SeminarioI_6_7_21

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Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Convex Analysis for Optimization
Jan Brinkhuis
Villalba Salazar, Raul Moises
Prof. Alex Armando Cruz Huallpara
Seminario I
6 de julio del 2021
Seminario I Prof. Alex Armando Cruz Huallpara
Convex Analysis for Optimization
Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Contenido
1 Proposición 3.5.4
2 Ejemplo 3.5.5
3 Ejemplo 3.5.6
4 Teorema 3.5.7
5 Ejemplo 3.5.8
6 Lema 3.5.9
7 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Seminario I Prof. Alex Armando Cruz Huallpara
Convex Analysis for Optimization
Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Proposición 3.5.4
Proposición 3.5.4
Cada conjunto convexo no vacío A ⊆ X = Rn tiene un punto interior
relativo.
Para ser más precisos, la Proposición 3.5.4 muestra que siempre
podemos asumir que (sin pérdida de generalidad) un conjunto convexo
no vacío dado A ⊆ Rn contiene el origen en su punto interior. De hecho,
podemos elegir un punto interior relativo, trasladar A a una nueva
posición A′ talque este punto se lleva al origen; esto convierte el casco
afín de A en el tramo de A′. Finalmente, consideramos A′ como un
subconjunto convexo del subespacio span(A′) y damos una descripción
de coordenadas del span(A′) eligiendo una base para ello. Con esto
concluye la reducción a un conjunto convexo que tiene el origen como
punto interior.
Antes de enunciar formalmente el resultado principal, explicaremos el
significado geométrico del mismo.
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Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Ejemplo 3.5.5
Ejemplo 3.5.5 (El resultado principal sobre la forma de un conjunto
convexo para una bola cerrada)
La siguiente descripción de la forma de una bola cerrada en Rn es la vista
sobre conjuntos convexos que se da a continuación sobre conjuntos
convexos arbitrarios. Si viaja en la dirección de algún vector unitario v ,
con rapidez constante y en línea recta, partiendo del centro de la bola,
ocurrirá lo siguiente. Viajas inicialmente a través del interior de la bola,
entonces golpearás durante un momento el límite del disco, y después de
ese momento viajarás para siempre fuera del disco. El tiempo de golpe no
depende de la dirección v .
Con el fin de explicar el significado geométrico del resultado principal, el
modelo de vista superior es el más conveniente; con el fin de dar una
descripción formal del resultado, el modelo hemisférico es más
conveniente.
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Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Ejemplo 3.5.6
Ejemplo 3.5.5 (El resultado principal sobre la forma de un conjunto
convexo para conjuntos en el plano delimitado por una elipse, una
parábola y una rama de una hipérbola)
La Figura 3.9 ilustra el resultado principal para tres conjuntos convexos
cerrados A en el plano R2 que contienen el origen en sus interiores: el de
la izquierda está delimitado por una elipse, el del medio es delimitado por
una parábola y el derecho está delimitado por una rama de una hipérbola.
Aquí hay una explicación para esta figura. Para cada uno de estos tres
conjuntos convexos A, su modelo está indicado por la misma letra que el
propio conjunto, por A ; el modelo del conjunto de direcciones de recesión
se indica con la misma letra que el cono de recesión, por RA. Recuerde
aquí que las direcciones de recesión de A corresponden a los rayos
abiertos de RA. Cada flecha en la figura modela un segmento de línea
cerrada con un punto extremo el origen y el otro extremo un punto límite
de A, o modela una media línea contenida en A con un extremo el origen.
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Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Ejemplo 3.5.6
Figura: La forma de un conjunto convexo cerrado junto con sus direcciones de
recesión
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Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Teorema 3.5.7
Ahora describimos el resultado principal de estos tres conjuntos A. Aquí
obtenemos la misma descripción de tres conjuntos convexos de aspecto
diferente, después de agregar direcciones de recesión. Suponga que viaja,
en cada uno de los tres casos, en línea recta en A , comenzando desde el
origen y yendo en alguna dirección v (un vector unitario), con velocidad
creciente de tal forma que la velocidad sea constante en el modelo
hemisférico. Entonces en el modelo de vista superior, viaja también en
línea recta. Al principio, viajará a través del interior del modelo de A.
Entonces golpearás durante un momento, τ(v), el límite del modelo de
A. Si este punto límite no se encuentra en el límite de la zona cerrada del
disco de la unidad estándar, luego de ese momento viajará fuera del
modelo de A hasta que llegue al límite del disco. El tiempo de impacto
τ(v) del límite de el modelo de A depende continuamente de la dirección
inicial v . Esto completa la declaración del resultado principal de estos tres
conjuntos convexos A.
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Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Teorema 3.5.7
Entonces vemos que los tresconjuntos A, que se ven completamente
diferentes entre sí, tienen exactamente el mismo forma, como un disco
cerrado, después de unir a A el conjunto de sus direcciones de recesión.
