funciones resumen conceptos basicos

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RESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICO Autor: José Jaime Mas aprendermatematicas.org 
–1– 
CONCEPTOS BÁSICOS 
* Def : Una función es una relación entre dos variables de forma que a cada valor de la variable independiente "x" le 
corresponde un único valor de la variable dependiente "y" . Se dice "y" es función de "x". El número "y" es la imagen del 
número "x". (ver 4º ESO / Funciones / ej. 1) 
* Def : El dominio de una función es el conjunto de los números "x" que tienen imagen "y". Se escribe )( fDom . 
* Def : El conjunto imagen o recorrido o rango de una función es el conjunto de números "y" que son imagen de algún 
número "x". Se escribe Im( )f . 
* La función puede estar definida por … 
…una gráfica representando 
los puntos (x,y): 
 
… una expresión algebraica ( )y f x= , p. e.: 
• y mx n= + (lineal) (ver 4º ESO / Funciones / Teoría y del 27 al 47) 
• 2y ax bx c= + + (cuadrática) (4º ESO / Funciones / Teoría y del 48 al 56) 
• 
3 2
2
5 4
1
x x xy
x
− +
=
−
 (racional) 
• 23 4y x= − (irracional) 
• 5 2xy = ⋅ (exponencial) 
• 4 ln(3 1)y x= ⋅ − (logarítmica) 
• 5 (2 )y sen x= ⋅ (trigonométrica) 
 
* Para hallar Im( )f , casi siempre tenemos que conocer su gráfica. 
* Para hallar )( fDom , debemos recordar que: 
• NO podemos dividir entre cero. 
• NO existe la raíz de índice par con radicando negativo. 
• NO existen los logaritmos de argumento negativo o cero. 
 
* Recuerda la definición de LOGARITMO log ( 0) ya x y a a x= > ⇔ = y algunas propiedades 
 
yxyx aaa loglog)(log +=⋅ yxy
x
aaa logloglog −=





 ( )log logna ax n x= ⋅ a
xx
b
b
a log
loglog = 
(4º ESO / Logaritmos / Teoría y del 2 al 13) 
 
* Recuerda cómo se resuelven INECUACIONES ( 4º ESO / Ecuaciones, inecuaciones y sistemas / ej. Del 69 al 77 ) 
 
* Recuerda cómo hallar el DOMINIO de funciones ( 4º ESO / Funciones / ej. Del 73 al 75 ) 
 
 
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–2– 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
* Definiciones de límite de f(x) cuando x →+∞ 
 
La recta y l= es asíntota horizontal 
a la curva ( )y f x= en +∞ 
 
* Operaciones con límites finitos cuando x →+∞ : 
Si lim ( )
x
f x a
→+∞
= y lim ( )
x
g x b
→+∞
= , entonces: 
1) [ ]lim ( ) ( )
x
f x g x a b
→+∞
+ = + 2) [ ]lim ( ) ( )
x
f x g x a b
→+∞
⋅ = ⋅ 3) [ ] ( 0)lim ( ) / ( ) / b
x
f x g x a b ≠
→+∞
= 
4) ( ) ( ( ) 0)lim ( )g x b f x
x
f x a >
→+∞
  =  5) ( ( ) 0)lim ( )
nn n impar ó n par f x
x
f x a ≥
→+∞
= 6) [ ] ( ( ) 0)lim log ( ) log f x
x
x aα α >→+∞ = 
* Operaciones con expresiones infinitas: 
SUMAS PRODUCTOS COCIENTES POTENCIAS 
( ) ( ) ( )l+∞ + = +∞ 
( ) ( ) ( )+∞ + +∞ = +∞ 
( ) ( ) ( )l−∞ + = −∞ 
( ) ( ) ( )−∞ + −∞ = −∞ 
( ) ( ) ( )+∞ ⋅ +∞ = +∞ 
( ) ( ) ( )+∞ ⋅ −∞ = −∞ 
( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( )
l
Si l
l
+∞ ⋅ = +∞
>  −∞ ⋅ = −∞
 
( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( )
l
Si l
l
+∞ ⋅ = −∞
<  −∞ ⋅ = +∞
 
