Copia de Semana 12b Ángulo diedro y ángulos poliedros Teoría 2021 - BYRON DAVID CEVALLOS TRUJILLO

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TEORÍA
12b
ÁNGULO DIEDRO
2021-2
PREUNIVERSITARIO
ÁNGULO DIEDRO
Definición. Se denomina ángulo diedro o simplemente diedro, a la unión
de una recta y los dos semiplanos no coplanares, determinados por la
recta.
Notación:
diedro P – AB – Q
diedro AB
A
BP
Q
Elementos:
Arista. La recta que determina
los semiplanos. En la figura: AB
Cara. Cada uno de los
semiplanos, unido con la arista.
En la figura: P y Q
ÁNGULO PLANO O RECTILINEO DE UN DIEDRO
Definición. Es el ángulo formado por dos rayos perpendiculares a la
arista, cada uno contenido en una cara del ángulo diedro.
Ejemplo:
P
Q
A
B
M
O
N
MON
MEDIDA DE UN ÁNGULO DIEDRO
Definición. La medida de un ángulo diedro es igual a la medida
de su ángulo plano.
A
BP
Q
M
O
N
a
Notación:
m(P–AB–Q): medida del diedro P–AB–Q
m(diedro AB): medida del diedro AB
a < 90  el diedro es agudo
m(P–AB–Q) = mMON = a
a = 90  el diedro es recto
a > 90  el diedro es obtuso
EJERCICIO 01
Una hoja de papel de forma cuadrada, cuyos por vértices son M, N, T y
Q, se dobla por la diagonal MT. Si la distancia entre N y Q es igual a
MN, entonces la medida del diedro MT es
A) 120 B) 60 C) 150
D) 45 E) 90
RESOLUCIÓN 01
O
Q
Clave: E 
x
T
M
N
a
m
aa
a
a
m
m
m
x: medida del diedro MT 
∆MNT, NO es altura
∆MQT, QO es altura
 mNOQ = x
∆NOM ≅ ∆NOQ... (LLL)
 x = 90
45
45M
N T
Q
Una hoja de papel de forma cuadrada, cuyos por vértices son M, N, T y Q,
se dobla por la diagonal MT. Si la distancia entre N y Q es igual a MN,
entonces la medida del diedro MT es
EJERCICIO 02
En un ángulo diedro P-AB-Q, desde un punto interior M se trazan las
perpendiculares ME, MF y MD a la cara PAB, a la arista AB y a la cara
QAB, respectivamente. Si MD =
MF
2
=
ME
2
, entonces la medida de dicho
ángulo diedro es
A) 75 B) 60 C) 45
D) 30 E) 90
RESOLUCIÓN 02
 x = 75
En un ángulo diedro P-AB-Q, desde un punto interior M se trazan las
perpendiculares ME, MF y MD a la cara PAB, a la arista AB y a la cara QAB,
respectivamente. Si MD =
MF
2
=
ME
2
, entonces la medida del ángulo diedro es
P
Q
A
B
M
E
•
D
F
R
K
2KK 2
x1
x2
AB ⊥ plano R
MDF es notable de 30 y 60
MEF es notable de 45 y 45
Luego, x = 45 + 30
x = x1 + x2
m∠EFD = x = m∠EFM + m∠MFD
Clave: A 
x1 = 45
x2 = 30
AB ⊥ FE , AB ⊥ FD  AB ⊥ MF
TEOREMA
Si dos planos son perpendiculares y una recta contenida en uno de
ellos es perpendicular a la intersección de dichos planos, entonces la
recta es perpendicular al otro plano.
Si P ⊥ Q, 
L ⊥ AB 
L  Q, 
entonces L ⊥ P
P
Q
A
B
L
O
T
Demostración:
Trazamos en el plano P:
OT ⊥ AB
como P ⊥ Q, 
entonces:C
mCOT = 90
como: L ⊥ OA 
L ⊥ OT
 L ⊥▭ P
EJERCICIO 03
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Las rectas contenidas en las caras de un diedro, son paralelas a la 
arista del diedro.
II. El ángulo diedro es un conjunto convexo.
III. Toda recta perpendicular a uno de dos planos perpendiculares, es 
paralelo al otro plano.
A) VVV B) FFF C) VFF
D) FVV E) VVF
A
B
RESOLUCIÓN 03
I. II. III. 
La recta puede
estar contenida
en dicho plano
RESPUESTA: VFF
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Las rectas contenidas en las caras de un diedro, son paralelas a la 
arista del diedro.
II. El ángulo diedro es un conjunto convexo.
III. Toda recta perpendicular a uno de dos planos perpendiculares, es 
paralelo al otro plano.
VERDADERO. FALSO
P
Q
//
//
FALSO
Clave: C 
EJERCICIO 04
Dos regiones triangulares equiláteras ABC y ABE determinan un diedro. 
Si AB = 2 5 m y CE = 2 3 m, entonces la medida del diedro es
A) 26,5 B) 37 C) 45
D) 53 E) 60
RESOLUCIÓN 04
A
B
C
E
a
M
2 5
2 3
m(diedro C – AB – E) = a = ?
ABC y ABE, equiláteros:
CM = EM = 
2 5
2
 3 = 15
15
15
CME, teorema del coseno:
(2 3)2 = ( 15)2 + ( 15)2 – 2( 15)( 15)cosa
De donde: cosa = 
3
5
 a = 53 
Clave: D 
Dos regiones triangulares equiláteras ABC y ABE determinan un diedro.
Si AB = 2 5 m y CE = 2 3 m, entonces la medida del diedro es
TEORÍA
12b
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA 
REGIÓN POLIGONAL SOBRE UN 
PLANO
2021-2
PREUNIVERSITARIO
A
B
CD
E
Q
P
DEFINICIÓN
Se denomina proyección ortogonal de una región poligonal sobre un
plano, al conjunto de puntos que son las proyecciones de todos los
puntos de la región poligonal, sobre dicho plano.
1) Región ABCDE  Q y Q no es perpendicular a P:
La región ABCDE es la proyección
ortogonal de la región ABCDE, sobre
el plano P.
A
B´
C´D´
E´
 
