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Lógica de proposiciones 
 
Acceso. Matemáticas Básicas. Uned de Bergara. Página 1 
1. UD.1 - 1. LÓGICA DE PROPOSICIONES. ................................................2 
1.1. Proposiciones ..................................................................................................................................... 2 
1.2. Conectores lógicos ............................................................................................................................ 2 
1.3. Cálculo de valores de verdad ............................................................................................................ 5 
1.4. Razonamientos Lógicamente Válidos .............................................................................................. 6 
1.4.1. Probar la validez de un razonamiento: ......................................................................................... 6 
1.4.2. Reglas de inferencia ..................................................................................................................... 6 
1.4.2.1. Modus ponendo ponens ....................................................................................................... 7 
1.4.2.2. Modus tollendo tollens .......................................................................................................... 7 
1.4.2.3. Modus tollendo ponens ......................................................................................................... 7 
1.4.2.4. Ley del silogismo hipotético .................................................................................................. 7 
1.4.3. Demostraciones ............................................................................................................................ 8 
1.4.3.1. Reglas que pueden usarse en una demostración ................................................................ 8 
1.5. Ejercicios ............................................................................................................................................. 9 
Lógica de proposiciones 
 
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1. UD.1 - 1. LÓGICA DE PROPOSICIONES. 
1.1. Proposiciones 
Proposiciones o Enunciados son oraciones (frases), de las que siempre se puede asegurar que son verdaderas o falsas. 
NO porque siempre tengan que ser lo uno o lo otro sino en función de las circunstancias. 
A estas circunstancias se les llama Posibilidades Lógicas. 
Las proposiciones las denotaremos por p, q, r, s.. 
Por ejemplo: Hoy no está nublado. // Hoy estoy cansada. // 2 y 3 son 5. // Soy persona. 
¿Qué día es hoy?  No podemos decir si es verdadera o falsa, luego no es proposición. 
No serán proposiciones las admirativas, las que indican deseo, órdenes,.. 
 !Qué bonito es! // ¿De verdad que lo quieres? // Quiero que estudies. 
Sin embargo "si estudias, aprobarás" es lo que llamamos Proposición Compuesta. 
 
Valor de Verdad es la verdad o falsedad de una proposición. 
Con la lógica lo que se intenta es deducir el valor de verdad de ciertas proposiciones, siempre basándonos en el valor 
de verdad de alguna y mediante ciertas reglas. 
Necesitamos una oración, lingüísticamente hablando, pero además con cierta estructura lógica. 
Podemos sino encontrarnos con Paradojas: "Esta oración es falsa." (Si fuera verdadera sería falsa, pero si fuera falsa 
sería verdadera) 
 
1.2. Conectores lógicos 
Hay proposiciones Simples y Compuestas, las compuestas son unión de 2 o más simples mediante conectores. 
Ejemplo: Hoy es domingo y tenemos fiesta. 
 Si trabajo hoy (entonces) descansaré mañana. 
 Ese niño sabe hablar pero no leer. 
Las proposiciones simples no hace falta que estén relacionadas entre sí, en lógica. 
Ejemplo: “Si uno y uno son dos entonces soy árbol” 
Ejemplos de los conectores más comunes: 
 
"Nadie quiere tomar el tren" p (Negación) 
 ¬p Alguno quiere tomar el tren. 
 ¬p No es verdad que nadie quiera tomar el tren 
 ¬p Hay gente que quiere tomar el tren 
"Tienes el pelo corto y rubio" p∧q (Conjunción) 
 ¬p ∧ ¬q No tienes el pelo ni corto ni rubio. ¬(p∨q) 
 ¬(p ∧ q) No tienes el pelo corto y rubio. 
 p ∧ ¬q Tienes el pelo corto pero no rubio. 
 ¬(p ∧ q) Es falso que tengas el pelo corto y rubio. 
"Si estudias entonces apruebas" p→q (Condicional) 
 p→q Cuando se estudia se aprueba. 
 p→q Siempre que se estudia se aprueba. 
 p→q q es condición necesaria de p 
 p→q p es condición suficiente para q 
 p→q Basta p para q 
"Aprobarás sólo y cuando estudies" p↔q (Bicondicional) (si y sólo si) 
"O estudia o trabaja" p∨ q (Excluyente) (o bien, o bien) 
"Escribe con lápiz o pluma" p∨q (Disyunción) (p ó q) 
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Tablas de Verdad. Nos darán los valores de verdad de las proposiciones. 
La tabla de verdad de una proposición compuesta es una representación de las 
distintas posibilidades lógicas que pueden tomar las proposiciones simples que 
la integran incluyendo, para cada una de ellas, el valor de verdad de dicha 
proposición compuesta. 
Conectores más comunes y sus Tablas de Verdad. 
Conector Se lee Se representa Tabla de Verdad 
Negación No p ¬ p p ¬p 
"Hoy no iré al cine" 
 
