Logica_ Proposicional teoria-practica

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Lógica Proposicional
 Universidad Nacional de Ingeneria Facultad de Ingenería Industrial y Sistemas
Autor: MG. ING. Vásquez Domínguez Riquelmer Apolinar
Edición Word: 2019
Edición PPT : 2021
Lima - Perú
Cálculo Diferencial
¿Qué es la lógica?
01
Ciencia que estudia las formas de razonamiento.
Lógica
02
Estudia las proposiciones.
Lógica proposicional
03
Es un enunciado que tiene valor de verdad, puede ser verdadero (V) o falso (F) pero no ambos a la vez.
Proposición
Proposiciones Simples o Atómicas
Es aquella que no se puede descomponer en otras proposiciones.
Ejemplo:
La Tierra es un planeta
Proposiciones Compuestas o Moleculares
Es aquella que se puede descomponer en otras proposiciones.
Ejemplo:
Lima es la capital del Perú y Santiago es la capital de Chile
Notación
Generalmente una proposición se denota con una letra minúscula a partir de la “p”
Ejemplos:
p = América es un continente
q = China es un país
Conector
Es aquel simbolo que une dos proposiciones.
Ejemplos:
p q (P y Q)
p q (P o Q)
p q (Si P entonces Q)
Lecturas comunes de los conectores
	Simbolo	Lectura
		Y
		O
		Si... Entonces...
		Si y solo si
		O... o...
		No
Conjunción (∧)
Es una proposición cuyo valor de verdad se considera verdadero, cuando las dos proposiciones que la componen son verdaderas
01
Disyuncion (∨)
Es una proposición cuyo valor de verdad se considera falsa, cuando las dos proposiciones que la componen son falsas
02
Disyunción fuerte (∆)
Es una proposición denotada por p ∆ q, en la que su valor de verdad se considera falsa cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y si no ocurriera esto se considera verdadera.
05
Bicondicional (↔)
Es otra proposición denotada por p ↔ q, en la que su valor de verdad se considera verdadera cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad, en otros casos se considera falsa.
04
Conectores
Condicional (→)
Es una proposición denotada por p → q, cuyo valor de verdad se considera falsa cuando “p” es verdadera y “q” es falsa, y en el resto de los casos se considera verdadera.
03
Negación (~)
Es otra proposición en la que su valor de verdad es contrario al de la proposición en la que se le ha antepuesto el adverbio de negación (~).
06
Tablas de verdad
Conjunción (∧)
Es una proposición cuyo valor de verdad se considera verdadero, cuando las dos proposiciones que la componen son verdaderas
01
Disyuncion (∨)
Es una proposición cuyo valor de verdad se considera falsa, cuando las dos proposiciones que la componen son falsas
02
Condicional (→)
Es una proposición denotada por p → q, cuyo valor de verdad se considera falsa cuando “p” es verdadera y “q” es falsa, y en el resto de los casos se considera verdadera.
03
	p	q	p∧q
	V	V	V
	V	F	F
	F	V	F
	F	F	F
	p	q	p∨q
	V	V	V
	V	F	V
	F	V	V
	F	F	F
	p	q	p→q
	V	V	V
	V	F	F
	F	V	V
	F	F	V
Es una tabla que muestra los valores de verdad de una proposición compuesta para cada combinación que se pueda asignar
Bicondicional (↔)
Es otra proposición denotada por p ↔ q, en la que su valor de verdad se considera verdadera cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad, en otros casos se considera falsa.
04
Disyunción fuerte (∆)
Es una proposición denotada por p ∆ q, en la que su valor de verdad se considera falsa cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y si no ocurriera esto se considera verdadera.
05
Negación (~)
Es otra proposición en la que su valor de verdad es contrario al de la proposición en la que se le ha antepuesto el adverbio de negación (~).
