Geometría - Luisa Rámirez

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Segmentos y ángulos
Lectura de motivación 13
Introducción al estudio de la
geometría 14
Segmento 17
Ángulo 19
Posiciones relativas de dos rectas
en el plano 24
Angulos formados por dos rectas
paralelas y una secante a ellas 25
Resolvemos juntos 30
Piactiquemos lo aprendido 43
Triángulos
Lectura de motivación 49
Concepto 50
Regiones determinadas por el triángulo 51
Tipos de ángulos del triángulo 52
Teoremas fundamentales 52
Teoremas adicionales 59
Clasificación 63
Resolvemos juntos 69
Practiquemos lo aprendido 81
Líneas notables
Lectura de motivación 87
Concepto 88
Tipos 88
Teoremas sobre ángulos formados
por bisectrices 99
Resolvemos juntos 104
Practiquemos lo aprendido 120
Congruencia de triángulos
Lectura de motivación 127
Concepto 128
Casos para identificar triángulos
congruentes 130
Triángulos rectángulos congruentes 135 
Aplicaciones de la congruencia 138
Situaciones frecuentes de triángulos 
congruentes 146
Resolvemos juntos 149
Practiquemos lo aprendido 162
. i tilos n
Lectura de motivación 171
Concepto 172
Triángulos rectángulos notables 
exactos 172
Triángulos rectángulos notables 
aproximados 178
Otros triángulos rectángulos notables 
aproximados 183
Caso particular 183
Resolvemos juntos 187
Practiquemos lo aprendido 205
^elígenos
Lectura de motivación 211
Concepto 212
Nombres especiales de algunos 
polígonos 214
Clasificación 214
Propiedades fundamentales del 
polígono 216
Propiedades de un polígono regular 221
Número de diagonales del polígono
de n lados 222
Número de diagonales medias del 
polígono de n lados 223
Resolvemos juntos 228
Practiquemos lo aprendido 243
Cuadrilátero
Lectura de motivación 249
Concepto 250
Teorema de la suma de medidas
angulares interiores 250
Clasificación de cuadriláteros
convexos 251
Resolvemos juntos 263
Practiquemos lo aprendido 276
Circunferencia
Lectura de motivación 281
Concepto 282
Elementos asociados 282
Medidas de la circunferencia 283
Ángulos asociados 283
Teoremas 286
Teoremas adicionales 294
Posiciones relativas entre dos
circunferencias 295
Resolvemos juntos 302
Practiquemos lo aprendido 320
P u n to s n o ta b le s
Lectura de motivación 327
Concepto 328
Baricentro 328
Ortocentr© 330
fncentro 332
Excentro 336
Círcuneentro 339
Resolvem os ju n to s 346
Practiquem os lo aprendido 360
P ro p o rc io n a lid ad y sem e jan za
Lectura de motivación 367
C o n ce p to 368
Razón de segm entos 368
Teorem a de Thales 369
Sem ejanza de polígonos 375
Resolvemos juntos 387
Practiquemos lo aprendido 407
Relaciones métricas
Lectura de motivación 415
Relaciones métricas en la 
circunferencia 416
Proyección ortogonal 418
Relaciones métricas en el triángulo 
rectángulo 419
Relaciones métricas en el triángulo 
oblicuángulo 423
Resolvemos juntos 434
Practiquemos lo aprendido 452
* ¡4ress de regiones planas 
Lectura de motivación 459
Región plana 460
Área (A) 460
Áreas de regiones triangulares 461
Relación de áreas de regiones 
triangulares 465
Áreas de reglones cuadrangulares 468
Relación de áreas de regiones 
cuadrangulares 473
Áreas de regiones circulares 477
Resolvemos juntos 484
Practiquemos lo aprendido 502
Geometría analítica 
Lectura de motivación 511
Concepto 512
Recta numérica 512
Plano cartesiano 512
Distancia entre dos puntos 516
Coordenadas de un punto que
divide a un segmento en una
razón dada 517
Coordenadas del punto medio
de un segmento 518
Coordenadas del baricentro de 
un triángulo 520
Área de una región triangular (ZZV) 520
Recta 524
Ecuación de la recta 528
Resolvemos juntos 533
Practiquemos lo aprendido 547
Geometría del espacio I
Lectura de motivación 557
Concepto 558
Posiciones relativas entre dos planos 558
Posiciones relativas entre una recta 
y un plano 559
Posiciones relativas entre dos rectas 559
Recta perpendicular a un plano 560
Teorema de las tres perpendiculares 561
Proyección ortogonal de un punto
y un segmento sobre un plano 562
Ángulo diedro 563
Prisma recto 566
Prisma regular 569
Cilindro 571
Resolvemos juntos 578
Practiquemos lo aprendido 593
Geometría del espacio íi
Lectura de motivación 505
Pirámide 506
Cono 510
Esfera 514
Semiesfera 516
Poliedros regulares 617
Resolvemos juntos 526
Practiquemos lo aprendido 643
Glosario 653
Bibliografía 655
; J? ' • ■ ••• • :;v* ■
Este es el Estadio Nacional, su construcción se realizó gracias 
a los conocim ientos aprendidos (de m anera práctica o m e­
diante los libros) por los albañiles, técnicos de construcción, 
d iseñadores e ingenieros; todo ellos trabajando en equipo 
edificaron esta gran obra de ingeniería en Lima.
En la imagen se aprecian los ángulos entre las luces y la can­
cha deportiva, de acuerdo a su m edida dependerá la ilum i­
nación del estadio para un partido de fútbol. Por ejem plo, 
en pequeños cam pos de entrenam iento se recom ienda las 
siguientes medidas:
• Conocer los elementos fundam entales de la p lanim etría.
• Conocer y diferenciar las clases de ángulos.
• Usar las principales operaciones de las longitudes de seg­
mentos y de las medidas de los ángulos en la resolución de 
problemas.
: .. . . , : C : : : . j ?
Los elementos geométricos estudiados en esta primera par­
te servirán como base para el estudio de las demás figuras 
geométricas en los capítulos posteriores, pues ellos nos ayu­
darán a relacionar las teorías estudiadas en el triángulo, en el 
cuadrilátero y en la circunferencia.
S e g m e n t o s v á n g u l o s
!. INTRODUCCIÓN Al ESTUDIO DE K A
Euclídes inicia la sistematización 
de los conocimientos de la geo­
metría, es oor ello aue es consi-
1.1. Reseña histórica
La palabra geometría significa medida de la tierra {geo=t\erra y 
m efrón=m edida), pues se originó con la necesidad de delim itar 
espacios sobre la superficie terrestre.
Precisam ente en Egipto, cada vez que el río Nilo se desbordaba 
no se lograban ver las señales que limitaban los terrenos de 
sembrío, las cuales estaban distribuidas en las orillas del Nilo 
en terrenos rectangulares iguales, pero cuando estos se inun­
daban, el rey egipcio Sesostris mandaba a los agrimensores 
(tensores de cuerda) para verificar y medir el espacio de tierra 
que habría disminuido, para que así se le bajara el precio de los 
impuestos respectivos.
Muchos años después la geometría fue llevada a Grecia por 
Thales (625-547 a .n .e .) después que estuvo algunos años por 
Egipto. Aunque no hay referencias de sus escritos, existen m u­
chas historias de él. Una de las más conocidas es la que explica 
que halló un método para calcular la altura de la gran p irám i­
de de Keops, construida en torno a! año 2600 a .n .e . Así como 
también se le atribuye el hecho de que el diámetro siempre 
divide al círculo por la mitad, o la observación-de que, en un 
triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales 
también son iguales, que para su época eran grandes avances 
en el área de la matemática. Se puso en marcha el estilo de 
pensar de las matemáticas modernas, de ir del modo métrico a 
la abstracción del triángulo y círculo.
Posteriormente a Thales, el conocimiento griego fue desarrolla­
do por Pitágoras, Hipócrates de Quios, Eudoxo de Cnido, y otros. 
Así como se desarrollaron conocimientos geométricos en 
Egipto y Grecia, también otras culturas hicieron aportes im ­
portantes. La cultura babilónica, descubriendo que la relación 
numérica entre la longitud de una circunferencia y su diámetro 
es 3 y estableciendo reglas para el cálculo de áreas y volúm e­
nes. Los aportes de la cultura china escritas en tiras de bambú, 
en la cual contiene el Gougu, una versión china del teorema de 
Pitágoras y la aproximación de 7t=3,1415926 obtenida con el 
uso de polígonos regulares inscritos en un círculo.
Todo ese conocimiento, vertido por dichas culturas y otras, 
logró ser sistematizado por Euclides (300 a .n .e ) con un razo­
namiento deductivo publicado en sus famosos 13 libros cono­
cidos como Elementos, que tratan sobre el estudio de la teoría 
de números,del álgebra griega y de la geometría elemental.
1.2. F igu ras g eo m étricas
Es el conjunto de puntos que adoptan una 
forma determinada.
Ejemplos
1.3. Partes de la geometría
Divid irem os el estudio de las figuras geom étri­
cas en tres partes.
1.3.1. G eom etría plana (p lan im etría )
Estudia las figuras geométricas formadas por 
puntos que pertenecen a un mismo plano.
Ejemplos
cuadrilátero
1.3.2. G eom etría del espacio (estereom étria) 
Estudia las figuras geométricas formadas por 
puntos que pertenecen a planos distintos.
Ejemplos
pirámide
•Jrs
v-
13.3. Geometría analítico 
Se denomina así porque relaciona a la geome­
tría con el álgebra, de tal manera que las figuras 
geométricas son estudiadas mediante ecuacio­
nes lineales o cuadráticas.
Ejemplos
elipse
En esta primera parte estudiaremos la geome­
tría plana.
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Por dos puntos, A y 8, se puede 
trazar una línea recta r.
Todo segmento >48 puede pro­
longarse en una recta r.
Nuestro entorno está rodeado 
de figuras geométricas. En la 
imagen podemos ver objetos 
en forma de líneas secantes, lí­
neas paralelas, ángulos, triángu­
los, planos paralelos y prismas.
1,4. E lem ento s g eo m étrico s fundam énta lo :.
Estos elementos son el punto, la recta y el plano, muy impor­
tantes en el estudio de la geometría. En esta ocasión, los repre­
sentaremos con dibujos.
La recta es como la línea 
más delgada que se pueda 
dibujar, manteniendo una 
misma dirección.
Fíanos IP y ©
La marca más pequeña que 
se pueda dibujar sobre una 
hoja de papel nos dará una 
idea de lo que es un punto 
en geometría.
El corte más delgado posi­
ble que se pueda obtener 
nos dará una idea del plano 
en geometría.
Rayo
Es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta 
al ser cortada en cualquier punto.
j '
..... ..... .. O O
rayo OA\ O A rayo 08: 08
2. SEGMENTO
Es una parte de la recta lim itada por dos puntos, denom inados 
extrem os.
¿Cómo ubicat_el punto medio 
del segmento AB?
Notación
• segm entos de extrem os A y B: AB
• longitud de AB: AB o ú
Para calcular la longitud de un segmento utilizamos la regla 
g raduada.
uada' ,•
, "%r*-2 1. Pun•:o med 'o tío i# >■ - c ■'' 1 '"
Es aquel punto de un segmento que determina dos segmentos 
de igual longitud.
Del gráfico, M es punto medio de AB, porque
C ,0
Todo segmento tiene un único punto medio.
1. Con centro en A y radio ma­
yor que la mitad de AB. se 
traza un arco.
2. Con centro en B y el mismo 
radio, se traza otro arco, lo­
grando P y Q.
3. Con la regia, trazamos la 
recta PQ, intersecando a AB 
en su punto medio M.
(
COLECCIÓN ESENCIAL
22 Operaciones con las longitudes de los 
segmentos
2.2.1. Ad ic ión
Se cumple
A.; . *»
De manera práctica lo realizaremos así: 
2{AB)=3{BQ A B -3ky BC-2k
AC-o+b
2.2.2. Sustracción
i-------- -—
A plicac ió n 7
En una recta se ubican los puntos consecutivos 
A N, M y B, tal que M es punto medio de AB, 
MN=2yAN+BM=8. Calcule MB.
R e s o l u c ió n
Se cumple
L AB-a-b
i
;?«■ . -i*
2.3 . Razones de longitudes de segm ento* .̂//> 
Sean A, B ,C y D puntos colineales.
Caso 1
A. é N 
Del dato ' ‘ A 
m +b m = $ 0 
, ; :Ad~2+o=8
%€ , 2 q ^ f *
Ó*. .> - a = Á v
^ Y
f %
Igualamos a una constante k, entonces se tendrá
BC
2 3
á l = — =k AB=2k
BC=3k
2k
A
Caso 2
2 2(AB)= U/c ;
Aplicación 2
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, 
5 y C, tal que 5(AB)=7{BQ y AC-2A. Calcule AS.
Resolución
7/í
Del dato 
5(A5)=7(eq 
-> AB=7k y BC=5k
Del gráfico 
7k+Sk=2A 
k-2
Capítulo i s&gg
'.T> :
3. A N G U LO
Es la figura geom étrica form ada por dos rayos que tienen el 
m ism o origen y que no son colineales.
