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Estadística 
Acceso. Matemáticas Básicas. UD 5. EStadística. Uned de Bergara. Página 1 
 
5. Estadística ................................................................................................ 2 
5.1. Conceptos básicos en estadística .................................................................................................... 2 
5.2. Variables y observaciones ................................................................................................................ 2 
5.3. Clasificación de las variables ........................................................................................................... 3 
5.4. Distribución de frecuencias de una variable ................................................................................... 3 
5.4.1. Tablas de frecuencias ...................................................................................................................4 
5.5. Descripción gráfica de una distribución de frecuencias ............................................................... 5 
5.5.1. Variables cualitativas .....................................................................................................................5 
5.5.2. Variables cuantitativas...................................................................................................................6 
 6 
 6 
5.6. Descripción Numérica de una Distribución de frecuencias .......................................................... 6 
5.6.1. Medidas de tendencia central o centralización .............................................................................6 
5.6.1.1. Media aritmética ....................................................................................................................6 
5.6.2. Medidas de dispersión...................................................................................................................8 
5.6.3. Varianza y desviación típica ..........................................................................................................8 
5.6.3.1. Varianza.................................................................................................................................8 
5.6.3.1.1. Propiedades de la varianza ...................................................................................................8 
5.6.3.2. Desviación típica ...................................................................................................................9 
5.6.3.3. Coeficiente de variación ........................................................................................................9 
5.6.3.4. Propiedades de Media y Varianza. ...................................... ¡Error! Marcador no definido. 
5.6.3.5. Ejemplo ............................................................................................................................... 10 
5.7. Ejemplos ............................................................................................................................................ 11 
5.8. Ejercicios ........................................................................................................................................... 12 
 
Estadística 
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5. Estadística 
5.1. Conceptos básicos en estadística 
La Estadística es la ciencia que estudia, mediante métodos cuantitativos, características de las poblaciones 
obtenidas como síntesis de la observación de unidades estadísticas. 
 
Es el estudio que reúne, clasifica y recuenta todos los hechos que tienen una determinada característica en común, 
para poder llegar a conclusiones a partir de los datos numéricos extraídos. 
 
Conceptos y definiciones: 
 
• Población: conjunto de objetos, individuos, elementos o Unidad estadística para quienes se quiere estudiar 
una característica. 
 
• Unidad estadística, individuo o elemento: cada uno de los miembros de la población. 
 
• Muestra: parte o subconjunto de la población a observar que se toma para obtener los datos. 
 
• Tamaño Muestral: nº de elementos de la muestra. Se denota por n. 
 
• Tamaño Poblacional: nº de elementos de la población. Se denota por N. 
 
• Censo: muestra que consiste en elegir toda la población. 
 
• Estadística descriptiva: es la parte de la Estadística que estudia las ideas, métodos y técnicas para la 
descripción gráfica y numérica de los conjuntos numerosos. 
 
• La Inferencia estadística es la parte de la Estadística que estudia los métodos para establecer conclusiones 
sobre una población a partir de una muestra de la misma. 
 
5.2. Variables y observaciones 
Los atributos o magnitudes que se observan en los individuos de la población se denominan variables estadísticas 
o, simplemente, variables. 
 
• De los atributos, diremos que presentan modalidades. 
o La raza y la religión son atributos 
 
• De las magnitudes, diremos que toman valores. 
o El número de hijos y el peso son magnitudes 
 
 Han de ser incompatibles y 
exhaustivos 
 
 
• Observación: El conjunto de modalidades o valores de cada variable medidos en un individuo. 
 
Extracto de las observaciones que recogió F. 
Galton en la International Exhibition de 1884. 
 
