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Geometría 
Acceso. Matemáticas Básicas. UD 3. Geometría. Uned de Bergara. Página 1 
 
3. Geometría ................................................................................................. 2 
3.1. GEOMETRÍA ANALÍTICA ................................................................................................................... 2 
 El teorema de Pitágoras ................................................................................................................2 
 Sistemas de Referencias y Coordenadas Cartesianas. ................................................................2 
3.2. Rectas en el plano .............................................................................................................................. 3 
 Ecuación de la Recta que pasa por 2 Puntos: ..............................................................................4 
 Condición para que tres puntos estén alineados. .........................................................................4 
 Posición relativa de 2 rectas. ........................................................................................................5 
3.3. Figuras geométricas planas. Polígonos y Circunferencias. .......................................................... 6 
 Polígonos .......................................................................................................................................6 
 Circunferencia ...............................................................................................................................7 
3.3.2.1. Círculo ...................................................................................................................................7 
3.4. Ejercicios ............................................................................................................................................. 8 
 
Introducción 
 
La Geometría -etimológicamente medida de la tierra- es sin duda una de las actividades matemáticas más antiguas, 
ya que fue iniciada por las civilizaciones egipcia y babilónica, y alcanzó un notable desarrollo en la cultura griega; 
culminando con Euclides, cuyos "Elementos" aún se reeditan y se consideran un hito en la historia de la 
Matemática. 
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3. Geometría 
3.1. GEOMETRÍA ANALÍTICA 
Geometría: estudio de rectas, ángulos,... figuras geométricas. 
Analítica: representación de puntos por números, 
ecuaciones. 
 El teorema de Pitágoras 
El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo 
rectángulo tiene área igual a la suma de las áreas de los cuadrados 
construidos sobre los catetos del triángulo. Es decir 
 
ℎ2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 
 
donde h es la longitud de la hipotenusa y b y c son las longitudes de 
los catetos. 
 
 Sistemas de Referencias y Coordenadas Cartesianas. 
Un sistema de referencia cartesiano está compuesto por los tres elementos 
siguientes: 
• Un punto arbitrario del plano, que se denomina origen, O, y que se 
designa numéricamente por (0,0). 
• Dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, O, y se 
denominan ejes de coordenadas. 
• Dos puntos, uno sobre cada eje, equidistantes ambos del origen, que 
se utilizan para indicar la unidad de medida sobre los ejes, además 
de señalar el sentido positivo sobre cada uno de ellos. 
o El primer punto, que se designa por (1,0), identifica el eje de 
abscisas. 
o El segundo punto, que se designa por (0,1), identifica el eje de 
ordenadas. 
Las coordenadas de un punto en el plano son las longitudes, positivas o 
negativas, de los segmentos determinados por sus proyecciones sobre los ejes y el 
origen. 
• La primera coordenada, que recibe el nombre de abscisa, es la longitud x 
del segmento OP'. 
• La segunda coordenada, denominada ordenada, es la longitud y del 
segmento OP". 
Todo punto del plano queda representado mediante el Sistema de Referencia 
Cartesiano representado por un par de números (x, y) que representan sus 
proyecciones sobre los ejes coordenados. 
 
Ejercicio: Utilizando la calculadora gráfica “GEOGEBRA”, o similar, 
trabajar poniendo puntos en el sistema de coordenadas cartesianas 
verificando sus coordenadas. 
𝑃𝑃1 = (−3,2) 
𝑃𝑃2 = (2,−1,5) 
𝑄𝑄1 = (23/8,1) 
𝑄𝑄2 = (−2,−√5) 
Cuadrantes 
 
 
x 
y 
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Distancia entre Dos Puntos: Dados los puntos P(x, y) Q(x’, y’)  d(P, Q) 
 
22 )'()'( yyxxh −+−= 
 
 
 
 
Ejemplo: P(2, 3) y Q(-1, 4) ⇒ d(P, Q) = 10)43()12( 22 =−++ 
 
Ejemplo: Con tres puntos A(-1, -1), B(-2, 3) y C(3, -2) formamos un triángulo. Perímetro: 25172 + 
 
3.2. Rectas en el plano 
Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano cuyas coordenadas (x, y) verifican 
la ecuación: 
𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑩𝑩𝑩𝑩 + 𝑪𝑪 = 𝟎𝟎 
 
