Asesoria VF -

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tan 𝜃 =
𝑠𝑒𝑛 𝜃
cos(𝜃)
2 cos 𝜃 = 𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)
𝑌
𝑋
TR
IG
O
N
O
M
ET
R
ÍA
ASESORIA 16
2
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
8
𝑐𝑜𝑠 𝐵 + 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐𝑜𝑠
𝜋
8
+ 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
8
𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑐𝑜𝑠
𝜋
8
= 𝑎 − 𝑏 𝑐𝑜𝑠(
𝜋
8
)
𝑠𝑒𝑛
𝜋
8
𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝐵 + 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝑐𝑜𝑠
𝜋
8
𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝐵 − 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = 𝑎 − 𝑏 𝑐𝑜𝑠(
𝜋
8
)
𝒄
𝐴) 2 − 1En un triángulo ABC cuyas longitudes de sus lados son 𝐵𝐶 = 𝑎 𝑢,
𝐴𝐶 = 𝑏 𝑢, 𝐴𝐵 = 𝑐 𝑢, se cumple que:
𝐵) 2
𝐶) 2 + 1
𝐷) 2 2 𝐸)2 + 2
PROBLEMA 1 
𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛(
𝜋
8
+ 𝐵) + 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛(
𝜋
8
− 𝐴) = 𝑎 − 𝑏 ∙ cos(
𝜋
8
)
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒: 𝑐𝑜𝑠(
𝐶
2
) ÷ 𝑠𝑒𝑛(
𝐴 − 𝐵
2
)
𝟎
𝑐
𝑎 − 𝑏
= cot(
𝜋
8
) ⟹
𝑠𝑒𝑛(𝐶)
𝑠𝑒𝑛(𝐴) − 𝑠𝑒𝑛(𝐵)
= cot(
𝜋
8
)
⟹
2𝑠𝑒𝑛
𝐶
2
cos(
𝐶
2
)
2𝑠𝑒𝑛
𝐴 − 𝐵
2
𝑐𝑜𝑠(
𝐴 + 𝐵
2
)
= cot(
𝜋
8
) ∴
𝐜𝐨𝐬
𝑪
𝟐
𝒔𝒆𝒏(
𝑨 − 𝑩
𝟐
)
= 𝟐 + 𝟏
3
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
∆𝐴𝐷𝐸:
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑠𝑒𝑛(180° − 𝛽)
=
𝑥
2
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
𝐴) 3
En la figura mostrada 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 𝐸𝐶 = 4 𝑢, 𝐴𝐸 = 2 𝐷𝐵 = 2 𝑢,
𝑚∠𝐶𝐴𝐵 = 𝛼 𝑦 𝑚∠ 𝐸𝐷𝐵 = 𝛽. Calcule 𝑠𝑒𝑛(𝛼)/𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝐵)2 3 𝐶) 3
𝐷) 2 𝐸) 0,5
PROBLEMA 2 
⟹
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛽
=
𝑥
2
… . . (1)
∆𝐴𝐵𝐶: cos 𝛼 =
52 + 62 − 42
2 ∙ 5 ∙ 6
⟹ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 =
𝟑
𝟒
∆𝐴𝐷𝐸: 𝑥2 = 42 + 22 − 2 ∙ 4 ∙ 2 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝜶)
𝑥2 = 20 − 16 ∙
𝟑
𝟒
⟹ 𝒙 = 𝟐 𝟐
Reemplazamos en (1)
∴
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛽
=
𝟐 𝟐
2
= 2
𝑥𝑢
4
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
Recordemos que: 
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
𝐴) 0,15En un triángulo ABC, las longitudes de las alturas relativas a los lados:
𝐵𝐶, 𝐶𝐴 𝑦 𝐵𝐴, son: 4 𝑢, 5 𝑢 𝑦 6 𝑢 respectivamente.
Calcule
𝐵) 0,13
𝐶) 0,11
𝐷) 0,09 𝐸) 0,08
PROBLEMA 3
𝑐𝑜𝑠 𝐴
15
+
𝑐𝑜𝑠 𝐵
12
+
𝑐𝑜𝑠 𝐶
10
De acuerdo a la condición dada
𝒂 ∙ 𝒉𝒂 = 𝒃 ∙ 𝒉𝒃 = 𝒄 ∙ 𝒉𝒄
𝟒𝒂 = 𝟓𝒃 = 𝟔𝒄
Dividimos entre 60: 
𝒂
𝟏𝟓
=
𝒃
𝟏𝟐
=
𝒄
𝟏𝟎
Sea la expresión pedida
𝐸 =
𝑐𝑜𝑠 𝐴
15
+
𝑐𝑜𝑠 𝐵
12
+
𝑐𝑜𝑠 𝐶
10
𝐸 =
1
15 ∙ 12 ∙ 10
(120 cos 𝐴 + 150 cos 𝐵 + 180cos(𝐶))
𝟏𝟎𝟐 + 𝟏𝟓𝟐 + 𝟏𝟐𝟐
𝟐
𝐸 =
102 + 152 + 122
2 ∙ 15 ∙ 12 ∙ 10
∴ 𝐸 = 0,13
5
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐸
𝐴) 92,5
En un triángulo ABC las longitudes de sus lados son 𝐵𝐶 = 2,7 𝑢, 𝐴𝐶 = 3,2 𝑢, 𝐴𝐵 = 4,1 𝑢, calcule el
valor:
𝐵) 85 𝐶) 87,5 𝐷) 90,5 𝐸) 100
PROBLEMA 4 
73 ∙ cos 𝐴 + 68 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝐵 + 59 ∙ cos(𝐶)
