7 Limites de una funcion 2

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Ĺımites de una función
Universidad Nacional de Ingenieŕıa
Los Profesores
2021-1
Ĺımites Trigonométricos
Mostremos que:
i) sen(x) < x , ∀x > 0, ∀x ∈ 〈0, π
2
〉
ii) | sen(x)| < x , ∀x ∈ 〈−π
2
, 0〉 ∪ 〈0, π
2
〉
iii) ĺım
x→0
sen(x) = 0
iv) ĺım
x→0
cos(x) = 1
v) ĺım
x→0
sen(x)
x
= 1
e
Sea x ∈ 〈0, π
2
〉 y del gráfico, tenemos:
`(PR) < x < `(PS) + `(SR) (1)
Además:
0 < `(PQ) = sen(x) < `(PR)
Ĺımites Trigonométricos
Usando (2) tenemos:
0 < sen(x) <
√
sen2(x) + (1− cos(x))2 =
√
2− 2 cos(x) < x (2)
y como `(PS) < `(TS) tenemos
`(PS) + `(SR) < `(TS) + `(SR) = tan(x)
y de (3):
0 < sen(x) <
√
2− 2 cos(x) < x < tan(x)
Luego tenemos:
(i) sen(x) < x ,∀x ∈ 〈0, π2 〉
(ii) Si x ∈ 〈−π2 , 0〉 ⇒ −x ∈ 〈0,
π
2 〉
⇒ sen(−x) < x ⇒ − sen(x) < −x ⇒ x < sen(x)
⇒ 0 < | sen(x)| < |x |,∀x ∈
〈
−π
2
, 0
〉
∪
〈
0,
π
2
〉
Ĺımites Trigonométricos
(iii) Como 0 < | sen(x)| < |x |,∀x ∈ 〈−π2 , 0〉 ∪ 〈0,
π
2 〉, entonces:
0 ≤ ĺım
x→0
| sen(x)| ≤ 0 Por lo tanto ĺım
x→0
sin(x) = 0
(iv) Como
√
2− 2 cos(x) < x
2− 2 cos(x) < x2 ⇒ 1− x
2
2
< cos(x)
y como x < tan(x)⇒ cos(x) < sen(x)x y desde que sin(x) < x ,
tenemos
1− x
2
2
< cos(x) < 1⇒ ĺım
x→0
cos(x) = 1
(v) Del resultado anterior cos(x) <
sen(x)
x
< 1
ĺım
x→0+
sen(x)
x
= 1, ĺım
x→0−
sen(x)
x
= 1⇒ ĺım
x→0
sen(x)
x
= 1
Ejercicio
Ejemplo
Halle ĺım
x→0
1− cos(x)
x2
.
ĺım
x→0
1− cos(x)
x2
= ĺım
x→0
2 sin2(x/2)
x2
= 2 ĺım
x→0
(
sin(x/2)
x
)2
= ĺım
x→0
(
sin(x/2)
2
(
x
2
) )2
=
2
4
=
1
2
Ejercicio
Ejemplo
Halle ĺım
x→0
sin(x)− tan(x)
x3
.
ĺım
x→0
sen(x)− tan(x)
x3
= ĺım
x→0
sen(x) cos(x)− sen(x)
x3 cos(x)
= ĺım
x→0
sen(x)(cos(x)− 1)
x3
= ĺım
x→0
sen(x)
x
(cos(x)− 1)
x2
= ĺım
x→0
sen(x)
x
−(2 sen2(x/2))
x2
= ĺım
x→0
sen(x)
x
· (−2)
(
sen(x/2)
2x/2
)2
= −1
2
Ejercicio
Ejemplo
Halle ĺım
x→π/4
tan(x)− 1
x − π/4 .
ĺım
x→π/4
tan(x)− 1
x − π/4 = ĺımx→π/4
sen(x)− cos(x)
(x − π/4) cos(x) , hacemos h = x −
π
4
= ĺım
h→0
sen
(
h + π
4
)
− cos
(
h + π
4
)
h cos
(
h + π
4
)
=
√
2 ĺım
h→0
sen(h)
√
2
2
+ cos(h)
√
2
2
− cos(h)
√
2
2
+ sin(x)
√
2
2
h
= 2
√
2 ĺım
h→0
sen(h)
h
.
