CEPREUNI-LUGAR GEOMETRICO2020-VF corregida por mi- de REBAZA - copia

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TR
IG
O
N
O
M
ET
R
ÍA
LUGAR GEOMÉTRICO- LA CIRCUNFERENCIA
2
NOCIONES PREVIAS
Para comprender el mundo, la mente humana depende en gran medida de su percepción de las
figuras y modelos. Muchas de las creaciones humanas, así como las figuras de la naturaleza, con
frecuencia se pueden caracterizar en términos de una forma geométrica.
Algunas de las ideas y términos de la Geometría se han convertido en parte del lenguaje cotidiano.
Aunque los objetos reales jamás concuerdan exactamente con una figura geométrica, sí se
aproximan, de modo que lo que se sabe sobre las figuras y relaciones geométricas se puede aplicar
a los objetos.
Los lugares geométricos se pueden representar a través de expresiones algebraicas que describen su
comportamiento. La interpretación matemática de las figuras también incluye la descripción gráfica
de las relaciones numéricas y simbólicas.
La matemática de las relaciones geométricas también ayuda en el análisis del diseño de estructuras
complejas (moléculas proteínicas o alas de aviones) y redes lógicas (conexiones de células
cerebrales o sistemas telefónicos de larga distancia).
3
Aplicaciones
Órbitas de planetas Aplicación en medicina: Litotricia.
4
Definición
Es aquel conjunto de puntos P(x;y) ubicados en un plano que cumplen con una
misma propiedad o condición geométrica. Dicha condición es representada
mediante una ecuación de la forma: E(x;y) = 0
Lugar geométrico
La Recta es el lugar
geométrico de los puntos
tales que tomados dos
puntos diferentes
cualesquiera P1(x1;y1) y
P2(x2;y2) del lugar, el
valor de la pendiente m,
resulta siempre
constante, siendo:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Algunos ejemplos ….
La Circunferencia es el
lugar geométrico de los
puntos P(x;y) tales que
la distancia a cada uno
de ellos desde un punto
fijo del plano es una
constante positiva. El
punto fijo y la distancia
dada se llaman centro y
radio respectivamente.
E(𝑥0; 𝑦0)
P(x;y)
C
P(x;y)
𝑃2(𝑥2;𝑦2)
𝑃1(𝑥1;𝑦1)
L
5
La Parábola es el lugar
geométrico de los puntos
situados en un plano de tal
modo que, desde cada punto,
las distancias no orientadas a
un punto fijo y a una recta fija
son iguales. El punto fijo se
llama foco, y la recta fija
directriz.
d(P; F) = d(P; LD) 
𝐹(𝑥0; 𝑦0)
𝑃1(𝑥1;𝑦1)
𝑃2(𝑥2;𝑦2)
𝑃3(𝑥3;𝑦3)
LD
La elipse es el lugar geométrico
del conjunto de puntos P(x;y)
en el plano XY tales que la
suma de sus distancias a dos
puntos fijos F1 y F2 de ese
plano, llamados focos, es
constante y mayor a la
distancia entre dichos puntos.
Luego:
d(P;F1) + d(P; F2) = constante
𝐹1(𝑥1; 𝑦1)
𝐹2(𝑥2; 𝑦2)
La hipérbola es el lugar
geométrico del conjunto de
puntos P(x; y) en el plano XY
tales que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a
dos puntos fijos F1 y F2 de ese
plano, llamados focos, es
siempre constante y menor a la
distancia entre dichos punto.
Luego:
|d(P;F1) – d(P;F2)| = constante
𝐹1(𝑥1; 𝑦1)
𝐹2(𝑥2; 𝑦2)
6
Cónicas como intersección de un cono y un plano 
que no contiene al vértice
7
Aplicación 1
𝐴) 𝑥 − 7𝑦 + 3 = 0 𝐵)9𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
𝐶) 9𝑥 − 7𝑦 + 3 = 0
𝐷) 9𝑥 − 7𝑦 + 7 = 0 𝐸) 9𝑥 + 7𝑦 + 3 = 0
Resolución
Determine la ecuación del lugar geométrico de
los puntos P(x;y) del plano que equidisten de
los puntos 𝑃1(3;-5) y 𝑃2 (-6;2)
La distancia al punto 𝑃1 es: 𝑑1 = (x −3)2 + ( y + 5)2
Elevando al cuadrado:
𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 + 10𝑦 + 25 = 𝑥2 + 12𝑥 + 36 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4
Simplificando: 𝟗𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝟑 = 𝟎
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
𝑃1(3; −5)
𝑃2(−6; 2)
𝑋
𝑌
𝑃(𝑥; 𝑦)
𝒅
𝒅
→ (x −3)2 + ( y + 5)2= (x + 6)2 + ( y − 2)2
La distancia al punto 𝑃1 es: 𝑑2 = (x + 6)2 + ( y − 2)2
Por condición: 𝑑1 = 𝑑2
8
Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
los extremos.
