formulacion de problemas lineales

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Formulación de Problemas de de Programación Lineal
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
Objetivos
Elaborar MPL aplicado a casos especiales
9 PRODUCCION DE PARTES DE CARROCERÍA
La fabrica Nacional de Automóviles puede fabricar 3 partes de carrocería o importarlas. 
Sean las partes P1, P2 y P3. Si las partes son fabricadas en el país deben producirse cada una en 4 máquinas-herramientas. 
Sean esas máquinas-herramientas M1, M2, M3 y M4. La tabla da las unidades de tiempo requeridas en cada máquina por parte fabricada:
 
 M1 M2 M3 M4
P1
P2
P3
 0.11 0.25 0.39 0.05
 0.15 0.93 0.12 0.15
 0.17 0.17 0.12 0.25
La demanda anual de cada una de las partes es de 20,000 unidades. No se tiene más de 8,760 horas anuales disponibles en cada una de las máquinas. 
El costo de producción y de importación de cada parte está dado en la siguiente tabla:
Parte
Costo de producción
En el país / parte
Costo de importación / parte
P1
P2
P3
$4.25
$3.80
$5.20
$2.10
$0.95
$3.75
El gobierno desea que el número de partes fabricadas en el país sea mayor que el número de partes similares importadas. Además el gobierno desea que el costo total de importación no exceda del 40% del costo total de producción en el país. Bajo estas condiciones, ¿cuántas partes anuales deben fabricar en el país, cuantas importarse, tal que el costo total de producción e importación se minimice; pero atendiendo a la demanda anual, a las limitaciones de producción y a las restricciones gubernamentales?
1. DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN.
 Xi : Cantidad de partes anuales del tipo i 
 ( i = 1,2,3) a ser producidas en el país.
 Yi : Cantidad de partes anuales del tipo i 
 ( i = 1,2,3) a ser importadas
2.FUNCIÓN OBJETIVO
  Costo total de la producción e importación:
MinZ= 4.25X1 + 3.80X2 + 5.20X3 + 2.10Y1 + 0.95Y2 + 3.75Y3
FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
3.RESTRICCIONES.
 Demanda de partes por año:
 PARTE 1 X1 + Y1 = 20,000
 PARTE 2 X2 + Y2 = 20,000
 PARTE 3 X3 + Y3 = 20,000
  Capacidad de producción de partes por máquina
 MAQUINA 1 0.11X1 + 0.15X2 + 0.07X3 8,760
 MAQUINA 2 0.25X1+ 0.93X2+ 0.17X3 8,760
 MAQUINA 3 0.39X1+ 0.12X2+ 0.12X3 8,760
 MAQUINA 4 0.05X1+ 0.15X2+ 0.25X3 8,760
 Restricciones gubernamentales
 2.10Y1+0.95Y2+3.75Y3 0.40(4.25X1+3.80X2+5.20X3)
 No Negatividad:
 Xi 0; Yi 0 i=1, 2 y 3
  Producción mayor que importaciones.
 	X1  Y1
	 X2  Y2
 	X3  Y3
FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
sa.
X1+ Y1= 20,000
			X2+ Y2= 20,000
			X3+ Y3= 20,000
		 X1Y1
		 X2 Y2
		 X3 Y3
 0.11X1+ 0.15X2 + 0.07X38,760
 0.25X1+ 0.93X2 + 0.17X38,760
 0.39X1+ 0.12X2 + 0.12X38,760
 0.05X1+ 0.15X2 + 0.25X38,760
 2.10Y1+ 0.95Y2 + 3.75Y30.40(4.25X1+3.80X2+5.20X3)
 Xi 0; Yi 0 i=1, 2 y 3
4. MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL (MPL)
 MinZ= 4.25X1 + 3.80X2 + 5.20X3 + 2.10Y1 + 0.95Y2 + 3.75Y3
10. PROBLEMA DE INVENTARIO
Una empresa se dedica a comprar y vender un producto durante algunos meses. El precio de mercado tanto de compra / venta, por tonelada es:
El costo de almacenamiento es de $10 por tonelada al mes y el almacén una capacidad de 20 toneladas. Suponiendo que la compra y la venta se realiza al principio del mes, que el 1 de enero no hay stock y que no debe stock al final de abril, determinar la mejor política de compra/venta.
MES
 ENERO FEBRERO MARZO ABRIL 
PRECIO
 60 90 80 110
SOLUCION
1. DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN
	
