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Teoría de
ECUACIONES
ALGEBRAICAS
L. COUDER A.
Teoría de
ECUACIONES
ALGEBRAICAS
Luciano Couder Alonso
Departamento de Matemáticas
Escuela Superior de Física y Matemáticas
Instituto Politécnico Nacional
México, 1996
A mis padres
Norberta y Francisco
(en sus memorias)
A mi hijo Carlos
A mis hermanos
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN 13
0 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS 15
0.1 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.2 Algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.3 Máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.4 Primos relativos y números primos . . . . . . . . . . . 23
0.5 El teorema fundamental de la aritmética . . . . . . . . 24
0.6 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1 LOS NÚMEROS COMPLEJOS 31
1.1 El conjunto de los números complejos . . . . . . . . . 31
1.2 Suma y multiplicación de complejos . . . . . . . . . . 34
1.3 Los complejos como parejas ordenadas . . . . . . . . . 41
1.4 Complejos conjugados. Valor absoluto de complejos . 42
1.5 Las raíces cuadradas de un complejo . . . . . . . . . . 46
1.6 Forma trigonométrica de un complejo . . . . . . . . . 50
1.7 Fórmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.8 Resolución de la ecuación xn � z = 0 . . . . . . . . . . 58
1.9 Representación geométrica de las raíces de la ecuación
xn � z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.10 Las raíces n�ésimas de la unidad . . . . . . . . . . . . 63
1.11 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.12 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2 POLINOMIOS 75
2.1 Conjuntos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2 Suma y multiplicación de polinomios . . . . . . . . . . 79
2.3 Divisibilidad de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . 90
9
10 CONTENIDO
2.4 El algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.5 El teorema del residuo y la división sintética . . . . . . 97
2.6 Máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.7 Polinomios primos relativos y polinomios irreducibles . 109
2.8 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3 RAÍCES DE POLINOMIOS 117
3.1 Raíces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2 El teorema fundamental del álgebra . . . . . . . . . . 122
3.3 Multiplicidad de raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4 Raíces imaginarias de polinomios con coe�cientes reales129
3.5 Raíces racionales de polinomios con coe�cientes enteros131
3.6 Acotamiento de las raíces reales de polinomios con
coe�cientes reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.7 Factorización de un polinomio en polinomios de raíces
simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.8 Relación entre las raíces y los coe�cientes de un poli-
nomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.9 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4 SEPARACIÓN DE RAÍCES 163
4.1 Raíces aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.2 El signo de un polinomio para grandes y pequeños
valores de la indeterminada . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.3 El teorema de cambio de signo . . . . . . . . . . . . . 168
4.4 El teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.5 El teorema de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.6 El teorema de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.7 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5 APROXIMACIÓN DE RAÍCES 207
5.1 Sucesiones monótonas y acotadas . . . . . . . . . . . . 208
5.2 El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.3 Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.4 El método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.5 El método de regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.6 El error de aproximación en el método de regula falsi . 231
5.7 El método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.8 El error de aproximación en el método de Newton . . 244
CONTENIDO 11
5.9 El error de aproximación al combinar los métodos de
regula falsi y de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.10 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.11 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 251
6.1 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 251
6.2 Matriz de coe�cientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.3 Solución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
de reducción de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.4 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
A SOLUCIÓN PORRADICALES DE LAS ECUACIONES
DE SEGUNDO, TERCER Y CUARTO GRADOS 273
A.1 El discriminante de una ecuación . . . . . . . . . . . . 274
A.2 La ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . 275
A.3 El discriminante de la ecuación de segundo grado . . . 276
A.4 La ecuación de tercer grado . . . . . . . . . . . . . . . 277
A.5 El discriminante de la ecuación de tercer grado . . . . 281
A.6 La ecuación de cuarto grado . . . . . . . . . . . . . . . 285
B EL USO DE LA COMPUTADORA 289
BIBLIOGRAFÍA 303
INTRODUCCIÓN
El presente libro es producto de la impartición, en repetidas ve-
ces, del primer curso de álgebra en la Escuela Superior de Física y
Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional (ESFM�IPN). Los
objetivos centrales son resolver la ecuación algebraica
anx
n + an�1x
n�1 + : : :+ a1x+ a0 = 0
y resolver un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
El segundo objetivo se alcanza totalmente, pues se proporciona un
método, el de Gauss, por medio del cual puede decidirse si un sis-
tema dado tiene o no solución; y en caso de tener, decidir si tiene
sólo una o más de una; y en cualquiera de estos casos, encontrarlas.
El primer objetivo sólo se alcanza totalmente en cuanto a las raíces
reales de ecuaciones con coe�cientes reales.
Consta este trabajo de siete capítulos numerados de 0 a 6. En
el Capítulo 0 se estudian algunas propiedades elementales de la a-
ritmética de números enteros; además de que su presentación facilita
el estudio del Capítulo 2, algunos resultados aquí vistos serán útiles
en las demostraciones de otros, en capítulos siguientes. En el Capí-
tulo 1 se estudian los números complejos y se resuelven algunas ecua-
ciones algebraicas de tipo particular. En el Capítulo 2 se estudian las
expresiones de la forma anxn+an�1xn�1+: : :+a1x+a0; denominadas
polinomios, y que aparecen en el miembro izquierdo de las ecuaciones
algebraicas. En el Capítulo 3, se aborda formalmente el problema de
encontrar las raíces de un polinomio, es decir, de resolver la ecuación
algebraica anxn + an�1xn�1 + : : : + a1x + a0 = 0: En el Capítulo 4
se estudia el problema de separar las raíces reales de polinomios con
coe�cientes reales. En el Capítulo 5, una vez que se tienen separadas
13
14 INTRODUCCIÓN
las raíces reales de polinomios con coe�cientes reales, se dan métodos
para encontrar valores aproximados de tales raíces. Finalmente en
el Capítulo 6, se estudia el problema de resolver un sistema de m
ecuaciones lineales con n incógnitas.
Se supone el conocimiento de los números naturales N con sus
operaciones y propiedades; lo mismo en cuanto a los números enteros
Z; así como de los números racionales Q y de los números reales R:
También se supone el conocimiento de las propiedades de orden,
valor absoluto y de la exponenciación racional de los números reales;
así como la propiedad arquimedeana y el concepto de intervalo en
los mismos. Finalmente, se supone el conocimiento del principio de
Buen Orden y la demostración por inducción matemática.
Quiero expresar mi agradecimiento al Dr. Carlos Rentería Márquez
y al Dr. Roberto S. Acosta Abreu, quienes aparte de haber sido mis
profesores en algunos cursos, revisaron el presente trabajo. También
expreso mi agradecimiento a Ma. Eugenia Carrillo Hernández, quien
pacientemente mecanogra�ó el manuscrito.
Luciano Couder AlonsoMéxico, D.F., abril de 1996
Capítulo 0
PROPIEDADES DE LOS
NÚMEROS ENTEROS
En este capítulo se estudiarán, brevemente, algunas propiedades
elementales de la aritmética de números enteros. Además de ser
útiles en posteriores resultados, son esencialmente las mismas que
veremos en el álgebra de polinomios, en el capítulo 2.
0.1 Divisibilidad
De�nición (0.1.1).�Sean a; b 2 Z: Decimos que b divide a a (o
que b es un factor de a o que a es un múltiplo de b) si existe q 2 Z tal
que a = bq:
Notación: Para decir que b divide a a escribiremos bja; y la
expresión b 6 ja signi�ca que b no divide a a: Por tanto, bja; si y sólo
si, existe q 2 Z tal que a = bq: Además, b 6 ja; si y sólo si, a 6= bq
para todo q 2 Z:
Observación: Si a = bq y b 6= 0; entonces q es único. En efecto:
si a = bq0; entonces bq0 = bq y como b 6= 0; se sigue que q0 = q:
15
16CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Proposición (0.1.2).�En Z :
1. bjb; para cada b 2 Z:
2. bj0; para cada b 2 Z:
3. 1ja y �1ja; para cada a 2 Z:
4. 0ja() a = 0:
5. Si bj1; entonces b = �1:
6. Si bja y ajb; entonces a = �b:
7. Si bja y ajc; entonces bjc:
8. Si bja y bjc; entonces bja+ c y bja� c:
9. Si bja; entonces bjac 8 c 2 Z:
10. Si bja y bjc; entonces bjas+ ct 8 s; t 2 Z:
11. bja() bj � a() �bja() �bj � a:
12. bja() b
���� jaj () jbj ����a() jbj ���� jaj :
Demostración: Sólo demostraremos (5) y (6), los demás se de-
jan como ejercicio al lector.
(5) Si bj1; entonces existe q 2 Z tal que 1 = bq, luego b 6= 0 y q 6= 0
y también 1 = jbj jqj ; por lo tanto jbj � 1 y jqj � 1: Si jbj > 1;
entonces 1 = jbj jqj > jqj � 1; lo cual es una contradicción. Así
que jbj = 1; de donde se sigue que b = �1:
(6) Si bja y ajb; entonces existen q1; q2 2 Z tales que a = bq1 y
b = aq2; por lo tanto a = a(q1q2): Suponiendo que a 6= 0 (pues
si a = 0; entonces b = 0), tenemos que 1 = q1q2; por tanto q1j1;
y por (5) q1 = �1: Puesto que a = bq1; entonces a = �b:
q.e.d.
0.2. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN 17
Proposición (0.1.3).�Sean a; b 2 Z: Si bja; entonces a = 0 ó
jbj � jaj :
Demostración: Si bja; existe q 2 Z tal que a = bq; por lo tanto
jaj = jbj jqj : Si a 6= 0; entonces 1 � jbj y 1 � jqj ; de donde se sigue
que jbj � jbj jqj ; o sea, jbj � jaj :
q.e.d.
0.2 Algoritmo de la división
Teorema (0.2.1).�Si a; b 2 Z y b 6= 0; entonces existen q; r 2 Z;
únicos, tales que
a = bq + r con 0 � r < jbj :
En este caso a se llama dividendo, b se llama divisor, y los números q y
r se llaman, respectivamente, el cociente y el residuo de dividir a por b:
Demostración:
I) Suponemos primero que a > 0 y b > 0 (jbj = b): En este caso
procederemos por inducción sobre a:
i) Si a = 1 : Como b > 0; entonces b � 1: Si b = 1; como
1 = 1 � 1 + 0; elegimos q = 1 y r = 0: Si b > 1; como
1 = b � 0 + 1; elegimos q = 0 y r = 1: En cualquier caso
1 = bq + r con 0 � r < b:
ii) Suponemos el resultado cierto para a; es decir, suponemos
que existen q1; r1 2 Z tales que a = bq1+r1 con 0 � r1 < b:
iii) Probaremos que el resultado es válido para a+1; es decir,
probaremos que existen q; r 2 Z tales que a+ 1 = bq + r
con 0 � r < b: En efecto: Por hipótesis de inducción
a = bq1+ r1 con 0 � r1 < b; entonces a+1 = bq1+ r1+1
18CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
con 0 < r1+1 � b: Si r1+1 < b; como a+1 = bq1+(r1+1);
elegimos q = q1 y r = r1 + 1: Si r1 + 1 = b; se tiene que
a + 1 = b(q1 + 1) + 0; por lo que en este caso elegimos
q = q1 + 1 y r = 0: En cualquier caso a+ 1 = bq + r con
0 � r < b:
II) Suponemos ahora que a = 0 y b > 0: Como 0 = b�0+0; elegimos
q = 0 y r = 0; así obtenemos a = bq + r con 0 � r < b:
III) Suponemos que a < 0 y b > 0: Como a < 0; entonces 0 < �a
y por (I), existen q1; r1 2 Z tales que �a = bq1 + r1 con
0 � r1 < b; por lo tanto a = b(�q1)+(�r1): Si r1 = 0; elegimos
q = �q1 y r = 0: Si 0 < r1; como a = b(�q1� 1)+ (b� r1) con
0 < b� r1; elegimos en este caso q = �q1 � 1 y r = b� r1: En
cualquier caso a = b q + r con 0 � r < b:
Observemos que de (I), (II) y (III) se sigue que si a 2 Z y b > 0;
entonces existen q; r 2 Z tales que a = bq + r con 0 � r < b:
IV) Finalmente suponemos que a 2 Z y b < 0: Como b < 0; en-
tonces 0 < �b; y por la observación anterior, existen q1; r1 2 Z
tales que a = (�b)q1 + r1 con 0 � r1 < �b = jbj ; por tanto
a = b(�q1) + r1 con 0 � r1 < jbj : Eligiendo q = �q1 y r = r1;
obtenemos a = b q + r con 0 � r < jbj :
Probaremos ahora la unicidad de q y r :
Si existen q0; r0 2 Z tales que a = bq0 + r0 con 0 � r0 < jbj ;
entonces bq + r = bq0 + r0; por tanto b(q � q0) = r0 � r; de donde
se sigue que bjr0 � r; entonces, por la proposición (0.1.3), r0 � r = 0
ó jbj � r0 � r: Pero jbj � r0 � r no es posible, porque 0 � r < jbj
y 0 � r0 < jbj : Así que r0 � r = 0; por lo tanto r0 = r; por lo que
también b(q0 � q) = 0; y como b 6= 0; entonces q0 = q:
q. e. d.
