PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-87

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K 25- Se da un decágono de lado DB inscrito en una circunferencia de diámetro FD. Se traza el lado
AD de un pentágono inscrito en dicha circunferencia. Por B se traza BE paralela a FD, que corta en
C a AD. Siendo 1 el radio de la circunferencia, calcular el área del triángulo ABC y el volumen que
engendra al girar alrededor de FD.
Solución:
F N’ O N P Q D
E H’ M H C B
AI
G
F N’ O N P Q D
E H’ M H C B
AI
G
El lado del decágono regular convexo es IA  BD  5 − 12 . El lado del decágono regular
estrellado es EB  5  12 . La apotema del decágono regular convexo es OG 
10  2 5
4 , y
la del estrellado es OM 
10 − 2 5
4 .
Luego AH  MG  OG − OM 
10  2 5 − 10 − 2 5
4 .
Además, 2  HB  EB − IA  1, HB  12 , 2  ND  2 −
5 − 1
2 , ND 
5 − 5
4 .
Los triángulos AHC y AND son semejantes, de donde HC  ND  AHAN 
5 − 2 5
2 . Luego
CB  HB − HC  5 − 2. Por tanto la superficie del triángulo ABC es
SABC  12  BC  AH 
5 − 2 10  2 5 − 10 − 2 5
8 . El volumen V pedido es igual a
V1 − V2 − V3, siendo V1 el volumen del tronco de cono engendrado por AB, V2 el volumen del
tronco de cono engendrado por AC, y V3 el volumen del cilindro engendrado por BC. Como
V1 
 5  5
24 , V2 
 15 − 5 5
24 , V3 
 7 5 − 15
8 , se tiene que:
V 
 35 − 15 5
24 .
K 26- Se da un prisma triangular recto ABCA′B′C ′, siendo G y G ′ los centros de gravedad de sus
bases. Sea PQ un segmento cualquiera en el espacio. Se unen los puntos P y Q con los vértices del
prisma, formándose tres tetraedros PQAA′, PQBB′ y PQCC ′. Calcular la suma de los volúmenes de
estos tres tetraedros en función del volumen del tetraedro PQGG ′.
Solución:
P
Q
A1
B1
C1G1
d1
d2
d3
dg
P
Q
A1
B1
C1G1
d1
d2
d3
dg
Sean: a, la arista lateral del prisma, que es igual a GG ′; , el ángulo que forman estas aristas y GG ′
con PQ; d1, d2 y d3, las mínimas distancias entre PQ y las tres aristas laterales; g, la mínima
distancia entre GG ′ y PQ. La suma V de los volúmenes de los tres tetraedros, es
a
6  PQ  sin  d1  d2  d3, y el volumen v del tetraedro PQGG
′ es a6  PQ  sin  g. Los
puntos A1, B1, C1 y G1, pies de las mínimas distancias trazadas, son coplanarios pues todos se
hallan en el plano que pasa por PQ y es perpendicular a las aristas laterales y a GG ′. Como G1 es
el centro de gravedad del triángulo A1B1C1, se tiene que 3g  d1  d2  d3. Por tanto V  3v.
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K 27- Se considera un cono de revolución de vértice V, altura h, y radio de la base R. 1º) Determinar
en el círculo de la base una cuerda AB tal que el área S del triángulo AVB venga dada en función de
la distancia x del centro O de la base a AB. 2º) Determinar los lados y los ángulos del triángulo
AVB para que su área sea mínima.
Solución:
V
A
O
H
B
V
A
O
H
B
1º) El área del triángulo AVB es SAVB  AH  VH  R2 − x2  h2  x2 , de donde se obtiene
que: x 
R2 − h2  R2  h22 − 4S2
2 . 2º) Para que S sea mínimo, también lo será el valor de
S2  R2 − x2h2  x2, es decir cuando R2 − x2  h2  x2, de donde x  R
2 − h2
2 .
Por tanto: S  R
2  h2
2 , AB  2R
2  h2 , y VA  VB  R2  h2 . Los ángulos miden
VAB  VBA  45º, AVB  90º.
