6 Binomio de Newton

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TEMA 2: ÁLGEBRA. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. TEORÍA 
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1. ANTES DE EMPEZAR, RECUERDA ...: 
* Expresiones algebraicas: 
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son 
desconocidas. Estas cantidades se llaman variables o incógnitas. 
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos entre sí por las operaciones de sumar, 
restar, multiplicar, dividir y por paréntesis. 
Ejemplos: xx −⋅+ 223 o )(32 2 yyxyx −⋅⋅−⋅ son dos expresiones algebraicas 
* Monomios: 
¿Qué son? Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o más 
variables. Al número lo llamaremos coeficiente y al conjunto de las variables, parte literal. 
Llamaremos grado del monomio a la suma de los exponentes de su parte literal y grado respecto de una 
variable, al exponente de esa variable. 
Ejemplo 1: El monomio a3 tiene como coeficiente "3", parte literal "a" y es de grado "1". 
Ejemplo 2: El monomio 2
3
2 xy tiene como coeficiente "
3
2 ", parte literal " 2xy ", es de grado 
"3" y el grado respecto la variable "y" es "2". 
Se dice que dos monomios son semejantes cuando tienen la parte literal idéntica. 
Ejemplo 1: Los monomios " ba 23 " y " ba 27 " son semejantes porque tienen la misma parte literal " ba 2 ". 
Ejemplo 2: Los monomios " ab3 " y " ba 27 " no son semejantes porque no tienen la misma parte literal. 
Suma de monomios: 
Dos monomios solo se pueden sumar si son semejantes. En ese caso, se suman los coeficientes, dejando la 
misma parte literal. 
Si los monomios no son semejantes, la suma queda indicada y esta operación no puede expresarse de manera 
más simplificada. 
El siguiente ejemplo con peras y manzanas puede aclararte cuando dos monomios se pueden sumar: 
3 +2 = 5 pero en cambio 3 +2 no es igual a 5 peras ni a 5 manzanas 
Ejemplos: 
a) aaa 725 =+ b) 222 538 xxx =− 
c) 223 xx + no puede simplificarse d) aaaaa −=+− 222 2 
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Multiplicación de monomios. 
El producto de dos monomios es un monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y por 
parte literal el producto de las partes literales (recuerda la propiedad: nmnm aaa +=⋅ ). 
Ejemplos: 
a) Multiplica los monomios " ba3 2 " y " a2 ". 
Es ba6ba6baa)23()a2()ba3(
31222 ==⋅=⋅ + 
b) 25232232232 yx
2
5yx
6
15yxx)
6
53()yx
6
5()x3( −=−=⋅−=⋅− + 
c) 3123123444344434 82)2()2()2()2()2( yxyxyyxyxxyxyxyxyx ===⋅⋅= o bien 
 3123123334334 82)(2)2( yxyxyxyx === 
* Binomios, Trinomios y Polinomios: 
- Dos monomios no semejantes unidos por los signos + ó – forman un binomio 
Ejemplos: a) 3x – 5x2 b) 4ab + b3 c) 7x4 – 2 
- De la misma forma, tres monomios no semejantes unidos por las operaciones de suma o resta forman un 
trinomio 
Ejemplos: a) 2x3 + 4x – 8 b) 5a2b + a3 – 2ab c) 8t – t2 – 5t3 
- Cuatro o más monomios no semejantes unidos por las operaciones de suma o resta formen un 
polinomio. Cada monomio que lo compone se llama término del polinomio. 
Ejemplos: a) A(x) = 3x4 + x3 – 5x2 – x + 7 b) B(t) = – 2t5 + 6t3 + t2 – 10t 
Los coeficientes del polinomio son los números que multiplican a cada monomio. 
Si uno de los monomios no tiene parte literal se llama término independiente. 
El mayor grado de todos los monomios se llama grado del polinomio. 
El coeficiente director es el coeficiente del monomio de mayor grado. 
Nombramos los polinomios con una letra mayúscula y entre paréntesis las variables que lo integran. 
Ejemplo 1: El polinomio 42)( 5 −+= xxxP tiene una variable (la "x"), es de grado 5, los coeficientes 
son el 1 (coeficiente director), el 2 y el – 4 y el término independiente es – 4. 
Este polinomio también se llama trinomio porque tiene tres monomios o términos. 
Ejemplo 2: El polinomio ababaQ 54),( 2 −= tiene dos variables ( la "a" y la "b"), es de grado 3, los 
coeficientes son 4 y –5, no hay término independiente. 
Este polinomio también se llama binomio porque tiene dos monomios o términos. 
 
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El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al sustituir la variable o variables por números 
concretos y efectuar las operaciones. 
Los números cuyo valor numérico en el polinomio es cero se llaman raíces del polinomio. 
Ejemplo 1: Dado el polinomio 65)( 2 +−= xxxP , el valor numérico para 1−=x es el número 12 
pues 126)1(5)1()1( 2 =+−⋅−−=−P y para 2=x el valor numérico es cero, 
06)2(5)2()2( 2 =+⋅−=P . Observa que el número "2" es una raíz del polinomio 65)( 2 +−= xxxP . 
Ejemplo 2: Dado el polinomio yxyxyxQ 653),( 2 +−= , el valor numérico para 2=x , 1−=y es 
el número –28 pues 2861012)1(625)1(23)1,2( 2 −=−−−=−⋅+⋅−−⋅⋅=−Q . 
 
* Operar con polinomios: 
Suma y resta de polinomios 
Para sumar dos o más polinomios o bien restar dos polinomios tendremos en cuenta lo que ya sabemos sobre 
la suma y resta de monomios. 
Ejemplo 1: Dados los polinomios 632 23 +−= xxA y 452 +−= xxB de una sola variable, 
halla su suma: 
Es 1052245632)45()632( 23223223 +−−=+−++−=+−++−=+ xxxxxxxxxxxBA 
(hemos sumado los monomios semejantes). 
También se puede sumar colocando los polinomios uno debajo del otro, haciendo coincidir, en la 
misma columna, los monomios semejantes. Observa la imagen 
 
Ejemplo 2: Dados los polinomios 632 23 +−= xxA y 452 +−= xxB de una sola variable, 
halla la resta BA− : 
Es 254245632)45()632( 23223223 ++−=−+−+−=+−−+−=− xxxxxxxxxxxBA 
(el signo menos delante del paréntesis cambia de signo todos los términos del polinomio B; 
después hemos sumado los monomios semejantes). 
También se puede sumar colocando los polinomios uno debajo del otro, haciendo coincidir, en la 
misma columna, los monomios semejantes y cambiando de signo los término del sustraendo. 
Observa la imagen 
 
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Producto de un polinomio por un número 
Recuerda que para multiplicar un número por una suma, debemos multiplicar el número por cada sumando. 
Es la propiedad distributiva cabacba ⋅+⋅=+⋅ )( 
Ejemplo: 201510)432(5 33 −−=−−⋅ xxxx 
Producto de un polinomio por un monomio 
Observa el siguiente ejemplo en el que se vuelve a aplicar la propiedad distributiva. 
Ejemplo: 23532 201510)432(5 xxxxxx −−=−−⋅ 
Producto de dos polinomios 
Combinando los productos de un polinomio por un número y por un monomio, como hemos visto más 
arriba, podemos calcular el producto de dos polinomios. 
Para calcular el producto de dos polinomios, se multiplica cada monomio de uno de los factores por todos y 
cada uno de los monomios del otro factor y se suman los monomios obtenidos, reduciendo los que sean 
semejantes. 
Ejemplo: Realiza el producto )23()154( 223 +−⋅−+− xxxxx 
 
* Extracción de factor común 
Consiste en aplicar la propiedad distributiva pero al revés de como la utilizamos cuando multiplicamos, es 
decir: )cba(pcpbpap  +++⋅=+⋅+⋅+⋅ 
El monomio " p " que se extrae tiene como coeficiente el MCD de los coeficientes y como parte literal, las 
variables comunes elevadas al menor exponente. 
Ejemplos: 
a) )(333 yxyx −=− b) )43(286 2 +=+ xxxx c) )32(61812 223 +=+ xxxxd) )13(4412 2 −=− xxxx e) )1412(412 223 +−=+− xxxxxx f) )32(396 22 yxxyxyyx +=+ 
 
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* Productos notables 
Llamamos productos notables a ciertos productos de binomios cuya memorización resulta útil para abreviar los 
cálculos con expresiones algebraicas. 
Cuadrado de una suma 
Se verifica 222 bab2a)ba( ++=+ . Para demostrarlo basta multiplicar: 
22222 bab2abbaaba)ba()ba()ba( ++=+++=+⋅+=+ pues es baab = 
Se lee: "El cuadrado de una suma es igual ... al cuadrado del primer sumando .... más el doble del primero 
por el segundo ... más el cuadrado del segundo". 
 
Ejemplo 1: 96332)3( 2222 ++=+⋅⋅+=+ xxxxx 
Ejemplo 2: 2222 9124)3(3222)32( xxxxx ++=+⋅⋅+=+ 
Cuadrado de una diferencia 
Se verifica 222 2)( bababa +−=− . Para demostrarlo basta multiplicar: 
22222 2)()()( bababbaababababa +−=+−−=−⋅−=− pues es baab = 
Se lee: "El cuadrado de una diferencia es igual ... al cuadrado del primer sumando .... menos el doble del 
primero por el segundo ... más el cuadrado del segundo." 
Ejemplo 1: 12112)1( 2222 +−=+⋅⋅−=− xxxxx 
Ejemplo 2: 234222222 96)3(32)()3( xxxxxxxxx +−=+⋅⋅−=− 
Suma por diferencia 
Se verifica 22)()( bababa −=−⋅+ . Para demostrarlo basta multiplicar: 
2222)()( babbaabababa −=−+−=−⋅+ 
Se lee: "La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados" 
 
Ejemplo 1: 42)2()2( 222 −=−=−⋅+ xxxx 
Ejemplo 2: 222 169)4(3)43()43( xxxx −=−=+⋅− 
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* Binomio de Newton 
* Def.: El factorial de un número natural "n" es el producto de dicho número por todos 
los números naturales menores que él, hasta el uno. Se representa por !n . Es decir 
123)2()1(! ⋅⋅−⋅−⋅= nnnn . 
Se define 1!0 = y 1!=1. 
Las calculadoras científicas tienen una tecla específica para hallar el factorial de un 
número natural. 
Ejemplo: El factorial de 6 es 720123456!6 =⋅⋅⋅⋅⋅= 
* Def.: Dados dos números naturales m y n, siendo nm ≥ , el número combinatorio 





n
m se lee m sobre n, y se 
define por la siguiente fórmula 
)!(!
!
nmn
m
n
m
−⋅
=




 . 
Propiedades: a) 1
0
=




m b) 1=





m
m c) mm =





1
 d) 





=





− n
m
nm
m 
e) 




 +
=





+





− n
m
n
m
n
m 1
1
 
Las calculadoras científicas tienen una tecla específica para hallar un número combinatorio. 
Ejemplo: El número combinatorio 10
12312
12345
)!25(!2
!5
2
5
=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
−⋅
=




 
* El triángulo de Tartaglia es la colocación en forma de triángulo de los números combinatorios. Observa que 
los valores de cada fila del triángulo de Tartaglia, excepto los extremos, que son unos, se obtienen sumando los 
dos números que tiene encima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fórmula del binomio de Newton: 
n33n22n1nnn b
n
n
ba
3
n
ba
2
n
ba
1
n
a
0
n
)ba( 





++





+





+





+





=+ −−−  
nn33n22n1nnn b
n
n
)1(ba
3
n
ba
2
n
ba
1
n
a
0
n
)ba( 





−++





−





+





−





=− −−−  
Para recordar estas fórmulas se debe tener en cuenta: 
a) Todos los números combinatorios tienen arriba n, y abajo 0, 1, 2, 3, n. También puedes hallar estos números 
con ayuda del triángulo de Tartaglia. 
b) El exponente del primer término, a, comienza en n en el primer sumando, y va bajando de uno en uno hasta 
llegar a cero. 
c) El exponente del segundo término del binomio, b, es cero en el primer sumando, y luego va subiendo de uno 
en uno hasta llegar a n. Observa que la suma de los exponentes de a y de b siempre es n. 
d) En el binomio a + b, todos los términos son positivos. En el binomio a – b el signo de los términos se va 
alternando: de positivo a negativo empezando por positivo. 
 