A >1 Elem entos
* lados: OA, OB 
- vértice: O
X a
O ---B
N o tac ió n
• ángulo AOB de vértice O: <AOB
• medida del <AOB: m cA O B o a 
donde
i x<\
Ó. V '
El número a .indica cuántas veces el ángulo 
AOB contiene el ángulo unitario (1o).
Para calcular la medida del ángulo utilizamos el transportador.
¿P tp ̂• rr ef>. 0%
Í ?v0o . - "<Lf. .*>
§ fi R-3I A iC A i- x \ Y 6 ^ 3• A ■> '/A\V X fc' -*3
■ ■ ■ t ¿Mil r ...... /1r , • v «•/:
Transportador
¿Cómo trazar la bisectriz del án­
gulo mostrado?
1. Con centro en A trazamos 
un arco PQ.
( - A ’
2. Con centros en P y Q, y ra­
dios iguales entre sí, traza­
mos dos arcos que se inter­
secan en el punto M.
\ i
--VM
A K I
/— 4 p — . i
3. El rayo AM es la bisectriz del 
ángulo pedido.
P;/
^ ' l s\
A V
K___
: 3.1. Regiones determinurPís ooi jn anquí
curiSode'.
La bisectriz nos permite ubicar 
el lugar del lanzador en un cam­
po de béisbol. El campo es un 
ángulo que se representa por 
dos líneas blancas, se ubica la 
bisectriz de esta y el rayo que 
representa la bisectriz ubica a 
18,4 m del área del home el área 
del lanzador.
Vrt
l l I P i
K o o lv id e
Denotaremos el ángulo recto de 
la siguiente forma:
r
/Kegién \ 
! interior ¡
i \*dQ:0! I >
exterior /
• La región interior es el conjunto de puntos del plano que 
no están en el ángulo, pero sí están dentro del ángulo.
• La región exterior es el conjunto de puntos del plano que 
no están en el ángulo ni en su región interior.
3, A. üisec t í i z d i: im anqUio
Es aquel rayo ccuyo origen es el vértice de un ángulo y esta 
ubicado en su región interior, este rayo divide al ángulo en dos 
ángulos de igual medida.
v*'" /.■
,, %• %
//
i /
Del gráfico
% i" OP es bisectriz del <AOB.
,r( \ - Porque.^
3.3, C lasificación ue los ángulos 
3,3.1. Según : ; medida a gul ir
Es aquel ángulo que Es aquel ángulo que Es aquel ángulo que 
mide entre 0o y 90°. m¡de90°. mide entre 90» y 180«
/
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/
Á l
</La.
\. o
_1
33.2. Según ¡a posición de sus lados
a. Ángulos adyacentes
Son dos ángulos copianares que tienen un mismo vértice y un 
lado com ún, tal que sus interiores son disjuntos.
Los ángulos AOB y BOC son 
adyacentes.
f . \ ¿ L Vi . V M jp / KÁ
fI ?#*>.. \ áÉF ¿P ¡F . s||. ?!
r
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¡¡T %&? &
b. Ángulos c o n se c u t iv o ^ ^ / > £¥*
Son tres o más ángulos que tienen un mismo vértice y que al 
ser tom ados de 2 en 2 son ángulos adyacentes.
Los ángulos AOB, BOC, 
COD y DOE son conse­
cutivos.
ab scrtvad ó i»
v - (I l 0 t t’>
En e! gráfico
<A'OB y <BOA forman un par 
lineal.I . / • . .
Entonces
Del gráfico
• > - U P i ; —’,-Y _y
/ 0
se cumple .
¡ ¡ / p ? 0
v.
COLECCIÓN ESENCIAL
IÍÉm M • .» 'X- Lumbreras Editores
c. Ángulos opuestos por el vértice 
Son dos ángulos que tienen el mismo vértice 
en donde los lados de uno de ellos son los ra­
yos opuestos del otro.
O'
Se cumple
vértice. 'o--IK %4fe Mm' Mi 
■W Jíjfá#
%
as jy: t J r ;
3 3 3 .Según la suma de suam edS»»'¿gsr 
’ \
a. Ángulos complementarios*^ ^
Son dos ángulos que sumados miden 90°. %
Ejemplos
b, Angulos suplementarios
Son dos ángulos que sumados miden 180°.
9 ■»
\ Y
A 9
Los ángulos AOB y MQN son suplementarios, 
porque a+0=18O°.
S(ct):. suplemento del ángulo de medida a
w ^ ■i i•r-.V'
§%
---r--—----
%"% # / vÉ ^ ü 4
o
%
% P
X w
/V
Los ángulos A05 y MQN son complementa­
rios, porque a+P=90°.
OhWrt'VacíéH
C|a): complemento del ángulo de medida a
r . -90°- ex
1. Calculamos los siguientes complementos:
* C(21o)=90°-21o=69°
* C(2x)=90o-2 x
. C(49D)=9 0o - 49°=410
* C(30O)=90°-30° =60°
2. Calculamos los siguientes suplementos:
• S(45O)=180o-45o=135°
• S(3p)=180o-3 p
• S(130.)=180°-130o=50°
• S(95.,=180o- 9 5° =85°
Capítulo i Segmentos y ángulos
A plicación 3
Si OIW es bisectriz, calcule x.
a\ M /
i x /
O
—•--fy.
Resolución
Como OM es bisectriz, entonces
3x=60°
x=20°
Aplicación 4
Del gráfico, calcule p.
V / % i \.$ .j;,. W « f JÉ*., 1J i
> y
Resolución
Sabemos que 
2p+7P=180° 
9^=180°
/. (3=20°
Aplicación 5
Del gráfico, calcule x.
■V V
jt
Resolución
Sabemos que
x+50°+3x=90°
4x =40°
• x=10°
Aplicación 6
Si OP es bisectriz del <AOB, calcule (3.
\ • -\ /
\o \ '\. / \ A >
______£.___ -V t- J ____
n
Resolución
Sabemos que^
(3+70°+70°=180° 
•p+140o=¿j80°
% >’ . $ h
Aplicación 7
El complemento de un ángulo aumentado en 
40° es igual a la medida de dicho ángulo. Halle 
la medida del ángulo.
Resolución
Sea a la medida del ángulo pedido.
A
No ohflde 
El complemento del ángulo a es
90°-a.
Del enunciado 
C^)+40o=a
90°-a+40°=a
130°=2a 
/. a=65°
COLECCIÓN ESENCIAL
_____U&S8£?'«Í ' Lumbreras EditoresJgSOBH i1-i - -
1 • K(Lí "
Las rectas perpendiculares son 
dos rectas secantes que deter- 
minan ángulos rectos.
. . . . . . :
La recta es perpendicular a la
j recta &z y la denotaremos así:
l 3 , l 3 z .
C u ldádo l:
1 : significa perpendicular 
f //: significa paralelos
4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PI ANO 
Dos rectas en el p lano adoptan solo dos posiciones: secantes 
o paralelas.
4.1. Rectas secantes
Son dos rectas que tienen un solo punto en com ún.
La recta es paralela a la recta y la denotaremos así: 
S 1/ / S 2.
4 .3 . Postu lado de P layfair
Dados una recta y un punto exterior a ella, se puede trazar una 
única recta paralela a dicha recta que pase por dicho punto.
•-
111
P • -
rn
Capítulo 1
5. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RHí 
PARALELAS Y UNA SECANTE A ELLAS
5.1. Ángulos correspondientes ■
m
X
Si m//n, entonces
til cu
Si m//n, entonces
Ejemplos 
1. Del gráfico
<~ii
se cumple 
x= 70°
2. Del gráfico
i -r
se cumple 
Bx =123° 
• x=41°
se cumple 
5a=165° 
a=33°
Ángutc ■ juga o
j £¿z____
Si m//n entonces
a--M-)—180c
Ejemplos 
1. Del gráfico
y—9—t
§ ww
se cumple ^+110o^180° i
I |
a x= ?0 ° \ %
2. Del gráfico
'#- X l
\ f J
se cumple 
A P=1
5 4. Teoremas 
Teo rem a 1
. m i : . ;i
m T '
X
I! *~
Si m//n, entonces
< / + >
Ejemplos 
1. Del gráfico
XV
se cumple 
x*30°+25° 
/. x^55°
2, Del gráfico
ii
..... //.
.11
sé cumple 
2x=42° 
' / ,,’r X l 4 °
eorema
I T !
J 0
3 >
SI m//n, entonces
< r> . i *---- - —”1fí :i |V f IH 1V 1
Lo suma de ángulos ubicados a la izquierda es 
Igual a la suma de los ángulos ubicados a la
derecha.
Ejemplos 
1. Del gráfico
Si m//n, entonces
! -:¡ i ji + o-i iü - ;
. !
Ejemplos 
1. Del gráfico
se cumple
20o+70°=x+50°
90°=x+50°
x=40°
2. Del gráfico
r y
• ^ V
' \
- x ' a<K* %
é m jb ' 1
^ jK m S k . .<?'
•'•• •.•''• i'’-. , A- -> V ’ #
k. * A W / :
— : •
< H o ^
•*
se cum ple
a+25o=40°+30°+15c
a+25°=85°
se cumple ,
; 5 0 °+ ^ 70°= 180°
" # 4 2 S b=i8o°: I '%x¡0'
% Jr : ' 'Y * * 0 = 6 0 °
/ S í * * X / '# V %%v%-% w *
%
2. Del gráfico
a =60°
Teorema 3
m f'
\ o
/ ■J■/V :
. , _______________
se cumple
x+3x+3x+2x=180°
9x =180°
.\ x=20°
/ .
Construyamos un periscopio
En esta actividad aprenderemos a construir un periscopio simple, que nos servirá para ver un objeto 
situado por encima de un obstáculo que impide la visión directa, gracias al sistema de espejos colocados 
paralelamente en su interior.
Instrucciones
Paso 1. Para hacer el cuerpo del periscopio, necesitarás armar un 
prisma. Consigue un pliego de cartón de 42 cm de largo por 42 cm 
de ancho. Marca con el lápiz las líneas por donde hay que doblar el 
cartón para formar las cuatro caras: Recorta las ventanas y las ranu­
ras como se muestran en el esquema, y pega la aleta internamente 
contra el otro borde. ' ' . •
Insertar 
los espejos
fe*
i;-'- ■
4 5 °
■I-
: 4 5 D
f e í
, • f ' . . .
I
■
. 4 . * .. 1 ■
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■ ' & - ; ■ > '• i- ív - 4
'V ' . ' j ¡¿fe-. '•
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4 5 °
OLA
—Ù L L --- • s
, V,v- ' i
* 0 "
Paso 2. Ahora necesitas dos espejos pequeños, de unos
12 cm de largo y 6 cm de ancho, si no están pulidos en
í-í 1 " /' r . .sus bordes o son trozos irregulares, es conveniente cu­
brir su contorno con cintas adhesivas.
Reverso 
del espejo
Paso 3. Luego, introduce los espejos en las ranuras que tiene el cuerpo < 
del periscopio. La idea es que queden sostenidos; pero si los espejos son 
un poco cortos, pégalos con cinta adhesiva por fuera.
Ahora ¡a jugar con el periscopio!
SEGMENTOS Y ÁNGULOS i
Capítulo 1
RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.' 1
En una recta se ubican los puntos consecutivos 
A> B, C y D; tal que AC=BD, BC=8 y AD=18. 
Calcule AC.
A) 11 
D) 14
Resolución 
Nos piden x.
B) .12 C) 13 
E) 15
Ä
-—--O
\ j ■ 1 ■" j> 4^/ ^
' í ; ' iI----------- 1 x ~N..
gráfico
, p _______________ 1|---- o----1—
w-----A D #A1--- ------- 18---------------
x-8+x=18
2x=26
x=13
Clave
P ro b le m a N.' 2
En una recta se ubican los puntos consecuti-
vos A, B, C i D; tal que AB+CD=14 y ¿D=21. 
Calcule BC.
A) 6 
D) 9
B) 7 C) 8 
E) 10
Resolución 
Nos piden x.
Dato: m+n=14 
Del gráfico
x=7
Clave
P r o b le n ^ y ,’ 2-
A partir del gráfico, calcule x. Considere que 
2{BQ=S{AB) y BC-AB=9.
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
Resolución 
Nos piden x.
:a -----h 5 o
Dato:
BC-AB=9
r SEGMENTOS Y ÁNGULOS” !■ . . ■__ J
~~rx-q + b
Sustracción
i-------a -------- i
i— x —i— b — i
A Q B 
x=a - b
Razón
Sea m{AB)=n{BC) 
i— nk —t- mk -\ 
A B C
Ángulos
B
O
6
Notación
Ángulo AOB: <AOB 
Medida <AOB: m<AOB
Según su medida 
< agudo << recto < obtuso
e
i 0 < 90° J f e = 9CP' •;L e > 90°
Según la posición de sus lados
< adyacentes < consecutivos < opuestos
por el vértice
\ V * 'v |
P 0 Y P a o
Kt? \ A o
*=P= 0+0 x= y + p + e a = 0
Según la suma de sus medidas 
< complementarios < suplementarios
0+0 = 90° 0+P = 180°
-i P
Ángulos entre dos rectas 
paralelas y una recta secante
< correspondientes 
a
< alternos
a
P//
a = p
< conjugados
ii
Teoremas
i
x+y+z = 0+j3
B + (3=180° cx+0+f3+(J)=18Oo
Capítulo i Segmentos y ángulos
Entonces
5a-2a=9
3o=9
o=3
Luego
x== 7 ®
x=21
j C/ove
Problema NC 4
En una recta se ubican los puntos consecutivos 
A, B, M y C. Si M es punto medio deAC , >45=12 . 
y BC=20, calcule BM.