Conector Se lee Se representa p q p∧q 
Conjunción p y q p ∧ q 
V V V 
V F F 
F V F 
"Iré al cine y de vinos" F F F 
 
Conector Se lee Se representa Tabla de Verdad 
Disyunción p ó q p ∨ q 
p q p∨q 
V V V 
V F V 
F V V 
"Iré al cine o de vinos" F F F 
 
Conector Se lee Se representa Tabla de Verdad 
Condicional 
Si p 
entonces 
q 
p  q 
p q pq 
V V V 
V F F 
F V V 
"Si voy al cine te llamo" F F V 
 
Conector Se lee Se representa Tabla de Verdad 
Bicondicional p si y sólo si q P ↔ q 
p q p↔q 
V V V 
V F F 
F V F 
"Sólo y si voy al cine te llamo" F F V 
 
Conector Se lee Se representa Tabla de Verdad 
Disyunción 
Excluyente ó p ó q p∨ q 
p q p∨ q 
V V F 
V F V 
F V V 
"O voy al cine o te llamo" F F F 
 
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Ejercicios. 
1. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una proposición? 
a) Dame la mano. 
b) ¿Qué tal estás? 
c) Los pájaros nadan. 
2. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es compuesta? 
a) Por las mañanas hace mucho frío en la ciudad de 
Soria. 
b) Como y leo. 
c) El número 5 es un número compuesto. 
3. La negación de la proposición “algún día llueve” es: 
a) Ningún día llueve. 
b) Algún día no llueve. 
c) Todos los días llueve. 
4. Si se designa por p a la proposición “leo” y por q a la 
proposición “tengo sueño”, entonces la proposición 
compuesta “tengo sueño siempre que leo” se simboliza 
por: 
a) p  (¬q) 
b) q → p 
c) p  q 
5. Si p es la proposición “hoy estoy alegre”, q es la 
proposición “hoy hace sol” y r es la proposición “hoy 
llueve”, entonces la proposición compuesta “hoy estoy 
alegre y llueve, pero no hace sol”, se representa por: 
a) p ∧ r ∧ (¬q) 
b) p ∧ r → (¬q) 
c) p ∧ r ∨ (¬q) 
6. Si p es la proposición “el encausado es culpable de 
estafa” y q es la proposición “el encausado es culpable 
de hurto”, la proposición compuesta “si el encausado es 
culpable de hurto, entonces es culpable de estafa” se 
simboliza por: 
a) p  (¬q) 
b) q → p 
c) p  q 
 