 
Valores 
 
Modalidades 
 
 Una observación 
 
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5.3. Clasificación de las variables 
Atributos Modalidades 
Incompatibles o Excluyentes y Exhaustivos: color de 
ojos, color, etc. 
Mide atributos y sus modalidades no son numéricas 
sino simples “etiquetas”. 
Cualitativas (No numéricas) 
Magnitudes Valores numéricos 
• Discretas: valores enteros discretos: nº de hijos, 
nº ítems de un test, etc. (0,1,2,3,..). 
• Continuas: valores reales: altura, temperatura, 
edad, etc. 
Cuantitativas 
 
Variables 
según el 
tipo de 
medida 
• Nominales, Cualitativas o Categóricas: Si las variables toman valores que ni se operan ni se 
ordenan, sólo para diferenciarlos. → Las razas, Color de pelo, Nacer en verano, DNI,… 
• Ordinales: sólo podemos ordenarlas, no mantienen la diferencia. → Interés por la materia, (Nada, 
Algo, Bastante, Mucho). Calificación de los hoteles por estrellas (1, 2, 3, 4, 5). 
• Variables de intervalo: son las que valoran alguna cualidad “cuantificable” de los individuos en la 
que el 0 de la escala de medida tiene un carácter relativo. El coeficiente de inteligencia (CI) de un 
individuo. Uno normal es de 100. Tanto el 0 como el 100 tienen un carácter relativo. 
• Razón: son las que valoran una cualidad de modo que el 0 tiene un sentido absoluto. Tomar el 
valor 0 significa ausencia absoluta de la cualidad. 
 
5.4. Distribución de frecuencias de una variable 
En estadística, la frecuencia (o frecuencia absoluta) de un evento i, es el número de veces en que dicho evento 
se repite durante un experimento o muestra estadística. 
 
La Estadística Descriptiva, nos ayudará a reducir datos, a interpretarlos más fácilmente. 
 
Las notas del examen: 
 
G1: 8'2 3'5 4'2 4'2 6'6 6'6 9 n1=7 
G2: 8'2 6'6 4'2 5'8 10 5'8 8'2 5 9 7'4 7'4 n2=11 
 
 
Tabla de Frecuencias: 
 
X 3'5 4'2 5 5'8 6'6 7'4 8'2 9 10 
Fi (G1) 1 2 0 0 2 0 1 1 0 n1 = 7 
Fi (G2) 0 1 1 2 1 2 2 1 1 n2 = 11 
 
 
Frecuencia Absoluta: Nº de veces que se ha observado cada valor de la variable. 
 
F8'2 = 3 quiere decir que el valor 8'2 se ha observado 3 veces. 
�𝑭𝑭𝒊𝒊 =𝑵𝑵 = 𝑭𝑭𝟏𝟏 + 𝑭𝑭𝟐𝟐 + 𝑭𝑭𝟑𝟑+. . … . . +𝑭𝑭𝒌𝒌 
 
Frecuencia relativa: es la proporción de observaciones que presentan el valor 𝑥𝑥𝑖𝑖 . Se representa por 𝑓𝑓𝑖𝑖 y, con 
fórmulas, se expresa: 
𝑓𝑓𝑖𝑖 =
𝐹𝐹𝑖𝑖
𝑁𝑁
 
La suma de las frecuencias relativas de todas las modalidades o valores es igual a 1. 
�𝒇𝒇𝒊𝒊 =𝟏𝟏 
 
 
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Frecuencia absoluta 
acumulada: 
del valor 𝑥𝑥𝑗𝑗 es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores menores o 
igualque 𝑥𝑥𝑗𝑗. Si se representa por 𝑁𝑁𝑗𝑗 se tiene: 
�𝑭𝑭𝒋𝒋 =𝑵𝑵𝒋𝒋 = 𝑭𝑭𝟏𝟏 + 𝑭𝑭𝟐𝟐+. . … . . +𝑭𝑭𝒋𝒋 
 
 
Frecuencia relativa 
acumulada: 
del valor 𝑥𝑥𝑗𝑗 es la suma de las frecuencias relativas de todos los valores menores o 
igual que 𝑥𝑥𝑗𝑗. Si se representa por 𝑛𝑛𝑗𝑗 se tiene: 
�𝒇𝒇𝒋𝒋 =𝒏𝒏𝒋𝒋 = 𝒇𝒇𝟏𝟏 + 𝒇𝒇𝟐𝟐+. . … . . +𝒇𝒇𝒋𝒋 
 
 
 
5.4.1. Tablas de frecuencias 
 
Una distribución de frecuencias, absolutas o relativas, de una variable estadística consiste en una presentación en 
forma de tabla de los distintos valores o modalidades, 𝑥𝑥𝑖𝑖 , que toma la variable junto con sus respectivas frecuencias 
absolutas 𝐹𝐹𝑖𝑖 , o relativas 𝑓𝑓𝑖𝑖 . 
 