A(𝑥1; 𝑦1)
P(x; y)
B(𝑥2; 𝑦2)Q
Ecuación de la mediatriz
d(P,A) = d(P,B) 
𝑥 − 𝑥1 2 + 𝑦 − 𝑦1 2 = 𝑥 − 𝑥2 2 + 𝑦 − 𝑦2 2
Aplicación 2
Determine la ecuación de la mediatriz del 
segmento de extremos A(2;3) y B(4;1)
𝐴) 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 𝐵) 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
𝐶) 𝑥 − 7𝑦 + 3 = 0
𝐷) 𝑥 − 7𝑦 + 1 = 0 𝐸) 𝑥 + 𝑦 + 3 = 0
Resolución
Los puntos P(x;y) de la mediatriz cumplen que: d(P,A)=d(P,B) es decir
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 𝑥 − 4 2 + 𝑦 − 1 2
Elevando al cuadrado en los dos miembros y operamos
𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9 = 𝑥2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1
4𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
Es una recta perpendicular al segmento 𝐴𝐵, que pasa por su 
punto medio 𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:B
9
Aplicación 3
La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas 
que forman el ángulo 𝐿1
𝐿2
d(P,𝐿1)
d(P,𝐿2)
P(x;y)
d(P,𝐿1) = d(P,𝐿2) 
𝐿1: 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 y 𝐿2: 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0
La distancia del punto P(x;y) a las rectas 𝐿1 𝑦 𝐿2
𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1
𝐴1
2 + 𝐵1
2
=
𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2
𝐴2
2 + 𝐵2
2
Determine la ecuación de las bisectrices de 
los ángulos formados por las rectas
𝐿1: 𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0 y
𝐿2: 3𝑥 − 𝑦 + 4 = 0
𝐴) 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 𝑥 + 𝑦 + 5 = 0
𝐵) 2𝑥 − 4𝑦 + 5 = 0 4𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0
𝐶) 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0  𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0
𝐷) 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 4𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0
𝐸) 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0  𝑥 + 𝑦 + 1 = 0
Resolución
Los puntos P(x;y) de las bisectrices cumplen que: d(P,𝐿1)=d(P,𝐿2) es 
decir
𝑥 + 3𝑦 − 1
10
=
3𝑥 − 𝑦 + 4
10
𝑥 + 3𝑦 − 1 = 3𝑥 − 𝑦 + 4
𝑥 + 3𝑦 − 1 = 3𝑥 − 𝑦 + 4
𝑥 + 3𝑦 − 1 = −3𝑥 + 𝑦 − 4
⇒ 2𝑥 − 4𝑦 + 5 = 0
⇒ 4𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0
Son dos rectas perpendiculares entre si. 
10
Determine la ecuación del lugar
geométrico de los puntos P(x; y)
del plano cuya suma de los
cuadrados de sus distancias a los
puntos 𝑃1 (−3;1) y 𝑃2 (5;1) sea
igual a 82.
Aplicación 4
Resolución:
𝐴) 𝑥2+ 𝑦2 −2𝑥 + 2𝑦 − 32 = 0
𝐵) 𝑥2+ 𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦 − 23 = 0
𝐶)𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 𝑦 − 23 = 0
𝐷) 𝑥2 + 𝑦2 −2𝑥 − 2𝑦 − 23 = 0
𝐸) 𝑥2 + 𝑦2 +2𝑥 − 2𝑦 − 23 = 0
𝑑2 = 𝑥 − 5
2 + 𝑦 − 1 2
𝑑1
2 + 𝑑2
2 = 82
 𝑥 + 3 2 + 𝑦 − 1 2
2
+ 𝑥 − 5 2 + 𝑦 − 1 2
2
= 82
Desarrollando:
𝑥2 + 6𝑥 + 9 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 + 𝑥2 − 10𝑥 + 25 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 82
Simplificando: 𝒙𝟐+𝒚𝟐 −𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟐𝟑 = 𝟎
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
Sea el punto genérico 𝑃(𝑥; 𝑦).
La distancia al punto 𝑃1(𝑥1; 𝑦1) está dado por: 
𝑑1 = 𝑥 + 3
2 + 𝑦 − 1 2
La distancia al punto 𝑃2(𝑥2; 𝑦2) está dado por: 
Por condición:
11
Determine la ecuación del lugar
geométrico de los puntos P(x; y)
del plano que equidistan del punto
𝑃1(2;1) y la recta x=-4 .
Aplicación 5 Resolución:
𝑑1 = 𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 1 2 ; 𝑑2: 𝑥 + 4 = 0
Sea
Condición 𝑑1 = 𝑑2
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 1 2 = 𝑥 + 4 Elevando al cuadrado
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 1 2 = 𝑥 + 4 2 Desarrollando y reduciendo
𝑦2 − 12𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0
𝑋
𝑌
P1(2;1)
x=-4
P(x;y)
𝑑1
𝑑2
𝐴) 𝑦2 −2𝑥 + 2𝑦 − 32 = 0
𝐵) 𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦 − 23 = 0
𝐶) 𝑦2 − 12𝑥 + 𝑦 − 23 = 0
𝐷) 𝑦2 −12𝑥 − 2𝑦 − 23 = 0
𝐸) 𝑦2 −12𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:E
12
Determine la ecuación del lugar
geométrico de un P(x; y) que se mueve
en el plano de tal manera que la suma
de sus distancias a los puntos A(0;3) y
B(0;-3) sea 10.