 Xi : Cantidad a comprar en el mes i; (i= 1:Enero, 
 2:Febrero y 3:Marzo)
 Yj : Cantidades a vender en el mes j; (j=2:Febrero, 
 3:Marzo y 4:Abril)
2. FUNCIÓN OBJETIVO
 Maximizar los beneficios de las ventas
 Ingresos: 90Y2 + 80Y3 + 110Y4
 Gastos : 60X1 + 90X2 + 80X3 + 10X1 + 10( X1 + X2 – 
 Y2 )+ 10 (X1 + X2 + X3 – Y2 - Y3) 
 Max Z = 90Y2 + 80Y3 + 110Y4 - 60X1 - 90X2 - 80X3 – 10X1 
 - 10( X1 + X2 – Y2 ) - 10( X1 + X2 + X3 – Y2 – 
 Y3 )
FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
3.  RESTRICCIONES.
 ·   Capacidad de almacén:
 Almacén de enero : X1
	Almacén de febrero : X1 + X2 – Y2 
	Almacén de marzo : X1 + X2 + X3 – ( Y2 + Y3)
Las compras no exceder la capacidad del almacén:
			 X1  20
	 	X1 + X2 – Y2  20
X1 + X2 + X3 – ( Y2 + Y3 )  20
La compra y venta debe ser:
			0  X1  20 
			0  X1 + X2 – Y2  20 
			0 < X1 + X2 + X3 – ( Y2 + Y3 )  20
 ·      Oferta y Demanda
 En el periodo de enero a abril; stock debe ser cero:
 X1+ X2 + X3 = Y2 + Y3 + Y4
 · No Negatividad:
Xi 0; Yj 0 i=1, 2 y 3; j=2, 3 y 4
FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
sa.
		0  X1 20 
 0  X1 + X2 – Y2 20 
 0 < X1 + X2 + X3 – ( Y2 + Y3 )  20
	 X1+ X2 + X3 = Y2 + Y3 + Y4
	Xi 0; Yj 0 i=1, 2 y 3; j=2, 3 y 4
4. MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL (MPL)
 Max Z = 90Y2 + 80Y3 + 110Y4 - 60X1 - 90X2 - 80X3 – 10X1 - 10 ( X1 
 + X2 – Y2 ) - 10( X1 + X2 + X3 – Y2 – Y3 )
11 PROGRAMA DE PRODUCCION
una empresa se compromete a despachar durante los próximos seis meses un producto. Los costos de producción por mes varían debido a los cambios en el costo de los materiales. 
La capacidad de producción de la empresa es de 100 unidades por mes en tiempo normal y hasta de 15 unidades adicionales por mes en tiempo extra. Requerimientos de despacho y producción por mes.
REQUERIMIENTOS Y COSTOS
MES
 
 1 2 3 4 5 6
Compromiso de despacho (unidades)
Costo por unidad en tiempo normal
Costo por unidad en tiempo adicional
95 85 110 115 90 105
$30 30 32 32 31 32
$35 35 37 37 36 37
El costo de tener en inventario una unidad no vendida es de $2.00 / mes. El problema para la empresa está en determinar el número de unidades que debe producir en tiempo normal y en tiempo adicional cada mes, para cumplir con los requerimientos, a un costo mínimo. 
La empresa no tiene unidades disponibles al comenzar el primer mes y no desea tenerlas al finalizar el sexto mes.
SOLUCION
1.        Variables de decisión:
	Xi : Cantidad de unidades producidas en tiempo 	 normal del mes i
	Yi : Cantidad de unidades producidas en tiempo 		adicional del mes i
	Vi : Cantidad de unidades en inventario (no 		vendidas) al final de cada mes i
 2.       FUNCIÓN OBJETIVO
Min Z = 30X1 + 30X2 + 32X3 + 32X4 + 31X5 + 32X6
	 + 35Y1 + 35Y2 + 37Y3 + 37Y4 + 36Y5 + 37Y6
	 + 2V1 + 2V2 + 2V3 + 2V4 + 2V5 + 2V6
FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
 3.      RESTRICCIONES
 ·       Restricciones de producción en tiempo normal
	X1  100
	X2  100
	X3  100
	X4  100
	X5  100
	X6  100
 ·        Restricciones de producción en tiempo adicional
	Y1  15
	Y2  15
	Y3  15
	Y4  15
	Y5  15
	Y6  15
FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
 3.      RESTRICCIONES
 ·       Compromiso de Despacho:
	X1 + Y1 - V1 = 95
	V1 + X2 + Y2 - V2 = 85
	V2 + X3 + Y3 - V3 = 110
	V3 + X4 + Y4 - V4 = 115
	V4 + X5 + Y5 - V5 = 90
	V5 + X6 + Y6 - V6 = 105
	
FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
sa. 
X1 100	Y1 15	X1 + Y1 - V1 = 95
	X2100	Y215	V1 + X2 + Y2 - V2 = 85
	X3100	Y315	V2 + X3 + Y3 - V3 = 110
	X4100	Y415	V3 + X4 + Y4 - V4 = 115
	X5100	Y515	V4 + X5 + Y5 - V5 = 90
	X6100	Y615	V5 + X6 + Y6 - V6 = 105
		Xi 0; Yi 0; Vi  0 i=1, …, 6
4. MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL (MPL)
Min Z = 30X1 + 30X2 + 32X3 + 32X4 + 31X5 + 32X6 + 35Y1 +35Y2 + 37Y3 + 37Y4 + 36Y5 + 37Y6 + 2V1 + 2V2 + 
 2V3 + 2V4 + 2V5 + 2V6
GRACIAS
“Si cuidamos el Medio Ambiente, cuidamos nuestro futuro”
÷
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æ
=
mes
inventario
en
unidades
inventario
de
Costo
mes
adicional
tiempo
producidas
cantidades
producción
de
tos
mes
normal
tiempo
producidas
cantidades
producción
de
to
Z
Min
/
*
/
*
cos
/
*
cos