Ejemplo 1: Desarrolla por el binomio de Newton 4)2( +x y comprueba el resultado multiplicando 
)2()2()2()2( +⋅+⋅+⋅+ xxxx 
 Solución: 16x32x24x8x2
4
4
2x
3
4
2x
2
4
2x
1
4
x
0
4
)2x( 2344322344 ++++=⋅





+⋅⋅





+⋅⋅





+⋅⋅





+⋅





=+ 
Ejemplo 2: Halla y simplifica 32 )23(
x
yx − 
 Solución: 
3
2336
32
2223232
x
8y36yx54yx27
x
2
3
3
x
2)yx3(
2
3
x
2)yx3(
1
3
)yx3(
0
3
)
x
2yx3( −+−=




⋅





−




⋅⋅





+⋅⋅





−⋅





=− 
Ejemplo 3: Halla el coeficiente de 35x del polinomio que obtienes al desarrollar 40)32( −x 
 Solución: Es 35535 944379392x54939828013)x2(
5
40
−=⋅⋅





− 
 
Ejercicios cursos anteriores: del 1 al 14. (Están resueltos en vídeo) 
Ejercicios curso actual: del 15 al 26. 
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DIVISIÓN DE POLINOMIOS: 
División de monomios. 
El cociente de dos monomios puede ser un número, otro monomio o una fracción algebraica. 
Ejemplos: 
a) 
2
3
6
ba3
ba6)ba3(:)ba6( 2
2
22 ===
 (un número) 
b) 
yx
5
2
x53
yxx23
x15
yx6)x15(:)yx6( 23
23
3
5
35 =
⋅⋅
⋅⋅
==
 (un monomio) 
c) y
x3
yyx2
yxx23
yx2
yx6)yx2(:)yx6(
2
3
23
23
5
235 =
⋅
⋅⋅
==
 (es una fracción algebraica pero no un monomio) 
División de Polinomios. 
 La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales: al dividir dos polinomios, se 
obtiene un cociente y un resto. 
Veamos el ejemplo consistente en hacer la división P(x):Q(x) siendo P(x) = 6x4 + 8x2 + 7x + 40 y Q(x) = 
2x2 – 4x + 5 
1. En el dividendo se dejan huecos 
por los términos que faltan. 
2. Se divide el primer término del 
numerador entre el primer término 
del denominador: 
(6x4) : (2x2) = 3x2. Este es el primer 
término del cociente. 
3. El producto de 3x2 por Q(x), 
cambiado de signo, se sitúa bajo el 
dividendo, y se suma. 
4. El primer resto es: 
12x3 – 7x2 + 7x + 40 
 
A partir de aquí, volvemos a proceder como en los pasos 2 y 3. 
El proceso se continúa mientras el resto parcial obtenido sea de grado mayor o igual que el grado del divisor 
Q(x). 
El cociente es C{x) = 3x2 + 6x + 17/2 y el resto, R(x) = 11x – 5/2 que es de grado inferior al divisor. 
La relación entre el dividendo )(xP , divisor )(xQ , cociente )(xC y resto )(xR es: 
)()()()( xRxCxQxP +⋅= , o bien 
)(
)()(
)(
)(
xQ
xRxC
xQ
xP
+= 
 Cuando R(x) = 0, la división es exacta y se cumple que )()()( xCxQxP ⋅= . Entonces decimos que )(xP es 
divisible por )(xQ . 
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División de un polinomio por x–a. Regla de Ruffini. 
 Es muy frecuente tener que dividir un polinomio por una expresión del tipo x – a. El procedimiento que 
exponemos a continuación permite realizar esas divisiones de forma rápida y cómoda. 
Veámoslo por medio de un ejemplo: 
 
Esta misma división puede realizarse, sintéticamente, 
del modo descrito en la imagen inferior. 
Los pasos, numerados en verde, son los mismos que 
se hacenen la división realizada con el algoritmo 
habitual. 
Este método, en el que solo intervienen los 
coeficientes y solo se realizan las operaciones que 
realmente importan, se llama 
regla de Ruffini. 
Observa que con los dos procedimientos obtenemos: 
Cociente 430107)( 23 −++= xxxxC 
Resto 5−=R 
 
⇒ 
 
2. EL TEOREMA DEL RESTO 
El teorema del resto dice que el valor numérico que toma un 
polinomio, P(x), cuando hacemos x = a, coincide con el resto de la 
división P(x) : (x–a). Es decir, P(a) = r. 
Demostración: Es r)x(C)ax()x(P +⋅−= . Si hacemos ax = , rr)a(C)aa()a(P =+⋅−= c. q. d. 
Como consecuencia del teorema, el número a es raíz del polinomio )(xP si y solo si )(xP es divisible por 
ax − (recuerda que un número a se llama raíz de un polinomio )(xP si 0)a(P = ) 
Observa, cómo al aplicar la regla de Ruffini se obtiene como resto el valor de )(xP cuando x vale a. 
Tomamos 794117)( 34 +−−= xxxxP y 3=a . Aplicamos la regla de Ruffini indicando las operaciones: 
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El resto obtenido es el resultado de sustituir en el polinomio la x por 3. 
Ejemplo 1: Calcular el valor del 148217011)( 35 −+−= xxxxP para x = 4. 
Solución: Podemos hacerlo de dos formas: 
 1ª forma: Cambiando x por 4 en )(xP . Es 244148424170411)4( 35 =−⋅+⋅−⋅=P , luego el valor es 244. 
 2ª forma: Hallando el resto de la división )4(:)148217011( 35 −−+− xxxx hallamos también )4(P 
 
Ejemplo 2: Calcular el resto de la división del )1(:)543( 3156 ++− xxx 
Solución: Hacer la división llevaría mucho tiempo pero gracias al teorema del resto sabemos que coincide con 
el valor del dividendo en 1−=x , por tanto es el resto 125)1(4)1(3 3156 =+−⋅−−⋅=r 
 
3. CRITERIO DE DIVISIBILIDAD DE UN POLINOMIO POR x – a PARA VALORES ENTEROS DE a 
P(x) de nteindependie términodeldivisor es a""
enteroun a"" siendo a),-(xpor divisible es P(x) 
y enteros escoeficientcon polinomioun es P(x) Si 
⇒


 
Según el teorema del resto, equivale a decir: 
P(x) de nteindependie términodeldivisor es a""
P(x) de raíz es que entero númeroun a""
y enteros escoeficientcon polinomioun es P(x) Si
⇒



 
En la práctica, este criterio lo utilizaremos en sentido contrario, es decir: 
a)-(xpor divisible es no P(x)
P(x) de nteindependie términodeldivisor esno a"" 
y enteros escoeficientcon polinomioun es P(x) Si 
⇒



 
P(x) de raíz es no a""
P(x) de nteindependie términodeldivisor es no a""
y enteros escoeficientcon polinomioun es P(x) Si
⇒



 
Por tanto, para buscar expresiones ax − que sean divisores de un polinomio )(xP , o lo que es lo mismo, raíces 
enteras de )(xP , probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del término 
independiente. 
Este criterio es muy útil para limitar la búsqueda de divisores de un polinomio. Pero ten en cuenta que solo es 
válido para polinomios con coeficientes enteros y solo sirve para localizar los valores de a cuando a es 
entero. 
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* Un polinomio P(x) de grado "n" tiene a lo sumo "n" raíces reales y por tanto a lo sumo encontrarás 
"n" divisores de la forma x–a. 
 
Ejemplo: Encontrar algún divisor ax − (a es un número entero) del polinomio 160752)( 23 −+−= xxxxP , es 
decir, encontrar alguna raíz entera del polinomio anterior. 
Solución: Las raíces enteras de 160752)( 23 −+−= xxxxP deben ser divisores de 160. Los divisores de 160 
(positivos y negativos) son: 160,80,40,32,20,16,10,8,5,4,2,1 ±±±±±±±±±±±± . Podemos asegurar que, 
por ejemplo, el 3 no es raíz, pero no podemos asegurar que alguno de estos números sea raíz ya que puede ser 
que las raíces sean todas no enteras. 
 
Por ejemplo, para 4−=a , el resto es –396, por tanto 160752)( 23 −+−= xxxxP 
no es divisible por 4+x , o lo que es lo mismo, 4−=a no es raíz de 
160752)( 23 −+−= xxxxP ya que es 396)4( −=−P según el teorema del resto. 
 
Sin embargo, para 5=a , la división )5(:)160752( 23 −−+− xxxx sí es exacta, 
pues el resto es 0. Es por tanto )3252()5(160752 223 ++⋅−=−+− xxxxxx . 
También podemos decir que 5=a es raíz del polinomio 
160752)( 23 −+−= xxxxP ya que es 0)5( =P según el teorema del resto. 
 
Ejercicios curso actual: del 27 al 48. 
 
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4. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS 
La divisibilidad de polinomios se comporta de manera similar a la divisibilidad entre números enteros. 
Def.: Un polinomio, D(x), es divisor de otro, P(x), si la división P(x) : D(x) es 
exacta. En tal caso, P(x) es múltiplo de D(x), pues )()()( xCxDxP ⋅= 
 
Ejemplo: ¿Es el polinomio xxxQ 2)( 2 += divisor del polinomio 
xxxP 4)( 3 −= ? 
Solución: Sí porque la división )2(:)4( 23 xxxx +− es exacta. 
También podemos decir que )(xP es múltiplo de )(xQ 
 
 
Def.:Un polinomio se llama irreducible si no tiene ningún divisor de grado inferior al suyo. 
Ejemplos: Los polinomios x, x – 3, x2 + 1, x2 – 3x + 3 son polinomios irreducibles. Nota: entenderás 
mejor porqué son irreducibles cuando estudies el siguiente apartado: "factorización de polinomios" 
También es irreducible 2x – 6, aunque sea divisible por x – 3, pues ambos son del mismo grado. 
No es irreducible x2 – 3x + 2, porque (x–1) y (x–2) son divisores. 
 
5. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios irreducibles. (similar a la factorización 
de números que consistía en descomponer el número en producto de números primos). 
Los polinomios de grado uno no se pueden factorizar, es decir, son irreducibles. A lo sumo, podremos 
sacar factor común. 
Algunos polinomios de segundo grado se pueden factorizar y otros no, es decir, algunos son irreducibles y 
otros no. Para factorizar un polinomio de segundo grado cbxax ++2 , primero hallaremos las raíces 
resolviendo la ecuación de segundo grado 02 =++ cbxax , quedando la descomposición factorial 
)()( 21
2 xxxxacbxax −⋅−⋅=++ siendo 1x y 2x las soluciones de la ecuación. 
En el caso de que 02 =++ cbxax no tenga solución, el polinomio cbxax ++2 no se puede factorizar. 
Todos los polinomios )(xP de grado tres o más se pueden factorizar, es decir, son todos no irreducibles. 
Para factorizar un polinomio )(xP de grado tres o más, con coeficientes enteros, debemos localizar las raíces 
enteras del polinomio. Probaremos con los divisores (positivos y negativos) de su término independiente. 
Una vez localizada una raíz "a", puesto que )(xP es divisible por ax − , podremos ponerlo así: 
)()()( 1 xPaxxP ⋅−= . Seguiremos factorizando buscando las raíces de )(1 xP y asi sucesivamente hasta 
descomponerlo en polinomios del menor grado posible (de grado uno o dos). 
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TEMA 2: ÁLGEBRA. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. TEORÍA 
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En el proceso de factorización, primero tendremos en cuenta si podemos extraer factor común y si podemos 
utilizar algún producto notable (me refiero al cuadrado de una suma o diferencia o bien a una suma por su 
diferencia). 
Si un polinomio de grado tres o más, tiene más de dos raíces no enteras, entonces, aunque pueda factorizarse, 
nosotros no sabremos hacerlo sin ayuda de unordenador. 
Si tenemos descompuesto factorialmente el polinomio P(x), hallaremos las raíces resolviendo la ecuación 
0)( =xP teniendo en cuenta que, si al multiplicar varios números el producto es cero, es porque alguno de 
los factores es cero. 
Ejemplo 1: Factoriza el polinomio xxxxxxP 421888)( 2345 ++−−= y halla las raíces. 
Solución: 
• Primero sacamos factor común x2 , quedando )2944(2)( 234 ++−−⋅= xxxxxxP 
• Buscamos raíces enteras del polinomio 2944 234 ++−− xxxx aplicando la regla de Ruffini (recuerda 
que serán divisores de 2 y por tanto pueden ser 1± o 2± ). 
Es y por tanto –1 es una raíz y es 
)2xx8x4()1x(x2)x(P 23 +−−⋅+⋅= 
• Seguimos buscando raíces enteras. Ahora de 284 23 +−− xxx (puede ser –1 otra vez) 
Es y por tanto 2 es una raíz y es )14()2()1(2)( 2 −⋅−⋅+⋅= xxxxxP 
• Falta por descomponer 14 2 −x . Como casualmente es diferencia de cuadrados pues 
)12()12(14 2 +⋅−=− xxx , tenemos en definitiva la factorización pedida. Es 
)12()12()2()1(2421888)( 2345 +⋅−⋅−⋅+⋅=++−−= xxxxxxxxxxxP 
)(xP es, por tanto, el producto de 5 polinomios irreducibles. 
• Para hallar las raíces del polinomio )(xP debemos recordar que las raíces de )(xP son las soluciones de 
la ecuación 0)( =xP . En nuestro caso 0421888 2345 =++−− xxxxx , o lo que es lo mismo 
0)12()12()2()1(2 =+⋅−⋅−⋅+⋅ xxxxx . Recuerda que el producto de varios números es cero si y solo si 
alguno de los factores es cero. Por tanto las raíces las obtenemos resolviendo las cinco ecuaciones 
siguientes: 
 002 =⇒= xx 101 −=⇒=+ xx 
 202 =⇒=− xx 2/1012 =⇒=− xx 
 2/1012 −=⇒=+ xx 
Las raíces de xxxxxxP 421888)( 2345 ++−−= son 0, –1, 2, 1/2, –1/2 
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Ejemplo 2: Factoriza el polinomio 26)( 2 −−= xxxP y halla las raíces. 
Solución: 
• Las raíces enteras pueden ser 1± o 2± (divisores del término independiente) . Aplicando la regla de 
Ruffini vemos que ninguno de esos cuatro números es raíz. ¿Cómo hallamos las raíces?. Pues 
resolviendo la ecuación 0)( =xP que al ser de segundo grado resulta fácil. Las soluciones son 
62
)2(64)1()1(
2
4 22
⋅
−⋅⋅−−±−−
=
⋅
⋅⋅−±−
=
a
cabbx . 
Las raíces son 1/2 y –2/3. 
• La descomposición factorial es 
)23()12()3/2(3)2/1(2)3/2()2/1(626)( 2 +⋅−=+⋅⋅−⋅=+⋅−⋅=−−= xxxxxxxxxP 
y es, por tanto, el producto de dos polinomios irreducibles. 
Observa que al saber que las raíces eran 1/2 y –2/3, la descomposición era de la forma 
)3/2()2/1( +⋅−⋅ xxk . Hemos cambiado k por el coeficiente director, que es 6, para que la igual 
)3/2()2/1(626 2 +⋅−⋅=−− xxxx sea cierta. 
Siempre podemos comprobar si hemos factorizado correctamente multiplicando la descomposición. 
En nuestro caso, multiplica )23()12( +⋅− xx y comprueba que es 26 2 −− xx 
Ejemplo 3: Factoriza el polinomio 125)( 3 +−= xxxP y halla las raíces. 
Solución: Las raíces enteras pueden ser 12,6,4,3,2,1 ±±±±±± . 
Es y por tanto –3 es raíz y es )43()3()( 2 +−⋅+= xxxxP 
• Buscamos raíces de 432 +− xx resolviendo la ecuación de segundo grado 0432 =+− xx . La ecuación 
no tiene solución y por tanto no hay más raíces. 
• La factorización es )43()3(26 22 +−⋅+=−− xxxxx y la única raíz es –3 y es, por tanto, el producto 
de dos polinomios irreducibles. 
 
Ejercicios curso actual: del 49 al 60. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN DE VARIOS POLINOMIOS 
 
 También los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo son similares a los 
correspondientes conceptos numéricos. 
El polinomio máximo común divisor de varios polinomios A, B, C, ... es el divisor común de mayor grado, y 
se escribe así: MCD (A, B, C, ...) 
El polinomio mínimo común múltiplo de varios polinomios A, B, C, ... es el múltiplo común de menor grado, 
y se escribe así: MCM (A, B, C, ...) 
El procedimiento para encontrar el MCD y MCM de varios polinomios A, B, C, ... es el siguiente: 
* Se descomponen los polinomios A, B, C, ... factorialmente. 
* El polinomio MCD (A, B, C, ...) es el resultado de multiplicar los factores irreducibles comunes y solo los 
comunes, en todas las descomposiciones factoriales anteriores, elevado cada uno al menor exponente con que 
aparece. 
* El polinomio MCM (A, B, C, ...) es el resultado de multiplicar los factores irreducibles comunes y los no 
comunes en las descomposiciones factoriales anteriores, elevado cada uno al mayor exponente con que aparece. 
 
Ejemplo: Halla el polinomio máx.c.d. de xxxP 99)( 3 −= y 234 12186)( xxxxQ ++= . Halla también el 
polinomio mín.c.m. 
Solución: Descomponemos )(xP y )(xQ en producto de polinomios irreducibles: 
)1()1(399)( 23 +⋅−⋅=−= xxxxxxP y )2()1(2312186)( 2234 +⋅+⋅⋅⋅=++= xxxxxxxQ luego: 
xxxxxQxPdcmáx 33)1(3))(),(.(.. 2 +=+⋅⋅= 
234522 36183618)2()1()1(23))(),(.(.. xxxxxxxxxQxPmcmín −−+=+⋅+⋅−⋅⋅⋅= 
 
Ejercicios curso actual: del 61 al 63. 
 
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7. FRACCIONES ALGEBRAICAS 
Def.: Se llama fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios 
)(
)(
xQ
xP 
Ejemplos: Son ejemplos de fracciones algebraicas 
3x5x3
4x3
2 −+
+ ; 
y3xy5x3
x4xy3
22 −+
+
; 
2
1x − ; 
2x3x5
7
7 +−
 
* Las fracciones entre polinomios se comportan de forma muy parecida a las fracciones numéricas. 
Simplificaremos, encontraremos fracciones equivalentes y operaremos (sumar, restar, multiplicar y dividir) 
fracciones algebraicas de forma similar a las fracciones numéricas. 
 
Simplificar fracciones algebraicas: 
Simplificar una fracción 
)(
)(
xQ
xP consiste en dividir numerador y denominador por el mismo polinomio. Si no se 
puede simplificar, se dice que la fracción es irreducible. 
Ejemplo: Simplifica la fracción algebraica 
12x5x3
3x17x2
2
3
−+
+− 
Solución: Descomponemos el numerador y el denominador y vemos que podemos dividir ambos por (x+3): 
4x3
1x6x2
)4x3()3x(
)1x6x2()3x(
12x5x3
3x17x2 22
2
3
−
+−
=
−⋅+
+−⋅+
=
−+
+− (Ésta última fracción es irreducible) 
Fracciones equivalentes: 
Dos fracciones 
)(
)(
xQ
xP y 
)(
)(
xB
xA se dice que son equivalentes si al simplificarse obtenemos la misma fracción 
irreducible. 
También podemos saber si dos fracciones 
)(
)(
xQ
xP y 
)(
)(
xB
xA son equivalentes comprobando si verifican 
)()()()( xAxQxBxP ⋅=⋅ 
Ejemplo: Comprueba que las fracciones algebraicas 
12xx
4x
2 −+
+ y 
15xx2
5x2
2 −−
+ son equivalentes. 
 
Solución: 1ª forma. Al simplificarlas obtenemos la misma fracción irreducible: 
3x
1
)4x()3x(
4x
12xx
4x
2 −
=
+⋅−
+
=
−+
+ y 
3x
1
)5x2()3x(
5x2
15xx2
5x2
2 −
=
+⋅−
+
=
−−
+ 
 
2ª forma: Comprobando que se verifica )12xx()5x2()15xx2()4x( 22 −+⋅+=−−⋅+ . 
En los dos miembros el resultado de la multiplicación es 60x19x7x2 23 −−+ 
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* Dada una fracción 
)(
)(
xQ
xP , podemos encontrar fracciones equivalentes multiplicando numerador y 
denominador por el mismo polinomio. Interesante propiedad si queremos que varias fracciones tengan el 
mismo denominador. 
Operaciones: Suma, resta, muliplicación y división de fracciones algebraicas. 
Las operaciones con fracciones algebraicas son similares a las fraccionesnuméricas. Recordemos: 
Para sumar fracciones algebraicas, se reducen a común denominador (si no lo están ya) y se suman sus 
numeradores. Conviene que el común denominador sea el mínimo común múltiplo de los denominadores. La 
resta es un caso particular de la suma. 
El producto de dos fracciones algebraicas es el producto de sus numeradores partido por el producto de sus 
denominadores, es decir 
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
xBxQ
xAxP
xB
xA
xQ
xP
⋅
⋅
=⋅ . La división es 
)()(
)()(
)(
)(:
)(
)(
xAxQ
xBxP
xB
xA
xQ
xP
⋅
⋅
= 
Ejemplo 1: Efectua la suma 
1
2
22
3
2 −
−
+
+ x
x
x
 