√
2
2
= 2
Ejercicio
Ejemplo
Si f es una función definida en una vecindad de 0 tal que:
1 + x2 ≤ f (x) ≤ tan
(
x +
π
4
)
Halle ĺım
x→0
f (x).
Como ĺım
x→0
(1 + x2) = 1 y ĺım
x→0
tan
(
x +
π
4
)
= 1, por el teorema del
Sandwich
1 ≤ ĺım
x→0
f (x) ≤ 1⇒ ĺım
x→0
f (x) = 1.
Ejercicio
Ejemplo
Calcule ĺım
x→1+
sen
(
πx
2
)
+ cos(πx)√
x2 − 1
.
Sea x − 1 = h, entonces:
=
1
2
ĺım
h→0+
sen
(
π
2 (h + 1)
)
+ cos(π(h + 1))
√
h
=
1
2
ĺım
h→0+
√
h
(
cos
(
πh
2
)
− cos(πh)
h
)
=
1
2
ĺım
h→0+
√
h
h
(
cos
(
πh
2
)
−
(
2 cos2
(
πh
2
)
− 1
))
= −
1
2
ĺım
h→0+
√
h
h
(
2 cos2
(
πh
2
)
− cos
(
π
2
h
)
− 1
)
= −
1
2
ĺım
h→0+
√
h
h
((
2 cos
(
π
2
h
)
+ 1
)(
cos
(
π
2
h
)
− 1
))
=
3
2
ĺım
h→0+
√
h
(
2
sin2
(
πh
4
)
h
)
= 0
Ejercicio
Ejemplo
Halle
ĺım
x→0
arctan(x)
x
Sea α = arctan(x), si x → 0, entonces α→ 0
Luego
ĺım
α→0
α
tan(α)
= 1
Ejercicio
Ejemplo
Halle
ĺım
x→0
(
x6
(tan(x)− sen(x))2 −
tan(αx)
(1 + x − cos(αx))(sec(αx))
)
= ĺım
x→0
(
x6 cos2(x)
sen2(x)(1− cos(x))2 −
sen(αx)(
2 sen2
(
αx
2
)
+ x
))
= ĺım
x→0
 cos2(x)sen2(x)
x2
·
(
1− cos(x)
x2
)2 − sen(αx)
x
(
2
sen2(αx2 )
x
+ 1
)

= ĺım
x→0
 cos2(x)( sen(x)
x
)2
·
(
1− cos(x)
x2
)2 − α sin(αx)αx . 1(
2
sen(αx2 ) sen(
αx
2 )
x
+ 1
)

= 4− α
Ejercicio
Ejemplo
Halle
ĺım
x→0
(
x sen(sen(2x))
1− cos(sen(4x)) −
√
x4 − x4 sen2(x)
1− cos(x)
)
= ĺım
x→0
x sen(sen(2x))
2 sen2
(
sen(4x)
2
) − x2 cos(x)
2 sen2(x/2)

= ĺım
x→0
 x sen(sen(2x)) sen(2x)
sen(2x) sen2 (sen(2x) cos(2x))
− x
2
(
sen(x/2)
2x/2
)2

= ĺım
x→0
 x sen(sen(2x)) sen(2x)
sen(2x)
(
sen(sen(2x) cos(2x))
sen(2x) cos(2x)
)2
(sen(2x) cos(2x))2
− 1
2. 1
4

=
(
1
4
− 2
)
= −7
4
Ejercicio
Ejemplo
Halle
ĺım
x→0
1
x
(
tan(2πx) + tan
(πx
8
+
π
4
)
− cos
(πx
2
))
= ĺım
x→0
1
x
(
tan(2πx) +
tan
(
πx
8
)
+ 1
1− tan
(
πx
8
) − cos(πx
2
))
= ĺım
x→0
(
sen(2πx).2π
2πx cos(2πx)
+
1
x
(
tan
(
πx
8
)
+ 1− 1 + tan
(
πx
8
)
1− tan
(
πx
8
) + 2 sen2 (πx
4
)))
= ĺım
x→0
2π + 2
x
sen
(
πx
8
)
cos
(
πx
8
)
.
(cos(πx8 )−sen(
πx
8 ))
cos(πx8 )
+
2
x
sin2
(πx
4
)
= 2π + ĺım
x→0
sin
(
πx
8
)
πx
8
.
