MATEMÁTICAS PARA INGENIERIA 3 (RELOS)

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Matemáticas para Ingeniería III
Variable Compleja, Análisis de, Fourier, Análisis Vectorial
Santiago Relos P.
Universidad Privada Boliviana
18 de noviembre de 2014
2
Índice General
1 Números complejos 7
1.1 El conjunto C de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 La extensión de R a C y notación usual de un número complejo . . . . . . . . 8
1.1.3 La conjugada de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Representación gráfica de un número complejo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Representación gráfica de la suma y resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Representación gráfica de la conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 El módulo de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Forma polar y el argumento de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3 Forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.4 Raíces de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Funciones complejas de variable compleja 27
2.1 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 La definición de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2 El límite de funciones complejas como el límite de funciones reales . . . . . . 33
2.3.3 Teoremas sobre límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.4 Límites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1Nota histórica. (Extraida de Historia de la matemática de Carl B. Boyer, Alianza editorial 1968) La represen-
tación gráfica de los números complejos había sido descubierta ya en 1797 por Caspar Wessel (1745-1818) y publicada
en la revista de la academia de ciencias danesa en 1798, pero lo cierto es que la obra de Wessel pasó desapercibida
prácticamente, así el plano de los números complejos suele llamarse “plano de Gauss”, a pesar de que Gauss no publicó
sus ideas al respecto hasta unos 30 años mas tarde. Desde la época de Girard era bien conocido que los números reales
positivos, cero y negativos se pueden representar en correspondencia con los puntos de una recta. Wallis había llegado
incluso a sugerir que los números imaginarios puros se podrían representar por los puntos de una recta perpendicular
al eje de los números reales. Y, sin embargo, sorprendentemente nadie antes de Wessel y Gauss pensó en franquear la
obvia etapa de considerar las partes real e imaginaria pura de un número complejo a + ib como las dos coordenadas
rectangulares de un punto en el plano, al cual estaria asociado dicho número complejo y viceversa. Ver es creer, bien
cierto es, y las viejas ideas acerca de la no existencia de los números imaginarios fueron abandonadas por casi todos
los matemáticos.
3
4 ÍNDICE GENERAL
2.5.1 La definición de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.2 Teoremas sobre la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.3 Las ecuaciones de Cauchy-Rieman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Funciones analíticas, enteras y armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6.1 Funciones analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6.2 Funciones enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.3 Funciones armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7.1 Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7.2 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7.3 Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Análisis de Fourier 45
3.1 Aspectos básicos de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 La serie de Fourier de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 Cálculo de las constantes an, bn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Series de fourier en senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 El caso de una función par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.2 El caso de una función impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.3 Desarrollo de una función en senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Convergencia de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4.1 Convergencia en los extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.2 El fenómeno de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Derivación e integración de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5.1 Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5.2 Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6 La serie de Fourier compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.7 Una aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.7.1 La ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.7.2 La ecuación de la onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 La transformada de Fourier 73
4.1 La integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 La integral de Fourier compleja y la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Propiedades de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4 Convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 Operaciones diferenciales 89
5.1 El operador Nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Funciones escalares y funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.4 Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
ÍNDICE GENERAL 5
6 La integral de superficie 95
6.1 La definición de integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Cálculo de la integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Teorema de la divergencia de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 Coordenadas curvilíneas 105
7.1 La definición de coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2 Superficies y líneas de coordenadas . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3 Vectores básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.4 Gradiente divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
Números complejos
En este capítulo se inicia el estudio del campo de números complejos, se define un número complejo,
se estudian sus propiedades y resuelven problemas con números complejos.
Entre otras, se tienen las siguientes aplicaciones en ingeniería.
• Ingeniería electrónica, en la descripción de señales periódicas: Análisis de Fourier, re-
sistencias, capacidades e inductores.
• Física: Mecánica Cuántica, relatividad especial y la relatividad general.
• Matemáticas: Ecuaciones diferenciales, Fractales, geometría.
• Telecomunicaciones
1.1 El conjunto C de los números complejos
El conjunto de números complejos C es el conjunto de pares de números reales z = (x, y) donde x,
y son números reales. La igualdad de puntos en C se define como (x, y) = (a, b) si x = a y y = b.
Las operaciones de suma y producto están definidos por:
Suma:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
Producto:
(x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1)
1.1.1 Propiedades
Sobre la conmutatividad
Para todo z1, z2 ∈ C se cumple:
z1 + z2 = z2 + z1 y z1z2 = z2z1.
7
8 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS
Sobre el cero y el uno
El cero en este conjunto es (0, 0) , nótese que para todo número complejo z = (x, y) se tiene:
(0, 0) + z = z.
Por otra parte el uno de este conjunto es (1, 0) , nótese que para todo número complejo z = (x, y) se
tiene:
(1, 0) z = z
Sobre el inverso aditivo y el inverso multiplicativo
Sea z = (x, y) y w = (a, b) tal que z + w = (0, 0) , es fácil probar que w = (−x,−y) . El número
complejo w se llama inverso aditivo de z.
Sea z = (x, y) �= (0, 0) , y w = (a, b) tal que zw = (1, 0) , entonces empleando la definición de
producto e igualdad de números complejos:
zw = (xa− yb, xb+ ya) = (1, 0)
por tanto
xa− yb = 1
xb+ ya = 0
resolviendo el sistema se encuentra:
a =
x
x2 + y2
b = − y
x2 + y2
así w =
�
x
x2 + y2
,− y
x2 + y2
�
. El número w se llama inverso multiplicativo de z, usualmente se
denotará con z−1, es decir,
(x, y)−1 =
�
x
x2 + y2
,− y
x2 + y2
�
La unidad imaginaria
El número complejo i = (0, 1) tiene la propiedad,
i2 = (0, 1) (0, 1) = (0− 1, 0 + 0) = (−1, 0)
el número complejo i se llamará unidad imaginaria.
1.1.2 La extensión de R a C y notación usual de un número complejo
La aplicación x �−→ (x, 0) de R en C identifica el número real x con el número complejo (x, 0) . Via
esta identificación, es posible extender R a C. Esto tiene las siguientes consecuencias:
1.1. EL CONJUNTO C DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 9
Consecuencias
1. El cuadrado de la unidad imaginaria es:
i2 = (−1, 0) = −1
nótese que podríamos interpretar a i como i =
√
−1.
2. El número complejo z = (x, y) se escribe como:
z = (x, y)
= (x, 0) + (0, y)
= (1, 0)x+ (0, 1) y
= x+ iy,
ésta es la forma usual de escribir un número complejo.
En z = x + iy, x se llama parte real y el número y se llama parte imaginaria. Se denotan
respectivamente con:
x = Re z, y = Im z
por tanto: z = Re z + i Im z.
Las operaciones suma y producto
Con la nueva forma de escribir un número complejo, se vuelve a definir la suma y producto de
números complejos. Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2, entonces:
z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2)
= (x1 + x2) + i (y1 + y2) ,
es decir la suma se realiza siguiente la regla: ”parte real con parte real y parte imaginaria con parte
imaginaria”. Por otra parte:
z1z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2)
= x1x2 + x1 (iy2) + (iy1)x2 + (iy1) (iy2)
= (x1x2 − y1y2) + i (x1y2 + x2y1)
nótese que se a hecho la multiplicación como en cualquier par de binomios, sólo se toma en cuenta
que i2 = −1.
1.1.3 La conjugada de un número complejo
Sea z = a+ ib, la conjugada de este número complejo se define por
z = a− ib,
es decir, se cambia de signo a la parte imaginaria.
Propiedades
Para z1 y z2 números complejos se cumplen:
10 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS
1. z1 + z2 = z1 + z2
2. z1 − z2 = z1 − z2
3. (z1) (z2) = (z1) (z2)
4.
�
z1
z2
�
=
z1
z2
5. Si z = a+ ib, entonces
zz = (a+ ib) (a− ib)
= a2 − iab+ iba− i2b2
= a+ b2
6. Si z = a+ ib, entonces
1
z
=
z
zz
=
a− ib
a2 + b2
resultado que coincide con el cálculado en la sección 1.1.1 página 8.
7. Si z es un número real claramente z = z.
8. Si la parte real de un número complejo es cero, el número complejo se llama imaginario puro.
Si z es imaginario puro, entonces z = −z.
––––––––MATLAB––––––––
%Operaciones con números complejos
>> z1=2+3i
z1 =
2.0000 + 3.0000i
>> z2=3+4i
z2 =
3.0000 + 4.0000i
>> z1+z2 % Suma z1 + z2
ans =
5.0000 + 7.0000i
>> z1^7+z2^5 % Cálculo de z17 + z25
ans =
6.3170e+03 + 1.3330e+03i
–––––––––––––––––––––
––––––––MATLAB––––––––
%Partes real y compleja, conjugada de un número complejo
>> z=3+4i
z =
3.0000 + 4.0000i
>> real(z) %Parte real de z
1.1. EL CONJUNTO C DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 11
ans =
3
>> imag(z) %Parte compleja de z
ans =
4
>> w=conj(z) % Sea asigna a w = z
w =
3.0000 - 4.0000i
–––––––––––––––––––––
Ejercicios propuestos
1. Probar que para z1 y z2 números complejos se cumplen:
(a) z1 + z2 = z1 + z2
(b) z1 − z2 = z1 − z2
(c) (z1) (z2) = (z1) (z2)
(d)
�
z1
z2
�
=
z1
z2
2. Pruebe que:
(a) (1 + i) +
(2 + 3i)4
2 + 2i
= −235
4
+
3
4
i
(b) (a+ 2i)3 = a3 − 12a+ i
�
6a2 − 8
�
(c)
1 + ix
3 + 4i
− 2 + 3i
1 + i
=
�
2
25
+
3
50
i
�
(2x− 23 + 9i)
(d)
(1 + 2i) (1− 3i)3
(1 + i)2
= −17 + 31i
(e)
�
2 + 4i
i
+
1+ 3i
1 + i
�
= −2 + i
3. Exprese lo siguiente en la forma x+ iy, con x, y ∈ R
(a)
√
1 + k2 − ik
−k − i
√
1 + k2
. Sol. i
(b)
�
4−4i
2+2i
�5552
+
�
4+4i
2−2i
�5552
. Sol. 0
(c) (1 + i)6 . Sol. −8i
(d)
�
ai25 − i32
�
3 + 4i
. Sol.
�
− 325 + 425a
�
+
�
3
25a+
4
25
�
i
(e) (
√
2−i)2(1−i)4
(
√
2+i)
4 . Sol. 9281 − 4081i
√
2
12 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS
(f) (x+ iy) (u− iv) (x− iy) (u+ iv). Sol. x2u2 + x2v2 + y2u2 + y2v2
4. Si x, y ∈ R, resolver: x2 − y2 + ixy = 1+ ix. Sol. x = ±
√
2, y = 1.
1.2 Representación gráfica de un número complejo1
El número complejo z = a+ ib se representa en el llamado Plano de Gauss que en realidad es una
copia de R2. El número complejo z = a+ ib se representa como radio vector (a, b) como se muestra
en el gráfico 1:
x
y
biaz +=
a
b
1.2.1 Representación gráfica de la suma y resta
x
y
x
y
1z
2z
21 zz +
1z2
z
2z−
21 zz −
1Nota histórica. (Extraida de Historia de la matemática de Carl B. Boyer, Alianza editorial 1968) La represen-
tación gráfica de los números complejos había sido descubierta ya en 1797 por Caspar Wessel (1745-1818) y publicada
en la revista de la academia de ciencias danesa en 1798, pero lo cierto es que la obra de Wessel pasó desapercibida
prácticamente, así el plano de los números complejos suele llamarse “plano de Gauss”, a pesar de que Gauss no publicó
sus ideas al respecto hasta unos 30 años mas tarde. Desde la época de Girard era bien conocido que los números reales
positivos, cero y negativos se pueden representar en correspondencia con los puntos de una recta. Wallis había llegado
incluso a sugerir que los números imaginarios puros se podrían representar por los puntos de una recta perpendicular
al eje de los números reales. Y, sin embargo, sorprendentemente nadie antes de Wessel y Gauss pensó en franquear la
obvia etapa de considerar las partes real e imaginaria pura de un número complejo a + ib como las dos coordenadas
rectangulares de un punto en el plano, al cual estaria asociado dicho número complejo y viceversa. Ver es creer, bien
cierto es, y las viejas ideas acerca de la no existencia de los números imaginarios fueron abandonadas por casi todos
los matemáticos.
1.3. EL MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO 13
1.2.2 Representación gráfica de la conjugada
x
y
biaz +=
b−
b
a
biaz −=
Ejercicios propuestos
1. Sea z = a+ ib. Representar gráficamente z y zi.
2. Sea z = a+ ib. Representar gráficamente z y zi−1.3. Sea z = a+ ib en el primer cuadrante, ¿en que cuadrante se encuentra
a+ ib
1 + i
?.
––––––––MATLAB––––––––
%Para graficar números complejos, es necesario que esté activo el archivo arrow.m
%El archivo arrow.m no se enstala con matlab, corresponde a los archivos
%de apoyo del libro MATLAB Companion for Multivariable Calculus, de
%Jeffery Cooper, Departament of Mathematics University of Maryland 2001
>> z=3+4i
z =
3.0000 + 4.0000i
>> w=-3+2i
w =
-3.0000 + 2.0000i
>> arrow([0 0],[real(z) imag(z)],’r’) % Dibuja z en rojo
>> hold on % Permite mantener el gráfico anterior
>> arrow([0 0],[real(w) imag(w)],’g’) % Dibuja z en verde
–––––––––––––––––––––
1.3 El módulo de un número complejo
Sea z = a+ ib un número complejo, el módulo de este número complejo se define por:
|z| =
�
a2 + b2,
14 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS
nótese que es la distancia del punto (a, b) al punto (0, 0).
Propiedades. El módulo tiene las siguientes propiedades:
1. |z1z2| = |z1| |z2|
2.
����
z1
z2
���� =
|z1|
|z2|
, z2 no nulo.
3. |z|2 = zz
4. |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| {desigualdad triangular}
5. El lugar geométrico de puntos que satisfacen |z − z0| = r, es la circunferencia centrada en el
origen y radio r.
Ejercicios propuestos
1. Probar:
(a) Re (z) = 12 (z + z) ,
(b) Im (z) = 12i (z − z)
(c) Im (z) ≤ |Im (z)| ≤ |z|
2. Probar que para todos los números complejos z,w se cumple:
(a) |z| ≤ |z −w|+ |w|
(b) ||z| − |w|| ≤ |z −w|
3. Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos (x, y) tales que:
(a) z + z = 3. Sol. recta x = 3/2.
(b) z2 + z2 = 8. Sol. hipérbola x2 − y2 = 4.
(c) z2 − z2 = 4i. Sol. Hipérbola xy = 1.
(d) |z − 2i|+ |z − i| = 8. Sol. Elipse x
2
63/4
+
(y − 3/2)2
16
= 1.
(e) |z + 4|+ |z − 2| = 2. Sol. Ningún lugar geométrico. (explique la razón)
(f) |z + 4|+ |z − 2| = 10. Sol. Elipse (x+ 1)
2
52
+
y2
42
= 1.
4. Sea |z| = 2. Pruebe que ����
z − 4w
1− zw
���� = 2,
donde w es otro número complejo tal que zw �= 1.
1.3. EL MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO 15
5. Si z está en la circunferencia |z| = 2 :
(a) Factorizando 2z4 − 7z2 + 3 en dos factores cuadráticos pruebe que:
1
|2z4 − 7z2 + 3| <
1
7
(b) Factorizando z4 − 7z2 + 10 en dos factores cuadráticos pruebe que:
1
|z4 − 7z2 + 10| <
1
2
6. Use las propiedades conocidas de módulos para demostrar que si |z3| �= |z4| , entonces
����
z1 + z2
z3 + z4
���� <
|z1 + z2|
||z3| − |z4||
7. Pruebe que para todo |z| = 2 se cumple:
1
4
≤
����
z2 + 1
z2 + 8
���� ≤
5
4
Sug. Aplique |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| , |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2| y que a, b, x, y son positivos con
a < b, x < y entonces ax < by.
8. Pruebe que para todo número complejo z se cumple:
|z + 1| ≥ 1√
2
o
��z2 + 1
�� ≥ 1.
Sug. Si la afirmación no fuera cierta, se debe tener |z + 1| < 1√
2
o
��z2 + 1
�� < 1, o equivalen-
temente |z + 1|2 < 12 o
��z2 + 1
��2 < 1, reemplace z = z + iy en tales desigualdades y sumando
miembro a miembro encontrará una suma de cuadrados negativa, esta contradicción muestra
el resultado.
9. Pruebe que
√
3 ≤ |z + 1|+
��z2 − z + 1
�� ≤ 13
4
para todos los números complejos z tales que |z| = 1. Sug. Aplique |w|2 = ww, a los módulos,
así construirá una función a una sola variable en el dominio [−1, 1] .
10. Encontrar todos los números z �= 0 tales que z + 1
z
∈ R. Sol. o z ∈R o z tal que |z| = 1.
11. Pruebe que
�
19 + 7i
9− i
�n
+
�
20 + 5i
7 + 6i
�n
∈ R. Sug. Nóte que w ∈R si y solo si w = w.
12. Sea z �= 0. Si
����z3 +
1
z3
���� ≤ 2 entonces
����z +
1
z
���� ≤ 2. Sug. Desarrolle
�
z +
1
z
�3
.
16 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS
13. Resolver
|z| = 1
|z + z| = 4
Sol. no existe
14. Resolver
|z| = 1��z2 + z2
�� = 1
Sol. ±
√
3
2 ± 12i,
15. Resolver:
2z2 + |z|2 = −1
Sol. z = ±i
––––––––MATLAB––––––––
%Módulo de un número complejo, comando abs()
>> z=6-8i
z =
6.0000 - 8.0000i
>> r=abs(z) % r = |z|
r =
10
–––––––––––––––––––––
1.4 Forma polar y el argumento de un número complejo
1.4.1 Forma polar
Sean r, θ las coordenadas polares de (x, y) que corresponde al número complejo z = x+ iy, entonces
x = r cos θ
y = r sin θ,
entonces:
z = r (cos θ + i sin θ) ,
se llama la forma polar del número complejo z. Claramente r =
�
x2 + y2 y θ es el ángulo
que se forma con el radio vector z y el eje positivo x, es claro que θ = arctan
�y
x
�
. Debido a la
periodicidad de las funciones seno y coseno se tiene:
z = r (cos (θ + 2πn) + i sin (θ + 2πn)) , n = 0,±1,±2, . . .
1.4. FORMA POLAR Y EL ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO 17
x
y
θ θ
x
y
x
y
θ
θ
x
y
1.4.2 Argumento
Definición 1.1 (argumento) El número θ de la forma polar de un número complejo, se llama
argumento del número complejo z y se denota por arg z = θ, es positiva si para su cálculo se toma el
sentido contrario de las agujas del reloj y negativa en caso contrario, más aún, θ+2πn sigue siendo
el argumento de z para todo entero n. El valor principal del argumento, denotado por Arg z es el
único valor de arg z tal que −π < arg z ≤ π.
Ejemplo 1.1 Algunos argumentos de z = 1 + i son:
π/4, −7π/4, 9
4
π, etc.
x
y
4/π
4/7π−
estos se obtienen a partir de dar valores enteros a n en:
π
4
+ 2πn o − 7π
4
+ 2πn.
En este caso Arg (1 + i) =
π
4
, así la forma polar es:
1 + i =
√
2
�
cos
π
4
+ i sin
π
4
�
18 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS
Ejemplo 1.2 Considérese el número z = 3−4i, el argumento principal es Arg (3− 4i) = − arctan (4/3) ,
por tanto la forma polar es:
3− 4i =
�
32 + 42
�
cos
�
− arctan 4
3
�
+ i sin
�
− arctan 4
3
��
= 5
�
cos
�
arctan
4
3
�
+ i sin
�
− arctan 4
3
��
x
y
1 2 3
1−
2−
3−
4−
)3/4arctan(−
Teorema 1.2 (Propiedad del argumento) Sean z1, z2 números complejos, entonces dados dos
de los argumentos arg z1, arg z2 o arg (z1z2) existe un valor del tercer argumento tal que arg (z1z2) =
arg z1 + arg z2.
Observación. No se está diciendo que lo anterior sea cierto para cualquier argumento.
Ejemplo 1.3 Si z1 = −1, z2 = 2i, entonces z1z2 = −2i, si se toma
arg (z1) = 3π
arg (z2) =
π
2
arg (z1z2) =
3π
2
claramente se tiene:
arg (z1z2) �= arg (z1) + arg (z2)
––––––––MATLAB––––––––
% Argumento de un número complejo comando angle.m
% el ángulo está dado en radianes
>> z=1-i
z =
1.0000 - 1.0000i
>> w=4+3i
w =
4.0000 + 3.0000i
1.4. FORMA POLAR Y EL ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO 19
>> theta=angle(z)
theta =
-0.7854
>> theta=angle(w)
theta =
0.6435
–––––––––––––––––––––
1.4.3 Forma exponencial
Definimos la fórmula de Euler como:
eiθ = cos θ + i sin θ
para todo número real θ. Con esta notación un número complejo z se escribe como:
z = r (cos θ + i sin θ) = reiθ
donde r = |z| y θ = arg z.
Propiedades
1. eiθ1eiθ2 = ei(θ1+θ2)
2. Si z = reiθ, entonces z−1 =
1
r
e−iθ.
3. Si z1 = r1eiθ1 , z2 = r2eiθ2 , entonces
z1z2 = r1r2e
i(θ1+θ2) y
z1
z2
=
r1
r2
ei(θ1−θ2)
4. Si z = reiθ, entonces z = rei(θ+2πn), para n = 0,±1,±2, . . . .
5. Dos números complejos z1 = r1eiθ1 y z2 = r2eiθ2 son iguales si y solamente si
r1 = r2 y θ1 = θ2 + 2kπ
donde k es algún entero.
6. La representación geométrica de
z = reiθ, (0 ≤ θ ≤ 2π)
es una representación paramétrica de la circunferencia |z| = r centrada en el origen y radio r.
Más aún la circunferencia centrada en z0 y radio r es
z = z0 + re
iθ, (0 ≤ θ ≤ 2π) .
20 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS
x
y
r
O
x
y
O
0zz
θire
θθ
θirez = θirezz += 0
1.4.4 Raíces de un número complejo
Como se sabe, empleando la forma exponencial de un número complejo z = x+ iy se tiene:
z = reiθ, n = 0,±1,±2, . . .
donde r = |z| y θ = arctan
�y
x
�
. Entonces:
zn = rneinθ, n = 0,±1,±2, . . . ,
en el caso particular r = 1, mediante la aplicación de la fórmula de Euler se tiene el:
Teorema 1.3 (El teorema de Moivre) Para todo θ y todo entero n se verifica:
(cos θ + i sin θ)n = cos (nθ) + i sin (nθ) .
El teorema de Moivre se emplea para calcular las raíces de un número complejo.
Sea n un entero y
w = z1/n,
entonces claramente z = wn. Empleando la forma polar escribamos:
z = reiθ
w = Reiφ
empleando el teorema de Moivre: wn = Rneinφ. Puesto que z = wn, se debe tener:
Rn = r, nφ= θ + 2kπ, k = 0,±1,±2, . . .
de donde:
R = r1/n, φ =
θ + 2kπ
n
, k = 0,±1,±2, . . .
luego:
w = r1/ne
i
	