Ejemplo 4: 3𝑥𝑥 – 2𝑦𝑦 + 4 = 0 ⇒ y = 3x+4
2
 
El punto (3, 1) ∉ recta ya que 3·3 - 2·1 + 4 = 11 ≠ 0 
El punto (2, 5) ∈ recta ya que 3·2 - 2·5 + 4 = 0; El punto (0, 0) ∉ recta ya que 3·0-2·0+4 = 
4 ≠ 0 
Ecuación explícita de la recta: 
𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
Representar en una hoja cuadriculada y/o 
en la calculadora gráfica “GEOCEBRA” o 
similar las rectas y analizar los resultados: 
• 𝑟𝑟1 = −3𝑥𝑥 + 5 
• 𝑟𝑟2 = −5𝑥𝑥 + 2 
• La recta r3 sabiendo que su 
pendiente es 4 y su ordenada en 
el origen es 1. 
• 𝑟𝑟4 = 𝑥𝑥 
• 𝑟𝑟5 = 
1
2
𝑥𝑥 + 1 
 
 
 
 
𝑎𝑎 : Pendiente de la recta. 
𝑏𝑏 : Ordenada del origen. Altura a la que corta el eje de 
ordenadas. La recta pasa por el punto (0, 𝑏𝑏). 
• Cuanto mayor sea | 𝑎𝑎 | mayor inclinación tendrá la recta. 
• Si “𝑎𝑎” > 0 ⇒ Creciente. (A mayor “x” mayor “y”) Si “𝑎𝑎” 
< 0 ⇒ Decreciente. (A mayor “x” menor “y”) 
 
 
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Punto Medio de un segmento: 
Las coordenadas del punto medio de un segmento definido por dos 
puntos es: 
 




 ++
2
,
2
 = m2)M(m1, 2121 yyxx 
 
 Ecuación de la Recta que pasa por 2 Puntos: 
Dados 2 puntos de coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) hay una única recta que pasa por ellos dos. 
 
Para hallar su ecuación basta con conocer la definición de la recta. 
 
Se resuelve el sistema (las incógnitas “a” y “b”)



+=
+=
baxy
baxy
11
22 
Ejemplo 6: Ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, 5) y (2, -1) 



+⋅=−
+⋅=
ba21
ba05
 ⇒ y= -3x+5 
Ejemplo 7: Recta que pasa por (-2, -1) y (2, 5) ⇒ 



+⋅=
+⋅−=−
ba25
ba21
 y = 3/2·x+2 ⇒ 2y-3x-4 = 0 
Ejemplo 8: Teníamos el triángulo de vértices: 
A(-1, -1); B(-2, 3); C(3, -2) ¿Cuál es la ecuación de las 
rectas que forman cada lado? 
 
 AC (Representación de la recta AC)



+−=−
+=−
ba1
ba32
AC AC : 4y+x+5=0
 




+−=
=++
1xy:BC
05x4y:AB 
 
Representarlo en una hoja cuadriculada y/o en la 
calculadora gráfica “GEOCEBRA” o similar el 
citado triángulo. 
 
 Condición para que tres puntos estén alineados. 
Fijados dos puntos cualesquiera, hallar la ecuación de la recta que pasa por ellos. Y 
si el tercer punto está sobre dicha recta estarán alineados. 
 
Tres puntos (𝑥𝑥1,𝑦𝑦1), (𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2), (𝑥𝑥3,𝑦𝑦3) estarán alineados si: 
 
(𝑦𝑦3 −𝑦𝑦1)
(𝑥𝑥3 −𝑥𝑥1)
=
(𝑦𝑦2 −𝑦𝑦1)
(𝑥𝑥2 −𝑥𝑥1)
 
 
De todas formas, basta con obtener la ecuación de la recta definida por dos de ellos y 
comprobar que las coordenadas del tercero satisface la ecuación de la recta. 
 
Ejemplo 9: ¿Están alineados los puntos (0, 2) (-2, -1) y (2, 5) ? 
Sí están alineados. 
 
Ejemplo 10: ¿Están alineados los puntos (-2, 3) (3, -2) y (1, 1)? NO 
 
 
Ejercicio: Comprobar en una hoja cuadriculada y/o en la calculadora gráfica 
“GEOCEBRA” o similar los resultados de los ejemplos anteriores. 
 
