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Matemáticas 
Administrativas
División de Ciencias Sociales y Administrativas
Unidad 3. Funciones límites y continuidad
1
Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
Presentación 3
Competencias específicas 4
3.1. Funciones y variables 5
3.2. Conceptos relacionados a las funciones, variables dependientes e 
independientes
8
3.2.1. Tipos de funciones y su aplicación 9
3.2.2. Tipos de funciones y sus gráficas 11
3.2.3. Ingreso, costo, utilidad y punto de equilibrio 18
3.2.4. Modelo gráfico del punto de equilibrio
24
3.3. Álgebra de límites 25
3.3.1. Límite de una función y sus propiedades 29
3.3.2. Límites de una función cuando la variable tiende al infinito 31
3.3.3. Funciones continuas y discontinuas 34
3.3.4. Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad en 
una función
35
3.3.5. Aplicación de funciones continuas y discontinuas 37
Cierre de la unidad 38
Fuentes de consulta 39
2
Índice
Bienvenido(a) a la unidad 3, en ella analizarás el concepto
de función, así como los diferentes tipos de funciones y las 
operaciones que se pueden realizar con ellas, para 
describir el comportamiento de las diversas situaciones que 
se presentan dentro del área económico-administrativa, 
tales como ingresos, costos, utilidades y punto de 
equilibrio.
Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
Presentación
A continuación se presenta el contenido del curso donde abordarás escenarios 
empresariales reales y que además forman parte de la vida diaria de cualquier 
profesionista, por ello, es importante que tu aprendizaje sea significativo.
Con esta nueva metodología, vivirás experiencias referentes a situaciones reales que te 
llevan desde el inicio a ubicar la importancia de los métodos cuantitativos en la toma de 
decisiones a nivel empresarial.
Asimismo, estudiarás el concepto de límite y cómo describe 
de forma precisa el comportamiento de una función cuando 
los valores de la variable independiente están muy 
próximos, aunque nunca igual, a un valor constante y su 
utilidad en los procesos económico-administrativos, tales 
como rendimiento y producción máxima; asimismo, 
determinarás cuando una función es continua, su 
aplicación en procesos productivos y su impacto en los 
costos de producción 
3
 Identifica los tipos de funciones, variables y sus 
aplicaciones para resolver situaciones que se presentan 
en la empresa relacionadas con optimización, costo total, 
ingreso, oferta y demanda, a través de conceptos, tipos 
de funciones y modelos gráficos.
 Aplica el cálculo diferencial para la solución de problemas 
de límites y continuidad de una función y determinar su 
impacto a través de fórmulas y conceptos del cálculo 
diferencial integral y su aplicación en las matemáticas 
financieras.
Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
Competencias específicas
4
a
La cantidad de impuestos que paga 
una persona o empresa depende de 
los ingresos de ésta.
Los costos de producción varían de 
acuerdo al valor de la materia prima.
La calidad de oxígeno en el aire en 
una ciudad está en función del 
número de automotores que circulan 
por ella.
La relación funcional o función 
ayuda a describir de manera 
práctica situaciones que están 
presentes en la vida real, en las que 
un valor o cantidad que varía 
depende de la función o determina 
el valor de otra, por ejemplo:
¿Qué otros ejemplos se te ocurren? Como te darás cuenta, las 
matemáticas se encuentran en la vida cotidiana y las funciones se 
usan hasta en la más mínima acción.
Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
3.1. Funciones y variables
De ahí se observa que se pueden tener variables o valores que 
dependen o cambian cuando un valor determinante varía. Otro ejemplo 
representativo es el puntaje obtenido en un juego de tiro al blanco, en el 
que hay dibujados en un tablero 5 círculos concéntricos y en cada uno 
se pueden tener los siguientes valores: 5, 10, 15, 20, 25, iniciando 
desde el exterior hasta el centro del tablero, como se muestra en la 
imagen.
5
a
Funciones y 
variables
Es decir, que la máxima puntuación se obtiene atinándole al círculo que queda en el centro del 
tablero (25 puntos), y va disminuyendo conforme se aleja hacia la orilla, así se obtienen dos 
conjuntos, uno correspondiente a los círculos y que se definirá como el conjunto C, y el otro 
correspondiente a la puntuación y que se llamará P, esto es: 
C = {1, 2, 3, 4, 5}
P = {5, 10, 15, 20, 25}
Ambos conjuntos están relacionados entre sí, es decir, que ambos dependen el uno del otro y se 
puede representar mediante una tabulación o una gráfica.
En ambas representaciones se puede comprobar que para cada elemento del conjunto P 
(puntuación) hay un solo valor o elemento que le corresponde del conjunto C (círculo), es decir, 
que se cuenta con las siguientes parejas ordenadas: 
(1, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20), (5, 25).
Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
6
Funciones y variables
Otra forma de representación es mediante un modelo 
matemático, si consideramos los datos del ejemplo anterior, 
se observa que si se acierta en el círculo del centro se 
tendrán 25 puntos y en el círculo más alejado del centro se 
obtendrán 5 puntos, así se observa que existe una situación 
de dependencia en la que el puntaje dependerá de a qué 
círculo del tablero se acierte y cada acierto tiene un valor que 
resulta de multiplicar el número del circulo al que se acierta 
por cinco. 
Para llevar a cabo esta operación es necesario conocer el número de círculo al que se acierta 
por lo que se puede decir que el número de círculo es el valor que alimenta al modelo 
matemático, es decir, que son los valores de entrada y son a los que hay que multiplicar por 
cinco, para que dé el resultado del puntaje obtenido, lo que dará los valores de salida, si se 
utilizan además variables que permitan identificar a cada uno de los valores, es decir y para el 
puntaje y x para los círculos, podremos obtener la siguiente expresión:
y=5x
En donde y corresponde a una variable 
dependiente y x a una variable 
independiente, que conforman lo que se 
conoce como función.
Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
7
Función
•Es la correspondencia
entre dos conjuntos: uno
de valores de entrada y 
otro de valores de salida, 
en donde existe una
regla u operación que 
determina para cada
valor de entrada un solo 
valor de salida.
Variable Dependiente
•Es aquella cuyo valor, 
propiedad o 
característica se trata de 
cambiar mediante la 
manipulación de la 
variable independiente.
Variable Independiente
•Es aquélla que es 
manipulada en un 
experimento o evento
con el objeto de estudiar
cómo incide sobre la 
variable dependiente, 
esto significa que las 
variaciones en la 
variable independiente
repercutirán en 
variaciones en la 
variable dependiente.
A continuación, se muestran los nombres de las partes de una función; se utiliza la 
expresión matemática:
y=5x.
Esta expresión, completa, relaciona una variable independiente con una variable 
dependiente. 
La “y” es la llamada variable dependiente, pues su valor dependerá de los valores que 
asignemos a la variable “x”. Por ejemplo, si decidimos dar un valor de x=4, la “y” tomará un 
valor: y=5(4)=20. Para cada valor que demos a “x”, “y” tomará a su vez un valor. Por lo tanto, 
la “x” es lo que conocemos como variable independiente, pues el valor que toma no 
depende de ninguna otra variable y podemos decidirlo. La expresión completa que contiene
a ambas variables, es lo que llamaremos función.
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Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
3.2. Conceptos relacionados a las funciones, variables 
dependientes e independientes
8
a
Como se vio en el tema anterior, la función es la 
correspondencia de las variables dependientee 
independiente y a partir de las expresiones algebraicas, 
existen diferentes tipos de funciones, las cuales se verán 
a continuación. En donde c es un número real
Sea f(x) = 10, debido a la forma de la función, a la 
variable x se le puede asignar cualquier valor que se 
desee, sin embargo, el resultado de la función será 
siempre 10.
X f(x)=10
Pares 
ordenados
Gráfica
-15 10 (-15, 10)
-10 10 (-10, 10)
-5 10 (-5, 10)
0 10 (0, 10)
5 10 (5, 10)
10 10 (10, 10)
15 10 (15, 10)
Observa la gráfica que se obtiene a partir de la tabla, se presenta una recta paralela al eje 
de las X (abscisas) y que f(x) = 10, corta el eje de las Y (ordenadas) en el punto (0,10).
Función constante: es 
aquella que tiene la 
forma:
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3.2.1. Tipos de funciones y sus aplicación
9
a
En este caso, la x toma los siguientes valores: -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15. 
La variable independiente toma siempre el mismo valor (la función es 
constante e indica que y=10). Se forman entonces 7 pares ordenados (x,y), 
que son: (-15, 10), (-10, 10), (-5, 10), (0, 10), (5, 10), (10, 10), (15, 
10). Hay que recordar que la variable independiente, x, puede tomar 
valores no enteros, por lo que existe una infinidad de pares ordenados 
aunque no se encuentren expresados en la tabla que se presenta. La 
gráfica es una línea recta horizontal (paralela al eje de las x), que como la 
función lo indica, pasa por (0, 10). Esta gráfica nos muestra cómo luce 
una función lineal. 
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Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
10
a
Función lineal
A continuación se te presentarán los diversos tipos de funciones y sus gráficas: 
Sea f(x) = 2x + 4, se observa que se 
trata de una función lineal en donde:
m = 2
b = 4
es decir, que cuando x = 0, f(x) = y = 
4.