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 10:
𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:
𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 ∙ cos 𝐶 + 𝐴𝐵 ∙ cos(𝐵)
𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 ∙ cos 𝐴 + 𝐵𝐶 ∙ cos(𝐶)
𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ∙ cos 𝐴 + 𝐵𝐶 ∙ cos(𝐵)
2,7 = 3,2 ∙ cos 𝐶 + 4,1 ∙ cos(𝐵)
3,2 = 4,1 ∙ cos 𝐴 + 2,7 ∙ cos(𝐶)
4,1 = 3,2 ∙ cos 𝐴 + 2,7 ∙ cos(𝐵)
10 = 7,3 ∙ cos 𝐴 + 6,8 ∙ cos 𝐵 + 5,9 ∙ cos(𝐶)
100 = 73 ∙ cos 𝐴 + 68 ∙ cos 𝐵 +59 ∙ cos(𝐶)
𝐵
𝐶A 𝐵𝐶 ∙ cos 𝐶𝐴𝐵 ∙ cos 𝐴
6
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN Por teorema de las tangentes:
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐸
𝐴) 3/4En un triángulo ABC, las longitudes de sus lados son: AB=c u, AC = b u,
BC= a u. , se cumple que: 2. tan(𝐴 ) − 3 = 0; además :
Calcule: 𝑡𝑎𝑛
𝐴−𝐵
2
tan(
𝐶
2
)
𝐶) 5/2
𝐷) 5/4
PROBLEMA 5
𝒂
𝟐
=
𝒃
𝟏
= 𝒌 ∴ 𝑡𝑎𝑛
𝐴 − 𝐵
2
𝐭𝐚𝐧(
𝑪
𝟐
) =
1
3
𝐵) 3/8
𝐸) 1/3
Dato:
(i)….tan(𝐴) =
3
2
7
cos(𝐴) =
2
7
3
2
𝑖𝑖) 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∙
2
7
= 𝑏 ∙ (6𝑏 − 𝑎)
𝑏2 + 𝑐2 − 𝟐𝑏𝑐 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝑨 = 𝑏 ∙ (6𝑏 − 𝑎)
𝒂𝟐 = 𝑏 ∙ (6𝑏 − 𝑎)
𝑎2 + 𝑎𝑏 − 6𝑏2 = 0
(𝑎 − 2𝑏)(𝑎 + 3𝑏) = 0A
𝑡𝑎𝑛(
𝐴 − 𝐵
2 )
𝑡𝑎𝑛(
𝐴 + 𝐵
2
)
=
𝑎 − 𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑡𝑎𝑛(
𝐴 − 𝐵
2 )
𝒄𝒐𝒕(
𝑪
𝟐)
=
𝑘
3𝑘
=
1
3
𝑏2 + 𝑐2 −
4
7
∙ 𝑏𝑐 = 𝑏 ∙ (6𝑏 − 𝑎)
7
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐷𝑎𝑡𝑜:
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐴
𝐴) − 1
𝑆𝑒𝑎 𝛼 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑂
1
4
𝑆𝑂 𝑦 𝑁𝑁𝐸.
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 ∶ tan(4 𝛼).
𝐵) − 3 𝐶) 3 𝐷) 1 𝐸)2 + 3
PROBLEMA 3 
tan 4𝛼 = tan(360° + 135°)
1/4
𝛼 = 90° + 3(
1
4
)
4𝛼 = 360° + 3(1)
4𝛼 = 360° + 3(45°)
tan 4𝛼 = −1
𝑆𝑒 𝑝𝑖𝑑𝑒:
8
CEPRE UNI
En un triángulo, las longitudes de sus lados (en u) están dados por tres números impares
consecutivos y la medida del ángulo mayor es 120°. Si x es la medida del ángulo menor e y es la
medida del ángulo intermedio, calcule el valor de:
𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑐𝑜𝑠
𝑦
2
𝐴) 7/18 𝐵) 9/28 𝐶) 11/26 𝐷) 14/27 𝐸) 9/14
CLAVE: B
PROBLEMA 7
RESOLUCIÓN Del teorema de cosenos: 𝑐𝑜𝑠 120° =
𝑛2 + 𝑛 − 2 2 − 𝑛 + 2 2
2(𝑛)(𝑛 − 2)
= −
1
2
Efectuando: 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑐𝑜𝑠
𝑦
2
=
𝟗
𝟐𝟖
𝑛 − 2 120°
𝑛 + 2
𝑛
𝑦 𝑥
Se pide calcular: 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑐𝑜𝑠
𝑦
2
→ 𝑛 = 5 y 𝑝 = 9/2 (semiperímetro)
53
7
=
15
2 − 3
15
2 − 7
(3)(7)
15
2
15
2 − 3
(5)(7)
9
CEPRE UNI
En un triángulo ABC, las longitudes de los lados son 𝐴𝐵 = 𝑐 𝑢, 𝐵𝐶 = 𝑎 𝑢 y 𝐴𝐶 = 𝑏 𝑢, la
longitud del inradio es 𝑟 𝑢 y la longitud del circunradio es 𝑅 𝑢, respectivamente. Calcule el
valor de k si se cumple:
𝑎𝑏 −1 + 𝑏𝑐 −1 + 𝑐𝑎 −1 = 𝑘 𝑅𝑟 −1
𝐴) 1/8 𝐵) 1/4 𝐶) 1/2 𝐷) 3/4 𝐸) 1
CLAVE: C
→ 𝒌 =
𝟏
𝟐
PROBLEMA 8
RESOLUCIÓN
Simplificando y efectuando:
De la condición: →
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝑎𝑏𝑐
=
𝑘
𝑅𝑟
Utilizamos las fórmulas: 𝑆 =
𝑎𝑏𝑐
4𝑅
1
𝑎𝑏
+
1
𝑏𝑐
+
1
𝑐𝑎
=
𝑘
𝑅𝑟
𝑆 = 𝑝. 𝑟
p: semiperímetro del triángulo.