π
8
+ 2 ĺım
x→0−
sen
(
πx
4
)
x
sen
(πx
4
)
= 2π +
π
4
=
9π
4
Ejercicio
Ejemplo
Halle
ĺım
x→0+
xm+n
m
√
x + n
√
x
Haciendo el cambio x = amn, tenemos a→ 0+ cuando x → 0+
ĺım
a→0+
a(m+n)mn
an + am
• Si m = n
⇒ ĺım
a→0+
a2m
3
2am
= ĺım
a→0+
a2m
3−m
2
= 0
Teniendo en cuenta que :
m > 1⇒ m2 > m⇒ 2m3 > m→ 2m3 −m > 0
ejrecicio
• Si m > n
⇒ ĺım
a→0+
a(2m+n)mn
an(1 + am−n)
= ĺım
a→0+
a(m+n)mn−n
1 + am−n
= 0
Ejemplo
Halle
ĺım
x→0
(
4
√
x4 + 1−
√
x2 + 1
x2
)
.
= ĺım
x→0
(
4
√
x4 + 1− 1
x2
−
√
x2 + 1− 1
x2
)
= ĺım
x→0
(
x4 + 1− 1
x2 ((x4 + 1)3/4 + (x4 + 1)2/4 + (x4 + 1)1/4 + 1)
− x
2 + 1− 1
x2
(√
x2 + 1 + 1
))
= −1
2
ejercicio
Ejemplo
Halle
ĺım
x→+∞
(
cos(
√
x + 1)− cos(
√
x)
)
= −2 ĺım
x→+∞
sen
(√
x + 1 +
√
x
2
)
sin
(√
x + 1−
√
x
2
)
= −2 ĺım
x→0+
sen
(√
x + 1 + 1
2
√
x
)
sen
(√
x + 1− 1
2
√
x
)
= −2 ĺım
x→0+
sen
(√
x + 1 + 1
2
√
x
)
sen
( √
x
2(
√
x + 1)
)
Desde que sen(x) es acotado
= 0
Ejercicio
Ejemplo
Calcule
ĺım
t→0
sen2(tan(t))
sen2(t)
ĺım
t→0
sen2(tan(t))
sen(t)
= ĺım
t→0
sen2(tan(t))
tan2(t)
· tan
2(t)
sen2(t)
= ĺım
t→0
(
sen(tan(t))
tan(t)
)2
· 1
cos2(t)
desde que ĺım
t→0
tan(t) = 0, tenemos
= 1
Ĺımites en el infinito
Definición
Sea f : D → R una función.
1) Supongamos que 〈m,+∞〉 ∩ D 6= ∅, ∀m > 0. Se dice que f tiene ĺımite
L ∈ R cuando x tiene a +∞, lo cual denotamos por:
ĺım
x→+∞
f (x) = L⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0 | ∀x ∈ D, x > N ⇒ |f (x)− L| < ε
2) Supongamos que 〈−∞,−m〉 ∩ D 6= ∅, ∀m > 0. Se dice que f tiene ĺımite
L ∈ R cuando x tiene a −∞, lo cual denotamos por:
ĺım
x→−∞
f (x) = L⇔ ∀ε > 0,∃N > 0 | ∀x ∈ D, x < −N ⇒ |f (x)− L| < ε
Ejercicio
Ejemplo
Demuestre que ĺım
x→+∞
5
x − 3 = 0
Dado ε > 0, debo encontrar un N > 0/∀x ∈ R \ {3}, x > N ⇒
∣∣∣ 5x−3 ∣∣∣ < ε
Sea N = 3⇒ x > 3⇒ 5
x−3 < ε, y de esto:
x − 3 > N − 3 > 0 (3)
5
x − 3 <
5
N − 3 = ε⇒ ε =
5
ε
+ 3 (4)
Tomando N0 = máx
{
3, 5
ε
+ 3
}
⇒ N0 = 5ε + 3
Ejercicio
Ejemplo
Demostrar que:
ĺım
x→+∞
2x + x3 + 1
x3 + 1
= 1
Sea ε > 0, debemos encontrar N > 0 tal que ∀x > N ⇒ |f (x)− 1| < ε∣∣∣∣2x + x3 + 1x3 + 1 − 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 2xx3 + 1
∣∣∣∣
Considerando x > 0
⇒ 2x
x3 + 1
<
2x
x3
=
2
x2
· · · (α), desde que x2 > N2 ⇒ 2
x2
<
2
N2
= ε
⇒ N =
√
2
ε
Entonces de α y tomando N =
√
2
ε∣∣∣∣2x + x3 + 1x3 + 1 − 1
∣∣∣∣ < �.
