Raiz de Ec monovariables Newton - Secante - mas

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SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO 
LINEALES DE UNA O MAS VARIABLES.
Método de Newton-Raphson, de la Secante, 
Iteración de Punto Fijo. Acelerador de Aitken. 
Comparación de los métodos de convergencia.
Lic. Walter Antonio Huallpa Gutiérrez
METODO DE NEWTON-RAPHSON
Se elige un punto (x0). Se crea una recta que sea
tangente a la función f(x) y que pase por (x0), la
intersección de la recta con el eje horizontal es el
nuevo valor de la iteración. Se puede deducir también
del desarrollo de Taylor.
c
x1
Error en el método de Newton-
Raphson
Encontraremos el error de la iteración i+1 en base al
error de la iteración i.
El método de Newton-Raphson también se puede
desarrollar a través de la serie de Taylor
… (1)
Truncando la serie de Taylor después de la primera
derivada, se obtiene una versión aproximada.
…. (2)
𝑓 𝑥𝑖+1 = 𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓´ 𝑥𝑖 (𝑥𝑖+1 - 𝑥𝑖) +
𝑓"(𝑥)
2!
(𝑥𝑖+1 - 𝑥𝑖)
2+…
𝑓 𝑥𝑖+1 ≅ 𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓´ 𝑥𝑖 (𝑥𝑖+1 - 𝑥𝑖)
𝑓 𝑥 + ℎ = 𝑓 𝑥 + 𝑓´ 𝑥 (ℎ) +
𝑓"(𝑥)
2!
(ℎ)2+ . . . .
En la intersección con el eje x, f(xi+1) debe ser igual a 
cero,
…… (3)
….. (4)
Si se utilizan todos los términos de la serie de Taylor se
obtiene el resultado exacto. En tal situación xi+1 = xr,
donde xr es el valor verdadero de la raíz. Sustituyendo
este valor junto con f(xr) = 0 en la ecuación (1) se
obtiene
0=𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓´ 𝑥𝑖 (𝑥𝑖+1 - 𝑥𝑖)
𝑥𝑖+1= 𝑥𝑖−
𝑓 𝑥𝑖
𝑓´ 𝑥𝑖
…. (5)
La ecuación (3) se resta de la ecuación (5) 
…. (6)
El error es la diferencia entre xi+1 y el valor verdadero xr
Et,i+1 = xr – xi+1 y la ecuación (6) se expresa como
…….. (7)
Si se supone que hay convergencia, entonces xi como 
se deberán aproximar a la raíz xr y la ecuación (7)
0 = 𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓´ 𝑥𝑖 (𝑥𝑟 - 𝑥𝑖) +
𝑓"(𝜀)
2!
(𝑥𝑟 - 𝑥𝑖)
2
0 = 𝑓´ 𝑥𝑖 (𝑥𝑟 - 𝑥𝑖+1) +
𝑓"(𝜀)
2!
(𝑥𝑟 - 𝑥𝑖)
2
0 = 𝑓´ 𝑥𝑖 𝐸𝑡,𝑖+1 +
𝑓"(𝜀)
2!
𝐸𝑡,𝑖
2
𝐸𝑡,𝑖+1 =
−𝑓"(𝑥𝑟)
2𝑓´ 𝑥𝑟
𝐸𝑡,𝑖
2
Desventajas del método de 
Newton-Raphson
Las pendientes cercanas a cero: Hacen que el valor
iterado se aleje de la raíz. Caso crítico es cuando la
pendiente se iguala a cero.
x0
f(x0)
f(x1)
x1x2
Desventajas del método de 
Newton-Raphson
Si la raíces están muy cercas el valor iterado salta al
rango de la otra raíz, divergiendo el método.
x0
f(x0)
f(x1)
x1 x2
METODO DE LA SECANTE
El método de la secante nace del inconveniente de
calcular previamente la derivada de la función en el
método de Newton-Raphson.
C=X2
x0 x1
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
∆𝑓
∆𝑥
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥𝑖+1 − 𝑓(𝑥𝑖)
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖−1)
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓´(𝑥𝑖)
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑓(𝑥𝑖)
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖−1)
El método inicia con dos valores iniciales para x, es
decir x0 y x1. Se calculan los valores de f(x0) y f(x1).
El siguiente valor de x, es decir x2, se calcula mediante
la relación,
X0 toma el valor de x1 y x1 toma el valor de x2 y se
vuelven a calcular los valores de f(x0) y f(x1). Se
continua con el proceso hasta que se cumple con el
criterio del error.
