Copia de Semana 13a Ángulo triedro Teoría 2021-2 - BYRON DAVID CEVALLOS TRUJILLO

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TEORÍA INTENSIVO 
13a
ÁNGULO TRIEDRO
ÁNGULO TRIEDRO
Es un ángulo poliedro que tiene tres caras
Elementos del ángulo triedro
C
B
A
O
Definición.-
Notación:
- ángulo triedro O-ABC
1) Vértice:
2) Caras:
O
3) Diedros: son los ángulos
diedros formados por dos
caras adyacentes
AOB, BOC y AOC
- triedro O-ABC
0 < a + b + c < 360C
B
A
O
TEOREMA
Para todo ángulo triedro se cumple que la suma de las medidas de 
las tres caras es mayor que 0 y menor que 360.
a
c
b
Si a, b y c son las medidas 
de las caras BOC, AOC y 
AOB, entonces
C
B
A
O
TEOREMA
Para todo ángulo triedro se cumple que la medida de una cara es
menor que la suma de las medidas de las otras dos.
ac
b
a < b + c 
b < a + c
c < a + b
EJERCICIO 01
Dos caras de un ángulo triedro miden 80 y 118. Halle las medidas
enteras, mínima y máxima de la tercera cara.
A) 38 y 151 B) 39 y 162 C) 39 y 161
B) D) 40 y 161 E) 41 y 162
RESOLUCIÓN 01
Teorema:
80 + 118 + x < 360
 x < 162
Teorema:
x < 118 + 80
 38 < x < 198
de (1) y (2):
 xmin = 39 y xmax = 161
C
B
A
O
80x
118
Dos caras de un ángulo triedro miden 80 y 118. Halle las medidas
enteras, mínima y máxima de la tercera cara.
118 < 80 + x
……. (1)
……. (2)
38 < x < 162
Clave: C 
TEOREMA
Para todo ángulo triedro, dos caras son congruentes, sí y solo sí, los 
diedros opuestos a estas caras son congruentes.
C
B
A
O a
b
β
α
N
M
a y b son las medidas de las caras 
BOC y AOC; α y β son las medidas 
de los ángulos diedros opuestos a 
estas caras. 
a = b ⇔ α = β
ÁNGULOS TRIEDROS SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos triedros O-ABC y O’-A’B’C’ se llaman suplementarios si:
1) las caras AOB, BOC y AOC son los suplementos respectivos de los
diedros de aristas O’C’, O’A’ y O’B’,
2) las caras A’O’B’, B’O’C’ y A’O’C’ son los suplementos respectivos de los
diedros de aristas OC, OA y OB respectivamente.
C
B
A
O a c
b
β
α
θ
O’
C’
B’
A’
a’
c’
b’
β’
α’
θ’
Si los ángulos triedros O-ABC
y O’-A’B’C’ son suplementarios
entonces
a + ’ = 180
b + ’ = 180
c + ’ = 180
a’ +  = 180
b’ +  = 180
c’ +  = 180
EJERCICIO 02
Si los diedros de un ángulo triedro miden 90, 120 y120, entonces la una
de las caras congruentes mide:
A) Arc cos (-1/5) B) arc cos(-1/3) C) arc cos −
3
3
D) arc cos −
3
2
E) arc cos (-2/5)
RESOLUCIÓN 02
Si diedros de un ángulo triedro 90, 120 y120 y 90, entonces
una de las caras congruentes mide:
Utilizaremos el triedro suplementario
Las caras del suplementario miden:
60, 60 y 90
60
60
45
45
O
A
B
C
P
H
T
w
30
2n
n n
n 3
OH: bisectriz del ángulo BOC
Teorema de las 3 perpendiculares
mPTB = 90
Debemos obtener el suplemento
de w : x = 180 - w
OTP: notable de 30 y 60
OP = 2n, OT = n y PT = n 3
OTH: notable de 45 y 45
OT = TH = n
THP : Cosw =
n
n 3
=
3
3
 x = arc cos −
3
3 Clave: C 
TEOREMA
Para todo ángulo triedro se cumple que la suma de las medidas de los
tres ángulos diedros es mayor que 180 y menor que 540.
Si α, β y θ son las medidas de los
ángulos diedros del ángulo triedro
O−ABC, entonces
C
B
A
O a c
b
β
α
θ
180 < α + β + θ < 540
 +  < 180 + 
TEOREMA
Para todo ángulo triedro, la suma de las medidas de dos ángulos
diedros es menor que 180 aumentado en la medida del tercer ángulo
diedro.
C
B
A
O
β
α
θ
Si α, β y θ son las medidas de los
ángulos diedros del ángulo triedro
O−ABC, entonces
 +  < 180 + 
 +  < 180 + 
C
B
A
O a c
b
β
α
θ
C’
B’
A’
O’ a’ c’
b’
β’
α’
θ’
DEMOSTRACIÓN:
Considerando a los triedros suplementarios 
O-ABC y O’-A’B’C’
𝑎′ + 𝛼 = 180
𝑏′ + 𝛽 = 180
𝑐′ + 𝜃 = 180
𝑎′ = 180 − 𝛼
𝑏′ = 180 − 𝛽
𝑐′ = 180 − 𝜃
⟹
Teorema en el triedro O’-A’B’C’
𝑐′ < 𝑎′ + 𝑏′
Reemplazando:
180 − 𝜃 < 180 − 𝛼 + 180 − 𝛽
∴ 𝛂 + 𝛃 < 𝟏𝟖𝟎 + 𝛉
EJERCICIO 03
En un ángulo triedro, dos ángulos diedros miden 140 y 160. ¿Cuál es la
menor medida entera del tercer ángulo diedro?