0.3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 19
0.3 Máximo común divisor
Dados a; b 2 Z no ambos cero, construimos el conjunto
A = fx 2 Z
����x > 0; xja y xjbg:
Por el principio de buen orden, aplicado al conjunto
B = fy 2 Z j y > x; 8x 2 Ag;
es posible probar que A tiene elemento máximo, a este lo podemos
de�nir como el máximo común divisor de a y b: Sin embargo, daremos
otra de�nición, la cual facilita su estudio posterior y desde luego
puede probarse que es equivalente a la anterior.
De�nición (0.3.1).�Sean a; b 2 Z; no ambos cero. Decimos que
d 2 Z; d > 0; es máximo común divisor (mcd) de a y b; si:
i) dja y djb:
ii) Si c 2 Z es tal que cja y cjb; entonces cjd:
Notación: Para decir que d es máximo común divisor de a y b,
escribiremos d = (a; b) ó d =mcd fa; bg:
Observación: Si d = (a; b); entonces d es único. En efecto: Si
también d0 = (a; b); entonces por la de�nición, d0jd y djd0; luego por
(6) de la proposición (0.1.2), d0 = d:
Lema (0.3.2).�Sean a; b 2 Z; con b 6= 0: Si bja; entonces
jbj = (a; b):
Demostración:
20CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
i) Como bjb y por hipótesis bja; entonces por (12) de la proposi-
ción (0.1.2), jbj
����b y jbj ����a:
ii) Si c 2 Z es tal que cja y cjb; entonces por (12) de la proposición
(0.1.2), c
���� jbj :
De (i) y (ii) se sigue que jbj = (a; b):
q.e.d.
Lema (0.3.3).�Sean a; b 2 Z; no ambos cero. Si a = bq+ r; para
algunos q; r 2 Z; entonces d = (a; b); si y sólo si, d = (b; r):
Demostración: Suponemos primero que d = (a; b) y probare-
mos que d = (b; r):
i) Como d = (a; b); entonces dja y djb; y como a = bq+r; entonces
djr; luego djb y djr:
ii) Si c 2 Z es tal que cjb y cjr; entonces cja; pues a = bq + r; por
lo tanto cjb y cja; luego cjd:
De (i) y (ii) se sigue que d = (b; r):
Probaremos ahora que si d = (b; r); entonces d = (a; b): En efecto:
Como a = bq+r; entonces r = b(�q)+a; luego si d = (b; r); entonces,
por lo ya probado anteriormente, d = (a; b):
q.e.d.
Teorema (0.3.4) [Algoritmo de Euclides].�Dados a; b 2 Z; no
ambos cero, existe d = (a; b): Además, d es el mínimo entero positivo
para el cual existen s; t 2 Z tales que d = as+ bt:
Demostración: Sin pérdida de generalidad podemos suponer
que b 6= 0. Por teorema (0.2.1), existen q1; r1 2 Z tales que
a = bq1 + r1 con 0 � r1 < jbj :
0.3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 21
Si r1 = 0; entonces por lema (0.3.2), jbj = (a; b): Si r1 > 0; nueva-
mente por teorema (0.2.1), existen q2; r2 2 Z tales que
b = r1q2 + r2 con 0 � r2 < r1:
Si r2 = 0; entonces, por lema (0.3.2), r1 = (b; r1); y por lema (0.3.3)
r1 = (a; b): Si r2 > 0; continuamos el proceso anterior, obteniéndose
la siguiente tabla:
a = bq1 + r1 con 0 < r1 < jbj
b = r1q2 + r2 con 0 < r2 < r1
r1 = r2q3 + r3 con 0 < r3 < r2
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
rn�3 = rn�2qn�1 + rn�1 con 0 < rn�1 < rn�2
rn�2 = rn�1qn + rn con 0 < rn < rn�1
rn�1 = rnqn+1 + rn+1 con rn+1 = 0
9>>>>>>>>=>>>>>>>>;
(�)
El proceso termina cuando para alguna n 2 N; rn > 0 y rn+1 = 0;
lo que siempre ocurre, pues en caso contrario el conjunto
fjbj ; r1; r2; r3; : : :g � N;
donde jbj > r1 > r2 > r3 > : : : ; no tendría elemento mínimo, lo que
contradiría el principio de buen orden.
A�rmamos que rn; el últimoresiduo diferente de cero, es el mcd
de a y b, es decir, rn = d = (a; b). En efecto: Procediendo de abajo
para arriba en la tabla (�), por el lema (0.3.2), rn = (rn; rn�1) y por
lema (0.3.3)
rn = (rn; rn�1) = (rn�1; rn�2) = : : : = (b; r1) = (a; b):
Veamos ahora que existen s; t 2 Z tales que rn = as + bt : Pro-
cediendo de arriba para abajo en la tabla (�), se tiene que:
r1 = a(1) + b(�q1):
22CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Si s1 = 1 y t1 = �q1; entonces
r1 = as1 + bt1:
También
r2 = r1(�q2) + b;
por lo tanto r2 = a(�s1 q2) + b(�t1q2 + 1): Si s2 = �s1q2 y
t2 = �t1q2 + 1; entonces
r2 = as2 + bt2:
Análogamente, de la tabla (�)
r3 = r2(�q3) + r1;
por lo tanto r3 = a(�s2q3 + s1) + b(�t2q3 + t1): Si s3 = �s2q3 + s1
y t3 = �t2q3 + t1; entonces
r3 = as3 + bt3:
Continuando este proceso tenemos que
rn = asn + btn
donde sn = �sn�1qn + sn�2 y tn = �tn�1qn + tn�2: Eligiendo
s = sn y t = tn, obtenemos rn = d = as + bt; donde es claro que
s; t 2 Z:
Finalmente demostraremos que d es el mínimo entero positivo
para el cual existen s; t 2 Z tales que d = as+ bt : Sea c 2 Z; c > 0;
tal que c = ax+ by con x; y 2 Z: Como d = (a; b); entonces dja y djb
y por lo tanto djax+ by; o sea, djc, luego d � c:
q.e.d.
Ejemplo: Calcular el mcd de 60 y 168.
Solución:
2 1 3
60 168 48 60 12 48
48 12 0
0.4. PRIMOS RELATIVOS Y NÚMEROS PRIMOS 23
Por tanto, 12 = (60; 168):
Observación: Sean a; b 2 Z; no ambos cero. Si c 2 Z; c > 0; es
tal que c = ax+ by; con x; y 2 Z; no necesariamente c es el mcd de
a y b. Sin embargo, si 1 = ax+ by; con x; y 2 Z; entonces 1 = (a; b):
Proposición (0.3.5).�Si a; b 2 Z; son no ambos cero, entonces
(a; b) = (jaj ; jbj):
Demostración: Se deja al lector como ejercicio.
0.4 Primos relativos y números primos
De�nición (0.4.1).�Sean a; b 2 Z; no ambos cero. Decimos que
a y b son primos relativos, si 1 = (a; b):
Proposición (0.4.2).�Sean a; b; c 2 Z:
1. Si 1 = (a; b) y ajbc; entonces ajc:
2. Si 1 = (a; b); entonces 1 = (a; bn) 8n 2 N:
Demostración:
De (1): Como 1 = (a; b) entonces existen s; t 2 Z tal que
1 = as + bt; luego c = a(cs) + bc(t): Claro que aja y por hipótesis
ajbc; por lo tanto ajc:
De (2): Procederemos por inducción sobre n:
i) Si n = 1 : Claro que 1 = (a; b) implica que 1 = (a; b1):
ii) Suponemos que el resultado es válido para n; es decir, supone-
mos que 1 = (a; b) implica que 1 = (a; bn):
24CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
iii) Probaremos que el resultado es válido para n + 1; es decir,
probaremos que 1 = (a; b) implica que 1 = (a; bn+1) : Como
1 = (a; b); entonces existen s; t 2 Z tales que 1 = as + bt;
y además, por hipótesis de inducción, 1 = (a; bn); por tanto
existen x; y 2 Z tales que 1 = ax+bny. Multiplicando miembro
a miembro 1 = ax+ bny y 1 = as+ bt; obtenemos
1 = a(axs+ bxt+ sbny) + bn+1(yt); por lo tanto 1 = (a; bn+1):
q.e.d.
De�nición (0.4.3).� Decimos que p 2 Z es número primo, si
p > 1 y los únicos divisores positivos de p; son 1 y p mismo.
Proposición (0.4.4).�Sean a; b 2 Z y sea p un número primo.
Entonces:
1) pja ó 1 = (a; p):
2) Si pjab; entonces pja o pjb:
Demostración:
De (1): Sea d = (a; p); entonces dja y djp; y por lo tanto d = 1 ó
d = p; de donde se sigue que pja ó 1 = (a; p):
De (2): Supongamos que p 6 ja; luego, por (1), 1 = (a; p): Como
por hipótesis pjab; entonces por proposición (0.4.2)(1), pjb:
q.e.d.
0.5 El teorema fundamental de la aritmética
Lema (0.5.1).�Si a 2 Z y a > 1; entonces el menor entero mayor
que 1 y que divide a a; es un número primo.
0.6. EJERCICIOS 25
Demostración: Sea A = fm 2 N
����m > 1 y mjag: Claro que
A 6= �; pues a 2 A: Por el principio de buen orden, A tiene un
elemento mínimo, sea este p: A�rmamos que p es número primo. En
efecto: Si p no es primo, entonces existe q 2 Z; con 1 < q < p; tal
que qjp: Como pja; entonces qja; por tanto q 2 A; lo cual es una
contradicción a la elección de p:
q.e.d.
Teorema (0.5.2) [Teorema fundamental de la aritmética].�Si
a 2 Z y a > 1; entonces a es primo ó existen p1; p2; : : : ; pk números
primos tales que
a = p1 � p2 � : : : � pk:
Además, si q1; q2; : : : ; qm son números primos tales que
a = q1 � q2 � : : : � qm;
entonces m = k y qi = pj para algunos i; j = 1; 2; :::; k:
Demostración: Se deja como ejercicio al lector.
0.6 EJERCICIOS
1. Sean a; b; c 2 Z: Decimos que c es combinación lineal de a y b,
si existen x; y 2 Z tales que c = ax+ by:
1.1 Pruebe que 29 es combinación lineal de 5 y 7:
1.2 Escriba a 50 en dos formas diferentes como combinación
lineal de 5 y 2:
1.3 Si dja; djb y d 6 jc; pruebe que c no es combinación lineal
de a y b:
1.4 Pruebe que 64 no es combinación lineal de 10 y 25:
26CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
1.5 Encuentre un entero m que no sea combinación lineal de
28 y 49:
1.6 Sim divide a cualquier combinación lineal de a y b; pruebe
que mja y mjb:
1.7 Decida si la ecuación 153 = 34x + 51y tiene soluciones
enteras x y y:
1.8 Si c es impar, pruebe que la ecuación c = 14x + 72y no
tiene soluciones enteras x y y:
2. Si bjm para todo m 2 Z, pruebe que b = �1:
3. Si bja1; bja2; : : : ; bjan; pruebe que bja1 + a2 + : : :+ an:
4. Pruebe que:
4.1 8j(2n� 1)2 � 1; para cada n 2 N:
4.2 6jn3 � n; para cada n 2 N:
4.3 9jn3 + (n+ 1)3 + (n+ 2)3; para cada n 2 N:
4.4 133j11n+2 + 122n+1; para cada n 2 N:
4.5 Si a; b; c son dígitos, entonces 143 divide al número (cifrado)
abcabc:
5. Si a; b 2 Z; pruebe que a� bjan � bn; para cada n 2 N:
6. Sean a; b 2 Z; con b 6= 0: Pruebe que bja; si y sólo si, el residuo
de dividir a por b; es r = 0:
7. Aplicando el algoritmo de división, encuentre q y r para escribir
a = bq + r en los siguientes casos:
7.1 a = 0 y b = 5: 7.2 a = 138 y b = 11:
7.3 a = 18 y b = 46: 7.4 a = �137 y b = 18:
7.5 a = �23 y b = 52: 7.6 a = 14 y b = �8:
7.7 a = 32 y b = �57: 7.8 a = �18 y b = �4:
7.9 a = �28 y b = �46:
7.10 a = m3 + 3m2 + 3m+ 2 y b = m+ 1 (m > 0):
8. Pruebe que (a; b) = (jaj ; jbj):
0.6. EJERCICIOS 27
9. Aplicando el algoritmo de Euclides y el ejercicio anterior, en-
cuentre el mcd de:
9.1 a = 60 y b = 42: 9.2 a = �60 y b = 42:
9.3 a = �35 y b = �49: 9.4 a = 82 y b = �36:
9.5 a = 764 y b = �866: 9.6 a = �468 y b = �964:
10. Si (a; b) = 1; pruebe que la ecuación c = ax+by tiene soluciones
enteras x y y; para cada c 2 Z:
11. Sean a; b; c 2 Z: Si d = (a; b); pruebe que la ecuación
c = ax+ by tiene soluciones enteras, si y sólo si, djc:
12. Si d > 0 es tal que dja; djb y d = as+bt; pruebe que d = (a; b):
13. Si d = (a; b) y d = as+ bt; pruebe que (s; t) = 1 [?�son únicos
s y t ?].