Observa la siguiente representación gráfica:
x
f(x)=2x + 
4
Pares 
ordenados
Gráfica
-3 -2 (-3, -2)
-2 0 (-2, 0)
-1 2 (-1, 2)
0 4 (0, 4)
1 6 (1, 6)
2 8 (2, 8)
3 10 (3, 10)
Así, se observa que la gráfica es 
una línea recta creciente, esto se 
debe a que m > 0, por lo que 
conforme “x” aumenta, también lo 
hace ”y”, por lo tanto, se trata de 
una función creciente.
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3.2.2. Tipos de funciones y sus gráficas
En este caso, la x toma los siguientes valores: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. La variable dependiente toma 
valores que dependen efectivamente de la variable independiente. 
Por ejemplo, para x=-3, y = 2(-3)+4 = -6+4 = -2.
Para x=-2, y = 2(-2)+4 = -4+4 = 0. 
Para x=-1, y = 2(-1)+4 = -2+4 = 2. 
Para x=0, y = 2(0)+4 = 0+4 = 4. 
Para x=1, y = 2(1)+4 = 2+4 = 6. 
Para x=2, y = 2(2)+4 = 4+4 = 8. 
Para x=3, y = 2(3)+4 = 6+4 = 10 11
Problemátic
a
Función cuadrática
Una función cuadrática es aquella 
que tiene la forma:
La forma de la gráfica de una función cuadrática es 
una parábola, en donde el vértice es el punto más 
bajo si la parábola abre hacia arriba y el vértice es 
el punto más alto cuando la parábola abre hacia 
abajo.
Si a > 0, la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, la 
parábola abre hacia abajo. 
El vértice está dado por las coordenadas 
que se calcula con las siguientes fórmulas: 
En donde a, b y c son números reales.
a ≠ 0, mientras que b y c pueden valer cero.
Sea , se observa que se trata de una función cuadrática en 
donde:
a = 1
b = 4 
c = -2 
y las coordenadas del vértice:
Por lo que el vértice será:
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Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
Gráficamente la función cuadrática sería como se muestra a continuación:
x
f(x)=x2
+ 4X -
2
Pares 
ordenad
os
Gráfica
-3 -5 (-3, -5)
-2 -6 (-2, -6)
-1 -5 (-1, -5)
0 -2 (0, -2)
1 3 (1, 3)
2 10 (2, 10)
3 19 (3, 19)
Observa que la gráfica es una parábola que abre hacia arriba y 
que su punto más bajo se encontrará en las coordenadas del 
vértice: (-2, -6).
12
a
En este caso, la x toma los siguientes valores: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. La variable dependiente 
toma valores que dependen efectivamente de la variable independiente.
Por ejemplo, para x=-3
Para x=-2, 
Para x=-1,
Para x=0, 
Para x=1, 
Para x=2, 
Para x=3,
Se forman entonces 7 pares ordenados (x, y), que son: (-3, -5), (-2, -6), (-1, -5), (0, -2), (1, 
3), (2, 10), (3, 19). Hay que recordar que las variables “x” “y”, pueden tomar valores no 
enteros, por lo que existe una infinidad de pares ordenados aunque no se encuentren 
expresados en la tabla que se presenta. La gráfica es una parábola. Esta gráfica nos 
muestra cómo luce una función cuadrática.
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Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
13
a
Función Polinominal
Una función es polinomial si:
El valor de n determina el grado de la función
polinomial, que puede ser lineal, cuadrática, cúbica, 
de cuarto grado, de quinto grado, etc., dependiendo
del valor de n, es decir, el valor más alto del 
exponente de la función es el que determinará de 
qué grado es la función. 
Función cúbica
Función de quinto grado
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Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
Función racional
Una función racional es el cociente de dos funciones polinomiales y se representa
como:
Ejemplo: Sea
En la siguiente gráfica se observa que en -1 la función
crece al infinito ∞
x 𝑓 𝑥 = 2𝑥𝑥 + 1 Pares ordenad
os
Gráfica
-3 3 (-3, 3)
-2 4 (-2, 4)
-1 ∞ (-1, ∞)
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
2 1.33 (2, 1.33)
3 1.5 (3, 1.5)
14
a
Se presenta un plano cartesiano, y una tabla de datos correspondiente a las variables dependiente 
e independiente cuando:
En este caso, la x toma los siguientes valores: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. La variable dependiente toma 
valores que dependen efectivamente de la variable independiente.
Por ejemplo, para x= -3
Para x=-2, 
Para x=-1,
Para x=0,
Para x=1,
Para x=2,
Para x=3
Se forman entonces 7 pares ordenados (x, y), que 
son: (-3, 3), (-2, 4), (-1, infinito) 0), (1, 1), (2, 1.33), 
(3, 1.66). Hay que recordar que las variables “x” e 
“y”, pueden tomar valores no enteros, por lo que 
existe una infinidad de pares ordenados aunque 
no se encuentren expresados en la tabla que se 
presenta. Esta gráfica nos muestra cómo luce una 
función racional.