Ejemplos referidos a Tabla 5.3: Tabla de observaciones de Francis Galton (1884). 
 
 
 
 
 
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5.5. Descripción gráfica de una distribución de frecuencias 
5.5.1. Variables cualitativas 
Diagramas de sectores 
 
 
Diagramas de barras 
 
 
 
 
 
 
 
Pictogramas 
 
 
 
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5.5.2. Variables cuantitativas 
El histograma es similar al diagrama de barras empleado para variables cualitativas. Se construye de forma 
análoga atendiendo al principio de proporcionalidad entre áreas y frecuencias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.6. Descripción Numérica de una Distribución de frecuencias 
Las descripciones gráficas de las distribuciones de frecuencias de las variables estadísticas que hemos visto en la 
sección anterior dan una primera impresión visual de las características de su distribución de frecuencias. 
 
Frente a la impresión subjetiva es necesario disponer de números concretos que midan de manera objetiva dichas 
características. Este es el objetivo del estudio de las medidas de centralización - también llamadas medidas de 
tendencia central, medidas de posición o, simplemente, promedios -, y las medidas de dispersión. 
 
5.6.1. Medidas de tendencia central o centralización 
5.6.1.1. Media aritmética 
La media aritmética de una serie de valores numéricos es igual al cociente entre la suma de los valores y el número 
de valores. 
 
Con símbolos: el valor medio de una magnitud cuantificable 𝑥𝑥 , que presenta 𝑛𝑛 valores 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … . . , 𝑥𝑥𝑛𝑛 se representa 
por 𝒙𝒙� y se calcula mediante la fórmula: 
 
�̅�𝑥 = �
𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑛𝑛 =
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2+. . +𝑥𝑥𝑛𝑛
𝑁𝑁 = �
𝑥𝑥𝑖𝑖 ∙ 𝐹𝐹𝑖𝑖
𝑁𝑁 = �𝑥𝑥𝑖𝑖 ∙ 𝑓𝑓𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
 
 
 
 
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Ejemplos: 
 
 
La tabla, muestra las frecuencias de la variable número de hijos nacidos vivos que tienen las mujeres entre 15 y 49 
años con residencia en la Comunidad Autónoma de Cantabria. 
 
 
El número total de mujeres es la suma de las frecuencias absolutas que 
aparece en la tabla: 
 
67434 + 27338 + 34474 + 6500 + 1267 = 137013 
 
Para hallar el número total de hijos, basta multiplicar cada valor por su 
frecuencia y sumar; por ejemplo, el producto 2 × 34474 indica la aportación, al 
total de hijos de las 34474 mujeres que tienen 2 hijos. 
𝑡𝑡.ℎ. = 0 × 67434 + 1 × 27338 + 2 × 34474 + 3 × 6500 + 4 × 1267
= 120854 
 
Entonces: 
�̅�𝑥 = �
𝑥𝑥𝑖𝑖 ∗ 𝐹𝐹𝑖𝑖
𝑁𝑁
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= 
120854
137013 = 0.8821 ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 
 
 
 
�̅�𝑥 = �𝑥𝑥𝑖𝑖 ∗ 𝑓𝑓𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
= 0.8821 ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 
 
 
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5.6.2. Medidas de dispersión 
La media aritmética es un indicador del centro de una distribución de frecuencias. 
 
Cuando la utilizamos como valor representativo de la serie de valores → la simplificación de que cada valor es igual 
a esta medida resumen. 
 
Es decir, al usar la media aritmética pensamos que cada individuo de la población es igual al individuo ‘medio’. Esa 
simplificación es aceptable si los valores están muy agrupados alrededor de la media, y no lo es si hay grandes 
diferencias entre ellos y la media. 
 
Si los datos varían mucho, resulta difícil aceptar que la media los representa. 
 
Dispersión o variabilidad: Característica que determina lo bien o mal que una medida de centralización representa 
al conjunto de observaciones. 
 
Rango o recorrido: de una variable es la diferencia entre los valores máximo e y mínimo de la variable. Se 
representa por 𝑹𝑹. 
 
 
𝑅𝑅 = 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 
 𝑅𝑅 = 3000 − 900 = 2100 € 
 
5.6.3. Varianza y desviación típica 
5.6.3.1. Varianza 
La varianza de un conjunto de valores 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … . . , 𝑥𝑥𝑛𝑛, es la media aritmética de los cuadrados de sus 
desviaciones respecto de la media. 
 