 Solución: 
)1(2
1
)1)(1(2
1
)1)(1(2
2433
)1)(1(2
)2(2
1)(1(2
)1(3
)1)(1(
2
)1(2
3
1
2
22
3
2 −
=
−+
+
=
−+
−+−
=
−+
−
+
−+
−
=
−+
−
+
+
=
−
−
+
+ xxx
x
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
 
Ejemplo 2: Efectua la resta 22
2 11
xxx
xx
−
−
+− 
 Solución: 
23
23
2
23
2
23
22
2
2
2
22
2 1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
)1(1
)1(
111
xx
xx
xx
xx
xx
xxxx
xx
x
xx
xxx
xxx
xx
xxx
xx
−
+−
=
−
+−
=
−
+−+−
=
−
−
−
−
+−
=−
−
+−
=−
−
+− 
Ejemplo 3: Efectua la multiplicación 
144
6
4
14
22
2
+−
⋅
−
xx
x
x
x 
 Solución: 
)12(2
)12(3
)12(2
23)12()12(
)144(4
6)14(
144
6
4
14
22222
2
22
2
−
+
=
−⋅⋅
⋅⋅⋅+⋅−
=
+−⋅
⋅−
=
+−
⋅
−
xx
x
xx
xxx
xxx
xx
xx
x
x
x 
Ejemplo 4: Efectua la división 
93
9:
6
652 223
+
−+−−
x
xxxx 
 Solución: 
)3(2
1
)3()3()2(23
3)3()2()1(
)9()2(6
3)652(
3
9:
)2(6
652
2
23223
+
−
=
+⋅−⋅+⋅⋅
⋅−⋅+⋅−
=
−⋅+⋅
⋅+−−
=
−
+⋅
+−−
x
x
xxx
xxx
xx
xxxx
x
xxx 
 
Ejercicios cursos anteriores: del 64 al 71. (Están resueltos en vídeo) 
Ejercicios curso actual: del 72 al 92. 
8. HALLAR LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ASOCIADA A UN ENUNCIADO 
Ejercicios cursos anteriores: del 93 al 110. (Están resueltos en vídeo) 
Ejercicios curso actual: del 111 al 114.
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TEMA 2: ÁLGEBRA. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS 
 Ejercicios resueltos en video http://www.aprendermatematicas.org/ 
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TEORÍA Y EJERCICIOS 
 
Operaciones combinadas 
1. (2º ESO) Reduce: 
a) 24)2(3)13(2 +−++− xxx b) )1(2)32()1( 2 +⋅−+⋅+ xxx c) xxxx 2)23()32()3( −+⋅−⋅+− 
d) )2524()52()34(3 2 +−−−⋅+ xxxx e) 12)]1()3(3[ 2 −+−⋅+− xxxxx f) 12)]1()3(3[ 2 −⋅−⋅+− xxxxx 
2. (3º ESO) a) Halla el valor numérico del polinomio 953)( 23 −−+−= xxxxP en 1=x , en 1−=x , en 2−=x , en 
0=x . 
b) Halla mentalmente el número que anula el binomio 122)( += xxQ (ese número se llama raíz del binomio). 
c) Halla mentalmente los dos números que anulan el polinomio 652 +− xx (esos números se llama raíces del 
polinomio y en el tema posterior aprenderemos a calcularlos resolviendo una ecuación) 
d) Halla el valor numérico del polinomio de dos variables 2325),( 32 ++−= xyyxyxP para 1;2 −== yx 
3. (3º ESO) a) ¿Cuándo se dice que un número es raíz de un polinomio? 
b) Comprueba si 3 o 0 son raíces de alguno de estos polinomios: 
122)( 23 −+−= xxxxP ; xxxxQ 75)( 23 −−= ; )3)(105()( 4 −+−= xxxxR 
c) ¿Cuál debe ser el valor de k para que –2 sea raíz del polinomio x3 – 5x2 –7x + k? Justifica tu respuesta. 
4. (3º ESO) Desarrolla y agrupa términos semejantes: 
a) x(5x2+ 3x – 1) – 2x2(x – 2) + 12x2 b) 5(x – 3) + 2(y + 4) –
3
7 (y – 2x + 3) – 8 
c) 


 −
+
+
−
−
−
⋅ 7
15
2
5
)(4
3
)3(215 xxyx d) (x2– 2x + 7)(5x3+ 3) – (2x5– 3x3– 2x + 1) 
5. (3º ESO) Desarrolla, reduce e indica el grado de los polinomios obtenidos: 
a) x(x2– 5) – 3x2(x + 2) – 7(x2+ 1) 
b) 5x2(–3x + 1) – x(2x – 3x2) – 6x 
c) 




 −+− 96
2
3
3
1 22 xxx 
6. (3º ESO) Desarrolla y reduce: 
a) (2x2+ 3)(x – 1) – x(x – 2) b) (x + 4)(2x2+ 3x – 5) – 3x(–x + 1) 
c) (x2– 5x + 3)(x2– x) – x(x3– 3) d) ( )126
6
1
3
5
2
1 2 −




 ++ xxx 
7. (3º ESO) □ Desarrolla y reduce: 
a) ( ) 222 175)52()13()2()13( xxxxx −++⋅−−⋅− b) )12)(1)(43(2 23 −−++− xxxx c) 322 )12(2)523( −−−+ xxx 
8. (3º ESO) Saca factor común: 
a) 3x(x + 1) – x2(x + 1) + (x + 1)(x2– 2) b) 2x(x – 2) + x2(x – 2) – 3(x – 2) 
c) □ x2(x + 1) – x2(x + 2) + 2x2(x – 3) d) □ 3x2(x + 3) – 6x(x + 3) 
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TEMA 2: ÁLGEBRA. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS 
 Ejercicios resueltos en video http://www.aprendermatematicas.org/ 
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9. (3º ESO) Desarrolla los siguientes productos: 
a) 
2
3
1
5
2





 − yx b) 
2
2
1





 +x c) (x – 2y)2 
d) (x2+ x)(x2– x) e) 




 +




 − 1
2
11
2
1 xx f) 




 −




 +
xx
1111 
10. (3º ESO) Factoriza usando una identidad notable: 
a) x2– 4 b) 4x2– 25 c) x2+ 8x + 16 d) x2+ 2x + 1 
e) x2+ 1 – 2x f) 9x2+ 6x +1 g) 4x2+ 25 – 20x h) 1x
4
x 2
++ 
11. (3º ESO) Completa el término que falta para formar el cuadrado de un binomio: 
a) x2+ 4x +…. b) x2 – 10x +…. c) x2 + …. +9 d) x2– ….+ 16 
12. (3º ESO) Expresa en forma de producto utilizando las identidades notables (cuadrado de un binomio y suma 
por diferencia). 
a) 916 2 −x b) 
16
15 4 −x c) 962 +− xx d) 144 24 ++ xx 
13. (3º ESO) Reduce las siguientes expresiones: 
a) (x + 3)(x – 3) – (x + 3)2 b) (2x + 3)2– (2x – 3)2– 9 
c) 3x(x + 1)2– (2x + 1)(2x – 1) d) (x2+ 2)(x2– 2) – (x2– 1)2 
14. (3º ESO) Reduce las siguientes expresiones: 
a) 2)3( −−x b) 22 ))2102(2200( −⋅+x c) 22 )32( ++ xx d) )2()2( 2 +⋅− xx e) 4)2( −x 
15. □ Opera y simplifica: 
a) ( ) ( )( )[ ]212232245 32 −−−+−⋅+− xxxxxxx b) ( ) ( ) ( ) ( )yxyxyxxy 22212 −⋅+−−⋅++ 
16. Simplifica: 
a) 2x–2x(x+1)(3x–(x2+1)(2x–3))(5x–1)–8x+2 
b) 3x(2x – 1) – (x – 3)(x + 3) + (x – 2)2 
c) (2x – 1)2 + (x – 1)(3 – x) – 3(x + 5)2 
17. □ Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las identidades notables (cuadrado de un binomio y suma 
por diferencia). 
a) ( )22 37 −x b) ( ) ( )2323 +⋅− xx 
18. Desarrolla los productos , teniendo en cuenta las identidades notables, y simplifica las siguientes expresiones: 
a) (2y + x)(2y – x) – (x + y)2 – x(y + 3) 
b) 3x(x + y) – (x – y)2 + (3x + y)y 
c) (2y + x + 1)(x – 2y) – (x + 2y)(x – 2y) 
19. □ Extrae factor común en 345 74235 xxx +− 
20. Saca factor común 
a) 6x4– 15x3 + 9x2– 3x 
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b) 35x5– 42x4 + 14x3 
c) 36x4– 60x3 + 12x2 
21. Expresa en forma de producto utilizando las identidades notables (cuadrado de un binomio y suma por 
diferencia). 
a) 425 2 −x b) 
25
17 4 −x c) 1682 +− xx d) 4129 24 ++ xx 
22. Factoriza teniendo en cuenta las identidades notables: 
a) 16x2– 8x + 1 b) 36x2+ 60xy + 25y2 
c) 9x4+ y2 + 6x2y d) 49x2– 16 
e) 9x4– y2 f) y4+ 1 – 2y2 
g) 81x4– 64x2 h) 1 – 144x4 
23. Factoriza, sacando primero factor común y utilizando después, si es posible, las identidades notables: 
a) 20x3 – 60x2 + 45x b) 27x3 – 3xy2 
c) 3x3 + 6x2y + 3xy2 d) 4x4 – 81x2 
24. Enuncia la fórmula del binomio de Newton y haz el desarrollo de las siguientes potencias: 
a) (x2+ 3)4 b) (2x + y)5 c) (x − 3y)6 
25. □ Desarrolla la expresión 
5
2
12 




 −x utilizando la fórmula del binomio de Newton. 
26. □ Sin desarrollar, calcula el término que se pide: 
a) El término T4 en (3x2+ 2x)8 b) El término T5 
1 0
3
2
xx4 




