ASESORIA enunciados de Problemas

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DECIMOQUINTA ASESORÍA DE GEOMETRÍA 
 
01. El simétrico del tetraedro regular 
ABCD, es el tetraedro A’B’C’D. 
Calcule la medida del ángulo entre 
AC’ ⃡ y CB’̅̅ ̅̅ . 
 
A) cos-1 (
5
7
) B) cos-1 (
5
8
) C) cos-1 (
5
9
) 
D) cos-1 (
5
6
) E) cos-1 (
4
7
) 
 
02. En un prisma triangular oblicuo, la 
sección recta es una triangular 
rectangular y la circunferencia inscrita 
en dicho triángulo determina en el 
lado mayor, dos segmentos de 
longitudes m y n, siendo la longitud de 
la arista lateral (m + n). Calcule el 
volumen del solido determinado por el 
prisma oblicuo. 
 
A) mn(m + n) B) 2mn(m + n) 
C) 3mn(m + n) D) 4mn(m + n) 
E) 5mn(m + n) 
 
03. Un hexaedro regular y un tetraedro 
regular, tienen aristas congruentes. Si 
S1 es el área de la región determinada 
por un plano de simetría que contiene 
a dos aristas del hexaedro regular y 
S2 es el área de la región determinada 
por un plano de simetría del tetraedro 
regular, entonces 
S1
S2
 es 
 
A) 1 B) 3 C) 4 
D) 5,5 E) 6,2 
 
04. El área total de un paralelepípedo 
rectangular es 142 u2, la diagonal de 
una cara mide √58 u y la suma de las 
longitudes de todas las aristas es 60 
u. Calcule el volumen (en u3) del 
sólido limitado por el paralelepípedo. 
 
A) 87 B) 96 C) 100 
D) 105 E) 110 
 
 
05. Sean las proposiciones 
I. En un tetraedro regular, un eje de 
simetría está contenido en dos planos 
de simetría. 
II. En un hexaedro regular, la intersección 
de todos los ejes de simetría es el 
centro de simetría. 
III. En un octaedro regular, todos los ejes 
de simetría son concurrentes. 
IV. El número de ejes de simetría de un 
dodecaedro regular es igual que el 
número de planos de simetría de un 
icosaedro regular. 
¿Cuáles son verdaderas? 
 
A) Todas B) I, II y III 
C) II, III y IV D) I y II 
E) III y IV 
 
06. En un hexaedro regular ABCD–
EFGH, M, N, P y Q son los puntos 
medios de las aristas BC̅̅̅̅ , CD̅̅ ̅̅ , EF̅̅̅̅ y EH̅̅ ̅̅ 
respectivamente y O es el centro de la 
cara ABCD. La razón entre el área 
lateral y la suma de las áreas de las 
bases del prisma MON–PEQ es 
 
A) 2(√5 + √3) B) 2(√5 + √6) 
C) 5(√2 + √3) D) 3(√7 + √3) 
E) 4(√5 + √2) 
 
07. De las proposiciones: 
 
I. Todos los poliedros regulares tienen 
ejes de simetría. 
II. Todos los poliedros regulares tienen 
centro de simetría. 
III. En un tetraedro regular, un eje de 
simetría contiene a una altura del 
poliedro. 
IV. En un hexaedro regular, un eje de 
simetría contiene a una diagonal del 
poliedro. 
V. En un icosaedro regular, el número de 
ejes de simetría es igual que el número 
de planos de simetría. 
VI. Si un poliedro convexo tiene ejes de 
simetría, planos de simetría y centro 
de simetría, entonces es un poliedro 
regular. 
 