Aplicación 6 Resolución:
𝑑1 = 𝑥 − 0 2 + 𝑦 − 3 2 ; 𝑑2 = 𝑥 − 0
2 + 𝑦 + 3 2
Sea
⇒ 𝑥2 + 𝑦 − 3 2 + 𝑥2 + 𝑦 + 3 2 = 10
Condición 𝑑1 + 𝑑2 = 10
⇒ 𝑥2 + 𝑦 − 3 2 = 10 − 𝑥2 + 𝑦 + 3 2 Elevando al cuadrado y 
desarrollando
⇒ 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9 = 100 − 20 𝑥2 + 𝑦 + 3 2 + 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑦 + 9
Reduciendo términos y simplificando
5 𝑥2 + 𝑦 + 3 2 = 25 + 3𝑦 Nuevamente elevando al cuadrado
25 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑦 + 9 = 625 + 150𝑦 + 9𝑦2
Reduciendo términos y simplificando
𝐴)
𝑥2
42
+
𝑦2
52
= 1
𝐵)
𝑥2
42
+
𝑦2
32
= 1
𝐶)
𝑥2
32
+
𝑦2
52
= 1
𝐷)
𝑥2
22
+
𝑦2
52
= 1
𝐸)
𝑥2
42
+
𝑦2
22
= 1
13
25𝑥2 + 16𝑦2 = 400 ⇒
𝑥2
42
+
𝑦2
52
= 1
𝑋
𝑌
A(0;3) 
B(0;-3) 
P(x;y)
𝑑1
𝑑2
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:A
14
La circunferencia
15
𝑋
𝑌
Definición.
La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un
plano de tal manera que se conserva siemprea una distancia constante de
un punto fijo de ese plano.
Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación de la
circunferencia cuyo centro es el punto (h;k) y cuyo radio
es la constante r:
𝑥 − ℎ 2 + (𝑦 − 𝑘)2= 𝑟2
(Forma ordinaria)
Ecuación de la circunferencia
𝑃(𝑥; 𝑦)
𝐶(ℎ; 𝑘)
(ℎ; 0)
(0; 𝑘)
𝑟
Por distancia entre puntos:
𝑟 = 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2
16
𝑋
𝑌
Determine la ecuación de la
circunferencia cuyo centro tiene
por coordenadas (4;-3) y su radio
mide 2u.
Graficando:
Se puede observar que h = 4,
k = − 3 y r = 2, entonces al
reemplazar en la forma
ordinaria tenemos:
(𝒙 − 𝟒)𝟐+(𝒚 + 𝟑)𝟐= 𝟒
Aplicación 1 Resolución
𝐴) (𝑥 − 4)2+ (𝑦 + 3)2= 4
𝐵) (𝑥 + 4)2+ (𝑦 + 3)2= 4
𝐶) (𝑥 − 4)2+ (𝑦 − 3)2= 4
𝐷) (𝑥 − 4)2+(𝑦 + 3)2=8
𝐸) (𝑥 − 4)2+(𝑦 + 3)2=2
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐴
Al efectuar obtenemos:
(𝑥 − 4)2+(𝑦 − −3 )2= (2)2
𝐶(4;−3)
(4; 0)
(0;−3)
𝑃(𝑥; 𝑦)
17
Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (–5; –2) y que sea tangente a la recta
L: 3x + 4y – 2 = 0.
A) x2 + y2 – 10x – 8y + 4 = 0 D) x2 + y2 + 10x + 4y + 4 = 0
B) x2 + y2 – 4x + 10y + 25 = 0 E) x2 + y2 + 10x – 4y + 20 = 0
C) x2 + y2 + 10x + 4y – 8 = 0
𝑪: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟒 = 𝟎
Aplicación 2
Resolución
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
Se observa: 𝑟 =
3 −5 + 4 −2 − 2
32 + 42
= 5
Finalmente:
𝑥 − (−5) 2 + 𝑦 − (−2) 2 = 5 2
→ 𝑟 = 5
Luego:
𝐿: 3𝑥 + 4𝑦 − 2 = 0
𝑟
𝑟
𝐶(−5;−2)
18
Graficando:
Calculamos la longitud del radio:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝟏
Resolución
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐵
𝑋
𝑌
𝑃(𝑥; 𝑦)
(−4; 5)
(0; 0)
𝑟
𝑟
𝑟 = (−4 − 0)2+(5 − 0)2= 41
Entonces, la ecuación de la circunferencia está dada por:
𝑥2 + 𝑦2 = 41
2
Finalmente obtenemos la ecuación:
Determine la ecuación de la circunferencia
que tiene centro en el origen de coordenadas
y pasa por el punto (-4;5).
Aplicación 3
𝐴) 𝑥2+ 𝑦2 = 40 𝐵) 𝑥2 + 𝑦2 = 41
𝐶) 𝑥2 + 𝑦2 = 42
𝐷) 𝑥2 + 𝑦2 = 43 𝐸) 𝑥2 + 𝑦2 = 44
19
Forma canónica de la ecuación de una circunferencia.
Cuando el centro de la circunferencia es el punto de coordenadas (0;0), es decir el
origen de coordenadas, se obtiene la ecuación:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
𝑋
𝑌
𝑂
𝑟
20
Forma general de la ecuación de una circunferencia.
Al desarrollar la ecuación ordinaria tenemos:
𝑥2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 = 𝑟2
Haciendo los cambios: −2ℎ = 𝐷;−2𝑘 = 𝐸 y ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2 = 𝐹
Obtenemos:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
21
Resolución:
De la figura se observa que: 𝑟 = 3
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟒 = 𝟎
𝑋
𝑌
𝑃(𝑥; 𝑦)
𝑟
3
𝐶(3;−2)
(3; 0)
(0;−2)
Entonces, la ecuación de la
circunferencia está dada por:
(𝑥 − 3)2+(𝑦 − −2 )2= 32
Efectuando:
𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = 9
Finalmente obtenemos la ecuación:
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐵
Determine la ecuación general de la
circunferencia con centro en el
punto (3; −2) y tangente al eje de
las ordenadas.