θ + 2kπ
n
= r1/n
�
cos
θ + 2kπ
n
+ i sin
θ + 2kπ
n
�
, k = 0,±1,±2, . . .
así hemos probado el siguiente teorema.
1.4. FORMA POLAR Y EL ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO 21
Teorema 1.4 Si n es un entero positivo, la raíz n− ésima de z = reiθ está dado por
z1/n = r1/n
�
cos
θ + 2kπ
n
+ i sin
θ + 2kπ
n
�
,
para k = 0,±1,±2, . . . .
Observación. Solamente son distintas n raíces, más concretamente
si k = 0 : z0 = r1/n
�
cos
θ
n
+ i sin
θ
n
�
si k = 1 : z1 = r1/n
�
cos
θ + 2π
n
+ i sin
θ + 2π
n
�
...
si k = n− 1 : zn−1 = r1/n
�
cos
θ + 2 (n− 1)π
n
+ i sin
θ + 2 (n− 1)π
n
�
para k = n, se tiene
zn = r
1/n
�
cos
θ + 2nπ
n
+ i sin
θ + 2nπ
n
�
= r1/n (cos (θ + 2π) + i sin (θ + 2π))
= r1/n (cos (θ) + i sin (θ))
= z0.
zn+1 = z1, y así sucesivamente.
Observación. Puesto que
����
�
cos
θ + 2kπ
n
+ i sin
θ + 2kπ
n
����� = 1, cada raíz tiene el mismo módulo
r1/n, esto quiere decir que las raíces se encuentran en una circunferencia centrada en el origen y radio
r1/n.
Ejemplo 1.4 Determinaremos las raíces cuartas de z = 1− i.
En la forma polar z = 21/2
�
cos
�
−π
4
�
+ i sin
�
−π
4
��
, por tanto las raíces cuartas están dadas
por:
z1/4 = 21/8