Ĺımetes al infinito
Teorema
Dadas las funciones f , g con dominios D ⊂ R. Si ĺım
x→+∞
f (x) = L y
ĺım
x→+∞
g(x) = M, entonces los ĺımites:
(1) ĺım
x→+∞
cf (x) = cL
(2) ĺım
x→+∞
(f + g)(x) = L + M
(3) ĺım
x→+∞
(fg)(x) = LM
(4) ĺım
x→+∞
(
f
g
)
(x) =
L
M
, siempre que M 6= 0
Ejercicio
Ejemplo
Halle
ĺım
x→+∞
ax3 − 6x2 + 7x + 2
bx3 − 3x2 + 1
, ∀b, a 6= 0
ĺım
x→+∞
a− 6x +
7
x2 +
2
x3
b − 3x +
1
x3
=
a
b
Ejercicio
Ejemplo
Halla
ĺım
x→±∞
3
√
x3 + 3− 3
√
x3 + 4
4
√
x2 + 2− 4
√
x2 − 3
.
ĺım
x→+∞
3√x3 + 3− 3
√
x3 + 4
4√x2 + 2− 4
√
x2 − 3
=
ĺım
x→+∞
((x3 + 3)− (x3 + 4))((x2 + 2)3/4 + (x2 + 2)2/4(x2 − 3)1/4 + (x2 + 3)1/4(x2 + 3)2/4 + (x2 − 3)3/4)
((x3 + 3)2/3 + (x3 + 3)1/3(x3 + 4)1/3 + (x3 + 4)2/3)(x2 + 2− (x2 − 3))
ĺım
x→+∞
−
1
5
x3/2((1 + 2
x2
)3/4 + (1 + 2
x2
)2/4(x2 − 3)1/4 + (x2 + 2)3/4(x2 − 3)2/4) + (x2 − 3)1/4)
((1 + 3
x3
)2/3 + (1 + 3
x3
)1/3(1 + 4
x3
)1/3 + (1 + 4
x3
)2/3)
= 0
Ĺımites al infinito
Definición
Sea f : Df → R una función de variable real y sea c ∈ D ′. Diremos que f (x)
tiende al +∞ cuando x tiende a c, lo que se denota por:
ĺım
x→c
f (x) = +∞⇔ ∀M > 0, ∃δ > 0 | ∀x ∈ D, (0 < |x − c| < δ ⇒ f (x)> M)
Definición
Sea f : Df → R una función y sea c ∈ D ′. Se dice que f (x) tiende al −∞
cuando x tiende a c, lo que se denota por:
ĺım
x→c
f (x) = −∞⇔ ∀M > 0, ∃δ > 0 | ∀x ∈ D, (0 < |x − c| < δ ⇒ f (x) < −M)
Ejercicio
Ejemplo
Pruebe que:
ĺım
x→−3
1 + x
(x + 3)2
= −∞
Sea M > 0, debemos encontrar un δ > 0 tal que
∀x ∈ R \ {−3}, (0 < |x + 3| < δ → f (x) < −M)
1 + x
(x + 3)2
>
1 + x
δ2
→ − 1 + x
(x + 3)2
< −1 + x
δ2
· · · (1)
Tomando si δ = 1
⇒ −3 < x < −2⇒ −2 < x + 1 < −1 · · · (3)
De (1) y (2):
1 + x
(x + 3)2
< − 1
δ2
= −M
Finalmente escogiendo δ = ḿın
{
1, 1√
M
}
, se tiene lo requerido.
