Gálvez Martín Lucía Memoria

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Graduado en Ingeniería de la Salud 
 
 
Estudio del comportamiento del líquido cefalorraquídeo en 
los espacios perivasculares 
 
Study of the cerebrospinal fluid in the perivascular spaces 
 
 
Realizado por 
Lucía Gálvez Martín 
 
 
Tutorizado por 
Luis Parras Anguita 
 
 
 
Departamento 
Departamento de Ingeniería Mecánica, Térmica y de Fluidos 
 
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA 
 
 
 
 
MÁLAGA, MAYO DE 2023 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INFORMÁTICA 
 
GRADUADA/O EN INGNIERÍA DE LA SALUD CON MENCIÓN 
EN INGENIERÍA BIOMÉDICA 
 
ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DEL LÍQUIDO 
CEFALORRAQUÍDEO EN LOS ESPACIOS 
PERIVASCULARES 
 
STUDY OF THE CEREBROSPINAL FLUID IN 
PERIVASCULAR SPACES 
 
 
 
Realizado por 
Lucía Gálvez Martín 
 
Tutorizado por 
Luis Parras Anguita 
 
Departamento 
Departamento de Ingeniería Mecánica, Térmica y de Fluidos 
 
 
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA 
MÁLAGA, MAYO DE 2023 
 
 
 
Fecha defensa: Junio de 2023
 
 
 