( ) (0)
( )
l
=
±∞
 
( ) ( )
(0)
l
= ±∞ 
( ) ( )
(0)
±∞
= ±∞ 
(0) (0)
( )
=
±∞
 
( )( ) ( )+∞+∞ = +∞ 
( )( ) (0)−∞+∞ = 
( )0, ( ) ( )lSi l > +∞ = +∞ 
( )0, ( ) (0)lSi l < +∞ = 
( )
( )
( ) ( )
1
( ) (0)
l
Si l
l
+∞
−∞
 = +∞> 
=
 
( )
( )
( ) (0)
0 1
( ) ( )
l
Si l
l
+∞
−∞
 =< < 
= +∞
 
* Comparaciones de infinitos: 
Si lim ( )
x
f x
→+∞
= ±∞ y lim ( )
x
g x
→+∞
= ±∞ , entonces se dice que ( )f x es un infinito superior a ( )g x si ( )lim
( )x
f x
g x→+∞
= ±∞ . 
En cambio son del mismo orden si 
( )lim 0
( )x
f x l
g x→+∞
= ≠ 
P.e.: 33 2 100 logx x x x x>> >> >> >> . En cambio, 5 47 3x x+ es un infinito del mismo orden que 5 42x x− 
* Indeterminaciones: 
( ) ( )+∞ − +∞ (0) ( )⋅ ±∞ (0)
(0)
 
( )
( )
±∞
±∞
 ( )(1) ±∞ (0)( )+∞ (0)(0) 
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–3– 
* Resolver las indeterminaciones cuando x →+∞ : 
1) Cociente de polinomios: 
...( )
...
n
m
axf x
bx
+
=
+
 se comporta como n m
a x
b
− . Ej1: 
3 2
2
4 10lim
2 1x
x x
x x→+∞
− + +
= −∞
− +
 
2) Cociente de otros infinitos: ...p nax + se comporta como /p n pa x⋅ cuando x →+∞ . Ej2:
2
5 1 5lim
24x
x
x x→+∞
−
=
−
 
3) Diferencia de infinitos: Si se puede hacer la diferencia. Ej3: 
22 5lim 2 11
3x
x x x
x→+∞
 −
− = − + 
. 
 Si hay raíces cuadradas, multiplicamos núm. y den. Por expresión conjugada. Ej4: ( )2 1lim 2x x x x→+∞ − − = − 
4) Indeterminación ( )(1) ±∞ . Si lim ( ) 1
x
f x
→+∞
= y lim ( )
x
g x
→+∞
= ±∞ , entonces ( )( )lim ( )g x H
x
f x e
→+∞
= , siendo 
 ( )lim ( ) 1 ( )
x
H f x g x
→+∞
= − ⋅   . Ej5: 
5 3
103 5lim
3 1
x
x
x e
x
−
→+∞
+  = − 
 
* Resolver las indeterminaciones cuando x →−∞ : 
Tendremos en cuenta que lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
→−∞ →+∞
= − Ej6: 
3
2lim 02 1 2x
x x
x→−∞
 
− = + 
 
 
* Definiciones de límite de f(x) cuando x c→ . Algunos ejemplos: 
 
lim ( )
x c
f x
−→
= +∞ 
La recta x c= es asíntota vertical 
 
lim ( )
x c
f x l
→
= 
 
lim ( )
x c
f x
→
= −∞ 
La recta x c= es asíntota vertical 
 
* Def: Una función ( )f x es continua cuando x a= si lim ( ) ( )
x a
f x f a
→
= 
* Prop.: Recuerda que todas las funciones dadas por expresiones analíticas elementales (es decir, todas las que hemos 
estudiado hasta ahora) son continuas en todos los puntos en los que están definidas, es decir, en su dominio. En las 
funciones definidas a trozos hay que estudiar la continuidad donde la función cambia. 
Por tanto, si ( )f x no cambia alrededor de x a= , para hallar lim ( )
x a
f x
→
 , hallamos ( )f a y salvo que obtengamos una 
indeterminación, éste será su límite. Recuerda que las indeterminaciones son: 
 ( ) ( )+∞ − +∞ (0) ( )⋅ ±∞ (0)
(0)
 