14. Si d = (a; b); a = dq1 y b = dq2; pruebe que (q1; q2) = 1:
15. Si cja y (a; b) = 1; pruebe que (b; c) = 1:
16. Si ajc; bjc y d = (a; b); pruebe que abjcd:
17. Si (a; b) = 1 y c 6= 0; pruebe que (a; b c) = (a; c):
18. Si k > 0; pruebe que (ak; bk) = k(a; b):
19. Si k 6= 0; pruebe que (ak; bk) = jkj (a; b)
20. Si (a; b) = 1; pruebe que (a+ b; a� b) = 1 ó 2:
21. Si (a; b) = 1; pruebe que (am; bn) = 1 para todo m;n 2 N:
22. Si (a; b) = k; pruebe que (an; bn) = kn para todo n 2 N:
23. Seanm;n; k 2 N: Simn = k2 y (m;n) = 1; pruebe quem = a2
y n = b2 para algunos a; b 2 N:
24. Si (a; c) = 1 y (b; c) = 1; pruebe que (ab; c) = 1:
25. Si b2ja2; pruebe que bja:
26. Si bnjan; pruebe que bja:
28CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
27. Si a 2 N y a 6= k2 para todo k 2 N; pruebe que
p
a =2 Q:
28. Si a 2 N y a 6= kn para todo k 2 N; pruebe que n
p
a =2 Q:
29. Si a1; a2; : : : ; an son dígitos, pruebe que 9ja1a2 : : : an; si y sólo
si, 9ja1 + a2+ : : :+ an (a1a2 : : : an es número cifrado).
Sugerencia: Pruebe y use que 9j10n � 1, para cada n 2 N:
30. Sean a0; a1; : : : ; an 2 Z; no todos cero. Decimos que d 2 Z;
d > 0; es máximo común divisor (mcd) de a0; a1; : : : ; an; y
escribimos d = (a0; a1; : : : ; an); si:
I) dja0; dja1; : : : ; djan:
II) Si c 2 Z es tal que cja0; cja1; : : : ; cjan; entonces cjd:
30.1 Si d = (a0; a1; : : : ; an); pruebe que d es único.
30.2 Pruebe que existe d = (a0; a1; : : : ; an); y además que
existen s0; s1; : :: ; sn 2 Z tales que
d = a0s0 + a1s1 + : : :+ ansn;
y que d es el mínimo entero positivo con esta propiedad.
Sugerencia: Proceda por inducción. De otro modo, de-
�na A = fx 2 N j x = a0t0 +a1t1 + : : : + antn; con
t0; t1; : : : ; tn 2 Zg, veri�que que A 6= �: Por el Principio
de Buen Orden, A tiene elemento mínimo, pruebe que este
satisface (I) y (II).
31. Sean a; b; c 2 Z; no todos cero. Pruebe que (a; b; c) = ((a; b); c):
32. Sean a0; a1; : : : ; an 2 Z; no todos cero. Pruebe que
(a0; a1; : : : ; an) = (ja0j ; ja1j ; : : : ; janj):
33. Sean a; b 2 Z; con a 6= 0 y b 6= 0. Decimos que m 2 Z;
m > 0; es mínimo común múltiplo (mcm) de a y b; y escribi-
mos m = [a; b] ó m =mcm fa; bg; si:
I) ajm y bjm:
II) Si a j s y b j s para algún s 2 Z; entonces mjs:
33.1 Si m = [a; b]; pruebe que m es único.
33.2 Dados a; b 2 Z� f0g, pruebe que existe m = [a; b].
0.6. EJERCICIOS 29
33.3 Pruebe que [a; b] = [ jaj ; jbj] :
33.4 Si a > 0 y b > 0; pruebe que [a; b] =
a � b
(a; b)
:
33.5 Si k > 0; pruebe que [ak; bk] = k[a; b]:
34. Escriba una de�nición de mcm de a; b 2 Z; sin la restricción de
que a 6= 0 y b 6= 0:
35. Sean a0; a1; : : : ; an 2 Z; con ai 6= 0 para cada i = 0; 1; : : : ; n:
Escriba una de�nición de mcm de a0; a1; : : : ; an: Además, enun-
cie y pruebe ejercicios similares a 33.1, 33.2, 33.3, 33.4 y 33.5.
36. Factorice en primos los siguientes números: 834; 656; 383; 637;
2831:
37. Si p es primo y pja1 � a2 � : : : � an; pruebe que pj ai para algún
i = 1; 2; : : : ; n:
38. Si a 2 Z y a < �1; pruebe que existen primos p1; p2; : : : ; pn
tales que a = �p1 � p2 � : : : � pn:
39. Sean a = p�11 � p
�2
2 � : : : � p�nn y b = p
�1
1 � p
�2
2 � : : : � p
�n
n ; donde
p1; p2; : : : ; pn son números primos tales que pi 6= pj ; si i 6= j;
y donde �i � 0 y �i � 0; para cada i = 1; 2; : : : ; n:
39.1 Si d = p
11 � p

1
2 � : : : � p

n
n con 0 � 
i =mín f�i; �ig ; para
cada i = 1; 2; : : : ; n, pruebe que d = (a; b):
39.2 Si m = p�11 � p
�2
2 � : : : � p�nn con 0 � �i =máx f�i; �ig ; para
cada i = 1; 2; : : : ; n; pruebe que m = [a; b]:
40. Sea n 2 N: Si 2n � 1 es primo, pruebe que n es primo
41. Sea a 2 N; a > 1: Si p 6 ja para cada primo p tal que
p2 � a; pruebe que a es primo (Teorema de Eratóstenes).
42. Sean a; b 2 Z: Si p 2 Z; p > 1; es tal que pjab implica pja o pjb;
pruebe que p es primo.
43. Si p es un número primo y n 2 N; pruebe que la suma de los
divisores positivos de pn�1 es
pn � 1
p� 1 :
44. Pruebe que el conjunto de números primos no es �nito.
Capítulo 1
LOS NÚMEROS
COMPLEJOS
1.1 El conjunto de los números complejos
Uno de nuestros objetivos es la resolución de ecuaciones alge-
braicas con una incógnita y de coe�cientes reales, es decir, de expre-
siones de la forma
anx
n + an�1x
n�1 + : : :+ a1x+ a0 = 0;
donde an; an�1; : : : ; a1; a0 son números reales llamados coe�cientes
de la ecuación, x es la incógnita (o indeterminada) y n � 1; si
an 6= 0; es el grado de la ecuación. Resolver la ecuación ante-
rior signi�ca encontrar todos los valores numéricos de la incógnita
x que la satisfagan, es decir, que al sustituir x por tales valores,
llamados soluciones o raíces de la ecuación, y efectuar las opera-
ciones indicadas, el primer miembro de la ecuación se reduzca a cero.
Veremos enseguida que el conjunto de números reales no es su�ciente
para resolver cualquier ecuación de coe�cientes reales. En efecto:
Consideremos la ecuación
x2 + 1 = 0: (1)
Supongamos que t 2 R es una solución de (1), entonces t2+1 = 0;
por tanto t2 = �1: Si t > 0; entonces t2 > 0: Si t = 0; entonces
31
32 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
t2 = 0: Si t < 0; entonces t2 > 0: Por tanto t2 6= �1; para todo
t 2 R: En consecuencia, no hay número real que satisfaga la ecuación
x2 + 1 = 0:
Consideremos ahora la ecuación
x2 + x+ 1 = 0: (2)
Sabemos que las soluciones reales de una ecuación del tipo
ax2 + bx+ c = 0;
con a; b; c 2 R, son de la forma
�b�
p
b2 � 4ac
2a
:
Suponiendo que s 2 R es una solución de la ecuación (2), en-
tonces
s =
�1 +
p
�3
2
ó s =
�1�
p
�3
2
:
En el primer caso se tendría que
p
�3 = 2s+1; y en el segundo caso
se tendría que
p
�3 = �(2s + 1): En cualquier caso se tendría que
�3 = (2s + 1)2; donde 2s + 1 2 R; pues hemos supuesto s 2 R; y
esto no es posible ya que, como vimos antes, el cuadrado de todo
número real es positivo o cero. Así pues, tampoco hay número real
que satisfaga la ecuación (2).
Lo que haremos enseguida es ampliar el sistema de los números
reales, a un sistema de números donde, por lo menos, las ecuaciones
(1) y (2) tengan soluciones. De hecho, como veremos más adelante,
toda ecuación de coe�cientes reales o en el nuevo sistema, tendrá
soluciones en éste.
Una solución de la ecuación (1) sería un número i tal que i2 = �1;
el cual, como hemos visto, no puede ser número real. Las soluciones
de la ecuación (2) serían números de la forma
�1�
p
�3
2
:
1.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 33
Si en lugar de �3 dentro del radical, escribimos 3i2; y si intentamos
extender las leyes de radicales de números reales, tendríamos
�1�
p
3i2
2
=
�1�
p
3i
2
:
Así que las soluciones de la ecuación (2) serían
�1
2
+
p
3
2
i y � 1
2
�
p
3
2
i;
donde claro que �12 ;
p
3
2 y�
p
3
2 son números reales.
Motivados por las ideas anteriores, hacemos la siguiente
De�nición (1.1.1).�Un número complejo es una expresión de la
forma a+ bi; donde a y b son números reales e i es un símbolo.
Si con C denotamos al conjunto de los números complejos, en-
tonces C = fa+ bi j a 2 R y b 2 Rg:
La expresión a+ bi se llama forma normal de un número com-
plejo. Al número real a se le llama la parte real de a + bi, y lo
denotamos por a =Re(a + bi). Al número real b se le llama parte
imaginaria de a+ bi; y lo denotamos por b =Im(a+ bi):
De�nición (1.1.2).�Decimos que dos números complejos a+ bi
y c+ di son iguales, y escribimos a+ bi = c+ di; si a = c y b = d:
Si b 6= 0; al número complejo a+bi se le llama número imaginario,
y al complejo 0+bi se le llama número imaginario puro, y se le denota
simplemente por bi; esto es, bi = 0+bi: Al número complejo a+0i se
le denota simplemente por a; es decir, a = a+ 0i; que es un número
real.
Por a� bi entenderemos el número complejo a+(�b)i; o sea que
a� b i = a+ (�b)i:
34 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Análogamente
�a+ bi = (�a) + bi;
�a� bi = (�a) + (�b)i;
i = 0 + 1i;
�i = 0 + (�1) i;
a+ i = a+ 1i:
1.2 Suma y multiplicación de complejos
De�nición (1.2.1).�Sean a+ bi y c+ di números complejos.
i) De�nimos la suma de a+ bi y c+ di; denotada por
(a+ bi) + (c+ di); como:
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i:
ii) De�nimos la multiplicación de a + bi y c + di; denotada por
(a+ bi) � (c+ di) o por (a+ bi)(c+ di); como:
(a+ bi) � (c+ di) = (ac� bd) + (ad+ bc)i:
Comentario: La suma de dos números complejos se ha de�nido,
naturalmente, como el complejo cuya parte real es la suma de partes
reales, y cuya parte imaginaria es la suma de partes imaginarias. La
multiplicación se ha de�nido bajo la siguiente indicación:
Si x; y; v; ! 2 R; sabemos que
(x+ y)(v + !) = xv + y! + x! + yv:
Siguiendo esta idea, y como queremos i2 = �1; obtenemos
(a+ bi) � (c+ di) = ac+ bdi2 + adi+ bci
= (ac� bd) + (ad+ bc)i:
Teorema (1.2.2).�Los números complejos con las operaciones de
suma y multiplicación antes de�nidas, constituyen un campo, es decir,
satisfacen las siguientes propiedades:
1.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS 35
S1) 8z1; z2 2 C; z1 + z2 2 C:
S2) 8 z1; z2; z3 2 C; (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3):
S3) 8 z1; z2 2 C; z1 + z2 = z2 + z1:
S4) Existe un único elemento � 2 C tal que z + � = z; 8 z 2 C:
S5) 8 z 2 C; existe un único �z 2 C tal que z + (�z) = �:
M1) 8 z1; z2 2 C; z1 � z2 2 C:
M2) 8 z1; z2; z3 2 C; (z1 � z2) � z3 = z1 � (z2 � z3).
M3) 8 z1; z2 2 C; z1 � z2 = z2 � z1:
M4) Existe un único ` 2 C; tal que z � ` = z 8 z 2 C:
M5) 8 z 2 C; z 6= �; existe un único � 2 C tal que z � � = `:
D) 8 z1; z2; z3 2 C; z1 � (z2 + z3) = z1 � z2 + z1 � z3:
Demostración:
De (S1): Es consecuencia inmediatade la de�nición de suma.
De (S2): Sean z1 = a+ bi; z2 = c+ di y z3 = e+ fi; entonces
(z1 + z2) + z3 = ((a+ bi) + (c+ di)) + (e+ fi)
= ((a+ c) + (b+ d)i) + (e+ fi)
= ((a+ c) + e) + ((b+ d) + f)i
= (a+ (c+ e)) + (b+ (d+ f))i
= (a+ bi) + ((c+ e) + (d+ f)i)
= (a+ bi) + ((c+ di) + (e+ fi))
= z1 + (z2 + z3):
De (S3): Se deja al lector.
De (S4): Sea z = a + bi un complejo arbitrario, y consideremos
el complejo 0 + 0i; entonces:
(a+ bi) + (0 + 0i) = (a+ 0) + (b+ 0)i
= a+ bi:
36 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Por tanto, � = 0 + 0i es tal que z + � = z; 8 z 2 C:
Veamos ahora que � es único: Si también �0 es un complejo tal
que z + �0 = z; 8 z 2 C; entonces, en particular, � + �0 = � y
�0 + � = �0: Como por (S3) � + �0 = �0 + �; entonces �0 = �:
En resumen, � = 0 + 0i es único tal que z + � = z;8 z 2 C.