S: área de la región triangular.
→
2𝑝
4𝑅. 𝑆
=
𝑘
𝑅𝑟
𝑝𝑟
2𝑆
= 𝑘
10
CEPRE UNI
En un triángulo ABC, las longitudes de los lados son 𝐴𝐵 = 𝑐 𝑢, 𝐵𝐶 = 𝑎 𝑢 y 𝐴𝐶 = 𝑏 𝑢, la longitud
del circunradio es 𝑅 𝑢 y el área de la región triangular es 𝑆 𝑢2. Determine K en términos de S y R,
siendo:
𝐾 =
𝑎 − 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝐶 𝑠𝑒𝑛(𝐵)
𝑠𝑒𝑛(𝐶)
+
𝑏 − 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝐶)
𝑠𝑒𝑛(𝐴)
+
𝑐 − 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝐴)
𝑠𝑒𝑛(𝐵)
𝐴) 3𝑆/𝑅 𝐵) 0,5 𝑆/𝑅 𝐶) 4𝑆/𝑅 𝐷) 2𝑆/𝑅 𝐸) 𝑆/𝑅
CLAVE: D
→ 𝑲 =
𝟐 ∙ 𝑺
𝑹
PROBLEMA 9
RESOLUCIÓN
Por identidades:
𝐾 =
𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐵) 𝑠𝑒𝑛(𝐵)
𝑠𝑒𝑛(𝐶)
+
𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐶) 𝑠𝑒𝑛(𝐶)
𝑠𝑒𝑛(𝐴)
+
𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐴) 𝑠𝑒𝑛(𝐴)
𝑠𝑒𝑛(𝐵)
Del teorema de proyecciones:
=
2 ∙ 𝑆
𝑅
Del teorema de senos: 𝐾 =
2𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑐𝑜𝑠(𝐵)𝑠𝑒𝑛(𝐵)
𝑠𝑒𝑛(𝐶)
+
2𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝐶)𝑠𝑒𝑛(𝐶)
𝑠𝑒𝑛(𝐴)
+
2𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝐴)𝑠𝑒𝑛(𝐴)
𝑠𝑒𝑛(𝐵)
𝐾 = 𝑅(𝑠𝑒𝑛 2𝐵 + 𝑠𝑒𝑛 2𝐶 + 𝑠𝑒𝑛 2𝐴 ) = 𝑅(4𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝐶))
Dando forma: 𝐾 =
2(2𝑅2𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 )
𝑅
11
CEPRE UNI
𝐴) 0,5𝑆
En un triángulo ABC las longitudes
(en u) de los exradios relativos a los
lados 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 𝑦 𝐴𝐵 son 𝑟𝑎 , 𝑟𝑏 𝑦 𝑟𝑐 ,
respectivamente. Reduzca la siguiente
expresión en términos del área (S) de
la región triangular ABC en 𝑢2.
𝐵) 𝑆 𝐶) 2𝑆
𝐷) 3𝑆 𝐸) 4𝑆
PROBLEMA 10 RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
𝑟𝑎 tan
𝐵
2
+ 𝑟𝑏 tan
𝐶
2
+ 𝑟𝑐 tan
𝐴
2
𝑟𝑎−1 + 𝑟𝑏−1 + 𝑟𝑐−1
𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑆 = 𝑟𝑎𝑟𝑏 tan
𝐶
2
⟹ 𝒓𝒃 𝒕𝒂𝒏
𝑪
𝟐
= 𝑟𝑎
−1𝑆
𝐴𝑛á𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝒓𝒂 𝒕𝒂𝒏
𝑩
𝟐
= 𝑟𝑐
−1𝑆
𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒏
𝑨
𝟐
= 𝑟𝑏
−1𝑆
⟹ 𝑟𝑎 tan
𝐵
2
+ 𝑟𝑏 tan
𝐶
2
+ 𝑟𝑐 tan
𝐴
2
= 𝑟𝑎
−1 + 𝑟𝑏
−1 + 𝑟𝑐
−1 𝑆
∴
𝑟𝑎 tan
𝐵
2 + 𝑟𝑏 tan
𝐶
2 + 𝑟𝑐 tan
𝐴
2
𝑟𝑎−1 + 𝑟𝑏−1 + 𝑟𝑐−1
= 𝑆
12
CEPRE UNI
𝐴) 1/25
En un triángulo ABC las longitudes
(𝑒𝑛 𝑢) de los ex radios, relativos a los
lados 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 𝑦 𝐴𝐵 son 𝑟𝑎 , 𝑟𝑏 𝑦 𝑟𝑐 ,
respectivamente. La longitud del
circunradio de dicho triángulo es 6𝑢
mientras que su área mide 30𝑢2 .