Son verdaderas: 
 
A) Ninguna B) I, II, V C) I, III, V 
D) I y V E) Todas 
 
08. En un prisma recto pentagonal, las 
longitudes de los lados de una base 
están en progresión aritmética de 
razón 3 u y la longitud mínima de la 
trayectoria sobre la superficie lateral, 
para un desplazamiento desde un 
vértice hasta retornar al otro extremo 
de la arista lateral, es 61 u. Si la altura 
del prisma es 1 u menos que la 
longitud de la arista básica de 
posición central, dentro de la 
progresión aritmética mencionada, 
entonces la longitud mayor (en u) de 
una arista básica es 
 
A) 18 B) 21 C) 23 
D) 25 E) 27 
 
09. Indique el valor de verdad de cada 
una de las siguientes proposiciones 
 
I. En todo prisma regular, las aristas 
básicas son paralelas. 
II. En todo prisma, en cada vértice 
concurre el mismo número de aristas. 
III. En algún tronco de prisma, las bases 
tienen un punto en común. 
 
A) VVV B) VFV C) FVV 
D) FFV E) VFF 
 
10. En un prisma regular ABC DEF , en 
BE̅̅̅̅ y CF̅̅̅̅ se ubican los puntos P y Q, tal 
que AP + PQ + QD es mínimo y 
PB = √2(AC). ¿Cuál es la medida del 
ángulo PQD? 
 
A) 30 B) 45 C) 60 
D) 90 E) 120 
 
 
 
11. Los poliedros regulares O–ABC y O’– 
A’B’C son simétricos con respecto a 
una recta perpendicular al plano ABC 
y que pasa por el vértice C. Si la 
longitud de las aristas es k, entonces 
el área de la región cuadrangular 
AOO’B’ es 
 
A) 
5k²√11 
12 
 B) 
7k²√11 
12 
 C) 
11k²√11 
12 
 
D) 
13k²√11 
12 
 E) 
17k²√11 
12 
 
 
12. En un prisma recto ABCD–EFGH, de 
10 cm de altura, la base está limitada 
por un cuadrilátero inscriptible ABC es 
un triángulo equilátero y ACD es un 
triángulo isósceles. Si AB = 8 cm, 
entonces el volumen (en cm3) del 
prisma es 
 
A) 480 B) 
480√3
3
 C) 640 
D) 
640√3
3
 E) 400 
 
13. En un prisma hexagonal regular 
ABCDEF MNPQRS , se ubica el 
punto G en CP̅̅̅̅ tal que CG = 2(GP). Si 
el plano que pasa por A, B y G 
determina en el prisma una sección 
plana de área 19√387 u2 y las caras 
laterales son regiones cuadradas, 
entonces el volumen del solido (en u3) 
que limita el prisma regular es 
 
A) 2456√3 B) 2486√3 C) 2592√3 
D) 2584√3 E) 2444√3 
 
14. En un hexaedro regular 
ABCD EFGH , M y Q son puntos 
medios de las aristas CD̅̅ ̅̅ y EH̅̅ ̅̅ 
respectivamente; si el área total del 
hexaedro regular es 120 u2, siendo Q 
y Q simétricos con respecto al plano 
determinado por F, B y M. La longitud 
(en u) de DQ̅̅ ̅̅ ̅ es 
 
A) 6 B) 7 C) 4√3 
D) 12 E) 7√2 
 
15. ABCD es un trapecio rectángulo recto 
en A, AB̅̅ ̅̅ // CD̅̅ ̅̅ , ED̅̅ ̅̅ ⊥ CD̅̅ ̅̅ , ED̅̅ ̅̅ ⊥ AD̅̅ ̅̅ ; A’, 
B’ son los simétricos de A y B, en ese 
orden, con respecto al eje de simetría 
ED ⃡ . Si AA’ = 8 u, B’E = 13 u y AB + 
DE = 15 u, entonces el área (en u2) de 
la proyección ortogonal de la región 
ABE sobre el plano que contiene a 
DCE es 
 
A) 15 B) 16 C) 17 
D) 18 E) 19 
 
16. En un prisma oblicuo ABCD–EFGH, 
ABCD es un paralelogramo y el área 
de la cara ABFE es S. Si FD̅̅̅̅ es 
perpendicular al plano de la base 
ABCD, FD = h y la medida del diedro 
AB es 60, entonces el volumen del 
sólido determinado por el prisma es 
 
