El fin del infinito - Antonio León

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Antonio León
El fin del infinito
Selección de argumentos sobre el infinito matemático
Primera edición 2011. Segunda edición 2013
Tercera edición Septiembre 2014. Salamanca
Impreso en España / Printed in Spain
Printed by Bubok Publishing S.L.
INTERCIENCIA
Registro legal S.C. Cod. 1401099791982
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copia.
Índice general
1. Introducción 1
2. Convenciones 7
3. El infinito actual 9
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Infinito actual y potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
El axioma del infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Cardinales y ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4. Reinterpretación de las paradojas de la reflexividad 21
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
¿Paradojas o contradicciones? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5. Extensión de la Paradoja de Cantor 27
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
La paradoja de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Una extensión de la Paradoja de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6. El siguiente racional 33
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7. La lámpara de Thomson 37
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
La lámpara de Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
La máquina de contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8. Revisión del argumento de Cantor de 1874 47
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Argumento de Cantor de 1874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Versión racional del argumento de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Una variante del argumento de Cantor de 1874 . . . . . . . . . . . . . . 52
9. Intercambios numéricos 57
ω -Intercambios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Argumento de la supertarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Argumento Modus Tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
La alternativa del infinito potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10.La diagonal de Cantor 61
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Teorema del n-ésimo decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Cantor contra Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Antidiagonales racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Un nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
11.Intervalos racionales 69
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
iii
iv —— Índice general
Una partición cantoriana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Un intervalo racional menguante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
12.Particiones no contables 75
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
La prueba de Cantor de 1885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Particiones en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
13.Cajas y conjuntos 81
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Vaciando cajas y conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Capturando una falacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Magia infinitista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
14.Una fuente irracional de números racionales 87
Números n-expofactoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Una fuente irracional de números racionales . . . . . . . . . . . . . . . 89
Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Eṕılogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
15.Substracción de cardinales 97
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Problemas con la sustracción de cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . 98
El argumento de Faticoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
16.Alef-cero 103
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
El menor cardinal transfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
17.Singularidades aritméticas de alef zero 109
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
¿Es ℵo un número primo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Alef-cero y la potencia del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
18.Reinterpretación del teorema de la reordenación de Riemann 119
Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
19.Inconsistencia de los conjuntos anidados 123
Teorema de la intersección vaćıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Inconsistencia de los conjuntos anidados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
20.Dicotomı́as de Zenón 131
Definiciones introductorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Dicotoḿıa II de Zenón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Dicotoḿıa I de Zenón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
21.La máquina de Hilbert 137
El Hotel de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
La contradicción de la máquina de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
22.Curvas de Jordan infinitas 143
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Partición infinita de una curva de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
23.Infinito uno a uno 147
El sistema de numeración unario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
La tabla monaria de los números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Índice general —— v
24.Temporizando el infinito 155
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Definiciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Una definición conflictiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
25.Divisibilidad del espaciotiempo 159
El menor ordinal infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Dicotoḿıas del espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Divisibilidad del espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Apéndices
A. El problema del cambio 169
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
El problema del cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Un modelo discreto: autómatas celulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
B. Sugerencias para una teoŕıa natural de conjuntos 179
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Una definición natural de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Conjuntos y números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Conjuntos potencialmente infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
C. Platonismo y bioloǵıa 191
Los seres vivos como objetos extravagantes . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Conocimiento abstracto y bioloǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Referencias 207
Índice alfabético 209
vi
1.-Introducción
Algunos de los problemas más relevantes de la filosof́ıa contemporánea
fueron ya planteados por los filósofos presocráticos en el siglo VII a.C. (en
parte quizá sugeridos o directamente tomados de los precedentes culturales
desarrolladas en las culturas neoĺıticas fluviales.1) Entre esos problemas,
hay tres que merecen especial consideración: el problema del cambio, el
infinito, y la autorreferencia. El primero de ellos es sin duda el más dif́ıcil,
y al mismo tiempo el más relevante, de los problemas planteados por el
hombre. Resulta por eso sorprendente la poca atención que se presta en la
actualidad a ese fascinante problema, especialmente si se la compara con
la atención prestada a los otros dos.