P 
Q 
A 
E 
B 
C 
D 
A 
C 
2) Región ABCDE  Q y Q ⊥ P:
La proyección ortogonal de ABCD,
sobre P, es el segmento A´C´
TEOREMA
El área de la proyección ortogonal de una región poligonal, sobre un plano
no perpendicular al plano que la contiene, es igual al área de dicha región
poligonal, por el coseno de la medida del menor diedro que determinan, el
plano que contiene a la región poligonal y el plano de proyección.
 
P 
 
Q 
S 
Sp 
S: área de la región contenida en el plano Q. 
SP: área de la proyección, en el plano P. 
SP = Scos()
: medida del 
diedro agudo,
entre P y Q. 
Si P // Q, 
entonces 
SP = S 

EJERCICIO 05
En una de las caras de un ángulo diedro, está contenida una región
hexagonal regular. Si la medida del diedro es 60 y el lado del hexágono
regular mide 4 u, entonces el área (en u2) de la proyección de la región
hexagonal sobre la otra cara del ángulo diedro es
A) 10 3 B) 12 3 C) 15 3
D) 18 3 E) 20 3
RESOLUCIÓN 05
En una de las caras de un ángulo diedro, está contenida una región
hexagonal regular. Si la medida del diedro es 60 y el lado del hexágono
regular mide 4 u, entonces el área (en u2) de la proyección de la región
hexagonal sobre la otra cara del ángulo diedro es
A
B
C
D
E
F
60
O
4
4
4
4
4
4
SP
SP = ?
Teorema:
SP = (SABCDEF).cos60
SABCDEF = 6.SAOF
SABCDEF = 6.(4
2) 
3
4
SABCDEF = 24 3
Reemplazando:
SP = (24 3 ).(
1
2
)
 SP = 12 3
Clave: B 
TEORÍA
12b
ÁNGULOS POLIEDROS
2021-2
PREUNIVERSITARIO
ÁNGULO POLIEDRO
Sea el polígono A1A2A3...An y el punto O no coplanar con el polígono. Se
denomina ángulo poliedro O-A1A2A3...An a la unión de los rayos OA1, OA2,
OA3, … y OAn y los interiores de los ángulos A1OA2, A2OA3, A3OA4, ... y
AnOA1.
A1
O
A4A3
A2
A5
An A6
Notación: Ángulo poliedro O-A1A2A3…An
Elementos:
1) Vértice: O
2) Arista: cada rayo OA1, OA2, … y OAn
3) Cara: la unión de dos aristas 
consecutivas y el interior del ángulo 
determinado por estas; caras A1OA2, 
A2OA3, A3OA4, ... y AnOA1
4) Diedro: cada diedro determinado por dos
caras adyacentes
DEFINICIÓN
Clasificación de los ángulos poliedros
Los ángulos poliedros se clasifican según el número de caras:
Ángulo poliedro Número de caras
Ángulo triedro 3
Ángulo tetraedro 4
Ángulo pentaedro 5
Ángulo hexaedro 6
Ángulo heptaedro 7
Ángulo octaedro 8
