El número real “1” es el elemento neutro en la multiplicación; es decir, si “ a ”es un
número real cualquiera:
a . 1 = a
V. Dado un número real “ a ”; existe un número real que se denota con “- a ”, que se llama
“opuesto de a ” y tal que:
( ) 0a a  
Dado un número real “ a ” diferente de cero, existe un número real que se denota “ 1a ”
(o también 1/a) que se suele llamar “inverso de a “ y tal que:
a . a-1 = 1
Además es una consecuencia de las propiedades anteriores el hecho de que cualquiera sea
el número real “ a ”:
a . 0 = 0
Si “ a ” y “b ” son números reales y a . b = 0 , entonces  0a  o  0b  .
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
39
El conjunto de números reales es un conjunto totalmente ordenado, esto es, dados dos números
reales distintos se puede establecer cuál es el mayor. Utilizando el lenguaje de las desigualdades
podemos expresar que para cada par de números reales a y b, es verdadera, una, y solamente
una de las proposiciones
a b a b a b
Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de una recta
(la recta numérica), de modo que a cada número real le corresponde un punto de la recta, y a
cada punto de la recta le corresponde un número real.
1.2.2. POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS REALES
1.2.2.1. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES
Definimos las “potencias” de un número real “ a ” de la siguiente forma:
1a a ;
2 1a a a a a    ;
3 2a a a a a a     ;
En general, si “n” es un número natural:
...na a a a a   (n factores)
es decir que el símbolo “ na ” (que se lee: potencia enésima de “ a ”) significa el producto de “n”
factores iguales a “a”.
El número “ a ” se llama “base” y el número “n”, “exponente” de la potencia. La potencia 2 de
un número se llama su “cuadrado” y la potencia 3 su “cubo”.
Para todo número real “ a ” distinto de cero el concepto de potencia se amplía con las
definiciones siguientes:
0 11;   a a a
(P: número natural)
No damos significado alguno al símbolo 00.
Si la base “ a ” es un número real no nulo, la potenciación queda así definida para todo
exponente entero.
1.2.2.2 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
Sean a , b ; números reales no nulos; m, n: números enteros,
1. Producto y cociente de potencias de igual base:
n m n ma a a   /n m n ma a a 
2. Potencias de productos y cocientes:
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
40
( )n n na b a b     nnn baba // 
3. Potencias de potencias:
( )n m n ma a 
Observación: La potenciación no es asociativa, es decir, en general
( )cba no es igual a ( )b ca
Usamos el símbolo
cba para indicar el número ( ).
cba
1.2.2.3. RAÍCES DE NÚMEROS REALES
Si “n” es un número natural y “b” un número real positivo, existe un único número real positivo
“a” tal que: .na b
El número “a” se llama la raíz enésima de “b” (o también la raíz enésima aritmética de “b”) y
se denota con el símbolo n b .
n b a es equivalente a na b
El símbolo n sellama “radical”; el número “n” se llama “índice” y el número “b”
“radicando”. Para n = 2, 3, 4, 5,... se dice que “a” es la raíz cuadrada, cúbica, cuarta, quinta,
etc.; para n = 1 se tiene a = b; para n = 2 es costumbre suprimir el índice y escribir:
b en vez de 2 b .
1.2.2.4. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES ARITMÉTICAS
1. Producto y cociente de radicales del mismo índice
n n na b a b  
/ /n n na b a b
En particular:  m n mn a a
2. Radicales superpuestos:
m nn m n ma a a 
3. Se puede multiplicar por el mismo número natural el índice del radical y el exponente
del radicando:
n pn m m pa a 
Esta propiedad permite:
a) simplificar un factor común al índice del radical y exponente del radicando;
b) reducir varios radicales al mismo índice.
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
41
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
42
Ejemplo 1
6 34 2a a
Ejemplo 2
Los radicales 3 6 15; ;a b c se expresan también, respectivamente, en la forma:
30 30 3010 5 2; ;a b c
Observaciones
1) Si “n” es impar , la raíz aritmética na b es el único número real tal que na b . Si “n”
es par, el número na b   tiene la misma propiedad; se llama la raíz enésima negativa
de “b”.
2) A menudo se usa el símbolo n afectando a un número negativo; por ejemplo:
3 8; 4 
etc., en general:
n b
siendo b positivo.
Si el índice “n” es impar existe un único número real cuya potencia enésima es igual a “-
b”, es el número
n bc 
Ejemplo
3 38 8 2    
Si el índice “n” es par el radical no tiene sentido.
Es importante destacar que para estas expresiones no son válidas, en general, las propiedades
de los radicales aritméticos.
Ejemplos
1) 3 8 no es igual a  26 8
3 38 8 2    
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
43
 2 66 8 64 2  
2)  24 1 no es igual a  1
   24 41 1 1  
1 no tiene sentido.
3)    2 2 4 2    
   2 2   no tiene sentido.
4) Si “m” y “n” son números naturales y “a” es un número real positivo, se definen las
potencias de exponente p = m/n; -p = -m/n por medio de las fórmulas:
/ nm n ma a
/
/
1m n
m na a
 