06
	p	q	p↔q
	V	V	V
	V	F	F
	F	V	F
	F	F	V
	p	q	p∆q
	V	V	F
	V	F	V
	F	V	V
	F	F	F
Tablas de verdad
	P	~ P
	V	F
	F	V
Leyes del álgebra proposicional
Involucion
~ (~ p) ≡ p
Idempotencia
p ∧ p ≡ p 
p ∨ p ≡ p
Conmutativa
p ∧ q ≡ q ∧ p 
p ∨ q ≡ q ∨ p 
p ↔ q ≡ q ↔ p 
p ∆ q ≡ q ∆ p
Asociativa
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ q ∧ r 
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r
p ↔ (q ↔ r) ≡ (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ q ↔ r
Distributiva
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r)
p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r)
Morgan
 ~ (p ∧ q) ≡ (~ p) ∨ (~ q)
~ (p ∨ q) ≡ (~ p) ∧ (~ q)
Absorción
p ∧ (p ∨ q) ≡ p 
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
Semiabsorción
p ∧ (~ p ∨ q) ≡ p ∧ q 
p ∨ (~ p ∧ q) ≡ p ∨ q
Condicional
p → q ≡ ~ p ∨ q
p → q ≡ ~ q → ~ p
Bicondicional
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
p ↔ q ≡ ~ (p ∆ q)
Otros
p ∧ F ≡ F 
p ∧ V ≡ p 
p ∨ F ≡ p 
p ∨ V ≡ V
p ∧ (∼ p) ≡ F 
p ∨ (∼ p) ≡ V
Tautología
Es una proposición que siempre es verdad.
01
Contradicción
Es una proposición que siempre es falsa
02
Contingencia o consistencia
Es una proposición que no es tautología ni contradicción.
03
Equivalencia
Es una bicondicional tautológica.
Notación:
A ⇔ B
Se lee: A y B equivalentes
05
Implicancia
Es una condicional tautológica.
Notación:
A ⇒ B 
Se lee: A implica B
04
Tautología
Es una proposición que siempre es verdad.
Ejemplo:
Analizar si la siguiente proposición es una tautología.
[ (p ∨ ~ q) ∧ q ] → p
Resolución:
[ (p ∨ ~ q) ∧ q ] → p	…(Semiabsorción y Conmutativa)
(q ∧ p) → p	…(Condicional)
{~ [(q ∧ p)]} ∨ p	…(Morgan)
(~ q ∨ ~ p) ∨ p	…(Asociativa)
~ q ∨ (~ p ∨ p) …(Definición de disyunción)
~ q ∨ V	 …(Definición de disyunción)
 V
Contradicción
Es una proposición que siempre es falsa
Ejemplo:
Analizar si la siguiente proposición es una contradicción.
((p ∧ q) ∨ q) ∆ q
Resolución:
((p ∧ q) ∨ q) ∆ q	…(Absorción)
q ∆ q		…(Definición)
 F
Contingencia o consistencia
Es una proposición que no es tautología ni contradicción.
Ejemplo:
Analizar si la siguiente proposición es una contingencia.
(p ∨ ~ q) ∆ q
Resolución:
(p ∨ ∼ q) ∆ q	(Bicondicional)
~[(p ∨ ∼ q) ↔ q ]	(Bicondicional)
~{[(p ∨ ∼ q) → q] ∧ [q → (p ∨ ~ q)]}	(Condicional)
~{[∼(p ∨ ∼ q) ∨ q] ∧ [~ q ∨ (p ∨~ q)]} (Morgan)
~{[(~ p ∧ q) ∨ q] ∧ [~ q ∨ p ∨ ~ q]}	 (Absorción y Asociativa)
~{q ∧ [(~ q ∨ ~ q) ∨ p]}	()
~{q ∧ [~ q ∨ p]}	(Semiabsorción)
~{q ∧ p}.	 (Depende de los valores de p y q)
Implicancia
Es una condicional tautológica.
