Enunciados de los Problemas de Superficie Piramidal

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2020 – II 2do Material de Estudio 
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 - 
 
GEOMETRÍA 
 
 
SUPERFICIE PIRAMIDAL 
PIRÁMIDE Y TRONCO DE PIRÁMIDE 
 
 
25. V–ABCD es una pirámide regular en 
la cual las regiones AVC y ABCD son 
equivalentes. Si la distancia de B a 
VD es 4 2 cm , entonces el volumen 
(en cm3) del sólido piramidal es 
 
A) 
40 10
3
 B) 
40 10
7
 
C) 
40 10
9
 D) 
40 10
11
 
E) 40 10 
 
26. Dada una pirámide triangular O-ABC, 
por M ( )M OC , se trazan planos 
paralelos a las caras ABC y AOB 
determinándose dos pirámides 
parciales de volúmenes V1 y V2. 
Calcule el volumen del sólido 
piramidal O–ABC. 
 
A) ( )
3
3 3
1 2V V+ B) ( )
3
3 3
1 2V V− 
 
C) 1 2
V V
2
+ 
 
 
 D) 1 2
V V
2
− 
 
 
 
E) 1 2
V V
3
+ 
 
 
 
 
27. El volumen del sólido determinado 
por una pirámide triangular es V. 
Halle el volumen del sólido 
determinado por la pirámide cuyos 
vértices son los baricentros de las 
caras de la pirámide inicial. 
A) 
V
27
 B) 
V
64
 C) 
V
125
 
D) 
V
8
 E) 
V
216
 
 
28. En una pirámide A–BCD, las aristas 
BD y AC son perpendiculares. Si 
AB = 4 u, BC = 3 u y AD = 5 u, 
entonces la longitud (en u) de CD. 
 
A) 2 B) 2 2 C) 3 2 
D) 4 E) 4 2 
 
29. La altura de una pirámide mide 8 u. 
Halle la distancia (en u) del vértice a 
un plano paralelo a la base que 
determina dos sólidos equivalentes. 
 
A) 
3 4 B) 32 4 C) 33 4 
D) 
34 4 E) 35 4 
 
30. Si el volumen del solido determinado 
por una pirámide triangular es V u3, 
entonces el volumen (en u3) del sólido 
poliédrico que tiene por vértices los 
puntos medios de los lados de cada 
cara es 
 
A) 
V
2
 B) 
V
3
 C) 
V
4
 
D) 
V
5
 E) 
V
6
 
 
31. La altura de una pirámide mide h 
unidades. ¿A qué distancia (en u) del 
vértice se debe trazar un plano 
paralelo a la base para que los 
sólidos resultantes sean 
equivalentes? 
 
A) 
h
2
 B) 
h
3
 C) 
h
4
 
D) 
3
h
2
 E) 
h
2
 
 
 
 
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CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 2 - 
32. Indique el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
 
I. En una pirámide O–ABC el 
ángulo poliedro de vértice O es 
trirrectángulo, entonces la altura 
OH interseca a la base en el 
ortocentro. 
II. En una pirámide O–ABC, 
OA OB OC  , entonces la 
altura OH interseca a la base en 
el incentro. 
III. En una pirámide O–ABC, los 
ángulos diedros determinados por 
cada cara lateral y la base son 
congruentes, entonces la altura 
OH interseca a la base en el 
circuncentro. 
 
A) FVV B) VFF C) VFV 
D) VVF E) FFV 
 
33. En una pirámide O–ABC, 
OA = OB = OC = , AB c= ; BC a= 
y AC b= . Si G es el baricentro de la 
región triangular ABC, demuestre que 
 
 
2 2 2
2 2 a b cOG
9
 + +
= −  
 
 
 
 
34. En un tetraedro regular, el radio de la 
superficie esférica tangente a las 
aristas mide R, entonces el volumen 
del sólido limitado por el tetraedro es 
 
A) 
36 R
5
 B) 
33 R
8
 C) 
38 R
3
 
D) 
38 R
5
 E) 
37 R
3
 
 
 
 
35. En una pirámide cuadrangular 
regular, el punto medio de la altura 
dista de una cara lateral y de una 
arista lateral 3 u y 4 u 
respectivamente. Calcule la longitud 
(en u) de la altura de la pirámide. 
 
A) 9 3 B) 10 2 C) 11 2 
D) 12 2 E) 13 2 
 
36. En un tetraedro O–ABC, el ángulo 
poliedro en O es trirrectángulo. 
Demuestre que: 
 
2 2 2 2
ABC AOB BOC AOCS S S S= + + 
 
36a. La suma de los cuadrados de las 
longitudes de todas las aristas de una 
pirámide regular triangular es P. 
Determine el máximo valor del área 
lateral de la pirámide. 
 