es decir, que /m na es otra notación para la raíz enésima aritmética de “ ma ”.
Es importante observar que /m na depende del número racional “ /p m n ” y no de la fracción
que lo representa. Si se tiene: / /m n r s (ó, equivalentemente: m s n r   ) resulta:
/ n n sm n m m sa a a  
/ s n sr s r n ra a a  
Por la igualdad m s n r   resulta:
n s n sm s n ra a  
y por lo tanto
/ /m n r sa a
Las propiedades de la potenciación que hemos enunciado para exponentes enteros resultan
válidas para exponentes racionales cuando la base es un número real positivo.
La notación /m na no se extiende al caso en que “a” es un número negativo puesto que, en este
caso, puede tenerse / /m n r sa a , como vimos anteriormente, siendo / /m n r s . Por ejemplo:
   1/3 2 / 68 8  
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
44
1.3. NÚMEROS COMPLEJOS
Hay muchos problemas que no se pueden resolver en el conjunto de los números reales. Por
ejemplo, con sólo los números reales no podemos resolver
2 1x  
Para buscar una solución a esta dificultad introducimos un nuevo símbolo, i , que por
definición, es tal que 2 1i   .
Después, escribimos expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales, y a estas
expresiones las llamamos números complejos. El número a es la parte real de a + bi, y
b es la parte imaginaria. Para poder manejar estas expresiones como números, debemos
definir con ellas las operaciones aritméticas usuales.
DEFINICIONES
Las operaciones aritméticas en el conjunto de los números complejos se definen así:
Igualdad: a bi c di   si y solamente si a c y b d
Adición:        a bi c di a c b d i      
Multiplicación:        a bi c di ac bd bc ad i      
Obsérvese que la definición de multiplicación es consistente con la propiedad asignada a i, a
saber, 2 1i   .
En efecto, si multiplicamos    a bi c di   usando el álgebra ordinaria, obtenemos
   2ac i bc ad i bd   . Ahora, cuando sustituimos 2i por –1, llegamos a la fórmula de la
definición.
Ejemplo 1
a.    3 6 2 3 5 3i i i    
b.    7 5 1 2 6 3i i i    
c.      25 7 3 4 15 41 28 15 28 41 13 41i i i i i i           
d.      22 3 1 4 2 11 12 2 12 11 10 11i i i i i i             
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
45
También debemos considerar la división. Queremos expresar  1/ a bi como un número
complejo. El mejor modo de conseguirlo es utilizar el número complejo conjugado a bi .
Definición de conjugado
Los números complejos a bi y a bi se llaman conjugados.
Ahora escribimos:
2 2 2 2 2 2
1 1 a bi a bi a bi
a bi a bi a bi a b a b a b
  