Agradecimientos
Gracias a Luis por permitirme hacer este Trabajo y guiarme durante el desa-
rrollo.
Quería agradecer además, a todas las personas queme han apoyado para poder
terminar haciendo un Trabajo de Fin de Grado como este. Pero, sobre todo, se lo
quería agradecer a mi familia por siempre estar ahí apoyándome y confiando en
mí. A mi madre, por después de un curso entero seguir llamando PSG al TFG.
También se lo quería agradecer a mis amigos que muchos son prácticamente
parte de mi familia por aguantarme en todos mis agobios, que no han sido pocos,
e intentar animarme en momentos que ni yo me veía capaz. No hubiera sacado
estos cuatro años sin vosotros.
5
Resumen
Actualmente, existe un elevado porcentaje de personas que sufren enferme-
dades neurodegenerativas. Algunos estudios culpan al mal transporte de los dese-
chos del sistema nervioso de ser uno de los factores que producen enfermedades
como el Alzheimer. Esta eliminación de desechos se realiza gracias al líquido ce-
falorraquídeo a través de los espacios perivasculares.
Estos espacios perivasculares han sido descubiertos no hace mucho, por lo que
el movimiento del líquido cefalorraquídeo a través de estos no ha sido unívoca-
mente definido todavía. Por ello, este Trabajo de Fin de Grado se basa en realizar
un estudio de la información existente y comprobar algunas de las hipótesis ac-
tuales, tanto de forma teórica a partir de la Mecánica de Fluidos como de forma
numérica, abarcándolas mediante simplificaciones justificadas. Con ese fin, se han
diseñado modelos que probar mediante simulaciones gracias a ANSYS Fluent, ob-
teniendo resultados de presión, caudal y velocidad del líquido cefalorraquídeo a
través de estos espacios perivasculares o de Robin-Virchow en distintas simplifi-
caciones como en una geometría cilíndrica, cilíndrica concéntrica con radios fijos
y con radios variables. Este último caso es el más relevante por su similitud con la
realidad, en el que se ha comprobado la capacidad del movimiento pulsátil de la
pared arterial de producir un flujo de líquido cefalorraquídeo por estos espacios.
Asimismo, se ha comprobado la influencia de distintas frecuencias cardiacas (7,
10 y 14 Hz), distintas amplitudes de la pared arterial (0.5 %,1 % y 2% del valor del
radio de esta pared) y distintas áreas de espacio perivascular (con un diferencia
entre los radios interno y externo de 3, 4 y 10 µm).
Estos estudios se realizan con el fin de establecer comparaciones entre los
distintos parámetros que afectan al flujo de líquido cefalorraquídeo a través de
estos espacios aclarando las discrepancias entre distintas investigaciones.
Palabras Clave: Espacio perivascular, mecánica de fluidos, biofísica,
líquido cefalorraquídeo, enfermedad neurodegenerativa.
1
Abstract
Currently, there is a high percentage of people suffering from neurodegenera-
tive diseases. Some studies blame the impaired transport of waste in the nervous
system as one of the factors that lead to diseases like ALzheimer’s. The clearance
of waste is facilitated by the cerebrospinal fluid through the perivascular spaces.
These perivascular spaces have been discovered recently, and themovement of
cerebrospinal fluid through them has not been definitively defined yet. Therefore,
this Bachelor’s Thesis is based on studying existing information and validating
some of the current hypotheses, both theoretically using Fluid Mechanics and
numerically through justified simplifications.
For this purpose, models have been designed to be tested through simulations
using ANSYS Fluent. The results include pressure, flow rate, and velocity of the
cerebrospinal fluid through these perivascular spaces or Robin-Virchow spaces in
different simplifications such as cylindrical geometry, concentric cylinders with
fixed and variable radii. The latest case is particularly relevant due to its simila-
rity to reality, where the pulsatile movement of the arterial wall has been shown
to generate a flow of cerebrospinal fluid through these spaces. Additionally, the
influence of different heart frequencies (7, 10, and 14 Hz), different amplitudes of
the arterial wall (0.5 %, 1 %, and 2% of the wall’s radius value), and different peri-
vascular space areas (with a difference between inner and outer radii of 3, 4, and
10 µm) has been examined.
These studies aim to establish comparisons among the various parameters that
affect the flow of cerebrospinal fluid through these spaces, thereby clarifying dis-
crepancies between different research findings.
Keywords:Perivascular spaces, fluidmechanics, biophysics, cerebros-
pinal fluid, neurodegenerative disease.
2
Índice
1. Introducción 11
1.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Objetivos del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Tecnologías a utilizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1. MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2. ANSYS Fluent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3. gmsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4. Paraview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.5. Microsoft Visual Studio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Estructura de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Metodología 17
3. Marco Teórico 19
3.1. Sistema nervioso central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Líquido cefalorraquídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1. Formación del líquido cefalorraquídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2. Funciones principales del líquido cefalorraquídeo . . . . . . . . . . . . 22
3.3. Espacios perivasculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4. Patologías relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.1. Enfermedad de Alzheimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.2. Esclerosis múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.3. Enfermedad de Parkinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.4. Enfermedad de Huntington . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4. Formulación del problema 27
4.1. Problema general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2. Posibles causas de simplificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3. Primer caso: cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3
4.4. Segundo caso: cilindro concéntrico con radios fijos . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5. Tercer caso: cilindro concéntrico con radios variables . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5.1. Cilindro concéntrico con radio internovariable . . . . . . . . . . . . . 40
4.5.2. Cilindro concéntrico con ambos radios variables . . . . . . . . . . . . 41
5. Simulaciones numéricas y resultados del problema 43
5.1. Primer caso: cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1. Resultados para un flujo laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1.2. Resultados para un flujo turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2. Segundo caso: cilindro concéntrico con radios fijos . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3. Fluido por espacio perivascular con radio interno variable con el tiempo . . . 52
5.3.1. Resultados de la simulación del espacio perivascular con radio interno
variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6. Conclusiones y Líneas Futuras 59
6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2. Líneas Futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Apéndice A. Método de volúmenes finitos 69
Apéndice B. Códigos para la realización de los modelos en gmsh 71
B.1. Modelo de cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
B.2. Modelo de cilindro concéntrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
B.3. Modelo de cilindro concéntrico con radios variables . . . . . . . . . . . . . . . 73
Apéndice C. Tablas resultados simulaciones 75
Apéndice D. Resolución del tercer caso teórico mediante sucesiones 79
Apéndice E. Cómo compilar UDF en Fluent con Windows 81
Apéndice F. Código UDF para el movimiento de la pared arterial 83
4
Índice de figuras
1. Corte sagital medio del encéfalo de [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Formación el líquido cefalorraquídeo de forma pleural gracias a las células
ependimarias alrededor de capilares sanguíneos en los plexos coroideos. . . . 22
3. Movimiento externo del líquido cefalorraquídeo por [2]. . . . . . . . . . . . . . 22
4. Espacios perivasculares de humanos observados por resonancia magnética,
imágenes de [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5. Representación de los espacios perivasculares tanto en las arterias piales como
en las arterias penetrantes de [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6. Representación de los perfiles de velocidad para distintas formas de los espa-
cios perivasculares como son las que se encuentran alrededor de las arterias
piales y arterias penetrantes [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7. Representación de la geometría del problema a estudiar . . . . . . . . . . . . . 31
8. Representación de la geometría del primer caso (cilindro) . . . . . . . . . . . . 32
9. Representación de la geometría del segundo caso (dos cilindro concéntricos)
desde un plano lateral (a) y un plano frontal (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10. Modelo de un plano del cilindro realizado en gmsh. . . . . . . . . . . . . . . . 43
11. Detalle de la malla del plano del modelo del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . 44
12. Representación del gradiente de presión para una velocidad de entrada de 0.001
m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
13. Gráfica con escala logarítmica que representa el número de Reynolds frente a
la diferencia de presión entre el punto medio y el final del cilindro adimensional 46
14. Perfiles de velocidad que se dan en el punto medio del tubo para las diferentes
velocidades de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
15. Gráfica que representa el la diferencia e presión entre la mitad del cilindro y
el final de este para todos los valores de Re simulados. . . . . . . . . . . . . . . 48
16. Aumento de una parte del modelo mallado de un plano del cilindro concéntrico
realizado con gmsh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5
17. Gráfica que representa la diferencia de presión en el punto medio de altura del
tubo con respecto a lo largo de toda la longitud de este para diferentes valores
de Re (10, 100 y 1000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
18. Gráfica en la que se representa la diferencia de presión entre un plano me-
dio del cilindro concéntrico (en x= 25cm) y el final del cilindro para distintos
valores de Re laminar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
19. Gráfica en la que se representa la diferencia de presión entre un plano me-
dio del cilindro concéntrico (en x= 25cm) y el final del cilindro para distintos
valores de Re tanto laminar como turbulento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
20. Gráfica en la que se representa los perfiles de velocidades en el caso del cilindro
concéntrico para flujo laminar de distintos valores de Re . . . . . . . . . . . . 51
21. Modelo de un plano de un cilindro concéntrico realizado en gmsh. . . . . . . . 52
22. Detalle de la malla de la Figura 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
23. [Representación de la presión con respecto a la longitud del espacio perivascu-
lar tanto de la teoría como de la simulación en un tiempo t=0.1. a) Resultados
reales, b) resultados de la teoría multiplicados por 1000000 y c) resultados con
la teoría multiplicada por 3000000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
24. Gráficas en la que se muestra en la parte superior la presión en el espacio
perivascular para cada uno de los veinte tiempos dentro de un periodo, su-
perpuesta con los resultados teóricos, y en la parte inferior, los resultados de
las simulaciones del caudal a lo largo de todo el espacio perivascular para los
veinte tiempos simulados dentro de un periodo, superpuesto asimismo, con los
resultados teóricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
25. Gráficas en la que se muestra en la parte superior la variación de la presión
máxima y mínima con respecto a la amplitud del movimiento de la pared arte-
rial para las distintas frecuencias utilizadas, mientras que en la gráfica inferior
se muestra lo mismo pero para el caso del caudal máximo y mínimo . . . . . . 56
26. Gráfica en la que se muestra la variación del caudal máximo (arriba) y presión
máxima (abajo) dada en un periodo de tiempo para las distintas áreas iniciales
del espacio perivascular con distintas frecuencias de movimiento de la pared
arterial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6
27. Representación en 3D de las líneas de corriente en el espacio perivascular si-
mulado en el momento en el que el caudal es máximo. . . . . . . . . . . . . . . 57
28. Representación 3D de las líneas de corriente en el espacio perivascular simula-
do en el momento en el que el caudal es máximo en la dirección opuesta, justo
medio periodo después. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7
8
Índice de cuadros
1. Resultados de las simulaciones del cilindro para flujo laminar . . . . . . . . . . 75
2. Resultados de las simulaciones del cilindro para flujo laminar paramalla Figura