cos


−π
4
+ 2kπ
4

+ i sin


−π
4
+ 2kπ
4



 , k = 0, 1, 2, 3.
z0 = 2
1/8

cos


−π
4
+ 2 (0)π
4

+ i sin


−π
4
+ 2 (0)
4



 ≈ 1. 0696− 0. 2128i
z1 = 2
1/8

cos


−π
4
+ 2 (1)π
4

+ i sin


−π
4
+ 2 (1)π
4



 ≈ 0. 2128 + 1. 0696i
z2 = 2
1/8

cos


−π
4
+ 2 (2)π
4

+ i sin


−π
4
+ 2 (2)π
4



 ≈ −1. 0696 + 0. 2128i
22 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS
z3 = 2
1/8

cos


−π
4
+ 2 (3)π
4

+ i sin


−π
4
+ 2 (3)π
4



 ≈ −0. 2128− 1. 0696i
Las raíces se muestran en la siguiente figura. Nótese que las raíces forman los vértices de un cuadrado.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0z
1z
3z
2z
x
y
Ejemplo 1.5 Determinaremos las raíces quintas de z = −8 + 6i
Un argumento se calcula de tan θ =
6
8
en el segundo cuadrante, luego θ = π − arctan
�
6
8
�
=
2. 4981; por otra parte el módulo es r = |8− 6i| = 10, luego:
z = 10
�
cos
�
π − arctan
�
6
8
��
+ i sin
�
π − arctan
�
6
8
���
Ahora calculamos las raíces quintas:
z1/5 = 101/5

cos


π − arctan
�
6
8
�
+ 2kπ
5

+ i sin


π − arctan
�
6
8
�
+ 2kπ
5



 , k = 0, 1, 2, 3, 4
z0 = 10
1/5

cos


π − arctan
�
6
8
�
5

+ i sin


π − arctan
�
6
8
�
5



 ≈ 1. 3912 + 0. 7593i
z1 = 10
1/5

cos


π − arctan
�
6
8
�
+ 2π
5

+ i sin


π − arctan
�
6
8
�
+ 2π
5



 ≈ −0. 29225 + 1. 5577i
z2 = 10
1/5

cos


π − arctan
�
6
8
�
+ 4π
5

+ i sin


π − arctan
�
6
8
�
+ 4π
5



 ≈ −1. 5718 + 0. 2034i
1.4. FORMA POLAR Y EL ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO 23
z3 = 10
1/5