Ahora estamos listos para exponer el resultado principal de manera
formal y general. Como ya se anunció, lo hacemos en términos del
modelo hemisférico, ya que permite la formulación más simple. Usamos la
parametrización del hemisferio superior de la Definición 3.5.2..
Recordamos que todas las nociones topológicas para subconjuntos del
hemisferio superior estandar {x ∈ Sk |xk ≥ 0} se toman en relación con la
esfera unitaria estándar Sk = {x ∈ Rk , ||x || = 1}
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Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Teorema 3.5.7
Teorema 3.5.7 (Forma de un conjunto convexo)
Sea A ⊆ X = Rn un conjunto convexo cerrado que contiene el origen en
su interior. Considere el modelo de hemisferio cl(c(A)) ∩ Sn+1 para el
conjunto convexo A al que se ha agregado el conjunto de sus direcciones
de recesión. Para cada v ∈ Sn, existe un único τ(v) ∈
(
0, 12π
]
tal que el
punto xv (t) se encuentra en el interior de cl(c(A)) ∩ Sn+1 para t < τ(v)
en el límite de cl(c(A)) ∩ Sn+1 para t = τ(v), y fuera de cl(c(A)) ∩ Sn+1
para t > τ(v). Además τ(v) depende continuamente de v .
El significado de este resultado es que si se une el conjunto de direcciones
de recesión a un conjunto convexo A, entonces el resultado tiene siempre
la misma forma; que es, por ejemplo,la forma de una bola cerrada en Rd
donde d es la dimensión del casco afín de A.
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Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Teorema 3.5.7
Tenga en cuenta que la continuidad de la función τ(·) significa que la
unión del límite de un conjunto convexo y su conjunto de direcciones de
recesión tiene una propiedad de continuidad en el modelo de hemisferio:
si viajaa velocidad unitaria a lo largo de una geodésica a partir de un
punto interior relativo, entonces el tiempo que se tarda en llegar a un
punto de esta unión, depende continuamente en la dirección inicial.
Una característica interesante de este resultado es que implica
inmediatamente todas las propiedades topológicas estándar de los
conjuntos convexos, tanto limitados como ilimitados, como veremos en la
siguiente sección.
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Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Teorema 3.5.7
Prueba del Teorema 3.5.7
El conjunto cl(c(A)) es un cono convexo cerrado contenido en el medio
espacio X × R+ y contiene una bola abierta con centro (0n, 1) y algo de
radio r > 0. Esto implica todos los enunciados del teorema, excepto el
enunciado de continuidad. Esto se sigue del lema siguiente.
�
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Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Ejemplo 3.5.8
Figura: Ilustración del Lema 3.5.9
Ejemplo 3.5.8 (Propiedad de continuidad del límite de un conjunto
convexo) La figura ilustra el siguiente resultado auxiliar y aclara por qué
este resultado implica una propiedad de continuidad para el límite de un
conjunto convexo (esto es una cuestión de que el límite se comprime en
algún punto entre dos conjuntos con propiedades de continuidad en este
punto).
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Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Lema 3.5.9
Lema 3.5.9
Sea A ⊆ X = Rn un conjunto convexo cerrado que contiene una bola
abierta U(a, ε) y sea x un punto límite de A. Entonces el casco convexo
del punto x y la bola abierta U(a, ε) está contenida en A, y su punto de
reflexión con respecto a el punto x es disjunto de A, aparte del punto x.
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Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Lema 3.5.9
Prueba
La primera afirmación se deriva de la convexidad de A , junto con los
supuestos que x ∈ A y U(a, ε) ⊆ A. La segunda declaración es inmediata
de la fácil observación de que el casco convexo de cualquier punto de la
reflexión yla bola abierta U(a, ε) contiene x en su interior. Entonces, si
un punto del reflejo pertenecen a A , entonces por la convexidad de A y
por U(a, ε) ⊆ A obtendríamos que x es en el interior de A. Esto
contradice la suposición de que x es un punto límite de A.
�
Derivar el enunciado de continuidad requerido precisamente de este lema
requiere algo de cuidado. Tienes que intersecar el cono convexo cl(c(A))
con un hiperplano de X × R (un subespacio de dimensión n − 1 de
X = Rn) que no contiene el punto (v , 0).
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Proposición 3.5.4 Ejemplo 3.5.5 Ejemplo 3.5.6 Teorema 3.5.7 Ejemplo 3.5.8 Lema 3.5.9 Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos
El objetivo de esta sección es dar una lista de todas las propiedades
topológicas estándar de conjuntos convexos. Es una ventaja del enfoque
elegido que todas las propiedades topológicas de conjuntos convexos son
parte o consecuencias fáciles de un resultado, Teorema 3.5.7.
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	Ejemplo 3.5.6
	Teorema 3.5.7
	Ejemplo 3.5.8
	Lema 3.5.9
	Propiedades Topológicas de Conjuntos Convexos