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Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
15
a
Función exponencial
Una función exponencial es aquella en la que la variable independiente se encuentra 
como exponente de un número constante:𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙
La gráfica es creciente cuando a > 1 y decreciente cuando 0 < a < 1
Ejemplo: Sea 𝑓 𝑥 = 2 𝑥
x 𝑓 𝑥 = 2𝑥 Pares 
ordenados
Gráfica
-2 0.25 (-2, 0.25)
-1 0.5 (-1, 0.5)
0 1 (0, 1)
1 2 (1, 2)
2 4 (2, 4)
3 8 (3, 8)
Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
En este caso, la x toma los siguientes valores: 2, -1, 0, 1, 2, 3. La variable dependiente toma 
valores que dependen efectivamente de la variable independiente.
Por ejemplo, para x= -2
Para x= -1,
Para x=0,
Para x=1,
Para x=2,
Para x=3
Se forman entonces 6 pares ordenados (x, y), 
que son: (-2, 0.25), (-1, 0.5), (0, 1), (1, 2), (2, 4), 
(3, 8). Hay que recordar que las variables “x” e 
“y”, pueden tomar valores no enteros, por lo que 
existe una infinidad de pares ordenados aunque 
no se encuentren expresados en la tabla que se 
presenta. Esta gráfica nos muestra cómo luce 
una función exponencial.
16
a
Función logarítmica
Una función logarítmica se define como 
la inversa de la exponencial y puede ser
representada de la siguiente manera:
Un ejemplo de 
función logarítmica
es: 
x 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 2𝑥 Pares ordenad
os
Gráfica 
0.25 -2 (0.25, -2)
0.5 -1 (0.5, -1)
1 0 (1, 0)
2 1 (2, 1)
4 2 (4, 2)
8 3 (8, 3)
Observa la siguiente representación gráfica
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Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
En este caso, la x toma los siguientes valores: 0.25, 0.5, 1,2, 4, 8. La variable dependiente toma 
valores que dependen efectivamente de la variable independiente.
Por ejemplo, para x= 0.25
Se forman entonces 6pares ordenados 
(x, y), que son: (0.25, -2), (0.5, -1), (1, 
0), (2,1), (4,2), (8, 3). Hay que recordar 
que las variables “x” “y” pueden 
tomar valores no enteros, por lo que 
existe una infinidad de pares 
ordenados aunque no se encuentren 
expresados en la tabla que se 
presenta. Esta gráfica nos muestra 
cómo luce una función logarítmica.
Para x= 0.5,
Para x=1,
Para x=2,
Para x=4,
Para x=8, 17
a
Relacionado con la administración, es importante que conozcas y sepas aplicar las funciones 
matemáticas, ya que en algún momento de tu vida laboral te encontrarás con ellas. 
Es importante mencionar que la función de ingresos 
también puede seguir cualquier otro comportamiento 
algebraico: cuadrático, lineal, exponencial, entre 
otros.
Un punto de equilibrio es usado 
comúnmente en las empresas u 
organizaciones para determinar la 
rentabilidad de vender X producto. 
¿quieres saber cómo? Se te invita a estudiar los siguientes conceptos:
Ingreso
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Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
3.2.3. Ingreso, costo, utilidad y punto de equilibrio
El planteamiento es: un club social que cuenta con 2300 afiliados está 
por incrementar a los asociados las cuotas mensuales, quienes 
actualmente pagan $500.00, sin embargo, antes de realizar dicha 
operación, el consejo directivo realizó una encuesta con la que determinó 
que por cada incremento de $50.00 podrían perder a 15 socios.
A continuación puedes ver un ejemplo del ingreso. 
18
¿Cuál será el comportamiento del ingreso del club al incrementar en $50.00 
la cuota mensual.
El número de socios 
nuevos es: 
y = y1 – y2 = 2300 – (8x –
3200)
= 5500 – 8x 
x = nueva cuota 
y = número de socios 
y1 = número de socios antes del 
incremento en la cuota 
y2 = número de socios después del 
incremento en la cuota
La solución es la siguiente: 
Si se considera determinar el ingreso 
mensual en función de la cuota (precio) 
que paga cada socio, se tienen las 
siguientes variables: 
Finalmente, tomando en cuenta 
la función general de ingreso: 
I(x) = xp
Se tiene que para este caso:𝐼 𝑥= 𝑐𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑐𝑖𝑜𝑠𝐼 𝑥 = 𝑥𝑦𝐼 𝑥 = 𝑥 5500 − 8𝑥
Por lo tanto, el ingreso mensual en el club 
social cuando se aplique la nueva cuota 
estará dado por la siguiente función 
cuadrática:𝑰 𝒙 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝒙 − 𝟖𝒙 𝟐 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔
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Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
Costo
La función de costo total se define como:
19
El planteamiento es: una maquiladora de pantalones de mezclilla ha 
calculado que sus costos fijos mensuales son de $125,000.00 y que 
cada pantalón le genera un costo de $35.00.