A) 119 B) 120 C) 121
D) 123 E) 127
RESOLUCIÓN 03
Clave: C 
Teorema:
160 + 140 < x + 180
 120 < x …(1) 
160 + x < 140 + 180
 x < 160 …(2) 
de (1) y (2): 
En un ángulo triedro, dos ángulos diedros miden 140 y 160. ¿Cuál es la
menor medida entera del tercer ángulo diedro
C
B
A
O
160
140
x
120 < x < 160
 Xmenor entero = 121 
EJERCICIO 04
En un ángulo triedro, las medidas de sus ángulos diedros son 120, 
120 + 𝛼 y 135 + 𝛼 . Calcule el mayor valor entero de 𝛼
A) 22 B) 24 C) 26
D) 28 E) 30
RESOLUCIÓN 04
Calcule el mayor valor entero de 𝛼
Teorema
Clave: A 
En un ángulo triedro, las medidas de sus ángulos diedros son 
120, 120 + 𝛼 y 135 + 𝛼 . Calcule el mayor valor entero de 𝛼
C
B
A
O
135 + 
120 + 
120 120 + 𝛼 + 135 + 𝛼 < 120 + 180
2𝛼 < 45
Valores de 𝛼: 22, 21, 20, …
 El mayor valor entero de 𝛂 es 22 
⇒ 𝛼 < 22,5
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS TRIEDROS
1. Ángulo triedro escaleno:
Cuando sus caras no son
congruentes.
Según las caras
2. Ángulo triedro isósceles:
Cuando tiene solo dos caras
congruentes.
C
B
A
O a c
b
C
B
A
O a
a
3. Ángulo triedro equilátero:
Cuando sus tres caras son
congruentes.
C
B
A
O a a
a
Ángulos triedros con ángulos 
diedros rectos
1. Ángulo triedro rectángulo:
Cuando solo un ángulo
diedro es recto.
2.Ángulo triedro birrectángulo:
Cuando solo dos ángulos
diedros son rectos.
3. Ángulo triedro trirrectángulo:
Cuando los tres ángulos
diedros son rectos.
EJERCICIO 05
En un ángulo triedro isósceles O–ABC, las caras miden: a = 90 y
b = c = 60. Calcule la medida del ángulo entre el rayo OA y el plano
que contiene a la cara BOC.
A) 15 B) 22,5 C) 30
D) 45 E) 60
RESOLUCIÓN 05
Clave: D 
∴ x = 45
Sea x la medida del ángulo que determina 
el rayo OA con la cara BOC 
Teorema de las tres perpendiculares
En un ángulo triedro isósceles O–ABC, las caras miden: a = 90 y
b = c = 60. Calcule la medida del ángulo entre el rayo OA y el plano que
contiene a la cara BOC.
60
60
45
45
O
A
B
C
P
H
T
30
2n
n n
n 2
n 3
x
OH: bisectriz del ángulo BOC
mPTB = 90
OTP: notable de 30 y 60
OP = 2n, OT = n y PT = n 3
OTH: notable de 45 y 45
OT = TH = n y OH = n 2
OHP: notable de 45 y 45
EJERCICIO 06
En un ángulo triedro O–ABC equilátero, sus caras miden 60 cada una.
Calcule la medida de uno de sus ángulos diedros.
A) 𝑐𝑜𝑠−1
1
3
B) 𝑐𝑜𝑠−1
1
4
C) 𝑐𝑜𝑠−1
1
5
D) 𝑐𝑜𝑠−1
1
6
E) 𝑐𝑜𝑠−1
1
8
RESOLUCIÓN 07 En un ángulo triedro O–ABC equilátero, sus caras miden 60cada una. Calcule la medida de uno de sus ángulos diedros.
60
60O
A
B
C
P
Q
R
2n
2n
n
2n
n 3
n 3
x
60
∆OQR ≅ ∆OQP (ALA)
OP = OR = 2n
∆OQP: notable de 30 y 60
OQ = n y QP = QR = n 3
∆POR: Equilátero
PR = OP = OR = 2n
∆PQR: Teorema de cosenos
(2n)2 = (n 3)2 + (n 3)2 – 2(n 3)(n 3)cosx
4 = 3 + 3 – 6.cosx
Cos x =
1
3
∴ x = cos−𝟏
1
3 Clave: A 
EJERCICIO 07
En un ángulo triedro isósceles rectángulo O–ABC. Si b = c = 45 y la
medida del ángulo diedro OA es 90, entonces la medida de la tercera cara
es
A) 30 B) 45 C) 60
D) 75 E) 90
Clave: C 
RESOLUCIÓN 07
En un ángulo triedro isósceles rectángulo O–ABC. Si b = c = 45
y la medida del ángulo diedro OA es 90, entonces la medida de
la tercera cara es
45
xO
A
B
C
P
Q
R
n
n 2
45
n 2
n 2
n
n
m∠BOC = x = ?
∆OQR: notable de 45 y 45
OQ = QR = n y OR = n 2
∆OQP: notable de 45 y 45
OQ = QP = n y OP = n 2
∆PQR: PR = n 2
∆POR: Equilátero
∴ x = 60