Aplicación 4
A) x2 + y2 – 6x + 4y – 5 = 0
B) x2 + y2 – 6x + 4y + 4 = 0
C) x2 + y2 – 6x – 4y + 4 = 0
D) x2 + y2 + 6x – 4y + 4 = 0
E) x2 + y2 + 6x – 4y – 5 = 0
Graficando:
22
Dada la ecuación: x2 + y2 – 6x + 10y + K = 0.
Calcule el mayor valor entero de k para que la ecuación represente una circunferencia.
A) 31 B) 32 C) 33 D) 34 E) 35 
𝑬𝒍 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝑲 𝒆𝒔 𝟑𝟑
Aplicación 5
Resolución
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
Completando cuadrados:
𝐶: 𝑥2 − 6𝑥 + 32 − 9 + 𝑦2 + 10𝑦 + 52 − 25 = −𝐾
Entonces: 34 − 𝐾 > 0
Finalmente:
→ 𝐶: 𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 5 2 = 34 − 𝐾
(+)
→ 𝐾 < 34
𝑥 − 3 2 𝑦 + 5 2
23
Análisis de la ecuación general de una circunferencia
Consideremos la ecuación:
Completando cuadrados:
𝑥2 + 𝑦2 +𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝑥2 + 𝐷𝑥 +
𝐷2
4
+ 𝑦2 + 𝐸𝑦 +
𝐸2
4
+ 𝐹 =
𝐷2
4
+
𝐸2
4
Luego: 𝑥 +
𝐷
2
2
+ 𝑦 +
𝐸
2
2
=
𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
4
i) Si: 𝐷2 + 𝐸2 < 4𝐹
Se presentan los siguientes casos:
→ No tiene gráfico.
ii) Si: 𝐷2 + 𝐸2 = 4𝐹 → Representa el punto de coordenadas −
𝐷
2
; −
𝐸
2
iii) Si: 𝐷2 + 𝐸2 > 4𝐹 → Representa la circunferencia de centro en −
𝐷
2
;−
𝐸
2
y radio
𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
2
24
Determine la ecuación de la recta que pasa por los centros de las circunferencias 
C1: x
2 + y2 + 6x – 14y – 5 = 0 y C2: x
2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0. 
A) 3x + 4y – 19 = 0 B) 3x + 4y – 13 = 0 C) 4x + 3y – 19 = 0
D) 4x + 3y – 13 = 0 E) 3x + 4y – 7 = 0 
𝑳: 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟏𝟗 = 𝟎
Aplicación 6
Resolución
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐴
Para cada ecuación tenemos:
Para la recta L, cuya ecuación se pide determinar: 𝑚 =
7 − 4
−3 − 1
= −
3
4
Luego 𝐿:−
3
4
=
𝑦 − 4
𝑥 − 1
𝒞1: x2 + y2 + 6x – 14y – 5 = 0 = (−3; 7)
→ 𝐶2 = −
−2
2
; −
−8
2
= (1; 4)
→ 𝐶1 = −
6
2
; −
−14
2
𝒞2: x2 + y2 – 2x – 8y + 13 = 0
Nota: Las coordenadas del centro de una circunferencia de ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
están dadas por: 𝐶 = −
𝐷
2
;−
𝐸
2
25
Determinación de la ecuación de una circunferencia conociendo las 
coordenadas de tres puntos.
Consideremos una circunferencia que pasa por los puntos P1(x1;y1),
P2(x2;y2) y P3(x3;y3) como se muestra en la figura.
Consideremos la ecuación general de la circunferencia:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Entonces como los puntos P1(x1;y1), P2(x2;y2) y P3(x3;y3) pertenecen a la circunferencia,
entonces deben verificar la ecuación de la misma.
Donde para determinar la ecuación de la circunferencia debemos calcular los valores de
las constantes D, E y F.
26
Resolviendo el sistema calculamos D,
E y F, con ello obtenemos la ecuación
general de la circunferencia.
Reemplazando en la ecuación tenemos:
𝑃1(𝑥1; 𝑦1)𝑃2(𝑥2; 𝑦2)
𝑃3(𝑥3; 𝑦3)
𝑋
𝑌
𝑥2
2 + 𝑦2
2 + 𝐷𝑥2 + 𝐸𝑦2 + 𝐹 = 0
𝑥1
2 + 𝑦1
2 + 𝐷𝑥1 + 𝐸𝑦1 + 𝐹 = 0
𝑥3
2 + 𝑦3
2 + 𝐷𝑥3 + 𝐸𝑦3 + 𝐹 = 0
27
Determine la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices tienen por
coordenadas (1; –2), (5; 4) y (10; 5).
A) x2 + y2 – 18x + 6y + 25 = 0 D) x2 + y2 – 18x – 6y + 25 = 0
B) x2 + y2 – 18x + 6y + 5 = 0 E) x2 + y2 + 18x + 6y + 25 = 0
C) x2 + y2 – 18x + 6y – 5 = 0
Se deduce que la circunferencia pasa por los puntos (1, –2), (5, 4) y (10, 5).