Ĺımites al infinito
Proposición
Sean f , g funciones reales de variable real con dominio D,y sea a ∈ D ′ tal que:
ĺım
x→a
f (x) = L, ĺım
x→a
g(x) = 0
y g es positivo en una vecindad del punto a, entonces:
(1) ĺım
x→a
f (x)
g(x)
= +∞, cuando L > 0 (g(x) < 0,−∞, L > 0)
(2) ĺım
x→a
f (x)
g(x)
= −∞, cuando L < 0 (g(x) < 0,+∞, L < 0)
Ejemplo
Halle
ĺım
x→0
x3 − 5x + 7
|x sen(x)| =
7
0+
= +∞
Ejercicio
Ejemplo
Halle
ĺım
x→0
1
x
.
si existe.
De la proposición anterior tenemos:
ĺım
x→0+
1
x
= +∞ y ĺım
x→0−
1
x
= −∞
Por lo tanto no existe ĺımite.
Ĺımites al infinito
Definición
Sea f : D → R una función. Supongamos que 〈a,+∞〉 ⊆ D para algún a ∈ R
(〈−∞, b〉 ⊆ D, para algún b ∈ R)
(1) Se dice que f (x) tiende a +∞ cuando x → +∞ y lo denotaremos por:
ĺım
x→+∞
f (x) = +∞⇔ ∀M > 0, ∃N > 0 | ∀x ∈ D(x > N ⇒ f (x) > M)
(2) Se dice que f (x) tiende a −∞ cuando x → +∞ y lo denotaremos por:
ĺım
x→+∞
f (x) = −∞⇔ ∀M > 0, ∃N > 0 | ∀x ∈ D(x > N ⇒ f (x) < −M)
(3) Se dice que f (x) tiende a +∞ cuando x → −∞ y lo denotaremos por:
ĺım
x→−∞
f (x) = +∞⇔ ∀M > 0, ∃N > 0 | ∀x ∈ D(x < −N ⇒ f (x) > M)
(4) Se dice que f (x) tiende a −∞ cuando x → −∞ y lo denotaremos por:
ĺım
x→−∞
f (x) = −∞⇔ ∀M > 0, ∃N > 0 | ∀x ∈ D(x < −N ⇒ f (x) < −M)
Ejercicio
Ejemplo
Para n ∈ Z+, demuestre que:
ĺım
x→∞+
axn =
{
+∞, a > 0
−∞, a < 0
En efecto, si a > 0, sea M > 0, debemos encontrar un N > 0 tal que
∀x ∈ R con x > N
⇒ f (x) = axn > M
Tomando N > 1
⇒ x > 1⇒ xn > x
⇒ axn > ax > aN = M ⇒ N = Ma , escogemos:
N0 = máx
{
1,
M
a
}
Ejercicio
En efecto, si a < 0, sea M > 0, debemos encontrar un N > 0 tal que
∀x ∈ R tal que x > N
⇒ f (x) = axn < −M
Tomando N = 1
⇒ x > 1⇒ xn > x ⇒ axn < ax
Desde que x > N ⇒ ax < aN ⇒ axn < aN = M ⇒ N = M−a
N0 = máx
{
1,−M
a
}
Ejemplo
Sea n un número impar, entonces pruebe que el polinomio
P(x) = anx
n + an−1x
n−1 + ...+ a1x + a0, con an > 0
tiene una ráız real.
Aśıntota
En efecto:
ĺım
x→+∞
P(x) = ĺım
x→+∞
(
an +
an−1
x
+ ...+
a0
xn
)
= +∞
ĺım
x→−∞
P(x) = −∞
Definición
La recta L : y = k es una aśıntota horizontal de la función f si se cumple
alguna de las 3 condiciones:
ĺım
x→+∞
f (x) = k o ĺım
x→−∞
f (x) = k o ĺım
x→∞
f (x) = k
Ejemplo
Encuentre la aśıntota horizontal si existe de:
f (x) =
x + 3
2 + |x | , ∀x ∈ R
Aśıntotas
• ĺım
x→+∞
f (x) = ĺım
x→+∞
1 + 3
x
2
x
+ 1
= 1
• ĺım
x→−∞
f (x) = ĺım
x→−∞
1 + 3
x
2
x
− 1
= −1
Ejemplo
Encuentre la aśıntota horizontal si existe de:
f (x) =
4x
x2 + 1
Definición
La recta L : x = a es una aśıntota vertical de la función f si se cumple alguna
de las siguientes condiciones:
ĺım
x→a
f (x) = −∞ o ĺım
x→a
f (x) = +∞ o ĺım
x→a+
f (x) = −∞
ĺım
x→a−
f (x) = −∞ o ĺım
x→a+
f (x) = +∞ o ĺım
x→a−
f (x) = +∞
Ejercicio
Ejemplo
Halle las aśıntotas verticales si existe de
f (x) = |x + 4|+ 4|x | − 3
Posible aśıtotas x = ±3
ĺım
x→3+
f (x) = ĺım
x→3+
(x + 4) +
4
x − 3 = +∞
ĺım
x→3−
f (x) = ĺım
x→3−
(x + 4) +
4
x − 3 = −∞
ĺım
x→−3+
f (x) = ĺım
x→3+
(x + 4)− 4
x + 3
= −∞
ĺım
x→−3−
f (x) = ĺım
x→3−
(x + 4)− 4
x + 3
= +∞
Definición
La recta L : y = mx + b es una aśıntota oblicua de la función f (x) si:
m = ĺım
x→∞
f (x)
x
, y b = ĺım
x→∞
(f (x)−mx)
Aśıntotas
Ejemplo
Hallar la aśıntota de:
f (x) =
x3
2(x + 1)2
, ∀x 6= −1
si existe.