A) 3 
D) 6
R eso lu c ió n 
Nos piden x.
B) 4 C) 5 
E) 7
- 16 
—
16
20
A B M 
i— >c — i
C
Del gráfico
x+12=16
x=4
Clave
Problema NC 5
En una recta se ubican los puntos consecuti­
vos A , B , C y D, de modo que AB+CD=2(BQ y 
AC+CD =27. Calcule BC.
A) 7 
D) 12
B) 9 Q 11 
E) 13
Stesolutfótt
Nos piden x.
Datos:
« AB+'CD-2{BC) a + b=2x& tí y ' :>
• AC+CD=27
1/6, *
o+x+ó=27
3x=27
x=9
C/ove
Problema M. G_______________________________
En una recta se ubican los puntos consecutivos 
A, M, B y C, de modo que AM -M C y A B -B C -36. 
Calcule BM.
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
Resolución 
Nos piden x.
X — I—
lvi
Dato: Aß-ßC=36
Entonces
m+x-(m-x)=36 
ip+x-j/h+x=36
2x=36
x=18
Clave
P ro b le m a N.* 7
4 ,/
¿M&P*
En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A, B, C, D y E, de manera que AB=BC, 
CD=2(D£) y AB+AE=4S. Halle AD.
Entonces
a+2o-i-3¿>=45
3o+36=45
o+6=15
Luego
x=2o+26
x=2(o+6)
x=30
Clave
Problem a N .” 0
En una recta se ubican los puntos consecutivos 
A, M, By N, además AM=BN. Si MN=12, calcule 
la longitud del segmento que une los puntos 
medios de BM y AM.
A) 26
B) 30
C) 33
D) 39
E) 42
Resolución 
Nos piden x.
H
A
o ---1— ■ a — i----- i — i— > —i
~~r o Efí
Dato:
AB+AE=45
A) 5 
D) 8
Resolución 
Nos piden x.
B) 6 C) 7 
E) 9
A /’ ■M
H
En M/V: 2o+2¿>=12 
o + 6 = 6
Luego
x=o+6
x=6
C/ove
Problema N.‘ 9
En una recta se ubican los puntos consecuti­
vos A, B y C. Si M es punto medio de BC y 
AB2+AC2=26, calcule AM2 + BM2.
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Resolución
Nos piden a2+b2. ,y '
A
a - b ---- 1---- b — -h — - V '------ 1 ■_ a----- -X— '“a —
*W rB M%
Dato:
AB2+AC2=26
(o -b )2+(o + b)2= 26
$ NO OLVIDE
| Una de las identidades de Legendre es
f {a+b)z + {a-b)2=2(a2+b2)
Obtenemos
2Ía2+bz)=26
o2 + ó2=13
* C/cJve
Problema N.* ID
En una recta se ubican los puntos consecutivos 
A, B, C y D. Si (AQ2=(A5)(AD) y £C=4, calcule
J_ _L
AC + CD
» !
» 5
1 1Nos piden — + —
x y
Dato:
(AQ Z=(AB)(AD)
Entonces
x 2=(x-4)(x+y)
X2 = x2 - 4x + xy - 4y
4x+4y=xy
4(x+y)=xy
x + y _ 1 
xy 41 1 = 1
x y 4
C) - 
2
E) 1
* Clave
WBKBÈ
■■ ■■ , '
r ■■■■■, '• r .".
P ro b le m a N .‘ i l 
A partir del gráfico, calcule x.x / ^
Afa
\
A) 140°
D) 160°
Resolución
Nos piden x.
B) 150° C) 155° 
E) 170°
':'R-
jÉ& „ \
' i X * - ' - r . y/ Y R - t . O .-n% w
í íe s o iu d ñ n 
Nos piden x.
£ \
M
/
\ p ; p
o
Dato:
m<AOi3=1260
Entonces
2a+2(3=126° 
a +(3=63°
Se observa que1L
Del gráfico 
x+20°=180° 
x=160°
4tév • f t
. \ ' X = 6
'fi 3
.&& % . ■
v +
v̂seswrr / '
x= a+ P 
>W
$iv m
Probiema N.* 12_____________________________ _
Sean los ángulos consecutivos AOM y MOB. 
Halle el ángulo formado por sus bisectrices si 
m<AOiB=1260.
A) 60°
B) 61°
C) 62°
D) 63°
E) 64°
Clave
Problema U.' 13
Los ángulos AOB y BOC forman un par lineal 
y sus medidas se diferencian en 70°. Halle 
m< BOC.
A) 25°
D) 55°
Resolución 
Nos piden |3.
B) 35° C) 45° 
E) 65°
p a r lin e a l
Capítulo i
Dato:
a - p = 7 0 °
Por par lineal: a+ p= 180°
De (I) y (II) se obtiene 
a+ p= 180° 
a - p = 7 0 °
0 + 2p=110°
P=55°
(I)
OD
■ Clave
Problema N .'14
Se tiene los ángulos adyacentes A OS y BOC, 
tal que m < AO S=m < BOCA- 54°.;t|Calcule la 
medida del ángulo formado pofiel OB y la bi­
sectriz del <AOC. \ X X i
A) 21°
D) 24°
R e so lu c ió n 
Nos piden x.
B) 22° C) 23° 
E) 27°
bisectriz 
C 1 del <AOC i
'[« + 27°'
X « + 27°
Dato:
m< A O S=rrv<fíOC+54° 
—» m < A O S= a+ 54°
í¿ 1
De los gráficos se obtiene en el <POC
+ i).y 
/
i . /|(/+27/
1/
x + X = jd + 27° 
x=27°
Clave
Problem a 1S
Calcule x si OB y OC son bisectrices de los án­
gulos AOC y AOD, respectivamente.
um\
\
*E o
A) 29° 
D) 32°
B) 30° C) 31° 
E) 33°
Datos: De (I) y (II)
* 0 8 : bisectriz del < A O C
• O C : bisectriz del <AOD
Del gráfico se obtiene por par lineal 
4x+52°=180°
-> 4x=128° 
x=32°
Clave
Problema ______________
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC 
y COD. Luego se trazan las bisectrices OX del 
<AOB y OY del < CO D . Si m<AOC=30° y 
rrKX O V ^ SO 0, halle m<BOD.
A) 50° B) 60° C) 70°
D) 80° E) 90° '
Resolución 7
Nos piden m<8OD=20+(3.
Datos:
. m -l.4OC=30o -> 2a+(3=30° (I)
. m<XOr=50° -> a+(i+0=5O°
y
2a+2P+20=1OO° (II)
2a+2p+20=100°
2a+P=30° 4
O+p+20=7O°
De la operación anterior 
(3+20=m <BOD
m<BOD=70°
Clave
El suplemento de un ángulo disminuido en 50° 
es igual a doce veces la medida de dicho án­
gulo. Halle su medida,
•■■■ A) 10° B) 15°
D) 25°
Resolución
Sea x la medida del ángulo pedido.
NO OLVIDE
\ Suplemento del ángulo x=SM
Del enunciado 
S( í ,-5 0 °= 1 2 x 
Hallamos el valor de x.
180°“ X-50°=12x
130°=13x
x=10°
i Clave i
C) 20° 
E) 30°
Problema M" 18 , ro:
Sea p la m edida de un ángulo, tal que el su­
p lem ento del com plem ento de p y el com ple­
m ento de 3p sum an 130°. Calcule el com ple­
m ento de p.
A) 45°
D) 60°
Resolución 
Nos piden Cp.
B) 50° C) 55° 
E) 65°
NO OLVIDE
* Complemento del ángulo P=C^
• Suplemento del complemento ‘
■i | >'$ j$wdel ángulo P = SC(p) - ’ :
V ,
Del enunciado
S C (p )+ C (3 g )- 13° °
itW-fY; nO0- :'.ü
V - p) + 90° - 3p =130°
l80, ' -(9ü'- -1’.)
1 8 0 ° P + ^ - 3 P = 130°
50°=2P -> P=25
Luego
Cp=C25o = 9 0 °-2 5 °
Clave
Un tercio de la diferencia entre el suplemento 
y el complemento de la medida de un ángulo 
es igual al doble de su complemento. Calcule 
dicha medida.
A) 15° 
D) 70°
B) 45° C) 60° 
E) 75°
Sea 9 la medida del ángulo pedido. 
Del enunciado
4 S(e ) - C(e)) = 20 (0)
^(0), ^ (e r^ o ) 
5(0)=7C(0)
1 8 0°-9 -7 (9 0°-6 ) 
18O°-0=63O°-70 
60=450°
0=75°
Prob lem a N. 20 
Si m//n, calcule x.
A) 10° 
D) 23°
Clave
C) 15°
E) 18°
Cp=65“ B) 20°
COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución 
Nos piden x.
Del gráfico
/
100°/
r.*i’ >.<v.
x+100°+3x=180°
4x=80°
/. x=20°
h P ,•-!«>' .asm? a
*,, * Af%. 'W
yrim
Clave.10*$^ ..........
*«&
<0!* J»
Problema N.* 21 
Sí ?//m, calcule a.
\
8 ' x
m
\ 2
B) 120° C) 130°
E) 160°
Resolución
Nos piden a.
a
V COr,;i:Q3'1
J ! t. \ A •
I 8
Por ángulos conjugados
— + — = "180° 
8 2
5 a * € C l 8 0 °
i m
■# w «gjé 1 20°
= W í^
r \¿>> S?*á'
o = 160°
NO OLVIDE
Si m//n
rn+— ii T2
y
n<—u-
\
:< h V'= 180°
\ 2
” ClaveA) 100° 
P) 150°
Problema N/ 22 
Si m /fn , calcule x.
- -3 r' / \ m —>.
c t r o15 í
* í>
Si m//n, calcule x.
□
7 A
A) 30°
D) 60°
Resolución 
Nos piden x.
B) 40° C) 50°
° r \
i . \
Hi Iti-. iÍíí> ' . • V 41 I
' • Aviv
m v11
* >1 ¿ 1 í$ "̂ v ,-, %. %':
%
X #
Del gráfico
Por teorem a 1 
x= 35° + 25° 
/. x=60°
Clave
A) 12°
D) 16°
ñ eso iiic íó n 
Nos piden xr
B) 14°
o 28, '•-» —JSbi
J's? * Í'Z.r*
-, n%<¡#--̂ ssŝ
;-=í:ix ̂% / t i
V M \'V \
Del gráfico
C) 15° 
E) 18°
se obtiene 
2x+3x=90° 
5x=90° 
x=18°
O ; D f | e ! I K i'
°
P\
Clave
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Dato: 0+P=7O° 
Por teorema 1 
x = 0+p 
x=70°
Clave
Si m//n, calcule x.
m
A)'v10°.;j D B) 15o C) 20o
D)f259^ 5 E) 30°
'%r
Resolución 
Nos piden x.
Por teorema 2
30°+/ + 10 + = 20°+x +
40°=20°+x
x=20°
‘ Clave
Capítulo t
Problema N.e ?.B
Si $\U SB lt calcule x.
Nos piden x.
40° _ .140° \
\ m °
•>
•>...
A) 14°
D) 20°
Resolución 
Nos piden x.
B) 16° C) 18° 
E) 22°
! 4x
\
Por teorem a 2
60°+180o-x= 4 0 o+90°
240°-x= 130°
• x = 110°
% |P
'■■'¿.y
Clave
Problema N.“ 27
Si & \lí& 2 , calcule x.
-*../ / -
Por teorema 3
3x+4x.+2x+x=180°
10x=180°
x=18° , , ;C
Clave
Problema 2B
Si S&í U & i y m-n=38°, calcule x.
1 1 ■*
f , «
A) 35° B) 36° C) 38°
D) 40° E) 42°
41
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución 
Nos piden x.
Problema W.’ 29
Si 3/\!! 3?2i calcule x.
7 ^
V.X
Dato: m-n=38°
A) 90° B) 100°
X x ;\
C) 110°
—» Q=ß+m
Restamos (I)—(II).
e - 0=x+ß+n-ß-m
0=x+n-m
x s ( m - ñ | ó uto
(ID
En el gráfico
Por ángulos conjugados 
x+70°=180° 
x=110°
C la v e i C la ve
x=38°
PRACTIQUEMOS LO APRENDÍ
1. En una recta se ubican los puntos consecu- 
tívos A M, fí y C, tal que M es punto medio 
de AC. Si AB-BC = 40, calcule BM.