Despejamos a y b y los sustituimos 
en la ecuación genérica de la recta 
𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 
+ 
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 Posición relativa de 2 rectas. 
Intersección de rectas ↔ Punto 
común entre ellas 
 
𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑩𝑩𝑩𝑩 + 𝑪𝑪 = 𝟎𝟎 
y 
 𝑨𝑨′𝑨𝑨 + 𝑩𝑩′𝑩𝑩 + 𝑪𝑪′ = 𝟎𝟎 
 
Si existe un punto común, tiene por 
coordenadas la solución del sistema de 
ecuaciones: 
 
𝑨𝑨𝑨𝑨 + 𝑩𝑩𝑩𝑩 + 𝑪𝑪 = 𝟎𝟎 
𝑨𝑨′𝑨𝑨 + 𝑩𝑩′𝑩𝑩 + 𝑪𝑪′ = 𝟎𝟎 
 
 
Rectas paralelas ↔ Tiene la misma pendiente 
 
𝑩𝑩 = 𝒂𝒂𝑨𝑨 + 𝒃𝒃 
𝑩𝑩 = 𝒂𝒂′𝑨𝑨 + 𝒃𝒃′ 
 
Recta paralela a otra 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 por un punto 
dado (𝑥𝑥0,𝑦𝑦0): 
 
𝑦𝑦 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) + 𝑦𝑦0 
 
 
 
 
Rectas perpendiculares ↔ Sus pendientes son opuestas e inversas 
 
Si una es 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 la perpendicular 𝑦𝑦′ = − 1
𝑎𝑎
𝑥𝑥′ + 𝑏𝑏′ 
 
Ecuación de la recta perpendicular a otra 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 en 
un punto (𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0): 
 
𝑦𝑦 = −
1
𝑎𝑎
(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) + 𝑦𝑦0 
 
 
Ejemplo 11: Vuelvo al triángulo del principio del tema. Teníamos como vértices los puntos: A(-1, -1); B(-2, 3); C(3, -2) 
y habíamos hallado las rectas: AC : 4y + x + 5 = 0; AB : y + 4x + 5 = 0 y BC : y = -x + 1 
Puntos de Corte: AC ∩ AB : (-1, -1) AB ∩ BC : (-2, 3); AC ∩ BC : (3, -2) 
Ejemplo 12: r1: 3x + 2y - 4 = 0 y r2: 2x - 3y + 5 = 0 ⇒ Son Perpendiculares. 
Ejemplo 13: Hallar la recta paralela a 2x - 3y = 5 que pasa por el punto (- 1, 5). Solución: 2x - 3y + 17 = 0 
Ejemplo 14: Halla la recta perpendicular a - 4y = 5x + 3 que pasa por el punto (4, 7). Solución: 4x - 5y + 19 = 0 
Resolver los ejemplos y comprobar en una hoja cuadriculada y/o en la calculadora gráfica “GEOCEBRA” o similar 
los resultados de los ejemplos anteriores. 
 
Son paralelas ↔ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎′ 
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3.3. Figuras geométricas planas. Polígonos y Circunferencias. 
 Polígonos 
Perímetro: de un polígono es la longitud total de su contorno. Suma de las longitudes de 
cada uno de los segmentos rectilíneos que lo componen. 
 
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟í𝑚𝑚𝑃𝑃𝑚𝑚𝑟𝑟𝑚𝑚 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐵𝐵 + 𝐵𝐵𝐴𝐴 
 
Altura (h): Perpendicular a un lado desde su vértice opuesto. 
 
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑚𝑚𝐴𝐴𝑟𝑟𝑎𝑎 = 𝐵𝐵𝐶𝐶 
 
Área: Es la medida de la extensión de la superficie situada dentro de los lados de 
un polígono. 
Rectángulo 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 × 𝑏𝑏 
 
Paralelogramo 𝑨𝑨 = 𝒃𝒃 × 𝒉𝒉 
 
Triángulo 𝐴𝐴 =
𝑏𝑏 × ℎ
2 
 
Polígono cualquiera 
Descomponiéndolo en 
triángulos y sumando sus 
áreas. 
 
 
 
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 Circunferencia 
Es el conjunto de puntos del plano que están 
a una distancia fija llamada "radio (r)"de un 
determinado punto llamado "centro" C(x0, 
y0) 
 
Ecuación 
 
(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)2 + (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0)2 = 𝑟𝑟2; 
 
𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑐𝑐 = 0 
 
Centro C= ( )22 , ba −− 
Radio (r) = c4ba2
1 22 −+ siempre que el radicando sea >0 
 
 
Perímetro: 𝒑𝒑 = 2 ·π · 𝑟𝑟 
 
 
3.3.2.1. Círculo 
Conjunto de puntos del plano cuya distancia al centro es 
menor o igual que el radio → La superficie interior de la 
circunferencia. 
 