cos


π − arctan
�
6
8
�
+ 6π
5

+ i sin


π − arctan
�
6
8
�
+ 6π
5



 ≈ −0. 6792− 1. 4319i
z4 = 10
1/5

cos


π − arctan
�
6
8
�
+ 8π
5

+ i sin


π − arctan
�
6
8
�
+ 8π
5



 ≈ 1. 1520− 1. 0884i
La raíces son los vértices de un péntágono regular, como se ve en el siguiente gráfico.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0z
1z
2z
3z
4z
Ejercicios propuestos
1. Probar que arg (z1/z2) = arg (z1)− arg (z2)
2. Probar que si r > 0, entonces arg (rz) = arg (z)
3. Determinar el valor principal de los siguientes números, escriba su forma polar.
(a) −4 + 3i
(b) 1− i
4. Pruebe la identidad de Lagrange:
n�
k=0
cos (kθ) =
1
2
+
sin ((n+ 1/2) θ)
2 sin (θ/2)
Sugerencia. emplear la identidad 1 + z + z2 + · · ·+ zn = 1− z
n+1
1− z y las identidades
cos (x+ y) = cosx cos y − sinx sin y
cosx− cos y = 2
�
sin 12 (x+ y) sin
1
2 (y − x)
�
.
24 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS
5. Escriba cos (4θ) y sin (4θ) en términos de potencias de cosθ y sin θ. Sol. cos (4θ) = cos4 θ −
6 cos2 θ sin2 θ + sin4 θ , sin (4θ) =
�
4 cos3 θ sin θ − 4 cos θ sin3 θ
�
6. Resolver: z2 + i
√
32z − 6i = 0. Sol. 1 + 3i− 2i
√
2, −1− 3i− 2i
√
2
7. Resolver: z3 + 4− i4
√
3 = 0. Sol. 1. 5321 + 1. 2856i, −1. 8794 + 0. 68404i, 0.3473− 1.9696i
8. Resolver: z3 = 8i. Sol.
√
3 + i, −
√
3 + i, −2i.
9. Calcular
�
1−
√
3i
�1/2
. Sol. ±
√
3− i√
2
.
10. Hallar las cuatro raíces de z4 + 1 = 0 y usarlas para factorizar z4 + 1. Sol. Raíces:
√
2
2 +
√
2
2 i,√
2
2 −
√
2
2 i, −
√
2
2 +
√
2
2 i, −
√
2
2 −
√
2
2 i. Factorización:
�
z2 +
√
2z + 1
� �
z2 −
√
2z + 1
�
.
11. Hallar las seis raíces de z6 + 1 = 0, Sol. 12
√
3 + 12i,
1
2
√
3− 12i, −12
√
3 + 12i, −12
√
3− 12i, −i, i.
12. Resolver: z2 = i, z2 = −i, z2 = 12−i
√
2
2 . Sol. ±
√
2
2 (1 + i) ,±
√
2
2 (1− i) ,±12
��√
3 + 1−
�√
3− 1i
�
13. Resolver:
z4/3 + 2i = 0
Sol. 23/4e−i3π/8, 23/4ei9π/8, 23/4ei21π/8, 23/4ei33π/8.
––––––––MATLAB––––––––
%Raices.m
%Calcula y grafica las raíces de un polinomio
clc
z=double(solve(’z^6-1.0’));
tamano=size(z);
n=tamano(1);
%Cálculo de la raíz de mayor módulo
r=abs(z(1));
for i=2:n
if abs(z(i))>r
r=abs(z(i));
end
end
%
t = 0 : .1 : 2 * pi;
polar(t, r+0*t);
hold on
%se grafican las raíces con un asterisco
for i=1:n
x=real(z(i));
y=imag(z(i));
w=complex(x,y);
plot(w,’*’)
end
1.5. CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS 25
hold off
%Se imprimen las raíces
fprintf(’________________________________________ \n’)
fprintf(’ No. real imaginaria módulo\n’)
fprintf(’________________________________________ \n’)
for i=1:n
fprintf(’%2.0f %10.4f %10.4f %10.4f \n’,i,real(z(i)),imag(z(i)),abs(z(i)))
end
fprintf(’________________________________________ \n’)
–––––––––––––––––––––
1.5 Conjuntos abiertos y cerrados
Definición 1.5 (ǫ-vecindad)Sea ǫ > 0, un conjunto de la forma
V = {z ∈ C : |z − a| < ǫ}
se llama ǫ-vecindad de centro a y radio ǫ.
ε
a
Definición 1.6 (Conjunto abierto) Un conjunto A ⊂ C se dice abierto si para todo a ∈ A existe
ǫ-vecindad de centro a totalmente contenida en A.
Ejemplo 1.6 Considérese el conjunto
A = {x+ iy : x > 0, y > 0, 2x+ y < 4}
se puede ver que este conjunto es abierto. Nótese que la región es el interior de un triángulo, esto
es, no contiene su borde.
x
y
1 2 3 4
1
2
3
42 =+ yx
Definición 1.7 (Conjunto cerrado) Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto.
26 CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS
Ejercicios
Graficar los siguientes conjuntos indicar si son cerrados o abiertos
1. A = {z : |z − i|+ |z + i| ≥ 1} . Sol. Cerrado
2. A = {x+ iy : x > 1, y < 0, x− 3y < 1} . Sol. Abierto
3. A = {x+ iy : 1 < |z| ≤ 4} . Sol. No abierto ni cerrado
4. A = {x+ iy : |z| ≤ 4, x+ y ≥ 2} . Sol. Cerrado
Capítulo 2
Funciones complejas de variable
compleja
2.1 Funciones
Una función de la forma f : Df ⊂ C→ C se llama función compleja de variable compleja, si mediante
la función f el número complejo x+ iy se transforma en u+ iv, entonces escribiremos
f (x+ iy) = u+ iv,
es claro que u y v son funciones reales en las variables x, y, es decir:
u = u (x, y) , v = v (x, y) ,
como es usual Df es el dominio de f. Por otra parte el rango de f es el conjunto de todas las
imágenes, esto es, Rf = {f (z) : z ∈ Df} .
x
y
u
v
f
Dominio
Rango
yix +
viu +
Ejemplo 2.1 Sea f (z) = z2, entonces:
f (x+ iy) = (x+ iy)2
=
�
x2 − y2
�
+ i (2xy)
27
28 CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA
por tanto:
u (x, y) = x2 − y2
v (x, y) = 2xy
Ejemplo 2.2 Sea f (z) = |z|2 , entonces:
f (x+ iy) = |x+ iy|2
= x2 + y2
luego:
u (x, y) = x2 + y2
v (x, y) = 0.
2.2 Transformaciones
Puesto que una función compleja f transforma números x+ iy en números u+ iv, a ésta función se
llama también transformación o aplicación.
Ejemplo 2.3 Consideremos la función f (z) = z2. Determinaremos la región en el cual se transforma
el conjunto
D = {x+ iy : y = x+ 1,−∞ < x <∞} ,
para esto ya sabemos que u = x2 − y2, v = 2xy. Puestoque y = x+ 1 se tiene:
u = x2 − (x+ 1)2 = −2x− 1
v = 2x (x+ 1) = 2x2 + 2x,
de la primera ecuación se obtiene x =
u+ 1
−2 , reemplazando en la segunda ecuación se encuentra:
v = 2
�
u+ 1
−2
�2
+ 2
�
u+ 1
−2
�
=
1
2
�
u2 − 1
�
,
es decir: v =
1
2
�
u2 − 1
�
. Por otra parte, puesto que −∞ < x <∞,entonces −∞ < −2x− 1 <∞,es
decir −∞ < u <∞. Por tanto la recta D se transforma en la parábola:
�
u+ iv : v =
1
2
�
u2 − 1
�
,−∞ < u <∞
�
.
2.2. TRANSFORMACIONES 29
nótese que f (−1 + 0i) = 1 y f (0 + i) = −1
x
y
u
1
v
01− 1− 1
1
5.1
22−
1
2
Ejemplo 2.4 Nuevamente consideremos la función f (z) = z2. Determinaremos la región del plano
uv en la cual se transforma la franja horizontal:
D = {x+ iy : 0 ≤ x <∞, 0 ≤ y ≤ 1}
que se muestra en la figura:
x
y
31 2
1=y
0=y
0=x
1 A B
O
C
u
v
210-1
2
1
para este propósito calcularemos los puntos u+ iv en las cuales se transforman los puntos x+ iy que
corresponden a las fronteras de la región D. Recordemos que la transformación está dada por:
u = x2 − y2
v = 2xy
Semirecta AB : En este caso y = 1, 0 ≤ x <∞. Empleando la transformación dada se encuentra:
u = x2 − 1
v = 2x,
de donde,
v2 = 4 (u+ 1)
30 CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA
que es una parábola. Puesto que x = v/2 y 0 ≤ x < ∞, se deduce 0 ≤ v < ∞. esto
da la variación de v. Para calcular la variación de u, notemos que si 0 ≤ x < ∞, entonces
−1 ≤ x2 − 1 <∞, puesto que u = x2 − 1 se tiene 0 ≤ u <∞.
Semirecta OC : En este caso y = 0, 0 ≤ x <∞. Empleando la transformación dada se encuentra:
u = x2
v = 0,
puesto que 0 ≤ x < ∞, 0 ≤ x2 < ∞, luego 0 ≤ u < ∞, por tanto la semirecta OC se
transforma en la semirecta dada por:
v = 0, 0 ≤ u <∞
Segmento OA : x = 0, 0 ≤ y ≤ 1. Aplicando la transformación se encuentra:
u = −y2
v = 0
puesto que 0 ≤ y ≤ 1, se tiene −1 ≤ −y2 ≤ 0, por tanto −1 ≤ u ≤ 0, por tanto el segmento
0A se transforma en el segmento dado por:
v = 0, −1 ≤ u ≤ 0
Ejemplo 2.5 Se llaman trasformaciones de Mobius a las funciones de la forma:
f (z) =
az + b
cz + d
donde ad − cz �= 0. El siguiente código Matlab muestra las líneas en que se transforman líneas
horizontales y verticales para la función f (z) =
4z + 2
2z + 3
.
Comentario. Estas gráficas siembre son extrañas
––––––––MATLAB––––––––
%Ejemplo3.m
%Dibuja rectas paralelas a los ejes y sus correspondientes imágenes
%mediante la función w=f(z)
clc
clear all
salto=0.05;
a=-1; b=1; %Intervalo [a,b]
c=-1; d=1; %Intervalo [c,d]
x=a:salto:b; %Partición del intervalo [a,b]
y=c:salto:d; %Partición del intervalo [c,d]
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=complex(X,Y); %Conversión a complejo z=x+iy
W=(4*Z+2)./(2*Z+3);
subplot(2,1,1)
plot(Z,’b’)
2.2. TRANSFORMACIONES 31
hold on
plot(transpose(Z),’r’)
title(’Plano z’)
xlabel(’eje x’)
ylabel(’eje y’)
hold off
%Gráfica de la imagen
subplot(2,1,2)
plot(W,’b’)
hold on
plot(transpose(W),’r’)
title(’Plano w’)
xlabel(’eje u’)
ylabel(’eje v’)
hold off
–––––––––––––––––––––
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Plano z
eje x
ej
e 
y
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-2
-1
0
1
2
Plano w
eje u
e
je
 v
Ejercicios propuestos
En los siguientes problemas, debe también graficar los contornos de la región D empleando MatLab.
1. Considere el triángulo D de vértices (0, 0) , (2, 2) y (2,−2) y la función f (z) = z2+z. Calcular
f (D) . Sol. Región limitada por tres parábolas.
2. Muestre que f (z) =
1
2
�
z +
1
z
�
transforma la circunferencia |z| = r sobre una elipse con focos
1 y −1 en el plano w.
3. Considere f (z) = z − 1
z
, sea D la región del primer cuadrante entre las circunferencias dadas
por 1 ≤ |z| ≤ 2. Sol. La cuarta parte de una elipse.
32 CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA
4. Sea f (z) = z2. Determinar la región del plano uv en la cual se transforma la región:
(a)
D = {x+ iy : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y <∞}
(b) triangular limitada por y = ±x, x = 1.
Sol. (a) Región limitada por una parábola y una semirecta en el primer y segundo cuadrantes.
(b) Región limitada por una parábola y un segmento de recta en el primer y cuarto cuadrantes.
5. Sea f (z) = z +
1
z
. Determinar la región del plano uv en la cual se transforma la región:
(a) dada por y ≥ 0 y |z| ≥ 1.
(b) dada por |z| ≥ 1
(c) dada por 1 ≤ |z| ≤ 2 y y ≥ 0.
Sol. (a) Semiplano v ≥ 0. (b) Todo el plano. (c) Región semielipsoidal.
6. Determinar la región en la cual se convierte
D =
�
x+ iy :
π
2
≤ x ≤ π, π ≤ y ≤ 2π
�
mediante la transformación f (z) = ez. Sol. Cuña limitada por dos semicircunferencias y dos
semirectas.
2.3 Límites
2.3.1 La definición de límite
Sea f una función de la forma f : Df ⊂ C→ C, se dice que lim
z→z0
f (z) = w0 si dado ǫ > 0 existe
δ > 0 tal que
0 < |z − z0| < δ entonces |f (z)−w0| < ǫ
que puede interpretar como: “si z está cerca de z0 entonces f (z) está cerca de w0 ”. gráficamente:
x
y
u
v
0z
0w
δ ε
z ( )zf
f
2.3. LÍMITES 33
Ejemplo 2.6 Probaremos que
lim
z→(1+i)
�
z2 − 1
�
= −1 + 2i
Hagamos f (z) = z2 − 1, z0 = 1+ i, w0 = −1 + 2i. Sea ǫ > 0, entonces:
|f (z)−w0| =
���(x+ iy)2 − 1− (−1 + 2i)
���
=
��x2 − y2 + i (2xy − 2)
��
≤
��x2 − y2
��+ |2xy − 2|
= |(x+ 1) (x− 1)− (y + 1) (y − 1)|+ |y (x− 1) + (y − 1)|
< (|x|+ 1) |x− 1|+ (|y|+ 1) |y − 1|+ |y| |x− 1|+ |y − 1|
nos restringimos a los números z del siguiente conjunto
D = {z : |z − (1 + i)| < 1} , ←
�
ǫ− vecindad de centro
(1, 1) y radio 1
de esto concluimos que
|x− 1| < 1, |y − 1| < 1
lo que a su vez significa:
|x| < 2, |y| < 2,
luego:
|f (z)−w0| < (2 + 1) |x− 1|+ (2 + 1) |y − 1|+ 2 |x− 1|+ |y − 1|
= 3 |x− 1|+ 3 |y − 1|+ 2 |x− 1|+ |y − 1|
finalmente si |z − (1 + i)| < δ entonces |x− 1| < δ y |y − 1| < δ por tanto_
|f (z)−w0| < 3δ + 3δ + 2δ + δ = 9δ,
De esto deducimos que si δ = min
�
1,
ǫ
9
�
se tiene:
|z − z0| < δ implica |f (z)−w0| < ǫ
Observación. Con ǫ = 3, se tiene δ =
1
3
.
Teorema 2.1 (Unicidad del límite). Si el límite existe, este es único.
2.3.2 El límite de funciones complejas como el límite de funciones reales
Teorema 2.2 Sea z = x+ iy, z0 = x0 + iy0, y f (z) = u (x, y) + iv (x, y) , entonces:
lim
z→z0
f (z) = u0 + iv0
si y solamente si
lim
(x,y)→(x0,y0)
u (x, y) = u0 y lim
(x,y)→(x0,y0)
v (x, y) = v0
34 CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA
Este teorema permite el cálculo del límite de una función compleja como los límites de funciones
a varias variables que se estudian en cálculo.
Ejemplo 2.7 Calcularemos el límite:
lim
z→(1+i)
�
z2 − 1
�
para esto, nótese que f (z) = z2 − 1 se escribe como:
f (z) = (x+ iy)2 − 1
=
�
x2 − y2 − 1
�
+ i (2xy)
= u (x, y) + iv (x, y) ,
puesto que
lim
(x0,y0)→(1,1)
�
x2 − y2 − 1
�
= 12 − 12 − 1 = −1
lim
(x0,y0)→(1,1)
(2xy) = 2 (1) (1) = 2
por tanto:
lim
z→(1+i)
�
z2 − 1
�
= −1 + 2i
2.3.3 Teoremas sobre límites
Teorema 2.3 Supóngase que
lim
z→z0
f (z) = w0 y lim
z→z0
g (z) = w1,
entonces:
lim
z→z0
(f (z) + g (z)) = lim
z→z0
f (z) + lim
z→z0
g (z) = w0 +w1
lim
z→z0
(f (z)− g (z)) = lim
z→z0
f (z)− lim
z→z0
g (z) = w0 −w1
lim
z→z0
(f (z) g (z)) = lim
z→z0
f (z) lim
z→z0
g (z) = w0w1
lim
z→z0
�
f (z)
g (z)
�
=
limz→z0 f (z)
limz→z0 g (z)
=
w0
w1
, w1 �= 0.
2.3.4 Límites en el infinito
Si al plano complejo se le añade el punto del infinito (∞), este se llama plano complejo exten-
dido. Para precisar este concepto usualmente se emplea la siguiente identificación. Supóngase que
se tiene una esfera y que el plano complejo pasa por su ecuador. Sea N el polo norte, P un punto
de la esfera y z el punto del plano que se obtiene intersectando la recta que pasa por N y P con
el plano complejo. Se puede ver que a cada punto de la esfera, excepto el punto N, le corresponde
exactamente un punto en el plano complejo, recíprocamente, a cada punto del plano complejo le co-
rresponde exactamente un punto de la esfera. Haciendo corresponder el ∞ con el punto N tenemos
una correspondencia uno a uno entre la esfera y el plano complejo extendido. La esfera se llama
esfera de Rieman y la correspondencia proyección estereográfica.2.4. CONTINUIDAD 35
z
N
P
O
Con la noción de infinito se pueden discutir límites como:
lim
z→z0
f (z) =∞ o lim
z→∞
f (z) = w0
El significado de estos límites es el siguiente:
• limz→z0 f (z) = ∞ significa que para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |z − z0| < δ,
entonces
|f (z)| > 1
ǫ
• limz→∞ f (z) = w0 significa que para todo ǫ > 0, existe M > 0 tal que si |z| > M entonces
|f (z)−w0| < ǫ.
Propiedad:
lim
z→z0
f (z) =∞ si y solamente si lim
z→z0
1
f (z)
= 0
2.4 Continuidad
Una función f (z) es continua en z0 si:
(a) f (z0) existe
(b) lim
z→z0
f (z) = f (z0)
Teorema 2.4 Una función de variable compleja f (z) es continua en z = x0 + i y0 si y solamente si
las funciones u = u (x, y) y v = v (x, y) son continuas en (x0, y0) , donde f (z) = u (x, y) + i v (x, y) .
Ejemplo 2.8 La función f (z) = exy + i
�
x2y + cosx
�
es continua en todo el plano complejo pues
u (x, y) = exy y v (x, y) = x2y + cosx son continuas en todo (x, y) ∈ R2.
36 CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA
2.5 Derivadas
2.5.1 La definición de derivada
Sea f una función definida en un intervalo abierto U. La derivada de f en z ∈ U , denotada por
f ′ (z) , es
lim
h→0
f (z + h)− f (z)
h
siempre que tal límite exista.
Ejemplo 2.9 Sea f (z) = z3. entonces:
f ′ (z) = lim
h→0
f (z + h)− f (z)
h
= lim
h→0
(z + h)3 − z3
h
= lim
h→0
(z + h)3 − z3
h
= lim
h→0
3z2h+ 3zh2 + h3
h
= lim
h→0
�
3z2 + 3zh+ h2
�
= 3z2
Observación. Si f ′ (z) existe, se dirá que f es diferenciable en z, más aún si f ′ (z) existe para
todo z ∈ A, se dirá que f es diferenciable en A.
2.5.2 Teoremas sobre la derivada
Teorema 2.5 Sean f, g funciones diferenciables en z y c una constante, entonces:
(c)′ = 0
(zn)′ = nzn−1
(f (z) + g (z))′ = f ′ (z) + g′ (z)
(f (z)− g (z))′ = f ′ (z)− g′ (z)
(f (z) g (z))′ = f ′ (z) g (z) + f (z) g′ (z)
�
f (z)
g (z)
�′
=