A) 10 B) 15 C) 20 
D) E) 30
6. En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A, B ,C y D, tal que 3[AD) + S(BQ=80 y 
3{AB)=S{CD). Calcule BD.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A, B y C, donde M es punto medio de 
AB y AC+fíC=14. Calcule MC.
A) 7 
D) 10
B) 8 C) 9 
E) 11
3. En el gráfico, F y G son puntos medios de 
AB y DE, respectivamente: Si AB+DE=\Ó, 
calcule FG. f
a —i- - h >
A F B C
A) 13 
D) 16
B) 14
■' •— ■— • -----
C) 15 
E) 17
4 . En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A, B ,C y D, de manera que C es punto 
medio de AD y AD-2(AB)=24. Halle BC.
A) 6 
D) 12
B) 8 C) 10 
E) 14
í- £n el gráfico, M es punto medio de AC. 
Calcule BM.
12 20
A
A) 3 
D) 6
B
B) 4
M C
C) 5
E) 7
7. En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A, B, C y D; tal que AC=24 y BD=30. 
Calcule la longitud del segmento que une 
los puntos medios de AB y CD.
A) 24 
D) 32
B) 27 C) 30 
E) 34
8. A partir del gráfico, calcule x si — + — = 1.
c . l / r ' AC BD
A) m -n B) 2m~n C) mn 
D) yfmñ E) 2yfrññ
9. Los ángulos AOB y BOC forman un par li­
neal. Calcule la medida del ángulo entre las 
bisectrices de dichos ángulos.
A) 70° 
D) 100°
B) 80° C) 90° 
E) 110°
10. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, 
BOC y COD. Si OB es bisectriz del <AOD 
y m<fíOC=24°, halle m <AOC-m <COO.
A) 42° 
D) 50°
B) 46° C) 48° 
E) 52°
COLECCIÓN ESENCIAL jj* ip '̂ "i....
11. Los ángulos AOB, BOC, COD y DOA son 
proporcionales a los números 1, 2, 3 y 4 , 
respectivamente. Halle rrxAOB.
A) 16° 
D) 21°
B) 18° C) 19° 
E) 36°
12. En el g rá fico , m < A O f= 3 (m < C O D ) y 
m<D0F=3(m<A08). Calcule m c fíO C .
D
3|ì
\ f 
\
A
A) 100° 
D) 130°
B) 110° C) 120° 
; -4 E) ' 140°
Lumbreras Editores
LC Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD 
miden 30°, 40° y 60°, respectivamente. Ha­
lle la medida del ángulo formado por las 
bisectrices de los ángulos AOB y COD.
A) 75° 
D) 90°
B) 80° C) 85° 
E) 95°
i o. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC 
y COD, tal que los ángulos AOC y COD for­
man un par lineal y m<AOC+m<BOD=220°. 
Calcule m<BOC.
A) 20° 
D) 50°
B) 30° C) 40° 
E) 60°
La diferencia del suplementocon el com­
plemento de la medida de cierto ángulo es 
igual al triple del ángulo. Calcule el com-
13. A partir del g rá fico ,\ca lc u í’e ¿x/y si pléménto de la mitad de dicho ángulo.
m < POR=m<QOS. X , . v X : % &
\ { * A):: 65° B)
oo
C)
A) 13
Wv'%.X V *
j j <;: D)
ooco E)
B)
1 \R
\ / q X ?
18. A partir del gráfico, calcule a.
2 \ %C) 1
D)
3 5 A A
2 O S(Y A
E)
4 à
14. Del
3
gráfico, calcule x. A) l\J o o B) 30° C)
D) 50° E)
V X
A) 100° B) 120° C) 130° 
D) 140° E> 150°
19. Halle el valor del ángulo que disminuido 
en su suplemento es igual al doble de su 
complemento.
A) 60° 
D) 90°
B) 70c C) 80° 
E) 100°
20. La sum a entre el suplem ento y el com ple­
m ento de un ángulo es igual a 210° y la 
d iferencia entre el suplem ento y el com ­
plem ento del mismo ángulo es igual a 90°. 
Halle la m edida de dicho ángulo.
A) 15° B) 20° C) 25°
D) 30° E) 35°
24. Si Y A77///7, calcule x.
21. Si calcule x.
A) 6o B) 8o C) 10°
D) 11° E) 12°
25. Si 5 i / / 5 2 y $ 3 / 7 5 4 7 / 5 5 , calcule [ i
A) 12° B) 13° C) 14°
D) 15° E) 16°
A) 36° B) 38° C) 42° 
D) 46° E) 48°
23. Si 5 i//5 2/ /5 3, calcule a.
C) 40 °
E) 60°
26. Si & \ll & i, calcule —.
y
A) 20° 
D) 50°
B) 30°
Capítulo i Segmentos y ángulos
Claves
1 C 6 C 11 E 16 c ; 21 C 26 D; 31 C 36 C
2 A 7 B 12 C 17 C ; 22 D 27 í 32 D 37 D
3 C 8 D 13 C 18 r :i 23 C 28 O 33 D 38
cV
4 D 9 c 14 E 19 D Í 1 24 c 29 C. 34 P 39 c
5 B 10 c 15 C 20 d :i 25 0 30 B 35
B
Una de las figuras geométricas que tiene mayor aplicación 
para realizar construcciones, sean grandes o pequeñas, es el 
triángulo. Esta figura presenta una propiedad de resistencia 
a su deformación que otras no la tienen. Es por eso que no 
es raro ver estructuras de fierro donde se aprecian triángu­
los. En la imagen se muestra al Ferrocarril Central Andino en 
uno de sus recorridos hacia Huancayo cruzando el puente 
Carrión que tiene formaciones triangulares.
Este puente está ubicado en el kilómetro 84 y es el más lar­
go de! ferrocarril central; mide 218 m y tiene una altura de 
80 m. En total, el tren cruza 58 puentes y 69 túneles durante 
su recorrido.
c r -:t .- :: •
* Reconocer los elementos del triángulo.
• Utilizar de manera correcta los teoremas fundamentales y 
adicionales.
* Realizar prolongaciones correctas en un determinado pro­
blema.
• Reconocer los diversos triángulos según su clasificación.
¿ P o r q u é g g ffíiGCGsario-GGcc : \.C
Porque nos ayudará a comprender otras figuras geométricas 
como el cuadrilátero, el prisma, la pirámide, etc. Asimismo, el 
análisis del triángulo logrará reforzar algunos conocimientos 
de la física y la química, como los vectores y la estructura mo­
lecular de los átomos, respectivamente.
El estudio de este importante tema también servirá como 
base para los posteriores capítulos relacionados con los polí­
gonos y circunferencias.
Triángulos
Los símbolos 2p, para referirse 
f al perímetro, y p, para el semi-7 
1- perímetro, serán utilizados de / 
■ esa forma a lo largo de todo el, 
libro.
1. CO N CEPTO
Son figuras geométricas formadas al unir tres puntos no coli- 
neales mediante los segmentos de recta.
A
Elem entos
• lados: A B ]IC y A C
• vértices: A ' 5 y C .
Notación > v I
AABC se lee: “el triangulo ABC’.
- • M * *Y»**nt+ 9 **
. . . . « /r****̂ •VJ»«r* - y*
También se puede, escribir asíA ':BAC o CAB,
porque realmente, se refiere al mismo triángulo.■ ■ ;
1.1. Perím etro t.dancjulo (2p )
Es la suma de longitudes de los tres lados.
8
Del gráfico
" ]
Jn . , ~,-=<7 + ¿? + c I ‘-h &AP( j
2p A ABC se lee: “el perímetro del triángulo ABC .
1.2. S em ip e rim etro del triángu lo (p )
Es la mitad de la suma de longitudes de los 
tres lados.
B
Paabc
p ABC se lee: “el semiperimetro del triángulo 
A B C . I ¡ ¡Y ' 2 Sfy *
Aplicación 7
Calcule el perimetro y el semiperimetro del 
triángulo.
B
Resolución
Calculamos el perímetro.
2pfi/iec=4+6+8 
2 P^abc^ 8
Calculamos el semiperimetro.
4 + 6 + 8 _ 18 
Pa ABC~ 2 ” 2
Pa abc=9
2. REGIONES DETERMINADAS POR EL 
TRIÁN GU LO
El triángulo divide la superficie plana en dos re­
giones. Representaremos esto en un cuaderno.
Si prolongamos los lados del triángulo, dividi­
remos la región exterior así:
/
re!stiva ¿ /•
Ejemplos
1. Ubicamos un punto P en el lado AB de un 
A ABC.
2. Ubicamos un punto R en la región interior 
del A M NS.
3. Ubicam os el punto Q en la región exterior En todo triángulo se cumple 
relativa a PR de un APRS.
3.1. Angulo interior
Aplicación 2
Del gráfico, calcule x.
A * . ......................
Resolución
Como tenemos ángulos interiores, procede­
mos a sumarlos.
Por el teorema de la suma de ángulos inte­
riores
x+3x+60°=180°
4x + 60° = 180°
4x=120°
120°
x=30°
A plicación 3
Del gráfico, calcule 0 + a .
Resolución
opuesto 
por el
vertice
Ahora tenemos a 0 y ot como ángulos internos. 
-> 0 + a+5O°=18O°
0 + oc=13O°
4 .2 . Sum a de ángulos externos S /
A p l i c a c i ó n 4
Del gráfico, calcule a.
Resolución
Como tenemos los tres ángulos externos, en­
tonces los sumamos.
Por el teorema de la suma de ángulos externos
5a+6a+140°=360°
11a+140°=360°
11a= 220°
En todo triángulo se cumple
(ì t u t a i-360o
220°—> a =-----11
a= 20°
Aplicación 5
Del gráfico, calcule a+0.
Resolución
Par lineal
' i ’ í í ,'V .j . ••..¿¿r- ■■■ •■ LÜ
o+¿»=i8o° / y ¡ $
f . >w
Com o tenem os dos ángulos externos, faltaría j 
un tercero que se obtiene mediante la proion-' 
gación óeAC .
A c
Luego, por el teorema del par lineal, la medida 
del ángulo exterior en el vértice C es 120°. 
Ahora sí tenemos tres ángulos externos, enton­
ces aplicamos la suma de ángulos exteriores. 
a + e + 120°=360° 
a+0=36O °-12O° 
a+0=24O °
Análisis de un error frecuente
Calcule/.
■:¡0- .'téíií
« •
I ‘ : Comox + 1 0 0 o+ 1 6 0 °= 3 6 0 ° 
-> x = m °:i : * *
. Eso no es correcto, 
2 C ' porquex no es un
ángulo externo.
I:.,.
# \ * -, > t --V
•r> v.-S
i f * f p
vr ,,XvV ¿Está seguro, 
profe?
Así es, este es el 
ángulo externo.
UÿÇjf
4
K/0‘: ICO1
Ci___
CaPítuloJ Triángulos
En el A ABC aplicamos el teorema del cálculo del ángulo 
exterior.
'i
triángulo
i Sí así fuese, el triángulo forma- 
í . do debe cumplir con el teorema 
i de existencia, 
í . Veamos : ■..
- t-
n
rcsta_
3<f 8 <7
V'5WV»
i y / / •• /
í 11 ¡VJ
Notamos que ocho es: ■merabjrj j' 
que siete, ya que eso es ilógico 
el triángulo no se puede construir.
—> m<£CD=2* 
Luego observamos
C ; ‘
Aplicam os el teorema del cálculo del ángulo exterior.
Del gráfico, se cumple
0-_C <¿)<a + C
revtj Lumi
Este teorema es utilizado en problemas de va 
lores máximos y mínimos de un lado.
Capítulo 2 Triángulos
Aplicación 9
Calcu le el máxim o valor entero de x.
Resolución
Aplicam os el teorema de existencia con res­
pecto a x.
9 —4 < x < 9 + 4
resta suma
5 < x < 13
Es decir, x está entre 5 y 13. .+
—> *= 6; 7; 8; 9; 10; 11;(Í2) ind̂ ,0
\ ' J l r Jentero ̂ ~?f y
■ x . =12 •
A plicación 7 0 * > >
Calcule la suma entre el máximo y el mínimo
valor entero de b. ' x% ,f
Resolución
Aplicamos el teorema con respecto a b.
8 - 6< b < 8+6
reste* .'Uma
Es decir, b está entre 2 y 14.
~> b= 3 ; 4; 5; 6; 7; ...12; 13
, t f
mínimo máximo
entero encero
Luego
mín. entero 
mín. entero
+ b - =3 + 13^max. entero J 
^máx. entero“ ^
Al teorema de existencia también se le conoce 
como teorema de la desigualdad triangular.
v i l
4.5. Teorema de correspondencia 
A un mayor ángulo se le opone un mayor lado 
y viceversa.
Del gráfico, si a < 0, entonces
r
Propiedad reciproca 
Si a < £> —> a < 0
existencia
Relaciona ángulos 
con lados
2 <£><14
COLECCIÓN ESENCIAL
Aplicación 11
Del gráfico, indique qué lado es mayor, si a o b.
Resolución
yy-'-Á-A.
Aplicación 12
Indique si a es menor o mayor que 30°. "
Resolución
Se observa que 
a < a+2
-> a < 30°
Por lo tanto, a es menor que 30° 
Aplicación 13
Calcule el máximo valor entero de x.