Ecuación: 
 
(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)2 + (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0)2 ≤ 𝑟𝑟2; 
 
Área: 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋𝑟𝑟2 
 
 
Ejemplo 15: Determina la ecuación de la circunferencia si el centro es C(1, 2) y el radio r = 2 
(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 ⇒ (x - 1)2 + (y - 2)2 = 22 ⇒ x2+y2 - 2x - 4y + 1 = 0 
 
 
Ejemplo 16: Dada la ecuación x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0, determina su centro y su radio. 
C ( )2b2a , −− = (2, -3); r = c4ba 2221 −+ = 4 Comprobando: (x - 2)2 + (y-(-3))2= 42 
Longitud y Área: L = 2π·r = 8π; Área = π·r2 = 16π 
P
B (1) M
(4)
A (3) C
N
 
 
Analíticamente: ( )2hb ⋅ ; (1): Base = d(C, B)= 5 2 ; (2): Altura es la recta ⊥ a "CB" por (-1, -1): y = x ; 
(3): Punto de corte (H) de la Altura con " CB ": ( 1/2, 1/2); (4): h = d(A, H) = 2
23 (4): Área = 2
15
2
252
23
=
⋅ 
 
Ejemplo 18: Hallar la ecuación de la recta que contiene al punto (1, 1) y es paralela a la que pasa por los puntos (3, 2) y (0, 1) 
 Solución: x - 3y + 2 = 0 
Ejemplo 17: Área del triángulo de vértices: A(-1,-1); B(-2, 3); C(3, -2) 
(MNC – ANC) + (BPA – BPM) 
Área (3): 
2
14 ⋅ ; Área Total: [(4) - (3)] + [(1) - (2)] 
Área Total: 










 ⋅−




 ⋅+










 ⋅−




 ⋅
2
11
2
14
2
14
2
44 =
2
15
2
3
2
12
=+ 
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Ejemplo 19: Si A(-2, -1), B(4, 0) y C(-3, -4) son tres vértices de un paralelogramo, hallar las coordenadas del cuarto vértice "D" 
 Solución: D(3, -3) 
 
Ejemplo 20: Una circunferencia tiene su centro en el punto C(-2, -3). Determina su ecuación, sabiendo que pasa por el origen de 
coordenadas. Solución: x2 + y2 + 4x + 6y = 0 
 
Ejemplo 21: Determina el centro y el radio de la circunferencia: x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0 Solución: C(2, 1); r = 1 
 
Ejemplo 22: Determina el radio de la circunferencia cuyo centro es (2, -3) y pasa por el punto (1, 4) Sol.: r = 5 2 
Ejemplo 23: ¿Cuál es la abscisa del punto cuya ordenada es –6, sabiendo que pertenece a la paralela de la recta 2x - y + 5= 0 
que pasa por el punto (3, -2)? Solución: 1 
Ejemplo 24: Halla el área del triángulo isósceles que tiene por vértices los puntos A(-2, 1) B(3, 2) y C(0, 4) (13 / 2) 
 
3.4. Ejercicios 
Junio 2017 A 
 
Junio 2017 A 
 
Junio 2017 A los ejercicios repetidos con Junio 2017 A 
Junio 2017 C 
 
Junio 2017 C 
 
Junio 2017 P 
 
 
Junio 2017 P 
 
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Septiembre 2017 A 
 
Septiembre 2017 A 
 
 
Septiembre 2017 B 
 
 
Septiembre 2017 B 
 
 
Septiembre 2017 C 
 
Septiembre 2017 C 
 
 
Septiembre 2017 C 
 
 
Junio 2017 N 
 
Junio 2017 N 
 
 
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Junio 2017 N 
 
Junio 2017 N 
 
Junio 2017 O los ejercicios repetidos con Junio 2017 N 
 
Septiembre 2016 A
 
 
Junio 2016 N 
 
Junio 2016 X 
 
Junio 2016 X 
 
 
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Junio 2017 P 
 
 
 
 
	3. Geometría
	3.1. GEOMETRÍA ANALÍTICA
	3.1.1. El teorema de Pitágoras
	3.1.2. Sistemas de Referencias y Coordenadas Cartesianas.
	3.2. Rectas en el plano
	3.2.1. Ecuación de la Recta que pasa por 2 Puntos:
	3.2.2. Condición para que tres puntos estén alineados.
	3.2.3. Posición relativa de 2 rectas.
	3.3. Figuras geométricas planas. Polígonos y Circunferencias.
	3.3.1. Polígonos
	3.3.2. Circunferencia
	3.3.2.1. Círculo
	3.4. Ejercicios