f ′ (z) g (z)− f (z) g′ (z)
(g (z))2
, g (z) �= 0
Teorema 2.6 (Regla de la cadena) Si g es diferenciable en z y f es diferenciable en g (z) ,
entonces la función compuesta f ◦ g es diferenciable en z, más aún
(f ◦ g)′ (z) = f ′ (g (z)) g′ (z) .
2.5. DERIVADAS 37
2.5.3 Las ecuaciones de Cauchy-Rieman
Sea f (x+ iy) = u (x, y) + iv (x, y) , las ecuaciones:
∂u
∂x
=
∂v
∂y
∂u
∂y
= −∂v
∂x
se llaman ecuaciones de Cauchy-Rieman.
El siguiente teorema es una condición necesaria pero no suficiente para la existencia de la derivada
de una función. Su forma contrapositiva nos permite descubrir los puntos donde una función no es
diferenciable.
Condición necesaria para la existencia de la derivada
Teorema 2.7 Sea f (x+ iy) = u (x, y) + iv (x, y) . Supóngase que f ′ (x0 + iy0) existe, entonces las
primeras derivadas parciales de u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Rieman en (x0, y0) . Más
aún, en este caso:
f ′ (x0 + iy0) =
∂u (x0, y0)
∂x
+ i
∂v (x0, y0)
∂x
.
Observación. En su forma contrapositiva, el teorema anterior diría:
“Si las ecuaciones de Cauchy-Rieman no se cumplen
en (x0, y0) entonces f ′ (x0 + iy0) no existe”.
Ejemplo 2.10 Considere la función f (z) = z3. Observemos que
f (z) = (x− iy)3
=
�
x3 − 3xy2
�
+ i
�
−3x2y + y3
�
de donde u (x, y) = x3 − 3xy2 y v (x, y) = −3x2y + y3.
∂u
∂x
= 3x2 − 3y2,
∂v
∂y
= −3x2 + 3y2,
∂u
∂y
= −6xy,
−∂v
∂x
= 6xy
por tanto no se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Rieman salvo para x = y = 0. Luego f (z) = z3
no es diferenciable en ningún punto distinto de cero.
Condición suficiente para la existencia de la derivada
Teorema 2.8 Sea f (x+ iy) = u (x, y)+iv (x, y) definida en un ǫ−vecindad de x0+iy0. Supóngase
que:
38 CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA
1. las primeras derivadas parciales de u y v existen en toda la ǫ − vecindad y son continuas en
(x0, y0) .
2. las ecuaciones de Cauchy- Rieman se satisfacen en (x0, y0) .
Entonces f ′ (x0 + iy0) existe.
Ejemplo 2.11 Consideremos nuevamente la función f (z) = z3 =
�
x3 − 3xy2
�
+ i
�
−3x2y + y3
�
,
claramente las primeras derivadas parciales de u y v existen en todas partes, más aún son continuas,
además las derivadas satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Rieman en 0+0i, entonces f es diferenciable
en z = 0 + 0i, finalmente:
f ′ (0 + 0i) =
∂u (0, 0)
∂x
+ i
∂v (0, 0)
∂x
= 0 + i0
Ejercicios propuestos
1. En las siguientes funciones, determine los puntos z en donde la condición necesaria de existencia
de la derivada muestra que f ′ (z) no existe.
(a) f (z) = z + 2− 3i. Sol. C
(b) f (z) = e−x+2 + iy. Sol. C
(c) f (z) = ex (cos y + i sin y) . Sol. ∅
(d) f (z) = 2x2y + i2xy2. Sol. C−{0 + 0i}
(e) f (z) = |z|2 . Sol. C−{0 + 0i}
(f) f (z) = 2x5 + i (1− 2y)5 . Sol. C−{i/2}
2. Emplear las condiciones necesarias y suficientes para determinar la derivada de las siguientes
funciones en los puntos en donde exista.
(a) f (z) = |z|2 . Sol. f ′ (0 + 0i) = 0
(b) f (z) =
1
z − 3i . Sol. f
′ (z) = − 1
(z − 3i)2
, z �= 3i.
(c) f (z) = e3x+3iy. Sol. f ′ (z) = 3e3x cos 3y + i3e3x sin 3y = 3e3x+i3y
(d) f (z) = (Re z + 2)2+i (Im z + 4)2 . Sol. f ′ (z) = 2 (x+ 2) , en el conjunto {z = x+ iy : y = x− 2}
2.6 Funciones analíticas, enteras y armónicas
2.6.1 Funciones analíticas
Definición 2.9 (Función analítica) Una función es analítica en un conjunto abierto U si tiene
derivada en todo punto de ese conjunto. La función es analítica en un punto si es analítica en un
conjunto abierto que contiene el punto.
2.6. FUNCIONES ANALÍTICAS, ENTERAS Y ARMÓNICAS 39
Ejemplo 2.12 f (z) = 1z−i es analítica en todo z �= i.
Ejemplo 2.13 f (z) = |z|2 no es analítica en ningún punto.
2.6.2 Funciones enteras
Definición 2.10 (Funcion entera) Una función es entera si es analítica en todo el plano complejo.
Ejemplo 2.14 Todo polinomio es una función entera.
Definición 2.11 (Punto singular) Si una función no es analítica en un punto z0, pero analítica
en una ǫ− vecindad de z0, se dirá que z0 es un punto singular de f.
Ejemplo 2.15 f (z) =
1
z2 + 1
tiene puntos singulares en z = ±i.
2.6.3 Funciones armónicas
Definición 2.12 (Función armónica) Una función real ϕ (x, y) es armónica en algún dominio si
se satisface la ecuación de Laplace:
∂2ϕ (x, y)
∂x2
+
∂2ϕ (x, y)
∂y2
= 0.
es usual definir el operador de Laplace como
△ =
�
∂
∂x
�2
+
�
∂
∂y
�2
,
entonces la ecuación de Laplace toma la forma:
△ϕ = 0
Teorema 2.13 La parte real y la parte compleja de una función analítica son armónicas.
Ejemplo 2.16 Considere f (z) =
1
z
, esta función es analítica en todo z �= 0+ 0i.
f (z) =
1
x+ iy
=
x− iy
x2 + y2
=
x
x2 + y2
+ i
−y
x2 + y2
por tanto para (x, y) �= (0, 0) , las funciones
u (x, y) =
x
x2 + y2
v (x, y) =
−y
x2 + y2
deben ser armónicas, en efecto:
∂u (x, y)
∂x
= − x
2 − y2
(x2 + y2)2
,
∂2u (x, y)
∂x2
=
2x
�
x2 − 3y2
�
(x2 + y2)3
40 CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA
∂u (x, y)
∂y
=
−2xy
(x2 + y2)2
,
∂2u (x, y)
∂y2
=
−2x
�
x2 − 3y2
�
(x2 + y2)3
luego:
∂2u (x, y)
∂x2
+
∂2u (x, y)
∂y2
= 0.
La prueba de que v es armónica es análoga.
Definición 2.14 (Armónica conjugada) Sean u y v funciones armónicas en un dominio D tales
que sus derivadas parciales satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Rieman.en el dominio D, en tal caso
diremos v es armónica conjugada de u.
Observación. La propiedad ser armónica conjugada no es conmutativa, es decir, si v es armónica
conjugada de u, no es cierto, en general, que u sea armónica conjugada de v.
Teorema 2.15 Sea f (z) = u (x, y) + iv (x, y) . f es analítica en un dominio D si y solamente si v
es armónica conjugada de u.
Es posible determinar la armónica conjugada a partir de una armónica dada.
Ejemplo 2.17 Sea u (x, y) = 3xy, claramente es armónica. Si v es armónica conjugada de u,
entonces
∂u
∂x
=
∂v
∂y
y
∂u
∂y
= −∂v
∂x
entonces:
∂v
∂y
= 3y ...................................(1)
∂v
∂x
= −3x ...................................(2)
de (1) v (x, y) = 32y
2 + g (x) , combinando este resultado con (2) se encuentra:
g′ (x) = −3x
de donde g (x) = −32x2 +C. Por tanto
v (x, y) =
3
2
y2 − 3
2
x2 +C
es la armónica conjugada de u (x, y).
Observación. Nótese que con x = 12 (z + z) y y =
1
2i (z − z) entonces la función
f (z) = u (x, y) + iv (x, y)
= 3xy + i
3
2
�
y2 − x2
�
2.7. FUNCIONES ELEMENTALES 41
=
3
4i
(z + z) (z − z) + i3
8
�
− (z − z)2 − (z + z)2
�
=
3
4i
�
z2 − z2
�
+ i
3
8
�
−z2 + 2zz − z2 − z2 − 2zz − z2
�
= −i3
4
�
z2 − z2
�
− i3
4
�
z2 + z2
�
= −i3
2
z2
es analítica.
Ejercicios propuestos
1. Sea ∆ =
�
∂
∂x
�2
+
�
∂
∂y
�2
. Pruebe que
∆ = 4
∂
∂z
∂
∂z
2. Encuentre una función analítica cuya parte real es
(a) u (x, y) = 3x2y − y3. Sol. v = 3xy2 − x3.
(b) u (x, y) = x+
x
x2 + y2
. Sol. v = y +
−y
x2 + y2
.
(c) u (x, y) = x− xy. Sol. v = y − 12y2 + 12x2.
(d) u (x, y) = ln
�
x2 + y2
�
. Sol. v = 2arctan
�y
x
�
.
(e) u (x, y) = 2x (1− y) . Sol. v = x2 − y2 + 2y.
(f) u (x, y) = 2x− x3 + 3xy2. Sol. v = 2y − 3x2y + y3.
2.7 Funciones elementales
2.7.1 Función exponencial
Se define por f (z) = ez. Nótese que
f (x+ iy) = ex (cos y + i sin y)
Propiedades.
1. Para todo z complejo:
d
dz
ez = ez
2. La función exponencial es entera
3. Si z1 y z2 son números complejos:
ez1+z2 = ez1ez2
42 CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA
4. La función exponencial es periódica de periodo 2πi, es decir:
ez+2πi = ez
5. Si z = x+ iy, |ez| = ex, arg(ez) = y + 2kπ, k = 0,±1,±2, . . . , más aún, ez �= 0 para todo z.
6. Las soluciones de
ez = ρeiΦ
son:
z = ln ρ+ i (Φ + 2kπ) , k = 0,±1, 2, . . .
Ejercicios propuestos
1. Probar las anteriores propiedades.
2. Probar: e
2+3πi
4 =
�
e
2
�12
(−1 + i)
3. Resolver:
(a) ez = −9. Sol. ln 9 + i (1 + 2k)π, k = 0,±1,±2, . . .
(b) ez = 1+
√
3 i. Sol. ln 2 + i
�
1
3 + 2k
�
π, k = 0,±1,±2, . . .
(c) e2z−1 = 1. Sol. 12 + kπi, k = 0,±1,±2, . . .
4. Probar que
(a) ez = ez
(b) eiz = eiz si y solamente si z = kπ, k = 0,±1,±2, . . .
(c) Si ez es real entonces Im z = kπ, k = 0,±1,±2, . . .
5. Cuando ez es imaginario puro?
6. Pruebe que ez no es analítica en ningún punto.
2.7.2 Funciones trigonométricas
Se definen como:
sin z = 12i
�
eiz − e−iz
�
cos z = 12
�
eiz + e−iz
�
tan z = sin zcos z
cot z = cos zsin z
sec z = 1cos z
csc z = 1sin z
Propiedades
2.7. FUNCIONES ELEMENTALES 43
1. sin (−z) = − sin z
2. cos (−z) = cos z
3. Empleando las definiciones de las funciones hiperbólicas
sinh t =
1
2
�
et − e−t
�
cosh t =
1
2
�
et + e−t
�
se puede probar:
(a) sin (iy) = i sinh y
(b) cos (iy) = cosh y
4. sin z y cos z son enteras, sus derivadas son
d
dz
sin z = cos z,
d
dz
cos z = − sin z
5. Se satisfacen además otras propiedades usuales.
(a) sin (z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2
(b) cos (z1 + z2) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2
(c) sin2 z + cos2 z = 1
(d) sin 2z = 2 sin z cos z
(e) cos 2z = cos2 z − sin2 z
(f) sin (z + π/2) = cos z
(g) sin (z + 2π) = sin z
(h) cos (z + 2π) = cos z
(i) sin (z + π) = − sin z
(j) cos (z + π) = − cos z
(k) 2 sin z1 cos z2 = sin (z1 + z2) + sin (z1 − z2)
6. sin z = sinx cosh y + i cosx sinh y
7. cos z = cos z cosh y − i sinx sinh y
2.7.3 Funciones hiperbólicas
Se definen:
sinh z = 12 (e
z − e−z)
cosh z = 12 (e
z + e−z)
tanh z = sinh zcosh z
coth z = 1tanh z
sech z = 1cosh z
csch z = 1sinh z
44 CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA
Ejercicios propuestos
1. Probar las anteriores propiedades
2. Resolver:
(a) sin z = cosh 4. Sol.
�
2k + 12
�
π ± 4i, k = 0,±1,±2, . . .
(b) sin 2z = 2
(c) cos z = 2, Sol. 2kπ ± i ln
�
2 +
√
3
�
(d) sin z = 4, Sol. z =
�
π
2 + 2kπ
�
− i ln
�
4±
√
15
�
(e) cos 3z = 9
3. Probar que
(a) −i sinh (iz) = sin z
(b) −i sin (iz) = sinh z
(c) cos (iz) = cosh z
(d) sinh (−z) = − sinh z
(e) cosh (iz) = cosh z
(f) sinh (z1 + z2) = sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2
(g) cosh (z1 + z2) = cosh z1 cosh z2 + sinh z1 sinh z2
4. Resolver
(a) cosh (z) = 1/2, Sol.
�
2k ± 13
�
πi
(b) cosh (4z) = 1/2,
(c) sinh (2z) = i, Sol. i
�
π
4 + πk
�
, k ∈ Z
Capítulo 3
Análisis de Fourier
3.1 Aspectos básicos de la serie de Fourier
3.1.1 Introducción
Funciones periódicas
Se dice que una función f (x) es periódica si existe un número P tal que f (x+ P ) = f (x) , el número
P más pequeño que satisface esta propiedad se llama periodo. Es claro que para todo entero n se
cumple f (x+ nP ) = f (x) .
x
y
Periodo
Ejemplo 3.1 Son funciones periódicas, de periodo 2π, las funciones cos (x) y sin(x) .
Extensión periódica
Definición 3.1 (Extensión periódica) Considérese una función f definida en [−L,L] , definimos
su extensión periódica tomando la gráfica de f en [−L,L) y repitiéndola en cada intervalo de longitud
2L, la funciòn fP definida de esta manera cumple fP (x+ 2L) = fP (x) para todo x ∈R, la función
fP es periódica de periodo 2L.
Ejemplo 3.2 Si f (x) = (x− 1)3 − (x− 1) , x ∈ [0, 2.5] , la gráfica y su extensión periódica se
45
46 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE FOURIER
muestran a continuación.
0
1
2
1 2 2.5
y ( ) ( ) ( )113 −−−= xxxf
0
1
2
1 2 2.5 3.5 4.5 5-1.5 -0.5
y
x
Función extendida periódicamente
Ejercicios
1. Determinar los periodos de las siguientes funciones:
(a) f (x) = sin (ax) . Sol. 2π/a.
(b) f (x) = sin (8x+ 4) .
(c) f (x) = sin (6x) + sin (8x) . Sol. π
(d) f (x) = sin (3πx) + sin (5πx) .
(e) f (x) = sin
�
3
2πx
�
+ 2 cos
�
5
3πx
�
. Sol. 12
(f) f (x) = sin (1.4πx) + 5 sin (0.2πx) + cos (4πx)
2. Pruébese que si f es función par entonces:
� P
−P f (x)dx = 2
� P
0 f (x) dx y si f es impar:� P
−P f (x)dx = 0.
3. Si f es periódica de periodo P, entonces para todo número a :
� P
0
f (x) dx =
� P+a
a
f (x) dx
4. Sea P el periodo de f (x) = cos (ax) + sin (bx) , probar que existen enteros m,n tales que
a
b =
m
n .
5. Pruebe que f (x) = cos (t) + sin (1 + π) t no es periódica. (Sug. Emplee la conclusión del
ejercicio anterior)
3.1. ASPECTOS BÁSICOS DE LA SERIE DE FOURIER 47
Ortogonalidad de funciones exponenciales complejas
Teorema 3.2 Considérese el conjunto
�
ei2πnx/P : n entero
�
,
entonces se verifica:
1
P
� P
0
ei2πmx/P e−i2πnx/Pdx =
�
0 m �= n
1 m = n
Demostración. Si n �= m, entonces:
1
P
� P
0
ei2πmx/P e−i2πnx/Pdx =
1
P
� P
0
ei2π(m−n)x/Pdx
=
1
P
P
i2π (m− n)e
i2π(m−n)x/P
����
P
0
=
1
i2π (m− n)
�
ei2π(m−n) − 1
�
= 0
Si m = n :
1
P
� P
0
ei2πmx/P e−i2πnx/Pdx =
1
P
� P
0
dx = 1.
�
Ortogonalidad de las funciones seno y coseno
Nótese que:
ei2πmx/P e−i2πnx/P =
�
cos
2πmx
P
+ i sin
2πmx
P
��
cos
2πnx
P
− i sin 2πnx
P
�
= cos
2πmx
P
cos
2πnx
P
+ sin
2πmx
P
sin
2πnx
P
+i
�
sin
2πmx
P
cos
2πnx
P
− cos 2πmx
P
sin
2πnx
P
�
,
esto motiva el cálculo de las siguientes integrales:
1
P
� P
0
�
cos
2πmx
P
cos
2πnx
P
�
dx
1
P
� P
0
�
sin
2πmx
P
sin
2πnx
P
�
dx
1
P
� P
0
�
sin
2πmx
P
cos
2πnx
P
�
dx
1
P
� P
0
�
cos
2πmx
P
sin
2πnx
P
�
dx
48 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE FOURIER
un cálculo elemental da:
2
P
� P
0
�
cos
2πmx
P
cos
2πnx
P
�
dx =
�
0 n �= m
1 n = m
2
P
� P
0
�
sin
2πmx
P
sin
2πnx
P
�
dx =
�
0 n �= m
1 n = m
1
P
� P
0
�
sin
2πmx
P
cos
2πnx
P
�
dx = 0, para todo m,n
que puede escribirse también como:
� P
0
�
cos
2πmx
P
cos
2πnx
P
�
dx =
�
0 n �= m
P
2 n = m� P
0
�
sin
2πmx
P
sin
2πnx
P
�
dx =
�
0 n �= m
P
2 n = m� P
0
�
sin
2πmx
P
cos
2πnx
P
�
dx = 0, para todo m,n
Observación. La propiedad de ortogonalidad de las anteriores funciones se extiende a cualquier
intervalo [d, d+ P ], es decir:
1
P
� d+P
d
ei2πmx/P e−i2πnx/Pdx =
�
0 m �= n
1 m = n
� d+P
d
�
cos
2πmx
P
cos
2πnx
P
�
dx =
�
0 n �= m
P
2 n = m� d+P
d
�
sin
2πmx
P
sin
2πnx
P
�
dx =
�
0 n �= m
P
2 n = m� d+P
d
�
sin
2πmx
P
cos
2πnx
P
�
dx = 0, para todo m,n
En efecto: Si m �= n :
1
P
� d+P
d
ei2πmx/P e−i2πnx/Pdx =
1
P
� d+P
d
ei2π(m−n)x/Pdx
=
1
P
P
i2π (m− n)e
i2π(m−n)x/P
����
d+P
d
=
1
i2π (m− n)
�
ei2π(m−n)(d+P )/P − ei2π(m−n)d/P
�
=
1
i2π (m− n)
�
ei2π(m−n)d/P ei2π(m−n) − ei2π(m−n)d/P
�
=
1
i2π (m− n)
�
ei2π(m−n)d/P − ei2π(m−n)d/P
�
= 0
3.2. LA SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN 49
Si n = m :
1
P
� d+P
d
ei2πmx/P e−i2πnx/Pdx=
1
P
� d+P
d
dx
= 1
la demostración es análoga para las funciones seno y coseno.
3.2 La serie de Fourier de una función
Supóngase que f es una función definida en [−L,L], supóngase existen números an y bn tales que:
f (x) =
1
2
a0 +
∞�
n=1
an cos
�πnx
L
�
+ bn sin
�πnx
L
�
para x ∈ [−L,L] , más adelante justificaremos este hecho.
3.2.1 Cálculo de las constantes an, bn.
Aplicaremos las propiedades de las integrales de seno y coseno antes mencionadas. Con P = 2L y
d = −L se encuentra:
� L
−L
�
cos
πmx
L
cos
πnx
L
�
dx =
�
0 n �= m
L n = m
� L
−L
�
sin
πmx
L
sin
πnx
L
�
dx =
�
0 n �= m
L n = m
� L
−L
�
sin
πmx
L
cos
πnx
L
�
dx = 0, para todo m,n
más aún: � L
−L
cos
�πmx
L
�
dx =
� L
−L
sin
�πmx
L
�
dx = 0.
• Cálculo de a0. Integramos f (x)
� L
−L
f (x) dx =
� L
−L
	