    
     
que es el número complejo igual a  1/ a bi . Extendiendo este método podemos calcular
cualquier cociente de la forma general    / :a bi c di 
   
   
       
2 2 2 2 2 2
a bi c di ac bd bc ad i ac bd bc ad ia bi
c di c di c di c d c d c d
       
   
      
División: Para calcular el cociente    /a bi c di  , multiplicamos el numerador y el
denominador por el número complejo conjugado c di y simplificamos el resultado.
Ejemplo 2
   
   
4 2 34 4 2 3 5 14 5 14
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 13 13 13
i ii i i i i
i i i i i
    
    
    
g
Por último, resolveremos algunas ecuaciones que contienen números complejos. El siguiente
ejemplo sugiere el método general.
Ejemplo 3
Resolver
  2 3 4x yi i i    .
Podríamos resolver la ecuación escribiendo
   4 / 2 3x yi i i   
y calculando a continuación el cociente indicado en el miembro de la derecha. Sin embargo,
utilizaremos otro procedimiento. Si efectuamos la multiplicación en el miembro de la izquierda
obtenemos
   2 3 3 2 4x y x y i i     
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
46
Según nuestra definición de igualdad de dos números complejos, las partes reales de ambos
miembros han de ser iguales y, del mismo modo, las partes imaginarias también han de serlo.
Por lo tanto,
2 3 4
3 2 1
x y
x y
 
  
Resolvemos estas ecuaciones simultáneas multiplicando por 3 la primera ecuación y por 2 la
segunda y sumando las dos ecuaciones,
6 9 12
6 4 2
13 14
14
13
x y
x y
y
y
 
   


Multiplicamos por 2 la primera ecuación y por –3 la segunda ecuación y sumando las dos
ecuaciones:
4 6 8
9 6 3
13 5
5
13
x y
x y
x
x
 
   


Este método, que consiste en igualar las partes reales e imaginarias, es de gran importancia en
la aplicación de los números complejos a la ingeniería.
OTRA INTRODUCCIÓN
Nuestra definición de números complejos carece de recursos intuitivos. Dijimos que no existe
ningún número real x tal que 2 1x   , pero, sin embargo, introdujimos i dotado de esta
propiedad.
¿Qué es, pues, i? Tanto inquietó esta pregunta a los matemáticos que al fin, dieron a i el nombre
de número imaginario y a a bi el de número complejo, para indicar el contraste con los otros
números de nuestro sistema, que son reales. Nuestro propósito actual es iniciar un nuevo
desarrollo de los números complejos de una manera lógica y fuera de lo imaginario.
DEFINICIONES
Número complejo
Un número complejo es un par ordenado de números reales (a, b)
Parte real de un número complejo
El número complejo (a, 0) se llama parte real del número complejo (a, b). Veremos que, de
una manera natural, se pueden identificar los pares (a, 0) con los números reales a.
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
47
Número imaginario puro
Un número complejo de la forma (0, b) se llama número imaginario puro.
La aritmética de los números complejos viene dada por las siguientes definiciones básicas.
DEFINICIONES
Igualdad
Dos números complejos (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a c y b d .
Adición
( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d   
Multiplicación( , ) ( , ) ( , )a b c d ac bd bc ad   
Es evidente que existe una correspondencia biunívoca entre, los números complejos (a, 0) y los
números reales a, que está definida por
( ,0)a a .
Esta correspondencia es particularmente útil porque en ella las sumas corresponden a las sumas
y los productos corresponden a los productos. Esto es:
( , 0) ( , 0) ( , 0)a c a c
a c a c
  