Por el teorema del ángulo exterior 
m<&4C+70°=130° 
m<BAC=60°
En el A ABC, al tener ángulosy lados, aplica 
mos el teorema de correspondencia.
Como 60° < 70°
-» x< 4
Es decir, x es menor que 4.
• y n 3• • Amáx. entero
Capítulo 2 Triángulos
5. TEOREMAS ADICIONALES
Son los teo rem as que se usan para reducir pasos y operaciones 
en un problem a.
Para mejorar ¡a identificación de 
los teoremas, se les puede aso­
ciar con las siguientes figuras:
A plicación 17
Del gráfico , calcule a+b+c+d.
Resolución
Notam os que el gráfico muestra al búmeran y la mariposa. 
Asim ism o, observamos que falta un ángulo al cual llamaremos 
0 para aplicar los teoremas.
Z L : 0 + 6 + 6=150°
tX¡\ c+d =0 + 20°
a + b + c + d + = $ + 170°
a+b+c+d=170°
Aplicación 18
Del gráfico, calcule x.
Si por dato tenemos figuras in­
completas se sugiere prolongar 
las líneas.
COLECCIÓN ESENCIAL
_ _ _
Lumbreras Editores 
_ _ _
Resolución
Prolongamos y formamos la figura de la ma­
riposa
En el A ABC: rr\<ACB es 50°, dado que la 
sum a de ángulos internos es 180°. , - ■ v.
Luego, por el teorema de la mariposa
En el A ABC aplicamos la suma de los ángulos 
internos.
3x+4x+2x=180°
9x=180°
x=20°
x = 180°
Aplicación 20
Del gráfico, calcule a.
x + $ = 5O°+j0 
/. x=50°
Aplicación 79
Del gráfico, calcule x.
Resolución
Formamos el búmeran (/^) y aplicamos su 
teorema.
Resolución
6. CLASIFICACIÓN
Al triángulo lo clasificaremos tomando en cuenta sus ángulos 
y lados.
6.1. Según las medidas de sus ángulos
6.1.1. Triángulo acutángulo
Sus tres ángulos internos son agudos. Teoremas adicionales
Del gráfico
i ■L„
donde se cumple
0 : obtuso
s______ J
00'■. . 0 V ISO'''
Ejemplos
NÒ. olvidé:
»<< - * v . - < »'»y.-, -, -., ¿i 7vTv» v *
\ Acutángulo Obtusángulo13 t \ \ j i . . •*.. '. ■ ■-
í Son llamados también triángu­
los oblicuángulos, ya que no 
•¿ tienen ángulos rectos.
Dato cu rio so
■
El triángulo de vida
i En un sismo se recomienda a 
• j . la persona colocarse al lado de 
4 una estructura (mueble u otros), 
ya que al caer, los objetos for- 
7 man un triángulo y así se evita 
que alguien salga lastimado.
6.1.3. Triángulo recta n g i 
T iene un ángulo recto.
n .
Elementos
• catetos: AB y BC
• hipotenusa: AC
Ejemplos 
1. o /
■■■ :>'• .‘T '
Prop i edades
□
2.
! H-H /-90'’
IT-90o- (■
6.2. Según sus lados
6.2.1. Triángulo escaleno
Sus tres lados son de d iferentes longitudes
donde a *b ; b * c y c*a .
6 .2 .2. T riángu lo isósceles f ^ 
Tiene solo dos lados de igual longitud
B
donde AB=BC y AC es la base del Isósceles.
En todo Isósceles, a los lados iguales se les oponen ángulos de 
igual medida.
‘ V _____ _
t < j /¿>* y vi* >>
7//£^ = = = r._____O ato: curióte
í'Yj/m
En los objetos de plástico, e l 
número y las letras del triángulo 
equilátero, formado por flechas, 
nos indican el tipo de plástico, 
para su correcto reciclaje.
________________________
, “K -.\v •
>1 i
i i j l1 3 '
i 5
I I\ 2
I |
PET HDPE PVC LDPE
pp PS Otros
• r . ;i f /
¿//fff/: Imjpor tiiltc r r ^
El GPS y el sistema de triangu­
lación
El GPS es utilizado para cono­
cer las posiciones precisas de 
cualquier elemento en la Tierra; 
por ejemplo, nuestra ubicaclpn.j j 
Esto funciona con la medición 
de nuestra distancia hada tres 
satélites, medíante el proceso 
de triangulación
Ejemplos
6 .2.3 . Tri á n g u i o eq u i I á le r o 
Tiene sus tres lados de igual longitud
P A ” A A :y: A A :
¿Por qué los ángulos internos del triángulo suman 180o?
Paso 1
Construya un triángulo de papel y dóblelo exactamente por la mitad de dos lados.
/ A, ( I \
r \ v Df,o;,íf \/
á o
Paso 2
Doble la esquina inferior izquierda de la hoja.
%
I ,
/ ¡ \/ 1 \ / 1
:A
í A . , r , :
/ j
/ \ y
\ ( X /\ / í ' \
*>, Â
O c :> U < vvíyCf \ *
%i-V%
.# -È jÄk
I
I Ù
Paso 3
Doble la esquina inferior derecha de ja Bojar
r A fv " ~ ~ ” * ‘'I
\ . / : \
\ / ! \ 1 \ /'X (/. / ; \
1 n X / 1 (0 A Ì I U / Í , 1
DúCjI.kr , j
Finalmente, en la última imagen se observa que
RESOLVEMOS JUNTOS
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Del gráfico notamos dos triángulos isósceles. 
En el AABC
En el L ADB
Aplicamos el teorema de la suma de ángulos 
internos.
x+40°+40°=180°
x+80°=180°
x=100°
r Clave
Capítulo 2 Triángulos
Resolución
«___ i— _______________________
Restam os (I) - (II).
x+a+80=180° 
y+g =80°
x+/í+80o- y - / = 180o- 80o
x+80°-y=100°
x-y=100°-80°
x-y=20°
; Clave \.... .*»•, é*n
Problema 8
Del gráfico, calcule x+y.
P
A R c
Podemos analizar los dos triángulos.
En el A ABC 
y= 30°+ 40° 
y= 70°
_______ ______________ i___
A) 20° B) 25°
D) 40°
_________
R e so lu c ió n
/A
En el A RPQ 
x=50°+20°
x=70°
P
Problema N. 9_____
Del gráfico, calcule 0.
A) 140° 
D) 150°
B) 100°
2 0 Ÿ X
i Clave
COLECCIÓN ESENCIAL
Capítulo 2 Triángulos
COLECC!Ó\ ESENCIAL Lumbreras Editores
En los triángulos, aplicamos el teorema del 
ángulo exterior.
Por el teorema del pescado
2a+4a=50°+70°
6a= 120° —» a = 120°
a=20a
Problema N/ T3
i Clave {
;i>rv
Del gráfico, si m+n=140°, calcule x+y.
A) 120°
B) 130°
C) 140°
D) 150°
E) 160°
En el A ABC, como m+n=140°, entonces la 
m<fiC4=40°.
B
B
x+y=150°
! Clave [
Prob lem a N.° 14 
Del gráfico, calcule x.
Resolución
Notamos la figura de un triángulo y un pes 
cado.
A) 30° 
D) 45°
B) 40° C) 20°
E) 15°
«i
Resolución
Del gráfico
notamos
3 a + 30°=36 a+ x= 8+ 30°
3'(a+10°)=30 a+ V -30°= 9
a+10°=6
Igualamos los valores de 0. 
0c+1O°=já+x-3O°
10°+30°=x
40°=x
Clave
Problema N.a 15____
Del gráfico, calcule x.
Resolución 
Del gráfico
x=8O°+0 + p (I)
x+0 + (3=13O° (II)
Ordenamos convenientemente.
A) 125°
B) 115°
C) 100°
D) 105°
E) 120°
De (I) x=8O°+0+p
De (II) x+0-t-p=130° '
2x+/0+/p=8O° +/■+P +130° 
2x=210°
x=105°
Clave
Problema H.' IG
Del gráfico, calcule a . Del gráfico, calcule a.
A) 30° B) 20° C) 10°
D) 15° E) 25°
Resolución / ^ \
Com o el gráfico no es conocido, hacemos al­
gunas prolongaciones.
O bservam os que en la parte sombreada se 
han com pletado las medidas de los tres án­
gulos. vO
A) 50°
B) 40°
C) 60°
D) 70°
E) 45°
#' Æ v- ' *»**&■,
Im portante
Se cumple
Prolongamos los lados y el ángulo a va a la 
parte superior derecha, debido al esquema 
anterior.
Notam os la figura del búmeran.
Donde
4Ü°+a+oc=70°
2 a = 7 0 °-4 0 °
30°
2a= 30° « = —
/. a= l5°
j Clave
Luego, notamos
i6Gc
70-
60°+70° + a=180° 
130° + a=180° 
a=180°-130° 
a=50°
Problema N.° IG
Del gráfico, calcule x.
A) 20° 
D) 45°
B) 25°
Resolución
Prolongamos y se forma
Clave
C) 40° 
E) 30°
* (
/O ^
L
f y
2x+x+90°=m °
Luego, notamos
3x=90°
x-30°
X = '90c
Clave
Problemi
Del gráfico, calcule a + b+c+d.
■/■ >! ;
M 'V ,
/ cy
A) 160° 
D) 220°
B) 150° C) 120° 
E) 200°
Resolución
Prolongamos y formamos la figura del búme 
ran y el pescado.
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Por e! teorem a del búmeran
Luego, notamos
£>: a+b+c+d= 60°+100° 
a+b+c+d= 160°
''% [ Clave L:■/, * '*< • * • ¥%*£*• *p* i?.* y*'
\ 'W w 4<■' A'
Problema N.° 2 0 ______________
Del gráfico, calcule a+b+c.
A) 150° B) 180° C) 200°
D) 360° E) 100°
Resolución
Prolongamos y formamos dos mariposas y en 
cada figura los ángulos b y c cambian de po­
sición.
a+b+c=180°
Clave
1. Del gráfico, calcule x. 5. Del gráfico, calcule a.
A) 8° B) 9° C) 10°
D) 12° E) 15°
2. Del gráfico, calcule a .
A) 60° B) 70° \ C) 50°
D) 40° E) 45°
Del gráfico, halle x.
A) 20°
B) 30°
C) 40°
D) 50°
E) 10°
A) 15° B) 20° C) 25° 
D) 30° E) 40°
6, Del gráfico, calcule x+y.
A) 210° B) 230° C) 240° 
D) 220° E) 250°
7 . Del gráfico, calcule x.
A) 50° 
D) 40°
C) 70° 
E) 30°
B) 60°
COLECCIÓN ESENCIAL
------------------- -------
Lumbreras Editores_________________ -
Capítulo 2 Triángulos
17. Del gráfico, calcule x.
A) 35° B) 40° C) 50° 
D) 60° E) 70°
18. Calcule a .
A) 6o B) 8o C) 10°
D) 15° E) 20°
19. Del gráfico, calcule a.
A) 40°
B) 55°
C) 50°
D) 60°
E) 30°
KJ-i
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
_ _ _ _ |___________ .________________________________________!________ 8
.
20. C a lcu lex+y.; 23. C a lcu le / .
Claves
1 C 5 . J
>(T
L_
- 13 17 21 25 29 D
2 6 6 ■ i i 10 14 A 18 22 26 i)
3 D 7 A 11 D 15 19 B 23 27 A
4 A 8 D 12 16 20 24 B 28
’W j M Æ
M m >
a â f
Z2É É & M
W $ 4 * # ñ -
El viaducto de Millau en Francia está constituido por ocho 
tramos de tablero de acero, que se apoyan sobre siete pila­
res de hormigón. La calzada pesa 36 000 toneladas y se ex­
tiende a lo largo de 2460 m; tiene dos carriles ce tránsito en 
cada sentido. Este viaducto prácticamente duplica la altura 
del que hasta entonces era el puente más alto del mundo; 
el Europarbrücke (Austria). En la imagen se puede ver que 
los siete pilares cumplen ¡a función de recta mediatriz a lo 
largo de todo el viaducto.
Este es un ejemplo de la utilidad que puede tener una línea 
notable. A parte de la mediatriz, otros tipos de líneas nota­
bles son la mediana, la bisectriz, la ceviana y la altura.
AMOR A SO FÍA
; , - í ? J h
esperados
* Reconocer los tipos de líneas que se pueden trazar en un 
triángulo.
* Interpretar el enunciado de un problema para su correcto 
graficado.
• Aplicar los teoremas de los ángulos formados por bisectrices.
• Realizar prolongaciones para resolver problemas geom é­
tricos.
¿Por tgué es necesario este conocimiento?
Porque logra precisar que los problemas en el curso de Geo­
metría son de dos tipos: los problemas graficados y los pro­
blemas que solo muestran un contenido textual. Asimismo, 
nos permitirá diferenciar las características de cada línea para 
una adecuada interpretación y graficado en un determinado 
problema textual.