1
2
a0 +
∞�
n=1
an cos
�πnx
L
�
+ bn sin
�πnx
L
�
dx
=
� L
−L
1
2
a0 dx
= La0
de donde:
a0 =
1
L
� L
−L
f (x) dx.
50 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE FOURIER
• Cálculo de an (n ≥ 1). Integramos f (x) cos
�πnx
L
�
(nótese que precisamente cos
�πnx
L
�
es el
coeficiente de an)
� L
−L
f (x) cos
�πnx
L
�
dx =
� L
−L
	
1
2
a0 +
∞�
m=1
am cos
�πmx
L
�
+ bm sin
�πmx
L
�
cos
�πnx
L
�
dx
=
∞�
m=1
am
� L
−L
cos
�πmx
L
�
cos
�πnx
L
�
dx+
∞�
m=1
bm
� L
−L
sin
�πmx
L
�
cos
�πnx
L
�
dx
= Lan
luego:
an =
1
L
� L
−L
f (x) cos
�πnx
L
�
dx, n = 1, 2, . . .
ésta fórmula es válida para n = 0. {Esto justifica la elección de a0 = 2A0}
• Cálculo de bn. Integramos f (x) sin
�πnx
L
�
(nuevamente nótese que sin
�πnx
L
�
es el coeficiente
de bn)
� L
−L
f (x) sin
�πnx
L
�
dx =
� L
−L
	
1
2
a0 +
∞�
m=1
am cos
�πmx
L
�
+ bm sin
�πmx
L
�
sin
�πnx
L
�
dx
=
∞�
m=1
am
� L
−L
cos
�πmx
L
�
sin
�πnx
L
�
dx+
∞�
m=1
bm
� L
−L
sin
�πmx
L
�
sin
�πnx
L
�
dx
= Lbn
luego:
bn =
1
L
� L
−L
f (x) sin
�πnx
L
�
dx, n = 1, 2, . . .
De todo lo anterior deducimos que una función f se expresa como:
f (x) =
1
2
a0 +
∞�
n=1
�
an cos
πnx
L
+ bn sin
πnx
L
�
donde:
an =
1
L
� L
−L
f (x) cos
�πnx
L
�
dx, n = 0, 1, 2, . . .
bn =
1
L
� L
−L
f (x) sin
�πnx
L
�
dx, n = 1, 2, . . .
3.2. LA SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN 51
Observación importante: los resultados obtenidos siguen siendo válidos en cualquier intervalo
de longitud P de la forma [d, d+ P ] , en tal caso tendremos:
f (x) =
1
2
a0 +
∞�
n=1
�
an cos
2πnx
P
+ bn sin
2πnx
P
�
donde:
an =
2
P
� d+P
d
f (x) cos
�
2πnx
P
�
dx, n = 0, 1, 2, . . .
bn =
2
P
� d+P
d
f (x) sin
�
2πnx
P
�
dx, n = 1, 2, . . .
Con d = −L y P = 2L tendremos los anteriores resultados.
Ejemplo 3.3 Determinaremos la serie de Fourier de la función f (x) = |x| , x ∈ [−π, π] .
a0 =
1
π
� π
−π
|x| dx
=
1
π
�� 0
−π
−xdx+
� π
0
xdx
�
=
1
π
	