( )
( )
±∞
±∞
 ( )(1) ±∞ (0)( )+∞ (0)(0) 
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–4– 
* Resolver las indeterminaciones cuando x a→ : 
1) 
(0)
(0)
 Intentamos simplificar la fracción: Ej7: 
2
3 22
4 4lim
2 5 10 9x
x
x x x→−
−
=
− − − −
 , Ej8: 
3 2
22
2lim
6x
x x
x x+→
−
= +∞
+ −
 
2) ( ) ( )+∞ − +∞ Si se puede hacer la diferencia. Ej9: 
2 3
2 30
5 2 2 1lim 5
2x
x x x x
x x x x→
 − + + +
− = − + + 
 
 
3) ( )(1) ±∞ . Si lim ( ) 1
x a
f x
→
= y lim ( )
x a
g x
→
= ±∞ , entonces ( )( )lim ( )g x H
x a
f x e
→
= , siendo 
 ( )lim ( ) 1 ( )
x a
H f x g x
→
= − ⋅   . Ej10: 
1
2 7
12
7
7 4lim
3
x
x
x
x x e
x
+
−
→
 − +
= − 
 
* Def: Una función se dice que es continua en un intervalo (finito o infinito) de  si es continua en cada punto del intervalo. 
Cuatro ejemplos donde f no es continua en x a= : 
 
lim ( ) ( )
x a
f x f a
→
≠ 
Discontinuidad evitable 
en x a= 
 
1 2lim ( ) lim ( )
x a x a
f x l f x l
− +→ →
= ≠ = 
Salto finito en x a= 
 
lim ( )
x a
f x
−→
= +∞ 
Salto infinito en x a= 
 
No existe lim ( )
x a
f x
−→
 
 
Teorema de Bolzano:
[ ] ( )( ) , , ( ) 0
( ) ( )
Si f x es continua en a b
existe al menos un c a b tal que f c
signo f a signo f b
⇒ ∈ =
≠ 
 
 
Teorema de los valores intermedios:
[ ] ( )( ) , , ( )
( ) ( )
Si f x es continua en a b
existe al menos un s a b tal que f s k
y sea k comprendido entre f a y f b
⇒ ∈ =

 
 
Teorema de Weiertrass:
[ ] [ ]( ) , ( ) ,Si f x es continua en a b f x tiene máximo y mínimo absoluto en a b⇒ 
(En el ejemplo, el máximo absoluto se obtiene cuando x c= y el mínimo cuando x d= 
 
 
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–5– 
DERIVADAS 
Def: Tasa de variación media de f(x) en [a,b] es [ ]
x
y
ab
afbfbaTVMf
∆
∆
=
−
−
=
)()(, y coincide con la pendiente "m" de la 
recta que pasa por los puntos ))(,( afaP y ))(,( bfbQ .Si y=f(x) es el espacio recorrido "y" al transcurrir un tiempo "x", entonces [ ]
x
y
ab
afbfbaTVMf
∆
∆
=
−
−
=
)()(, es la velocidad 
media en ese intervalo de tiempo [a,b]. 
Def: La recta tangente a la curva )(xfy = en ax = es la recta límite del conjunto de las rectas secantes que pasan por 
))(,( afaA y ))(,( hafhaB ++ cuando 0→h . 
Def: Tasa de variación instantánea de f(x) en x=a o derivada de f(x) en x=a es el límite, si existe: 
[ ]
x
y
h
afhafhaafTVMaTVIfaf
xhh ∆
∆
=
−+
=+==
→∆→→ 000
lim)()(lim,lim)()(' 
y coincide con pendiente "m" de la recta tangente a la curva )(xfy =
en el punto ))(,( afaP . 
La recta tangente a la curva )(xfy = en el punto ))(,( afaP es: 
( )axafafy −⋅=− )(')( ya que la pendiente de la recta tangente en 
ax = es )(' af . 
Prop: Si y=f(x) es el espacio recorrido "y" al transcurrir un tiempo "x", entonces: )(' af es la velocidad instantánea en x=a. 
Prop: Si f(x) es derivable en ax = , entonces es continua en ax = y, por tanto, 
Si )(xf no es continua en ax = , entonces no es derivable en ax = . 
Def. Derivadas laterales: La derivada por la izquierda de f en 0x es 0 00 0
( ) ( )'( ) lim
h
f x h f xf x
h−
−
→
+ −
= . 
La derivada por la derecha de f en 0x es 0 00
0
( ) ( )'( ) lim
h
f x h f xf x
h+
+
→
+ −
= . f derivable en 0x si 0 0'( ) '( )f x f x
− += 
Casi todas las funciones elementales son derivables en su dominio, pero, en las funciones definidas a trozos hay que 
estudiar la derivabilidad donde la función cambia ya que, aunque sea continua en ese punto, puede que no coincidan las 
derivadas laterales en ese punto. También hay funciones no derivables en un punto 0x porque su recta tangente es 
vertical. 
 