Calcule el valor de:
𝐵) 2/75 𝐶) 1/75
𝐷) 1/100 𝐸) 1/125
PROBLEMA 11 RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑏
1
𝑟𝑏
+
1
𝑟𝑐
1
𝑟𝑐
+
1
𝑟𝑎
En el primer término
𝑆 = 𝑝 − 𝑎 𝑟𝑎
=
𝑐
𝑆
𝐴𝑛á𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒:
𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠: ⟹
1
𝑟𝑎
=
𝑝 − 𝑎
𝑆
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑏
=
𝑝 − 𝑎
𝑆
+
𝑝 − 𝑏
𝑆
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑏
1
𝑟𝑏
+
1
𝑟𝑐
1
𝑟𝑐
+
1
𝑟𝑎
=
𝑐
𝑆
∙
𝑎
𝑆
∙
𝑏
𝑆
⟹
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑏
1
𝑟𝑏
+
1
𝑟𝑐
1
𝑟𝑐
+
1
𝑟𝑎
=
𝑎𝑏𝑐
𝑆3
𝑆 =
𝑎𝑏𝑐
4𝑅
⟹ 𝑎𝑏𝑐 = 4𝑅𝑆
⟹
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑏
1
𝑟𝑏
+
1
𝑟𝑐
1
𝑟𝑐
+
1
𝑟𝑎
=
4𝑅
𝑆2
∴
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑏
1𝑟𝑏
+
1
𝑟𝑐
1
𝑟𝑐
+
1
𝑟𝑎
=
4 6
302
=
2
75
13
CEPRE UNI
𝐴) 𝑆𝑅
En un triángulo ABC las longitudes
(en u) de los exradios relativos a los
lados 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 𝑦 𝐴𝐵 son 𝑟𝑎 , 𝑟𝑏 𝑦 𝑟𝑐 ,
respectivamente; la longitud de su
circunradio es R 𝑢 y el área de su
región interior mide S 𝑢2.
Halle una expresión equivalente a:
𝐵) 2𝑆𝑅 𝐶) 3𝑆𝑅
𝐷) 4𝑆𝑅 𝐸) 8𝑆𝑅
PROBLEMA 12 RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
4𝑟𝑎𝑟𝑏𝑟𝑐
sen 𝐴 + sen 𝐵 + sen 𝐶
, (𝑒𝑛 𝑢3)
Además:
𝑆 = 𝑟𝑟𝑎𝑟𝑏𝑟𝑐
sen 𝐴 + sen 𝐵 + sen 𝐶 =
𝑎
2𝑅
+
𝑏
2𝑅
+
𝑐
2𝑅
=
𝑝
𝑅
𝑆𝑒𝑎:
𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠: ⟹ 𝑟𝑎𝑟𝑏𝑟𝑐 =
𝑆2
𝑟
En un ⊿𝐴𝐵𝐶:
𝑘 =
4𝑟𝑎𝑟𝑏𝑟𝑐
sen 𝐴 + sen 𝐵 + sen 𝐶
⟹ 𝑘 =
4 ∙
𝑆2
𝑟
𝑝
𝑅
⟹ 𝑘 =
4 ∙ 𝑆2𝑅
𝑝𝑟
∴ 𝒌 = 𝟒𝑺𝑹
⟹ 𝑘 =
4𝑆2𝑅
𝑆
14
CEPRE UNI
En la figura mostrada; 𝐴𝐵 − 𝐵𝐷=1cm;
𝐵𝐶 =
36
5
𝑐𝑚, calcule la longitud de 𝐴𝐷
de forma aproximada (en cm)
PROBLEMA 13 RESOLUCIÓN
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎
𝐴
𝐵
𝐶𝐷
74° 53°
𝐴)
241
5
𝐵)
9
2 𝐶)
331
4
𝐷)
39
3
𝐸)
253
5
𝐴
𝐵
𝐶𝐷
74° 53°
53°
36
5𝑚
𝑛
𝑥
𝐵𝐶:𝐵𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑚 − 𝑛 = 1…… (𝐼)
𝑃𝑒𝑟𝑜:
36
5
=
2𝑚. 𝑛
𝑚 − 𝑛
𝑠𝑒𝑛(37°)
36
5
= 2𝑚. 𝑛
3
5
⇒ 𝑚. 𝑛 = 6
⊿ 𝐴𝐵𝐷 Teorema de cosenos: 𝑥2 = 𝑚2 + 𝑛2 − 2𝑚. 𝑛. cos 74° … . . (𝐼𝐼)
𝐼 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 ⇒ 𝑚2 + 𝑛2 = 1 + 2𝑚. 𝑛 ⇒ 𝑚2 + 𝑛2 = 13
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 (𝐼𝐼) 𝑥2 = 13 − 2 6
7
25
∴ 𝑥 =
241
5
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐴
15
CEPRE UNI
PROBLEMA 14 
Los lados de un triangulo tienen por
medida 6, 8 y 12 cm. Calcule la
longitud de la bisectriz interior del
mayor ángulo del triángulo (en cm).
RESOLUCIÓN
𝐴)
39
14
𝐵)
39
7
𝐶)
2 39
7
𝐷)
3 39
7
𝐸)
4 39
7
𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝐴
𝐵
𝐶
𝑐 = 12 𝑎 = 6
𝑏 = 8
𝑉𝐶
𝑉𝑐 =
2(6)(8)
6 + 8
cos
𝐶
2
… . (𝐼)
cos
𝐶
2
=
𝑝(𝑝 − 𝑐)
𝑎𝑏
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑝 = 13
𝑉𝑐 =
2 6 8
14
13(1)
6(8)
𝑉𝑐 =
4 39
7
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐸
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 (𝐼)
16
CEPRE UNI
PROBLEMA 15 RESOLUCIÓN
De la figura calcule aproximadamente:
cos(𝜃)
𝐴) −
13
20
𝐵) −
11
20
𝐶)
11
20
𝐷)
13
20
𝐸)
17
20
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
37°
16°
5
25𝜃
6
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
37°
16°
5
25𝜃
6
𝑥
𝑥 =
5 25 𝑠𝑒𝑛(37° + 16°)
5 ∙ 𝑠𝑒𝑛 37° + 25 ∙ 𝑠𝑒𝑛(16°)
𝑥 =
5 25
4
5
5.
3
5
+ 25.