Se representa por 𝒔𝒔𝟐𝟐y la fórmula para calcularía es: 
 
𝒔𝒔𝟐𝟐 =
(𝑥𝑥1 − �̅�𝑥)𝟐𝟐 + (𝑥𝑥2 − �̅�𝑥)𝟐𝟐 + ⋯+ (𝑥𝑥𝑛𝑛 − �̅�𝑥)𝟐𝟐
𝑵𝑵
=
∑ (𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥)𝟐𝟐𝒏𝒏𝒊𝒊=𝟏𝟏
𝑵𝑵
= 
∑ (𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥)𝟐𝟐𝒏𝒏𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝑭𝑭𝒊𝒊
𝑵𝑵
= �(𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥)𝟐𝟐
𝒏𝒏
𝒊𝒊=𝟏𝟏
𝒇𝒇𝒊𝒊 
 
Pensemos que tenemos dos conjuntos de valores: uno con muchos datos muy concentrados alrededor de la media 
y otro con pocos datos muy alejados de la media. En el primer conjunto los términos (𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥)𝟐𝟐 son muy pequeños, 
mientras que en el segundo son grandes. Es natural pensar que el primer conjunto está menos disperso que el 
segundo, por lo que la medida de dispersión debiera valer menos en el primer conjunto. Pero pudiera ocurrir que la 
suma de muchos términos pequeños llegase a ser muy grande, desvirtuando la idea de que los datos están poco 
dispersos alrededor de su media. 
 
Para evitar esta influencia del número de datos de la serie se toma como medida de la dispersión la media 
aritmética de los valores (𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥)𝟐𝟐. 
 
5.6.3.1.1. Propiedades de la varianza 
• La varianza mide la dispersión con respecto a la media aritmética. 
• La varianza es siempre no negativa y toma el valor cero únicamente cuando todos los valores de la variable son 
iguales. 
• La varianza se mide en las unidades de la variable elevadas al cuadrado. 
• La varianza es igual a la media de los cuadrados de los datos menos el cuadrado de la media. 
𝒔𝒔𝟐𝟐 =
𝑥𝑥1𝟐𝟐 + 𝑥𝑥22 + ⋯+ 𝑥𝑥𝑛𝑛2
𝒏𝒏
− �̅�𝑥𝟐𝟐 =
∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝟐𝟐𝒏𝒏𝒊𝒊=𝟏𝟏
𝒏𝒏
− �̅�𝑥2 
 
 
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5.6.3.2. Desviación típica 
La desviación típica o desviación estándar (denotada con el símbolo 𝝈𝝈 o 𝒔𝒔) es una medida de dispersión para 
variables de razón (variables cuantitativas o cantidades racionales) y de intervalo. Se define como la raíz cuadrada 
de la varianza de la variable. La desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con 
respecto a la media aritmética. 
𝒔𝒔 = �𝒔𝒔𝟐𝟐 
 
𝑺𝑺 = �
(𝑥𝑥1 − �̅�𝑥)𝟐𝟐 + (𝑥𝑥2 − �̅�𝑥)𝟐𝟐 + ⋯+ (𝑥𝑥𝑛𝑛 − �̅�𝑥)𝟐𝟐
𝒏𝒏
 = �
∑ (𝑥𝑥𝑖𝑖 − �̅�𝑥)𝟐𝟐𝒏𝒏𝒊𝒊=𝟏𝟏
𝒏𝒏
 
 
 
5.6.3.3. Coeficiente de variación 
La varianza y la desviación típica dependen de la unidad de medida que se emplea para medir la variable. Esto 
es un grave inconveniente cuando se quiere comparar la dispersión de poblaciones medidas con distintas escalas. 
Para tener una medida invariante respecto de la unidad de medida empleada, se dispone del denominado 
coeficiente de variación. 
 