Notación:
A ⇒ B 
Se lee: A implica B
Ejemplo:
Analizar si la siguiente proposición es una implicancia:
(p ∧ q) → q
Resolución:
(p ∧ q) → q	…(Condicional)
~ (p ∧ q) ∨ q	…(Morgan)
(~ p ∨ ~ q) ∨ q	…(Asociativa)
~ p ∨ (~ q ∨ q)	…(Definición de disyunción)
~ p ∨ V		…(Definición de disyunción) 
V
Equivalencia
Es una bicondicional tautológica.
Notación:
A ⇔ B
Se lee: A y B equivalentes
Ejemplo:
Analizar si la proposición es una equivalencia.
[ p ∧ (~ p ∨ q) ] ↔ (p ∧ q)
Resolución:
[p ∧ (~ p ∨ q)] ↔ (p ∧ q) …(Semiabsorción)
(p ∧ q) ↔ (p ∧ q)	 …(Definición) 
V
EJERCICIOS
Ejercicio 1
Si la proposición p es falsa, determine el valor de verdad de la proposición:
A ↔ ~ [B → C] 
Donde:
A ≡ [(p ∆ ~ q)→r] ∧ [(p ∆ ~ q)→~ r]
B ≡ [~(~ p → ~ q) ↔ ~ (p ∧ q)] ∨ [p → (~ p ∧ q ∧ r)] 
C ≡ ~ p ↔ ~ q
Resolución:
p ≡ F
Sea A ≡ [(p ∆ ~ q) → r] ∧ [(p ∆ ~ q) → ~ r] 
Entonces:
A ≡ [(F ∆ ~ q) → r ] ∧ [(F ∆ ~ q) → ~ r] 
Si m ≡(F ∆ ~ q)
Entonces se tiene:
A ≡ [m → r] ∧ [m → ~ r]		…(Condicional)
A ≡ (~ m ∨ r) ∧ (~ m ∨ ~ r)	…(Asociativa)
A ≡ ~m ∨ (r ∧ ~r)		…(Definición)
A ≡ ~m ∨ F			…(Definición)
A ≡ ~m				…(Reemplazando m)
A ≡ ~(F ∆ ~q)			…(Bicondicional)
A ≡ (F ↔ ~q)			…(Bicondicional)
A ≡ [(F → ~q) ∧ (~q → F]	…(Condicional)
A ≡ [(~F ∨ ~q) ∧ (q ∨ F)]	…(Negación y Disyunción)
A ≡ (V ∧ q)			…(Definición)
A ≡ q	(I)
Sea: 
B≡[~(~p → ~q) ↔ ~(p ∨ q)] ∨ [p → (~p ∧ q ∧ r)] 
p = F
B ≡ [~(~F → ~q) ↔ ~(F ∨ q)] ∨ [F → (~F ∧ q ∧ r)] (Condicional) 
B ≡ [~(F ∨ ~q) ↔ ~(F ∨ q)] ∨ [~F ∨ (V ∧ q ∧ r)]	 (Definición) 
B ≡ [~(F ∨ ~q) ↔ ~(F ∨ q)] ∨ [ V ]		 (Definición) 
B ≡ V	(II)
Sea:
C ≡ ~p ↔ ~q p = F
C ≡ ~F ↔ ~q			…(Negación)
C ≡ V ↔ ~q			…(Bicondicional)
C ≡ (V → ~q) ∧ (~q → V)		…(Condicional)
C ≡ (~V ∨ ~q) ∧ (q ∨ V)		…(Definición)
C ≡ (F ∨ ~q) ∧ V		…(Definición)
C ≡ ~q	(III)
Reemplazando (I), (II) y (III) en:
A ↔ ∼ [B → C]
q ↔ ∼[V → ~q] …(Condicional)
q ↔ ~(~V ∨ ~q) …(Negación)
q ↔ ~(F ∨ ~q)	 …(Definición)
q ↔ ~(~q)	 …(Doble negación)