−1
2
x2
����
0
−π
+
1
2
x2
����
π
0
=
1
π
�
1
2
π2 +
1
2
π2
�
= π
an =
1
π
� π
−π
|x| cos πnx
π
dx
=
1
π
�� 0
−π
(−x cosnx) dx+
� π
0
(x cosnx) dx
�
=
2 (−1 + (−1)n)
πn2
bn =
1
π
� π
−π
|x| sin πnx
π
dx
=
1
π
�� 0
−π
(−x sinnx)dx+
� π
0
(x sinnx)dx
�
= 0
por tanto la serie de Fourier de f (x) es:
1
2
π +
∞�
n=1
�
2 (−1 + (−1)n)
πn2
�
cosnx
52 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE FOURIER
Más adelante justificaremos porqué podemos escribir:
f (x) =
1
2
π +
∞�
n=1
�
2 (−1 + (−1)n)
πn2
�
cosnx, x ∈ [−π, π] ,
al respecto, debemos dejar en claro los siguientes aspectos:
Observación 1. x debe estar en el intervalo [−π, π] , cuando esto no ocurre la igualdad carece
de sentido, a continuación se muestra un cuadro para ver esta situación:
x 12π +
∞�
n=1
�
2 (−1 + (−1)n)
πn2
�
cosnx f (x)
0.5 0.50003 9 0.5
1.0 1.00003 9 1.0
1.5 1.50004 6 1.5
4.0 2.28311 5 4
4.0− 2π 2.28311 5 2. 28318 5
notemos que evidentemente f (x) = 12π +
∞�
n=1
�
2 (−1 + (−1)n)
πn2
�
cosnx para x ∈ [−π, π] pero no
fuera de este intervalo, sin embargo, la serie tiene las mismas imágenes en 4 y 4− 2π, más adelante
justificaremos que en realidad la serie es periódica, de periodo 2π.
Observación 2. En la práctica, la suma infinita nunca puede realizarse, lo usual es realizar la
siguiente aproximación:
f (x) ≈ 1
2
π +
N�
n=1
�
2 (−1 + (−1)n)
πn2
�
cosnx, x ∈ [−π, π] ,
a continuación mostramos las gráficas para algunos valores de N comparadas con la gráfica de |x|
en [−π, π] .
x 420-2-4
2.5
2
1.5
1
0.5
x 420-2-4
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x 420-2-4
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
x 420-2-4
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1=N
51=N11=N
3=N
Ejemplo 3.4 Consideremos ahora f (x) = x, definida en [−π, π].
3.2. LA SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN 53
a0 =
1
π
� π
−π
x dx
= 0
an =
1
π
� π
−π
(x cos (nx) ) dx
= 0
bn =
1
π
� π
−π
(x sin (nx) )dx
=
1
π
� π
−π
(x sin (nx) )dx
=
1
π
�
sinnx− nx cosnx
n2
�����
π
−π
=
1
π
�−nπ cos (nπ)
n2
− +nπ cos (nπ)
n2
�
=
2 (−1)n+1
n
, {Nótese que cos (nπ) = (−1)n }
por tanto su serie de Fourier es;
f (x) =
∞�
n=1
2 (−1)n+1
n
sin (nx)
Con 20 términos de la serie se tiene: f (x) =
20�
n=1
2 (−1)n+1
n
sin (nx)
420-2-4
3
2
1
0
-1
-2
-3
x
y
π
π−
54 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE FOURIER
Con 50: f (x) =
50�
n=1
2 (−1)n+1
n
sin (nx)
3210-1
-
2
-
3
3
2
1
0
-
1
-
2
-
3
x
y π
π−
––––––––MATLAB––––––––
%function serie(a,b,M);
%[a,b] es el intervalo donde se grafica la serie
%M es extremo superior de la suma
function serie(a,b,M);
h=(b-a)/100; %Paso de la partición
x=a:h:b; %Partición de [a,b]
y=zeros(size(x)); %Imagen inicial
%Se grafica la serie
for n=1:M
y=y+2*(-1)^(n+1)*sin(n*x)/n;
end
y=y;
plot(x,y,’r’)
–––––––––––––––––––––
Ejemplo 3.5 Considere la función f (x) = x2 − x, definida en [0, 1], determinaremos su serie de
Fourier. Notemos que en este caso P = 1.
Cálculo de a0 :
a0 =
2
1
� 1
0
�
x2 − x
�
dx
= −1
3
Cálculo de an.
an =
2
1
� 1
0
��
x2 − x
�
cos (2πnx)
�
dx
=
1
2π2n2
�
4π2n2x2 sin 2πnx− 2 sin 2πnx+ 4πnx cos 2πnx
�
− 12πn (cos 2πnx+ 2πnx sin 2πnx)
2πn
�����
1
0
3.2. LA SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN 55
=
1
2π2n2
(4πn)− 12πn (1)
2πn
− −
1
2πn (1)
2πn
=
1
π2n2
Cálculo de bn.
bn =
2
1
� 1
0
��
x2 − x
�
sin (2πnx)
�
dx
=
1
4π2n2
�
−4π2n2x2 cos 2πnx+ 2 cos 2πnx+ 4πnx sin 2πnx
�
− 12πn (sin 2πnx− 2πnx cos 2πnx)
πn
�����
1
0
=
1
4π2n2
�
−4π2n2 + 2
�
− 12πn (−2πn)
πn
−
1
4π2n2
(2)− 12πn (−2πn)
πn
=
πn sin 2πn+ cos 2πn− 1
2π3n3
= 0
Por tanto:
f (x) =
1
2
a0 +
∞�
n=1
an cos (nωx) + bn sin (nωx)
=
1
2
a0 +
∞�
n=1
an cos (2πnx) + bn sin (2πnx)
= −1
6
+
∞�
n=1
cos (2πnx)
π2n2
Con dos armónicos se encuentra:
f (x) ≃ −16 +
2�
n=1
cos (2πnx)
π2n2
2
0
-1
-2
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
x
y
1
56 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE FOURIER
y con 20 armónicos: f (x, 20) = −16 +
20�
n=1
cos (2πnx)
π2n2
x
y
2
1
0
-1
-2
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
––––––––MATLAB––––––––
%function serie(a,b,M);
%[a,b] es el intervalo donde se grafica la serie
%M es extremo superior de la suma
function serie(a,b,M);
h=(b-a)/100; %Paso de la partición
x=a:h:b; %Partición de [a,b]
y=zeros(size(x)); %Imagen inicial
%Se grafica la serie
for n=1:M
y=y+cos(2*pi*n*x)/(pi^2*n^2);
end
y=y-1/6;
plot(x,y,’r’)
–––––––––––––––––––––
Ejercicios
Hallar las series de Fourier de las siguientes funciones. Suponga que se extiende periódicamente en
R.
1.
f (x) =
�
0 para x ∈ [−3, 0]
x para x ∈ [0, 3]
Sol. 34 +
∞�
n=1
�
3
n2π2 [(−1)
n − 1] cos
�
nπx
3
�
+ 3nπ (−1)
n+1 sin
�
nπx
3
��
.
2. f (x) = e−4x, x ∈ [−2, 2] .
Sol. a0 = 18
�
e8 − e−8
�
, an =
�
e8 − e−8
� 8(−1)n
64+π2n2
, bn =
�
e8 − e−8
� πn(−1)n
64+π2n2
3.3. SERIES DE FOURIER EN SENOS Y COSENOS 57
3. f (x) = |sinx| , x ∈ [−π, π]
4. f (x) = x2 − 2x, definida en (0, 2) .
(a) Sol. a0 = −43 , an =
4
π2n2
, bn = 0, n ≥ 1.
5. f (x) = −x2 + 2x en (0, 2)
(a) Sol. 23 +
∞�
n=1
�
− 4πn
π3n3
cos (πnx)
�
6. f (x) =
�
x (0, 1)
−x+ 1 (1, 2) en (0, 2)
(a) Sol. f (x) =
∞�
n=1
��
2 (−1)
n−1
π2n2
�
cos (πnx) +
�
1− (−1)n
πn
�
sin (πnx)
�
7. f (x) =
�
0 x ∈ (−5, 0)
3 x ∈ (0, 5)
(a) Sol. 32+
∞�
n=1
3(1−cosnπ)
nπ sin
nπx
5
8. f (x) = x2 definida en (0, 2π) .
(a) Sol. 4π
2
3 +
∞�
n=1
�
4
n2 cosnx− 4πn sinnx
�
9. Sea f (x) = cos (ax) donde a2 no es entero y x ∈ [−π, π] . Halle su serie de Fourier y luego
probar:
π
sin (aπ)
= 2a
�
1
2a2
− 1
a2 − 12 +
1
a2 − 22 −
1
a2 − 32 + · · ·
�
3.3 Series de fourier en senos y cosenos
Si una función tiene algunas propiedades de simetría, las fórmulas para los coeficientes de Fourier
tienen algunas simplificaciones.
Definición 3.3 (Función par e impar) Sea f una función definida en (−L,L) . Si f (−x) = f (x)
para todo x ∈ (−L,L) , f se llama función par. Si f (−x) = −f (x) para todo x ∈ (−L,L) , f se
58 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE FOURIER
llama función impar.
La propiedad fundamental de estas funciones se presenta en el siguiente resultado.
Teorema 3.4 Si f es una función par en (−L,L), entonces:
� L
−L
f (x) dx = 2
� L
0
f (x) dx
Teorema 3.5 Si f es una función impar en (−L,L), entonces:
� L
−L
f (x) dx = 0
Además:
Teorema 3.6 El producto de funciones pares e impares satisface:
función f función g función fg
par par par
par impar impar
impar par impar
impar impar par
3.3.1 El caso de una función par
Supóngase que f es una función par en (−L,L). Los coeficientes de Fourier son
an =
2
2L
� L
−L
f (x) cos
�
2nπx
2L
�
dx
3.3. SERIES DE FOURIER EN SENOS Y COSENOS 59
=
2
L
� L
0
f (x) cos
�nπx
L
�
dx, n = 0, 1, 2, . . .
bn =
2
2L
� L
−L
f (x) sin
�nπx
L
�
dx = 0, n = 1, 2, . . .
Ejemplo 3.6 En el ejemplo 3.3 página 51 Se a calculado la serie de Fourier de la función f (x) = |x| ,
x ∈ [−π, π] .
a0 = π
an =
2(−1 + (−1)n)
πn2
bn = 0
por tanto la serie de Fourier de f (x) es:
1
2
π +
∞�
n=1
�
2 (−1 + (−1)n)
πn2
�
cosnx
3.3.2 El caso de una función impar
Supóngase que f es una función impar en (−L,L). Los coeficientes de Fourier son
an =
2
2L
� L
−L
f (x) cos
�
2nπx
2L
�
dx = 0, n = 0, 1, 2, . . .
bn =
2
L
� L
−L
f (x) sin
�nπx
L
�
dx
=
2
L
� L
0
f (x) sin
�nπx
L
�
dx, n = 1, 2, . . .
Ejemplo 3.7 En la página 52, ejercicio 3.4 se ha calculado la serie de Fourier de f (x) = x, definida
en [−π, π].
a0 = 0
an = 0
bn =
2 (−1)n+1
n
,
por tanto su serie de Fourier es:
∞�
n=1
2 (−1)n+1
n
sin (nx)
60 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE FOURIER
3.3.3 Desarrollo de una función en senos y cosenos
Si una función f está definida en el intervalo (0, L) , entonces:
(a) la serie de Fourier en cosenos está dado por
f (x) =
1
2
a0 +
∞�
n=1
an cos
�nπx
L
�
donde
an =
2
L
� L
0
f (x) cos
�nπx
L
�
dx, n = 0, 1, 2, . . .
(b) la serie de Fourier en senos está dado por:
f (x) =
∞�
n=1
bn sin
�nπx
L
�
donde
bn =
2
L
� L
0
f (x) sin
�nπx
L
�
dx, n = 0, 1, 2, . . .
Ejercicios
1. Desarrollar las siguientes funciones en términos de (i) senos y (ii) cosenos
(a) f (x) = 1 en (0, 1)
Sol. (i)
∞�
n=0
4 sin ((2n+ 1)πx)
(2n+ 1)π
(que es igual a
∞�
n=1
2 (1− (−1)n) sin (nπx)
nπ
), (ii) 1
(b) f (x) = sinx en (0, π/2).
Sol. (i)
∞�
n=1
�−8 (−1)n n
π (4n2 − 1)
�
sin (2nx), (ii) 2π +
∞�
n=1
−4 cos (2nx)
π (4n2 − 1)
(c) f (x) =
�
x x ∈ (0, 4)
8− x x ∈ (4, 8)
Sol. (i) 32
π2
∞�
n=1
�
1
n2
sin nπ2 sin
nπx
8
�
,
(ii 2 + 16
π2
∞�
n=1
�
1
n2
�
(−1)n+1 − 1 + 2 cos nπ2
�
cos nπx8
�
2. Demostrar que para 0 ≤ x ≤ π :
(a) x (π − x) = π
2
6
−
∞�
n=1
cos (2nx)
n2
(b) x (π − x) = 8
π
∞�
n=1
sin ((2n− 1)x)
(2n− 1)3
3. Use el anterior problema para probar:
∞�
n=1
1
n2
=
π2
6
,
∞�
n=1
(−1)n−1
n2
=
π2
12
,
∞�
n=1
(−1)n−1
(2n− 1)3
=
π3
32
3.4. CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER 61
3.4 Convergencia de la serie de Fourier
Definición 3.7 (Función continua a pedazos) Sea f definida en [a, b] excepto quizás en un
número finito de puntos. Se dice que f es continua a pedazos si:
1. f es continua en [a, b] excepto quizás en un número finito de puntos.
2. Los lìmites laterales limx→a+ f (x) y limx→b− f (x) existen y son finitos.
3. Si x0 ∈ (a, b) es un punto de discontinuidad, entonces los límites laterales en este punto existen
y son finitos.
Ejemplo 3.8 La siguiente función es continua a pedazos en [−5, 2]
f (x) =



−x2 − 6x− 8 x ∈ [−5,−1]
2x2 x ∈ (−1, 1)
−x [1, 2]
sin (πx) (2, 4]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
x
y
Definición 3.8 (Función suave a pedazos) Una función f es suave a pedazos en [a, b] si f y f ′
son continuas a pedazos en [a, b] .
Ejemplo 3.9 Con referencia al ejemplo 3.8, su derivada es
f ′ (x) =



−2x− 6 x ∈ [−5,−1)
4x x ∈ (−1, 1)
−1 (1, 2)
π cos (πx) (2, 4]
nótese que f ′ (x) es continua a pedazos en [−5, 4] por tanto f es suave a pedazos en dicho intervalo.
Definición 3.9 (Límites por la izquierda y derecha) Los límites por la izquierda y por la
derecha en un punto a se escribirán como:
f (a+) = lim
x→a+
f (x)
f (a−) = lim
x→a−
f (x)
62 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE FOURIER
Teorema 3.10 (Convergencia de la serie de Fourier)Sea f suave a pedazos en [−L,L] , en-
tonces la serie de Fourier de f converge a
f (x+) + f (x−)
2
para x ∈ (−L,L) ,
en particular si f es continua en x, la serie converge a f (x) .
Ejemplo 3.10 Nuevamente nos referimos al ejemplo 3.8, a continuación se muestra las gráficas de
la función y su serie de Fourier teórica.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
x
y
2
1
2
1
Función f(x) Gráfica de la serie de Fourier
debe notarse que la serie de Fourier converge a f (x) en (−5,−1)∪(−1, 1)∪(1, 2)∪(2, 4) y al promedio
de límites laterales en los puntos de discontinuidad, más concretamente a:
f (−1+) + f (−1−)
2
=
2 + (−3)
2
= −1
2
en x = −1
f (1+) + f (1−)
2
=
−1 + 2
2
=
1
2
en x = 1
f (2+) + f (2−)
2
=
0 + (−2)
2
= −1 en x = 2
Ejemplo 3.11 Considérese el ejemplo 3.4 página 52 donde f (x) = x, definida en [−π, π] . Se prueba
que su serie de Fourier es
∞�
n=1
2 (−1)n+1
n
sin (nx) ,
puesto que f es continua en (−π, π) podemos escribir
f (x) =
∞�
n=1
2 (−1)n+1
n
sin (nx) , para todo x ∈ (−π, π) .
3.4. CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER 63
3.4.1 Convergencia en los extremos
Si f está definida en [−L,L] el teorema 3.10 no dice sobre la convergencia en (−L,L) pero no
dice nada sobre la convergencia en −L y L. En esta sección discutiremos la convergencia en los
extremos. Debemos notar que aunque la función f está definida sólo en [−L,L] , su serie de Fourier
está definida en toda la recta real en donde la serie sea convergente. Para tener coherencia entre f y
su serie de Fourier, consideramos la extensión periódica de f a toda la recta real, vease la definición
3.1 página 45. a continuación se muestra la gráfica de una función f definida en [−L,L] extendida
periódicamente en R.
Función extendida periódicamente
L2− L2L− L
y
x
Llamando fP a la extensión periódica y aplicando el teorema 3.10 debemos tener que la serie en −L
converge a:
fP (−L−) + fP (−L+)
2
=
f (L−) + f (−L+)
2
análogamente en L se tiene:
fP (L−) + fP (L+)
2
=
f (L−) + f (−L+)
2
por tanto la serie de Fourier converge en −L y L al mismo punto.
3.4.2 El fenómeno de Gibbs
Nuevamente consideremos el ejemplo 3.4 página 52 donde f (x) = x, definida en [−π, π] y extendida
periódicamente. Se prueba que
f (x) =
∞�
n=1
2 (−1)n+1
n
sin (nx) ,
esta serie converge a x para todo x �= ±π,±2π, . . . y converge a 0 para x = ±π,±2π, . . . .,
A continuación se presentan algunos gráficos que corresponden a algunos valores de M en
f (x,M) =
M�
n=1
2 (−1)n+1
n
sin (nx)
64 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE FOURIER
20-2
2
1
-1
-2
20-2
2
1
-1
-2
20-2
2
1
-1
-2
20-2
2
1
0
-1
-2
20-2
2
1
-1
-2
2=M 4=M
20=M
10=M
30=M
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π−
π−
π−
π−
π−
π−
π−
π−
π−
π−
π−
Se puede apreciar que a medida que M crece la convergencia en los puntos de continuidad es
rápida, no así en los puntos de discontinuidad, más aún en estos puntos poco a poco se presenta
un pico en el salto hacia arriba y hacia abajo. La longitud de este salto es aproximadamente 18%
de la magnitud del salto de la discontinuidad(la diferencia de los límites laterales). Para nuestro
ejemplo el salto es 2π, por tanto la magnitud del salto hacia arriba y hacia abajo es aproximadamente
(0.18) (2π) = 1. 13.
3.5 Derivación e integración de las series de Fourier
3.5.1 Integración
Sea f (x) una función que que tiene una serie de Fourier, entonces el desarrollo de la serie de Fourier
de f (x) puede integrarse término a término y la serie integrada converge a la integral de f (x) .
Concrétamente si f es periódica de periodo P con desarrollo
f (x) =
1
2
a0 +
∞�
n=1
�
an cos
2πnx
P
+ bn sin
2πnx
P
�
entonces para 0 ≤ x1 < x ≤ x
� x
x1
f (x) dx =
1
2
a0
� x
x1
dx+
∞�
n=1
�
an
� x
x1
cos
2πnx
P
dx+ bn
� x
x1
sin
2πnx
P
dx
�
=
1
2
a0 (x− x1) +
∞�
n=1
	