A) 
P 3
3
 B) 
P 2
4
 C) 
P 5
10
 
D) 
P 5
5
 E) 
P 5
4
 
 
37. La base de una pirámide M–ABCD es 
una región cuadrada y MB es la 
altura de la pirámide. Si el volumen 
del sólido limitado por la pirámide es 
9 cm3, entonces el mínimo valor 
(en cm) de la longitud de MD es 
 
A) 
3
2
 B) 3 C) 2 3 
D) 3 3 E) 4 3 
 
38. Las caras laterales de una pirámide 
triangular son perpendiculares dos a 
dos y las áreas de las caras laterales 
son S1, S2 y S3. Demuestre que el 
volumen del sólido limitado por la 
pirámide es 
 
 1 2 3
1
V 2S S S
3
= 
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39. El lado de la base de una pirámide 
triangular regular mide a, la distancia 
de un vértice de la base a la cara 
lateral opuesta mide b. Demuestre 
que el volumen del sólido limitado por 
la pirámide es 
 
 
3
2 2
a b
V
12 3a 4b
=
−
; 3a2 > 4b2 
 
40. En una pirámide cuadrangular regular 
el punto medio de la altura dista de 
una arista y cara lateral a y b (a > b). 
Demuestre que el área de la 
superficie lateral y el volumen del 
sólido limitado por la pirámide regular 
son: 
 
2
L
2 2
4 2a b
S
a 2b
=
−
 y 
( )
3 3
3/2
2 2
16a b
V
a 2b
=
−
 
 
41. En un tronco de pirámide regular 
ABC–EFGH la m FHD 45 = . 
Determine la razón entre el área de la 
región trapecial BDHF y el área lateral 
de dicho tronco. 
 
A) 
3
4
 B) 
3
6
 C) 
2
6
 
D) 
3
4
 E) 
2
8
 
 
42. El volumen del sólido limitado por la 
pirámide V–ABC es V0, se ubican los 
puntos M y D en AV y VC , 
respectivamente, Si AM = MV y 
VD = 2(DC), entonces el volumen del 
sólido determinado por el tronco de 
pirámide MDBAC es 
 
A) 0
V
2
 B) 0
V
3
 C) 0
2V
3
 
D) 0
2V
9
 E) 0
3V
5
 
 
43. En un tronco de pirámide 
A 'B 'C' ABC− de bases paralelas, los 
volúmenes de los sólidos poliédricos 
ABCC' y A 'B 'C' A son V1 y V2. 
Halle el volumen del sólido 
determinado por ABC'B ' . 
 
A) 1 2V .V B) 
1 2V .V
2
 
C) 1 2
V .V
3
 D) 1 2
V .V
5
 
E) 1 2
V .V
7
 
 
44. En un tetraedro regular al unir los 
puntos medios de todas las aristas, 
se determina un poliedro que limita un 
volumen V. Calcule el volumen del 
sólido limitado por el tetraedro. 
 
A) 
V
2
 B) V C) 
3
V
2
 
D) 2 V E) 2,5 V 
 
45. Las aristas básicas de un tronco de 
pirámide cuadrangular regular de 
bases paralelas miden 4 y 
8 m respectivamente. Si el tronco es 
circunscriptible a una superficie 
esférica, entonces el volumen (en m3) 
del sólido limitado por el tronco es 
 
A) 
440 2
3
 B) 
442 2
3
 
C) 
444 2
3
 D) 
446 2
3
 
E) 
448 2
3
 
 
 
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46. En un tronco de pirámide regular 
ABCD–EFGH de bases paralelas, 
AC = 2a, EG = 3a y DH = a. Halle 
el volumen del sólido determinado por 
dicho tronco. 
 
A) 
319a 3
12
 B) 
319a 3
11
 
C) 
319a 3
10
 D) 
319a 3
9
 
E) 
19a3√3
8
 
 
 
47. En una pirámide M–ABC se traza un 
plano oblicuo que interseca a MA en 
E, a MB en F y MC en Q. Si 
AE = 3(EM), MF = FB, MQ = 4(QC) y 
VM–EFQ = V, entonces el volumen del 
sólido limitado por M–ABC es 
 
A) 12 V B) 10 V C) 8 V 
D) 6 V E) 5 V 
 
48. Se trazan dos planos paralelos a una 
pirámide que trisecan a todas las 
aristas. Si el volumen del sólido 
limitado por la menor pirámide es V, 
calcule el volumen del sólido 
determinado por el mayor tronco que 
tiene por bases, la base y el plano 
paralelo a esta base. 
 
A) 13 V B) 15 V C) 18 V 
D) 19 V E) 21 V