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Funciones: Cálculo diferencial. Derivación. 
Acceso. Matemáticas Básicas. UD 4. Funciones: Cálculo diferencial. Derivación. Uned de Bergara. Página 1 
 
4. Cálculo diferencial ................................................................................... 2 
4.1. Concepto de derivada ........................................................................................................................ 2 
4.1.1. Derivada de una función................................................................................................................2 
4.1.2. Función derivable. Relación entre derivación y continuidad. ........................................................2 
4.2. Tangente a una curva ........................................................................................................................ 2 
4.3. Cálculo de derivadas ......................................................................................................................... 3 
4.4. Aplicaciones de la derivada .............................................................................................................. 3 
4.5. Ejercicios ............................................................................................................................................. 4 
 
Funciones: Cálculo diferencial. Derivación. 
Acceso. Matemáticas Básicas. UD 4. Funciones: Cálculo diferencial. Derivación. Uned de Bergara. Página 2 
 
4. Cálculo diferencial 
4.1. Concepto de derivada 
La derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie 
el valor de su variable independiente. 
La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media 
de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez 
más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado. 
 
4.1.1. Derivada de una función 
Si 𝒇𝒇 es una función definida en un intervalo 𝑰𝑰 y 𝒙𝒙𝟎𝟎 ∈ 𝑰𝑰, la derivada de 𝒇𝒇 en 𝒙𝒙𝟎𝟎 es 
 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) = lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑓𝑓(𝑥𝑥)− 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
 
supuesto que el límite exista. 
 
4.1.2. Función derivable. Relación entre derivación y continuidad. 
Una función 𝒇𝒇 es derivable en el punto 𝒙𝒙𝟎𝟎 , si la derivada de 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) existe y es finita. 
 
Toda función derivable en un punto 𝒙𝒙𝟎𝟎 es continua en 𝒙𝒙𝟎𝟎 
 
4.2. Tangente a una curva 
Newton y Leibniz, introdujeron el Cálculo diferencial 
como método para determinar la recta tangente a 
una curva en un punto dado. 
 
Primeramente consideramos la recta de la figura a 
que pasa por 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) y 𝑓𝑓(𝑥𝑥), determinada por el 
triángulo formado por los lados 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 y 
𝑓𝑓(𝑥𝑥)− 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0). Si reducimos estos tramos a 
valores próximos a 0 obtenemos las recta tangente 
mostrada en la figura b. 
 
• La derivada 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) es la pendiente de la 
recta tangente a la gráfica de la función 𝑓𝑓 en el punto (𝑥𝑥0,𝑓𝑓(𝑥𝑥0)) . 
 
• En consecuencia, la ecuación de dicha recta tangente es 
 
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 
 
ya que, además de tener la pendiente indicada, pasa por el punto (𝑥𝑥0,𝑓𝑓(𝑥𝑥0)) 
 
En las figuras podemos ver las derivadas en dos funciones en puntos diferentes. 
 
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4.3. Cálculo de derivadas 
 
 
 
 
4.4. Aplicaciones de la derivada 
Si 𝑓𝑓 es una función definida y derivable en un intervalo 
𝐼𝐼: 
• Los intervalos de crecimiento coinciden con los 
intervalos en que es 𝑓𝑓′ ≥ 0. 
• Los intervalos de decrecimiento coinciden con los 
intervalos en que es 𝑓𝑓′ ≤ 0. 
 
Si 𝑓𝑓 es una función derivable en 𝑥𝑥0 y tiene en 𝑥𝑥0 un 
máximo o un mínimo relativo tiene que ser 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) = 0 
 
Para una función 𝑓𝑓 derivable en todos los puntos de un 
intervalo (𝑎𝑎 , 𝑏𝑏), la resolución de la ecuación 
 
𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) = 0 con 𝑥𝑥 ∈ (𝑎𝑎 , 𝑏𝑏) 
 
proporciona todas las abscisas candidatas a ser 
máximos o mínimos relativos de 𝑓𝑓 en (𝑎𝑎 , 𝑏𝑏). 
 
 
 
 
 
 
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Derivada segunda 
 
Sea 𝑓𝑓 derivable en todos los puntos de un intervalo alrededor de 𝑥𝑥0 y 𝑓𝑓’ la función derivada de 𝑓𝑓 . La derivada de 
𝑓𝑓’ en 𝑥𝑥0, si existe, se denomina la derivada segunda de 𝑓𝑓 y se representa por 𝑓𝑓′′ . 
 
Criterio de máximo o mínimo relativo de una función. 
 
 
 
 
 
Función convexa: en aquellos intervalos en que la pendiente de la tangente, 𝑓𝑓′(𝑥𝑥), crece. 
Función cóncava: en aquellos intervalos en que la pendiente de la tangente, 𝑓𝑓′(𝑥𝑥), decrece. 
Puntos de inflexión: Los puntos en los que pasa de ser cóncava a ser convexa o viceversa. 
 
 
4.5. Ejercicios 
• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 + 4 → 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥3 
 
• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (2 − 3𝑥𝑥)2 → 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 18𝑥𝑥 − 12 
 
• 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥4 → 𝑦𝑦′ = 8𝑥𝑥3 
 
• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 → 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥2 
 
• 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2 + 4 → 𝑦𝑦′ = 4𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 
 
• La derivada de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2 en 𝑥𝑥 = 3 → 𝑓𝑓′(3) = 75 
 
• La derivada de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3
5
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 en 𝑥𝑥 = 5 → 𝑓𝑓′(5) = 5 
 
 
Junio 2017 N 
 
Junio 2017 N 
 
Si 𝑓𝑓 tiene derivada 𝑓𝑓′ que es derivable en 𝑥𝑥0, se cumple 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) = 0 y 
• 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥0) > 0, entonces 𝑓𝑓 tiene un mínimo relativo en 𝑥𝑥0. 
• 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥0) < 0, entonces 𝑓𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑥𝑥0. 
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Septiembre 2017 B 
 
Junio 2017 P 
 
Septiembre 2017 A 
 
Septiembre 2017 C 
 
 
	4. Cálculo diferencial
	3.
	4.
	4.1. Concepto de derivada
	4.1.1. Derivada de una función
	4.1.2. Función derivable. Relación entre derivación y continuidad.
	4.2. Tangente a una curva
	4.3. Cálculo de derivadas
	4.4. Aplicaciones de la derivada
	4.5. Ejercicios