Ángulo nonaedro 9
Ángulo decaedro 10
Ángulo endecaedro 11
Ángulo dodecaedro 12
Ángulo pentadecaedro 15
Ángulo icosaedro 20
ÁNGULO POLIEDRO CONVEXO
A1
O
A3A2
A4
An A5
DEFINICIÓN
El ángulo poliedro O-A1A2A3…..An es convexo si el polígono A1A2A3…..An es 
convexo
ÁNGULO POLIEDRO NO CONVEXO
DEFINICIÓN
El ángulo poliedro O-A1A2A3...An es no convexo si el polígono A1A2A3...An es 
no convexo
A1
O
A4A3
A2
A5
An A6
TEOREMA
En un ángulo poliedro convexo, la suma de las medidas de todas las caras 
es mayor que 0 y menor que 360.
Ejemplo: 
Si las medidas de las caras A1OA2,
A2OA3, A3OA4 y A4OA1 son a, b, c y d,
respectivamente, entonces
0 < a + b + c + d < 360 
A1
O
A4
A3
A2
𝐝 𝐜
𝐛𝐚
EJERCICIO 06
Las medidas de las caras de un ángulo pentaedro convexo, son
números enteros y están en la relación de 1, 3, 4, 5, 7 respectivamente.
Si la medida de la menor de las caras es mayor que 16, entonces la
medida entera de la cara mayor es
A)117 B) 118 C) 119
D) 120 E) 121
RESOLUCIÓN 06
Clave: C 
Por teorema de ángulos poliedros:
a + 3a + 4a + 5a + 7a < 360
 a < 18
Pero por dato: a > 16
 a = 17
Luego la mayor cara mide: 7a = 7(17)
O
A
B C
D
E
a 3a4a
5a7a
Las medidas de las caras de un ángulo pentaedro convexo, son números
enteros y están en la relación de 1, 3, 4, 5, 7 respectivamente. Si la medida
de la menor de las caras es mayor que 16, entonces la medida de la cara
mayor es
7a = ?
 7a = 119
EJERCICIO 07
Un plano interseca a las aristas de un ángulo tetraedro equilátero de
vértice O, en los puntos A, B, C y D. Si las caras del ángulo tetraedro
miden 60, OA = OC = 8 u y OB = OD = 5 u, entonces la medida aproximada
del ángulo BOD es
A) 30 B) 37 C) 45
D) 53 E) 60
6060
RESOLUCIÓN 07
Un plano interseca a las aristas de un ángulo tetraedro equilátero de
vértice O, en los puntos A, B, C y D. Si las caras del ángulo tetraedro
miden 60, OA = OC = 8 u y OB = OD = 5 u, entonces la medida
aproximada del ángulo BOD es
Sea mBOD = x
A
B
C
Clave: D 
D
O
60 60
8
8
5
5
7
7
7
7
AOD  COD  COB  AOB (LAL)
Teorema del coseno (AOD):
(AD)² = 8² + 6² - 2(6)(8)cos60
AD = CD = BC = AB = 7
AD = 7
ABCD es un rombo
Q
a
b
c
a
b
AC ⊥ BD, OQ ⊥ BD y OQ ⊥ AC
Teorema de Pitágoras
a² + b² = 7²
a² + c² = 8²
b² + c² = 5²
a = 2 11
b = 5
c = 2 5
 mBOQ = mDOQ = 53/2
x
 mBOD = x = 53