7
25
⇒ 𝑥 = 10
⇒ cos 𝜃 = −
13
20
⇒ cos 𝜃 =
52 + 62 − 102
2(5)(6)
17
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
𝐴
𝐵 𝐶
𝑏 = 1𝑐 = 2
𝑚𝑎
𝑀
𝐵 + 𝐶 = 60°
→ 𝐴 = 120°
Dato:
4𝑚𝑎
2 = 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠 𝐴
Reemplazando:
4𝑚𝑎
2 = 12 + 22 + 2 1 2 𝑐𝑜𝑠 120°
4𝑚𝑎
2 = 3
𝑚𝑎 =
3
2
PROBLEMA 16
𝐴)
3
6
𝐵)
3
4
𝐶)
3
2
𝐷) 3 𝐸) 2 3
En un triángulo ABC se tiene que: 𝐴𝐵 = 2𝑢,
𝐴𝐶 = 1𝑢 𝑦 𝑙𝑎 𝑚∠𝐵 + 𝑚∠𝐶 = 60°, calcule 
la longitud de la mediana relativa al lado 
𝐵𝐶 (𝑒𝑛 𝑢).
18
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐸
PROBLEMA 17
𝐴) 𝑝/2 𝐵) 𝑝
𝐶) 𝑝2
𝐷) 2𝑝2 𝐸) 4𝑝2
ℎ𝑎 + ℎ𝑏 + ℎ𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2𝑐𝑜𝑠
𝐴
2 𝑐𝑜𝑠
𝐵
2 𝑐𝑜𝑠
𝐶
2
+ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
En un triángulo de lados 𝐵𝐶 = 𝑎 𝑢, 𝐴𝐶 = 𝑏 𝑢, 𝐴𝐵 = 𝑐 𝑢, las longitudes de
las alturas relativas a los lados 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 son ℎ𝑎, ℎ𝑏 y ℎ𝑐 respectivamente.
Reduzca la siguiente expresión (𝑒𝑛 𝑢2 ) en términos del semiperimetro p.
𝐹 =
ℎ𝑎 + ℎ𝑏 + ℎ𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2𝑐𝑜𝑠
𝐴
2 𝑐𝑜𝑠
𝐵
2 𝑐𝑜𝑠
𝐶
2
+ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
ℎ𝑎 =
𝑏𝑐
2𝑅
𝑝 = 4𝑅𝑐𝑜𝑠(
𝐴
2
) cos(
𝐵
2
) cos(
𝐶
2
)
Recordemos que:
𝐹 =
1
2𝑅 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏 𝟐𝒑
2(
𝒑
𝟒𝑹)
+ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
𝐹 = 2 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
𝐹 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 = 2𝑝 2 = 4𝑝2
Sea:
2
19
CEPRE UNI
PROBLEMA 18
En un triángulo ABC, se tiene que:
𝐴𝐵 = 14 𝑢, 𝐵𝐶 = 10 𝑢, además el área
de la región triangular es 70 𝑢2. Calcule
la longitud del inradio (en u).
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
𝐴) 2,7 𝐵) 3,4 𝐶) 4,2
𝐷) 5,1 𝐸) 5,6
𝑆 =
𝑎𝑐
2
. 𝑠𝑒𝑛 𝐵
70 =
10 14
2
. 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝐵 = 90°
𝑏2 = 102 + 142
→ 𝑏 = 2 74
𝑝 =
10 + 2 74 + 14
2
= 12 + 74
𝑟 = 𝑝 − 𝑏 𝑡𝑎𝑛
𝐵
2
𝑟 = 12 − 74 𝑡𝑎𝑛 45°
𝑟 = 3,4
𝐴
𝐵
𝐶
𝑎 = 10𝑐 = 14
𝑟
Del gráfico:
S: Área de la región
triangular ABC
𝑟: 𝑖𝑛𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
𝑝: 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑏
RESOLUCIÓN
𝐴)
1
6
𝐵)
1
4
𝐶) 1
𝐷) 4 𝐸) 6
PROBLEMA 19
En un triangulo 𝐴𝐵𝐶 las longitudes de los 
exradios relativos a los lados 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 𝑦 𝐴𝐵
son 𝑟𝑎 , 𝑟𝑏 y 𝑟𝑐 respectivamente, tal que 
Calcule: 
𝑟𝑏
𝑟𝑐
.
Como 3𝑟𝑎 = 3𝑟 + 𝑟𝑏 + 𝑟𝑐 sumando 𝒓𝒂 a ambos lados tenemos: 
3𝑟𝑎 + 𝒓𝒂 = 3𝑟 + 𝑟𝑏 + 𝑟𝑐 + 𝒓𝒂
4𝑟𝑎 = 3𝑟 + 4𝑅 + 𝑟 𝑟𝑎 = 𝑟 + 𝑅
Sabemos que 𝑟𝑎 − 𝑟 = 𝑎 ⋅ tan
𝐴
2
y 𝑅 =
𝑎
2⋅sen 𝐴
, en (1) tenemos: 
⋯ (1)
𝑎 ⋅ tan
𝐴
2
=
𝑎
2sen 𝐴
sen
𝐴
2
=
1
2
Reduciendo lo que se pide:
𝑟𝑏
𝑟𝑐
=
𝑝⋅tan
𝐵
2
𝑝⋅tan
𝐶
2
𝑟𝑏
𝑟𝑐
=
tan
𝐵
2
tan
𝐶
2
𝐴 = 60°
Además:
cot
𝐵
2
+ cot
𝐶
2
=
sen
𝐵
2 +
𝐶
2
sen
𝐵
2
sen
𝐶
2
=
cos
𝐴
2
sen
𝐵
2 sen
𝐶
2
=
7
2
3
cot
𝐴
2
+ cot
𝐵
2
+ cot
𝐶
2
= cot
𝐴
2
cot
𝐵
2
cot
𝐶
2
cot
𝐵
2
cot
𝐶
2
=
9
2
cot
𝐶
2
= 3 3cot
𝐵
2
=
3
2
De la propiedad 
Entonces
𝑟𝑏
𝑟𝑐
=
tan
𝐵
2
tan
𝐶
2
=
2
3
1
3 3
Reemplazando en lo que se pide
𝑟𝑏
𝑟𝑐
= 6 𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐸
3𝑟𝑎 = 3𝑟 + 𝑟𝑏 + 𝑟𝑐… . . (1)
sen
𝐵
2
sen
𝐶
2
=
1
7
… . . (2)
RESOLUCIÓN
𝐴) 1
𝐵) 2
𝐶) 4
𝐷) 8
𝐸) 16
PROBLEMA 20
En un triangulo 𝐴𝐵𝐶 las longitudes de los
exradios relativos a los lados 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 𝑦 𝐴𝐵
son 𝑟𝑎 , 𝑟𝑏 y 𝑟𝑐 respectivamente, tal que
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑏
1
𝑟𝑏
+
1
𝑟𝑐
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑐
=
𝑅
4
Halle el área del triángulo.