Como por notación 0 = 0 + 0i, entonces en lugar de � escribimos
simplemente 0, o sea � = 0 + 0i = 0:
De (S5): Dado z = a+ bi; consideremos el complejo
�a� bi = (�a) + (�b)i:
Claro que
(a+ bi) + (�a� bi) = (a� a) + (b� b)i
= 0 + 0i
= 0:
Así que dado z = a + bi; �z = �(a + bi) = �a � bi es tal que
z + (�z) = 0: Veamos ahora que �z es único: Si también z0 es un
complejo tal que z + z0 = 0; entonces
z0 = 0 + z0
= (�z + z) + z0
= �z + (z + z0)
= �z + 0
= �z:
Resumiendo, dada z = a + b i; �z = �a � bi es el único tal que
z + (�z) = 0:
De (M1): Es consecuencia inmediata de la de�nición de multipli-
cación.
De (M2): Se deja al lector.
1.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS 37
De (M3): Sean z1 = a+ bi y z2 = c+ di; entonces
z1 � z2 = (a+ bi) � (c+ di)
= (ac� bd) + (ad+ bc)i
= (ca� db) + (da+ cb)i
= (c+ di) � (a+ bi)
= z2 � z1:
De (M4): Sea z = a+ b i un complejo arbitrario y consideremos
el complejo ` = 1 + 0i: Claro que
z � ` = (a+ bi) � (1 + 0i)
= (a� 0) + (0 + b)i
= a+ bi
= z:
Así pues, ` = 1 + 0 i es tal que z � ` = z; 8 z 2 C:
Veamos ahora que ` es único: Si también `0 2 C es tal que
z � `0 = z; 8 z 2 C; en particular ` � `0 = ` y `0 � ` = `0; y como
`0 � ` = ` � `0; entonces `0 = `:
Puesto que por notación a + 0 i = a; entonces 1 + 0 i = 1, así
que, en lugar de ` escribiremos simplemente 1:
De (M5): Sea z = a+bi 6= 0 (a 6= 0 o b 6= 0); y sea � = x+yi un
complejo tal que z � � = 1, es decir, (a + bi)(x + yi) = 1; entonces
(ax� by) + (ay + bx)i = 1 y por lo tanto
ax� by = 1 (1)
y
a y + b x = 0: (2)
Multiplicando (1) por a; y (2) por b; tenemos que
a2x� aby = a (3)
y
aby + b2x = 0: (4)
38 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (3) y (4), se tiene
que a2x+ b2x = a; entonces (a2 + b2)x = a; y por tanto
x =
a
a2 + b2
:
Multiplicando ahora (1) por �b; y (2) por a; y haciendo un pro-
ceso análogo al anterior, se tiene que
y =
�b
a2 + b2
:
Así pues, dado z = a+ bi 6= 0;
� =
a
a2 + b2
+
�b
a2 + b2
i
es tal que z � � = 1. Veamos ahora que � es único: Si �0 es tal que
z � �0 = 1; entonces
�0 = �0 � 1
= �0 � (z � �)
= (�0 � z) � �
= (z � �0) � �
= 1 � �
= �:
En lugar de � escribimos z�1; o sea que, si z = a + b i 6= 0;
entonces
z�1 =
a
a2 + b2
+
�b
a2 + b2
i
es el único tal que z � z�1 = 1:
De (D): Se deja al lector.
q.e.d.
Notación: Dados z1; z2 2 C; en lugar de z1+(�z2); escribimos
z1 � z2; es decir,
z1 � z2 = z1 + (�z2):
En particular, z � z = z + (�z): Análogamente,
�z1 � z2 = (�z1) + (�z2)
1.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS 39
y
�z1 + z2 = (�z1) + z2:
Puesto que las once propiedades anteriores (denominadas axio-
mas de campo) son las mismas que cumplen los números reales, las
consecuencias de ellas son también las mismas que se tienen para
los números reales. Para recordar algunas de ellas, enunciamos la
siguiente
Proposición (1.2.3).�Si z; z1; z2 2 C; entonces:
1. z � 0 = 0:
2. �z = (�1) z y � (�z) = z:
3. (z1)(�z2) = (�z1)(z2) = �(z1 z2):
4. (�z1)(�z2) = z1 z2:
5. Si z1 � z2 = 0; entonces z1 = 0 o z2 = 0:
6. Si z + z1 = z + z2; entonces z1 = z2:
7. Si z � z1 = z � z2 y z 6= 0; entonces z1 = z2:
8. Si z 6= 0; entonces (z�1)�1 = z:
Demostración: Ejercicio.
Observación: Considerando la notación b+0i = b y 0+i = i; por
la conmutatividad de la multiplicación tenemos que ib = bi: Así que
también escribimos a+ib en lugar de a+bi: Análogamente, podemos
escribir bi+a ó ib+a en lugar de a+ bi; debido a la conmutatividad
de la suma y a la notación a+ 0i = a y 0 + bi = bi = ib:
De�nición (1.2.4).�Sean z1; z2 2 C; con z2 6= 0: Se de�ne el
cociente de z1 y z2; denotado por
z1
z2
; como
z1
z2
= z1 � z�12 :
40 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
De la de�nición anterior se deduce que z�1 = 1 � z�1 = 1
z
:
Proposición (1.2.5).� Si z1; z2; z3; z4 2 C; con z2 6= 0 y z4 6= 0;
entonces:
1. (z2 � z4)�1 = z�12 � z
�1
4 :
2.
z1
1
= z1:
3.
z1
z2
� z3
z4
=
z1 � z3
z2 � z4
:
4.
z1
z2
+
z3
z2
=
z1 + z3
z2
:
5.
z1
z2
+
z3
z4
=
z1 � z4 + z2 � z3
z2 � z4
:
6. Si z3 6= 0;
z1
z2
z3
z4
=
z1 � z4
z2 � z3
:
7.
�
z2
z4
��1
=
z�12
z�14
=
z4
z2
:
8. �z2
z4
=
�z2
z4
=
z2
�z4
:
Demostración: Ejercicio.
De�nición (1.2.6).�Dados n 2 N y z 2 C; de�nimos z1 = z y
zn+1 = zn � z: Si z 6= 0; de�nimos z�n =
�
z�1
�n y z0 = 1:
De la de�nición anterior se siguen las propiedades usuales, que
se tienen en los números reales, para la exponenciación entera de
números complejos. Más adelante hacemos una observación sobre
exponentes racionales.
1.3. LOS COMPLEJOS COMO PAREJAS ORDENADAS 41
Sea R el conjunto de los números complejos del tipo x + 0i, es
decir, R = fx+0i j x 2 Rg: Dados z1; z2 2 R, claramente z1+z2 2 R
y z1 � z2 2 R. Además, si z 2 R, entonces �z 2 R y si z 6= 0;
z�1 2 R: De lo anterior se sigue que R, con las operaciones de C;
es un campo (compruébese!) contenido en C y además es una copia
del campo de números reales R; lo que nos ha permitido escribir
x+0i = x. Por las razones anteriores, convenimos que el campo de los
números reales está contenido en el campo de los números complejos,
simbólicamente, R � C: Se dice que un número complejo a+ bi es
número real si b = 0; y si b 6= 0; se dice que es número imaginario.
1.3 Los complejos como parejas ordenadas
Dadas las parejas ordenadas (a; b); (c; d) 2 R2, se tiene que
(a; b) = (c; d); si y sólo si, a = c y b = d. Por lo tanto, al complejo
a + bi lo podemos identi�car con la pareja ordenada (a; b) 2 R2; y
escribiremos (a; b) = a+ bi. Observemos que
a = a+ 0i
= (a; 0)
y
bi = 0 + bi
= (0; b) :
En particular 1 = 1 + 0i = (1; 0) e i = 0 + i = (0; 1): La suma y
multiplicación de complejos como parejas ordenadas, quedan como
sigue:
(a; b) + (c; d) = (a+ c; b+ d)
y
(a; b) � (c; d) = (ac� bd; ad+ bc):
Al identi�car al complejo a + bi con la pareja (a; b); de hecho
estamos identi�cando al conjunto de los números complejos con el
conjunto R2; o sea C = R2; y por lo tanto, geométricamente los
42 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
números complejos son los puntos del plano cartesiano, llamado tam-
bién plano complejo.
1.4 Complejos conjugados. Valor absoluto de
complejos
De�nición (1.4.1).�Sea a+ bi un número complejo.
i) De�nimos el conjungado de a+ bi; denotado por a+ bi; como
a+ bi = a� bi:
ii) De�nimos el valor absoluto o módulo de a + bi; denotado por
ja+ bij; como la raíz cuadrada del número real a2 + b2; es decir,
ja+ bij =
p
a2 + b2:
Observación: Geométricamente el valor absoluto o módulo, de
un complejo z; es la longitud del segmento que une el origen del
plano complejo con el punto que representa a z:
1.4. COMPLEJOS CONJUGADOS. VALOR ABSOLUTODE COMPLEJOS43
Observación: Si z = a+ bi; entonces z � z = a2 + b2; de donde
se sigue que jzj =
p
z � z; y por lo tanto jzj2 = z � z:
Proposición (1.4.2).� Si z1 y z2 son números complejos, en-
tonces:
i) (z1) = z1:
ii) z1 + z2 = z1 + z2:
iii) z1 � z2 = z1 � z2:
iv) z1 � z2 = z1 � z2:
v) Si z2 6= 0;
�
z1
z2
�
=
z1
z2
:
Demostración: Sólo demostraremos (ii) y (iii). Los incisos (i),
(iv) y (v) debe demostrarlos el lector.
44 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
De (ii): Sean z1 = a+ bi y z2 = c+ di; entonces:
z1 + z2 = (a+ bi) + (c+ di)
= (a+ c) + (b+ d)i
= (a+ c)� (b+ d)i
= (a+c) + (�b� d)i
= (a� bi) + (c� di)
= z1 + z2:
De (iii):
z1 � z2 = (a+ bi) � (c+ di)
= (ac� bd) + (ad+ bc)i
= (ac� bd)� (ad+ bc)i
= (ac� bd) + (a(�d) + (�b)c)i
= (a� bi) � (c� di)
= z1 � z2:
q.e.d.
Proposición (1.4.3).�Si z1 y z2 son complejos, entonces:
i) jz1j = 0; si y sólo si, z1 = 0:
ii) j z1 j = j z1 j:
iii) j z1 � z2 j = j z1 j � j z2 j:
iv) j z1 + z2 j � j z1 j+ j z2 j:
v) Si z2 6= 0;
����z1z2
���� = jz1jjz2j :
vi) j z1 j � j z2 j � j z1 � z2 j:
Demostración: Sólo demostraremos (iii) y (iv), los demás in-
cisos debe demostrarlos el lector.
1.4. COMPLEJOS CONJUGADOS. VALOR ABSOLUTODE COMPLEJOS45
De (iii): Puesto que 8 z 2 C; j z j2 = z � z; entonces
j z1 � z2 j2 = (z1 � z2) � (z1 � z2)
= (z1 � z2) � (z1 � z2)
= (z1 � z1) � (z2 � z2)
= j z1 j2 � j z2 j2
= (j z1 j � j z2 j)2:
por lo tanto j z1 � z2 j = j z1 j � j z2 j
De (iv):
j z1 + z2 j2 = (z1 + z2) � (z1 + z2)
= (z1 + z2) � (z1 + z2)
= z1 � z1 + z2 � z2 + z1 � z2 + z2 � z1:
O sea que
jz1 + z2j2 = z1 � z1 + z2 � z2 + z1 � z2 + z2 � z1: (1)
Observemos que z1 � z2 = z1 � z2 = z1 � z2 = z2 � z1: También
observemos que 8 z 2 C; z+z = 2Re z: Entonces de (1) se tiene que
j z1 + z2j2 = j z1 j2 + j z2 j2 + 2Re( z1 � z2): (2)
Puesto que 8 a; b 2 R; a � j a j =
p
a2 �
p
a2 + b2; entonces
8 z 2 C; Re z � j z j:
De donde se sigue, por (2), que
j z1 + z2 j2 � j z1 j2 + j z2 j2 + 2j z1 � z2 j:
Por lo tanto
j z1 + z2 j2 � j z1 j2 + j z2 j2 + 2j z1 j j z2 j:
Como j z2 j = j z2 j; entonces
j z1 + z2 j2 � j z1 j2 + j z2 j2 + 2j z1 jj z2 j:
Por lo tanto
j z1 + z2 j2 � (j z1 j+ j z2 j)2:
46 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
En consecuencia
j z1 + z2 j � j z1 j+ j z2 j:
q.e.d.