.YiYfJ "•
Líneas notables
- . ■ ■ ' ■ ■ . ■■
: ^ . ' 
Prolongación
| Es la extensión o alargamiento 0 
• de un segmento, que se puede 
realizar en dos sentidos.
hUx-f--
; A Pfál<> (̂j¿íi6¡i! ¡ | | | | j | j
t 4 L
! ; i id« BÂ . . '//
; ¡ i i i ■ /,-■ \
PíTjíOpjadcm
-n".:
///.Importante
La palabra relativo significa que 
T hay relación o conexión con un 
• elemento.
1. CO N C EPTO
Son líneas asociadas al triángulo, se usan frecuentem ente y 
tienen diversas características.
2. T IPO S
2.1. Ceviana
2.1.1. C eviana in te rio r
Es un segmento que une un vértice con un punto cualquiera 
del lado opuesto a dicho vértice.
Ejemplos
2 . A 3 .
Cj
A
/ \
\ i \ d 1A / X
BP: ceviana inte- AP: ceviana inte- CP: ceviana inte­
rior relativa a AC rior relativa a BC rior relativa a AB
- 2. ,.5'
: : v > ■
■ ; ; S En todo triángulo
i ^ p - se pueden trazar
■ ■- - infinitas cevianas
- interiores.
W- c
2.1.2. Ceviana exterio r
Es un segmento que une un vértice con un punto cualquiera de 
la prolongación del lado opuesto a dicho vértice.
Ejemplos
1.
B
BD: ceviana exterior relativa a AC
2.
B
BE\ ceviana exterior relativa a GA
O tra fo rm a de tra za r la cev iana exte rio r
3.
F
AF'. ceviana exterior relativa a CB
’A
En"todo“ ?riáñgulo se pueden trazar Infinitas 
cevianas exteriores, .
Si tenemos un triángulo donde 
la relación de ángulos interiores 
es de 1 a 2, podemos formar 
triángulos isósceles.
. j j f j i j \ \ \ m ¿
K“ — - r ■ " . ' ,
R , uc - '• -
b* •; .
Para ello trazamos la ceviana 
interior.
Importante ««¿as*
En geometría, bisecar significa 
dividir un ángulo o segmento 
en dos partes iguales.
COLECCIÓN ESENCIAL
O
ítores
2 .2 . M ed iana
Es aquella ceviana interior que biseca el lado al 
cual es relativa.
B
BM: mediana relativa a AC
En todo triángulo se pueden trazar tres media­
nas, una de cada vértice.m i m i - - ■ x : st - • '■j**?*'**”** v¿ i i . l i ! j í : ! . --re--- / • ■ ■ .
En el triángulo rectángulo ABC
,0
A
_o
H
BH: altura relativa a la hipotenusa 
En el triángulo obtusángulo ABC
: V
: \
□
BH: altura relativa a CA
ó -
A
2 .3 . A ltura v %% p
Es aquella ceviana perpendicular al lado al cual 
es relativa.
La posición de la altura depende del tipo de 
triángulo.
. En el triángulo acutángulo ABC
B
AR: altura relativa a BC
O
D
CD: altura relativa a BA
s Y j 11 / . / / / , • • , / / - ■1 ] fnrl p j
Jodo triángulo tiene tres alturas, las cuales 
pueden estar en la región interna, región j 
externa o coincidir con un lado del triángulo. j
BH: altura relativa a AC
Capítulo 3
Líneas notables
2 .4 . B ise c triz
2 .4 .1 . B ise c triz in te r io r
Es aquella ceviana interior que biseca a un ángulo interior.
8
AD: b isectriz interior relativa a BC
Ejemplos
3. B
i
COLECCIÓN ESENCIAL
___
Lumbreras Editores
___l____ _..
Nrifólvüle
Mediana Bisectriz
2 .4 .2 . B isectriz exte rio r
Es aquella ceviana exterior que biseca a un ángulo exterior.
j
BD: bisectriz exterior relativa a AC
Ejemplos
2 .5 . M ed ia triz :
Es aquella recta perpendicular a un lado del triángulo, que pasa | 
por el punto m edio de dicho lado.
B
: m ediatriz de AC
confundirse
Solo si el triángulo es isósceles 
o equilátero se cumplirá que la 
vez bisectriz y
mediatoz 
de B C
mediatriz 
de A C
M p o rtw H t
Todo triángulo tiene tres mediatríces, una rela­
tiva a cada lado,
93
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
__ _____________ ■
Sabemos que m<ABD=rc\<ADB.
B
8
Nos piden AB=x.
B
Observamos que el triángulo BAD es isósceles. 
/ . x=4 ;?
A plicación 3
En un triángulo acutángulo ABC, se traza la 
altura CH, y se obtiene que AH=3 y HB=1. Si 
m<ABC=m<ACB, c a lc ú le le .
Resolución
Graficamos.
Observamos que AH=3 y HB=1.
B
A
Sabemos que m < A B C = m < / 0 .
Nos piden /4C=x.
Observamos que el triángulo R4C es isósceles.
A D
Del dato, AB=BD.
Aplicación 5
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz ex­
terior BD (D está en la prolongación de CÁ). 
Si DB=BC y m< 804=26°, calcule m<DBA.
Aplicación 4
En un triángulo ABC, m</\BC=60°; además se 
traza la bisectriz interior BD, tal que AB=BD. 
Calcule la m<BDC.
Resolución
Se sabe que m</\BC=60°.
A
Se traza la bisectriz interior
El triángulo ABD es isósceles. 
-» m <ft4D=m < 80/4=75°
4 D
LO
I
A plicación 6
En un triángulo ABC, AC= 6; además, la media- 
triz de AC interseca a AB en M y a C4 en D, 
donde MD=2. Calcule AM.
Resolución
Graficamos.
La mediatriz de AC interseca a AB en M y a 
C4 en D.
i
COLECCIÓN ESENCIAL
Nos piden AM=x.
'• '* ■ *# f •' ' *' tr y *•' • • • i/ v ,•
; ’ / „■ V ■ ;•
: . • '■ ■ „ ■ 1 . ,
sasm
En el ^ A D M aplicamos el teorema de Pitágoras.
x2=22+ 32 -> x2=13 
x = V Í3
-'íííxx s?:-
r . \ M ' ■' / / / 7 ' .7 , V / === ? - T » k
v l i l t ó ó í t o ít i / '
La palabra respectivamente se usa cuando enu- J
! IT1 IT11 i iV / / w N S s .• ■ QfNmeramos varios elementos y los queremos re-
i'íácionar con otros, según el mismo orden de,
mención.
Ejemplo
-Se~encuentran A, B y C en MA/, PQ y¡PS('respéc-1 .
« fí está en PQ.• i i 11 ITTv//'A> ' ...■ : -
. C está en RS.
1 j 1 yf////////f//J&
Aplicación 7
En un triángulo ABC, BD es la altura; además, 
la bisectriz interior trazada desde A interseca 
a BD y BC en M y N, respectivamente. Si 
m<BMN=50°, calcule m<MAD.
Lumbreras Editores
IIjL' "
Resolución
Graficamos el triángulo ABC y trazamos la 
altura BD.
La bisectriz interior trazada desde A interseca a 
BD y BC en M y N, respectivamente.
8
\ N
• i "*.'■■■. S ', í £ j l □ .
D C
Sabernos que m<8MA/=50°.
B
Nos piden m<MAD=0.
B
Líneas notables■ a m
Por el ángulo opuesto por el vértice 
m<AMD=50°
Luego, notamos
0 + 5 0 ° = 90° 
/. 6 - 4 0 °
3. TEO REM AS SOBRE ÁNGULOS FORMADOS 
POR BISECTRICES
Para aplicar estos teoremas, se debe identificar 
al triángulo del cual se han trazado las 
bisectrices.
Teo rem a 1 \
Se aplica cuando hay un ángulo formado por­
tas bisectrices de dos ángulos interiores.
B
Donde x es el ángulo formado por bisectrices. 
Del gráfico
x = 90°
Ejemplos 
1. H allem os/.
8
Entonces x es el ángulo formado. 
Luego, por el teorema 1
:60 ox = 90°+v—- 2
/-•90 o+ 30° 
z=120° ?
2. Hallemos y.
* B
Entonces y es el ángulo formado. 
Luego, por el teorema 1
y = 90°-^-52 
7 2
y=90°+20°
y=110°
99
3. Hallem os x . Ejemplos 
1. Hallemos x.
B
Notamos que 130° es el ángulo formado. 
Entonces, por el teorema 1
( 7 )130°=90°+ -
v $ X jsffe-
130°-90°=- -> 4 0 °= -/ |
| i/ * |¡f
80°=x \ ' *« j f í
Teo rem a 2
Se aplica cuando hay un ángulo formado por i 
las bisectrices de dos ángulos exteriores, don-T 
de x es el ángulo formado por bisectrices.
B'
Del gráfico
a
y s C j 0 ° ..........2
Tenemos que x es el ángulo formado. 
Entonces, por el teorema 2
50°)
x = 9 0 °- —2
x= 90°-25° -» x=65°
2. Hallemos/.
Tenemos que y es el ángulo formado. 
Luego, por el teorema 2
y = 90°-35° -> y= 55°
3. Hallemos x.
Capítulo 3
Líneas notables
Entonces, por el teorema 2
(x)
40°= 90o- - 
2
| = 90°-40°
y
- = 50° x=100°
Teo rem a 3
Se aplica cuando hay un ángulo formado por 
las bisectrices de un ángulo interior y un ángulo 
exterio r, donde x es el ángulo formado por 
b isectrices.
Del gráfico
Ejemplos
1. Hallemos x.
Notamos que x es el ángulo formado. 
Entonces, por el teorema 3
x=30°
En este último teorema, el ángulo formado 
por las bisectrices es la mitad del ángulo de! 
triángulo.
2. Hallem os/.
Tenemos que y es el ángulo formado. 
Entonces, por el teorema 3
(40°
^ K y y :--
.-. y=20°
3. Hallemos x.
Notamos que x es el ángulo formado. 
Entonces, por el teorema 3
x=35°
COLECCIÓN ESENCIAL
£
Lumbreras Editores
O tros teo rem as
Biografía
Gíovanní Ceva (1648-1734)
Fue un matemático italiano, reconocido en el campo de la geometría por el im­
portante teorema que descubrió y que lleva su nombre: el teorema de Ceva, el 
cual plantea que dadas tres cevianas concurrentes, existe una relación entre las 
longitudes de los segmentos parciales determinados en cada lado.
i.
—
 
__
__
_
LÍNEAS NOTABLES
r
Ceviana
/ts. ceviana/ \XVŝ interior
I //1 / \ \
1 >
/ \ 'v ceviana/
I ///
exterior
\
_ A . . . AV y
Aitura
altura
A X - Í-
! O- X . \> I ___/
Mediatriz
 ̂ ! I
' J
Ángulos formados por bisectrices
; j “ ‘n‘.:• • • - ̂ — ----------— .
~T - ------ ---- vTeorema 2
.0
0
¿i<L
(0
0)
L
,v- 9U° -
1
Teorem a 3
í
/ } ü veoto
X~ 2 ;
Líneas notables
Problema N.' 1
En un triángulo ABC, AE es la bisectriz 
interior y BH es la altura del triángulo ABE. 
Si rr\<ABH=S0°, calcule m<BAC.
A) 80° 
D) 75°
B) 70° C) 50° 
E) 65°
Resolución
Nos piden la m < 3 /4 0 2 0 .
. ’ ;
En el ki-AHB
0 + 5O°=9O° -> 0=40° 
20=80°
Clave
Problema N.‘ 2
En un triángulo ABC, se ubica el punto E en 
5U región interior, tal que AB=BC=AE) además, 
la m <8G4=50° y la m «M C = 20°. Calcule la 
m<AEB.
A) 80° 
D) 75°
B) 85° C) 60°
E) 90°
Resolución
Nos piden la m<AEB=x.
A \ \
\ \
i / /
/
\ vf A \
//A r i
Como el A ABC es isósceles 
-> m<3/4C=50° y m <843=30°
Luego, en el ñ. BAE isósceles, sumamos sus án­
gulos interiores.
x+x+30°=180o
' 2x=150°
a=75°
Clave
Problema N. 3___________________ ______ _____
En un triángulo ABC, se ubican D y £ en AC y 
en la región exterior relativa a BC, respectiva­
mente, tal que BDE es un triángulo equilátero. 
Si BD es la altura del triángulo ABC, 43=3 y 
4D=2, calcule BE.
A) y¡S 
D) \¡2
B) 2 C) 1 
E) T i
Capítulo 3 Líneas notables
Resolución
Nos piden BE=x.
B
Com o el A DBE es equilátero 
8E=DE=BD=x
En el AAD B aplicamos el teorema de Pitágoras.
x2+22=32 I \ x ¥ J
x2=9-4
x2=5 ^
••• x = 'fe
Clave i <■ V:
P ro blema N- 4 __________________________________
Del gráfico, halle Ja medida del ángulo deter­
minado por AB y NE.
B
A) 28° 
D) 32°
B) 30° C) 24° 
E) 18°
Resolución
Im po r tan te
? A
ó-ií:
C
O
La medida del ángulo formado por 
í AB y CD es a.