Recordar:
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑏
+
1
𝑟𝑐
=
1
𝑟
Entonces en la condición
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑏
=
1
𝑟
−
1
𝑟𝑐
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑏
=
1
𝑟
−
1
𝑟𝑏
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑏
=
1
𝑟
−
1
𝑟𝑐
R
4
=
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑏
1
𝑟𝑏
+
1
𝑟𝑐
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑐
=
1
𝑟
−
1
𝑟𝑐
1
𝑟
−
1
𝑟𝑎
1
𝑟
−
1
𝑟𝑏
=
𝑟𝑐 − 𝑟
𝑟 ⋅ 𝑟𝑐
𝑟𝑎 − 𝑟
𝑟 ⋅ 𝑟𝑎
𝑟𝑏 − 𝑟
𝑟 ⋅ 𝑟𝑏
=
𝑐⋅tan
𝐶
2
𝑆⋅tan
𝐶
2
𝑎⋅tan
𝐴
2
𝑆⋅tan
𝐴
2
𝑏⋅tan
𝐵
2
𝑆⋅tan
𝐵
2
R
4
=
𝑎𝑏𝑐
𝑆3
También:
𝑟 = 𝑝 − 𝑎 tan
𝐴
2
∧ 𝑟𝑎 = 𝑝 tan
𝐴
2
൞
𝑟𝑎 − 𝑟 = 𝑎 ⋅ tan
𝐴
2
𝑟 ⋅ 𝑟𝑎 = 𝑆 ⋅ tan
𝐴
2
=
4𝑅 ⋅ 𝑆
𝑆3
∴ 𝑺 = 𝟒
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
RESOLUCIÓN
𝐴) 15° 𝐵) 30° 𝐶) 45°
𝐷) 60° 𝐸) 75°
PROBLEMA 21
Sea un triangulo 𝐴𝐵𝐶 de lados 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑏,
𝐴𝐵 = 𝑐; se sabe que ℎ𝑎 , ℎ𝑏, ℎ𝑐 son las alturas 
relativas a los lados 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 y 𝐴𝐵, respectivamente;
además 𝑆 es el área de la región correspondiente y se 
cumple: 
ℎ𝑏
2 + ℎ𝑐
2 − 𝑎2 ⋅ sen2 A = 3 ⋅ 𝑆.
Determine la mayor medida del ángulo 𝐴.
Recordar: ℎ𝑏 = 𝑎 ⋅ sen 𝐶 = 𝑐 ⋅ sen(𝐴)
ℎ𝑐 = 𝑎 ⋅ sen 𝐵 = 𝑏 ⋅ sen(𝐴)
Reemplazando en la condición:
3 ⋅ 𝑆 = ℎ𝑏
2 + ℎ𝑐
2 − 𝑎2 ⋅ sen2 A = 𝑐2 + 𝑏2 − 𝑎2 sen2(𝐴)
Por el teorema de cosenos,
3 ⋅ 𝑆 = 2𝑏𝑐 ⋅ cos 𝐴 sen2(𝐴)
3 ⋅ 𝑆 = 2 sen 2𝐴 ⋅ 𝑆
sen 2𝐴 =
3
2
Se tiene que 𝐴 = 30° ∨ 𝐴 = 60°
Entonces el mayor valor del ángulo 𝑨 𝐞𝐬 𝟔𝟎°
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
23
CEPRE UNI
Clave: E
RESOLUCIÓN 
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐴)
5
29
PROBLEMA 22
𝐵)
2 5
29
𝐷)
6 5
29
𝐶)
3 5
29
𝐸)
12 5
29
Si los lados de un cuadrilátero inscriptible ABCD miden 𝐴𝐵 = 3𝑢, 𝐵𝐶 = 5𝑢, 𝐶𝐷 = 6𝑢 𝑦 𝐴𝐷 = 8𝑢,
calcule el valor del seno del ángulo formado por sus diagonales.
𝜃
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
𝒂 = 3
𝒄 = 6
𝒃 = 5𝒅 = 8
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑝𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒: 𝑑1. 𝑑2 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
𝒅𝟏 𝒅𝟐
𝑑1. 𝑑2 = 58
62 + 32 = 82 + 52 − 2.58. cos(𝜃)
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜:
cos 𝜃 =
11
29
⇒ sen 𝜃 =
12 5
29
𝑐2 + 𝑎2 = 𝑑2 + 𝑏2 − 2𝑑1. 𝑑2cos(𝜃)
24
CEPRE UNI
Clave: E
RESOLUCIÓN 
𝐴) 20
PROBLEMA 23
𝐵) 21 𝐷) 23𝐶) 22 𝐸) 24
En un cuadrilátero circunscriptible ABCD, 𝐴𝐵 = 9𝑢, 𝐴𝐷 = 15𝑢, cos 𝐵 = −
2
3
𝑦 cos 𝐷 =
2
5
,
calcule BC+CD.