¿Qué hacer? Para determinar el costo total de fabricación en el 
siguiente mes si se van a elaborar 1500 pantalones de mezclilla. 
La solución. Lo primero que se deberá determinar es la función de costo total. 
La solución es la siguiente: 
C(x) = ax + Cf
Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
En la figura que ilustra la función de costo total e 
indica que el valor de “a” (el costo de elaboración de 
un pantalón) es de $35, la variable independiente 
“x” expresa el número de pantalones y “Cf” 
representa los costos fijos mensuales con un valor 
de $125,000. 
Sustituyendo en la función de costo total se tiene: 
C(x)=35x+125000 pesos
Finalmente, el costo de producción de 1500 
pantalones del siguiente mes será de: 
C(1500)=35(1500)+125000
C(1500)=$177,500 pesos
20
Otra variante del costo es:
Costo promedio o costo medio: está relacionado con el costo total C(x) de producción o 
venta de x artículos o servicios y se obtiene al dividir el costo total de entre el número de 
unidades producidas o servicios ofertados:
𝑪𝒎 𝒙 = 𝑪(𝒙𝒙
Donde: C(x) = función de costo
x = número de artículos o 
servicios
Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
El planteamiento es: el costo total de producir x 
libretas escolares por semana sigue el 
comportamiento de la siguiente función cuadrática:𝐶 𝑥 = 0.63𝑥 2 + 233𝑥 + 250 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
¿Cuál será el costo promedio de producir 10000 unidades 
mensualmente, considere que el mes tiene 4 semanas?
𝐶 𝑥 𝑚 = 𝐶 𝑥 = 0.63𝑥 2 + 233𝑥 + 250𝑥𝐶 𝑥 𝑚 = 𝐶 𝑥𝑥 = 0.63𝑥2𝑥 + 233𝑥𝑥 + 250𝑥𝐶 𝑥 𝑚 = 0.63𝑥 + 233 + 250𝑥
Finalmente, sustituyendo el número de libretas que se desea producir: x = 10000, se tiene 
que: 𝐶 10000 𝑚 = 0.63 10000 + 233 + 25010000𝐶 10000 𝑚 = 6300 + 233 + 0.025
Solución: lo primero que se 
deberá realizar será 
determinar la función de 
costo promedio, es decir, 
dividiendo la función de costo 
entre x:
Con lo que se obtiene que el 
costo promedio de producción 
semanal es de:𝑪 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎 = 𝟔𝟓𝟑𝟑. 𝟎𝟐𝟓 𝒅ó𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔
Por lo tanto, el costo promedio de 
producción mensual será de:𝐶 10000 𝑚 = 4 6533.025𝑪 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎 = 𝟐𝟔𝟏𝟑𝟐. 𝟏 𝒅ó𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 21
Utilidad
Se obtiene restando los 
costos de los ingresos:𝑼 𝒙 = 𝑰 𝒙 − 𝑪(𝒙 
Un fabricante de cremas faciales, mensualmente
tiene costos de producción de $15,000.00 y el 
costo de fabricación por crema es de $4.50. Si 
cada crema la vende por mayoreo a las tiendas
departamentales en $25.00, determine las
utilidades que genera en su empresa la venta de 
cremas faciales si mensualmente vende en
exclusiva 2000 cremas a una cadena de SPA.
Solución: si se sabe que 
las utilidades están 
representadas por:𝑼 𝒙 = 𝑰 𝒙 − 𝑪(𝒙 
Entonces es necesario determinar tanto la función de 
ingresos como la de costo total, de ahí que en este caso 
se tienen los siguientes datos:
x = número de cremas𝐶𝑓 = $15,000.00𝐶𝑣 = 4.50x
Cremas vendidas por mes = 2000
p = $25.00
Entonces para los ingresos:𝐼 𝑥 = 𝑥𝑝
Sustituyendo los datos del 
problema:𝑰 𝒙 = 𝟐𝟓𝒙
Y los costos estarán dados por:𝐶 𝑥 = 𝐶𝑣 + 𝐶𝑓
Sustituyendo los datos del 
problema:𝑪 𝒙 = 𝟒. 𝟓𝟎𝒙 + 𝟏𝟓𝟎𝟎0
 
Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
22
a
Así sustituyendo en la función de utilidad:𝑈 𝑥 = 𝐼 𝑥 − 𝐶(𝑥 𝑈 𝑥 = 25𝑥 − 4.50𝑥 + 15000= 25𝑥 − 4.50𝑥 − 15000𝑼 𝒙 = 𝟐𝟎. 𝟓𝒙 − 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔
Si mensualmente vende 2000 cremas faciales:𝑈 200 = 20.5(2000 − 15000𝑈 200 = 41000 − 15000𝑼 𝟐𝟎𝟎 = 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔
Por lo que mensualmente la crema facial le genera utilidades de 26,000 pesos.
Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
Punto de 
equilibrio
Punto de equilibrio: es el punto en que el importe 
de las ventas de una empresa es igual al de los 
costos y gastos que dichas ventas originan.𝑰 𝒙 = 𝑪(𝒙) 
•Si el costo total de producción supera a los 
ingresos que se obtienen por las ventas de 
los objetos producidos o servicios vendidos, 
la empresa sufre una pérdida.
•Si los ingresos superan a los costos, se 
obtiene una utilidad o ganancia.
•Si los ingresos logrados por las ventas
igualan a los costos de producción, se dice 
que el negocio está en el punto de equilibrio
o de beneficio cero.
Consideraciones
23
a
Gráficamente, el punto de equilibrio es el que está representado por la intersección de las 
rectas que representan a la función de costos e ingresos.
Si I(x) < C(x), entonces la empresa tiene pérdidas.
Si I(x) = C(x) la empresa no gana ni pierde, está en el punto de equilibrio.
Si I(x) > C(x) la empresa tiene ganancias.
Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
3.2.4. Modelo gráfico del punto de equilibrio
24
a
Con el álgebra de límites te puedes aproximar a un valor, ya 
sea un número cualquiera o el infinito, de manera exacta.
Así, se puede decir que el límite de una función describe el 
comportamiento de una función f(x) conforme la variable 
independiente se aproxima a un valor constante.
Se tiene la función
y se requiere determinar su comportamiento cuando 
los valoresde x tienden o se acercan a 1.
Solución 
Se puede observar que la función no está definida en x = 1, esto es porque cuando 
x toma el valor de 1, la función tiende al infinito, ya que cualquier número dividido 
entre cero es igual a infinito. 
Sin embargo, sí se puede determinar el comportamiento o valores que va tomando 
la función cuando x → 1 (x tiende a 1), ya sea con valores más pequeños a uno o 
bien más grandes a uno: 1 > x > 1.
Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
3.3. Álgebra de límites
25
X
Gráfica
-0.5 0.166667
0.5 0.500000
0.6 -0.200000
0.7 -1.566667
0.8 -4.600000
0.9 -14.300000
0.95 -34.150000
0.98 -94.060000
0.999 -1994.0030
0.9999 -19994.0003
1 ∞
1.0001 20006.0003
1.001 2006.003
1.01 206.03
1.1 26.3
1.5 11.5
Observa la siguiente representación gráfica:
Como pudiste observar, conforme x se acerca a 1 la función es igual a ± 20000, dependiendo 
de si se va acercando por la derecha o por la izquierda a 1, es decir:
En conclusión se tiene que:
Cuando f(x) se acerca cada vez más a un número Límite (C), conforme x se aproxima a un 
valor constante “a” por cualquier lado, entonces C será el límite de la función y se escribe:
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a
Operación para determinar los límites de una función: 
En la presente fórmula de álgebra de 
límites se puede observar que para 
evaluar el límite de una función sea 
f(x), g(x) o cualquiera, se tiene que 
sustituir en dicha función el valor del 
número hacia el cual tiende x y el 
resultado será siempre un número 
constante.
Solución: Desarrollo
En esta segunda fórmula se observa 
que para sumar o restar dos 
funciones evaluadas en el valor 
hacia el cual tiende x, se puede 
obtener de manera independiente el 
resultado de cada función al sustituir 
el valor de x en cada una y finalmente 
sumar o restar ambos resultados 
según sea el caso.
En el siguiente caso se tiene que
para multiplicar dos funciones
evaluadas en el valor hacia el cual
tiende x se puede obtener de 
manera independiente el resultado
de cada función al sustituir el valor 
de x en cada una y finalmente
multiplicar ambos resultados.
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Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
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C o n c l u s i ó n: 
El evaluar un límite de una función es tan simple como sustituir el 
valor hacia el cual tiende x en la función. 
El aplicar el álgebra de límites es únicamente aplicar las 
operaciones de suma, resta, multiplicación, división, raíz n-sima y 
elevar a una potencia en los resultados obtenidos de las 
funciones a las que ya se les ha sustituido el valor límite. 
a
En la siguiente fórmula se tiene que para 
dividir dos funciones evaluadas en el valor 
hacia el cual tiende x, se puede obtener
de manera independiente el resultado de 
cada función al sustituir el valor de x en
cada una y finalmente dividir ambos 
resultados.
En esta fórmula el valor hacia el cual
tiende x se sustituye en la función y 
posteriormente se evaluará la potencia a 
la que está elevada la función.
En esta última fórmula de igual manera
sustituyes el valor de x en la función y 
posteriormente calculas la raíz n-sima a la 
que está elevada x.
