FICHA PROBABILIDADES

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PROBABILIDADES 
 
Definiciones: 
1. Experimento aleatorio () : es todo proceso que consiste en la realización de una prueba 
o más pruebas, cuyo resultado en cada prueba depende del azar, por tanto, no se puede 
anticipar. 
2. Espacio Muestral ( ) : Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento 
aleatorio. 
3. Evento ó Suceso (A): conjunto de uno o más resultados de un experimento. (es un 
subconjunto del espacio muestral), el vacío también se considera un evento. 
4. Probabilidad: Sea  el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. La 
probabilidad de cualquier evento A de , es el número real P(A) que satisface los 
siguientes axiomas: 
P1) 𝑃(𝐴) ≥ 0, ∀𝐴 ⊂ Ω 
P2) 𝑃(Ω) = 1 
P3) Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos mutuamente excluyentes entonces 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
De los axiomas de probabilidad resultan las siguientes propiedades: 
 
Propiedades: 
1.-Si ∅ es el evento imposible entonces 𝑃(∅) = 0. 
2.-Si Ac es el evento complementario de A entonces 
 P(Ac) = 1 – P(A) 
3.-Si A y B son dos eventos de un mismo espacio muestral tales que 𝐴 ⊂ 𝐵 entonces 
𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵) 
4.- Si A y B son eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral 
 P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)  
 
5.- Para tres eventos A , B y C de un mismo espacio muestral 
 P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)       
 
 
CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO: 
 
1) Probabilidad de un evento en un espacio muestral finito 
 
Sea ={𝑤1, 𝑤2, … ,𝑤𝑛}, un espacio muestral finito, si 𝐴 es un evento del espacio 
equiprobable  que consta de 𝑘 puntos muestrales (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) entonces la 
probabilidad de 𝐴 es el número: 
 
P(A) = 
)n(
n(A)
 
 posibles resultados de totalNúemro
favorables resultados de Número

 =
Cardinal de A
Cardinal de 
 
 
 Ejemplo. Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior 
 
 
 Entonces  1,2,3,4,5,6 
 Sea A el evento ocurre un número impar, entonces  A 1,3,5 
 La probabilidad de la ocurrencia del evento A es 
1
2
 
Nota: 
En los experimentos que se consideran anteriormente: 
1.- Es posible repetir cada experimento indefinidamente sin cambiar las condiciones 
2.- No se puede determinar cual será el resultado de un experimento pero se puede 
determinar el espacio muestral. 
 
 En forma frecuencial: 
 LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS: 
En un experimento se determina el espacio muestral y se elige un evento cualquiera A, 
luego se efectúa el experimento una cantidad de veces y se calcula 
Número de veces que ocurre A
Número de veces del experimento
Af  a este número se le llama la frecuencia relativa del 
evento A. 
A medida que el experimento se repite los resultados del experimento pueden ocurrir en 
forma aleatoria, la frecuencia relativa de A cambia en forma aleatoria pero cuando el 
experimento se repite un gran número de veces, aparece un modelo definido de 
regularidad la frecuencia relativa de A tiende a un número fijo el cual es llamado la 
probabilidad de A, esto hace posible la construcción de un modelo matemático para 
analizar el experimento. 
 
Con respecto al ejemplo anterior: 
Si lanzamos un dado una vez, registramos la ocurrencia del evento A y calculamos 
 
(1)
Número de veces que ocurre A
1
Af  
 Si lanzamos un dado dos veces, registramos la ocurrencia del evento A y calculamos 
 
(2)
Número de veces que ocurre A
2
Af  
 Si lanzamos un dado tres veces, registramos la ocurrencia del evento A y calculamos 
 (3)
Número de veces que ocurre A
3
Af  
Y así sucesivamente, veremos que los números (1)Af , (2)Af , (3)Af ,..… son aleatorios pero a 
partir de un número de veces bien grande que se realiza el experimento se cumple que la 
frecuencia relativa del evento A 
Número de veces que ocurre A
Número de veces del experimento
Af  se acerca cada vez 
más a P(A) =
n(A)
 
n( )
 la probabilidad de la ocurrencia del evento A, el cual es su valor límite. 
 
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes 
si no pueden ocurrir en forma simultanea, esto implica que P(A B )= 0 
 
 
Observación: A y B son mutuamente excluyentes si A B =  
 
Ejemplo: En el ejemplo de lanzar un dado y registrar el número obtenido 
 A : Es el evento sale un número impar 
 B : Sale un número par 
 A y B son dos eventos mutuamente excluyentes. 
 