Ejemplo: Hallar el valor absoluto del complejo
z =
(4 + 3i)(1 + i)
1� 7i :
Solución:
jzj =
����(4 + 3 i)(1 + i)1� 7 i
����
=
j(4 + 3 i)(1 + i)j
j1� 7ij
=
j4 + 3ijj1 + ij
j1� 7ij
=
p
25
p
2p
50
= 1:
Observación: Si z es un número complejo, con z 6= 0, claro que
z = j z j zjzj ; donde
���� zjzj
���� = 1:
1.5 Las raíces cuadradas de un complejo
Naturalmente que encontrar las raíces cuadradas de un número
complejo z; es equivalente a resolver la ecuación X2 � z = 0:
Consideremos pues la ecuación X2 � z = 0; la que podemos
escribir como X2 = z: Sea z = a+ bi y supongamos que X = x+ yi
es tal que X2 = z: Entonces (x + yi)2 = a + bi; de donde se sigue
1.5. LAS RAÍCES CUADRADAS DE UN COMPLEJO 47
que x2 � y2 + 2x yi = a + bi; y por igualdad de números complejos
tenemos que
x2 � y2 = a y 2xy = b: (1)
Puesto que
(x2 + y2)2 = (x2 � y2)2 + 4x2y2;
entonces combinando esta ecuación con las ecuaciones (1), obte-
nemos
(x2 + y2)2 = a2 + b2:
Puesto que x2 + y2 � 0, entonces
x2 + y2 =
p
a2 + b2: (2)
Como x2 � y2 = a, podemos escribir x2 = a+ y2, y combinando
esta ecuación con la ecuación (2), obtenemos
y2 =
p
a2 + b2 � a
2
;
de donde se sigue que
y = �
sp
a2 + b2 � a
2
:
Análogamente, de x2 � y2 = a, podemos escribir y2 = x2 � a y
combinando esta ecuación nuevamente con la ecuación (2), se tiene
que
x2 =
p
a2 + b2 + a
2
;
de donde se concluye que
x = �
sp
a2 + b2 + a
2
:
Puesto que 2xy = b; entonces los signos de x y y, dependen del
signo de b: Así que, si b > 0; entonces x y y tienen el mismo signo,
y si b < 0 entonces x y y tienen signos opuestos. En consecuencia
tenemos que:
48 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
I) Si b > 0; las dos raíces de la ecuación X2 = a+bi vienen dadas
por:
X = �
0@spa2 + b2 + a
2
+ i
sp
a2 + b2 � a
2
1A :
II) Si b < 0; las dos raíces de la ecuación X2 = a+bi vienen dadas
por:
X = �
0@spa2 + b2 + a
2
� i
sp
a2 + b2 � a
2
1A :
III) Si b = 0; la ecuación X2 = a + bi se reduce a X2 = a; cuyas
raíces son:
i) Si a � 0; X = �
p
a:
ii) Si a < 0; X = �i
p
�a:
Observación: Es claro de los casos I), II) y III), que las dos
raíces cuadradas de un número complejo z 6= 0; son diferentes una
de otra por un cambio de signo, es decir, si x1 es una raíz cuadrada
de z, entonces x2 = �x1 es la otra raíz cuadrada de z: De lo anterior
se deduce que las raíces de la ecuación cuadrática
Ax2 +B x+ C = 0;
donde A; B y C son números complejos, vienen dadas por
X =
�B �W
2A
;
donde W es una raíz de la ecuación
y2 = B2 � 4AC:
Ejemplos:
1.5. LAS RAÍCES CUADRADAS DE UN COMPLEJO 49
1) Encontrar las raíces cuadradas del complejo z = 4 + 3i.
Solución: Basta resolver la ecuación x2 = 4+3i, en donde a = 4
y b = 3. Como b > 0; las raíces vienen dadas por
x = �
0@spa2 + b2 + a
2
+ i
sp
a2 + b2 � a
2
1A :
Por lo tanto
x = �
0@sp16 + 9 + 4
2
+ i
sp
16 + 9� 4
2
1A :
En consecuencia
x1 =
3p
2
+
1p
2
i y x2 = �
3p
2
� 1p
2
i:
Así pues, las raíces cuadradas de z = 4 + 3 i son:
3p
2
+
1p
2
i y � 3p
2
� 1p
2
i:
2) Resolver la ecuación x2 � (1 + i)x+ (6� 2i) = 0:
Solución: Claramente A = 1; B = �(1+ i) y C = 6� 2i: Por lo
tanto, las soluciones de la ecuación dada vienen dadas por
x =
(1 + i)�W
2
;
donde W es una raíz de la ecuación y2 = �24 + 10i:
Como las raíces de esta última sonW = 1+5i y �W = �(1+5i);
entonces x1 = 1 + 3i y x2 = �2i son las raíces de
x2 � (1 + i)x+ (6� 2i) = 0:
50 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
1.6 Forma trigonométrica de un complejo
Dado z 2 C; en la sección anterior resolvimos la ecuación
x2 � z = 0:
En esta sección y la que sigue, estableceremos las condiciones para
resolver la ecuación más general
xn � z = 0:
Sea z = a+ ib un número complejo y sea r = j z j: Si z 6= 0; con-
siderando su representación geométrica, sea � la medida del ángulo
que forman el eje real positivo y el segmento que une el origen del
plano complejo con el punto que representa a z; entonces se tiene
que a = r cos � y b = r sen �: En consecuencia z = a + ib puede es-
cribirse en la forma z = r(cos �+ i sen �): A � se le llama la amplitud
o argumento de z; y escribimos � = arg z. Si z = 0; entonces r = 0;
y por lo tanto z = r(cos � + i sen �) para cualquier �:
En consecuencia, todo complejo z = a+bi puede expresarse como
z = r (cos � + i sen �);
donde r = j z j y � = arg z; llamada forma trigonométrica de z:
Puesto que 8 m 2 Z;
cos(2m� + �) = cos(�)
1.6. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN COMPLEJO 51
y
sen(2m� + �) = sen(�);
entonces � = arg z puede tomar muchos valores, di�riendo cada dos
por múltiplos de 2�. Será siempre conveniente elegir � de modo que
�2� < � < 2�.
Dado z = a+bi; con a 6= 0 y b 6= 0; para determinar un argumento
� de z podemos emplear la función tangente, pues por de�nición
tan(�) =
sen(�)
cos(�)
;
y las tablas trigonométricas, bajo las siguientes indicaciones:
Primero determinamos el ángulo agudo ! (positivo) por
! = tan�1
jbj
jaj ;
y luego:
i) Si a > 0 y b > 0; elegimos � = ! > 0 ó � = ! � 2� < 0:
ii) Si a < 0 y b < 0; elegimos � = ! + � > 0 ó � = ! � � < 0:
52 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
iii) Si a > 0 y b < 0; elegimos � = 2� � ! > 0 ó � = �! < 0:
iv) Si a < 0 y b > 0; elegimos � = � � ! > 0 ó � = �� � ! < 0:
1.6. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN COMPLEJO 53
Ejemplos:
Expresar en forma trigonométrica los siguientes números comple-
jos:
1) z = �3 : En este caso r = 3 y � = �: Así que
z = 3(cos� + i sen �):
2) z = 7i : En este caso r = 7 y � = �2 : Así que
z = 7
�
cos
�
2
+ i sen
�
2
�
:
3) z = 12 �
p
3
2 i : En este caso r = 1 y � =
5�
3 ó � = �
�
3 : Así que
z = cos
�
5�
3
�
+ i sen
�
5�
3
�
ó z = cos
�
��
3
�
+ i sen
�
��
3
�
:
54 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
4) z = 8� 8
p
3i : En este caso
r = 16;
Puesto que z = j z j zjzj ; entonces
z = 16
�
8
16 �
8
p
3
16 i
�
= 16
�
1
2 �
p
3
2 i
�
:
Y por el ejemplo (3)
z = 16
�
cos
�
5�
3
�
+ i sen
�
5�
3
��
:
1.7 Fórmula de De Moivre
Sean
z1 = r1(cos �1 + i sen �1)
y
z2 = r2(cos �2 + i sen �2)
1.7. FÓRMULA DE DE MOIVRE 55
dos números complejos en forma trigonométrica, entonces:
z1 � z2 = [r1(cos �1 + i sen �1)] � [r2(cos �2 + i sen �2)]
= r1 � r2[(cos �1 + i sen �1) � (cos �2 + i sen �2)]
= r1 � r2[(cos �1 cos �2 � sen�1sen�2) +
+i(cos �1sen�2 + sen�1 cos �2)]:
Puesto que
cos �1 cos �2 � sen �1 sen �2 = cos(�1 + �2)
y
cos �1 sen �2+ sen �1 cos �2 = sen (�1 + �2);
entonces
z1 � z2 = r1 � r2 [cos(�1 + �2) + i sen (�1 + �2)] : (1)
En consecuencia, el módulo del producto es el producto de los
módulos de los factores, y el argumento del producto es la suma de
los argumentos de los factores.
Claro que si
z1 = r1(cos �1 + i sen �1);
z2 = r2(cos �2 + i sen �2);
...
zn = rn(cos �n + i sen �n);
entonces por (1), inductivamente, se tiene que
z1 � : : : � z2 = r1 � : : : � rn[cos(�1+ : : :+ �n)+ i sen (�1+ : : :+ �n)]: (2)
Si
z = r(cos � + i sen �)
56 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
es un complejo en forma trigonométrica, entonces por (2)
zn = rn [cos(n�) + i sen (n�)] : (3)
De (3) se sigue que si j z j = r; entonces j zn j = rn; y si arg z = �;
entonces arg zn = n�:
Si j z j = 1; es decir, si
z = cos � + i sen �
entonces por (3) tenemos que
zn = cos(n�) + i sen (n�):
Pero
zn = [cos � + i sen �]n;
de donde se sigue la importante identidad conocida como fórmula de
De Moivre:
[cos � + i sen �]n = cos(n�) + i sen (n�); 8n 2 N:
Consideremos nuevamente los complejos en forma trigonométrica
z1 = r1(cos �1 + i sen �1)
y
z2 = r2(cos �2 + i sen �2);
con z2 6= 0; entonces
z1
z2
=
r1(cos �1 + i sen �1)
r2(cos �2 + i sen �2)
=
r1(cos �1 + i sen �1)
r2(cos �2 + i sen �2)
� cos �2 � i sen �2
cos �2 � i sen �2
=
r1
r2
�
(cos �1 cos �2 + sen �1sen �2) + i(sen �1 cos �2 � cos �1 sen �2)
cos2 �2 + sen2 �2
�
1.7. FÓRMULA DE DE MOIVRE 57
Como se sabe que
cos �1 cos �2 + sen �1 sen �2 = cos(�1 � �2);
sen �1 cos �2 � cos �1 sen �2 = sen (�1 � �2)
y
cos2 �2 + sen2�2 = 1;
entonces
z1
z2
=
r1
r2
[cos(�1 � �2) + i sen (�1 � �2)] : (4)
En consecuencia, el módulo del cociente es el cociente de los
módulos del dividendo y el divisor, y el argumento del cociente es la
diferencia de los argumentos del dividendo y el divisor.
Si z = cos � + i sen �; entonces z 6= 0; y puesto que
1 = cos 0 + i sen 0; entonces por (4)
1
cos � + i sen �
= cos(��) + i sen (��);
o sea que,
(cos � + i sen �)�1 = cos(��) + i sen (��):
Como 8n 2 N
(cos � + i sen �)�n =
�
(cos � + i sen �)�1
�n
;
por la fórmula de De Moivre se tiene que
(cos � + i sen �)�n = cos(�n�) + i sen (�n�):
En consecuencia, la fórmula de De Moivre es válida también para
los enteros negativos. Resumiendo tenemos que 8m 2 Z
[cos � + i sen �]m = cos(m�) + i sen (m�);
pues si m = 0 cada miembro de la identidad anterior tiene valor 1:
58 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
1.8 Resolución de la ecuación xn � z = 0
Veremos enseguida que la ecuación
xn � z = 0
donde z 2 C; z 6= 0 y n 2 N (n � 1); es soluble en el campo de los
números complejos y que tiene exactamente n soluciones (o raíces)
distintas. Para encontrar las soluciones, la fórmula de De Moivre nos
será de gran utilidad.
En lugar de xn � z = 0; con z 2 C; z 6= 0; podemos escribir
xn = z: Tanto a z como al valor numérico complejo, si lo hay,
de la incógnita x que resuelve la ecuación, los escribimos en forma
trigonométrica, digamos
z = r(cos � + i sen �)
y
x = R(cos'+ i sen'):
Por lo tanto
[R(cos'+ i sen')]n = r(cos � + i sen �);
o sea,
Rn [cos'+ i sen']n = r(cos � + i sen �):
De donde se sigue, aplicando la fórmula de De Moivre al primer
miembro de la ecuación, que
Rn[cos (n') + i sen (n')] = r(cos � + i sen �):
En consecuencia, Rn = r y n' = � + 2k� con k 2 Z; y por lo
tanto
R = n
p
r y ' =
� + 2k�
n
:
1.8. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN XN � Z = 0 59
Resumiendo, si z = r(cos � + i sen �), entonces
x = n
p
r
�
cos
� + 2k�
n
+ i sen
� + 2k�
n
�
(1)
donde k 2 Z; es un número complejo que es solución de la ecuación
xn = z:
Ahora probaremos que el número de soluciones (o raíces) distin-
tas, de la ecuación xn = z; es exactamente n; y que se obtienen
sustituyendo en la fórmula (1) los valores de k = 0; 1; : : : ; n � 1; es
decir, para cada valor de k = 0; 1; : : : ; n � 1 que se sustituya en la
fórmula (1), se obtiene una solución distinta de las otras y son todas
las soluciones.
En efecto: considerando los enteros k y n; por el algoritmo de la
división tenemos que
k = nq + ` con 0 � ` < n:
(Así que ` es uno de los números 0; 1; : : : ; n� 1); y entonces
� + 2k�
n
=
� + 2(nq + `)�
n
=
� + 2nq� + 2`�
n
=
� + 2`�
n
+ 2q�;
por lo tanto
cos
�
� + 2k�
n
�
= cos
�
� + 2`�
n
�
y
sen
�
� + 2k�
n
�
= sen
�
� + 2`�
n
�
:
Lo anterior dice que 8 k 2 Z; existe ` 2 f0; 1; : : : ; n� 1g tal que
cos
�
� + 2k�
n
�
+i sen
�
� + 2k�
n
�
= cos
�
� + 2`�
n
�
+i sen
�
� + 2`�
n
�
o sea, que a lo sumo hay n soluciones distintas de la ecuación
60 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
xn = r(cos � + i sen �);
y se obtienen al sustituir k = 0; 1; : : : ; n� 1 en la fórmula (1).