 − 
División de polinomios, teorema del resto. 
27. □ Efectúa la división ( ) ( )23:236 234 +−+ xxxx y comprueba que se verifica 
RestoCocientexDivisorDividendo += 
28. □ Efectúa la división ( ) ( )123:665762234 ++−−−+ xxxxxx y comprueba que se verifica 
RestoCocientexDivisorDividendo += 
29. □ En una división conocemos el dividendo 15)( 3 −+= xxxD , el cociente 2)( −= xxC y el resto 
19)( −= xxR . Halla el divisor )(xd . 
30. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones: 
a) (7x2– 5x + 3) (x2– 2x + 1) b) (2x3– 7x2+ 5x –3) (x2– 2x) 
c) (x3– 5x2+ 2x + 4) (x2– x + 1) d) (x2– 4x + 1) (2x – 3) 
31. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones: 
a) (3x5– 2x3+ 4x – 1) (x3– 2x + 1) b) (x4– 5x3+ 3x – 2) (x2+ 1) 
c) (4x5+ 3x3– 2x) (x2– x + 1) d) (x3– 3x2+ 5) (3x2– 2x) 
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32. Calcula las siguientes divisiones y factoriza las que sean exactas: 
a) (6x3+ 5x2– 9x) (3x – 2) 
b) (x4– 4x2+ 12x – 9) (x2– 2x + 3) 
c) (4x4+ 2x3– 2x2+ 9x + 5) (–2x3+ x – 5) 
33. □ Calcula los valores de a y b para que el polinomio baxxxxP +++= 23 44)( sea divisible por 
12)( 2 −−= xxxQ 
34. □ Efectúa la siguiente división ( ) ( )1:236 45 ++− xxxx utilizando el algoritmo tradicional y mediante la regla 
de Ruffini. Comprueba que se cumple el teorema del resto, es decir, que el resto de la división coincide con el 
valor del dividendo en ax = cuando se divide por ax − . 
35. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones mediante la regla de Ruffini: 
a) (5x3 – 3x2 + x – 2) (x – 2) b) (x4– 5x3+ 7x + 3) (x + 1) 
c) (–x3 + 4x) (x – 3) d) (x4– 3x3+ 5) (x + 2) 
e) (6x5– 3x4+ 2x) (x + 1) f) (4x4+ 6x2– 1) (x – 1/2) 
36. □ Efectúa la siguiente división ( ) ( )12:346 34 ++− xxxx utilizando la regla de Ruffini. 
37. Escribe todos los divisores del término independiente de los siguientes polinomios y encuentra los binomios 
del tipo (x – a) , siendo "a" un número entero, por los que son divisibles: 
a) x4+ 3x3– 2x2– 10x – 12 b) x4+ x3+ 7x2+ 2x + 10 
38. □ Comprueba que el polinomio 10183132)( 2345 −+−++= xxxxxxP no es divisible por ax − para ningún 
valor entero de a . ¿Significa ésto que ax − nunca es divisor de )(xP para ningún número real a ?. 
Comprueba que 
2
1)( −= xxQ es divisor de )(xP utilizando la regla de Ruffini. 
39. □ Dado el polinomio P(x) = 4x3– 3x2– 2x + 1, calcula el valor numérico para: 
a) x = 1 b) x = –1 c) x = 2 d) x = 0 e) x =1/2 f) x = –1/3 
Hazlo de dos formas: utilizando el teorema del resto y sustituyendo en el polinomio "x" el valor propuesto. 
40. □ Halla el resto de la división ( ) ( )2:142 256 ++−+−−− xmxmxxx utilizando el teorema del resto. 
¿Para qué valor de m el resto de la división es 16? 
41. □ Halla el cociente y el resto de la división )2(:)2( 3 −++ xmxx . ¿Para qué valor de m el resto de la división 
es 6?. 
42. Dado el divisor (x – a) de los siguientes polinomios, encuentra el resto de las divisiones mediante el Teorema 
del resto para a = 1, a = –2 y a = 3. 
a) P(x ) = 2x3– 5x2+ 7x + 3 b) P(x) = 4x2+ 6x – 10 
43. Escribe todos los divisores del término independiente de los siguientes polinomios y obtén sus raíces enteras 
aplicando el Teorema del resto. 
a) P(x) = x3– 2x2– 5x + 6 b) P(x) = x3– 3x2+ x – 3 
c) P(x) = 3x2+ 2x – 8 d) P(x) = x4– 3x2+ 7 
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44. El polinomio x4– 2x3– 23x2– 2x – 24 es divisible por dos binomios del tipo (x – a) siendo "a" un número 
entero. Encuéntralos y obtén sus cocientes. 
45. Encuentra el valor de k para que (2x4– 5x3+ kx2– 12) (x + 2) sea exacta. 
46. Encuentra el valor de m para que P(x) = x3– mx2+ 5x – 2 sea divisible por (x + 1). 
47. El resto de la división (2x4+ kx3– 7x + 6) (x – 2) es –8. Encuentra el valor de k . 
48. Encuentra el valor de m sabiendo que (x + 2) es un factor del polinomio mx3– 3x2+ 5x + 9m. 
 
Factorización de polinomios 
49. □ Factoriza y halla las raíces de los polinomios: 
a) 62)( −= xxP b) 65)( 2 +−= xxxP c) 672)( 2 ++= xxxP 
d) 52710)( 2 ++= xxxP e) 1)( 2 ++= xxxP f) 44)( 2 +−= xxxP 
50. □ Factoriza y halla las raíces de los polinomios: 
a) 2345 693621)( xxxxxP ++−= b) 284)( 23 −−+= xxxxP c) 4129)( 24 ++= xxxP 
51. Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces: 
a) 3x3– 12x b) 4x3– 24x2+ 36x c) 45x2– 5x4 
d) x4+ 2x3+ x2 e) x6– 16x2 f) 16x4– 81 
52. □ Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces: 
a) x2 – 4x – 5 b) 3x2 – 12x – 15 c) 2x2 – 9x – 5 d) 4x2 – 4x – 3 e) 16x2 – 24x + 9 
f) 2x2 – 3x +5 g) 2x2 – 2x – 2 h) 5x2 – 9x i) 5x2 – 9 j) 5x2 + 9 
53. □ Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces: 
a) x3+ 2x2– x – 2 b) 3x3– 15x2+ 12x c) x3– 9x2+ 15x – 7 d) x4– 13x2+ 36 
e) x3– 2x2– 2x – 3 f) 4x6+ 4x5– 3x4– 4x3 – x2 g) 12x4–38x3+16x2+10x h) 25x3+80x2+69x+18 
i) x3–6x2+12x–8 j) x3+8 k) 2x4–32 l) x4+16 (con ordenador) 
54. □ Factoriza y halla las raíces del polinomio 7241216)( 23 −−−= xxxxP . Ayuda: una raíz es 
2
1− . 
55. □ Factoriza y halla las raíces del polinomio 16111218)( 234 ++++= xxxxxP . Ayuda: el polinomio 
12)( 2 += xxQ es divisor de )(xP . 
56. □ Factoriza y halla las raíces del polinomio ( ) ( )( )15315)( 22 −++= xxxxxP 
57. □ Factoriza y halla las raíces del polinomio ( )( ) 305315)( −−+= xxxxP 
58. □ Dado el polinomio axxxxxP +−++= 8992)( 234 . 
a) Calcula el valor de a para que 2)1( −=−P 
b) Para el valor de a hallado, descompón el polinomio factorialmente y halla las raíces. 
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59. □ Escribe un polinomio de segundo grado que verifique las tres condiciones siguientes: 
* Es divisible por 3−x . 
* Es divisible por 4+x 
* El valor numérico en 1−=x es 36− 
60. □ Factoriza y halla las raíces de 33)( axxP −= . 
 
Máximo común divisor y mínimo común de varios polinomios 
61. □ Halla el máx.c.d. y mín.c.d de los polinomios: 
xxxxxP 1201687812)( 234 −+−= ( )238)( 3 −−= xxxxQ 
62. □ Halla el máx.c.d. y mín.c.d de los polinomios: 
( )23)( −= xxP 29)( xxQ −= 
63. Calcula los m.c.m y m.c.d de los siguientes polinomios: 
a) P(x) = x2; Q(x) = x2– x; R(x) = x2– 1 
b) P(x) = x – 3; Q(x) = x2– 9; R(x) = x2– 6x + 9 
c) P(x) = x + 2; Q(x) = 3x + 6; R(x) = x2+ x – 2 
d) P(x) = 2x; Q(x) = 2x + 1; R(x) = 4x2– 1 
 
Fracciones algebraicas 
64. (3º ESO) a) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 
a1) 2x12
x9 a2) 
)1x(5
)1x(x
+
+ a3) 3
2
x2
)2x(x + 
b) Encuentra fracciones equivalentes a 
1
3
+x
x y a 
32
5
−
+
x
x que tengan el mismo denominador. 
c) Demuestra que las fracciones algebraicas 
22
12
2
2
−
+−
x
xx y 23
23
66
33
xx
xx
+
− son equivalentes. 
65. (2º ESO) Descompón en factores el numerador y el denominador utilizando los productos notables y extraer 
factor común y después simplifica: 
a) 
96
9
2
2
+−
−
xx
x b) 
96
155
2 ++
+
xx
x c) 
33
33
2 −
+
x
x d) 
xx
xx
55
12
2
2
+
++ e) 
xxx
xx
16122
62
23
2
+−
− f) 
xx
xx
55
363
2
2
+
++ 
66. (3º ESO) Factoriza el numerador y el denominador y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 
a) 
x6x3
4x2
2 +
+ b) 
1x
1x
2 −
+ c) 
4x4x
2x
2 +−
− 
d) 
9x
x3x
2
2
−
− e) 
4x4x
4x
2
2
++
− f) 
33
2 23
+
++
x
xxx 
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67. (3º ESO) Opera y simplifica: 
a) )1x(:
x
1x 2
−
− b) 
2x
4x:
x
)2x(x 2
+
−− c) 
x
1x:
x
1x2x 2 −+− 
d) 3
2
x
3x·x6 − e) 
1x
)1x(x·
x
3x3
22 −
+− f) 
2x2
x4:
1x
x2 2
−−
 
g) 
25x10x
5·
10
5x
2 ++
+ h) 
6x8
x4·
x2
3x4 2
−
− i) 
18x18
x3·
x
3x3
2 −
− 
68. (3º ESO) Opera y simplifica si es posible: 
a) 3
3·
1 xx
x
+
 b) 
x
x
x
x 1:
1
23 +
−
+ c) 24 )1(
2:
)1(
3
−− xx
 d) 
2
1x:)1x(
2 −
+ 
69. (3º ESO) Reduce a común denominador y calcula: 
a) 
x
2x
x2
3
x
2 −
++ b) 32 x2
1
x3
1
x6
1
−+ c) 
4
x
x2
1
1x
3
++
−
 
d) 
3x
1x
3x
x2
+
−
−
−
 e) 
7x
1x
x
2
−
−
+ f) 
4x
1x
4x
3
x
2
−
+
+
−
− 
g) x4
xx
x8x2
1x
3
2
2
−
+
+
−
+
 h) 3
3x
x7
9x
2
2 +−
−
−
 i) 2
xx
1
1x
3
2 ++
−
+
 
70. (3º ESO) Opera y simplifica: 
a) 





+
+
−− 32
5
32
5:
94
6
2
2
x
x
x
x
x
x b) 
)255)(1(5
1
255 2
23
2
2
−+
+
−−
− xx
xx
x
x 
c) 
12
1
4
5)3(
3
1 +
−
−
−+⋅
xxx d) 
3
)1)(1(
9
)93(
6
)52( 2 +−
+
−
+
+
−
xxxxx 
71. (2º ESO) Utilizando el asistente matemático WIRIS realiza los siguientes cálculos: 
a) Halla el valor numérico del polinomio 32)( 4 +−−= xxxP en 2=x . Ayuda: escribe )(xP y luego )2(P 
b) Dados los polinomios 2353)( 23 +−−= xxxxP ; 342)( 23 −−+−= xxxxQ ; calcula: )()( xQxP + y 
)()( xQxP ⋅ 
c) Simplifica 12)]1()3(3[ 2 −⋅−⋅+− xxxxx 
d) Desarrolla 2)35( a− . 
e) Factoriza 144 2 ++ xx . Ayuda: escribe )144( 2 ++ xxfactorizar 
f) Simplifica la fracción algebraica 22
3
)2(6
)2()2(18
+
−⋅+⋅
xx
xxx 
72. □ Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones algebraicas de dos formas: simplificando 
buscando la fracción irreducible equivalente en cada una y “multiplicando en cruz”. 
23
3
xx
xx
+
− y 
x
x
3
33 − 
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73. Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes: 
a) 
3
1
123
4 y
x
x
−
− b) x
2+x
2x
 y x
2
 c) x+y
x2−y2
 y 1
x−y
 d) x
x2−x
 y 2
2x−2
 
74. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 
a) 𝑥𝑥
2−9
𝑥𝑥2+6𝑥𝑥+9
 b)
4
2
2 −
−
x
x c) 𝑥𝑥
2+25−10𝑥𝑥
𝑥𝑥2−25
 
d) 𝑥𝑥
2+𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑥𝑥2+2𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥2
 e) 𝑥𝑥−2
𝑥𝑥2+𝑥𝑥−6
 f) 𝑥𝑥
2𝑥𝑥−3𝑥𝑥𝑥𝑥2
2𝑥𝑥𝑥𝑥2
 
75. Reduce: 
a) 𝑥𝑥
2−2𝑥𝑥
𝑥𝑥2−5𝑥𝑥+6
 b) 𝑥𝑥
2−3𝑥𝑥−4
𝑥𝑥3+𝑥𝑥2
 c) 𝑥𝑥
3−3𝑥𝑥2+2𝑥𝑥
3𝑥𝑥2−9𝑥𝑥+6
 
d) 𝑥𝑥
2−𝑥𝑥−42
𝑥𝑥2−8𝑥𝑥+7
 e) 2𝑥𝑥
2𝑥𝑥−𝑥𝑥𝑥𝑥2
10𝑥𝑥−5𝑥𝑥
 f) 3𝑎𝑎
2𝑏𝑏2−6𝑎𝑎𝑏𝑏3
3𝑎𝑎3𝑏𝑏−6𝑎𝑎2𝑏𝑏2
 
76. □ Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 
a) ( )( ) ( )( )
bby
ybabay
124
33
−
−−−+− b) 22222
222
44
24
xabxaba
bxaba
+−
− 
77. □ Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 
a) ( )( )15
210 2
−
−
xx
xx b) ( )( )15
10210 2
−
+−
xx
xx 
78. □ Opera y simplifica el resultado: 
a) 
1
1
1 −
−
− xx
x b) 
x
x
xx
xx 112
2
2 +
−
+
++ c) 
x
x
x
x
4
22
1
2 −
⋅
−
 
79. □ Opera y simplifica el resultado: 
3
1
3
12
2 +
−
+
+
xxx
x 
80. □ Opera y simplifica: 
( )
x
x
xx
x
x
x
−
−
+
−
+
−
−
2
523
2
313
2 
81. Reduce a común denominador y calcula: 
a) 𝑥𝑥−2
𝑥𝑥2
+ 𝑥𝑥+2
𝑥𝑥2−𝑥𝑥
− 1
𝑥𝑥2−1
 b) 2𝑥𝑥
𝑥𝑥2+𝑥𝑥−2
− 5
𝑥𝑥+2
− 𝑥𝑥−4
3𝑥𝑥+6
 
c) 𝑥𝑥+2
2𝑥𝑥+1
− 2
4𝑥𝑥2−1
+ 𝑥𝑥+1
2𝑥𝑥
 d) 𝑥𝑥+1
𝑥𝑥−1
+ 3
𝑥𝑥+1
− 𝑥𝑥−2
𝑥𝑥2−1
 
e) 𝑥𝑥
2
𝑥𝑥2−2𝑥𝑥+1
+ 2𝑥𝑥+3
𝑥𝑥−1
− 3 f) 2𝑥𝑥−3
𝑥𝑥2−9
− 𝑥𝑥+1
𝑥𝑥−3
− 𝑥𝑥+2
𝑥𝑥+3
 
82. Calcula teniendo en cuenta el orden de operaciones: 
a) �1
𝑥𝑥
: 1
𝑥𝑥+1
� ∙ 𝑥𝑥
2
 b) �2
𝑥𝑥
− 2
𝑥𝑥+2
� : 𝑥𝑥−2
𝑥𝑥
 c) �3
𝑥𝑥
− 𝑥𝑥
3
� : �1
𝑥𝑥
+ 1
3
� 
d) 𝑥𝑥+1(𝑥𝑥−1)2 ∙
𝑥𝑥2−1
𝑥𝑥
 e) ��𝑥𝑥 + 1
𝑥𝑥
� : �𝑥𝑥 − 1
𝑥𝑥
�� ∙ (𝑥𝑥 − 1) f) 2
𝑥𝑥
∙ �1
𝑥𝑥
: 1
𝑥𝑥−1
� 
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–26– 
 
IES LA ASUNCIÓN d’ELX http://www.ieslaasuncion.org MATEMÁTICAS 4º ESO 
83. Calcula: 
a) �1 − 𝑥𝑥−1
𝑥𝑥
� ∙ 𝑥𝑥
2
𝑥𝑥+3
− 1 b) �1
𝑥𝑥
− 1
𝑥𝑥+3
� : 3
𝑥𝑥2
 
c) 4 − 1
2𝑥𝑥−1
�2
𝑥𝑥
− 1
𝑥𝑥2
� d) � 3𝑥𝑥
𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+4
− 3
𝑥𝑥−2
� : 1
𝑥𝑥−2
 
84. □ Opera y simplifica: 
( )
xx
x
x
x
xx
1
1
1
1
1 2
2
2
2
−
−
−
⋅
−
+
 
85. □ Opera y simplifica: 
372
1
2744
3
6
2
2232 ++
−
−−−
+
−+ xxxxx
x
xx
 
86. □ Opera y simplifica: 
x
11
11
11
+
+
+ 
87. □ Opera y simplifica: 
22
22
9
183
3
3
3
2
ba
baba
ba
b
ba
a
−
++
−
+
+
−
 
88. Calcula: 
a) 2𝑥𝑥+𝑥𝑥
𝑥𝑥2−𝑥𝑥𝑥𝑥
� 3𝑥𝑥
2𝑥𝑥+𝑥𝑥
− 1� b) 1
𝑎𝑎𝑏𝑏
+ 𝑎𝑎
𝑏𝑏
− 1+(𝑎𝑎+𝑏𝑏)
2
𝑎𝑎𝑏𝑏
+ 𝑏𝑏
𝑎𝑎
 
c) 2𝑎𝑎
𝑎𝑎−3𝑏𝑏
− 3𝑏𝑏
𝑎𝑎+3𝑏𝑏
− 𝑎𝑎
2+3𝑎𝑎𝑏𝑏+18𝑏𝑏2
𝑎𝑎2−9𝑏𝑏2
 d) 𝑏𝑏𝑥𝑥−𝑏𝑏
𝑥𝑥+1
+ 3𝑏𝑏𝑥𝑥
𝑥𝑥−1
+ 3𝑏𝑏𝑥𝑥
2+𝑏𝑏𝑥𝑥+2𝑏𝑏
1−𝑥𝑥2
 
e) �𝑥𝑥+𝑥𝑥
𝑥𝑥−𝑥𝑥
− 𝑥𝑥−𝑥𝑥
𝑥𝑥+𝑥𝑥
� 𝑥𝑥
2−𝑥𝑥2
2𝑥𝑥𝑥𝑥
 f) 





−
+
−
+
−






+
−
−
yx
yx
yx
yx
yx
yx
:1 
89. □ Opera y simplifica: 
yx
yx
yx
yx
yx
yx
−
+
−
+
−
+
−
+1
 
90. □ Opera y simplifica: 
( ) xxxx
x
xx
−





++−




 −− 2112113
22
 
91. □ Opera y simplifica: 
( )( ) ( )
( )2
2
1
1121
−
−−−−
x
xxx 
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IES LA ASUNCIÓN d’ELX http://www.ieslaasuncion.org MATEMÁTICAS 4º ESO 
92. □ Calcula el valor de k para que al simplificar la fracción algebraica 
1
1
1
93
−
+
−
−
−
+
x
xk
x
x
 resulte un polinomio de primer 
grado. Escribe la expresión de dicho polinomio. 
Hallar la expresión algebraica asociada a un enunciado 
93. (1º ESO) Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones: 
a) Tenía x € y me han dado 23 €. ¿Cuántos euros tengo ahora? 
b) El lado de un cuadrado mide x metros. ¿Cuánto mide el perímetro? 
c) El lado de tres cuadrados iguales mide x metros. ¿Cuál es el área de los 3 cuadrados? 
d) El doble del número x. 
e) El doble de x más cinco. 
f) El doble del resultado de sumarle cinco a x. 
g) La mitad del número x. 
h) La mitad de x menos cinco. 
i) La mitad del resultado de restarle cinco a x. 
j) La distancia recorrida en x horas por un camión que va a 60 km/h. 
k) El coste de x kilos de peras que están a 0,80 €/kg. 
l) El área de un triángulo de base 0,80 m y altura x metros. 
m) La edad de Pedro, siendo x la de su abuelo, que tenía 60 años cuando nació Pedro. 
94. (2º ESO) Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones: 
a) Mi paso es de 69 cm. ¿Cuántos pasos daré para dar tres vueltas a un circuito de "a" metros? 
b) Si hace tres horas estaba en el kilómetro 26 de una carretera y voy a una velocidad media de x km/h ¿En 
qué punto kilométrico me encuentro de la misma carretera? 
95. (2º ESO) En una granja hay C caballos, V vacas y G gallinas. Asocia cada una de estas expresiones al 
número de: 
a) Patas b) Cabezas c) Orejas d) Picos más alas 
1ª) 2C+2V 2ª) C+V+G 
3ª) 4(C+V)+2G 4ª) 3G 
96. (2º ESO) Llamando "x" al sueldo mensual de un trabajador, expresa algebraicamente: 
a) El valor de una paga extraordinaria, sabiendo que equivale al 80% del sueldo. 
b)Su nómina de diciembre, mes en el que percibe una paga extraordinaria. 
c) Sus ingresos anuales, sabiendo que cobra dos pagas extras: en verano y en Navidad. 
97. (2º ESO) Un trabajador cobra un sueldo base, "B", más 16 euros por cada hora extra. A todo ello se le 
descuenta un 18% de IRPF. El resultado es el sueldo neto, "S". Si "n" es el número de horas extra que ha 
hecho en un mes, ¿cuál, o cuáles, de estas expresiones sirven para calcular el sueldo neto? 
a) 1816 −+= nBS b) 82,0)16( ⋅+= nBS c) 
100
)16(18 nBS +⋅= 
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98. (2º ESO) Un fontanero que presta servicio a domicilio cobra, por acudir a una llamada, un fijo de 25 €, más 
el importe del material utilizado, más 15 € por cada hora de trabajo. Y a todo ello se le añade el 21% de 
IVA. 
Escribe la fórmula para obtener el importe de la factura (I), en función de las horas invertidas (h) y el coste 
del material (M). 
99. (2º ESO) a) Halla la expresión algebraica que da las unidades del triple de un número de tres cifras abc ("a" 
son las centenas, "b" las decenas y "c" las unidades). 
b) Halla la expresión algebraica de un número par, de un número impar, de la suma de tres números pares 
consecutivos, de un cuadrado perfecto, de un cubo perfecto. 
c) Doblando un alambre de 40 cm formamos un rectángulo. Halla la expresión algebraica que define el área 
del rectángulo de base "x" y calcula su valor para x=4. 
100. (3º ESO) Traduce los siguientes enunciados a expresiones algebraicas o a 
ecuaciones: 
a) El doble de un número menos su tercera parte. 
b) El doble del resultado de sumar tres a un número. 
c) El área del triángulo de la derecha es 36 cm2. 
d) Gasto tres quintos de mi dinero comprando un vestido, y 60€ en dos camisetas. Me queda la mitad de mi 
dinero inicial. 
101. (3º ESO) Asocia una expresión algebraica a cada uno de los siguientes enunciados: 
a) El cuadrado de un número menos su doble. 
b) 80% de un número. 
c) Un número impar. 
d) Dos tercios de un número más cinco. 
102. (3º ESO) Traduce al lenguaje algebraico, usando solo una variable: 
a) Tres veces un número menos dos. 
b) El producto de dos números consecutivos. 
c) El cuadrado de un número menos su mitad. 
d) La suma de dos números, uno diez unidades más que el otro. 
103. (3º ESO) Traduce al lenguaje algebraico usando dos variables. 
a) La suma de los cuadrados de dos números. 
b) El cuadrado de la diferencia de dos números. 
c) La mitad del producto de dos números. 
d) La semisuma de dos números. 
2x 
x 
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104. (3º ESO) Si x e y son las edades actuales de dos hermanos, traduce los siguientes enunciados usando las dos 
variables: 
a) La suma de sus edades hace 5 años. 
b) El producto de sus edades dentro de 6 años. 
c) La diferencia entre la edad de uno y la mitad de la del otro. 
105. (3º ESO) Expresa usando una expresión algebraica: 
a) El área del triángulo azul. 
b) El área del trapecio rojo. 
c) La longitud de “d”. 
 