q ↔ q		 …(Definición)
Respuesta: V
Ejercicio 2
Simplificar:
{[~r→ ~(p ∆ ~q)] ∧ [r → ~(p ∆ ~q)]} ∆ (p ↔ ~q)
Resolucion:
{[~r → ~(p ∆ ~q)] ∧ [r → ~(p ∆ ~q)]} ∆ (p ↔ ~q)
Sea: 
p ∆~q ≡ w
Reemplazando se tiene:
{[~r → ~w] ∧ [r → ~w]} ∆ (p ↔ ~q)	…(Condicional)
{[r ∨ ~w] ∧ [~r ∨ ~w]} ∆ (p ↔ ~q)	…(Distributiva inversa)
{(r ∧ ~r) ∨ ~w} ∆ (p ↔ ~q)		…(Definición)
(F ∨ ~w) ∆ (p ↔ ~q)			…(Definición)
~w ∆ (p ↔ ~q)				…(Reemplazando “w”)
~(p ∆ ~q) ∆ (p ↔ ~q)			…(Diferencia simétrica) 
(p ↔ ~q)	∆ (p ↔ ~q)		…(Definición)
Respuesta: V
Ejercicio 3
De la falsedad de (p → q) ∨ ( ~ r → s), deducir el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
A = (~ p ∧ ~ q) ∨ ~ q
B = [(~ r ∨ q) ∧ 𝐪] ↔ [(~ q ∨ r) ∧ s]
C = (p → r) → [(p ∨ q) ∧ ~q] 
Solucion:
(p → q) = F 
y también 
(~ r → s) = F	…(Disyunción)

De donde por definición de condicional se obtiene:
p = V, q = F	...(1)
También	r = F, s = F	...(2)
A = (~ p ∧ ~ q) ∨ ~ q
A = (F ∧ V) ∨ V	…(De 1)
A = V
B = [(~ r ∨ q) ∧ q] ↔ [(~ q ∨ r) ∧ s]
B = [(V ∨ F) ∧ F] ↔ [(V ∨ F) ∧ F]	…(De 1 y 2)
B = F ↔ F				…(Conjunción y 
	 	 Disyunción)
B = V
C = (p → r) → [(p ∨ q) ∧ ~q]
C = (V → F) → [(V ∨ F) ∧ V]	…(De 1 y 2)
C = F → V			…(Conjunción y 					 Disyuncion)
C = V
Ejecricio 4
Si A y B son proposiciones, se define la operación * así: A * B = A → B Halle A*B.
A = [(𝐩 → 𝐫) ∧ (𝐪 → 𝐬) ∧ (𝐩 ∨ 𝐪)] → (𝐫 ∨ 𝐬)
B = {[(𝐩 ∧ ~ 𝐫) → (𝐪 ∧ ~ 𝐪)] → (𝐩 → 𝐫)}
Resolucion:
Sea:
A = [(p → r) ∧ (q → s) ∧ (p ∨ q)] → (r ∨ s) 	...(Condicional) 
A = [(~p ∨ r) ∧ (~q ∨ s) ∧ (p ∨ q)] → (r ∨ s) 	...(Condicional) 
A = ~[(~p ∨ r) ∧ (~q ∨ s) ∧ (p ∨ q)] ∨ (r ∨ s) 		...(Morgan)
A = (p ∧ ~r) ∨ (q ∧ ~s) ∨ (~p ∧ ~q) ∨ (r ∨ s) 	...(Agrupando)
A = (p ∧ ~r) ∨ r ∨ (q ∧ ~s) ∨ s ∨ (~p ∧ ~q)		...(Semiabsorción) 
A = (p ∨ r) ∨ (q ∨ s) ∨ (~p ∧ ~q)			...(Agrupando)
A = r ∨ (q ∨ s) ∨ p ∨ (~p ∧ ~q)			...(Semiabsorción) 
A = r ∨ (q ∨ s) ∨ p ∨ ~q				…(Agrupando)
A = r ∨ q ∨ ~q ∨ p ∨ s				…(Definición)