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Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
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a
Si se tiene una función 
constante f(x) = C, el límite 
de la función cuando x 
tienda a un valor “a” será 
siempre C, esto es:
Para determinar el límite de la función: f(x) = 10, cuando x 
→ 8. Y siguiendo el razonamiento de la fórmula general 
anterior, se tiene que:
Existen diferentes límites de una función, a continuación se te muestra el limite de función y 
su procedimiento.
Función constante
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Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
3.3.1. Límite de una función y sus propiedades
Límites infinitos
Cuando se tiene una función 
racional 
en la que q(x) se hace cero 
cuando x tiende a un valor 
constante “a”, entonces f(x) = ∞, 
es decir:
Para determinar el límite de la función: cuando 
x → 1
sustituyendo el valor de x en la función, se tiene que:
29
Cualquier función
Para determinar el límite de la 
función: f(x) cuando 
x → 0 y cuando x → 5.
Sustituyendo el valor de x en 
la función para cada caso se 
tiene que:
Para cualquier función f(x) se tiene que el límite de la función 
cuando x → a es el número constante que resulta de sustituir el 
valor de “a” en la función.
Para determinar el límite de la 
función: 
cuando x → 0 y 
cuando x → 2.
Sustituyendo el valor de x en 
la función se tiene que:
f(x) = 
Y
1
2
Y
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Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
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a
A continuación verás ejemplos para el cálculo de límite de una función cuando la variable 
independiente tiende al infinito.
• El valor de la función puede crecer
o decrecer indefinidamente, sin 
embargo, existen casos en los que
la función adquiere valores reales.
Cuando x 
→ ∞ 
¿Cuál será el límite de f(x) = 7x4 – 2x3 + x2 +100 cuando x →∞?
Solución: al aplicar el límite infinito en la función se tiene que:
Matemáticas administrativas
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3.3.2. Límite de una función cuando las variables tienden al infinito
31
a
En una fábrica de electrodomésticos se tienen costos fijos de 
producción de $1’000,000.00 anuales y sus costos específicos son 
del orden de $430.00 por electrodoméstico. ¿Hasta qué punto puede 
reducir los costos promedio de producción al aumentar la producción 
indefinidamente?
Solución: Se observa que la función de costo tendrá la forma C(x)=430x + 1’000,000, en
donde x representa la cantidad de electrodomésticos producidos, de ahí que para 
determinar el costo promedio de producción se tendrá que dividir la función de costo entre el 
número de artículos a producir (x):
Y si lo que se desea conocer es 
el costo promedio de producción 
cuando el nivel de producción se 
eleve indefinidamente se tiene 
que:
Por lo tanto, el costo 
promedio de 
producción será de 
$430.00 cuando el 
nivel de fabricación de 
productos 
electrodomésticos 
crezca 
indefinidamente.
Es importante notar que cuando se divide un número 
cualquiera entre ∞ el resultado siempre será cero, ya 
que el valor del divisor siempre será mucho más 
grande que el valor del número que se quiere dividir.
Nota
Matemáticas administrativas
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a
El nivel de satisfacción (%) de clientes en un 
autoservicio de acuerdo al número de artículos 
comprados fue medido a través de la siguiente 
función:
En donde x representa el número de artículos comprados.
¿Cuál será el nivel de satisfacción del cliente (%) conforme aumentan las
compras del cliente?
Solución: Si se considera que el 
cliente comprará un número infinito
de artículos se puede observar cuál
será el comportamiento del nivel de 
satisfacción del cliente en el punto
más alto de sus compras:
Con el fin de eliminar la indeterminación, en el caso de una función racional es 
conveniente dividir cada uno de los factores de la función entre la variable 
independiente con la potencia más alta, así se tiene que, para este caso en 
particular.
Por lo que el nivel de satisfacción del cliente será del 83.33% y nunca podrá ser mayor a 
éste.
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a
¿A qué se refieren las 
funciones continuas 
y discontinuas? 
Son aquellas cuyas 
gráficas se pueden dibujar 
en un solo trazo, es decir, 
si no presentan cortes o 
puntos de discontinuidad.
Es discontinua si hay 
puntos en los cuales existe 
una pequeña variación de 
la variable independiente, 
lo que genera un salto en 
los valores de la variable 
dependiente.
Continuas Discontinuas
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Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
3.3.3. Funciones continuas y discontinuas
Fuente: Freedigitalphotos
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Según sepudo observar, al realizar el cálculo de límites de una función, no siempre el límite
coincide con el valor de la función en el punto hacia el cual se aproxima la variable 
independiente, esto es fácil de detectar al graficar la función en los valores cercanos al límite, 
ya que la gráfica de la función se puede cortar o tener una interrupción en algún punto cercano
al límite.