P an
2πn
sin
2πnx
P
����
x
x1
− P bn
2πn
cos
2πnx
P
����
x
x1
=
1
2
a0 (x− x1) +
∞�
n=1
�
P an
2πn
�
sin
2πnx
P
− sin 2πnx1
P
�
− P bn
2πn
�
cos
2πnx
P
− cos 2πnx1
P
��
de donde:
� x
x1
f (x) dx =
1
2
a0 (x− x1)+
∞�
n=1
�
P an
2πn
�
sin
2πnx
P
− sin 2πnx1
P
�
− P bn
2πn
�
cos
2πnx
P
− cos 2πnx1
P
��
3.5. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE LAS SERIES DE FOURIER 65
claramente la parte izquierda de la anterior igualdad no es una serie de Fourier por la presencia del
término 12a0x, sin embargo transponiendo términos se puede observar que se tendrá el desarrollo en
serie de Fourier de g (x) =
� x
x1
f (x) dx− 12a0x.
Ejemplo 3.12 Nuevamente consideremos el ejemplo 3.4 página 52donde f (x) = x, definida en
[−π, π] y extendida periódicamente. Se prueba que
x =
∞�
n=1
2 (−1)n+1
n
sin (nx) ,
entonces integrando de 0 a x se encuentra:
1
2
x2 =
∞�
n=1
2 (−1)n+1
n
� x
0
sin (nx) dx
=
∞�
n=1
2 (−1)n+1
n
�
1− cosnx
n
�
=
∞�
n=1
2 (−1)n+1
n2
−
∞�
n=1
2 (−1)n+1
n2
cosnx
=
∞�
n=1
2 (−1)n+1
n2
+
∞�
n=1
2 (−1)n
n2
cosnx
Para verificar este desarrollo calcularemos por separado la serie de Fourier de g (x) = 12x
2,
deninido en (−π, π) . Claramente esta función es par, por tanto en su desarrollo sólo aparecen
términos en cosenos.
a0 =
4
2π
� π
0
1
2
x2 dx =
1
3
π2
an =
4
2π
� π
0
�
1
2
x2 cos (nx)
�
dx
=
2 (−1)n
n2
por tanto:
1
2
x2 =
1
3
π2 +
∞�
n=1
2 (−1)n
n2
cosnx
sólo nos falta probar que 13π
2 =
�∞
n=1
2 (−1)n+1
n2
, para esto empleamos la anterior igualdad con
x = 0, en tal caso se tendrá:
0 =
1
3
π2 +
∞�
n=1
2 (−1)n
n2
de donde:
1
3
π2 = −
∞�
n=1
2 (−1)n
n2
=
∞�
n=1
2 (−1)n+1
n2
con lo que termina la verificación.
66 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE FOURIER
3.5.2 Derivación
Teorema 3.11 Sea f continua en [−L,L] y supongamos que f (L) = f (−L) . Sea f ′ (x) continua a
pedazos en [−L,L] . Entonces f (x) es igual a su serie de Fourier para x ∈ [−L,L] .,
f (x) =
1
2
a0 +
∞�
n=1
�
an cos
πnx
L
+ bn sin
πnx
L
�
y en cada donde en (−L,L) donde f ′′ (x) existe,
f ′ (x) =
∞�
n=1
πn
L
�
−an sin
πnx
L
+ bn cos
πnx
L
�
Ejemplo 3.13 Sea f (x) =
�
1 x ∈ (0, 1)
−1 x ∈ (−1, 0) , es una función impar, por tanto sólo se tienen
términos en seno.
bn =
2
2
�� 0
−1
sin (πnx) dx−
� 1
0
sin (πnx) dx
�
= 2
−1 + (−1)n
πn
por tanto su serie de Fourier es:
f (x) =
∞�
n=1
2 (−1 + (−1)n)
πn
sin (nπx)
si derivamos término a término se encuentra:
f ′ (x) =
∞�
n=1
2 (−1 + (−1)n) cos (nπx)
La anterior serie no es convergente1. Este resultado se explica por el hecho de que la función f
no es contínua.
Ejemplo 3.14 Consideremos ahora la función f (x) = 1 − x2 definida en (−1, 1) . Esta función es
par por tanto sólo se tienen términos en coseno.
a0 =
2
2
� 1
−1
�
1− x2
�
dx =
4
3
an =
2
2
� 1
−1
�
1− x2
�
cos (πnx) dx
= −4(−1)
n
π2n2
1Como se sabe si el n− ésimo término de una serie
∞�
n=1
an converge entonces lim
n→∞
an = 0. De donde se deduce que
si lim
n→∞
an �= 0, entonces
∞�
n=1
an no es convergente.
3.6. LA SERIE DE FOURIER COMPLEJA 67
por tanto la serie de Fourier es:
1− x2 = 2
3
+
∞�
n=1
−4(−1)
n
π2n2
cosπnx
derivando obtenemos
−2x =
∞�
n=1
4
(−1)n
πn
sinπnx.
Ejercicio
Pruebe que la función periódica f (x) = x, x ∈ (−T, T ) extendida periódicamente tiene como serie
de Fourier
f (x) =
2T
π
�
sin
πx
T
− 1
2
sin
2πx
T
+
1
3
sin
3πx
T
− 1
4
sin
4πx
T
+ · · ·
�
integrando término a término esta serie pruebe que g (x) = x2, x ∈ (−T, T ) extendida periódicamente
tiene serie de Fourier
g (x) =
1
3
T 2 − 4T
2
π2
�
cos
πx
T
− 1
22
cos
2πx
T
+
1
32
cos
3πx
T
− 1
42
cos
4πx
T
+ · · ·
�
3.6 La serie de Fourier compleja
Supóngase que f es una función periódica con periodo P y
f (x) =
1
2
a0 +
∞�
n=1
an cos
2πnx
P
+ bn sin
2πnx
P
tomando en cuenta que:
cos
2πnx
P
=
1
2
�
ei2πmx/P + e−i2πmx/P
�
sin
2πnx
P
= − i
2
�
ei2πmx/P − e−i2πmx/P
�
se tiene:
f (x) =
1
2
a0 +
∞�
n=1
an
1
2
�
ei2πmx/P + e−i2πmx/P
�
− bn
i
2
�
ei2πmx/P − e−i2πmx/P
�
=
1
2
a0 +
∞�
n=1
�
1
2
(an − ibn) ei2πmx/P +
1
2
(an + ibn) e
−i2πmx/P
�
nótese que
a−n =
2
P
� P
0
f (x) cos
2π (−n)x
P
dx
=
2
P
� P
0
f (x) cos
2πnx
P
dx
= an
68 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE FOURIER
análogamente, se puede probar que:
b−n = −bn
definimos:
cn =
1
2
(an − ibn)
claramente:
c−n =
1
2
(an + ibn) y c0 =
1
2
a0
por tanto:
f (x) = c0 +
∞�
n=1
�
cne
i2πmx/P + c−ne
−i2πmx/P
�
= c0 +
∞�
n=−∞
n�=0
cne
i2πmx/P
=
∞�
n=−∞
cne
i2πmx/P
Finalmente notemos que:
cn =
1
2
(an − ibn)
=
1
2
2
P
� P
0
f (x)
�
cos
2πnx
P
− i sin 2πnx
P
�
dx
=
1
P
� P
0
f (x) e−i2πnx/Pdx
La expansión
f (x) =
∞�
n=−∞
cne
i2πnx/P , cn =
1
P
� P
0
f (x) e−i2πnx/Pdx,
se llama serie de Fourier compleja.
3.7 Una aplicación
En esta sección se presenta una técnica para calcular la solución de una ecuación diferencial a
derivadas parciales, concretamente resolveremos las ecuaciones del calor y la onda.
3.7.1 La ecuación del calor
La siguiente ecuación diferencial modela el flujo del calor sin fuentes en un alambre uniforme cuyos
extremos se mantienen a temperatura constante cero:
∂u (x, t)
∂t
= β
∂2u (x, t)
∂x2
u (0, t) = u (L, t) = 0, t > 0
u (x, 0) = f (x) , 0 < x < L
3.7. UNA APLICACIÓN 69
donde u (x, t) es la temperatura del alambre en el punto x y en el tiempo t.
Sean X = X (x) , T = T (t) supóngase que u (x, t) = X (x)T (t) , entonces:
∂u
∂t
= XT ′,
∂2u
∂x2
= X ′′T
reemplazando estas derivadas en la ecuación del calor se encuentra:
XT ′ = βX ′′T
de donde
T ′
βT
=
X ′′
X
,
puesto que cada lado de esta ecuación es función de una sóla variable, se debe tener forzosamente
T ′
βT
=
X ′′
X
= k, con k una constante. Por tanto se tienen las ecuaciones diferenciales ordinarias:
T ′ − βkT = 0 y X ′′ − kX = 0,
de las condiciones de frontera se encuentra:
De u (0, t) = u (L, t) = 0 para t > 0, se encuentra X (0)T (t) = X (L)T (t) = 0 luego X (0) =
X (L) = 0.
Así se tiene la ecuación diferencial ordinaria
X ′′ − kX = 0, X (0) = X (L) = 0,
resolvamos esta ecuación tomando en cuenta tres casos:
Caso k > 0. La ecuación característica es r2 − k = 0, es decir r = ±
√
k, por tanto la solución
general es
X (x) = A1e
√
kt +A2e
−
√
kt,
para encontrar las constantes A1 y A2 aplicamos las condiciones de frontera, por tanto:
A1 +A2 = 0
A1e
L
√
k +A2e
−L
√
k = 0
el determinante de la matriz de coeficiente de este sistema homogéneo es D = e−L
√
k − eL
√
k �= 0
para todo k > 0, por tanto la única solución es: A1 = A2 = 0, es decir, no existe una solución no
nula para k > 0.
Caso k = 0. La solución en este caso es:
X (x) = A1 +A2x,
aplicando las condiciones de frontera,
A1 = 0
A1 +A2L = 0
de donde A1 = A2 = 0. Nuevamente en este caso no se tienen soluciones no nulas.
70 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE FOURIER
Caso k < 0. En este caso la ecuación característica es r2 − k = 0, de donde r = ±i
√
−k, por
tanto la solución general es:
X (x) = A1 cos
√
−kx+A2 sin
√
−kx
aplicando condiciones de frontera:
A1 = 0
A1 cos
√
−kL+A2 sin
√
−kL = 0
de donde: A2 sin
�√
−kL
�
= 0, para tener soluciones no triviales elegimos
√
−kL = nπ, para n ∈N.
por tanto las soluciones no triviales