10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3. Resultados de las simulaciones del cilindro para flujo turbulento . . . . . . . . 76
4. Resultados de las simulaciones del cilindro concéntrico para flujo laminar . . . 76
5. Resultados de las simulaciones del cilindro concéntrico para flujo turbulento
(k-omega) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6. Resultados de las simulaciones del espacio perivascular con radio interno va-
riable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7. Resultados de las simulaciones del espacio perivascular con radio interno va-
riable fijando la amplitud del movimiento, pero variando las áreas iniciales. . . 78
9
10
1
Introducción1.1. Motivación
El sistema nervioso es altamente complejo dentro del organismo, lo que dificulta su com-
prensión en comparación con otros sistemas. Esta falta de comprensión ha llevado a un conoci-
miento limitado sobre enfermedades relacionadas con el sistema nervioso, como el Parkinson
o el Alzheimer. Según un artículo escrito por Sam Gandy, se cree que la acumulación del pépti-
do β-amiloide en el sistema nervioso central es uno de los factores que contribuye al desarrollo
de la enfermedad de Alzheimer, aunque no es el único, debido a su toxicidad para las neuronas
interfiriendo en la producción de conexiones neuronales sólidas y puede incluso provocar la
muerte de estas [6].
En España, en 2019 según la Sociedad española de Neurología, entre un 3% y un 4% de
la población entre 75 y 79 años está diagnosticada de Alzheimer, mientras que en mayores de
85 años esta cifra llega al 34 %. La prevalencia de estas enfermedades en la población es sig-
nificativamente alta, lo cual enfatiza la importancia de investigar sus causas y buscar posibles
tratamientos.
Recientemente, se ha dado gran importancia al estudio de los espacios perivasculares, ya
que se han encontrado evidencias de que desempeñan un papel crucial en la eliminación de
residuos de las células nerviosas (como el β-amiloide), especialmente, durante las horas de
sueño. Esta limpieza prevendría la formación de placas amiloides, lo que a su vez prevendría
el desarrollo de la enfermedad del Alzheimer [6].
Es por todo esto por lo que se ha querido desarrollar esta investigación. En concreto, a lo
largo de este proyecto lo que se estudia es el movimiento del líquido cefalorraquídeo por los
espacios perivasculares y cómo le afecta el pulso arterial, visto en estudios como los de Aditya
Raghunandan et al. [7], Humberto Mestre, Jeffrey Tithof et al. [8] y John H. Thomas [4].
11
1.2. Objetivos del trabajo
Los principales objetivos del presente Trabajo de Fin de Grado es conseguir realizar unos
modelos similares a los espacios perivasculares, pero de forma simplificada para poder realizar
simulaciones con el fin de entender el comportamiento del líquido cefalorraquídeo a través de
estos espacios y observar la influencia del movimiento de la pared arterial o de la diferencia
de presión entre ambos extremos, entre otros.
Por lo tanto, derivados de estos objetivos principales, definimos varios subobjetivos:
Definir el problema general y gracias a qué causas se va a simplificar.
Realizar una resolución teórica de los problemas simplificados.
Conseguir desarrollar modelos mallados de distintas simplificaciones, de manera que
cada vez se vayan acercando más a la realidad.
Obtener simulaciones de cada uno de los casos.
Poder extraer unos resultados con el objetivo de comprender el flujo.
Efectuar una comparativa entre los distintos resultados obtenidos.
1.3. Tecnologías a utilizar
Las tecnología principales que se van a emplear a lo largo del desarrollo de este Trabajo
de Fin de Grado están enfocadas a la realización de modelos mallados, ejecución de las simu-
laciones, al análisis de los datos obtenidos y al postprocesado de estas simulaciones.
1.3.1. MATLAB
MATLAB es una plataforma globalmente conocida para programar (con un lenguaje propio
M) y realizar computación numérica. Esta plataforma basa su funcionamiento en el trabajo
con matrices o arrays. Se compone de una amplia variedad de aplicaciones como sistemas de
control, robótica, procesamiento de imágenes, … [9]
En este Trabajo de Fin de Grado, se empleará principalmente para la visualización de los
datos obtenidos en las simulaciones mediante ANSYS Fluent. Esto permitirá analizar los datos
12
de manera intuitiva y representarlos visualmente, lo que facilitará la extracción de conclusio-
nes y la comparación con los resultados teóricos estudiados.
1.3.2. ANSYS Fluent
El principal software que se utiliza a lo largo de este trabajo es ANSYS Fluent. Este software
pertenece a la compañía ANSYS y se centra particularmente en el modelado de flujo de fluidos
para todo tipo de geometrías y características del flujo.
El software ANSYS Fluent se basa en el método de volúmenes finitos (FVM, por sus si-
glas en inglés) como enfoque para la resolución numérica de problemas de flujos de fluidos
(consultar Anexo A). Esta herramienta ofrece una amplia gama de opciones y funciones que
permiten realizar simulaciones de fluidos de diversos tipos. Estas opciones se pueden ajustar
según las características específicas del flujo a estudiar y la geometría utilizada. Para obtener
información más detallada, se puede consultar la referencia [10].
1.3.3. gmsh
Gmsh es una aplicación software gratuita con la cual se puede generar mallas, tanto bidi-
mensionales como tridimensionales de volúmenes finitos [11] para la utilización en softwares
de procesado como pueden ser ANSYS Fluent u otros como ONELAB, Paraview, Abaqus, …
Está basada en cuatromódulos principales: geometría, malla, solucionado y post procesado,
de las cuales se utilizarán las dos primeras. Tanto la geometría como la malla puede realizar
mediante la edición de textos en un lenguaje de programación propio, mediante la interfaz de
usuario o por lenguajes de programación como C++, Java o Python [11].
Esta geometría mallada es la que posteriormente se va a exportar a ANSYS Fluent para la
realización de las simulaciones correspondientes.
1.3.4. Paraview
ParaView es una aplicación de código abierto multiplataforma utilizada para la visualiza-
ción y análisis de datos. Permite crear visualizaciones para analizar una inmensa cantidad de
datos utilizando técnicas cualitativas y cuantitativas. La exploración de datos se puede realizar
de manera interactiva en 3D o mediante programación utilizando las capacidades de procesa-
miento por lotes [12].
13
En este proyecto, se ha empleado ParaView para la representación tridimensional de al-
gunas simulaciones realizadas. Una de las ventajas de utilizar ParaView es su capacidad para
guardar animaciones en lugar de imágenes estáticas, lo que permite capturar la evolución de
los resultados a lo largo del tiempo, para simulaciones transitorias. Esto resulta especialmente
útil para analizar y comunicar los cambios y patrones en las simulaciones transitorias.
1.3.5. Microsoft Visual Studio
Microsoft Visual Studio (o VS) es un entorno de desarrollo integrado para Windows y
macOS. En el desarrollo de este Trabajo de Fin de Grado se ha utilizado este entorno para
escribir en lenguaje C++ los ficheros de las “User-Defined Function”para poder representar el
movimiento de las paredes del espacio perivascular, y, posteriormente compilarlos en ANSYS
Fluent. Para obtener más información tanto sobre las UDFs como de las características de la
versión de Visual Studio instaladas, ver Anexo E.
1.4. Estructura de la memoria
La estructura de la memoria será similar al flujo de trabajo empleado en el desarrollo del
Trabajo de Fin de Grado, lo cual facilitará su comprensión y lectura. A continuación, se pre-
sentan las distintas secciones que conformarán la memoria:
Inicialmente, define el marco teórico el cual se debe conocer para poder realizar todo el
trabajo posterior y que es recomendable que el lector conozca para una mejor compren-
sión del sentido de los siguientes pasos.
Segundo, la definición del problema a resolver, en este caso, movimiento del líquido
cefalorraquídeo por los espacios perivasculares, por lo que expondremos la geometría
de estos espacios y el porqué se cree que se produce este movimiento según lo mostrado
en otros artículos. Posteriormente, se realizan ciertas simplificaciones justificadas para
poder hacer los estudios.
Seguidamente, se expondrán la resolución de algunos de los problemas simplificados de
forma teórica.
14
A continuación, se mostrarán los modelos mallados y sus respectivas simulaciones de
forma secuencial. Estas simulaciones se van a realizar de manera que el movimiento del
fluido tenga distintascaracterísticas para observar como influyen en el movimiento del
líquido cefalorraquídeo y, por tanto, en el desarrollo de las funciones de este.
Para cada uno de los modelos se mostrará el estudio y representación de los datos obte-
nidos en las simulaciones. Además, para los resultados de los cuales se hayan realizado
el estudio teórico se mostrará una comparación entre ambos.
Finalmente, se describe la extrapolación de todos los datos hallados y una comparación
de todos ellos. Y de esta manera se mostrará una conclusión final y una idea de las líneas
de investigación que se pueden seguir con este trabajo en un futuro.
15
16
2
Metodología
A lo largo de la realización de este trabajo la metodología que se va a utilizar consiste en
una formulación del problema y una división de este en distintas simplificaciones, donde se
estudian desde casos más simples a casos más complejos y similares a la realidad.
Para cada uno de estos casos vamos a realizar distintos pasos:
Primero, un estudio teórico del movimiento del fluido gracias a los conocimientos en
Mecánica de Fluidos.
A continuación, la realización de la geometría que represente ese caso en concreto, se-
guido de un mallado de esta.
Posteriormente, realización de simulaciones numéricas del comportamiento del flujo de
las cuales se extraen una serie de datos resultantes. Estas simulaciones se van a realizar
de manera que el fluido o el movimiento de este tenga distintas características para
observar como influyen en el movimiento del líquido cefalorraquídeo y, por tanto, en el
desarrollo de sus funciones.
Acto seguido, se efectúa un post procesado de los resultados obtenidos comparándolos
con los resultados teóricos para comprobar que ambos son iguales y que ambas partes
del trabajo se han realizado correctamente. Además, gracias a este análisis de datos se
observarán las características del movimiento del líquido cefalorraquídeo por las distin-
tas geometrías y la influencia de los distintos factores.
Finalmente, a partir de los estudios realizados y de los datos alcanzados se extraen una
serie de conclusiones sobre cómo se comporta el líquido cefalorraquídeo por los espacios
perivasculares del encéfalo bajo ciertas condiciones.
17
18
3
Marco Teórico
3.1. Sistema nervioso central
El sistema nervioso se podría definir como una compleja red por la cual se realiza la re-
cepción, transmisión y respuesta de ciertos estímulos, tanto internos como externos, a los que
está sometido el ser humano. De este modo este establece la comunicación con el medio en el
que vive [13].
El sistema nervioso a su vez lo podemos dividir en dos sistemas estrechamente relacionados
entre sí: el sistema nervioso central (SNC, también denominado neuroeje) y el sistema nervio-
so periférico (SNP) el cual está formado por los nervios que provienen del sistema nervioso
central y recogen y transmiten información a distintas partes del cuerpo fuera del sistema
nervioso central [14].
Este trabajo se centra en el sistema nervioso central ya que es donde se encuentran los
espacios perivasculares los cuales se estudian.
Las partes principales del sistema nervioso central, como se muestran en la Figura 1 son:
Médula ósea.
Encéfalo, este a su vez se divide en tronco del encéfalo (en el que encontramos el bulbo
raquídeo, la protuberancia y el mesencéfalo), el cerebelo, el diencéfalo (con el tálamo y
el hipotálamo) y los hemisferios cerebrales.
Cada una de estas partes tienen funciones específicas dentro del sistema nervioso central,
pero relacionadas entre ellas para conseguir un objetivo común.
Estos componentes necesitan, debido a la gran importancia que tienen dentro del ser hu-
mano, una mayor protección por las vértebras, en el caso de la médula, mientras que el én-
cefalo está protegido por el cráneo y tres capas de tejido conjuntivo que son la piamadre, la
aracnoides y la duramadre. Estas tres capas son relevantes en el desarrollo de este trabajo ya
19
Figura 1: Corte sagital medio del encéfalo de [1].
que entre la piamadre (capa más interna) y la aracnoides (capa intermedia) se tiene un espacio
denominado espacio subaracnoideo como se ve en la Figura 3, por el cual circula el líquido
cefalorraquídeo hacia el exterior del encéfalo [1], [13].
3.2. Líquido cefalorraquídeo
El encéfalo se podría definir como un órgano hueco por el que circula el líquido cefalo-
rraquídeo (LCR) [15]. Estos espacios por los que circula se denominan ventrículos encefálicos
donde distinguimos: dos ventrículos laterales, el tercer ventrículo, el cuarto ventrículo y el es-
pacio subaracnoideo, además de los espacios perivasculares. Asimismo, este líquido también
circula por el canal medular central, pero este ya no forma parte del encéfalo, y por lo tanto,