f derivable en 0x 
0 0 0'( ) '( ) '( )f x f x f x
− += = 
 
Punto anguloso en 0x 
0 0'( ) '( )f x f x
− +≠ 
 
No existe 0'( )f x 
 
Def: Se llama función derivada de ( )f x a la función '( )f x que asocia a cada número “x”, su derivada. 
''( )f x es la derivada de '( )f x y se llama derivada segunda. Así, sucesivamente, )''', ,IV nf f f . 
Prop: Se demuestra la siguiente tabla de derivadas inmediatas y la tabla de las propiedades de las funciones 
derivables. 
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–6– 
DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES COMPUESTAS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES 
∈= kky ( ℝ) ⇒ 0'=y 
xy = ⇒ 1'=y 
∈= nxy n ( ℝ) ⇒ 1' −= nnxy 
xy = ⇒ 
x
y
2
1'= 
 
 
[ ] ∈= nxfy n ()( ℝ) ⇒ [ ] )(')(' 1 xfxfny n ⋅= − 
)(xfy = ⇒ 
)(2
)(''
xf
xfy = 
 
 
)(xfky ⋅= ⇒ )('' xfky ⋅= 
)()( xgxfy += ⇒ )(')('' xgxfy += 
)()( xgxfy ⋅= ⇒ )(')()()('' xgxfxgxfy ⋅+⋅= 
)(
)(
xg
xfy = ⇒ 
[ ]2)(
)(')()()(''
xg
xgxfxgxfy ⋅−⋅= 
)(
1
xg
y = ⇒ 
[ ]2)(
)(''
xg
xgy −= 
Regla de la cadena: 
))(( xgfy = ⇒ )('))(('' xgxgfy ⋅= 
 
xey = ⇒ xey =' 
xay = )1,0( ≠> aa ⇒ aay x ln' ⋅= 
)(xfey = ⇒ )('' )( xfey xf ⋅= 
)(xfay = )1,0( ≠> aa ⇒ )('ln' )( xfaay xf ⋅⋅= 
 
xy ln= ⇒ 
x
y 1'= 
xy alog= )1,0( ≠> aa ⇒ ax
y
ln
11' ⋅= 
[ ])(ln xfy = ⇒ 
)(
)(''
xf
xfy = 
[ ])(log xfy a= )1,0( ≠> aa ⇒ axf
xfy
ln
1
)(
)('' ⋅= 
 
 
Derivada de funciones potenciales-exponenciales: 
[ ] ⇒= )()( xgxfy 
[ ] [ ] )(ln)(')()(')()(' )(1)( xfxgxfxfxfxgy xgxg += − 
También se puede derivar tomando logaritmos en los 
dos miembros y derivando después. 
 
 
xseny = ⇒ xy cos'= 
xy cos= ⇒ xseny −=' 
xtgy = ⇒ xtg
x
y 22 1cos
1' +== 
 
[ ])(xfseny = ⇒ [ ] )(')(cos' xfxfy ⋅= 
[ ])(cos xfy = ⇒ [ ] )(')(' xfxfseny ⋅−= 
[ ])(xftgy = ⇒ [ ] [ ][ ] )(')(1)(cos
)('' 22 xfxftgxf
xfy ⋅+== 
 
xarcseny = ⇒ 
21
1'
x
y
−
= 
xy arccos= ⇒ 
21
1'
x
y
−
−
= 
xarctgy = ⇒ 21
1'
x
y
+
= 
[ ])(xfarcseny = ⇒ 
[ ]2)(1
)(''
xf
xfy
−
= 
[ ])(arccos xfy = ⇒ 
[ ]2)(1
)(''
xf
xfy
−
−
= 
[ ])(xfarctgy = ⇒ [ ]2)(1
)(''
xf
xfy
+
= 
 