  
b b b
( , 0) ( , 0) ( , 0)a c ac
a c ac
 
 
b b b
Este tipo de correspondencia se llama isomorfismo y decimos que el conjunto de los números
complejos (a, 0) es isomorfo al conjunto de los números reales a, con respecto a la adición y a
la multiplicación. Se justifica así la identificación de los dos sistemas. En consecuencia,
podemos decir que (a, 0) es un número real cuando no exista motivo de confusión.
Adición :      0, 0, 0,b d b d  
Multiplicación :      0, 0, ,0b d bd  
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
48
Es importante observar que el producto de dos números imaginarios puros es un número real.
En particular,
     0,1 0,1 1,0  
Recordemos ahora que lo que motivó nuestra introducción de los números complejos fue,
precisamente, la imposibilidad de resolver la ecuación 2 1x   dentro del conjunto de los
números reales.
Veamos ahora como la introducción de los números complejos nos permite resolver esta
ecuación. Conforme con el isomorfismo, la ecuación
       2, , , 1,0x y x y x y   
Según hemos visto,    , 0,1x y  es una solución de esta ecuación, además se puede comprobar
que    , 0, 1x y   es otra solución. Por consiguiente, nuestra introducción de los números
complejos nos permite resolver ecuaciones de este tipo que no tienen solución en los números
reales.
Para completar nuestra discusión necesitamos mostrar la correspondencia entre nuestras dos
definiciones de los números complejos. Antes de entrar en esa discusión, señalaremos las
siguientes identidades:
     
       
0, ,0 0,1
, ,0 ,0 0,1
b b
a b a b
 
    
Como ejercicio verifique las identidades anteriores.
Ahora estableceremos la siguiente relación entre las dos notaciones:
Notación (a,b) Notación a + bi
Números Reales (a,0) a
Unidad Imaginaria (0,1) i
Utilizando las identidades anteriores podemos, ahora, deducir las correspondencias:
Notación (a,b) Notación a + bi
Imaginarios Puros (0,b) bi
Números Complejos (a,b) a + bi
De estas correspondencias se deduce que las reglas que rigen la igualdad, la adición y la
multiplicación de los números complejos en notación a bi , que fueron establecidas como
definiciones anteriormente, concuerdan con las correspondientes definiciones en notación
 ,a b .
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
49
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
50
1.3.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
A diferencia de los números reales, los números complejos no se pueden representar, de una
manera aceptable, como puntos de una recta. Por la misma razón no podemos definir la noción
de desigualdad entre dos números complejos.
Si queremos representar gráficamente los números complejos, el procedimiento más
conveniente es asociarlos biunívocamente con los puntos del plano.
Para ello, medimos la parte real ade a bi a lo largo del eje horizontal (o eje real) y la parte
imaginaria b a lo largo del eje vertical (o eje imaginario).
De esta manera establecemos una correspondencia biunívoca entre los números complejos y
los puntos del plano.
Ej
ei
ma
gin
ar
io
Eje real0
a + bia
b
1.3.2. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
El siguiente esquema muestra las diferentes clases de números y las relaciones que existen entre
ellas.
Números
complejos
a + bi
Números
reales
b = 0
Números
imaginarios
puros
a = 0
b = 0
Números
racionales
Números
irracionales
Enteros
Fracciones
Números naturales
Cero
Enteros negativos
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
51
1.4. EJERCITACIÓN DE LA UNIDAD
Ejercicio 1
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones?
a) ¿Es esto verdadero?
b) Ana es un nombre-
c) 8 es primo.
d) 8 no es primo.
R: a) no es una proposición, pero b), c) y d), lo son.
Ejercicio 2
Asigne las constantes lógicas V o F a las siguientes proposiciones-
a) 7 es par.
b) Carlos Paz es una ciudad.
c) Argentina es una ciudad.
R: a) F. b) V. c) F.
Ejercicio 3
Identifique todas las proposiciones simples en las siguientes oraciones, y abrévielas con
símbolos tales como p, q, r. Entonces convierta las oraciones al cálculo proposicional.
a) Si Carlos está en la casa entonces Raúl debe de estar en la casa también.
b) El auto que escapó era rojo o marrón.
c) Las noticias no son buenas.
d) Estarás a tiempo sólo si te apuras.
e) Él vendrá si tiene tiempo.
f) Si ella estaba allí, entonces debió haber oído.
R: a) p: Carlos está en la casa. q: Raúl está en la casa. p q
b) p: El auto que escapó era rojo. q: El auto que escapó era marrón. p q
c) p: Las noticias son buenas. p
d) p: Llegarás a tiempo. q: Te das prisa. p q
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
52
e) p: Vendrá. q: Tiene tiempo. p q
f) p: Estaba allí. q: Lo oyó. p q
Ejercicio 4
Inserte paréntesis dentro de las expresiones siguientes, de tal manera que se elimine la
ambigüedad sin usar las reglas de prioridad.
a) p q r p  
b) p r q r  
c) ( 1 2) 1p p q p   
d) p q q p    
R: a) (( ) )p q r p  
b) (( ) )p r q r  
c) ( ( 1 2)) (( ) 1)p p q p    
d) ( ) (( ) )p q q p   
Ejercicio 5
Construya las tablas de verdad para las siguientes expresiones:
a) ( )p q  
b) ( )p q  
R:
a)
P q
 p  q  p q ( )  p q
V V F F F V
V F F V V F
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
53
F V V F V F
F F V V V F
b)
P q
 p  q  p q ( )  p q
V V F F F V
V F F V F V
F V V F F V
F F V V V F
Ejercicio 6
En los siguientes problemas muestre en cada caso si el argumento dado es válido:
a) p  q, q  p
b)  p  q, q  p
c) p  q,  r  q  p  r
d) Si 6 es par, entonces 2 no divide a 7. O 5 no es primo, o 2 divide a 7. Pero 5 es primo.
Por lo tanto, 6 es impar.
e) Si trabajo, no puedo estudiar.
O trabajo, o paso apruebo Matemática.
Aprobé Matemática.
Por tanto, estudié.
Respuestas: a) Si. b) No. c) No. d) Si. e) No.
Ejercicio 7
En los siguientes problemas efectúe la demostración requerida:
a) Demuestre que p  q implica lógicamente a p  q.
b) Demuestre que p  q implica lógicamente a p.
Respuestas:
a)
p q p  q p  q (p  q)  (p  q)
V V V V V
V F F F V
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
54
F V F V V
F F V V V
Tautología
b)
p q p  q (p  q)  p
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
Tautología
Ejercicio 8
21 1 10:
2 5 3