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑥1 − 𝑥0 𝑓(𝑥1)
𝑓 𝑥1 − 𝑓(𝑥0)
RAICES MULTIPLES
En el caso de las raíces múltiples pares la función no
cambia de signo.
Ejemplos:
f(x) = (x-2)(x-2)(x-1); g(x)=(x-2)(x-2)(x-2)(x-2)(x-1)
f(x)
g(x)
Raíz doble Raíz cuadruple
Ralston y Rabinowitz 1978
La derivada tiende a cero cerca de las raíces pares, por
lo que Ralston y Rabinowitz plantean una modificación
en el método de Newton-Raphson,
Donde m es la multiplicidad de la raíz (m = 3, raíz triple)
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑚
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓´(𝑥𝑖)
Otra alternativa planteada por Ralston y Rabinowitz
consiste en definir una nueva función u(x)
𝑢 𝑥 =
𝑓(𝑥)
𝑓´(𝑥)
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑢(𝑥𝑖)
𝑢´(𝑥𝑖)
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓 𝑥𝑖 𝑓´(𝑥𝑖)
𝑓´(𝑥𝑖 )
2 − 𝑓 𝑥𝑖 𝑓"(𝑥𝑖)
METODO DE PUNTO FIJO O DE 
PICARD
Dada una ecuación f(x) = 0, podemos transformarla en
otra equivalente del tipo x = g(x) para alguna función g.
En este caso se tiene que: a es raíz de f(x) = 0 ↔ f(a) =
0 ↔ a = g(a) ↔ a es raíz de x = g(x).
Ejemplo: Sea la función f(x) = x3 + x – 2, hallar los
diferentes g(x) a partir de f(x)
g1(x) = 2 – x
3
g2(x) =
2
𝑥2+1
g3(x) =
3
2 − 𝑥
La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante
la fórmula de iteración:
g(x) x
Ejemplo:, utilizando los diferentes g(x) hallados en el 
ejemplo anterior.
Teorema de punto fijo
Si g es una función continua en [a,b] y g(x)  [a, b] para
todo x  [a, b], entonces g tiene por lo menos un
punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para
todo x  [a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x  [a,
b], K constante, entonces g tiene un único punto
fijo x  [a, b].
Q, caudal
Ac, área de la sección transversal
B, ancho de la superficie.
Q =
𝑔 𝐴𝑐3
𝐵
Ejemplo: Hallar la raíz de f(x)=x3 + x – 2, utilizando el
método de Punto Fijo, con los que se propone.
a) g1(x) = 2 – x
3  g´(x) = -3x2
b) g2(x) =
2
𝑥2+1
 g´(x) =
−4𝑥
𝑥2+1 2
c) g3(x) =
3
2 − 𝑥 g´(x) =
−1
3
3
2−𝑥 2
El comportamiento de los esquemas de punto fijo
puede variar ampliamente desde la divergencia, lenta
convergencia, a la rápida convergencia.
La vía más simple (aunque no más general) de
caracterizar el comportamiento de la iteración de
punto fijo es considerar la derivada de g en la
solución x*.
Si x* = g(x*) y |g’(x*)| < 1, entonces el esquema es
localmente convergente. Es decir, existe un intervalo
conteniendo x* tal que el correspondiente esquema
iterativo es convergente si comienza dentro del
intervalo.
ACELERADOR DE AITKEN
Es un método de aceleración de la convergencia.
Lleva el nombre de Alexander Aitken, quien
introdujo este método en 1926. Cuando se aplica el
método de Aitken a una sucesión obtenida
mediante una iteración de punto fijo se conoce
como método de Steffensen. No es útil para el
método de la bisección.
Dada una sucesión x ={xn}nN, se calcula una nueva
sucesión en base a la anterior sucesión
hallada por un método que puede ser secante,
Newton Raphson, punto fijo, etc.
 𝑥 = 𝑥𝑛 𝑛𝜖𝑁
Ejemplo: Hallar la raíz de f(x) = cos(x) – x, utilizando el 
método de Steffensen
Los estándares internacionales (norma UNE 149201:2008)
para el cálculo de tuberías y diseño de equipos de
transporte de fluidos, exigen el uso de la ecuación de
Colebrook-White (CW) para hallar el factor de fricción f,
Hallar el factor de fricción (f) con un error menor a 10-5, 
utilizando el método de Steffensen, donde,
Rugosidad relativa, /D = 0.0001
Número de Reynolds, Re = 5781.66502
Solucion: f = 0.03599549