A = r ∨ V ∨ p ∨ s					…(Definición)
A = V …(I)
Sea:
B = {[(p ∧ ~ r) → (q ∧ ~ q)] → (p → r)}	…(Definición) 
B = {[(p ∧ ~ r) → F] → (p → r)}			…(Condicional)
B = {~ [~ (p ∧ ~ r) ∨ F] ∨ (~p ∨ r)}		…(Definición)
B = {~ [~ (p ∧ ~ r)] ∨ (~p ∨ r)}			…(Morgan)
B = [(p ∧ ~ r) ∨ (~p ∨ r)]				…(Agrupando)
B = [(p ∧ ~ r) ∨ ~p ∨ r ]				…(Semiabsorción)
B = ( ~ r ∨ ~p ∨ r )				…(Definición)
B = ( V ∨ ~p )					…(Definición)
B = V …(II)
Reemplazando:
A * B = A → B = V → V = V 
Respuesta: V
Ejercicio 5:
Simplificar las siguientes fórmulas lógicas:
A = [(~p ∧ q) → (r ∧ ~r)] ∧ ~q
B = [(~q → ~p) → (~p ∧ ~q)]∧ ~(p ∧ q)
C = [~ (p → q ) ↔ ~ (q → p)] ∨ ( p → q) 
Resolucion:
A = [(~p ∧ q) →(r ∧ ~r)]∧~q	…(Conjunción)
A = [(~p ∧ q) → F] ∧ ~q	…(Condicional)
A = [~ (~p ∧ q) ∨ F] ∧ ~q	…(Definición)
A = [~ (~p ∧ q)] ∧ ~q		…(Morgan)
A = ( p ∨ ~q) ∧ ~q		…(Absorción)
A = ~q
B = [(~q→~p)→(~p∧~q)]∧~(p ∧q)			…(Condicional y 								 Morgan)
B = [(q ∨ ~p)→(~p∧ ~q)] ∧ (~p ∨ ~q)			…(Condicional)
B = [~ (q ∨ ~p) ∨ (~p ∧ ~q)] ∧ (~p ∨ ~q)		…(Morgan)
B = [(~q ∧ p) ∨ (~p ∧ ~q)] ∧ (~p ∨ ~q)			…(Distributiva) 
B = [(~q ∨ ~p) ∧ (~q ∧ ~q) ∧ (p ∨ ~p) ∧ (p ∨ ~q)] )	…(Conjunción y
 ∧ (~p ∨ ~q)						 Disyunción)
B = [(~q ∨ ~p) ∧ ~q ∧ V ∧ (p ∨ ~q)] ∧ (~p ∨ ~q)	…(Absorción) 
B = [~q ∧ (p ∨ ~q)] ∧ (~p ∨ ~q)			…(Absorción)
B = ~q ∧ (~p ∨ ~q)					…(Absorción)
B = ~q
C = [~(p → q)↔~(q → p)]∨(p → q)			…(Condicional) 
C = [~ (~p ∨ q) ↔ ~ (~q ∨ p)] ∨ (~p ∨ q)		…(Morgan)
C = [(p ∧ ~q) ↔ (q ∧ ~p)] ∨ (~p ∨ q)			...(Bicondicional)
 
C = {[(p ∧ ~q) → (q ∧ ~p)] ∧ [(q ∧ ~p) → (p ∧ ~q)]}	...(Condicional)
 ∨ (~p ∨ q)
C = {[~ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)] ∧ [~ (q ∧ ~p) ∨ (p ∧ ~q)]}	...(Morgan)
 ∨ (~p ∨ q)
C = {[~p ∨ q ∨ (q ∧ ~p)] ∧ [~q ∨ p ∨ (p ∧ ~q)]}	...(Absorción)
 ∨ (~p ∨ q)
C = [(~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)] ∨ (~p ∨ q)			…(Absorción)
C = (~p ∨ q)
Ejercicio 6:
Si p, q, r, s, t, w son proposiciones tales que (p ˄~r) ↔ (s → w) es verdadera y (~w → ~s) es falsa, halle el valor de verdad de:
M≡ [t → (w ˅ ~p) ˄ ~(p → r)]
Reemplazando valores obtenidos en M:
M ≡ [t→(F ˅ ~p) ˄ ~(p→r)]		…(Condicional)
M ≡ [t→(F ˅ ~p) ˄ ~(~p ˅ r)]	…(Morgan)
M ≡ [t→(F ˅ ~p) ˄ (p ˄ ~r)]		…(Reemplazando)
M ≡ [t→(F ˅ ~p) ˄ F]		…(Definición)
M ≡ F
Resolucion:
Como (~w → ~s)≡ F entonces:
w ≡ F y s ≡ V		...1
Reemplazando en (p ˄ ~r )↔(s →w)≡V:
(p ˄ ~r) ↔ (V → F) ≡ V
(p ˄ ~r) ↔ F ≡ V	…(Por Bicondicional)
(p ˄ ~r)≡F
Ejercicio 7:
Simplificar y negar la siguiente proposición compuesta:
“Todos los números enteros son impares y existen números reales irracionales, si existe algún número entero par; si, y solo si, hay algún número real irracional o cualquier número entero es un número impar, si cada número es un número racional”
Resolución:
Denotemos por:
	p:∀ x ∈ Z : x es impar	q:∃ x ∈ R : x es irracional
Y vemos que:
	~p:∃ x ∈ Z / x es par	~q:∀ x ∈ R : x es racional
Así, la proposición original se puede expresar como:
[~p→(p ∧ q) ] ↔ [ ~q →( q ∨ p )]
Que al simplificar se obtiene:
≡[p ∨ (p ∧ q)]↔(q ∨ q ∨ p)		…(Absorción)
≡p ↔(p ∨ q)				…(Bicondicional)
≡[p → (p ∨ q )]∧[(q ∨ p)→p]		…(Condicional)
≡[~p ∨ (p ∨ q)]∧[ (~q ∧ ~p) ∨ p]	…(Asociativa y Semiabsorción)
≡ [(~p ∨ p ) ∨ q] ∧[~q ∨p]		…(Definición)
≡ [V ∨ q] ∧ [ p ∨ ~q]			…(Definición)
≡V ∧ (p ∨ ~q)			…(Definición)
≡(p ∨ ~q)
La negacion correspondiente: (~p ∧ q)
Ejercicio 8:
Simplificar la siguiente expresión
P={ [ (~q→~p)∧ ~(~p→~q) ]∨ [ ~(p→q)∨(p ∧ q ) ] }
P= { [ (~p∨ q)∧ (q ∧ p) ]∨ 	...(Asociativa)
 [ (p ∧ (~q ∨ q )] }
P={ [ (~p∨ q)∧ q ]∧ p]∨ 	...(Absorción)
 [ (p ∧ (~q ∨ q )] }
P={ [ (q ∧ p) ]∨ [ (p ∧ (~q ∨ q )] }	...(Definición)
P={ [ (q ∧ p) ]∨ [ (p ∧ V]		...(Definición)
P={ [ (q ∧ p) ] ∨ p }		...(Absorción)
Respuesta:
P=p
Resolución:
P= { [ (~q→~p)∧ ~(~p→~q) ]∨	…(Condicional)
 [ ~(p → q)∨(p ∧ q ) ] }
P= { [ (p → q)∧ ~(q →p) ]∨	…(Condicional)
 [ ~(p → q)∨(p ∧ q ) ] }