Después de más de veinte siete siglos, el problema del cambio sigue sin
resolverse. A pesar de su aparente simplicidad, nadie ha sido capaz de ex-
plicar, por ejemplo, cómo se realiza un simple cambio de posición. La f́ısica,
la ciencia del cambio (la ciencia de la sucesión regular de eventos, como
Maxwell la llamó [127, pág. 98]) parece haber olvidado su problema más
fundamental. A su vez, algunos filósofos como Hegel2 defendieron que el
cambio es un concepto inconsistente; mientras que otros, como McTaggart,
llegaron a la misma conclusión que Parménides [147] sobre la imposibili-
dad de cambio [132]. Quizás la (aparente) insolubilidad del problema del
cambio tenga que ver con el continuum espaciotiempo donde todas las solu-
ciones han sido buscadas. Como se muestra en el Apéndice A, el problema
del cambio podŕıa encontrar una solución en el marco de un espaciotiempo
discreto.
Mientras que el cambio es una caracteŕıstica evidente de nuestro universo
en continua evolución, tanto el infinito como la autorreferencia son nociones
teóricas, sin relación aparente con el mundo natural. Cantor y Gödel (los
pŕıncipes del infinito y la autorreferencia respectivamente) fueron dos en-
1[21], [169], [144], [183]
2[96], [98], [133], [146], [158], [196]
1
2 —— Introducción
tusiastas platónicos de escasa devoción a las ciencias naturales y de enorme
influencia en las matemáticas contemporáneas.3 Para ilustrar las profundas
convicciones teoplatónicas de Cantor, recordemos algunas de sus palabras:
. . . en mi opinión la realidad y absoluta legalidad de los núme-
ros enteros es mucho mayor que la del mundo sensorial. El que
aśı sea, tiene una única y muy simple razón, a saber, que los
números enteros existen en el grado sumo de realidad, tanto se-
parados como en su totalidad actualmente infinita, en la forma
de ideas eternas in Intellectus Divinus. ([134]; citado en [76])
. . . yo solo soy un instrumento al servicio del alt́ısimo, un instru-
mento que seguirá actuando mucho después de mı́, de la misma
forma que ya lo hizo antes hace miles de años con Euclides y
Arqúımedes. . . . ([41, pp 104-105])
. . . No puedo referirme a ellos [los átomos] como existentes, ya
sea en concepto o en realidad, no importa cuántas cosas hasta
cierto punto útiles se hayan logrado mediante esa ficción. ([40,
p 78], traducción inglesa [33])
Veintisiete siglos de debates no fueron suficientes para probar la consis-
tencia (o la inconsistencia) de la hipótesis del infinito actual,4 que final-
mente tuvo que ser legitimada por la v́ıa expeditiva de los axiomas.5 Las
matemáticas contemporáneas están fundadas en la creencia de que los con-
juntos infinitos existen como totalidades completas.6
La teoŕıa de conjuntos es una teoŕıa estrictamente infinitista, una teoŕıa
basada en, e inspirada por, la hipótesis del infinito actual. Para Georg
Cantor, uno de sus más relevantes fundadores, el infinito actual no era una
simple hipótesis sino una firme convicción platónica.7 La teoŕıa de con-
juntos contiene, sin embargo, los instrumentos apropiados para poner en
cuestión la consistencia formal de la hipótesis del infinito actual. Aunque
hasta ahora nunca han sido utilizados con esas intenciones cŕıticas. Como
veremos aqúı, ese es el caso de ω, el menor de los ordinales infinitos, y de
las sucesiones y los conjuntos ω−ordenados. En este libro haremos un uso
3Para el caso de Cantor véase [56], [134], [42, pag. 141]; para el de Gödel [81, pags.
235-236], [83, pag. 359], [73], [58] [140], [100], [85]
4La existencia de colecciones infinitas como totalidades completas.
5Axioma del Infinito en las modernas teoŕıas de conjunto, que, en pocas palabras, esta-
blece la existencia de un conjunto infinito numerable.
6Por ejemplo, la lista ordenada de los números naturales existiŕıa como una totalidad
completa a pesar de que ningún último número la complete.
7Tan firme como una roca en las propias palabras de Cantor (carta de Cantor a Heman,
21 de Junio de 1888)
Introducción —— 3
extensivo de ellos.
La auto-referencia en el lenguaje formal y coloquial es también una noción
teórica sobre la que no hay acuerdo general.8 Las paradojas de la autorre-
ferencia han sido y siguen siendo una fuente interminable de discusiones.
Una de esas paradojas, la paradoja del mentiroso,9 conduce (v́ıa Paradoja
de Richard, como el propio Gödel reconoció [82, p. 56]) al célebre primer
teorema de incompletitud de Gödel. Muchos lógicos lo consideran como el
teorema más importante de todos los tiempos. Desde nuestra perspectiva
de las ciencias naturales eso suena algo exagerado.