Como nos piden el ángulo determinado (for­
mado) por AB y NE, prolongamos para hallar 
la intersección.
Del gráfico, notamos
Por el teorema del ángulo exterior 
x+62°=90° 
x=28°
• Clave
Problema N.’ 5 
Del gráfico, calcule x.
Por el ángulo exterior 
x+30°=115°
x=85°
Clave
Prob lem a N. b 
Del gráfico, calcule a.
A) 90° B) 105° C) 100°
D) 85° E) 115°
Resolución
En el A ABC aplicamos el teorema del ángulo 
form ado por dos bisectrices interiores.
50°
_> m<AEC=90° + —
m <AEC=115°
Luego, notamos en el gráfico
A); 115° B) 65° C) 85°
D) 75° E) 50°
Resolución
B
En el L\ABC, como sus ángulos interiores 
suman 180°
-> m</\6C=50°
Capítulo 3
Líneas notables
Por el teorema del ángulo formado por dos 
bisectrices exteriores, tenemos
B
Problem a N.' 7
Calcule x.
Resolución
En el .ABC, como sus ángulos interiores 
suman 180°
-> m<BAC=S4°
Del gráfico, notarnos
i .% x=63°
A) 46° B) 64° C) 63°
D) 72° E) 54°
I Clave
Probí.ama M.* 9 
Calcule x.
A) 79° B) 84° C) 82°
D) 67° E) 69°
En el A ABC, por el teorema del ángulo for­
mado por una bisectriz interior y una exterior, 
tenemos
m<ADC = — -» m <ADC=22°
2
Aplicamos el teorema de la suma de los 
ángulos interiores.
x+x+22°=m°
2x=158°
x=79°
‘ Clave
Capítulo 3
Líneas notables
Problema N/ 10
Del gráfico, calcule a .
A) 114° 
D) 124°
B) 120° C) 106°
E) 112°
Resolución /"* ^ \
Prolongamos y formamos un triángulo donde, 
por el teorema del ángulo exterior, el ángulo 
en el vértice A debe ser 32°.
B
A
Luego, en el A ABC aplicamos el teorema del 
ángulo formado por dos bisectrices interiores.
Problema N/11
Del gráfico, calcule x.
x = 90° + 32°
x=90°+16° 
*. x=106°
• Clave (
A) 115°
D) 121°
B) 112c C) 116° 
E) 131°
Resolución
Prolongamos adecuadamente y formamos una 
mariposa (¡x}), en la cual aplicamos el teorema 
correspondiente.
-> m <ABC=62°
B
i s 
6 2 1
Luego, en el A ABC, el ángulo es formado por 
el teorema de dos bisectrices interiores.
62°
x — 9 0 ° f —— -> x * 9 0 ° * 3 Io 2
x=121°
: Clave .
COLECCIÓN ESENCIAL
''tí. • A íA . í
Lumbreras Editores
. -_______ Ü _____ .
Problema N/ 12 
Del gráfico, halle x.
A) 52° B) 61° C) 4 6 ° ^ :s
D) 58° / E ) 64o
Resolución x v W
\ 0wProlongamos las líneas. \
En el A ABC aplicamos el teorema del ángulo 
formado por una bisectriz interior y otra ex-
terior.
_ 52° m <ADC=-^-
Del gráfico, tenemos
Por el teorema del ángulo exterior 
x=26°+35° 
x=61°
Clave
A) 56°
B) 57°
C) 63°
D) 66°
E) 54°m</ADC=26°
Capítulo 3
Resolución
B
P ro b lem a N.° 14 
Del gráfico, calcule x.
Prolongarnos las líneas y aplicamos el teorema 
de la mariposa.
—» m < A fíC -5 4 °
Del gráfico, notamos
Á F A « ■. ""
B r-V
V
En el A ABC aplicamos el teorema del ángulo 
formado por dos bisectrices exteriores.
54°x = 90° — — 
x = 9 0 °—27°
/. x=63°
: Clave
B
A) 4 
D) 5
Roso ludérí
B) 6
Im p o r ta n te
I
i
Observamos que
En A A/?A m<AER=90°-Q
En A Afíf, m <AFB=90°-0
Q 7 
E) 8
111
o
COLECCIÓN ESENCIAL Li
Luego, observam os del gráfico que el A EB F 
es isósceles. A
/
u
// , ,
\ . r y
v /
Y A y
x=5
Gave
Prolongamos AC, entonces CE es bisectriz.
En el ABC aplicamos el teorema del ángulo
Capítulo 3 Líneas notables
Resolución Problema N.° 14
x = 9 0 °—27°
x=63°
; Observamos que 
i Enth* ARE, m<AER=90°-Q 
\ Clave{ } : EnfcxASF, m<AFB~90°-Q
Problema N/ 16
Calcule el m enor ángulo formado por AE y BC.
B
A) 8C° B) 60° C) 50°
D) 70° / e ) 40o
Resolución
B
Prolongamos AE que corta a BC en F. Entonces 
x es la medida del ángulo pedido,
Luego, notamos
Aplicamos el teorema del ángulo exterior. 
x=40°+40° 
x-80°
Clave'-.
Problem^..N/17 __________________
Si AB-AC y BR con BD trisecan al ángulo ABC, 
calcule x.
A) 14° B) 26° C) 24°
D) 28° E) 32°
Resolución
NO O L V ID É
} Trisecar significa dividir en tres partes 
iguales un ángulo o un lado.
Im p o r t a n t e
Para encontrar el ángulo entre dos 
\ líneas, estas deben cortarse; en caso 
contrario, las prolongamos.
Com o BR y BD trisecan al <ABC 
-> m <ABR=m<RBD=rc\<DBC
Com o AB=AC, el A BAC es isósceles.: - -̂. i >; 
-> Sx=78° / J Î A
78°x =
/. x=26°
\ Clavé -.1
f
Problema N.s 18
Del gráfico, calcule x.
A) 50° 
D) 80°
B) 40° C) 70° 
E) 75°
K r . i f ■ i l ' A '
Im p o r t a n t e
Se cumple
A A
y ' v \
A-..A
so° \
/
\
/ V D ,' \
y x . \
/
■a--A,
\ \ a \S,\f\
Aplicamos el teorema del búmeran.
A ABCD: x =0 + a + 6O°
A ADCE: x + 6 + a =100°__________
2x + $ + ,a =,Q + 4 +160°
2x=160°
160°—> x = 2
x=80°Clave
Capítulo 3
Líneas notables
Del gráfico, halle x.
A) 105° B) 110° C) 100°
En el A ABC, por el teorema del ángulo formado 
por dos bisectrices interiores
m< AEC = 90°+ 80°
—> m <AEC=90° + 40° 
m<A£C=130°
Del gráfico
En el A EFC usamos otra vez el mismo teorema.
50°x = 90°+ —— 2
x=90°+25°
,v=115°
Problema N.° 20
Calcule
A) 30° 
D) 40°
B) 60°
: Clave \
C) 50° 
E) 43°
C O L E C C IÓ N ES E N C IA L Lum breras Editores
Resolución
En el AABC aplicamos el teorema del ángulo 
form ado por dos bisectrices interiores.
—> m < BDA = 90° +
m < £0/4=120°
60°
i W W a \H S&W' /? -A&- 'àxi/<% ? *X8t? JÉk$ I % - #.»> -/- I * / wW «V\ iwÊ> Æw /
Luego, en el A A D £ aplicamos el teorema del,.,., 
ángulo formado por una bisectriz interior,y ̂
otra exterior. v%
Se cumple 
60°x = -
x=30°
i C/ove
Problema N.* 21
Del gráfico, calcu le/.
A) 115° 
D) 110°
B) 120c C) 140° 
E) 118°
Resolución
Prolongamos y se forma un pescado (/JO- 
-» 70° + m <A£C=50°+60° 
70o+m<A£C=110°
J ; m«/4£C=40°
»s.
Luego, en el AA£C aplicamos el teorema del 
ángulo formado por dos bisectrices interiores.
x = 90° +
x=110c
40°
Capítulo 3 Líneas notables
P ro b le m a N .‘ 22
Calcule a+b .
Luego, notamos en el gráfico.
v
£
A) 116° B) 118°
D) 112°
Resolución
En el triángi 
ma de las bisectrices exteriores.
C) 128° 
E) 114°
p>' 4xc
:MW'' <;•
//•
En el A EFD
a + b + 66°=m ° 
a + b= m °-66°
0*6=114°
l¡, ; Clave •
D
E
n 48°m <A£C = 9 0 °— —
m < A£C= 90°-24°
m<A£C=66°
Problema N.° 23
Calcule x.
A) 40° B) 30° C) 22,5°
D) 25° E) 15'5°
____ J
117
Resolución
Prolongam os BE y CF y observamos que son 
bisectrices del triángulo ABC, una interior y 
otra exterior.
B
i /> X '
i f l t /
O
En A EFD aplicamos el teorema de la suma de 
los ángulos internos.
x+3x+4x=180° —> 8x=180° 
x=22,5°
■ Clave \ C )*, »*»#•*
En un triángulo ABC se ubican los puntos M, D 
y E en AC, ~BC y en la prolongación de 45 , res­
pectivamente, tal que E, D y M son colíneales. 
Si AE=EM y m <4£M =20°, calcule m<EMC.
A) 80° B) 100° C) 110°
D) 120° E) 118°
Resolución
\ Im portante
I Los puntos colineales son aquellos í 
Í puntos que se encuentran en una | 
misma línea recta.c<^>>o<x >x voc<o o <:<v> s<>Xí<X' : « < >■»•" *> ycocooooo* A
Graficamos el triángulo ABC y ubicamos M en 
AC, D en 8G%E en la prolongación de AB.
Problema N/ 7h
Del dato, E, D y M son colineales; además, 
AE=EM y m<A£M=20°.
I
Capítulo 3
Líneas notables
Nos piden m <£M C=x.
Problema 25
1. En un triángulo ABC, se traza la ceviana in­
terio r BM, tal que BM=BC. Si m<MBC=3Q°, 
calcule m <BMA.
A) 100° 
D) 90°
B) 120° C) 105° 
E) 115°
2. En un triángulo ABC, se traza la ceviana 
exterior BD (D está en la prolongación 
de A C ). Si BC=CD y m<CBD=26, calcule 
m < 5C A .
A) 40° 
D) 52°
B) 50° C) 60° 
E) 46°
En un triángulo ABC, se traza la ceviana 
interior BD y en el triángulo ABD se.traza 
la ceviana interior BE, tal que BD-BE y 
m<EBD=40°. Calcule m <5DC.
A) 110° 
D) 130°
B) 100° C> 120° 
E) 105°
A) 45° 
D) 60°
B) 30° C) 40° 
E) 50°
A) 90° 
D) 130°
B) 110° C) 100° 
E) 120°
7 . En un triángulo ABC, se traza la mediana 
BD, tal que AC=2BD. Si m <BCA=40°, 
calcule m <BAC.
A) 35° 
D) 60°
B) 40° C) 50° 
E) 70°
En un triángulo A5C, se traza la bisectriz in­
terior BD, tal que BD=AB. Si vn<DAB=80°, 
calcule m < ABC. • ’\ T "
8. En un triángulo ABC, recto en B, se traza 
la altura Bhl y en el triángulo BHC se traza 
la bisectriz interior CD. Si m<BAC=70°, 
calcule m <HDC.
A) 60° 
D), 80°
B) 70° C) 100° 
E) 110°
En un triángulo ABC, se traza la altura BH. 
* - - Si BC=AC y m e BCA-40°, calcule m cABH.
: 1 A) 10° 
D) 40°
B) 20° C) 30° 
E) 50°
10. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz 
interior AD, tal que AD=DC=AB. Calcule 
m < BAD.
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz in­
terior AM, tal que AM=BM y m<ACB=B0°. 
Calcule m<BAM.
A) 24° 
D) 36°
B) 30c C) 44° 
E) 48°
A) 40° 
D) 30°
B) 50° C) 60° 
E) 20°
11. En un triángulo ABC, la mediatriz de AB in­
terseca a AC y AB en Dy E, respectivamente. 
Si m < £04=50° y m <5C4=40°< calcule
m e ABC.
6. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC in­
terseca a BC yAC enDyE, respectivamente. 
Si m<ACB=20°, calcule m<BDE.
A) 90° 
D) 110°
B) 96° C) 100° 
E) 115°
ik
Capítulo 3 Líneas notables
12. En un triángulo ABC, se trazan las alturas 
BH y CE. Si m < A BH = 20°, calcule rrxEC A .
A) 20° B) 30° C) 40°
D) 60° ' E) 70°
13. En un triángulo equilátero ABC, se traza 
la b isectriz interior CD y DH es altura del 
triángulo ADC. Calcule m < HDC.