𝑪: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟐𝟓 = 𝟎
Aplicación 7
Resolución
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐴
Sea la ecuación 𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Entonces: (1;−2) ∈ 𝐶 → 1 + 4 + 𝐷 − 2𝐸 + 𝐹 = 0 → 𝐷 − 2𝐸 + 𝐹 = −5
(5; 4) ∈ 𝐶 → 25 + 16 + 5𝐷 + 4𝐸 + 𝐹 = 0 → 5𝐷 + 4𝐸 + 𝐹 = −41
(10; 5) ∈ 𝐶 → 100 + 25 + 10𝐷 + 5𝐸 + 𝐹 = 0 → 10𝐷 + 5𝐸 + 𝐹 = −125
… . (1)
… . (2)
… . (3)
Resolviendo el sistema: 𝐷 = −18; 𝐸 = 6; 𝐹 = 25
28
Determine la ecuación de la recta tangente en P(1; 1) a la circunferencia
x2 + y2 + 2x – 4y = 0.
A) 2x – y – 1 = 0 B) 2x + y – 13 = 0 C) 2x – y + 2 = 0
D) x – 2y + 2 = 0 E) x + y + 2 = 0
𝑳: 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
Aplicación 8
Resolución
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐴
Completando cuadrados:
𝑚1 =
2 − 1
−1 − 1
= −
1
2
Luego: 𝐿: 2 =
𝑦 − 1
𝑥 − 1
𝐶: 𝑥 + 1 2 + 𝑦 − 2 2 = 5
𝐶 = (−1; 2)
𝑟 = 5
𝑟
𝐿1
𝐿
𝐶(−1; 2)
𝑃(1; 1)
→ 𝑚 = 2
Calculamos la pendiente 𝑚1 de la recta 𝐿1:
29
Recta tangente a la 
circunferencia
30
Posición relativa entre una recta y una circunferencia en el plano
Dadas las ecuaciones de la circunferencia C y la recta L:
𝐶: 𝑥 − ℎ 2 + (𝑦 − 𝑘)2= 𝑟2, 𝐿: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
∆= 0 ∆ > 0 ∆ < 0
Recta tangente a la 
circunferencia
Recta secante a la 
circunferencia
Recta no común a la 
circunferencia
Al reemplazar la ecuación de L en C, obtenemos la ecuación cuadrática de la forma:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, cuyo discriminante es ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Se presentan los siguientes casos:
31
Caso 1: Se conoce un punto de paso de la recta tangente y la ecuación de
la circunferencia
𝐿:𝑚𝑥 − 𝑦 + 𝑦0 −𝑚𝑥0 = 0
Se conoce 𝑃(𝑥0; 𝑦0) además de C(ℎ; 𝑘) y r,
entonces debemos calcular la pendiente m,
de la recta tangente.
Sea 𝐿: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
𝐶 ℎ; 𝑘
𝑃 𝑥0; 𝑦0
𝐿
𝑟
𝑟 Planteamos: 𝑑 𝐶; 𝐿 = 𝑟
⟹
𝑚ℎ − 𝑘 + 𝑦0 −𝑚𝑥0
𝑚2 + 1
= 𝑟
32
𝐵) 3x – 4y + 4 = 0
𝐶)3x – 4y − 10 = 0
𝐷)3x – 4y + 2 = 0
𝐸)3𝑥 − 4𝑦 − 5 = 0
𝐴) 3x – 4y − 4 = 0
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐵
Determine la ecuación de la recta
tangente a la circunferencia de
ecuación x2 + y2 – 2 x + 4y – 4 =
0 que sea paralela a la recta de
ecuación 3x – 4y + 6 = 0 y mas
cercana al origen.
De la ecuación de la circunferencia:
Como la recta L y la recta tangente (𝐿𝑡) son paralelas. 
Entonces la ecuación de la recta tangente es 𝐿𝑡: 3x – 4y + c = 0 
x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 → 𝐶 ℎ; 𝑘 = 𝐶(1;−2) y 𝑟 = 3
C(1;−2)
r = 3
De la figura :
d C; 𝐿𝑡 =
3 1 − 4 − 2 + 𝑐
3 2 + 4 2
= 3
𝑐 + 11 = 15
c + 11 = 15
c + 11 = – 15
→ 𝑐 = 4
La recta mas cercana al origen es cuando c =4
∴ 𝐿𝑡: 𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟒 = 𝟎
→ 𝑐 = −26
Aplicación 9
33
Caso 2: Se conoce la pendiente de la recta tangente y la ecuación de la
circunferencia
Sea 𝐿: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
𝐶(ℎ; 𝑘)
𝐿
𝐿
𝑟
𝑟
⟹ 𝐿: 𝑚𝑥 − 𝑦 + 𝑏 = 0
⟹
𝑚ℎ − 𝑘 + 𝑏
𝑚2 + 1
= 𝑟
Se conoce m pero no b.
Planteamos: 𝑑 𝐶; 𝐿 = 𝑟
∴ 𝑏 = 𝑘 −𝑚ℎ ± 𝑟 𝑚2 + 1
⟹ 𝑚ℎ − 𝑘 + 𝑏 = ± 𝑟 𝑚2 + 1
34
RESOLUCIÓN
Determine la ecuación de la recta
tangente trazada desde el punto
(−2; 7) la circunferencia de ecuación
x2 + y2 + 2x - 8y +12 = 0 que tenga
pendiente negativa.