Por ejemplo, se tiene la 
siguiente función: 
en la que se dice que x → 1, y 
que al graficar las coordenadas
que van acercándose al límite
se tiene la siguiente gráfica: 
En donde se observa que hay un punto exactamente cuando x = 1 en el que la gráfica
de la línea ya no continúa con el resto de los valores, es decir, que hay una ruptura en
la gráfica.
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3.3.4. Conceptos relacionados a la continuidad y a la discontinuidad 
en una función
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a
De ahí que se puede definir que una función es continua cuando no se presenta un corte 
en la línea que representa su gráfica, mientras que en una función discontinua se 
presentan cortes en la línea que representa la gráfica de la función.
Así se tienen tres condiciones que permiten descubrir si una función es continua o 
discontinua:
 Una función será continua si f(x) está definida en x = a, es decir, que sus valores son 
reales.
 Una función será continua si el Límite de la función f(x) cuando x → a existe.
 Una función será continua si:
Por lo que si una de las condiciones anteriores no se cumple, la función será 
discontinua.
Operaciones con funciones continuas
Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en un punto a, entonces las funciones 
podrán sumarse, multiplicarse o dividirse (para g(x) ≠ 0 en el caso de división).
Toda función polinomial es continua.
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Oferta y demanda. Un vendedor de aceites orgánicos en frascos de 
250 ml vende aceite de uva a $90.00 cada frasco, pero si le compran
más de 10 frascos el precio por frasco es de $85.00. 
¿Qué se le podría recomendar al vendedor para que pueda conservar su escala de 
precios de mayoreo sin que se le presenten problemas económicos con su
promoción?
Solución: Si se define 
como p(x) a la función de 
precio de x frascos de 
aceite de uva, se tiene la 
siguiente función:
El modelo gráfico que representa a esta función de oferta vs 
demanda es:
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3.3.5. Aplicación de funciones continuas y discontinuas
Con lo que se observa que el precio de 10 frascos es de $900.00 y de 11 frascos es de $935.00, 
por lo que para evitar contradicciones, el precio de 11 frascos debe ser superior al de 10; si se 
dice que p es el precio de cada frasco de aceite cuando se compran más de 10 frascos, se debe 
cumplir que 11p > 900, es decir, p > 900/11 = $81.81, por lo tanto, el vendedor debe asignar un 
precio superior a $81.81 para cada frasco cuando le compren más de 10 frascos de aceite de 
uva.
37
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También, estudiaste el concepto de límite y cómo es que describe, de forma precisa, el 
comportamiento de una función cuando los valores de la variable independiente están muy 
próximos a un valor constante, además de su utilidad en los procesos económico-
administrativos, tales como rendimiento y producción máxima.
También pudiste observar cuando una función es continua, su aplicación en procesos 
productivos y su impacto en los costos de producción.
La solución de problemas de límites y continuidad de una función te permitirán determinar su 
impacto en los procesos económico-administrativos, como pudiste observar en los ejemplos 
que se te proporcionaron.
Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
Cierre de la unidad
En esta unidad analizaste los tipos de funciones y las operaciones 
que puede haber entre ellas. El estudio de estas expresiones 
algebraicas te permitirá dar solución práctica a los diversos 
problemas que se presentan en el área económico-administrativa, 
a través del análisis de situaciones de optimización, costo total, 
ingreso, oferta y demanda, y mediante el uso de los diferentes 
tipos de funciones y modelos gráficos.
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Matemáticas administrativas
Unidad 3. Funciones, límites y continuidad
Fuentes de consulta
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México: Editorial McGraw-Hill.
 Cissell, R., Cissell, H. y Flaspohler, D. C. (1999). Matemáticas Financieras. (2ª 
edición). México: Editorial CECSA. 
 García, E. (1998). Matemáticas Financieras por medio de Algoritmos, Calculadora 
Financiera y PC. México: Editorial McGraw-Hill. 
 Harshbarger, R. J. y Reynolds, J. J. (2005). Matemáticas Aplicadas a la 
Administración, Economía y Ciencias Sociales. (7° edición). México: McGraw-Hill.
 Leithold, L. (2006). El cálculo. (7ª edición). Oxford: Editorial Cúspide.
 Motoyuki, A. (2000). Matemáticas Financieras. Córdoba, Argentina: Despeignes
Editora.
 Render, B., Stair, R. M. y Hanna, M. E. (2006). Métodos cuantitativos para los 
negocios. México: Pearson Educación.
 Spiegel, M. R. (1994). Manual de Fórmulas y Tablas Matemáticas. México: McGraw-
Hill.
 Thomas. (2006). Cálculo de una variable. Editorial Prentice Hall.
 Toledano y Castillo, M. A. y Himmelstine de Chavarria, L. E. (1984). Matemáticas 
Financieras. México: Editorial CECSA. 
 Vidaurri, H. M. (2001). Matemáticas Financieras. (2ª edición). México: Ediciones 
Contables, Administrativas y Fiscales - Thomposn Learning.
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