 
 
 
106. (3º ESO)Expresa, usando una expresión algebraica, el área 
coloreada: 
 
 
 
 
 
 
 
107. (3º ESO) Expresa, mediante expresiones algebraicas, el área del siguiente trapecio y la longitud de su 
diagonal “d” 
 
 
 
 
108. (3º ESO) □ Piensa en tres números consecutivos. Resta al cuadrado del mayor el cuadrado del menor. 
Divide el resultado por el del medio. ¡Obtienes siempre 4! Justifícalo utilizando el lenguaje algebraico. 
109. (3º ESO) □ Utiliza el lenguaje algebraico para demostrar que los siguientes enunciados son verdaderos: 
a) La suma de tres números enteros consecutivos es igual al triple del segundo. 
b) Si al cuadrado de un número impar le restas 1, obtienes siempre un múltiplo de 4. 
c) Si al cuadrado de un número le resto el producto del número anterior por el número posterior, el resultado 
es siempre igual a 1. 
110. (3º ESO) a) Simplifica la expresión 22 )1()1( −−+ aa . 
 b) Halla, sin utilizar la calculadora, el valor de 25012–24992. 
111. □ Expresa el área y el volumen de la siguiente figura usando polinomios: 
 
x 
y 
2 
2 
x 
3x 
y d 
x d 
 
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112. □ a) Expresa el área del siguiente tronco de pirámide de bases cuadradas como función 
de x. (Observa que cada cara lateral es un trapecio isósceles). Halla el área para x=1. 
b) Halla la altura (distancia entre base mayor y base menor) en función de x. Halla la 
altura para x=1. 
c) Halla el volumen en función de x. Recuerda que )''(
3
AAAAhV basemenorbaseMayor ⋅++= . 
Halla el volumen para x=1. 
 
113. □ Expresa el perímetro del rombo inscrito en el rectángulo como una función de x 
e y. 
 
 
 
114. Expresa el área coloreada como una función de x e y. 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios de ampliación 
115. Descompón y halla las raíces del polinomio 22 45 −−+ xxx 
116. Simplificar, si es posible, 
xx
xxxx
+
++++
3
234 12 
 
 
 
 
 
 
 
g
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 Tema 2: Álgebra. 
Polinomios y fracciones algebraicas SOLUCIONES 
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• SOLUCIONES: 
 
1. a) 5x+6; b) 5x+1; c) 1811236 23 −−+− xxx ; d) 4737 −− x ; e) 182 23 −+−− xxx ; f) 11242 234 −+−− xxx 
2. a) –12; 0; 21; –9; b) –6; c) 2 y 3; d) –10 
3. b) 3 es raíz de P y de R, 0 es raíz de Q ; c) k=14 
4. a) 418404525 234 +−+− xxxx b) yx 2− 
5. a) –2x3–13x2–5x–7; grado 3 b) –12x3+3x2–6x; grado 3 c) 234 x3x2x
2
1
−+− ; grado 4 
6. a) 2x3–3x2+5x–3 b) 2x3+14x2+4x–20 c) –6x3+8x2 d) 3x3+4x2–19x–2 
7. a) xxx 132718 34 +−− b) 4116 24 +−− xxx c) 2732249 234 +−−− xxxx 
8. a) (x+1)(3x–2) b) (x–2)(2x+x2–3) c) x2(2x–7) d) 3x(x+3)(x–2) 
9. a) 22
9
1
15
4
25
4 yxyx +− b) 
4
12 ++ xx c) 22 44 yxyx +− d) x4–1 e) 1
4
1 2 −x f) 2
11
x
− 
10. a) (x+2)(x–2) b) (2x+5)(2x–5) c) (x+4)2 d) (x+1)2 e) (x–1)2 f) (3x+1)2 g) (2x–5)2 h) 
2
1
2
x





 + 
11. a) x2+4x+4 b) x2–10x+25 c) x2+6x+9 d) x2–8x+16 
12. a) ( )( )3434 +− xx b) 




 +




 −
4
15
4
15 22 xx c) ( )23−x d) ( )22 12 +x 
13. a) –6x–15 b) 24x–9 c) 3x3+2x2+3x+1 d) 2x2–5 
14. a) 962 ++ xx b) 400008000040000 24 ++ xx c) 961344 34 ++++ xxxx d) 842 23 +−− xxx e)
1632248 234 +−+− xxxx 
15. a) 2x3–5x2+2x b) x–2y 
16. a) 20x6–14x5–38x4–32x3–22x2+2 b) 6x2– 7x + 13 c) –30x – 77 
17. a) 94249 24 +− xx b) 43 2 −x 
18. a) 3y2– 2x2– 3xy – 3x b) 2x2+ 8xy c) x – 2y 
19. )165(7 23 +− xxx 
20. a) 3x(2x3– 5x2+ 3x – 1) b) 7x3(5x2– 6x + 2) c) 12x2(3x2– 5x + 1) 
21. a) ( )( )3525 +− xx b) 




 +




 −
5
17
5
17 22 xx c) ( )24−x d) ( )22 23 +x 
22. a) (4x – 1)2 b) (6x +5y)2 c) (3x2+ y)2 d) (7x + 4)(7x – 4) e) (3x2+ y)(3x2– y) f) (y2– 1)2 g) (9x2+ 
8x)(9x2– 8x) h) (1 + 12x2)(1 – 12x2) 
23. a) 5x(2x – 3)2 b) 3x(3x + y)(3x – y) c) 3x(x + y)2 d) x2(2x + 9)(2x – 9) 
24. a) 8110854123.
4
4
3.)(
3
4
3.)(
2
4
3.)(
1
4
)(
0
4 2468431222213242 ++++=




+





+





+





+





xxxxxxxx 
b)
543223455413223145 1040808032.
5
5
.)2.(
4
5
.)2(
3
5
.)2(
2
5
.)2(
1
5
)2(
0
5
yxyyxyxyxxyyxyxyxyxx +++++=





+





+





+





+





+





c) =





+





−





+





−





+





−




 65423324156 )3(
6
6
)3.(.
5
6
)3.(.
4
6
)3.(.
3
6
)3.(.
2
6
)3.(.
1
6
.
0
6
yyxyxyxyxyxx 
6542332456 7291458121554013518 yxyyxyxyxyxx +−+−+−= 
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 Tema 2: Álgebra. 
Polinomios y fracciones algebraicas SOLUCIONES 
 Ejercicios resueltos en http://www.aprendermatematicas.org/ 
–32– 
 
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25. 
32
1
8
55204032 2345 −+−+− xxxxx 
26. a) T4 = 108864 x13 b) T5 = 53760 x22 (empezando a contar los términos desde la izquierda) 
27. Cociente: 
3
42)( 2 −+= xxxC , Resto: 
3
84)( +−= xxR 
28. Cociente: 32)( 2 −+= xxxC , Resto: 3)( −−= xxR 
29. xxxd 2)( 2 += 
30. a) Q(x) = 7; R(x) = 9x – 4 b) Q(x) = 2x –3; R(x) = –x – 3 c) Q(x) = x – 4; R(x) = –3x + 8 d) Q(x) = x/2–
5/4; R(x) = – 11/4 
31. a) Q(x) =3x2+ 4; R(x) = –3x2+ 12x – 5 b) Q(x) = x2– 5x – 1; R(x) = 8x – 1 c) Q(x) = 4x3+ 4x2+ 3x – 1; R(x) = 
–6x + 1 d) Q(x) = x/3 – 7/9; R(x) = –14x/9 + 5 
32. a) Q(x) = 2x2+ 3x – 1; R = –2 b) Q(x) = x2+ 2x – 3; R = 0 exacta: x4–4x2+ 12x – 9 = (x2– 2x + 3) (x2+ 2x – 
3) c) Q(x) = –2x – 1; R = 0 exacta: 4x4+ 2x3– 2x2+ 9x + 5 = (–2x3+ x – 5)(–2x – 1) 
33. 35 −=−= ba 
34. Cociente: 119996)( 234 +−+−= xxxxxC , Resto: 11)( −=xR 
35. a) Q(x) = 5x2+ 7x + 15; R = 28 b) Q(x) = x3– 6x2+ 6x + 1; R = 2 c) Q(x) = –x2– 3x – 5; R = –15 d) Q(x) = 
x3– 5x2+ 10x – 20; R = 45 e) Q(x) = 6x4– 9x3+ 9x2– 9x + 11; R = –11 f) Q(x) = 4x3+ 2x2+ 7x + 7/2; R = ¾ 
36. Cociente: 
8
5
4
7
2
73)( 23 ++−= xxxxC , resto: 
8
5)( −=xR 
37. )a) por (x – 2) y por (x + 3) b) por ninguno. 
38. Ver vídeo. 
39. ) P(1) = 0 b) P(–1) = –4 c) P(2) = 17 d) P(0) = 1 e) P(1/2) = –1/4 f) P(–1/3) = 32/27 
40. Resto: 117 −− m . Para 1−=m 
41. : 42)( 2 +++= mxxxC , Resto: 102)( += mxR . El resto es 6 cuando 2−=m 
42. )a) P(1) = 7; P(–2) = –47; P(3) = 33 b) P(1) = 0; P(–2) = –6; P(3) = 44 
43. a) 1, –2 y 3 b) 3 c) –2 d) ninguno 
44. a) por (x + 4) ⇒Q(x) = x3– 6x2+ x – 6 y por (x – 6) ⇒Q(x) = x3+ 4x2+ x + 4 
45. k = –15 
46. m = –8 
47. k = –4 
48. m = 22 
49. a) )3(2 −x , Raíces:3; b) ( )( )32 −− xx , raíces: 2, 3; c) ( )( )232 ++ xx , raíces: 
2
3,2 −− ; 
d) ( )( )1552 ++ xx raíces: 
5
1,
2
5 −− e) 12 ++ xx , raíces: no hay; f) ( )22−x , raíces: 2 (doble) 
50. a) ( ) ( )2713 22 +− xxx , raíces: 0 (doble), 1 (doble), 
7
2− b) ( )( )( )12122 +−+ xxx , raíces: 
2
1,
2
1,2 −− c) 
( )22 23 +x , raíces: no tiene. 
51. a) 3x(x + 2)(x – 2); raíces: 0, –2, 2 b) 4x(x – 3)2; raíces: 0, 3 doble c) 5x2(3 + x)(3 – x); raíces: 0 doble,–3, 3 d) 
x2(x + 1)2; raíces: 0 doble, –1 doble e) x2(x + 2)(x – 2)(x2+ 4); raíces: 0 doble, –2, 2 f) (4x2+ 9)(2x + 3)(2x – 
3); raíces: –3/2, 3/2 
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–33– 
 