De la ecuación de la circunferencia :
Como el punto 𝑃(−2; 7) pertenece a la recta tangente ( 𝐿𝑇 )
𝐿𝑇 : 𝑦 − 7 = 𝑚 𝑥 + 2
𝐶 (−1; 4)
r = 5
De la figura :
𝐿𝑇:𝑚𝑥 − 𝑦 + 2𝑚 + 7 = 0
𝑑 𝐶; 𝐿𝑇 =
𝑚 − 1 − 4 + (2𝑚 + 7)
𝑚2 + (−1)2
= 5
(𝑚 + 3)2= 5(𝑚2 + 1)
𝑚 = 2
La recta que tiene pendiente negativa es : 𝑚 = −1/2
𝐶) 𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 8𝑦 + 12 = 0 → 𝐶 = (−1; 4) y 𝑟 = 5
→ 𝐿𝑇: 𝑚𝑥 − 𝑦 + 2𝑚 + 7 = 0
𝑚 = −1/2
∴ 𝑳𝑻: 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎
𝐴) 𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0
𝐵) 𝑥 + 3𝑦 − 19 = 0
𝐷) 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
𝐸) 3𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
Aplicación 10
35
Caso 3: Se conoce el punto de tangencia y la ecuación de la circunferencia
Sea 𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 +𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝐿: 𝑥. 𝑥0 + 𝑦. 𝑦0 + 𝐷
𝑥 + 𝑥0
2
+ 𝐸
𝑦 + 𝑦0
2
+ 𝐹 = 0
𝐶 ℎ; 𝑘
𝑃 𝑥0; 𝑦0
𝐿
𝑟
𝑥 =
𝑥 + 𝑥0
2
𝑦 =
𝑦 + 𝑦0
2
Podemos “desdoblar” las variables:
𝑥2 = 𝑥. 𝑥0 𝑦
2 = 𝑦. 𝑦0
Luego:
36
RESOLUCIÓN
Determine la ecuación de la recta
tangente a la circunferencia cuya
ecuación es x2 + y2 – 2x – 6y – 3 = 0,
en el punto de tangencia P(– 1; 6).
𝐴) 2𝑥 − 3𝑦 − 20 = 0
Si la ecuación de la circunferencia es:
x2 + y2 – 2x – 6y – 3 = 0
Entonces la ecuación de la recta tangente será:
𝐿𝑡 : 𝑥0𝑥 + 𝑦0𝑦 − 𝑥0 + 𝑥 − 3 𝑦0 + 𝑦 − 3 = 0
Pero: (𝑥0; 𝑦0) = (−1; 6) es el punto de tangencia.
Reemplazando en ( * ):
𝐿𝑡 : −𝑥 + 6𝑦 − −1 + 𝑥 − 3 6 + 𝑦 − 3 = 0
∴ 𝐿𝑡 : 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟎
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐸
𝐵) 3𝑥 + 2𝑦 − 9 = 0
𝐶) 3𝑥 − 2𝑦 + 15 = 0
𝐷) 2𝑥 + 3𝑦 − 16 = 0
𝐸) 2𝑥 − 3𝑦 + 20 = 0
…..(*)
Aplicación 11
37
PROBLEMAS RESUELTOS
38
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
𝐴) 3𝑥2+ 4𝑦2 − 8𝑥 + 8𝑦 + 8 = 0
Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia hacia los puntos A (-1;1) y O (0;0)
Están en la relación de 3 a 2 respectivamente.:
𝐵) 4𝑥2 + 4𝑦2 − 3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0 𝐶) 𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0
𝐷) 5𝑥2+ 5𝑦2 − 8𝑥 + 8𝑦 − 8 = 0 𝐸) 3𝑥2 + 3𝑦2 − 6𝑥 + 6𝑦 − 7 = 0
Por distancia entre dos puntos:
Graficando: 3𝑘 2 = 𝑥 − −1 2+ 𝑦 − 1 2
dividiendo (i) y (ii) miembro a miembro:
9
4
=
𝑥2+𝑦2+2𝑥−2𝑦+2
𝑥2+𝑦2
Efectuando: 
A (-1;1) 
O (0;0) 
P (x;y) 
2𝑘 2 = 𝑥 2+ 𝑦 2
5𝑥2 + 5𝑦2 − 8𝑥 + 8𝑦 − 8 = 0
𝑥
𝑦 ….. (i)
….. (ii)
Problema 01
39
Determine la ecuación del lugar
geométrico de los puntos del plano, P(x;y)
tales que el triángulo QPR sea recto en P,
siendo Q(1;-2) y R(1:6)
Problema 02
𝐴) 𝑥 − 1 2 + 𝑦 + 1 2 = 16
𝐵) 𝑥 − 1 2 + 𝑦 − 2 2 =9
𝐶) 𝑥 + 1 2 + 𝑦 − 2 2 = 16
𝐷) 𝑥 − 1 2 + 𝑦 − 2 2 = 16
𝐸) 𝑥 − 1 2 + 𝑦 + 2 2 = 16
Resolución
x
y
Q(1;-2) 
R(1:6) 
P(x:y) 
Como PQ y PR son perpendiculares: 𝑚𝑃𝑄 𝑚𝑄𝑅 = −1
𝑦 + 2
𝑥 − 1
𝑦 − 6
𝑥 − 1
= −1
Desarrollando y completando cuadrados: 
𝒙 − 𝟏 𝟐 + 𝒚 − 𝟐 𝟐 = 𝟏𝟔
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: D
40
Determine la ecuación del lugar
geométrico de los puntos del plano
cuya suma de distancias a los puntos
𝐴(0;−1) y 𝐵(0; 1) sea igual a 4 u.