A) 
1
4
Sh B) 
1
3
Sh C) 
1
2
Sh 
D) 
3
4
Sh E) Sh 
 
17. En un prisma regular ABC-DEF, AB = 
2 u y AF̅̅̅̅ ⊥ CE̅̅̅̅ , el volumen (en u3) del 
sólido determinado es 
 
A) 2 B) 3 C) √6 
D) 2√3 E) 2√2 
 
18. El simétrico del prisma regular ABC–
DEF con respecto a CF ⃡ es A'B'C–
D'E'F. Si AB = AD = a, entonces el 
área de la región triangular AE'D' es 
 
A) 
a²√3
3 
 B) 
a²√3
2 
 C) 
a²√2
2
 
D) a² E) a²√2 
 
19. El simétrico del tetraedro regular O–
ABC con respecto a un plano 
perpendicular al plano que contiene a 
la cara ABC es O1–A1B1C1. Si AB = 
2√3 u y BC̅̅̅̅ es paralelo al plano de 
simetría y dista 2 u de dicho plano, 
entonces la longitud de 1OA (en u) es 
 
A) 6√2 B) 4√2 C) 8√2 
D) 6√3 E) 4√3 
20. El simétrico del tetraedro regular O–
ABC respecto de un punto P (PBC̅̅̅̅ ) 
es O1–A1B1C1. Si BP = 2(PC) = 4 u, 
entonces la longitud (en u) de OA1̅̅ ̅̅ ̅̅ es 
 
A) 6√2 B) √13 C) 2√6 
D) √21 E) 2√19 
 
21. En un prisma cuadrangular recto 
ABCD–EFGH, las bases son regiones 
romboidales y el centro de la base 
EFGH es O. Si el área de la región 
OAB es 30 u2, AE = 8 u y AB = 6 u, 
entonces el volumen del sólido (en u3) 
determinado por el prisma es 
 
A) 560 B) 568 C) 576 
D) 584 E) 592 
 
22. En un prisma cuadrangular regular 
ABCD–A’B’C’D’, la longitud de la 
menor trayectoria para trasladarse por 
la superficie lateral del prisma desde 
A hasta A’, mide 4k e interseca a la 
arista DD’̅̅ ̅̅ ̅ en el punto M, tal que 
m∠AMA’ = 90. El área lateral del 
prisma es 
 
A) 4√2k2 B) 4√3k2 C) 8k2 
D) 4√5k2 E) 4√6k2 
 
23. En un paralelepípedo rectangular, las 
longitudes de las diagonales de dos 
caras laterales son 4√5 u y 5 u 
respectivamente y la longitud de la 
altura mide 4 u. Calcule el área (en 
u2) total del paralelepípedo. 
 
A) 125 B) 136 C) 152 
D) 170 E) 180 
 
24. En un prisma hexagonal regular 
ABCDEF–GHIJKL, el área de la 
región CKA es 20√3 u2 y BH = BE. El 
volumen (en u3) del sólido 
determinado por el prisma es 
 
A) 12√3 B) 24√5 C) 192√3 
D)3
10
√3 E) 48√2 
25. En un paralelepípedo rectangular 
ABCD–EFGH, las áreas de las 
regiones ABGH y EFGH son S1 y S2 
respectivamente y la distancia entre 
AB̅̅ ̅̅ y HG̅̅ ̅̅ es d. El volumen del sólido 
determinado por el paralelepípedo es 
 
A) √S1S2 d 
B) 
dS1
 S2
√S1
2 − S2
2
 
C) 
d S2
S1
√S1
2 − S2
2
 
D) (
S1+ S2
4
) d 
E) 2d√S1S2 
 
26. El simétrico del hexaedro regular 
ABCD−EFGH respecto CG̅̅̅̅ es el 
poliedro A′B′CD′ − E′F′GH′. Si las 
distancia entre los puntos medios de 
A′B′̅̅ ̅̅ ̅̅ y EF̅̅̅̅ es 4√6 u, entonces la 
distancia (en u) entre los centros de 
los hexaedros. 
 
A) 2 B) 3√2 C) 3√3 
D) 4√2 E) 4√3