 
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–7– 
Prop: Si 0)(' 0 >xf , entonces )(xf es creciente en 0x . 
Prop: Si 0)(' 0 <xf , entonces )(xf es decreciente en 0x . 
Prop: Si 0)(' 0 =xf , entonces se dice que en 0x hay un punto crítico (punto de tangente horizontal) y para saber si 
crece, decrece, es máximo o mínimo relativo, estudiamos la monotonía en un entorno de 0x . 
Prop: Si ⇒



<
=
0)(''
0)('
0
0
xf
xf
máximo relativo en 0x . 
Prop: Si ⇒



>
=
0)(''
0)('
0
0
xf
xf
mínimo relativo en 0x . 
Prop: Si f tiene un extremo relativo en 0x y existe 0'( )f x , entonces 0)(' 0 =xf . 
Prop: Si f es continua en [ ],a b , el tª de Weierstrass nos asegura que existe máximo y mínimo en [ ],a b y se 
encuentran en x a= , en x b= , donde 0)(' 0 =xf o donde no es derivable. 
Prop: Si 0)('' 0 >xf , entonces )(xf es cóncava hacia arriba (  ) en 0x . 
Prop: Si 0)('' 0 <xf , entonces )(xf es cóncava hacia abajo (  ) en 0x . 
Prop: Si 0)('' 0 =xf , entonces para saber si es cóncava hacia arriba, hacia abajo o punto de inflexión, estudiamos la 
curvatura en un entorno de 0x . 
Prop: Si ⇒



≠
=
0)('''
0)(''
0
0
xf
xf
punto de inflexión en 0x . 
 
Problemas de optimización: Son problemas físicos, geométricos, económicos, … en los que se trata de optimizar una 
función (hacer máximo unos beneficios, una población; hacer mínimos unos costes o un área, …). A menudo, lo más 
difícil será encontrar esa función que hay que optimizar. 
Regla de L’Hôpital para hallar límites: 
Si 
( )lim
( )x a
f x
g x→
 es una indeterminación 
(0)
(0)
 o 
( )
( )
±∞
±∞
 y es 
'( )lim
'( )x a
f x l
g x→
= , entonces también es 
( )lim
( )x a
f x l
g x→
= . 
También podemos aplicar la regla de L’Hôpital si a = ±∞ . 
Hay indeterminaciones del tipo (0)( )+∞ ó (0)(0) que, tras aplicar logaritmos, pasamos a (0)
(0)
 o 
( )
( )
±∞
±∞
 
Teorema de Rolle:
[ ]
( ) ( )
( ) ,
( ) , , '( ) 0
( ) ( )
Si f x es continua en a b
f x es derivable en a b existe al menos un c a b tal que f c
f a f b


⇒ ∈ =
= 
 
 
Teorema del valor medio: 
[ ]
( )
( )
( ) , ( ) ( ), '( )
( ) ,
Si f x es continua en a b f b f aexiste al menos un c a b tal que f c
b af x es derivable en a b
 −⇒ ∈ = −
 
 
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–8– 
 
Estudio completo de una función: 
 
I. Dominio y continuidad (ya estudiado) 
II. Puntos de corte con los ejes y signo de la función: 
Corte con eje OY: es el punto (0,f(0)). 
Cortes con eje OX: son los puntos (x,0), por tanto, basta con resolver la ecuación ( ) 0f x = . 
La función es positiva para los x∈ donde ( ) 0f x > . Negativa cuando ( ) 0f x < . 
III. Simétrica respecto eje OY (PAR): Si ( ) ( ) ( )f x f x x Dom f− = ∀ ∈ 
 Simétrica respecto el origen (IMPAR): Si ( ) ( ) ( )f x f x x Dom f− = − ∀ ∈ 
IV. Es periódica de periodo T si ( ) ( ) ( )f x f x T x Dom f= + ∀ ∈ 
V. Asíntotas: 
 * La recta ax = es asíntota vertical de )(xfy = si ocurre algo de: ±∞=
±→
)(lim xf
ax
 