no esta dentro del ámbito de estudio de este trabajo.
El aspecto del líquido cefalorraquídeo es incoloro y está compuesto principalmente por
proteínas, enzimas, cloruros, glucosa y células como linfocitos y monocitos, además de otros
compuestos en menor cantidad. Pero, en cuanto a sus valores de densidad y viscosidad es
prácticamente igual que el agua [16]. Este dato va a ser importante posteriormente cuando se
realicen las simulaciones.
20
3.2.1. Formación del líquido cefalorraquídeo
El LCR se forma gracias a las células ependimarias o ependimocitos. Estas son células de
la neuroglía con forma cilíndrica o cúbica y con cilios en su región apical, las cuales se pueden
llegar a considerar un tipo de célula epitelial. Los cilios presentes en estas células desempeñan
un papel importante en el control de la presión del líquido cefalorraquídeo, lo que a su vez re-
gula su producción. Si la presión del LCR es baja, se estimula una mayor producción, mientras
que si la presión es alta, se reduce su producción. Por otro lado, en su región basal estas células
están conectadas mediante prolongaciones a los oligodendrocitos que les proporciona plasma
sanguíneo con todos los nutrientes y componentes necesarios para producir el LCR, además
de ser el lugar por el que se renueva el LCR recogiendo los desechos que han absorbido de
todas las células del encéfalo.
La producción del líquido cefalorraquídeo se realiza de dos formas distintas [17]:
De forma plexual en los plexos coroideos: estos plexos coroideos son un conjunto de
células ependimarias que se encuentran muy bien cohesionadas, formando pliegues y
ovillos sueltos en los ventrículos encefálicos, mayoritariamente, en el primero y el se-
gundo. De esta forma se produce la granmayoría del líquido cefalorraquídeo, cerca de un
70%, filtrando el plasma sanguíneo que les proviene de los oligodendrocitos y añadién-
dole ciertos compuestos (ver Figura 2). Esta filtración está relacionada con la diferencia
de presión entre la sangre y el líquido cefalorraquídeo [16].
De forma extraplexual: en cambio esta formación de LCR implica su producción a par-
tir del líquido intersticial presente en el epéndimo. El epéndimo es una membrana que
recubre las superficies de los ventrículos y está compuesta por células epiteliales que
comparten características similares a los ependimocitos. Este proceso es responsable de
generar el 30 % restante del líquido cefalorraquídeo.
En total, la cantidad de líquido cefalorraquídeo que se encuentra en el sistema nervioso es
de 140 ml [3].
Como se mencionó anteriormente, este LCR se desplaza a través de todos los espacios del
encéfalo y la médula espinal. Durante este proceso, el LCR es recogido por las granulaciones
de Pacchioni. Estas son protuberancias de la membrana aracnoidea que se proyectan hacia el
21
Figura 2: Formación el líquido cefalorraquídeo de forma pleural gracias a las células ependi-
marias alrededor de capilares sanguíneos en los plexos coroideos.
seno dural del encéfalo. Puedes observar una representación visual de este movimiento del
LCR en la Figura 3.
Figura 3: Movimiento externo del líquido cefalorraquídeo por [2].
3.2.2. Funciones principales del líquidocefalorraquídeo
Algunas de las principales funciones que tiene el LCR son las siguientes [17]:
Amortiguar las fuerzas que se producen en el tejido cerebral del sistema nervioso debido
a golpes o movimientos bruscos, entre otros.
22
Vía de transporte para ciertas sustancias como hormonas, neurorreceptores o sustancias
de desecho.
Eliminar estas sustancias de desecho de las células del tejido nervioso.
Mantener el medio encefálico con unas constantes estables.
Es por todas estas funciones por lo que el LCR, su movimiento y su mantenimiento es muy
importante para el correcto funcionamiento del sistema nervioso central, y por tanto, para el
correcto funcionamiento del organismo completo y su comunicación con el exterior.
3.3. Espacios perivasculares
Muchos de los vasos sanguíneos que irrigan el encéfalo están rodeados de unos pequeños
espacios que los separa del tejido nervioso haciendo de intermediador entre ambos tejidos,
estos espacios son los que se conocen como espacios perivasculares o espacios de Virchow-
Robin, nombres de los médicos que los distinguieron por primera vez [4]. Por tanto, podemos
deducir que estos espacios están delimitados por la pared del vaso sanguíneo y por el tejido
cerebral y se encuentran llenos de líquido cefalorraquídeo. Asimismo, se puede distinguir entre
espacios perivenulares, periarteriales o pericapilares según qué tipo de vaso sanguíneo estén
rodeando.
Su anatomía exacta, su localización y la cantidad concreta de estos sigue siendo bastante
confusa, pero a partir de las imágenes obtenidas mediante resonancia magnética se cree que
estos espacios penetran en el encéfalo, mayoritariamente de forma perpendicular a la super-
ficie de este y son paralelos a los vasos sanguíneos perforantes. Pero también se ven algunos
espacios como puntos en las imágenes de resonancia magnética como se puede observar en
la imagen de la Figura 4 donde se ven espacios perpendiculares al plano de la imagen, otros
paralelos y alguno que otro se ve de forma lineal, pero sin necesidad de ser perpendicular a la
superficie del encéfalo [3].
Por otro lado, la localización de los espacios perivasculares parece que es más frecuente
en algunas regiones concretas del cerebro como son: el ganglio basal, el centro semioval, el
hipocampo, el mesencéfalo, la protuberancia y a veces la sustancia blanca del cerebelo [3].
Estos espacios perivasculares se hacen más abundantes y reconocibles por MRI (imágenes
mediante resonancia magnética) con la edad.
23
Figura 4: Espacios perivasculares de humanos observados por resonancia magnética, imágenes
de [3].
Una vez que se han adquirido los conocimientos básicos sobre el líquido cefalorraquídeo
y su ubicación, este trabajo se centrará en examinar su movimiento, ya que es aquí donde
reside una de las incertidumbres más estudiadas en los últimos años. Se busca comprender qué
factores son responsables de generar este movimiento y cómo se produce el desplazamiento
del LCR en los espacios perivasculares.
3.4. Patologías relacionadas
Almargen de cómo es el campo anatómico y fisiológico que se estudiarán resulta interesan-
te nombrar algunas de las enfermedades o patologías más importantes que se pueden producir
por un incorrecto movimiento del líquido cefalorraquídeo por todo el sistema nervioso cen-
tral, incluyendo los espacios perivasculares. Algunas de las patologías más destacadas en este
ámbito son las que se describen a continuación.
3.4.1. Enfermedad de Alzheimer
La enfermedad del Alzheimer como se nombra anteriormente afecta a un alto porcentaje
de la población. Es una enfermedad neurodegenerativa progresiva que se da principalmente
24
por la acumulación de placas amiloides extracelulares [6]. Existe una estrecha relación entre
el LCR de los espacios perivasculares y la eliminación de desechos celulares, como se men-
cionó en la sección 3.2.2. Estos espacios perivasculares actúan como vías de eliminación para
sustancias de desecho, incluyendo los monómeros β-amiloide. Estas proteínas son productos
residuales generados por las células nerviosas y se eliminan a través de la actividad de las
células ependimarias. Por tanto, los fallos en la circulación adecuada del LCR pueden resultar
en un aumento en la acumulación de β-amiloide, lo que a su vez puede causar neurotoxicidad
amiloide [18].
Además, un fallo en las células ependimarias o en la circulación del líquido cefalorraquídeo
puede dar lugar a un ambiente favorable para la oligomerización de los monómeros de β-
amiloide en placas amiloides que a su vez puede formar ovillos neurofibrilares [19].
3.4.2. Esclerosis múltiple
La esclerosis múltiple también es una enfermedad neurodegenerativa y autoinmune que
se produce por la desmielinización de las neuronas en el sistema nervioso central, por pérdida
axonal y por otras razones [20]. La relación que tiene esta enfermedad con el tema que se trata
en este trabajo es que recientemente se ha propuesto que hay una relación entre esta enfer-
medad y las células ependimarias ya que su funcionamiento es muy sensible a la inflamación,
que es una de las características de la esclerosis múltiple. Por tanto, si falla el funcionamien-
to de las células ependimarias falla tanto la producción de líquido cefalorraquídeo, como su
limpieza y filtración. Asimismo, se ha comprobado que en pacientes con esclerosis múltiple
hay una variación en la composición del líquido cefalorraquídeo lo que apoya que las células
ependimarias se vuelven disfuncionales ([21] y [22]).
3.4.3. Enfermedad de Parkinson
Otra enfermedad neurodegenerativa muy conocida es la enfermedad de Parkinson, la cual
su evolución también se cree que tiene relación con los espacios perivasculares. En este caso, la
enfermedad de Parkinson es una enfermedad neurodegenerativa caracterizada por síntomas,
tanto motores como no motores, producidos por la degeneración de las neuronas dopaminér-
gicas debido a la presencia de proteínas solubles como la α-sinucleína [23].
La relación que tiene los espacios perivasculares con esta enfermedad no está todavía muy
25
clara, pero se cree que la función de limpieza de estos espacios perivasculares ayuda a eli-
minar del encéfalo las proteínas involucradas en esta enfermedad al igual que ocurría con el
Alzheimer [24].
En el estudio de Ting Shen [25] se mostró como las personas en las primeras etapas del
Parkinson tenían una mayor carga de espacios perivasculares, tanto en número como en vo-
lumen, en el ganglio basal y en el mesencéfalo. Estos índices de carga se podrían utilizar como
un biomarcador para evaluar la gravedad de la enfermedad aunque no se conozca la causa con
exactitud.
3.4.4. Enfermedad de Huntington
La enfermedad de Huntington es un trastorno neurodegenerativo progresivo y hereditario.
En cuanto a su relación con los espacios perivasculares y el líquido cefalorraquídeo se sabe que
su avance está relacionado con una disfunción en las células ependimarias lo que hace que se
perjudique la homeostasis del líquido cefalorraquídeo [21].
También, al igual que en la enfermedad de Parkinson, observar la cantidad y volumen
de los espacios perivasculares mediante MRI puede ayudar a determinar la progresión de la
enfermedad [26].
26
4
Formulación del
problema
4.1. Problema general
El problema con el que se va a trabajar a lo largo del Trabajo de Fin de Grado es, como ya se
ha comentado en las secciones anteriores, el del flujo del líquido cefalorraquídeo por los espa-
cios perivasculares. Estos espacios perivasculares se pueden encontrar rodeando arterias en la
superficie encefálica que son las llamadas arterias piales o rodeando arterias penetrantes como
se observa en la Figura 5. Los espacios perivasculares presentan formas distintas en cada una
de las estructuras mencionadas, lo que implica que el movimiento del líquido cefalorraquídeo
puede variar entre ellas debido a sus diferentes geometrías.
Figura 5: Representación de los espacios perivasculares tanto en lasarterias piales como en las
arterias penetrantes de [4].
En el caso de las arterias piales, se encuentran rodeadas por espacios de Virchow-Robin
con una forma elíptica donde el LCR llega a su velocidad máxima en los laterales de la arteria,
27
como se puede ver en la Figura 6. Estos espacios perivasculares a su vez están rodeados, tanto
por tejido nervioso del encéfalo como por tejido conectivo de la piamadre, los cuales se pueden
considerar que tienen las mismas características en relación a lo que es de importancia en este
trabajo (distensión, porosidad o elasticidad, entre otros). Por otro lado, las arterias penetrantes
están rodeadas de un espacio perivascular cilíndrico al igual que la forma de la arteria, pero
estos no tienen que ser concéntricos si no que puede ser excéntricos con respecto a esta arteria
penetrante.
Figura 6: Representación de los perfiles de velocidad para distintas formas de los espacios
perivasculares como son las que se encuentran alrededor de las arterias piales y arterias pe-
netrantes [5]
De estos dos tipos se va a trabajar principalmente con los espacios perivasculares de las
arterias penetrantes, ya que tienen una geometría más sencilla con la que trabajar.
En otro orden de cosas, en la definición de nuestro problema, el movimiento del líquido
cefalorraquídeo se puede producir y variar por distintos factores, los cuales hemos obteni-
do como conclusión de literatura, en concreto, de artículos como los que en esta sección se
referencian ([4], [5], [7], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34]). Estos factores son:
Geometría de los espacios perivasculares con respecto a los vasos sanguíneos a los que
rodean ([4], [5], [28], [30], [31] [32], [33], [34]), de la cuál también depende la resistencia
hidráulica [5] ya que si son espacios aplanados se reduce esta resistencia. Esto hace que
el movimiento se desarrolle de una forma u otra.
Movimiento de los vasos sanguíneos de forma pulsátil debido al ciclo cardiaco provoca el
28
movimiento del líquido cefalorraquídeo, ya que ambos se encuentran en contacto directo
([4], [7], [28]). Mientras que el ciclo respiratorio se ha demostrado en artículos como
los de Kelley [31] o Raghunandan et all. [7] que no tiene ningún efecto significativo