Sean ahora k1; k2 2 f0; 1; : : : ; n� 1g tales que k1 6= k2; y sean
xk1 =
n
p
r
�
cos
� + 2k1�
n
+ i sen
� + 2k1�
n
�
y
xk2 =
n
p
r
�
cos
� + 2k2�
n
+ i sen
� + 2k2�
n
�
:
Si xk1 = xk2 ; entonces
� + 2k1�
n
=
� + 2k2�
n
+ 2s� con s 2 Z:
Por lo tanto
2k1� = 2k2� + 2ns�;
y �nalmente
k1 � k2 = ns:
Esto dice que k1 � k2 es un múltiplo de n; lo que no es posible, ya
que 0 � k1 � n� 1 y 0 � k2 � n� 1; y por lo tanto
�(n� 1) � k1 � k2 � n� 1:
Resumiendo, si k1; k2 2 f0; 1; : : : ; n� 1g y k1 6= k2; entonces
xk1 6= xk2 :
Así pues, al sustituir cada k = 0; 1; : : : ; n � 1 en la fórmula (1),
se obtiene una solución distinta de las otras, de la ecuación
xn = r(cos � + i sen �);
y son todas las soluciones.
En conclusión, todas las soluciones (o raíces) de la ecuación
xn = r(cos � + i sen �) (r > 0)
1.8. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN XN � Z = 0 61
vienen dadas por
x = n
p
r
�
cos
� + 2k�
n
+ i sen
� + 2k�
n
�
;
sustituyendo k = 0; 1; : : : ; n� 1:
Observación: Resolver la ecuación xn = z es equivalente a en-
contrar las raíces n-ésimas del complejo z:
Ejemplo: Resolver la ecuación x3 = 8i:
Solución: En este caso es claro que r = j8ij = 8 y que
� = arg 8i =
�
2
; y por lo tanto
8i = 8(cos
�
2
+ i sen
�
2
):
Así que la ecuación dada puede escribirse como
x3 = 8(cos
�
2
+ i sen
�
2
);
y sus soluciones vienen dadas por
x =
3
p
8
�
cos
�
2 + 2k�
3
+ i sen
�
2 + 2k�
3
�
;
sustituyendo k = 0; 1; 2:
Para k = 0;
x0 = 2
�
cos
�
6
+ i sen
�
6
�
= 2
 p
3
2
+
1
2
i
!
=
p
3 + i:
Para k = 1;
x0 = 2
�
cos
5�
6
+ i sen
5�
6
�
= 2
 
�
p
3
2
+
1
2
i
!
= �
p
3 + i:
62 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Para k = 2;
x0 = 2
�
cos
3�
2
+ i sen
3�
2
�
= 2(0� i)
= �2i:
Así pues, las raíces o soluciones de x3 = 8i son:
x0 =
p
3 + i;
x1 = �
p
3 + i;
x2 = �2i:
1.9 Representación geométrica de las raíces
de la ecuación xn � z = 0
De acuerdo con la sección anterior, si
z = r(cos � + i sen �);
entonces las raíces de la ecuación
xn � z = 0
vienen dadas por
x = n
p
r
�
cos
� + 2k�
n
+ i sen
� + 2k�
n
�
sustituyendo k = 0; 1; : : : ; n�1: De donde se sigue, inmediatamente,
que todas las raíces tienen el mismo módulo R = n
p
r; y por lo tanto,
geométricamente todas estan en la circunferencia de radio R = n
p
r
y centro en el origen del plano.
Observemos ahora que la medida del ángulo entre dos raíces con-
secutivas, para k = j y k = j+1; viene dada por la diferencia de los
argumentos de estas raíces, o sea, por
� + 2(j + 1)�
n
� � + 2j�
n
=
2�
n
:
1.10. LAS RAÍCES N�ÉSIMAS DE LA UNIDAD 63
Y como son n raíces, entonces son n ángulos y por lo tanto, la suma
de sus medidas es 2�: Así que, geométricamente las raíces parten a
la circunferencia de radio R = n
p
r y centro en el origen, en n arcos
iguales.
Ejemplo: Representamos enseguida las raíces de la ecuación
x3 = 8i; resuelta en la sección anterior. Dichas raíces son:
x0 =
p
3 + i; x1 = �
p
3 + i y x2 = �2 i:
1.10 Las raíces n�ésimas de la unidad
Encontrar las raíces n�ésimas de la unidad, signi�ca encontrar
las raíces o soluciones de la ecuación
xn � 1 = 0:
Puesto que
1 = cos 0 + i sen 0;
64 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
la ecuación anterior la podemos escribir como
xn = cos 0 + i sen 0:
Y por lo visto anteriormente, sus raíces o soluciones vienendadas
por
x = cos
�
2k�
n
�
+ i sen
�
2k�
n
�
;
sustituyendo k = 0; 1; : : : ; n� 1:
Debido a que
cos
�
2k�
n
�
+ i sen
�
2k�
n
�
= cos
�
k
2�
n
�
+ i sen
�
k
2�
n
�
;
por la fórmula de De Moivre tenemos que
cos
�
2k�
n
�
+ i sen
�
2k�
n
�
=
�
cos
�
2�
n
�
+ i sen
�
2�
n
��k
:
En consecuencia, las raíces n�ésimas de la unidad, es decir, las
raíces de la ecuación
xn � 1 = 0
se obtienen al sustituir k = 0; 1; : : : ; n� 1 en la fórmula
x =
�
cos
�
2�
n
�
+ i sen
�
2�
n
��k
;
y son precisamente
1 = !0; !; !2; : : : ; !n�1;
donde
! = cos
�
2�
n
�
+ i sen
�
2�
n
�
:
Geométricamente las raíces n�ésimas de la unidad están sobre
la circunferencia de radio 1; con centro en el origen y, como vimos
anteriormente, la dividen en n arcos iguales.
1.10. LAS RAÍCES N�ÉSIMAS DE LA UNIDAD 65
Lo anterior puede emplearse para resolver la ecuación
xm + xm�1 + : : :+ x+ 1 = 0:
En efecto: inductivamente o por multiplicación directa se com-
prueba que
xm+1 � 1 = (x� 1)(xm + xm�1 + : : :+ x+ 1):
Como 1 = !0; !; !2; : : : ; !m son las raíces, distintas entre sí, de
la ecuación xm+1 � 1 = 0; entonces
0 =
�
!k
�m+1
� 1 =
�
!k � 1
� h�
!k
�m
+ : : :+ !k + 1
i
para todo k = 0; 1; : : : ;m:
Si k � 1; entonces !k 6= 1; es decir !k � 1 6= 0; por lo tanto�
!k
�m
+ (!k)m�1 + : : :+ !k + 1 = 0
para todo k = 1; 2; : : : ;m:
Resumiendo,
!; !2; : : : ; !m
son raíces de la ecuación
xm + xm�1 + : : :+ x+ 1 = 0:
Y son todas, pues si hubiera otra diferente de ellas, entonces también
lo sería de xm+1 � 1 = 0; lo que no es posible.
En conclusión, para resolver la ecuación
xm + xm�1 + : : :+ x+ 1 = 0
basta resolver la ecuación
xm+1 � 1 = 0;
cuyas raíces son
1; !; !2; : : : ; !m;
66 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
donde
! = cos
2�
m+ 1
+ i sen
2�
m+ 1
;
y de éstas,
!; !2; : : : ; !m
son las raíces de
xm + xm�1 + : : :+ x+ 1 = 0:
Ejemplo: Resolver la ecuación x3 + x2 + x+ 1 = 0:
Solución: Basta resolver la ecuación
x4 � 1 = 0;
cuyas raíces vienen dadas por
x = cos
2k�
4
+ i sen
2k�
4
sustituyendo k = 0; 1; 2; 3: Y son precisamente:
Para k = 0; x0 = 1:
Para k = 1; x1 = ! = cos �2 + i sen
�
2 = i:
Para k = 2; x2 = !2 = cos� + i sen� = �1:
Para k = 3; x3 = !3 = cos 32 � + i sen
3
2 � = �i:
Así pues, las raíces de x3 + x2 + x+ 1 = 0 son: i;�1; y �i:
1.11 Notas
1. En los números reales tenemos de�nida una relación de orden
\ � " que cumple con las siguientes propiedades:
1.12. EJERCICIOS 67
i) 8x 2 R; x � x:
ii) Dados x; y 2 R; si x � y y y � x; entonces x = y:
iii) Dados x; y; z 2 R; si x � y y y � z; entonces x � z:
iv) 8 x; y 2 R; x � y o y � x:
Sin embargo, la relación de orden en los números reales no
puede ser extendida a los números complejos. De hecho, no
se puede de�nir en los números complejos una relación que
cumpla con todas las propiedades antes mencionadas.
2. Si x es un número real positivo y n es un número natural, con
n
p
x = x1=n denotamos al único número real positivo c tal que
cn = x: Puesto que un número complejo z 6= 0; tiene n raíces
n�ésimas distintas, el símbolo n
p
z = z1=n no representaría a
un complejo, sino a n posibles complejos. Sin la aclaración
anterior podemos tener resultados como el siguente:
3 =
p
9 =
p
(�3)(�3) =
p
�3
p
�3 =
�p
3i
��p
3i
�
= �3:
Lo que es una contradicción. Por tanto, las leyes de exponen-
ciación racional que se tienen en los números reales positivos,
no se tienen en los complejos. Si z1 y z2 son números complejos
y z = z1z2; lo más que podemos a�rmar es que cualquier raíz
n�ésima de z; será el producto de alguna raíz n�ésima de z1
por alguna raíz n�ésima de z2:
1.12 EJERCICIOS
1. Sean z; z1; z2; z3 2 C: Pruebe que:
1.1 z � 0 = 0:
1.2 �z = (�1)z:
1.3 �(�z) = z:
68 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
1.4 (�z1) z2 = z1 (�z2) = � (z1z2) :
1.5 (�z1) (�z2) = z1z2:
1.6 z1 (z2 � z3) = z1z2 � z1z3:
1.7 Si z 6= 0; entonces
�
z�1
��1
= z:
1.8 Si z1 � z2 = 0, entonces z1 = 0 ó z2 = 0:
1.9 Si z + z1 = z + z2; entonces z1 = z2:
1.10 Si z � z1 = z � z2 y z 6= 0; entonces z1 = z2:
2. Pruebe la proposición (1.2.5).
3. Sean z; z1 2 C con z 6= 0 y z1 6= 0; y sean m;n 2 Z: Pruebe
que:
3.1 z�n =
1
zn
: 3.2 (zz1)n = znzn1 :
3.3 (zn)m = znm: 3.4 znzm = zn+m:
3.5 ( zz1 )
n = z
n
zn1
:
4. Escriba el conjugado de los siguientes complejos:
4.1 z = 3 + 2i: 4.2 z = �3 + i:
4.3 z = 12 �
4
3 i: 4.4 z = �8�
1
5 i:
5. Escriba en forma normal los siguientes números complejos:
5.1 z = (a+ 0i)(c+ di): 5.2 z = a+bic+0i (c 6= 0):
5.3 z = 3� 7i� 8� 2i: 5.4 z = 5� 2i� (6� 4i)i:
5.5 z = 1+i1�i �
2�i
1+i : 5.6 z =
�i
(1+i)(2�i) :
5.7 z = 3�2i�5+i : 5.8 z =
(2+i)(1�2i)
3�i :
5.9 z = 1+ii +
�i
1�i : 5.10 z =
(1+i)3
1�i :
5.11 z = i
1+i+ i
1+i+ i1+i
: 5.12 z = (4+3i)(2�i)7�i +
�
1
2 +
3
2 i
�3
:
6. Represente en el plano cartesiano los siguientes números com-
plejos:
1.12. EJERCICIOS 69
6.1 z = 3 + 2i: 6.2 z = 1�3i1+3i :
6.3 z = �8 + 8
p
3i: 6.4 z = �i+ 1i :
7. Calcule z � z; z + z; z � z y z
z
si:
7.1 z = �3 + 5i: 7.2 z = 1�i7�2i :
7.3 z = 2� 7i: 7.4 z = (�3� 2i)(�1 + 2i):
8. Sean z; z1; z2; : : : ; zn 2 C: Pruebe que:
8.1 zn = ( z )n; para cada n 2 N:
8.2 Si z 6= 0; z�1 = (z )�1:
8.3 Si z 6= 0; z�n = ( z )�n; para cada n 2 N:
8.4 z1 + z2 + : : :+ zn = z1 + z2 + : : :+ zn, para cada n 2 N
9. Si z; z1; z2 2 C; pruebe que:
9.1 jjz1j � jz2jj � jz1 � z2j :
9.2 jz1 + z2j2 + jz1 � z2j2 = 2 jz1j2 + 2 jz2j2 :
9.3 j�zj = jzj :
9.4 jz1 � z2j = jz2 � z1j :
9.5 jz1 � z2j es la longitud del segmento que une los puntos
que representan a z1 y z2 en el plano complejo.