7. Si p es la proposición “el agua es sana” y q es la 
proposición “el agua es buena”, la proposición 
compuesta “el agua no es ni sana ni buena” se simboliza 
por: 
a) (¬p) ∧ (¬q) 
b) ¬(p ∧ q) 
c) (¬p) ∨ (¬q) 
8. La proposición contraria de la proposición “todos los 
días son hermosos” es: 
a) Algunos días son hermosos. 
b) Algunos días no son hermosos. 
c) Todos los días no son feos. 
9. Si p es la proposición “La abeja es un ser admirable”, q 
la proposición “La abeja es un ser muy útil” y r la 
proposición “La abeja es un ser dócil”. Entonces la 
proposición compuesta “La abeja es un ser admirable y 
muy útil pero no dócil” se representa por: 
a) p ∧ r ∧ (¬q) 
b) p ∧ q → (¬r) 
c) p ∧ q ∧ (¬r) 
10. La proposición contrariade: “Todos los encausados son 
culpables” es: 
a) Algunos encausados son inocentes. 
b) Ninguno de los encausados es culpable. 
c) Todos los encausados son inocentes. 
11. La negación de la proposición: “voy al cine y al campo” 
es: 
a) No voy al cine ni al campo. 
b) No voy al cine o no voy al campo. 
c) Voy al cine pero no al campo. 
12. Si p es la proposición “hace un sol espléndido”, q es 
“estoy alegre” y r es “cantan los pájaros”, la proposición 
compuesta “estoy alegre porque hace un sol espléndido 
y cantan los pájaros” se simboliza por: 
a) (p∧r)→q 
b) q→(p∧r) 
c) (q→p)∧r 
Soluciones: 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
c b a c a b a b c a b a 
 
 
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1.3. Cálculo de valores de verdad 
Tautología (o lógicamente verdadera): proposición que siempre es verdadera. [p∨(¬p)] 
Una proposición se dice Contradictoria (o lógicamente falsa) si su valor es siempre falso. [p∧(¬p)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios: 
 
1. Si p es verdadera, entonces: ¬p→q? 
 
p ¬p q ¬pq 
 
 
 
2. Si p es falsa, entonces: q¬p? 
 
p ¬p q q¬p 
 
 
 
3. Si p es verdadera, entonces: ¬p→(p∨q)? 
 
p ¬p q p∨q ¬p→(p∨q) 
 
 
 
4. Si p es verdadera, entonces: ¬(p∨q)? 
 
p q p∨q ¬(p∨q) 
 
 
5. p∧(¬q)→¬(r∨q) es falsa. Averiguar el valor de verdad de p, q y r 
 
p q r ¬q p∧(¬q) r∨q ¬(r∨q) p∧(¬q)→¬(r∨q) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4. Razonamientos Lógicamente Válidos 
Se denomina razonamiento a la afirmación de que cierta proposición, que se dice conclusión, se sigue (se deduce o se infiere) 
de otras proposiciones previas denominadas premisas. 
 
Un razonamiento es Lógicamente Válido si SIEMPRE que las premisas son verdaderas lo es la conclusión. ¡OJO! Puede ser 
verdadera la conclusión y falsas las premisas. 
 
Un razonamiento no válido se llama Falacia 
 
Un razonamiento puede ser Lógicamente válido aunque la conclusión no sea verdad. 
Se escribe: ∴ y leemos "luego s" 
 
 p 
Premisas q 
 r 
∴ s Conclusión 
 
 
1.4.1. Probar la validez de un razonamiento: 
Para probar la validez de un razonamiento se forma la tabla de verdad de las premisas y la conclusión, y se comprueba que siempre 
que las premisas toman el valor de verdad V también la conclusión toma el valor V. 
 
 
 
 
Es importante entender que la validez de un razonamiento no guarda relación directa con la verdad de la conclusión, sino 
que depende exclusivamente de su coherencia interna. 
Ejemplo: 
 
 
 
Para mostrar que un razonamiento NO es lógicamente válido basta encontrar un caso en el que las premisas 
sean verdaderas y la conclusión falsa. 
 
1.4.2. Reglas de inferencia 
Cualquier razonamiento puede analizarse siempre mediante la tabla de verdad correspondiente, pero si intervienen muchas 
proposiciones simples este método puede resultar muy trabajoso. Por ello, es recomendable utilizar las reglas de inferencia que 
aseguran la validez de ciertos esquemas de razonamiento. 
Modus Ponendo Ponens: Afirmar Antecedente  Afirma Consecuente. (1) 
Modus Tollendo Tollens: Negar Consecuente  Niega Antecedente. (3) 
Modus Tollendo Ponens: p ∨ q; ¬p /// ∴q (5) 
Ley del Silogismo Hipotético: p  q; q  r ///∴ p  r (8) 
Nicolás Morillo
Resaltado
Nicolás Morillo
Resaltado
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1.4.2.1. Modus ponendo ponens 
Al afirmar, - ponendo - , el antecedente del condicional, se afirma, - ponens - , el consecuente. 
 