sobre el movimiento del líquido cefalorraquídeo. Según este segundo artículo [7], el
ciclo cardiaco es el encargado de impulsar la componente puramente oscilatoria de flujo
pulsátil en los espacios perivasculares, pero puede que existan otros mecanismos como
la hiperemia, la producción de líquido cefalorraquídeo o la vasodilatación que promueva
el movimiento del líquido en estos espacios.
Movimiento de las paredes del tejido nervioso por distensibilidad y por las fuerzas elás-
ticas del tejido conectivo que lo rodea, el cual es producido por las fibras de colágeno y
elásticas, aunque estas fuerzas son muy pequeñas cuando el tejido se comprime y muy
grandes cuando este se estira ([27], [28]).
El flujo aumenta conforme lo hace la velocidad de onda de pulso y la amplitud siempre
que el flujo y el pulso que lo mueven estén en fase [33].
Tipo de flujo que se produce, en la mayoría de los casos ([4], [7], [31]), se habla de flujo
laminar de Poiseuille.
Características del líquido cefalorraquídeo, ya que propiedades como la viscosidad hace
que el movimiento varíe, en este caso, el líquido tiene un comportamiento de fluido
newtoniano con características similares al agua ([4], [32] y [33]).
El movimiento igualmente se puede ver iniciado por un gradiente de presión producido
por los plexos coroideos [27] entre distintas partes del espacio perivascular de forma
que el líquido se va a mover de zonas de mayor presión a zonas de menor presión [33].
No está muy claro que esta sea la forma de producir movimiento en estos espacios ya
que en artículos como el de Wagshul et all. [29] y el de Bilston et all. [33] se comenta
que la presión general en todas las partes del tejido nervioso es prácticamente la misma.
El intercambio de fluidos con las paredes por medio de difusión o advección también
puede hacer que varíe el movimiento del líquido cefalorraquídeo. En este punto hay
artículos que apoyan más el intercambio de fluidos por advección y otros por difusión
([4], [27], [28]).
29
El movimiento también depende del tipo de espacios que haya en el final de los espacios
perivasculares, como son los espacios subaracnoideos, y de las ondas de presión que
haya en estos [34]. Aunque hay ciertos estudios que comentan que los espacios peri-
vasculares y los espacios subaracnoideos no están conectados directamente si no que se
conectan por medios de estomas o poros [27] lo que variaría la forma en la que el líquido
cefalorraquídeo se mueve e interactúa a través de los poros.
La presencia de la piamadre se demostró en el artículo de Bilston [32] que no tiene efecto
en el flujo de líquido cefalorraquídeo.
En este mismo artículo [32] se confirma que el flujo aumenta linealmente con el área
transversal del espacio perivascular.
Hay algunos estudios como el de Kedarasetti [27] que definen los espacios perivasculares
como espacios porosos y no abiertos lo que hace que el movimiento del líquido a través
de estos varíe con respecto al mismo si fueran espacios abiertos que es lo que demuestran
otros artículos como el de Thomas [4] o el de Kelley [31].
En el artículo publicado por Tithof et all. [5] sobre este tema se ha demostrado mediante
simulaciones numéricas y analíticas que aumentando la excentricidad de las arterias
penetrantes con respecto a los espacios perivasculares el caudal también aumenta y, por
tanto, la velocidad del flujo.
4.2. Posibles causas de simplificación
Como se puede ver en el apartado anterior muchas son las causas que parecen que provo-
can el movimiento del líquido cefalorraquídeo en los espacios perivasculares, pero para este
trabajo se estudiará únicamente algunas de estas características, las cuales van a ser el movi-
miento de fluido por el movimiento pulsátil, el gradiente de presión entre los extremos y la
presencia de un espacio abierto en los extremos los cuales son tres de las causas más impor-
tantes y de las más se comentan que pueden ser las causas reales.
Por tanto, el problema va a estar definido por un espacio perivascular en forma de cilindro
concéntrico el cual va a tener, tanto la pared vascular como la pared del tejido nervioso, un
radio variable para así poder comprobar el movimiento cuando las paredes siguen una función
30
pulsátil, aunque no se supondrá que exista cierta excentricidad y que en los extremos del
cilindro van a estar abiertos a lo que se supondrá que son espacios subaracnoideos. En resumen,
la geometría es la que podemos ver en la imagen de la Figura 7.
Figura 7: Representación de la geometría del problema a estudiar
Por otro lado, otra de las simplificaciones que se va a tomar va a ser la de que los espa-
cios perivasculares son abiertos y no porosos tal y como dicen los estudios de Thomas [4] y
de Kelley [31]. Asimismo, las paredes externas, es decir, las del tejido nervioso no van a ser
porosas por lo que no va a haber intercambio de fluidos ni van a tener fuerzas elásticas ya que,
como hemos visto anteriormente, también son muy pequeñas, por tanto, se van a tomar las
paredes del tejido nervioso del encéfalo o del conectivo de la piamadre como paredes sólidas
con condición de no deslizamiento ya que esto va a facilitarnos mucho el estudio y en algunos
artículos como el de Kedarasetti [27], se dice que la porosidad de estas paredes hace que el
flujo varíe muy poco.
El líquido que se utilizará para el estudio va a tener las mismas propiedades que el agua
(fluido newtoniano) con densidad ρ = 997 kg
m3
y una viscosidad de µ = 0,001003 kg
ms
.
Para abordar el problema, se dividirá en varias secciones, comenzando con el estudio de
aspectos más simples y progresando hacia casos más complejos. Esto permitirá examinar gra-
dualmente las distintas característicasque se encuentren, al mismo tiempo que se adentra en
el uso de diferentes software de investigación.
4.3. Primer caso: cilindro
En este primer caso, se va a tener un diseño muy simple de un cilindro axisimétrico por
el que pasa el líquido cefalorraquídeo. Como se representa en la Figura 8 este cilindro va a
31
tener una longitud de 1m y un radio fijo de 10mm donde las paredes van a tener la condición
de no deslizamiento, es decir, la velocidad del fluido en las paredes es cero. Estas dimensiones
no tienen mucho que ver con las dimensiones reales que se dan en los espacios perivasculares
encefálicos, pero son las que se utilizarán para ver cual es el comportamiento de este tipo de
fluido con la característica principal de que la longitud debe ser mucho mayor que el radio,
condición que sí que se cumple.
Figura 8: Representación de la geometría del primer caso (cilindro)
Para este caso, antes de resolverlo de manera numérica gracias a ANSYS Fluent se realiza
un estudio teórico. Si partimos del resultado de Hagen-Poiseuille para un tubo finito con la
siguiente condición de contorno:
r = rmax = 0,01m → v = 0m/s (1)
se tiene que,
Q =
−πD4
128µ
d(p+ ρU)
dx (2)
donde D= diámetro del tubo, µ =viscosidad cinemática, p = presión, U = velocidad en x y
d(p+ ρU)
dx = Pr (3)
la presión reducida que en este caso es,
Pr =
△p
L
=
Pfinal − Pinicial
L
(4)
Por tanto, si se sustituye esta expresión en (2) y despejamos la diferencia de presión (△p)
nos queda el siguiente resultado:
△p = Q · L · 128µ
πD4
(5)
Esta ecuación se puede adimensionalizar para que al representarla se pueda analizar la
solución de una manera más clara y que al representarla no dependan de las magnitudes en las
32
que han sido medidas. Para adimensionalizar esta ecuación se utiliza la fórmula de la presión
(p = 1
2
· ρ · v2) y que el caudal se puede definir como:
Q = v · A (6)
Si se sustituyen ambas en (5), se simplifica todo lo posible y sabiendo que,
Re =
ρvD
µ
(7)
queda:
Padimensional =
32Lµ
ρvD2
=
32L
ReD
(8)
Con este resultado ya se ha completado el estudio teórico de este caso, de esta manera, se
podrá comprobar que los resultados de las simulaciones concuerdan con estos y así asegurar
que los resultados que se obtienen son buenos.
En otro orden de cosas, también se puede comprobar la forma de la función de la pérdida
de presión con respecto al número de Reynolds ya que se puede relacionar ambas mediante
la definición del número de Reynolds (7), la ecuación del caudal (6) y la diferencia de presión
para un cilindro (5). Por tanto, si se igualan las dos primeras gracias a la velocidad de entrada
se tiene que el caudal es:
Q =
ReµπD
4ρ
(9)
Por tanto, si se sustituye en (5) nos queda que:
△p = 128µL
πD4
(
ReµπD
4ρ
) =
32µ2L
D3ρ
Re = constante ·Re (10)
por lo que, finalmente, la pérdida de presión va a ser lineal con respecto al número de Reynolds
para un flujo laminar.
En el caso de un flujo turbulento, se observa una pérdida de presión distinta en compara-
ción con el flujo laminar. Esto se puede demostrar a través de los resultados obtenidos en el
siguiente estudio. En este caso, se utiliza la ecuación de Bernouilli no estacionaria paramodelar
flujo turbulento en un cilindro la cual se define como:
ρ
dv
dt
+
d
dx
(p+
1
2
ρv2 + ρgz) = − λ
D
1
2
ρv2 (11)
donde p+ 1
2
ρv2+ρgz se define como la presión de remanso (P) y representa la energía total de
un fluido. Además, el primer término de la ecuación se puede eliminar ya que se habla de un
33
flujo estacionario por lo que la variación de la velocidad con el tiempo es nula. Si se despeja la
presión de remanso de la expresión (11) y se integra ambos lados de la ecuación a lo largo de
todo el cilindro nos queda lo siguiente:
Psalida − Pentrada = −
λ
D
1
2
ρLv2 (12)
Además, gracias a que se sabe de la ecuación (7) la relación entre el número de Reynolds y
la velocidad se puede despejar esta de la ecuación y sustituirla en la (12 por lo que se obtiene
lo siguiente:
△p = − λ
D
1
2
ρL(
Reµ
ρD
)2 (13)
Si se deja solo el término Re y se agrupa lo demás como se puede observar en la ecuación
(14) se advierte de que la pérdida de presión en un cilindro con respecto al número de Reynolds
es una función cuadrática (Re2 multiplicado por una constante) ya que los demás valores que
lo acompañan son constantes propias del cilindro y del fluido que no varían con respecto a la
posición.
△p = − λ
D3
1
2
L
µ2
ρ
Re2 = k ·Re2 (14)
Por todo esto podemos concluir que mientras que en un flujo laminar la pérdida de presión
es lineal con respecto al número de Reynolds en el caso de un flujo turbulento la pérdida de
presión es cuadrática con respecto al número de Reynolds.
4.4. Segundo caso: cilindro concéntrico con radios fijos
A continuación, a lo largo de este segundo apartado se va a utilizar un modelo que tiene
menos simplificaciones con respecto al anterior. En este caso, se trata de dos cilindros con-
céntricos entre los cuales fluye el líquido cefalorraquídeo. Como se puede ver en la Figura 9.
En esta se observa la geometría desde un plano tanto frontal como lateral donde el líquido
cefalorraquídeo va a fluir a lo largo del hueco que hay entre el cilindro exterior y el interior,
que sería el espacio perivascular. Esta segunda geometría ya se va acercando más a la realidad
ya que el cilindro interior es lo que representaría el vaso sanguíneo y el cilindro exterior sería
34
el tejido nervioso o conectivo, pero con la diferencia de que en este caso la pared del vaso
sanguíneo no se mueve, esto se verá en el siguiente apartado (sección 4.5).
Figura 9: Representación de la geometría del segundo caso (dos cilindro concéntricos) desde
un plano lateral (a) y un plano frontal (b)
Las dimensiones de la geometría no son del todo relevantes, ya que los resultados que
se van utilizar van a ser adimensionales como en el apartado anterior (sección 4.3) por lo
que lo único que interesa es que la longitud sea la suficiente para que el flujo sea capaz de
desarrollarse completamente para poder ver los resultados. En este caso, las dimensiones del
cilindro son de un radio interno de 1 cm, un radio externo de 2 cm y una longitud de 50 cm. Al
igual que en el caso anterior las condiciones de contorno del problema es que en ninguna de las
paredes se produce movimiento del fluido por lo que se tiene que cumplir la condición de no
deslizamiento, tanto para el radio interno, como para el radio externo. Además, se supone un
flujo estacionario, unidireccional en el ejeX e incompresible por lo que el valor de la densidad
no varía.
De igual manera que para el caso anterior, antes de realizar las simulaciones se muestra
un estudio teórico de este caso.
Para este problema resulta más útil utilizar las coordenadas cilíndricas para resolverlo don-
de se define que la dirección en la que se mueve el flujo es X , r es la dirección radial (desde
el interior hasta el exterior del cilindro) y θ la otra coordenada. También se sabe que la velo-
cidad una vez se ha desarrollado el flujo no va a depender de X si no que va a depender de
la altura (radio del cilindro concéntrico). A partir de todo esto, se sabe que de las ecuaciones
de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas para cada una de las tres coordenadas la que va
a ser necesaria utilizar es la de la coordenada X que es la siguiente:
35
ρ(
dux
dt
+ ur
dux
dr
+
uθ
r
dux
dθ
+ ux
dux
dx
) = −dp
dx
+µ
[
1
r
d
dr
(r
dux
dr
) +
1
r2
d2ux
dθ2
+
d2ux
dx2
]
+ ρg (15)
Esta ecuación se puede simplificar por las aclaraciones que se han hecho anteriormente de
que es un flujo estacionario, unidireccional cuya velocidad solo depende de r y no influye la
gravedad por lo que queda lo siguiente:
0 = −dp
dx
+ µ
[
1
r
d
dr
(r
dux
dr
)
]
(16)
Por tanto, el problema que queda es:

0 = − dp
dx
+ µ
[
1
r
d
dr
(r dux
dr
)
]
ux(r) = 0 si r = Ro
ux(r) = 0 si r = Ri
(17)
siendo Ro el radio externo o mayor y Ri el radio internoo menor. Para resolver esto primero
se transforma la ecuación (17) para que quede de forma que se pueda integrar con respecto a
r en la parte izquierda y se integra una primera vez obteniendo la expresión:
dp
dx
r2
2µ
+ A = r
dux
dr
(18)
(siendo A la constante de integración) y se vuelve a integrar obteniendo el resultado general
del problema (19) en la que se observa que se tienen dos constantes que hay que encontrar, en
este caso, A y B.
ux =
dp
dx
r2
4µ
+ A · log(r) + B (19)
Estas constantes se tienen que determinar para este problema en concreto, por lo que para
hacerlo se utilizan las condiciones de contorno que se han definido anteriormente en (17). Si
se sustituyen ambas condiciones en la ecuación queda un sistema de dos incógnitas con dos
ecuaciones en las que se pueden obtener A y B. Resolviendo este sistema de ecuaciones se
obtiene que las constantes tienen los valores mostrados a continuación (20) y (21):
A =
dp
dx
1
4µ
R2i −R2o
log(Ro
Ri
)
(20)
36
B =
dp
dx
1
4µ
[
−R2o + (R2o −R2i )
log(Ro)
log(Ro
Ri
)
]
(21)
Gracias a estas dos constantes (20) y (21) ya se tiene el perfil de velocidad del flujo definido
en (22) de forma simplificada.
ux(r) =
1
4µ
dp
dx
(r2 + A′ log(r) + B′) (22)
con A′ = R
2
i−R2o
log( Ri
Ro
)
y B′ = −R2o − A′ log(Ro).
Una vez con el perfil de velocidad se puede calcular el caudal que se define como:
Q =
∫ 2π
0
∫ Ro
Ri
ux(r)r · drdθ (23)
La cual si se resuelve queda que el caudal en este caso es:
Q = Rdp
dx
(24)
siendo R,
R = π
2µ
[
R4o−R4i
4
+B′
R2o−R2i
2
+ A′(1
2
(R2o log(Ro)−R2i log(Ri)−
R2o−R2i
2
))
]
(25)
Por tanto, gracias a estos resultados se puede comparar el caudal con respecto al número
de Reynolds utilizando la misma relación que en el primer caso, es decir, (6) y (7). Por lo que,
la diferencia de presión con respecto al número de Reynolds queda mostrada a continuación
(26):
dp
dx
=
1
R
Reµ
ρdh
· 2π(R2o −R2i ) (26)
siendo dh el diámetro hidráulico que se explica en la sección 5.2.
Gracias a este estudio teórico del movimiento del flujo en un cilindro concéntrico, en el
siguiente apartado de simulaciones se va a poder comparar los resultados obtenidos mediante
la resolución teórica y numérica y comprobar que ambas son correctas.
4.5. Tercer caso: cilindro concéntrico con radios variables
En este tercer caso, se va a definir un cilindro concéntrico con una o ambas de las paredes en
movimiento. De esta forma, se asemeja cada vez más a lo que sería el caso real de los espacios
perivasculares, ya que como se ha comentado en la sección 4.1 el flujo pulsátil de sangre por
37
las arterias produce un movimiento en la pared arterial con una forma sinusoidal la cual va
a influir en el movimiento del líquido cefalorraquídeo. Por otro otra parte, este movimiento
pulsátil va a influir en la pared externa de los espacios perivasculares en las que se encuentra
el tejido nervioso o conectivo produciendo en este también un movimiento sinusoidal, que
afectará a su vez al movimiento del líquido cefalorraquídeo.
Para este tercer caso, sí que se va a utilizar datos reales para realizar la geometría y la
función de movimiento de la pared arterial. Estos datos han sido obtenidos de la literatura, en
concreto, del artículo de Kedarasetti et al. [27] donde se recogen todos los parámetros nece-
sarios para realizar simulaciones similares a las que se proponen a lo largo de este trabajo. En
concreto, los parámetros que incumben en las simulaciones de este proyecto están resumidos
en los siguientes párrafos, junto con las fuentes de las cuales se han obtenido:
La longitud del espacio perivascular va entre 250 a 500 µm donde nosotros vamos a
utilizar 250 µm ([27], [35], [36], [37]).
El radio arteriolar va a depender del tipo de arteria que tengamos por lo que puede ir
desde 5 a 20 µm donde nosotros vamos a tomar un valor intermedio que es 15 µm ([27],
[35], [37], [38]).
El ancho del espacio perivascular también varía en un rango de 2 y 10 µm dependiendo
de la zona en la que nos encontremos, pero nosotros como valor por defecto vamos a
coger 3 µm ya que es el valor que más destaca en los distintos artículos ([8], [27], [39],
[40]).
Asimismo, con respecto a la función la cual va a definir el movimiento de la pared arterial
es una función sinusoidal, por lo que también se tiene que definir para esta tres parámetros:
la frecuencia, la amplitud y el desfase. Estos tres parámetros se obtienen del mismo artículo y
son:
La frecuencia arterial que oscila entre 7 y 14 Hz ([27], [41]).
La amplitud se determina como entre un 0.5 y un 2% del valor del radio arteriolar ([27],
[8]).
El desfase se establece a 0 ya que es algo que no va a influir a la hora de estudiar los
resultados.
38
De estos rangos, se realizarán simulaciones para distintos valores de amplitud y frecuen-
cia del movimiento pulsátil y área del espacio perivascular, que serán los valores máximos
y mínimos y los valores generales repetidos en varios artículos como los que se acaban de
nombrar.
Antes de entrar en casos concretos que se van a simular, se ha realizado un estudio teórico
general en el que se estudia cual es el comportamiento del líquido cefalorraquídeo con radios
interno y externo variables. Este estudio teórico sirve para conocer como se va a comportar el
fluido, además de para poder verificar las simulaciones. Este estudio semuestra a continuación:
Partimos de la ecuación de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas enX (dirección axial
del movimiento), la cual se define igual que en el ecuación 15. Esta la podemos simplificar
obteniendo la misma ecuación simplificada que la ecuación 16, pero, en este caso, algunos
de los términos que se han eliminado no son por las mismas razones que en la sección 4.4.
El primer término (dux
dt
) se eliminó porque la variación de la velocidad axial con respecto al
tiempo va a ser mucho más pequeña que la variación de la velocidad axial con respecto al
radio, por lo que se supone despreciable.
Por otro lado, en este tercer caso si que existe velocidad radial por lo que el segundo tér-
mino (ur duxdr ) no se podría eliminar, pero si se supone que las deformaciones radiales son muy
pequeñas sí que podríamos despreciarlo. Por tanto, en este problema se debe cumplir lo si-
guiente:
Si R = Ri · (1 + ϵ · sen(wt)), siendo ϵ la amplitud y ω la frecuencia angular, la velocidad
radial será ur = ϵωcos(wt) y, por consiguiente, se debe cumplir que ϵ · w«1. Si se comprueba
con los rangos en los que se va a trabajar en este estudio esta condición se cumple, por lo que
este término de la ecuación lo podemos despreciar.
Los términos restantes que se eliminan sí que son por la misma razón que en la sección
anterior, ya que la velocidad axial no va a depender ni deX ni de θ. De esta forma, obtenemos
la ecuación de Navier-Stokes simplificada para este caso, como en la ecuación 16.
De igual forma, la otra ecuación que define el problemas es la ecuación de continuidad:
dρ
dt
+▽(ρv) = 0 (27)
Si esta se desarrolla en coordenadas cilíndricas y se simplifica debido a que al ser un flujo
incompresible no hay variación de densidad con respecto al tiempo y a que no haymovimiento
39
en la componente θ del fluido, la ecuación queda de la siguiente forma:
1
r
d
dr
(rur) +
dux
dx
= 0 (28)
Por ende, el sistema de ecuaciones que define el problema es:

0 = − dp
dx
+ µ
[
1
r
d
dr
(r dux
dr
)
]
1
r
d
dr
(rur) +
dux
dx
= 0
ux(r) = 0 si r = Ri
ux(r) = 0 si r = Ro
(29)
siendo Ri el radio de la pared arterial y Ro el radio de la pared nerviosa, donde ambos se
suponen variables en el tiempo. El resultado de la primera ecuación va a ser el mismo que en
la sección anterior, que se muestra en la ecuación (24) y ecuación 25, ya que tanto la ecuación
a resolver como las condiciones de contorno son las mismas.
En cuanto a la ecuación de continuidad, si se resuelve y se tiene en cuenta que el caudal se
define como se muestra en la ecuación23 se obtiene lo siguiente:
2π(Ro
dRo
dt
−Ri
dRi
dt
) +
dQ
dx
= 0 (30)
Teniendo estas dos soluciones, se puede relacionar el caudal de la ecuación (24) con la
ecuación (30) para obtener la diferencia de presión con respecto al movimiento tanto de la
pared arterial como de la pared nerviosa, quedándonos la siguiente relación:
2π(Ro
dRo
dt
−RidRi
dt
) +Rd
2p
dx2
= 0 (31)
En la siguiente sección, se utilizarán estos resultados teóricos para comprobar si concuer-
dan con la simulación.
4.5.1. Cilindro concéntrico con radio interno variable
En primer lugar, se estudiará el comportamiento manteniendo la pared externa fija, es
decir, la pared perivascular y moviendo simplemente la pared arterial con una función en
40
forma sinusoidal al ser un movimiento pulsátil. La pared arterial, se moverá siguiendo un
movimiento sinusoidal, como ya se ha comentado, siguiendo una forma:
Ri(t) = Rio · (1 + ϵ · sin(ωt)) (32)
siendo ϵ la amplitud, ω la frecuencia y Rio el radio de la pared arterial al inicio.
Por lo que la velocidad de la pared será su derivada:
varterial =
dRi
dt
= ϵω · cos(ωt) (33)
A la hora de resolver este problema se debe tener en cuenta que el problema ya no es
estacionario ya que ahora las variables sí que dependen del tiempo debido al movimiento de
la pared arterial. Por tanto, el sistema de ecuaciones a resolver es:

−2πRi dRidt +R ·
d2p
dx2
= 0
p = 0 x = InicioPV S
p = 0 x = FinalPV S
(34)
Esto se resuelve de manera numérica gracias al software Matlab.
4.5.2. Cilindro concéntrico con ambos radios variables
Para el caso en el que ambas paredes se mueven, se conoce la función con la que se mueve
la pared arterial que es la definida en la subsección anterior, pero también se ha de conocer
cuál va a ser el movimiento de la pared nerviosa que depende a su vez del movimiento de la
pared arterial.
Para poder calcularla, se realizan ciertas suposiciones y simplificaciones: se supone que la
pared nerviosa no realiza absorción de líquido cefalorraquídeo, si no que es una pared rígida.
Además, definimos el flujo como incompresible por lo que se tiene que cumplir que la variación
de volumen a lo largo del tiempo (dV
dt
= 0) tiene que ser 0. Por tanto, se tiene que cumplir la
siguiente relación:
2πL(Ro(t)
dRo(t)
dt
−Ri(t)
dRi(t)
dt
) = 0 (35)
Por tanto,
Ro(t)
dRo(t)
dt
= Ri(t)
dRi(t)
dt
(36)
41
Así se relacionan ambos movimientos de forma que se puede obtener el movimiento de la
pared nerviosa a partir del movimiento de la pared arterial. Como el movimiento de la pared
arterial se ha definido según la ecuación (32) el movimiento de la pared nerviosa se obtiene
resolviendo la ecuación diferencial (36):
Ro(t) = R
2
ioϵ(sin(ωt) + ϵ
sin2(ωt)
2
) (37)
siendo Rio el radio exterior inicial.
42
5
Simulaciones
numéricas y
resultados del
problema
5.1. Primer caso: cilindro
En este primer caso, se va a realizar el estudio numérico de un cilindro el cual podría ser
una simplificación bastante grande de lo que sería un espacio perivascular. Para conseguir
el modelo, tanto su geometría como su mallado, se ha utilizado el programa gmsh donde el
resultado es el que se puede ver en la Figura 10.
Figura 10: Modelo de un plano del cilindro realizado en gmsh.
Las dimensiones que hemos utilizado para esta geometría es de 1 m de largo y 0.01 m de
altura, es decir, el diámetro del cilindro completo sería de 0.02 m como ya se definió en la
sección 4.3.
Se ha podido realizar en un plano 2D y de solo la mitad y no en uno en 3D debido a que
un cilindro es una estructura axilsimétrica por lo que se va a comportar de la misma forma
en todos los planos con respecto al centro, por lo cual con realizar las simulaciones en uno de
esos planos es suficiente.
43
Figura 11: Detalle de la malla del plano del modelo del cilindro
Si se aumenta un poco la estructura de la malla se puede ver en la Figura 11 que la malla
es más ancha en la parte inferior y más fina en la parte superior. Esto se debe a que la parte de
inferior se corresponde al centro del cilindro donde hay un mayor flujo, mientras que la pared
superior es una pared por lo que debido a la condición de no deslizamiento la velocidad del
fluido en ese punto es cero y es donde van a producirse mayores cambios, por eso es favorable
que la malla sea más fina para obtener una mayor información y menos diferencias con el
resultado real.
Este modelo se ha exportado a ANSYS Fluent donde se ha indicado todas las condiciones
e información necesaria para poder realizar la simulación, entre la que se encuentran:
Tipo de flujo , que primero será laminar ya que se va a utilizar (Re<2300), aunque también
se va a probar para valores de Re turbulento con el modelo SST k-omega.
Qué representan cada una de las caras del modelo y como interactúa el fluido con ellas
(entrada, salida, paredes, …).
Tipo de fluido que se va a estudiar, en este caso, agua ya que tiene las mismas caracte-
rísticas que el líquido cefalorraquídeo como se ha comentado en la sección 4.2
Velocidad de entrada, que va a depender del número de Reynolds que se indique como
consecuencia de la ecuación (38).
Escala a la que ha sido diseñada la malla, la cual se ha definido en milímetros.
5.1.1. Resultados para un flujo laminar
Una vez se han definido todas las características de la simulación solo falta ejecutar el
cálculo con un número de iteraciones suficientes para que la solución converja o que los resi-
44
duos sean muy pequeños. Se ha simulado este modelo para diferentes Re (20, 100, 500, 1000,
1500, 2000 y 2300) de los cuales se conocen las velocidades de entrada gracias a la definición
del número de Reynolds en un cilindro (7) ya que las otras variables son todas conocidas de la
geometría del cilindro y la densidad y viscosidad del agua. Por tanto, la velocidad queda como:
v =
Reµ
ρD
. (38)
Los resultados obtenidos en las simulaciones con los distintos valores de velocidades de
entrada se han representado en distintas gráficas para poder estudiarlos. Estas gráficas nos
dan información sobre cómo es el comportamiento del líquido cefalorraquídeo en este tipo de
conductos.
Para el caso de valores de Re que representen un flujo laminar se ha calculado la velocidad
y la presión en tres puntos distintos del cilindro como se ven recogidas en la Tabla 2 en el
Anexo C donde Vi es la velocidad de entrada, Vo es la velocidad de salida, Vl es la velocidad
promedio en el punto medio del cilindro, es decir, para x=0.5 m; de esta misma manera están
nombradas las presiones.
Con respecto a la presión se puede ver como conforme el número de Reynolds va en au-
mento la presión también, y además para cada una de las filas, el fluido se mueve del lugar
donde hay una mayor presión que es en la entrada, a donde hay una menor presión en la sa-
lida lo que es correcto, ya que los fluidos de forma natural se mueven en este gradiente como
se representa en Figura 12. El signo negativo lo que se quiere referir es a la dirección en la que
va la presión, que en este caso será hacia adentro del cilindro.
Figura 12: Representación del gradiente de presión para una velocidad de entrada de 0.001 m/s
De todas las gráficas que se pueden representar con estos datos, la que se creen más im-
portantes para saber que el fluido se está moviendo como se esperaba es la gráfica de la Figura
13. En esta gráfica se ve como los resultados obtenidos de forma teórica gracias a la ecuación
de Hagen-Poiseuille definida en la sección 4.3 salen iguales a los de la simulación hasta un
45
número de Reynolds de 1000 aproximadamente y que de ahí hasta 2300 los resultados de las
simulaciones varían un poco. Además, se cumple hasta Re=1000 que la pérdida de presión es
lineal con respecto al número de Reynolds en esta escala logarítmica, como se definió de forma
teórica en (10).
Este error entre ambas funciones se ha calculado y se obtiene que el error relativo es de
aproximadamente el 9 % lo que es un valor bastante bajo por loque los resultados se pueden
considerar buenos.
10
1
10
2
10
3
10
0
10
1
10
2
Figura 13: Gráfica con escala logarítmica que representa el número de Reynolds frente a la
diferencia de presión entre el punto medio y el final del cilindro adimensional
Asimismo, se puede representar el perfil de velocidad que se produce en este caso, el cual
se puede ver en la Figura 14 en la que se observa que se cumple con lo esperado, ya que para
un flujo laminar a lo largo de un cilindro, por la ecuación de Hagen-Poiseuille, sabemos que
el perfil de velocidad que se obtiene es el de una parábola en la que en el centro del cilindro
se va a dar la velocidad máxima y en las paredes la velocidad mínima (v=0 m/s), pero en este
caso, como estamos tomando un plano que solo coge la mitad del cilindro lo que obtenemos
es la mitad de esa parábola como se muestra en la Figura 14.
5.1.2. Resultados para un flujo turbulento
Por otro lado, también se ha comprobado que se cumple lo esperado teóricamente para
un flujo turbulento. Para ello, se ha utilizado en el mismo diseño un modelo de turbulencia,
en concreto, el modelo SST k-omega el cual define dos ecuaciones más para poder cerrar el
46
Re=19.9
Re=100
Re=500
Re=1000
Re=1500
Re=2000
Re=2300
Figura 14: Perfiles de velocidad que se dan en el punto medio del tubo para las diferentes
velocidades de entrada
problema definido por las ecuaciones de Navier Stokes. Estas ecuaciones tienen dos variables
que son k que se puede definir como energía cinética de la turbulencia y ω que es la disipación.
Con este modelo se ha simulado el flujo para Re desde 2000 hasta 1000 obteniendo los
resultados descritos en la Tabla 3 en el Anexo C.
Equivalente al caso de un flujo laminar, se han representado los resultados siguiendo unas
gráficas, entre las cuales se destaca la que se muestra en la Figura 15 en la que se representa la
diferencia de presión entre la mitad y el final del cilindro tanto para los número de Reynolds
donde el flujo el laminar, que se muestran en azul, que son los que es como se ha mostrado
anteriormente, como para el flujo turbulento el cual se muestra en rojo. En este caso, se sabe
que la pérdida de presión en un cilindro tiene una forma cuadrática como se ha demostrado
en la sección 4.3. En esta gráfica, se puede intuir un poco de este comportamiento, sobre todo,
desde Re=2000 hasta Re= 4000 aunque no se desarrolla de una forma completa si no que al
final parece ser lineal.
47
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
0
20
40
60
80
100
120
Figura 15: Gráfica que representa el la diferencia e presión entre la mitad del cilindro y el final
de este para todos los valores de Re simulados.
5.2. Segundo caso: cilindro concéntrico con radios fijos
Como ya se ha comentado en la sección 4.4, en este segundo caso el estudio es sobre un
cilindro concéntrico con sus radios fijos. Este se va a seguir pudiendo estudiar en un solo plano
debido a que seguimos ante un problema axilsimétrico. El modelo realizado en gmsh es muy
parecido al del caso anterior con la diferencia de que los puntos inferiores ya no están en una
altura de 0 si no que se encuentran a una altura Ri y que ahora tanto la cara superior como
inferior son paredes que definen la pared arterial y la pared del encéfalo. Es por esta segunda
condición por lo que ahora la malla es más fina, tanto en la pared superior, como en la inferior
en relación con el centro, ya que como se ha comentado en la subsección anterior (sección 5.1)
en las paredes se tiene que cumplir la condición de no deslizamiento por lo que la malla debe
ser más fina en esas zonas, como se observa en la Figura 16.
Las dimensiones utilizadas (definidas en el subapartado 4.4) han sido las necesarias para
que el flujo sea capaz de desarrollarse completamente como se puede observar en la Figura 17
en la que se representa la diferencia de presión con respecto a la longitud del tubo en la que se
encuentre. Para que se pueda obtener valores que cumplan con la teoría los tramos de cilindro
concéntrico a estudiar tienen que tener una función recta en esta gráfica.
48
Figura 16: Aumento de una parte del modelo mallado de un plano del cilindro concéntrico
realizado con gmsh.
Al igual que en el caso anterior, el modelo es exportado a ANSYS Fluent y una vez en
aquí se modifican las distintas condiciones de la misma forma que en el primer caso. La única
diferencia es que al ser una geometría diferente el número de Reynolds se calcula de forma
diferente y, por tanto, las velocidades de entrada a introducir son distintas. En este caso, se
sabe que la velocidad se define como V = Reµ
ρdh
a partir del número de Reynolds (7). Donde
la longitud característica o diámetro hidráulico se define como dh = 4Ap siendo A el área
transversal por la que pasa el flujo y p el perímetro de este. Por tanto, el diámetro hidráulico
para este segundo caso nos queda como dh = 2(Ro−Ri). Por lo que la velocidad se determina
como:
V =
Reµ
2ρ(Ro −Ri)
. (39)
Figura 17: Gráfica que representa la diferencia de presión en el punto medio de altura del tubo
con respecto a lo largo de toda la longitud de este para diferentes valores de Re (10, 100 y 1000)
La primera gráfica que se representa, y la más importante, es la que compara la diferencia
de presión entre el punto elegido (mitad de lalongitud del conducto) y el final para los distintos
49
números de Reynolds. Como se observa en la Figura 18, se representan tanto los resultados
de las simulaciones numéricas (con círculos) como los teóricos (con líneas discontinuas) y se
puede observar que ambos son prácticamente iguales hasta Re=1000, a partir de este valor se
empieza a diferenciar lo que podría ser porque a partir de esta valor de Reynolds ya no se
puede considerar casi estacionario y habría que estudiarlo de forma no estacionaria. Pero aún
así se puede concluir que ambos estudios son correctos.
10
1
10
2
10
3
-10
3
-10
2
-10
1
-10
0
Figura 18: Gráfica en la que se representa la diferencia de presión entre un plano medio del
cilindro concéntrico (en x= 25cm) y el final del cilindro para distintos valores de Re laminar.
Una vez que ya se sabe que las simulaciones dan valores correctos se representan otras grá-
ficas como son: la diferencia de presión para distintos números de Reynolds, pero en este caso
teniendo en cuenta también los resultados turbulentos (Figura 19) o los perfiles de velocidades
del flujo (Figura 20).
En la primera de estas (Figura 19), se puede observar que se sigue cumpliendo, como en
el primer caso, que para un flujo laminar la diferencia de presión es lineal con respecto a Re
mientras que para un flujo turbulento tiene una relación cuadrática.
Los perfiles de velocidad representados en la Figura 20 coinciden con las expectativas debi-
do a que la gráfica de la Figura 17 revela que los flujos se desarrollan por completo en el espacio
utilizado y en la Figura 20 se observan como todos los perfiles de velocidad son perfectamente
50
10
1
10
2
10
3
10
4
-10
3
-10
2
-10
1
-10
0
-10
-1
Simulación laminar
Simulación turbulenta
Figura 19: Gráfica en la que se representa la diferencia de presión entre un plano medio del
cilindro concéntrico (en x= 25cm) y el final del cilindro para distintos valores de Re tanto
laminar como turbulento.
parabólicos y prácticamente iguales adimensionalmente, por lo que podemos confirmar que
son correctos.
Figura 20: Gráfica en la que se representa los perfiles de velocidades en el caso del cilindro
concéntrico para flujo laminar de distintos valores de Re
51
5.3. Fluido por espacio perivascular con radio interno variable con el
tiempo
En este tercer caso, como ya se ha definido en la sección 4.5 se va a estudiar lo que ya se
parece más a un espacio perivascular por el que discurre líquido cefalorraquídeo, en el cual la
pared arterial va a tener un movimiento pulsátil que se corresponde con el pulso arterial.
Las dimensiones elegidas como ya se ha