9.6 jznj = jzjn ; para cada n 2 N:
9.7 Si z 6= 0;
��z�1�� = jzj�1 :
9.8 Si z 6= 0; jz�nj = jzj�n ; para cada n 2 N:
10. Si z1; z2; : : : ; zn 2 C, pruebe que:
10.1 jz1 + z2 + : : :+ znj � jz1j+ jz2j+ : : :+ jznj :
10.2 jz1 � z2 � : : : � znj = jz1j jz2j : : : jznj :
11. Calcule el módulo de los siguientes números complejos:
70 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
11.1 z = i: 11.2 z = �i:
11.3 z = 1 + i� 3 + 2i: 11.4 z = 1i :
11.5 z = �12 +
p
3
2 i: 11.6 z =
1�ip
2
:
11.7 z = (4�3i)(1�2i)2�i : 11.8 z =
(1+i)3(3�4i)4
(4�3i)5 :
11.9 z =
�
1
2
�
p
3
2
i
�8
(6�8i)5
(�8�6i)6 : 11.10 z =
(
p
3�2i)3(
p
3�
p
7i)4
(�9+3i)+(2�3i) :
12. Calcule jzj si:
12.1 z = 1�xi1+xi con x 2 R:
12.2 z = x2 � 1 + 2xi con x 2 R:
13. Si jzj = 3; ¿cuál es el valor máximo que puede tomar��1 + z + z3��?
14. Resuelva las siguientes ecuaciones:
14.1 x2 � 6� 8i = 0 14.2 x2 � i = 0:
14.3 x2 � 24� 70i = 0: 14.4 2ix2 � 4� 6i = 0:
14.5 x2 � 1�
p
3i = 0: 14.6 x2 + 12 �
p
3
2 i = 0:
15. Pruebe que las soluciones de la ecuación Ax2+Bx+C = 0 de
coe�cientes complejos A;B y C; vienen dadas por:
x =
�B �W
2A
;
donde W es cualquier solución de la ecuación
y2 = B2 � 4AC:
16. Resuelva las siguientes ecuaciones:
16.1 �2x2 + 2x� 5 = 0:
16.2 x2 + 2ix� 1 = 0:
16.3 x2 � (2 + 3i)x� 1 + 3i = 0:
16.4 (2� 2i)x2 � (11 + 9i)x� 16 + 6i = 0:
1.12. EJERCICIOS 71
16.5 x2 � x+ 1 + i = 0:
17. Escriba en forma trigonométrica los siguientes números com-
plejos:
17.1 z = �35 : 17.2 z = 6i:
17.3 z = �4� 3i: 17.4 z = 1� i:
17.5 z = 12 �
p
3
2 i: 17.6 z = �3 + 3
p
3i:
17.7 z = 1�
p
3� (1 +
p
3)i: 17.8 z = �2 + i:
17.9 z = �8+8ip
2
: 17.10 z = 1 + cos�+ i sen�
17.11 z =
�p
3 + i
�n
; con n 2 Z:
17.12 z =
�
1 +
p
3�
�
1�
p
3
�
i
�m
; con m 2 Z:
18. Interprete geométricamente la suma y la multiplicación de
números complejos.
19. Escribiendo z = cos � + i sen � en la identidad
1 + z + z2 + : : :+ zn�1 =
1� zn
1� z ;
pruebe que:
1 + 2 cos � + 2 cos 2� + : : :+ 2 cos(n� 1)� =
sen
�
n� 12
�
�
sen 12�
y
sen � + sen 2� + : : :+ sen (n� 1) � =
cos 12� � cos
�
n� 12
�
�
2 sen 12�
:
20. Resuelva las siguientes ecuaciones. Escriba sus soluciones en
forma normal:
20.1 x2 = 1: 20.2 x4 = 1:
20.3 x4 = �16i: 20.4 x3 = �2i:
20.5 ix6 + 4i = 0: 20.6 (1� i)x4 � 2 = 0:
20.7 x4 = 8� 8
p
3i: 20.8 x4 = �12 +
p
3
2 i:
20.9 x7 = 1: 20.10 x3 = 4
p
3 + 4i:
72 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
21. Resuelva las siguientes ecuaciones. Escriba sus solucionesen
forma normal:
21.1 x2 + x+ 1 = 0:
21.2 x3 + x2 + x+ 1 = 0:
21.3 x5 + x4 + x3 + x2 + x = 0:
21.4 x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1 = 0:
21.5 x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1 = 0:
22. Pruebe que si y1; y2; : : : ; y` son soluciones de la ecuación
y` + y`�1 + : : :+ y + 1 = 0;
entonces las soluciones x11; x12; : : : ; x1 k; x21; x22; : : : ; x2 k; : : : ;
x` 1; x` 2; : : : ; x` k de las respectivas ecuaciones xk = y1;
xk = y2 ; : : : ; x
k = y`; son todas las soluciones de
xk ` + xk (`�1) + : : :+ xk + 1 = 0:
23. Resuelva las siguientes ecuaciones:
23.1 x4 + x2 + 1 = 0:
23.2 x6 + x3 + 1 = 0:
23.3 x6 + x4 + x2 + 1 = 0:
23.4 x15 + x12 + x9 + x6 + x3 + 1 = 0:
23.5 x9 + x7 + x5 + x3 = 0:
23.6 x12 + x8 + x4 + 1 = 0:
24. Si � es una raíz n�ésima del complejo z, es decir, si � es raíz
de xn = z y �1; �2; : : : ; �n son las raíces de x
n = 1; pruebe que
entonces ��1; ��2; : : : ; ��n son todas las raíces de x
n = z:
25. Si � y � son raíces de xn = 1; pruebe que también �� es raíz
de xn = 1:
26. Si � es raíz de xn = 1; pruebe que también ��1 es raíz de
xn = 1:
1.12. EJERCICIOS 73
27. Si � es raíz de xn = 1; pruebe que también �m es raíz de
xn = 1; para cada m 2 Z:
28. Si � es raíz de xk = 1; pruebe que entonces � es raíz de
xk` = 1; para cada ` 2 N:
29. Si � es raíz de xn = 1 y n = k` con k; ` 2 N; pruebe que la
raíz �` de xn = 1 es también raíz de xk = 1:
30. Decimos que � es raíz primitiva de xn = 1; si � es raíz de
xn = 1 y �0; �1; �2; : : : ; �n�1 son diferentes entre sí, esto es,
son todas las raíces de xn = 1:
30.1 Pruebe que ! = cos 2�n + i sen
2�
n es raíz primitiva de
xn = 1:
30.2 Encuentre todas las raíces primitivas de x6 = 1:
30.3 Encuentre todas las raíces primitivas de x5 = 1:
30.4 Si � es raíz primitiva de xn = 1; pruebe que �k es raíz
primitiva de xn = 1; si y sólo si, 1 = (k; n):
Capítulo 2
POLINOMIOS
2.1 Conjuntos de polinomios
Por convenir a nuestro objetivo de resolver la ecuación algebraica
anx
n + an�1x
n�1 + : : :+ a1x+ a0 = 0; (1)
estamos ahora interesados en estudiar las expresiones de la forma
an x
n + an�1 x
n�1 + : : :+ a1 x+ a0;
a las que llamaremos polinomios en la indeterminada x:
Dada la ecuación algebraica (1), si an; an�1; : : : ; a1; a0 son núme-
ros enteros, decimos que la ecuación es de coe�cientes enteros; análo-
gamente, si an; an�1; : : : ; a1; a0 son números racionales o números
reales o números complejos, decimos que la ecuación es de coe�-
cientes racionales o de coe�cientes reales o de coe�cientes complejos,
respectivamente.
En lo que sigue, D representará cualquiera de los conjuntos de
números Z;Q;R ó C; con sus respectivas operaciones.
De�nición (2.1.1).�Un polinomio en la indeterminada x y de
coe�cientes en D; es una expresión de la forma
anx
n + an�1x
n�1 + : : :+ a1x+ a0; (2)
75
76 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
donde n 2 N[f0g; y donde las constantes an; an�1; : : : ; a1; a0 pertene-
cen a D y son los coe�cientes del polinomio. Las expresiones
anx
n; an�1x
n�1; : : : ; a1x; a0
se llaman términos o sumandos del polinomio. A anxn; si an 6= 0 y
n � 1; se le llama el término de mayor potencia o exponente; y a a0 tér-
mino independiente o constante. Al término akxk le llamamos término
de potencia o exponente k:
Observación: Además de la expresión (2) de un polinomio,
según las potencias decrecientes de la indeterminada, también se
permiten otras expresiones obtenidas de (2), al permutar los tér-
minos del polinomio. Por ejemplo la expresión según las potencias
crecientes de la indeterminada:
a0 + a1 x+ a2 x
2 + : : :+ an x
n:
También, en lugar de (2), se usa la expresión
a0x
n + a1x
n�1 + : : :+ an�1x+ an:
Notación: Para denotar polinomios en la indeterminada x y de
coe�cientes en D; se utilizan las expresiones f(x); g(x); p(x); : : : Por
ejemplo
f(x) = anx
n + an�1x
n�1 + : : :+ a1x+ a0
y
g(x) = bmx
m + bm�1x
m�1 + : : :+ b1x+ b0:
Al conjunto de polinomios en la indeterminada x y de coe�cientes
en D; se le denota por D[x]; es decir,
D[x] = ff(x) j f(x) es polinomio de coe�cientes en Dg:
Así tenemos que:
Si D = Z;
Z[x] = ff(x) j f(x) es polinomio de coe�cientes en Zg:
2.1. CONJUNTOS DE POLINOMIOS 77
f(x) = 3x4 + 2x3 + 0x2 + (�8)x+ (�6) 2 Z[x]:
Si D = Q;
Q[x] = ff(x) j f(x) es polinomio de coe�cientes en Qg:
f(x) =
2
3
x3 + 3x2 +
�
�1
2
�
x+
8
5
2 Q[x]:
Si D = R;
R[x] = ff(x) j f(x) es polinomio de coe�cientes en Rg:
f(x) = 5x3 +
p
3x2 +
�
�7 + 2
p
3
�
x+ � 2 R[x]:
Si D = C;
C[x] = ff(x) j f(x) es polinomio de coe�cientes en Cg:
f(x) = 7x4 + ix3 +
�
�
p
2i
�
x2 + (7 + 3i)x+ 4 2 C[x]:
Observación: Puesto que Z � Q � R � C; entonces es inme-
diato que Z[x] � Q[x] � R[x] � C[x]:
Convención:
i) Si el coe�ciente ai; i � 0; de un polinomio, es cero, conveni-
mos que el término con este coe�ciente se puede omitir al escribir el
polinomio; excepto cuando todos los coe�cientes son cero, en cuyo
caso escribiremos sólo el término independiente. Por ejemplo, los
polinomios
f(x) = 3x5 + 0x4 + 4x3 + 0x2 + 8x+ 0
y
g(x) = 0x3 + 0x2 + 0x+ 0
se pueden escribir como
f(x) = 3x5 + 4x3 + 8x y g(x) = 0;
respectivamente.
78 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
ii) Si el coe�ciente ai; i � 1; de un polinomio, es 1; es decir, si
ai = 1; con i � 1; convenimos que se puede omitir este coe�ciente
al escribir el polinomio. Por ejemplo, el polinomio
f(x) = 1x3 + (�3)x2 + 1x+ 1
se puede escribir como
f(x) = x3 + (�3)x2 + x+ 1:
iii) Convenimos también en que a un polinomio que tiene térmi-
nos con coe�cientes precedidos de signo menos, podemos escribirlo
anteponiendo a tales términos el signo menos del coe�ciente y omi-
tiendo el signo más. Por ejemplo, el polinomio
f(x) = (�3)x5 + 8x4 + 1
2
x2 + (�a)x+ (�2)
se puede escribir como
f(x) = �3x5 + 8x4 + 1
2
x2 � ax� 2:
De�nición (2.1.2).�Sea
f(x) = anx
n + : : :+ a1x+ a0 2 D[x]
con aj 6= 0 para al menos un j = 0; 1; 2; : : : ; n: De�nimos el grado de
f(x) como k; y escribimos gr f(x) = k; si y sólo si,
k = máx fj 2 f0; 1; 2; : : : ; ng j aj 6= 0g :
Observación: Si f(x) = a0 y a0 6= 0; por de�nición gr f(x) = 0:
No de�nimos el grado del polinomio
f(x) = 0xn + : : :+ 0x+ 0;
al cual denotamos por f(x) = 0 y llamaremos el polinomio cero.
Diremos que un polinomio es constante, si es el polinomio cero ó es
de grado cero.
2.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 79
Es claro que para cada n 2 N[f0g, existen polinomios de grado
n: Convenimos en decir que un polinomio es de primer, segundo,
tercer grado,. . . si tiene grado 1,2,3, . . . , respectivamente. También
se dice que un polinomio es lineal ó cuadrático, si tiene grado 1 ó 2,
respectivamente.