 
 
1.4.2.2. Modus tollendo tollens 
Si se niega, - tollendo - , el consecuente del condicional, se niega, - tollens - , el antecedente. 
 
 
 
 
 
1.4.2.3. Modus tollendo ponens 
Si se afirma la disyunción de dos proposiciones y se niega, - tollendo - , una de ellas, se afirma, - ponens - la otra. 
 
 
 
 
 
1.4.2.4. Ley del silogismo hipotético 
Si se afirman dos proposiciones condicionales tales que el consecuente de la primera sea el antecedente de la segunda, entonces 
puede afirmarse la proposición condicional que se obtiene a partir del antecedente de la primera y el consecuente de la segunda. 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicios: 
1. Si 1+1=2 entonces llueve. 1+1=2. Luego llueve Solución: Razonamiento válido. 
2. Comes sólo y cuando tienes hambre. No comes. Luego no tienes hambre. Solución: Razonamiento válido. 
3. Si tienes hambre comes. No comes. Luego no tienes hambre. Solución: Razonamiento válido. 
4. Si tienes hambre comes. No tienes hambre. Luego no comes. Solución: Falacia. 
5. No es un pájaro o tiene alas. Es un pájaro. Luego tiene alas. Solución: Razonamiento válido. 
6. No es un pájaro o tiene alas. Si es un pájaro, entonces pone huevos. No tiene alas. Luego no pone huevos. Falacia. 
7. Si viajo 200km. diarios me canso. Si hace buen tiempo no me canso. Luego si hace buen tiempo no viajo 200km. Diarios 
Solución: Razonamiento válido. 
 
1.4.3. Demostraciones 
Al proceso que, partiendo de las 
premisas, lleva a la conclusión a 
través de ana serie de proposiciones 
intermedias obtenidas sucesivamente 
mediante la aplicación de las reglas 
de inferencia se le llama deducción o 
demostración de la conclusión en 
varios pasos. 
 
1.4.3.1. Reglas que pueden usarse en una demostración 
“Si José ganó la carrera entonces Pedro fue el segundo o Ramón fue el segundo. Si Pedro fue el segundo, entonces José no 
ganó la carrera. Si Carlos fue el segundo entonces Ramón no fue el segundo. José ganó la camera. Luego Carlos no fue el 
segundo.” 
p: “José ganó la carrera” q: “Pedro fue el segundo” 
r: “Ramón fue el segundo” s: “Carlos fue el segundo” 
 
 
 
 
Por lo tanto, el razonamiento es válido 
 
 
P1 
P2 
P3 
P4 
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1.5. Ejercicios 
Feb 2017 A 
 
Feb 2017 B 
 
Feb 2017 C 
 
 
Feb 2017 D 
 
 
Feb 2017 Reserva 
 
Junio 2017 A 
 
Junio 2017 B 
 
Febrero 2016 A 
 
 
Nicolás Morillo
Sello
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Febrero 2016 A 
 
 
Febrero 2016 B 
 
Febrero 2016 C 
 
Febrero 2016 D 
 
 
Nicolás Morillo
Sello
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Junio 2016 A 
 
Junio 2016 B 
 
Junio 2016 Reserva 
 
Septiembre 2016 Original 
 
Septiembre 2016 Reserva 
 
 
 
 
	1. UD.1 - 1. LÓGICA DE PROPOSICIONES.
	1.1. Proposiciones
	1.2. Conectores lógicos
	1.3. Cálculo de valores de verdad
	1.4. Razonamientos Lógicamente Válidos
	1.4.1. Probar la validez de un razonamiento:
	1.4.2. Reglas de inferencia
	1.4.2.1. Modus ponendo ponens
	1.4.2.2. Modus tollendo tollens
	1.4.2.3. Modus tollendo ponens
	1.4.2.4. Ley del silogismo hipotético
	1.4.3. Demostraciones
	1.5. Ejercicios