K 28- Calcular los ángulos de un trapecio y el volumen engendrado por él al girar alrededor de su base
mayor, sabiendo que esta mide 1m, que las diagonales miden también 1m, y que la base menor es
igual al lado oblicuo.
Solución:
A B
CD L
A B
CD L
El trapecio ha de ser isósceles, como también los triángulos BDC y ACD, luego
CBD  BCD  ADC  ACD   y ABD  BAC  . En el triángulo ABC se tiene
        180º, y en el triángulo CBD se tiene      −   180º, de donde   72º y
  36º. Por tanto los ángulos del trapecio miden C  D  72º y A  B  108º. Por ser
BDC  72º, el lado BC es el de un decágono regular de radio 1, es decir
AB  BC  AD  5 − 12 , y BL es la mitad del lado del pentágono, o sea
10 − 2 5
4 . Por
tanto LC  BC2 − BL2 
14 − 6 5
4 . El volumen se compone de dos conos iguales de altura
LC y radio de la base BL, y de un cilindro de radio BL y altura AB. Luego el volumen pedido es:
V  23 
10 − 2 5
16 
14 − 6 5
4   
10 − 2 5
16 
5 − 1
2 
5 5 − 1
24 .
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K 29- Se da una pirámide VABCD, de vértice V, cuya base es un cuadrado de centro O y lado a. La
proyección H de V sobre la base es el punto medio de OD. El ángulo CVD es recto. 1º) Calcular la
altura h  VH y las cuatro aristas laterales. 2º) Por un punto K entre V y H, se traza un plano
paralelo a la base, que corta a la pirámide según un cuadrado MNPQ. Se considera el tronco de
pirámide que tiene por bases ABCD y MNPQ. Expresar en función de a y de VK  x, el área total S
del tronco de pirámide y el volumen V de la pirámide de vértice C y base MNPQ.
Solución:
V
A B
CD
H
O
M
N
PQ
K
V
A B
CD
H
O
M
N
PQ
K
1º) BD  AC  a 2 , OD  a 22 , HD  HO 
a 2
4 , HB 
3a 2
4 , HA  HC  a
5
8 ,
VD  DH2  h2  a
2  8h2
8 , VC  CH
2  h2  5a
2  8h2
8 . Como VD
2  VC2  a2,, se
tiene que h  a 24 , VD 
a
2 , VC  VA 
a 3
2 , VB 
a 5
2 . 2º)
VK
VH 
x
h 
2 2 x
a . Luego
MN  NP  PQ  QM  2 2 x. La distancia de H a los lados CD y DA es a4 , y a los lados AB y
BC es 3a4 . Luego las alturas de las caras laterales de la pirámide son hAB  hBC 
a 11
4 y
hAD  hDC 
a 3
4 . Por tanto la suma de las áreas de las caras laterales del tronco de pirámide es
2 2 x  a
2 
h − x
h  2
a 11
4 
a 3
4 .
Luego: S  2 2 x  a2 
h − x
h  2
a 11
4 
a 3
4  a
2  8x2.
Como h − xh 
a − 2 2 x
a , S 
4  11  3 a2  8 4 − 11 − 3 x2
4 .
El volumen de la pirámide CMNPQ es: V  8x
2
3  KH 
8x2
3 h − x 
2x2 a 2 − 4x
3 .
K 30- Se da una pirámide cuadrangular regular VABC de lado de la base 4 y altura 8. Se traza la
sección media en la que se inscribe el cuadrado de área mínima. Este cuadrado se toma como base
de otra pirámide regular de altura 8, cuyo vértice se encuentra del mismo lado que V respecto a la
sección media. Se prolonga la superficie lateral de esta última pirámide, hasta cortar a la base de la
dada. Hallar el volumen del tronco de esta segunda pirámide limitado por la citada sección y el
plano de la base de la dada.
Solución: El lado de la sección media es 2, y el lado del cuadrado de área mínima es 2 . Siendo
x el lado del cuadrado de la base mayor del tronco, se tiene 28 
x
12 , luego x 
3 2
2 . El área
de la base mayor es 92 , la de la base menor es 2, y la altura es 4. El volumen pedido es
V  43
9
2  2 
9
2  2 
38
3 .
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