De�nición (2.1.3).�Sean f(x); g(x) 2 D[x]; con
f(x) = anx
n + : : :+ a1x+ a0
y
g(x) = bnx
n + : : :+ b1x+ b0:
Decimos que g(x) es igual a f(x); y escribimos g(x) = f(x); si bi = ai
para cada i = 0; 1; 2; : : : ; n:
Observación: Si f(x) = anxn+: : :+a1x+a0; entonces f(x) 6= 0;
es decir,
anx
n + : : :+ a1x+ a0 6= 0;
si y sólo si, aj 6= 0 para algún j = 0; 1; 2; : : : ; n:
2.2 Suma y multiplicación de polinomios
Sean f(x); g(x) 2 D [x] con
f(x) = anx
n + : : :+ a1x+ a0
y
g(x) = bmx
m + : : :+ b1x+ b0:
Si n > m; claro que por como hemos convenido, podemos escribir
g(x) = 0xn + : : :+ 0xm+1 + bmx
m + : : :+ b1x+ b0:
Análogamente, si m > n podemos escribir
f(x) = 0xm + : : :+ 0xn+1 + anx
n + : : :+ a1x+ a0:
80 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
De�nición (2.2.1).�Sean f(x); g(x) 2 D[x]; con
f(x) = anx
n + : : :+ a1x+ a0
y
g(x) = bmx
m + : : :+ b1x+ b0:
i) De�nimos la suma de los polinomios f(x) y g(x); denotada por
f(x) + g(x); como el polinomio
f(x) + g(x) = ckx
k + : : :+ c1x+ c0;
donde k = n si n � m ó k = m si m > n; y donde ci = ai + bi
para cada i = 0; 1; : : : ; k; conviniendo que bm+1 = : : : = bn = 0 ó que
an+1 = : : : = am = 0; si n > m ó m > n; respectivamente.
ii) De�nimos la multiplicación o producto de los polinomios f(x) y
g(x); denotada por f(x) � g(x) o por f(x)g(x); como el polinomio
f(x) � g(x) = dn+mxn+m + : : :+ d1x+ d0;
donde
di =
X
`+k=i
a`bk
para i = 0; 1; : : : ; n+m; ` = 0;1; : : : ; n y k = 0; 1; : : : ;m:
Notación: En lugar de f(x)+g(x) también se escribe (f+g)(x);
es decir,
(f + g)(x) = f(x) + g(x):
Análogamente, en lugar de f(x) � g(x); también se escribe (f � g)(x);
es decir,
(f � g)(x) = f(x) � g(x):
La de�nición de suma de polinomios dice, como ya es conocido,
que para sumar dos polinomios, se suman los coe�cientes de sus tér-
minos semejantes (los términos son semejantes si son constantes o
tienen la misma potencia). La de�nición de multiplicación de poli-
nomios dice, como también ya es conocido, que para multiplicar dos
polinomios, se multiplican cada uno de los términos de un factor por
2.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 81
cada uno de los términos del otro, conviniendo en que a � bx� = abx�
y que ax� �bx� = abx�+�; y luego se reducen los términos semejantes
(sumando sus coe�cientes). El proceso para obtener la multiplicación
de dos polinomios puede hacerse de acuerdo al siguiente arreglo, tam-
bién muy conocido, y que para mayor claridad haremos para el caso
particular en que
f(x) = a3x
3 + a2x
2 + a1x+ a0 y g(x) = b2x2 + b1x+ b0:
(b2x
2 + b1x+ b0)� (a3x3 + a2x2 + a1x+ a0)
a3b2x
5 + a3b1x
4 + a3b0x
3
a2b2x
4 + a2b1x
3 + a2b0x
2
a1b2x
3 + a1b1x
2 + a1b0x
a0b2x
2 + a0b1x + a0b0
a3b2x
5 + (a3b1 + a2b2)x
4 + (a3b0 + a2b1 + a1b2)x
3+
+(a2b0 + a1b1 + a0b2)x
2 + (a1b0 + a0b1)x+ a0b0
O sea que en este caso,
f(x) � g(x) = a3b2x5 + (a3b1 + a2b2)x4 + (a3b0 + a2b1 + a1b2)x3
+(a2b0 + a1b1 + a0b2)x
2 + (a1b0 + a0b1)x+ a0b0:
Puesto que la multiplicación de polinomios sólo depende de sus
coe�cientes, el arreglo anterior puede quedar de la siguiente manera:
b2 b1 b0 � a3 a2 a1 a0
a3b2 a3b1 a3b0
a2b2 a2b1 a2b0
a1b2 a1b1 a1b0
a0b2 a0b1 a0b0
a3b2 a3b1 + a2b2 a3b0 + a2b1 + a1b2 a2b0 + a1b1 + a0b2
a1b0 + a0b1 a0b0
Así que
f(x) � g(x) = a3b2x5 + : : :+ (a1b0 + a0b1)x+ a0b0
82 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
como ya se había obtenido.
Volviendo a la de�nición de multiplicación, tenemos que:
d0 = a0b0;
d1 = a1b0 + a0b1;
d2 = a2b0 + a1b1 + a0b2;
...
dn+m = anbm:
En general, escribiendo ai = 0 para i = n + 1; : : : ; n + m; y
bi = 0 para i = m+ 1; : : : ;m+ n; tenemos que:
di = aib0 + ai�1b1 + : : :+ a1bi�1 + a0bi:
Ejemplos:
1. Si f(x) = 3x2 � 7x+ 3 y g(x) = 5x3 + 2x+ 1; entonces escri-
biendo f(x) = 0x3 + 3x2 � 7x + 3 y g(x) = 5x3 + 0x2 + 2x + 1;
tenemos que f(x) + g(x) = 5x3 + 3x2 � 5x+ 4:
2. Si f(x) = 12x
3 � 8 y g(x) = 6x2 � 2x; entonces sumando
directamente tenemos que f(x) + g(x) = 12x
3 + 6x2 � 2x� 8:
3. Sean f(x) = x5 � 2x2 + 3 y g(x) = 2x4 � 3x3 + x� 1: Si que-
remos aplicar el segundo proceso para multiplicar, debemos escribir
f(x) = x5+0x4+0x3�2x2+0x+3 y g(x) = 2x4�3x3+0x2+x�1, con
lo que se tiene:
2 -3 0 1 -1 � 1 -0 0 -2 0 3
2 -3 0 1 -1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
-4 6 0 -2 2
0 0 0 0 0
6 -9 0 3 -3
2 -3 0 -3 5 6 -11 2 3 -3
2.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 83
Y por lo tanto
f(x) � g(x) = 2x9 � 3x8 � 3x6 + 5x5 + 6x4 � 11x3 + 2x2 + 3x� 3:
En el arreglo anterior, los renglones de ceros pueden ser omitidos,
siempre y cuando se haga el corrimiento exacto hacia la derecha, esto
es:
2 -3 0 1 -1 � 1 0 0 -2 0 3
2 -3 0 1 -1
-4 6 0 -2 2
6 -9 0 3 -3
2 -3 0 -3 5 6 -11 2 3 -3
4. Multiplicar los polinomios
f(x) = �2x2 + x
y
g(x) = 4x3 + x2 � 5:
4 1 0 -5 � -2 1 0
-8 -2 0 10
4 1 0 -5
-8 2 1 10 -5
De donde tenemos que
f(x) � g(x) = �8x5 + 2x4 + x3 + 10x2 � 5x:
5. Si f(x) = c y g(x) = bmxm + : : :+ b1x+ b0; es claro que
f(x) � g(x) = c � g(x) = cbmxm + : : :+ cb1x+ cb0:
84 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
6. Si f(x) = 3 y g(x) = 2x3 � 7x+ 13 ; entonces
f(x) � g(x) = 3g(x) = 6x3 � 21x+ 1:
Proposición (2.2.2).�Si f(x); g(x) 2 D[x]; con f(x) 6= 0 y
g(x) 6= 0; entonces:
i) f(x) + g(x) = 0 ó gr (f(x) + g(x)) � máx fgr f(x); gr g(x)g:
ii) f(x)g(x) 6= 0 y gr (f(x) � g(x)) = gr f(x)+ gr g(x):
Demostración: Sean
f(x) = anx
n + : : :+ a1x+ a0
y
g(x) = bmx
m + : : :+ b1x+ b0:
Puesto que f(x) 6= 0 y g(x) 6= 0, podemos suponer que an 6= 0 y
bm 6= 0; es decir, gr f(x) = n y gr g(x) = m:
De (i): Si f(x) + g(x) = 0; nada hay que demostrar. Suponemos
entonces que f(x) + g(x) 6= 0:
Si n > m; por de�nición de suma tenemos que
f(x) + g(x) = cnx
n + : : :+ c1x+ c0;
donde ci = ai + bi para i = 0; 1; 2; : : : ; n: Por lo tanto
cn = an + bn = an + 0 = an 6= 0:
De donde se sigue que
gr (f(x) + g(x)) = n = máx fgr f(x); gr g(x)g :
Si m > n; entonces
f(x) + g(x) = cmx
m + : : :+ c1x+ c0;
2.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 85
donde cm = am + bm = 0 + bm = bm 6= 0; y por lo tanto
gr (f(x) + g(x)) = m = máx fgr f(x); gr g(x)g :
Si n = m; entonces
f(x) + g(x) = cnx
n + : : :+ c1x+ c0;
donde puede ocurrir que
cn = an + bn 6= 0
ó que
cn = an + bn = 0:
Puesto que f(x) + g(x) 6= 0; entonces cj 6= 0 para algún
j = 0; 1; : : : ; n: Sea k 2 f0; 1; : : : ; ng el máximo tal que ck 6= 0;
entonces
gr (f(x) + g(x)) = k � n = máx fgr f(x); gr g(x)g :
De (ii): Por de�nición
f(x) � g(x) = dn+mxn+m + : : :+ d1x+ d0;
donde
di =
X
`+k=i
a`bk:
Por lo tanto dn+m = anbm. Como an 6= 0 y bm 6= 0; entonces
dn+m 6= 0; y por tanto f(x) � g(x) 6= 0; y además
gr (f(x) � g(x)) = n+m = gr f(x) + gr g(x):
q.e.d.
Corolario (2.2.3).� Si f(x); g(x) 2 D[x]; con f(x) 6= 0 y
g(x) 6= 0; entonces:
i) gr f(x) � gr (f(x) � g(x)) :
ii) gr (cf(x)) = gr f(x); si c 2 D y c 6= 0:
86 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
iii) gr (f(x) + c) = gr f(x); si c 2 D y f(x) + c 6= 0:
Demostración: Se deja como ejercicio al lector.
Teorema (2.2.4).�El conjunto de polinomiosD[x]; con las opera-
ciones de suma y multiplicación antes de�nidas, constituye un dominio
entero, es decir, satisface las siguientes propiedades:
S1) Si f(x); g(x) 2 D[x]; entonces f(x) + g(x) 2 D[x]:
S2) (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) ;
8 f(x); g(x); h(x) 2 D[x]:
S3) f(x) + g(x) = g(x) + f(x); 8 f(x); g(x) 2 D[x]:
S4) Existe un único polinomio o(x) 2 D[x] tal que
f(x) + o(x) = f(x); 8 f(x) 2 D[x]:
S5) Para cada f(x) 2 D[x]; existe un único polinomio
�(x) 2 D[x] tal que f(x) + �(x) = o(x):
M1) Si f(x); g(x) 2 D[x]; entonces f(x) � g(x) 2 D[x]:
M2) (f(x) � g(x)) � h(x) = f(x) � (g(x) � h(x)) ;
8 f(x); g(x); h(x) 2 D[x]:
M3) f(x) � g(x) = g(x) � f(x); 8 f(x); g(x) 2 D[x]:
M4) Existe un único polinomio `(x) 2 D[x] tal que
f(x) � `(x) = f(x); 8 f(x) 2 D[x]:
D) f(x) � (g(x) + h(x)) = f(x) � g(x) + f(x) � h(x);
8 f(x); g(x); h(x) 2 D[x]:
E) Si f(x); g(x) 2 D[x] y f(x) � g(x) = o(x); entonces
f(x) = o(x) ó g(x) = o(x):
Demostración:
De (S1): Es clara de la de�nición de suma de polinomios.
2.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 87
De (S2): Se deja al lector.
De (S3): Sean
f(x) = anx
n + : : :+ a1x+ a0
y
g(x) = bmx
m + : : :+ b1x+ b0:
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que n � m; y en
tal caso escribimos
g(x) = bnx
n + : : :+ bmx
m + : : :+ b1x+ b0
donde bm+i = 0 8 i � 1: Puesto que ak; bk 2 D; 8 k = 0; 1; : : : ; n; en-
tonces ak + bk = bk + ak; 8 k = 0; 1; : : : ; n; y en consecuencia
f(x) + g(x) = (an + bn)x
n + : : :+ (am + bm)x
m +
+ : : :+ (a1 + b1)x+ (a0 + b0)
= (bn + an)x
n + : : :+ (bm + am)x
m +
+ : : :+ (b1 + a1)x+ (b0 + a0)
= g(x) + f(x):
o sea,
f(x) + g(x) = g(x) + f(x)
como se quería probar.
De (S4): El polinomio o(x) es precisamente el polinomio cero, es
decir,
o(x) = 0xk + : : :+ 0x+ 0 = 0;
ya que dado f(x) = anxn + : : :+ a1x+ a0 tenemos que:
f(x) + o(x) = (an + 0)x
n + : : :+ (a1 + 0)x+ (a0 + 0)
= anx
n + : : :+ a1x+ a0
= f(x):
Así pues,
f(x) + o(x) = f(x):
La demostración de que o(x) es único, se deja al lector.
88 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
De (S5): Dado
f(x) = anx
n + : : :+ a1x+ a0
elegimos
�(x) = �anxn � : : :� a1x� a0:
Se comprueba inmediatamente que
f(x) + �(x) = o(x):
La demostración de que �(x) es único, se deja al lector.
Al polinomio �(x) lo denotamos por �f(x); es decir,
�(x) = �f(x):
Por tanto
f(x) + (�f(x)) = o(x):
En general, dados f(x); g(x) 2 D[x]; en lugar de f(x) + (�g(x))
escribiremos f(x)� g(x); es decir,
f(x)� g(x) = f(x) + (�g(x)) :
En particular f(x) + (�f(x)) = f(x)� f(x):
De (M1): Es clara de la