P= { [ (p → q)∧ ~(q → p) ]∨	…(Condicional)
 [ ~(~p∨ q)∨(p ∧ q ) ] }
P= { [ (~p∨ q)∧ ~(~q ∨ ~p)]∨	…(Morgan)
 [ ~(~p∨ q)∨(p ∧ q ) ] }
P= { [ (~p∨ q)∧ ~(~q ∨ ~p)]∨	…(Morgan)
 [ (p ∧ ~q)∨(p ∧ q ) ] }
P= { [ (~p∨ q)∧ (q ∧ p)]∨	...(Distributiva Inversa)
 [ (p ∧ ~q)∨(p ∧ q ) ] }
Ejercicio 9
Determine el valor de verdad de la siguiente proposición:
[𝐌 ↔ 𝐍] ↔ 𝐑
Si: 
	M≡~[~( p ˄ q) → ~q]
	N≡[(~p ˄ q) → ~(~r ˅ r)]˄~q 
	R≡[(p ˅ ~q) ˄ q] → p
R≡[(p˅~q)˄q]→p		…(Absorción)
R≡(p ˄ q)→p		…(Condicional)
R≡~(p ˄ q)˅p		…(Morgan)
R≡~p ˅ ~q ˅p		…(Disyunción)
R≡V
Reemplazando M, N, R:
[M↔N]↔R
[(~p ˄ q)↔~q]↔V			…(Bicondicional)
[(~p ˄ q)↔~q]			…(Bicondicional)
[(~p ˄ q)→~q]˄[~q→ (~p ˄ q)]	…(Definición de 					 condicional)
[(p˅~q)˅~q]˄[q ˅(~p ˄ q)]		…(Absorción y 					 Asociativa)
[p˅(~q˅~q)]˄[q]			…(Idempotencia)
[p˅~q]˄[q]			…(Semiabsorción)
Respuesta: p ˄ q
Resolución:
M≡~[~(p ˄ q)→~q]	…(Condicional)
M≡~[(p ˄ q)˅~q]	…(Absorción)
M≡~(~q ˅ p)		…(Morgan)
M≡q ˄~p
N≡[(~p ˄ q)→~(~ r ˅ r)]˄~q…(Por disyunción)
N≡[(~p ˄ q)→~(V)]˄~q	…(Negacion)
N≡[(~p ˄ q)→F]˄~q	…(Por condicional)
N≡~(~p ˄ q)˄~q		…(Negación)
N≡(p ˅ ~q)˄~q		…(Absorción)
N≡~q
Ejercicio 10
Simplificar la siguiente expresión
P={ [ (~q→~p)∧ ~(~p→~q) ]∨ [ ~(p→q)∨(p ∧ q ) ] }
P={ [ (~p∨ q)∧ (q ∧ p) ]∨ [ (p ∧ (~q ∨ q )] }				(Asociativa)
P={ [ (~p∨ q)∧ q ]∧ p]∨ [ (p ∧ (~q ∨ q )] }				(Absorción)
P={ [ (q ∧ p) ]∨ [ (p ∧ (~q ∨ q )] }	(Definición)
P={ [ (q ∧ p) ]∨ [ (p ∧ V]		(Definición)
P={ [ (q ∧ p) ] ∨ p }		(Absorción)
P = p Respuesta
Resolucion:
P={ [ (~q→~p)∧ ~(~p→~q) ]∨	…(Condicional)
 [ ~(p → q)∨(p ∧ q ) ] }
P={ [ (p → q)∧ ~(q →p) ]∨	…(Condicional)
 [ ~(p → q)∨(p ∧ q ) ] }
P={ [ (p → q)∧ ~(q → p) ]∨	…(Condicional)
 [ ~(~p∨ q)∨(p ∧ q ) ] }
P={ [ (~p∨ q)∧ ~(~q ∨ ~p)]∨	…(Morgan)
 [ ~(~p∨ q)∨(p ∧ q ) ] }
P={ [ (~p∨ q)∧ ~(~q ∨ ~p)]∨	…(Morgan)
 [ (p ∧ ~q)∨(p ∧ q ) ] }
P={ [ (~p∨ q)∧ (q ∧ p)]∨	(Distributiva 
 [ (p ∧ ~q)∨(p ∧ q ) ] }		 Inversa)
GRACIAS