EVENTOS INDEPENDIENTES 
Dos Eventos A y B de un espacio mismo espacio muestral asociado a un experimento E 
se dice que son independientes si y sólo si 
 
 
Esto quiere decir que los eventos A y B no están relacionados, por lo tanto la ocurrencia de 
uno de ellos no influye en la ocurrencia del otro. 
 
Ejemplo 
Supongamos que se lanza un dado normal dos veces, definamos los sucesos A y B como 
sigue: 
 A : El primer resultado muestra un número par 
 B : El segundo resultado muestra un 5 ó un 6 
 A y B no están relacionados, entonces son independientes 
 
 
 
 
 
 
 Se observa que P(A B)= P(A) P(B) 
 
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA. 
Una variable aleatoria es discreta si su valor se obtiene por simple conteo y normalmente estos 
valores son enteros. Si una variable “X” puede tomar una serie de valores discretos 
1 2, , kx x x , con probabilidades 1 2, , kP P P , tal que: 1 2 1kP P P    entonces se ha 
definido para “X” una distribución de probabilidad discreta, de la misma manera se puede asociar 
una función de probabilidad ( )ii x
P f i=1,2,….,k que asocie Xi una probabilidad Pi. 
 
Ejemplo.- 
Sea el siguiente experimento aleatorio: 
Se enciende el motor de un carro y la probabilidad que funcione a 750 RPM sin apagarse es de 
80%, si este experimento se realiza cuatro veces en las mismas condiciones y definimos la 
variable aleatoria : número de veces que funciona el motorX ; determinar la función de 
probabilidad y realizar un diagrama de bloques. 
 
Solución: 
 
P(A B) =P(A) P(B)
18 12 18 12 1
P(A) = , P(B) = , P(A) P(B) = 
36 36 36 36 6
6 1
P(A B)= 
36 6
 
 
 
 
Los valores que pueden tomar X son: 
0 Nunca funcionó bien el motor 
1 De las cuatro pruebas, una sola vez funcionó el motor 
2 De las cuatro pruebas, dos veces funcionó bien el motor 
3 De las cuatro pruebas, tres veces funcionó bien el motor 
4 En todas las pruebas funcionó bien el motor. 
   
   
   
   
   





    
    
    
    
    
0 44
( 0) 0
1 34
( 1) 1
2 24
( 2) 2
3 14
( 3) 3
4 04
( 4) 4
0,8 0,2 0,0016 0,16%
0,8 0,2 0,0256 2,56%
0,8 0,2 0,1536 15,36%
0,8 0,2 0,4096 40,96%
0,8 0,2 0,4096 40,96%
x
x
x
x
x
P C
P C
P C
P C
P C
 
 
Graficando: 
 
 
ESPERANZA MATEMÁTICA 𝐸(𝑥) 
Se define la esperanza matemática (o valor esperado) de una variable aleatoria “x” por: 
    


1
i
k
ix x
i
E X P
 
 
Nota: Si se considera la probabilidad de Xi como una frecuencia relativa se tiene que  xE es el 
valor promedio de “x”. 
 
Ejemplo 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0.16
2.56
15.36
40.96 40.96
 0 1 2 3 4 
 
 
En el problema anterior: 
 
         (0) 0,16% (1) 2,56% (2) 15,36% (3) 40,96% (4) 40,96%
x
E 
 
 

x
E 3,2 
 
Observación: 3,2 es el 80% de 4 
 
 
2) Probabilidad de un evento en un espacio muestral infinito numerable 
Sea ={𝑤1, 𝑤2, … ,𝑤𝑛 , … }, un espacio muestral infinito numerable, es decir: 
 



1i
iw
 
   










11
1)(
i
i
i
i wPwP 
 
 
 Luego, si 𝐴 es un evento de , se tiene que: 


Aw
i
i
wPAP )()(
 
 
3) Probabilidad de un evento en un espacio muestral continuo 
Sea 𝐴 cualquier evento de un espacio muestral continuo , tal que la medida (longitud 
o área) de 𝐴 exista, denotado por 𝑚(𝐴). Definamos la probabilidad de 𝐴 como: 
)(
)(
)(


m
Am
AP
 
Observación: 
En el caso continuo la probabilidad de un punto en  es cero, por lo tanto, 
si 𝑃(𝐴) = 0 no implica que 𝐴 = ∅.