Problema 03
𝐴)
𝑥
3
2
+
𝑦
6
2
= 1
𝐵)
𝑥
6
2
+
𝑦
4
2
= 1
𝐶)
𝑥
3
2
−
𝑦
4
2
= 1
𝐷)
𝑥
3
2
+
𝑦
4
2
= 1
𝐸)
𝑥
4
2
+
𝑦
3
2
= 1
Resolución
Se presenta la siguiente condición:
𝑑 𝑃𝐴 + 𝑑 𝑃𝐵 =4  𝑥2 + 𝑦 + 1 2 + 𝑥2 + 𝑦 − 1 2 = 4
Ordenando en forma conveniente y elevando al cuadrado: 
Acomodando:
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑦 + 1 = 16 + 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 − 8 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1
 2 𝑥2 + 𝑦 − 1 2 = 4 − 𝑦
Elevando al cuadrado y efectuando: 4x2 + 3y2 = 12

𝐱
𝟑
𝟐
+
𝐲
𝟒
𝟐
= 𝟏
41
Determine el valor de k para que la
ecuación: 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 10𝑦 + 𝑘 = 0
representa una circunferencia de radio 5
Problema 04
𝐴) 4
𝐵) 6
𝐶) 8
𝐷) 12
𝐸) 16
Resolución
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: E
Sea la ecuación general de la circunferencia: 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 ⇒ 𝑟 =
𝐷2+𝐹2−4𝐹
4
𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 10𝑦 + 𝑘 = 0
En la ecuación: 
ቐ
𝐷 = −8
𝐸 = 10
𝐹 = 𝑘
Reemplazando en (1): 
… (1) 
⇒ 5 =
(−8)2+(10)2−4𝐹
4
𝐹 = 𝑘 = 16
Efectuando:
42
Determine la ecuación de la 
circunferencia que sea tangente a: 
RESOLUCIÓN
𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 14𝑦 + 58 = 0
y al eje x en el punto (10;0). Indique 
una de las soluciones.
Pueden presentarse dos casos. 
Completando cuadrados:
𝑥 − 5 2 + 𝑦 − 7 2 = 42
La distancia entre los dos centros:
𝑟2 + 4
2 = 10 − 5 2 + 𝑟2 − 7
2 → 𝑟2 =
29
11
𝑟1 − 4
2 = 10 − 5 2 + 𝑟1 − 7
2 → 𝑟1 =
29
3
˅
Las dos ecuaciones serán:
𝑥 − 10 2 + 𝑦 −
29
3
2
=
29
3
2
˅𝑥 − 10 2 + 𝑦 −
29
11
2
=
29
11
2
Problema 05
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐵
𝐴) 𝑥 + 10 2 + 𝑦 −
29
3
2
=
29
3
2
B) 𝑥 − 10 2 + 𝑦 −
29
3
2
=
29
3
2
𝐶) 𝑥 − 10 2 + 𝑦 +
29
3
2
=
29
3
2
𝐷) 𝑥 − 10 2 + 𝑦 −
29
3
2
=
25
3
2
E) 𝑥 − 8 2 + 𝑦 −
29
3
2
=
29
3
2
𝑟1
10; 𝑟1
10; 𝑟2
5; 7
𝑟2
Y
X
43
Calcule el centro de una circunferencia que pasa por los puntos. A(4;-1), B(-2;-5) y (5:4)
Problema 06
𝐴)(4:−3) 𝐵) (−4:−3) 𝐶) (4: 3) 𝐷) (−3: 4) 𝐸) (−3: 3)
Resolución
x
y
A(4; −1)
C(5; 4)
B(−2;−5)
O(h;k)
P
Q
𝐿1
𝐿2
O(h;k) = 𝐿1 ∩ 𝐿2
Calculo de 𝐿1: 𝑚𝐴𝐵 =
−1 + 5
4 + 2
⇒ 𝑚𝐴𝐵 =
2
3
𝐿1 ⊥ 𝑎 𝐴𝐵: ⇒ 𝑚𝐿1 = −
3
2
además P es punto medio de AB
Q( 
9
2
;
3
2
) 
⇒ 𝑦 + 3 = −
3
2
𝑥 − 1 ⇒ 𝐿1: 3𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 …(1) 
Calculo de 𝐿2: 𝑚𝐴𝐶 =
4 + 1
5 − 4
⇒ 𝑚𝐴𝐶 = 5
𝐿2 ⊥ 𝑎 𝐴𝐶: ⇒ 𝑚𝐿2 = −
1
5
además Q es punto medio de AC
P(1;-3) 
⇒ 𝑦 −
3
2
= −
1
5
𝑥 −
9
2
⇒ 𝐿2: 𝑥 + 5𝑦 − 12 = 0 …(2) 
Resolviendo (1) y (2) h=-3 ; k = 3  C(-3;3) 𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:E
44
Dos circunferencias 𝐶1 y 𝐶2 son concéntricas y el radio de 𝐶1 es 3 5u, además la recta tangente a
𝐶1, en el punto M, corta a 𝐶2 en los puntos (8;-10) y (12;-2); determine el centro de 𝐶1si la abscisa
del centro de 𝐶1 debe ser menor que 10.