 * La recta by = es asíntota horizontal de )(xfy = en ∞+ o ∞− si bxf
x
=
+∞→
)(lim o bxf
x
=
−∞→
)(lim 
 * La recta nmxy += es asíntota oblicua de )(xfy = en ∞+ o ∞− si 0))()((lim =+−
+∞→
nmxxf
x
 o 
 0))()((lim =+−
−∞→
nmxxf
x
. 
 En la práctica hay asíntota oblicua en ∞+ ⇔ 0)(lim ≠=
+∞→
m
x
xf
x
. Es entonces ))((lim mxxfn
x
−=
+∞→
 
VI. Crecimiento, decrecimiento, extremos (ya estudiado con la primera derivada). 
VII. Curvatura y puntos de inflexión (ya estudiado con la segunda derivada). 
 
 
En el vídeo https://youtu.be/R0-vU_1-fTs explico cómo hacer un estudio completo de una función. 
 
 
 
 
 
 
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–9– 
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
1. 1dx x C= +∫ 
2. { }1,
1
1 1 −−∈+
+
=∫+ RnCxndxx
nn 
3. ∫ ∫ +==− Cxdxxdxx ln
11 
4. x xe dx e C= +∫ 
5. ∫ ≠>+= 1,0,ln
1 aaCa
a
dxa xn 
6. ∫ += Csenxxdxcos 
7. ∫ +−= Cxsenxdx cos 
8. ∫ +=
−
Csenxarcdx
x21
1
 
9. ∫ +=+ Ctgxarcdxx21
1
 
10. 22
1 (1 )
cos
dx tg x dx tgx C
x
= + = +∫ ∫ 
11. 22
1 (1 ) cotdx cotg x dx gx C
sen x
= + = − +∫ ∫ 
12. cosh
2
x xe esenhxdx x C C
−+
= + = +∫ 
13. cosh
2
x xe exdx senhx C C
−−
= + = +∫ 
14. ( )221 arg ln 11 dx senhx C x x Cx = + = + + ++∫ 
15. ( )221 arg cosh ln 11 dx x C x x Cx = + = + − +−∫ 
16. 2 2
1 1 xdx arctg C
a x a a
 = + +  ∫ 
17. sec ln secx dx x tgx C= + +∫ 
18. cossec ln cossecx dx x cotgx C= − + +∫ 
 
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES INTEGRABLES 
1. ( ) ( )k f x dx k f x dx⋅ = ⋅∫ ∫ 
2. ( )(x) g(x) ( ) ( )f dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ 
Integrales Inmediatas 
Integrales reducibles a inmediatas 
Integración de funciones racionales 
( )
( )
P x dx
Q x∫ 
Integración por partes udv uv vdu= −∫ ∫ 
Integración por sustitución: 
• Trigonométricas 
• Binomias 
• Irracionales 
Regla de Barrow: 
RESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICO Autor: José Jaime Mas aprendermatematicas.org 
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Si ( )f x es una función continua en [ ],a b , entonces 
[ ]( ) ( ) ( ) ( )
b b
aa
f x dx F x F b F a= = −∫ siendo ( )F x cualquier primitiva de ( )f x en [ ],a b 
 
 
 
 
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RESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICO Autor: José Jaime Mas aprendermatematicas.org 
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Recta que pasa por 2 puntos ),( 00 yxA y ),( 11 yxB 
( )00 xxmyy −⋅=− ⇒ ( )0
01
01
0 xxxx
yyyy −⋅
−
−
=− 
La recta tangente a la curva )(xfy = en ax = es: 
 ( )00 xxmyy −⋅=− ⇒ ( )axafafy −⋅=− )(')( 
ya que la m de la recta tangente en ax = es )(' af 
 
La recta nmxy += es asíntota oblicua de )(xfy = en ∞− 
si 0))()((lim =+−
−∞→
nmxxf
x
. 
En la práctica: Hay asíntota oblicua ⇔ 0)(lim ≠=
−∞→
m
x
xf
x
. 
Es entonces ))((lim mxxfn
x
−=
−∞→
 
 
La recta by = es asíntota horizontal de )(xfy = en ∞− 
si bxf
x
=
−∞→
)(lim