   
  10
3
R 
Ejercicio 9
3 1 1 3
5 25 5 5
     
  1R 
Ejercicio 10
1 1 7:
2 5 40
   
 
2R 
Ejercicio 12
2
4 16 1
9 25 225
 
    
  49
25
R 
Ejercicio 13
4 2 15
25 9
 
    
  4R 
UNIDAD 1 / LÓGICA SIMBÓLICA
55
Ejercicio 14
2 21 11
2 3
 
        
   
2R 
Ejercicio 15
221 1 13 3 2 1:
3 2 6 5 5 4
                 5R 
Ejercicio 16
13 2 3: 1
2 7 17

        
    1R 
Ejercicio 17
3 3 19 2
4 2 25 5
    9
10
R 
Ejercicio 18
 
2 1
26 1 1 1 13 2
3 2 5 2 2
 
                      
       
14R  
Ejercicio 19
43
5
1 1 916
3 27 32
   
          
    3R  
Ejercicio 20
1 2 3
3 51 9 1 8 8 32
2 6 3
 
        
            
      7
8
R 
CICLO DE INTRODUCCIÓN A LOS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS / MATEMÁTICA
56
Ejercicio 21
 
13 3
2
1 1 1
1 3 3431 5
64
     
 
  13
42
R 
Ejercicio 22
2 31 3 1
2 2
2
1 1 62 5 1
3 3 2
  

                      
            139
3
R 
Ejercicio 23
1
4 3
9 2 11
16 3 6
3 3


 