𝑥
𝑥 + 6
𝐷𝐴
𝐵
𝐶
15
9
𝐵
𝐷
𝐴𝐶2 = 𝑥2 + 92 − 2. x. 9. cos(𝐵)∆𝐴𝐵𝐶:
𝐴𝐶2 = (𝑥 + 6)2+152 − 2(x + 6). 15. cos(𝐷)∆𝐴𝐷𝐶:
𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠:
𝑥2 + 81 − 18. x. −
2
3
𝑥2 + 81 + 12x = 𝑥2 + 12𝑥+ 261 − 12𝑥 − 72
12x = 108 ⇒ x = 9
𝑃𝑖𝑑𝑒𝑛: 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 = 2𝑥 + 6 = 24
= 𝑥 + 6 2 + 225 − 30(x + 6).
2
5
25
CEPRE UNI
Clave: C
RESOLUCIÓN 
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑏𝑖𝑐é𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜:
cos 𝐵 =
1 − 𝑡𝑎𝑛2
𝐵
2
1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝐵
2
𝐴) 7,63
PROBLEMA 24
𝐵) 8,72 𝐷) 10,2𝐶) 9,97 𝐸) 11
En un cuadrilátero bicéntrico ABCD, donde 𝐴𝐵 = 4𝑢, 𝐵𝐶 = 8𝑢 𝑦 𝐶𝐷 = 10𝑢, 𝑐alcule la longitud
de 𝐴𝐶 en u.
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
𝑎 = 4
𝑐 = 10
𝑏 = 8𝑑 = 6
𝑡𝑎𝑛
𝐵
2
=
𝑐𝑑
𝑎𝑏
𝐵
=
60
32
𝑡𝑎𝑛
𝐵
2
=
15
8
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜, =
1 −
15
8
1 +
15
8
⇒ cos 𝐵 = −
7
23
𝐸𝑛 𝑒𝑙 ∆𝐴𝐵𝐶:
𝐴𝐶2 = 42 + 82 − 2.4.8cos(𝐵)
𝐴𝐶2 = 80 − 64 −
7
23
⇒ 𝐴𝐶 = 9,97
26
CEPRE UNI
PROBLEMA 25 
En un cuadrilátero inscriptible ABCD se traza la bisectriz del ángulo A que intersecta a la
circunferencia en el punto F (en el arco BC). Si las áreas de las regiones cuadrangulares ABCD
y ABFD son iguales, además: 𝐵𝐶 𝐶𝐷 = 𝑘𝑅2, siendo R la longitud de la circunferencia
circunscrita al cuadrilátero ABCD. Calcular cos(𝐴)
A) 1 − 0,25𝑘 B) 1 − 0,5𝑘 C) 1 − 0,75𝑘 D) 1 − 𝑘 E) 1 − 1,25𝑘
RESOLUCIÓN
Graficando:
𝑨/𝟐
𝑭
𝑹
𝑫
𝑪
𝑩
𝑨
Por dato: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐴𝐵𝐹𝐷
𝑨/𝟐
∆𝐴𝐵𝐹: 𝐵𝐹 = 2𝑅𝑠𝑒𝑛
𝐴
2
𝟐𝑹𝒔𝒆𝒏
𝑨
𝟐
∆𝐴𝐹𝐸: 𝐷𝐹 = 2𝑅𝑠𝑒𝑛
𝐴
2
𝐴𝐷 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 𝐶𝐷
2
𝑠𝑒𝑛 𝐴 =
(𝐴𝐷 𝐴𝐵 +(𝐵𝐹)(𝐹𝐷)
2
𝑠𝑒𝑛(𝐴)
4𝑅2𝑠𝑒𝑛2
𝐴
2
𝐵𝐶 𝐶𝐷 = 4𝑅2𝑠𝑒𝑛2
𝐴
2 → 𝑘 = 2 × 2𝑠𝑒𝑛
2 𝐴
2
→ 
𝑘
2
= 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝐴) → 𝑐𝑜 𝑠 𝐴 = 1 − 0,5𝑘 𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
27
CEPRE UNI
PROBLEMA 26 
En un cuadrilátero circunscriptible ABCD sus lados miden: 𝐴𝐵 = 7𝑢, 𝐵𝐶 = 3𝑢, 𝐶𝐷 = 8𝑢. Si la
suma de las medidas de los ángulos A y C es 2𝜃, calcular: 𝑟𝑐𝑠𝑐(𝜃), siendo r la longitud del
radio de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero.