De la definición:
m = ĺım
x→+∞
f (x)
x
= ĺım
x→+∞
x2
2(x2 + 2x + 1)
=
1
2
m = ĺım
x→+∞
f (x)
x
=
1
2
Luego, sea:
ĺım
x→+∞
(
x3
2(x2 + 2x + 1)
− 1
2
x
)
= ĺım
x→+∞
1
2
x
(
−2x − 1
x2 + 2x + 1
)
= −1
Ejercicio
Ejemplo
Hallar las aśıntotas obĺıcuas de
f (x) = −x + 1 + 2x
3
√
x4 − 13x2 + 36
si existe.
m = ĺım
x→+∞
f (x)
x
= −1 + 1
x
+
2x2√
x4 − 13x2 + 36
= ĺım
x→+∞
−1 + 1x + 2x2
x2
√(
1− 13x2x4 +
36
x4
)
 = 1
Ejercicio
b = ĺım
x→+∞
(f (x)− x) = ĺım
x→+∞
(
−2x + 1 + 2x
3
√
x4 − 13x2 + 36
)
= ĺım
x→+∞
(
(−2x + 1)
√
x4 − 13x2 + 36 + 2x3√
x4 − 13x2 + 36
)
= ĺım
x→+∞
(
1− 2x
(
1− x
2
√
x4 − 13x2 + 36
))
= ĺım
x→+∞
(
1− 2x
(√
x4 − 13x2 + 36 + 2x3√
x4 − 13x2 + 36
))
= ĺım
x→+∞
1− 2x
x2
(−13x2 + 36)√
1− 13
x2
+ 36
x4
1√
x4 − 13x2 + 36 + x2

= ĺım
x→+∞
1− 2
x2
x3
(
−13 + 36
x2
)√
1− 13
x2
+ 36
x4
1
x2
(√
1− 13
x2
+ 36
x4
+ 1
)

= 1
Ejercicio
Ejemplo
Halle
ĺım
x→∞
x2
x
√
x2 − 1
ĺım
x→+∞
x√
x2 − 1
= ĺım
x→+∞
x
|x |
√
1− 1x
= 1
ĺım
x→−∞
x√
x2 − 1
= ĺım
x→−∞
−1√
1− 1x
= −1
Ejercicio
Ejemplo
Halle:
ĺım
x→+∞
x2√
x2 − 1
− x , ĺım
x→−∞
x2√
x2 − 1
+ x
•
ĺım
x→+∞
x2 − x
√
x2 − 1√
x2 − 1
= ĺım
x→+∞
(
x4 − x4 + x2
x2 + x
√
x2 − 1
)(
1
x2 − 1
)
= ĺım
x→+∞
x2
x2
(
1 +
√
1− 1
x2
) 1
x
√
1− 1
x2
= 0
•
ĺım
x→−∞
x2 + x
√
x2 − 1√
x2 − 1
= ĺım
x→−∞
x2
x
1−
√
1− 1
x2√
1− 1
x2

= ĺım
x→−∞
−x2
(x2 − x
√
x2 − 1)
√
x2 − 1
= ĺım
x→−∞
−1
1 +
√
x2 − 1
√
1− 1
x2
.x
= 0