Se llama, coeficiente de variación al cociente entre la desviación típica y la media, supuesto que ésta es distinta de 
cero. Se representa por CV y su expresión es 
 
𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝜎𝜎
�̅�𝑚
 Expresado en % 
 
 
Ejemplo: X s2 s C.V. 
1) X: 1, 2, 3 2 0'6667 0’8165 40’82% 
 Y=10X: 10, 20, 30 20 66'67 8’165 40’82% 
2) X: 24000, 27000, 30000 27.000 6·106 2449’49 9’1% 
 Y= 1000
24000−X
: 0, 3, 6 3 6 2’449 81’6% 
 
 
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5.6.3.4. Ejemplo 
Antes de decantarse por uno de entre dos sistemas de empaquetado de pipas, se analizan cada uno de ellos 
realizando un muestreo de empaquetado de 500 paquetes en cada uno de ellos. 
Se pretende envasar en cada paquete 100gr de pipas. Se deberán descartar los paquetes que contengan un ±5% 
del peso, esto es, se aceptarán como buenos los paquetes que contengan entre 95gr y 105gr. 
 
Los resultados obtenidos son los indicados en las tablas siguientes: 
 
 
 
 
 
 
 
2 5
13
58
330
71
15
4 29
15
32
79
200
88
45
22
100
50
100
150
200
250
300
350
80 88 95 98 100 103 105 110 115
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5.7. Ejemplos 
1. La siguiente tabla muestra el número de películas vistas por un grupo de personas a lo 
largo del mes de febrero: 
Xi 0 1 2 3 4 5 6
Fi 10 15 8 14 5 16 12 
a) ¿Cuántas personas fueron consultadas? 
b) ¿Cuántas personas vieron 3 o más películas? 
c) Porcentaje de personas que vieron menos de 2. Solución: 80; 47; 31'25% 
 
2. Halla la media y la varianza de los siguientes datos 
 
Xi 2'1 2'2 2'3 2'4 2'5 2'6 
Fi 1 1 3 7 10 2 
Solución: 2’425, 0 ‘0135 
3. Si la media aritmética vale 5; 
125
N
1i i
X =∑
= Halla N Solución: 25 
 
 
 
4. Si 
150
30
1i
2
iX =∑= ; X =1’5, N=30. Calcula σ2 y el Coeficiente de Variación. 
Solución: 2’75; 1’105 
5. Si σx=16; 4=X ; N=10 Calcula 
∑
=
10
1i
2
iX
 Solución: 2720 
 
6. Si en una serie estadística doble, los valores de una variable X son la mitad que los de otra 
variable Y, sabiendo que: X =18; σx=2’5 Calcula: Y , σ2y Solución: 36; 25 
 
7. Se pasa una prueba a tres grupos de alumnos. En al primer grupo hay 15 alumnos y la 
nota media que se obtiene es 7, en el 2º grupo hay 25 alumnos y se obtiene un 6 de nota 
media. Si en el tercer grupo hay 30 alumnos y se obtuviera un 6’5 de nota media. ¿Cuál 
sería la nota media general para los tres grupos? Solución: 6’429 
 
8. Medida la estatura de 3 individuos, en centímetros, la varianza de las estaturas resultó 
ser 20. Si se midiera en metros la estatura ¿Cuál sería la varianza? Solución: 20·10-4 
 
 
 
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5.8. Ejercicios 
Junio 2017 A/B 
 
Junio 2017 N/O 
 
Junio 2017 C 
 
Junio 2017 N/O 
 
 
 
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Junio 2017 P 
 
Septiembre 2017 A 
 
Septiembre 2017 C 
 
Septiembre 2017 C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	5. Estadística
	3.
	4.
	5.
	5.1. Conceptos básicos en estadística
	5.2. Variables y observaciones
	5.3. Clasificación de las variables
	5.4. Distribución de frecuencias de una variable
	5.4.1. Tablas de frecuencias
	5.5. Descripción gráfica de una distribución de frecuencias
	5.5.1. Variables cualitativas
	5.5.2. Variables cuantitativas
	5.6. Descripción Numérica de una Distribución de frecuencias
	5.6.1. Medidas de tendencia central o centralización
	5.6.1.1. Media aritmética
	5.6.2. Medidas de dispersión
	5.6.3. Varianza y desviación típica
	5.6.3.1. Varianza
	5.6.3.1.1. Propiedades de la varianza
	5.6.3.2. Desviación típica
	5.6.3.3. Coeficiente de variación
	5.6.3.4. Ejemplo
	5.7. Ejemplos
	5.8. Ejercicios