Problema 07
𝐴)(4:−3) 𝐵) (−4:−3) 𝐶) (4: 3) 𝐷) (−3: 4) 𝐸) (−3:−3)
Resolución
𝐶1
𝐶2
(ℎ; 𝑘)
𝑀
𝐵(12;−2)
A(8; −10)
𝐿
x
y
M punto medio de AB: 𝑀 =
8;−10 + (12;−2)
2
pendiente de AB: 𝑚𝐴𝐵 =
−2 − (−10)
12 − 8
M=(10;-6)
𝑚𝐴𝐵 = 2
Calculo de la recta 𝐿𝐴𝐵: y+2=2(x-12)  2x-y-26=0 …(1)
Como la recta L es perpendicular a 𝐿𝐴𝐵: 𝑚𝐿 = −
1
2
⇒ 𝑦 + 6 = −
1
2
𝑥 − 10 ⇒ 𝐿: 𝑥 + 2𝑦 + 2 = 0 …(2) 
Como (h;k)  L 2k+ h+2=0 …(3)
45
RESOLUCIÓN
Por el punto P(-5;4) se trazan 
rectas tangentes a la circunferencia 
de ecuación x2 + y2 − 10x + 7 = 0 . 
Calcule la tangente del menor ángulo 
formado por dichas rectas tangentes. 
𝐴)
21
20
𝐵)
20
21
𝐶) −
21
20
𝐷)
19
20
𝐸)
20
19
De la ecuación de la circunferencia::
x2 + y2 − 10x + 7 = 0 → 𝐶 = (5; 0) y 𝑟 = 3 2
Ecuación de la recta L.
𝐿: 𝑦 − 4 = 𝑚(𝑥 + 5)
→ 𝐿:𝑚𝑥 − 𝑦 + 5𝑚 + 4 = 0
De la figura :
𝑑 𝐶; 𝐿 =
𝑚 5 − 0 + 5𝑚 + 4
𝑚2 + 1
= 3 2
10𝑚 + 4 = 3 2 𝑚2 + 1 → 100𝑚3 + 80𝑚 + 16 = 18(𝑚2 + 1)
41𝑚2 + 40𝑚 − 1 = 0 → 𝑚1= −1 𝑜 𝑚2 = 1/41
P(-5;4) 
(5;0) 
r = 3 2
𝜃
Luego:
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐴
Problema08
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
−1 −
1
41
1 −
1
41
=
𝟐𝟏
𝟐𝟎
46
Una circunferencia pasa por el
punto (-2;1) y es tangente a la
recta cuya ecuación es 3x-2y-
6=0 en el punto (4;3), determine
la ecuación de dicha
circunferencia.
Problema 09 Resolución
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸:𝐷
A) 7𝑥2 + 7𝑦2 + 4𝑥 − 8𝑦 + 5 = 0
B) 𝑥2 + 7𝑦2 + 4𝑥 − 82𝑦 − 5 = 0
C) 7𝑥2 + 7𝑦2 + 4𝑥 − 𝑦 + 11 = 0
D) 7𝑥2 + 7𝑦2 + 4𝑥 − 82𝑦 + 55 = 0
E) 7𝑥2 + 7𝑦2 + 𝑥 − 88𝑦 + 5 = 0
(ℎ; 𝑘)
x
y
(−2; 1)
(4; 3)
L´
𝑅
Tenemos: 𝑚𝐿 =
3
2
⇒ 𝑚𝐿´= −
2
3
Luego L´: 𝑦 − 3 = (−
2
3
)(𝑥 − 4)
 L´: 2𝑥 + 3𝑦 − 17 = 0
Pero como (h;k)  L´
 2ℎ + 3𝑘 = 17 …(1)
Los puntos (-2;1)  (4;3)  𝒞
⇒ 2 + ℎ 2 + 1 − 𝑘 2 = 4 − ℎ 2 + 3 − 𝑘 2 ⇒ 3ℎ + 𝑘 = 5 …(2)
De (1) y (2)
ℎ = −
2
7
 𝑘 =
41
7
𝑅2 =
1300
49
𝑅2 = 4 +
2
7
2
+ 3 −
41
7
2
⇒ 𝑥 +
2
7
2
+ 𝑦 −
41
7
2
=
1300
49
Simplificando: 7𝑥2 + 7𝑦2 + 4𝑥 − 82𝑦 + 55 = 0
47
RESOLUCIÓN
Sustituyendo y = mx + 3 en la ecuación de la circunferencia 
se tiene :
𝑥2 + (𝑚𝑥 + 3)2 - 6x – 2(mx+3) + 6 = 0 
Entonces : (1 + 𝑚2)𝑥2 + 2 2𝑚 − 3 𝑥 + 9 = 0
Discriminante: ∆ = 4(2𝑚 − 3)2−36 1 + 𝑚2 = −4𝑚(5𝑚 + 12)
Si la recta intersecta en dos puntos diferentes a la circunferencia:
∆ = −4𝑚 5𝑚 + 12 > 0 →
−12
5
< 𝑚 < 0
∴ 𝒎 𝝐 −
𝟏𝟐
𝟓
; 𝟎
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸: 𝐶
Dada la circunferencia de ecuación
x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0 , hallar los
valores de m para los cuales las
rectas de la familia y = mx + 3
intersecta a la circunferencia en dos
puntos diferentes.
A ) 0 ;
12
5
B ) 0 ;
2
5
C ) −
12
5
; 0
D ) −
2
5
; 0
E ) −
1
5
; 0
Problema 10