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52. a) (x + 1)(x – 5); raíces: –1, 5 b) 3(x + 1)(x – 5); raíces: –1, 5 c) (x–5)(2x+1); raíces: 5, –1/2 d) (2x–3)(2x+1); 
raíces: 3/2, –1/2 e) (4x–3)2; raíz: 3/4 (doble) f) 2x2–3x+5; raíces: no tiene; g) )
2
51)(
2
51(2 −−+− xx ; raíces: 
2
51,
2
51 −+ h) x(5x–9); raíces: 0, 9/5 i) )35)(35( +− xx ; raíces: 5/3 , 5/3− j) 5x2+9; raíces: no 
hay. 
53. a) (x – 1)(x + 1)(x + 2); raíces 1, –1, –2 b) 3x(x – 1)(x – 4); raíces 0, 1, 4 c) (x – 1)2(x – 7); raíces: 1doble, 7 d) 
(x – 2)(x + 2)(x – 3)(x + 3); raíces: 2, –2, 3, –3 e) (x – 3)(x2+ x +1); raíces: 3 f) x2 (x – 1)(x + 1)(2x + 1)2; 
raíces: 1, –1, –1/2 (doble), 0 (doble) g) 2x(x–1)(2x–5)(3x+1); raíces: 0, 1, 5/2, –1/3 h) (x–2)(5x+3)2; raíces: 
2, –3/5 (doble) 
 i) (x–2)3; raíces: 2 (triple) j) (x+2)(x2–2x+3); raíces: –2 k) 2(x–2)(x+2)(x2+4); raíces: 2, –2 
l) )422)(422( 22 +−++ xxxx ; raíces: no hay. 
54. ( )( )21274 +− xx , raíces: 
4
7 , 
2
1− (doble). 
55. ( ) ( )1213 22 ++ xx , raíces: 
3
1− (doble). 
56. ( ) ( )( )53115 3 +−+ xxxx , raíces: 0, 1, 
3
5− , 1− (triple). 
57. ( )( )34325 2 ++− xxx , raíces: 2 
58. a) 12−=a b) ( )( ) ( )3221 2 ++− xxx , raíces: )(2,
2
3,1 doble−− 
59. 3633)( 2 −+= xxxP 
60. ( )( )22 aaxxax ++− , raíces: a 
61. mcd(P(x),Q(x))= ( ) xxxx 4222 2 −=− , 
( ) ( ) ( ) xxxxxxxxxxxQxPmcm 4802885529621648521224))(),(( 2345622 −−++−=−+−= 
62. (P(x),Q(x))= 3−x , ( ) ( ) 279333))(),(( 232 −++−=+−−= xxxxxxQxPmcm 
63. a) M.c.d = 1; m.c.m = x2(x – 1)(x + 1) b) M.c.d = (x – 3); m.c.m = (x – 3)2(x + 3) c) M.c.d = x + 2; m.c.m =3(x 
+ 2)(x – 1) d) M.c.d = 1; m.c.m = 2x(2x + 1)(2x – 1) 
64. a1) 
x4
3 a2) 
5
x a3) 
x2
2x + ; b) 
32
96
2
2
−−
−
xx
xx y 
32
56
2
2
−−
++
xx
xx ; c) Utiliza el criterio de los productos cruzados o 
simplifica las dos fracciones 
 
65. a)
3
3
−
+
x
x ; b) 
3
5
+x
 ; c) 
1
1
−x
; d) 
x
x
5
1+ ; e) 
86
3
2 +−
−
xx
x ; f) 
x
x
5
33 + 
66. a) 
x3
2 b) 
1x
1
−
 c) 
2x
1
−
 d) 
3x
x
+
 e) 
2x
2x
+
− f) 
3
)1x(x + 
67. a) 
x
1x + b) 1 c) x–1 d) 
x
18x6
x
)3x(6 −
=
− e) 
x
3 f) 
x
1 g) 
10x2
1
)5x(2
1
+
=
+
 h) x i) 
x2
1 
68. a) 232
3
)1(
3
xxxx +
=
+
 b) 
1x
x2x3
2
2
−
+ c) 
242
3
)1(2
3
22 +−
=
− xxx
 d) 
1x
2
−
 
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69. a) 
x2
3x2 + b) 
3
2
x6
3x2x −+ c) 
)1x(x4
2x14xx 23
−
−+− d) 
)3x)(3x(
3x10x 2
−+
−+ e) 
)7x(x
14xx 2
−
−+ f) 
)4x(x
8x 2
−
− 
g) 
1x
5x6x4 2
+
−−− h) 
)3x)(3x(
25x21x4 2
−+
−−− i) 
)1x(x
1x5x2 2
+
−+ 
70. a) 3/10 ; b) –1/5 ; c) 
6
23 −x ; d) 
6
2726 +
−
x 
71. (Ver vídeo) 
72. Sí son equivalentes. 
73. a) sí b) no c) sí d) sí 
74. a) 𝒙𝒙−𝟑𝟑
𝒙𝒙+𝟑𝟑
 b) − 𝟏𝟏
𝒙𝒙+𝟐𝟐
 c) 𝒙𝒙−𝟓𝟓
𝒙𝒙+𝟓𝟓
 d) 𝒙𝒙
𝒙𝒙+𝒚𝒚
 e) 𝟏𝟏
𝒙𝒙+𝟑𝟑
 f) 𝒙𝒙−𝟑𝟑𝒚𝒚
𝟐𝟐𝒚𝒚
 
75. a) 𝒙𝒙
𝒙𝒙−𝟑𝟑
 b)𝒙𝒙−𝟒𝟒
𝒙𝒙𝟐𝟐
 c) 𝒙𝒙
𝟑𝟑
 d) 𝒙𝒙+𝟔𝟔
𝒙𝒙−𝟏𝟏
 e) 𝒙𝒙𝒚𝒚
𝟓𝟓
 f) 𝒃𝒃
𝒂𝒂
 
76. a) 
2
1− b) 
xb
b
−2
2 
77. a) ( )
1
22
−
−
x
xx b) ( )
x
xx 12 2 −− 
78. a) 1 b) 0 c)1 
79. 
)3(
1
+
+
xx
x 
80. 
)2(
173 2
−
−+−
xx
xx 
81. a) 𝟐𝟐𝒙𝒙
𝟑𝟑+𝒙𝒙+𝟐𝟐
𝒙𝒙𝟐𝟐(𝒙𝒙+𝟏𝟏)(𝒙𝒙−𝟏𝟏)
 b) –𝒙𝒙
𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒙𝒙+𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟑𝟑(𝒙𝒙+𝟐𝟐)(𝒙𝒙−𝟏𝟏)
 c) 𝟖𝟖𝒙𝒙
𝟑𝟑+𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐−𝟗𝟗𝒙𝒙−𝟏𝟏
𝟐𝟐𝒙𝒙(𝟐𝟐𝒙𝒙+𝟏𝟏)(𝟐𝟐𝒙𝒙−𝟏𝟏)
 d) 𝒙𝒙
𝟐𝟐+𝟒𝟒𝒙𝒙
(𝒙𝒙+𝟏𝟏)(𝒙𝒙−𝟏𝟏)
 e) 𝟕𝟕𝒙𝒙−𝟔𝟔(𝒙𝒙−𝟏𝟏)𝟐𝟐 f) 
–𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐−𝒙𝒙
(𝒙𝒙−𝟑𝟑)(𝒙𝒙+𝟑𝟑)
 
82. a) 𝒙𝒙+𝟏𝟏
𝟐𝟐
 b) 𝟒𝟒(𝒙𝒙+𝟐𝟐)(𝒙𝒙−𝟐𝟐) c) 3 – x d)
(𝒙𝒙+𝟏𝟏)𝟐𝟐
𝒙𝒙(𝒙𝒙−𝟏𝟏)
 e) 𝒙𝒙
𝟐𝟐+𝟏𝟏
𝒙𝒙+𝟏𝟏
 f) 𝟐𝟐(𝒙𝒙−𝟏𝟏)
𝒙𝒙𝟐𝟐
 
83. a) −𝟑𝟑
𝒙𝒙+𝟑𝟑
 b) 𝒙𝒙
𝒙𝒙+𝟑𝟑
 c) 𝟒𝟒𝒙𝒙
𝟐𝟐−𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐
 d) 𝟔𝟔
𝒙𝒙−𝟐𝟐
 
 
84. ( )21+x 
85. 
( )( )( )2
2
1232
4209
++−
++
xxx
xx 
86. 
12
23
+
+
x
x 
87. 
ba
ba
3
9
+
+ 
88. a) 𝟏𝟏
𝒙𝒙
 b) -2 c) 1 d) b e) 2 f) 𝒚𝒚−𝒙𝒙
𝟐𝟐𝒙𝒙
 
89. 
y
xy
2
− 
90. 
2
726 23 xxx −− 
91. 
1−x
x 
92. 1=k , 62 +− x 
93. (Ver vídeo) 
94. a) 3a/0,69; b) 26+3x 
95. 1-c; 2-b; 3-a; 4-d 
96. a) 0,8x; b) 1,8x; c) 13,6x 
97. La b. 
98. 21,1)1525( ⋅++= hMI 
99. a) cba 330300 ++ ; b) x2 ; 12 −x ; 
42222 ++++ xxx ; 2x; 3x ; c) )20( xx −⋅ ; 64 cm2 
(Ver vídeo) 
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100. a) 
3
xx2 − b) 2(x + 3) c) 36
2
x.x2
= d) 
2
x60x
5
3x =




 +− 
101. a) x2– 2x b) 0.8x c) 2x + 1 d) 5x
3
2
+ 
102. a) 3x – 2 b) x(x+1) c) 
2
xx2 − d) x + (x 
+10) 
103. a) x2+ y2 b) (x – y)2 c) 
2
y.x d) 
2
yx + 
104. a) (x – 5) + (y – 5) = x + y – 10 b) (x + 6)(y + 
6) = xy + 6x + 6y + 36 c) 
2
yx − 
105. a) 2x
3
1 b) 2x
3
2 c) x
3
13 
106. 4x+4y–16 
107. A = 2xy; d = 22 yx9 + 
108. (Ver vídeo) 
109. (Ver vídeo) 
110. a) 4a ; b) 10000 
111. A = 6x2+ 8x – 16; V = x3+ 2x2– 8x 
112. a) A = 6x2+ 12x + 8 ; 26 b) xxh 22 += ; 3 c) 
( )463
3
2 22 +++= xxxxV ; 3
3
13 
113. P = 2�x2 + y2 
114. A = 4xy – 4x2. 
115. 1, –1, –2 
116. 
x
xx 12 ++ 
 
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