A) 0,4 14 B) 0,5 14 C) 0,6 14 D) 0,8 14 E) 1,05 14
RESOLUCIÓN
Graficando:
𝑫
𝑪
𝑩
𝑨
𝟕
𝟑
𝟖
𝒓
𝑨
𝒅
Como ABCD es circunscriptible: 𝑑 + 3 = 7 + 8 → 𝑑 = 12
= 𝟏𝟐
Sabemos que:
𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑠𝑒𝑛
𝐴 + 𝐶
2
= 𝑝𝑟
→ 𝑝 = 15
(7)(3)(8)(12)𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 15𝑟 → 12 14𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 15𝑟
→ 𝑟𝑐𝑠𝑐 𝜃 = 0,8 14 𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
28
CEPRE UNI
PROBLEMA 27 
En un cuadrilátero bicéntrico ABCD de área 𝑆, se sabe que 𝑆1 es el área de la región triangular
ABD y 𝑆2 es el área de la región triangular BCD, calcular:
𝑆1−𝑆2
𝑆
A) 0,5 B) cos(𝐴) C) 𝑠𝑒𝑛(𝐴) D) sec(𝐴) E) csc(𝐴)
RESOLUCIÓN 𝑨
𝑩
𝑪
𝑫
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
Graficando:
𝑨
Piden: 𝑘 =
𝑆1 − 𝑆2
𝑆
=
𝑎𝑑
2
𝑠𝑒𝑛 𝐴 −
𝑏𝑐
2
𝑠𝑒𝑛(𝐶)
𝑎𝑏𝑐𝑑
Pero: 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = 𝑠𝑒𝑛 𝐶
Entonces: 𝑘 =
𝑠𝑒𝑛(𝐴)
2
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑎𝑏𝑐𝑑
=
𝑠𝑒𝑛(𝐴)
2
𝑎𝑑
𝑏𝑐
−
𝑏𝑐
𝑎𝑑
𝑘 =
𝑠𝑒𝑛(𝐴)
2
𝑐𝑜𝑡
𝐴
2
− 𝑡𝑎𝑛
𝐴
2
=
𝑠𝑒𝑛(𝐴)
2
× 2𝑐𝑜𝑡(𝐴)
→ 𝑘 = 𝑐𝑜𝑠(𝐴) 𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
𝑺𝟏
𝑺𝟐𝑡𝑎𝑛(
𝐴
2
)𝑐𝑜𝑡(
𝐴
2
)
29
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐴
En un cuadrilátero circunscriptible ABCD, se sabe que AB=a; BC=b;
CD=c y AD=d, tal que el área de la región cuadrangular es S, calcule el
valor de la constante K en la siguiente igualdad:
𝑎𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝐵
2
csc
𝐷
2
𝑠𝑒𝑛
𝐵 + 𝐷
2
= 𝐾 ∙ 𝑆
PROBLEMA 28 
En un cuadrilátero circunscritptible:
𝑆 = 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑠𝑒𝑛(
𝐵 + 𝐷
2
)
𝑠𝑒𝑛(
𝐵
2)
𝑠𝑒𝑛(
𝐷
2
)
=
𝑐𝑑
𝑎𝑏𝐴
𝐵
𝐷
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
𝐶
En la igualdad
𝑎𝑏(
𝒔𝒆𝒏
𝑩
𝟐
𝐬𝒆𝒏
𝑫
𝟐
)𝑠𝑒𝑛
𝐵 + 𝐷
2
= 𝐾 ∙ 𝑆
⇒ 𝑎𝑏(
𝑐𝑑
𝑎𝑏
)𝑠𝑒𝑛
𝐵 + 𝐷
2
= 𝐾( 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑠𝑒𝑛(
𝐵 + 𝐷
2
))
Reemplazamos 
∴ 𝐾 = 1
𝐴) 1 𝐵) 2
𝐶) 3
𝐷) 4 𝐸) 5
30
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: D
PROBLEMA 29 
En un cuadrilátero inscriptible ABCD, cuya longitud de sus lados son: 
AB=a u; BC=b u; CD=c u y AD=d u, además: 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑑. 
Calcule:
𝐴)1/4 𝐵)1/2
𝐶) 1
𝐷)2 𝐸)4
𝑡𝑎𝑛
𝐴
2
=
𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑑
𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐
… (1)
Cuadrilátero 
inscriptible 
𝑃𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛: 𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐 = 𝑝
p: semiperímetro
⟹ 𝒑− 𝒂 = 𝒅 ; 𝒑 − 𝒃 = 𝒄, (𝒑 − 𝒄) = 𝒃 ; 𝒑 − 𝒅 = 𝒂
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 (1)
𝑡𝑎𝑛
𝐴
2
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
𝑘 =
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑎𝑏𝑐𝑑
𝑡𝑎𝑛(𝐴)
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑎𝑏𝑐𝑑
𝑡𝑎𝑛(𝐴)
𝑆𝑒 𝑝𝑖𝑑𝑒:
= (
𝑏𝑐
𝑎𝑑
−
𝑎𝑑
𝑏𝑐
)𝑡𝑎𝑛(𝐴)
𝑘 = cot(
𝐴
2
) − tan(
𝐴
2
) 𝑡𝑎𝑛(𝐴)
𝟐𝐜𝐨𝐭(𝑨)
∴ 𝑘 = 2
31
CEPRE UNI
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: B
PROBLEMA 30 
Las longitudes de los lados de un cuadrilátero bicentrico ABCD son:
𝐴𝐵 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + cos 𝜃 𝑢, 𝐵𝐶 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 + cos 𝜃 𝑢
𝐶𝐷 = 3𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2 cos 𝜃 𝑢, 𝐴𝐷 = 4 cos 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑢
Calcule el área de la región cuadrangular ABCD (𝑒𝑛 𝑢2), si 𝜃 es un ángulo 
agudo.
𝐴)
30
5
𝐵)
2 30
5
𝐶)
3 30
5
𝐷)
4 30
5
𝐸)
30
2
𝐴
𝐷
𝐶
cuadrilátero bicentrico a + c = b+d
sen θ + cos θ + 3sen θ − 2 cos θ = 2sen θ + cos θ + 4 cos θ − sen θ
⇒ tan 𝜃 = 2
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
2
5
cos 𝜃 =
1
5
Donde 𝑎 =
3
5
, 𝑏 =
5
5
, 𝑐 =
4
5
, 𝑑 =
2
5
Además el área del cuadrilátero bicentrico 
𝑆 = 𝑎𝑏𝑐𝑑
Reemplazando: 𝑆 = (
2
5
)(
5
5
)(
4
5
)(
2
5
) ∴ 𝑆 =
2 30
5
𝑎
𝑏
32
CEPRE UNI