A) 40° B) 70° C) 30°
D) 50° E) 60°
14. Del gráfico, calcule x.
A) 20° B) 40° C) 50° 
D) 10° E) 30°
15. Del gráfico, calcule a+b.
A) 155° B) 145° C) 165° 
D) 170° E) 150°
16. Del gráfico, halle x.
A) 126° B) 116° C) 106° 
D) 113° E) 123°
17. Calcule x.
COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
25. Calcule a+b. 28. Del gráfico, calcule*.
A) 32,5° 
D) 30°
B) 22,5Ü C) 24,5°
E) 40°
A) 105° 
D) 120°
B) 100° C) 130° 
E) 115°
30. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz 
exterior BD (D está en la prolongación de 
AC). Si AB=AC y m<BDA=30°, calcule 
m < CBD.
A) 50° 
D) 60°
B) 40° C) 30° 
E) 45°
31. Del gráfico, calcule a. j 34. Del gráfico, halle*.
40. Del gráfico, calcule x.38 . En un triángulo ABC, se traza la mediana 
AD y en el triángulo ADC la ceviana inte­
rior DE. Si 8C= 8; DE=4 y m < D C £= 46°, 
calcule rc\<AED.
A) 114° B) 116° C) 124°
D) 130° E) 134°
39. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC 
interseca a BC y a la prolongación de AB 
en D y E, respectivamente. Si m <6£D=32°, 
calcule m < £ 4 C .
A) 32° 
D) .58°
B) 48° B) 30° C) 20° 
E) 35°
C la v e s --------------------
1 c 6 B 11 C 16 D 21
A 26 C 31
2 D 7 C 12 A 17 F
22 D 27 C 32
3 A 8 l) 13 E 18 D
23 P 28 B 33
4 c 9 B 14 A 19 D 24
C 29 E 34
5 A 10 P 15 C 20 A
25 C 30 A 35
D 36 B
5 37 A
L 38 F
G 39 P
E 40 A
Actualmente, es común ver en las calles, en las tiendas o en la 
televisión objetos que se ofertan, los cuales no necesariamen­
te son únicos en su especie. A principios del siglo xx, Henry 
Ford producía miles de vehículos idénticos, y fue el primer 
fabricante automotriz que masificó la producción.
A lo largo de los años, con el avance del desarrollo del mer­
cado automotor, el proceso de fabricación de un automóvil 
se ha simplificado y ahora se divide en seis partes: prensas, 
chapistéría, pintura, motores, montaje y revisión final. El fin 
de este logro no solo se condiciona, al mejoramiento de la 
estructura del vehículo, sino también a la búsqueda de poder 
disminuir los accidentes y muertes ocurridas en las plantas de 
procesamiento, que se iniciaron en Francia y Estados Unidos, 
a finales del sigio xix.
En la imagen, se pueden apreciar objetos iguales en cuanto a 
forma y tamaño, estos detalles caracterizan a las figuras con­
gruentes.
AMOR A SO FÍA
Aprendizajes esperados
u Distinguir de manera correcta si dos triángulos son real­
mente congruentes.
- Reconocer de manera adecuada los teoremas sobre las 
aplicaciones de la congruencia.
* Deducir en qué problemas se pueden utilizar los teoremas 
mencionados en este capítulo.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
Porque nos permitirá resolver problemas mediante la compara­
ción de figuras congruentes, es decir, si dos de ellas son iguales, 
los elementos de una se repetirán en la otra.
L'l término conglutínela no solo es utilizado para los triángulos, 
sino también para cualquier par de figuras u objetos que tienen 
la misma forma y el mismo tamaño, como pot ejemplo, edifi­
cios, como en el caso de las Torres Gemelas, camisetas deporti­
vas de una misma talla, lapiceros azules de la misma marca, etc.
*v
\
Congruencia de triángulos
1. CO N CEPTO
Son dos triángulos cuyos ángulos son de igual medida y, ade­
más, sus lados también poseen la misma longitud.
Para indicar que dos figuras 
son congruentes, se utiliza el 
siguiente símbolo:
o
Posición de dos figuras 
congruentes
Dos figuras congruentes no ne­
cesariamente estarán en la mis­
ma posición,sino que pueden 
estar volteadas o superpuestas. 
La idea es que en un problema 
se tome en cuenta este punto.
Del gráfico
í V/ ' - . : a . , \ S ' ;
donde = se lee: "... es congruente a...”.
Ejemplos
1. Determinamos si hay congruencia en los triángulos.
Observamos que ambos son congruentes.
2. Analizamos si las figuras son congruentes.
Æ _______ d
Las dos figuras sí son congruentes.
Resolución
Nos piden a.
Al lado 5 se le 
opone un ángulo 
que mide 40°.
En su congruente 
debe pasar 
lo mismo.
a=40°
Aplicación 3
Si los triángulos son congruentes, calcule )c
En el A ABC, al ángulo a se le opone un lado 5. 
En el A CDE congruente debe pasar lo mismo, 
entonces CD = 5.
Aplicación 1
Si los triángulos son congruentes, calcule x.
A plicación 2
Si los triángulos son congruentes, calcule a.
que sirve la congruencia de triángulos?
La congruencia de triángulos sirve para poder 
conocer elementos (lados o ángulos) mediante 
el uso de la comparación entre triángulos ya 
congruentes.
Resolución
Observamos.
En su triángulo 
congruente debe 
pasar lo mismo.
129
m
COLECCIÓN ESENCIAL
______
/ v .''Dató :'o;HoiaE ;̂'
''***“.“/•* "''•■••*'’**■*.v̂j»A<»sVy*
Las torres congruentes
Las torres de Bahrein tienen !a 
forma de veías, poseen una a!- 
; tura de 240 m y entre ellas hay 
- í tres gigantes turbinas de viento 
para generar aproximadamente: 
et 13% de la energía que nece- 
. , sita el edificio.
Las torres Petronas, en Kuala
vv. *••• '•>' •. /' 5® V-VVV: Í W v ; f
Lumpur, capital de Malasia, fue­
ron los edificios más altos del 
mundo entre 1998 y 2003.. Estas 
estructuras de 88 pisos están co­
nectadas mediante un puente.
Luego
En el A CDE, al ángulo 8 se le opone un lado 7. Entonces en el 
AABC debe pasar lo mismo.
BC = 1 
x + 5 -7 
x -2
. . . : •
En dos; triángulos congruentes se cumplo que a 
los ángulos iguales se le oponen lados iguales,
, y viceversa, .
2. CASOS PARA ¡DENTIRGAR TPÍ/OmGÍií OL CONGRUÍ NT! 
Dos triángulos son congruentes si tienen seis elementos igua­
les (tres lados y tres ángulos). Sin embargo, existen tres casos 
o situaciones que permiten saber si dos triángulos son con­
gruentes con solo conocer tres elementos iguales, donde al 
menos uno de estos tres sea un lado.
2.1. Caso 1: Laclo - ángulo lado (L-A-L)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales, 
respectivamente, y los ángulos formados por dichos lados son 
de igual medida.
Se cumple
A ABC~áPQR
A plicación 4
Indique si los triángulos son congruentes.
Resolución
A pesar que tienen tres elementos iguales, la 
ubicación de los elementos del primer triángu­
lo no están como indica el caso L-A-L.
Por lo tanto, los triángulos no son congruentes. 
A plicación 5
Indique si los triángulos son congruentes.
Resolución
Los triángulos tienen tres elementos iguales, 
los cuales cumplen con el caso L-A-L.
A p l i c a c i ó n 6
Del gráfico, calcule AE.
D
Notamos que el A ABC = &ECD
dado que ambos cumplen con el caso L-A-L,
es decir, 4-0-6 .
Si comparamos sus elementos, diremos que 
AC - ED, es decir, AC = 5.
Luego 
y=5 + 4 
/. x-9
131
¿.2. Laso 2: Ángulo - lado - ángulo (A-L-A) 
Dos triángulos son congruentes si tienen un 
lado igual, respectivamente, y los ángulos ad­
yacentes a dicho lado son de igual medida.
' Se cumple
áABC.=APQR
Aplicación 7
Indique sí los triángulos son congruentes.
%
Resolución
Observamos.
Resolución
Tenemos
Sí son congruentes, ya que cumplen con el 
caso A-L-A.
A plicación 9
Del gráfico, calcule x.
*
%% ' ¿y
\ Y
Notamos que los triángulos no son congruen- 
tes, ya que no cumplen con el caso A-L-A.
Aplicación 8
Indique sí los triángulos son congruentes.
Resolución
Solamente hay dos elementos iguales, pero 
falta uno. Veamos sí se puede conocer el ter­
cer elemento faltante.
Observamos que el AABC=AEDC, por el 
caso A-L-A; es decir, 0 -4 -a ).
Arribos no son congruentes, dado que solamente tienen 
los lados iguales.
De la congruencia, si comparam os sus elementos, diremos, por 
lo tanto, que x es igual a 7.
2 .3 . Caso 3: L a d o - la d o - la d o (L-L-L)
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados ¡guales, 
respectivam ente.
Telares antíincs 
En el Perú y algunos países de 
América se realiza el tejido de 
mantas y ponchos de manera 
artes-ana!, los cuales varían en 
color y diseño según la aldc-a o 
departamento. En ellos pode­
mos observar figuras geométri­
cas congruentes.
Los condominios
Son la forma de propiedad par­
ticular dentro de una vivienda 
residencial multifamiliar; donde 
cada propietario tiene el 100% 
de la unidad adquirida y es co­
propietario de otros elementos 
comunes de la vivienda como 
pasillos, ascensores, etc.
Se cumple
De los tres casos vistos, este último es el más 
fácil de reconocer.
Ejemplo
Analizamos si los triángulos son congruentes.
 ̂ ík&PQR*
Ambos son congruentes, dado que tienen 
tres lados iguales.
Los dos triángulos son congruentes, dado 
que tienen 3 lados iguales, además mues-% 
tran un lado en común que comparten. . v
A p l i c a c i ó n 10
Del gráfico, el A ABC es equilátero. Calcule a.
Resolución
Nos piden a.
Como el ABC es equilátero
AB=BC=AC=n
El A A BD ~ ¿\CBE, por el caso L - L - L.
De la congruencia, diremos que 
a=50°
O&tum/ncíóin
¿Cómo saber si un problema se puede resolver 
por la congruencia de triángulos?
Si en un gráfico vemos elementos que se repí- j 
ten de dos en dos, es correcto pensar en una j 
posible congruencia.
Capítulo 4 Congruencia de triángulos
¿fu*, ln i
3. TR IÁ N G U LO S REC TÁ N G U LO S C O N G RU EN TES 
Casos especia les
Cuando tienen una misma hipotenusa y un cateto igual.
a
Si hay una misma hipotenusa y un ángulo agudo igual.
• Con un mismo ángulo agudo y su cateto adyacente igual.
Ni» o lv id e
Distancia entre dos puntos
i A '
ij
Distancia entre un punto y una 
recta
• Cuando presentan dos catetos iguales.
b --------- 1 I--------- / ' ---------- 1
Visitando la t&eb
Video relacionado a la con­
gruencia de figuras 
¿ http://youtube/uwSIS2JZsno
Ejemplos
1. Indicamos si los triángulos rectángulos son congruentes.
No necesariamente son congruentes, dado que faltaría un 
dato más: un ángulo agudo o un cateto.
2. Determinamos la congruencia de los triángulos rectángulos.
3.
No son congruentes, dado que sus elementos no se corres­
ponden; además, no cumple con el caso A-L-A.
Analizamos la congruencia de los triángulos.
No son congruentes, dado que sus elementos no se corres­
ponden; además, sus elementos no cumplen con el caso 
A-L-A.
4. Verificamos si hay congruencia en los triángulos rectángulos.
No necesariamente son congruentes, dado que faltaría co­
nocer al menos un lado para garantizar que haya el mismo
tamaño y en ambos triángulos.
http://youtube/uwSIS2JZsno
A plicación 77
Del gráfico, si AB=BCy C£=3, calcule BD,
A
Resolución
Nos piden BD=x. Sea AB=BC=a.
Observamos a dos triángulos rectángulos que 
tienen el mismo valor de hipotenusas, por lo 
cual faltaría un dato,más para asegurar si son 
congruentes o no, y para saberlo completa­
mos los ángulos.
Si m <BAD=Q, rr\<ADB=90°-Q, entonces 
m < C B E -8
Aplicación 72
Del gráfico, si AB=BC; DE=2 y EB=3, calcule
C
R e s o l u c i ó n
Nos piden EC=x. Sea AB=BC=a.
Como en el ejemplo anterior, notamos dos 
triángulos rectángulos de hipotenusas iguales, 
entonces al faltar un dato más, completamos 
los ángulos.
Si rr\<DAB=Q, entonces 
m<ABD=90°-Q
La m<EBC=Q -> k^ADB BEC
C
Si comparamos los elementos, diremos que 
EC=DB 
x=5
Por lo tanto, si comparamos los elementos, 
observamos que x es igual a 3.
137
' 7
Dos triángulos rectángulos serán congruentes 
si tienen dos elementos iguales que se corres­
ponden (al menos uno de ellos tiene que ser un 
lado), dado que el tercer elemento siempre es 
el ángulo recto.
4. A PLICA C IO N ES DE LA CONGRUENCIA
Son teorem as que se deducen y demuestran a 
partir de la congruencia de triángulos.
4.1. Teorei sa 1 • la i isectriz de un ángulo 
Todo punto de la bisectriz equidista de