Por decirlo en pocas palabras, heredamos de los presocráticos, entre otras
cosas, un desaf́ıo prometedor (el problema del cambio) y dos conceptos
cuestionables (la autorreferencia y el infinito actual). Con el paso del tiem-
po hemos ido olvidando el desaf́ıo y convirtiendo al infinito y a la auto-
rreferencia en pilares fundamentales e incuestionables de la lógica y de las
matemáticas contemporáneas. No todo el mundo está de acuerdo con esa
elección, aunque la cŕıtica militante es casi inexistente. Este libro está prin-
cipalmente dedicado a poner en cuestión el más molesto de esos conceptos:
el infinito actual.
Debemos recordar en este momento que la ciencia es excesivamente auto-
reverente y escasamente autocŕıtica. Poner las convicciones y los intereses
personales en frente del conocimiento objetivo de la realidad resulta más
frecuente de lo que se podŕıa esperar. En esas condiciones, no es fácil poner
en cuestión un supuesto fundamental bien asentado, incluso si ese supuesto
es sospechoso de ser inconsistente. En mi opinión el Axioma del Infinito es
uno de esos supuestos fundacionales inconsistentes.
Las consecuencias de las matemáticas infinitistas son desastrosas porque
promueven un modelo analógico, y por tanto continuo, del mundo f́ısico
que está claramente en conflicto con la naturaleza digital revelada hasta
ahora por todas las observaciones f́ısicas: materia ordinaria, part́ıculas ele-
mentales, enerǵıa, cargas eléctricas y no eléctricas, parecen ser todas ellas
entidades discretas con mı́nimos indivisibles. Es sorprendente la guerra de
los f́ısicos contra los infinitos. Pagan un alto precio en la forma de intermi-
nables y tediosos cálculos para conseguir librarse de ellos. Mientras que, por
otra parte, no dedican ni un solo minuto de su tiempo a poner en cuestión
8Además de lenguaje y metalenguaje (lenguaje sobre el lenguaje) tendŕıamos también
auto-lenguaje,el lenguaje hablando autónomamente de śı mismo.
9En términos informales: Esta frase es falsa.
4 —— Introducción
la consistencia formal de la hipótesis del infinito actual que los fundamenta.
Gracias a la supuesta existencia del infinito actual, las ciencias experimen-
tales se ven obligadas a explicar un realidad que parece ser esencialmente
discreta por medio de matemáticas indiscretas. Una tarea que podŕıa ser
imposible en ciertos niveles básicos donde la discreción resulta esencial,
como es el caso del nivel cuántico. La tragedia del infinito es que no hemos
desarrollado unas matemáticas discretas adecuadas para explicar un mun-
do que parece ser esencialmente discreto. Incluso las matemáticas discretas
que hemos desarrollado se han desarrollado en términos de matemáticas
indiscretas. Aparte de ciertas aplicaciones particulares, las matemáticas
discretas suelen interpretarse como meras aproximaciones del verdadero
mundo continuo de las matemáticas infinitistas. El problema es que no
parece existir ningún mundo continuo.
En cualquier caso, la hipótesis del infinito actual es sólo una hipótesis, y
uno tiene el derecho y el deber de ponerla en cuestión. Ese es el objetivo
principal de este libro. Una colección de argumentos cŕıticos sobre la hipóte-
sis del infinito actual desarrollados durante los últimos veinte años. Cada
caṕıtulo consta de un argumento completo e independiente, por lo que
pueden ser léıdos en cualquier orden.10 Incluye también tres apéndices, el
primero trata sobre el problema del cambio para ilustrar las consecuencias
de asumir la existencia del continuum espaciotiempo. El segundo introduce
una alternativa no platónica a las actuales teoŕıas de conjuntos. El tercero
es una breve cŕıtica del esencialismo platónico (la cuna del infinito actual)
desde la perspectiva de la bioloǵıa contemporánea.
Aunque las discusiones sobre el infinito matemático pueden parecer in-
timidantes al lector no especializado, este libro es cualquier cosa menos
intimidante. Es un libro de ciencia básica. La ciencia que se aprende y se
enseña en el bachillerato y primeros cursos de la Universidad. El problema
es que se aprende y se enseña como una especie de catecismo libre de toda
cŕıtica. La ciencia básica raramente se pone en tela de juicio porque los
cient́ıficos trabajan algunos pasos más allá. Pero la ciencia básica también
debe ser, al menos periódicamente, cuestionada. Como ya se ha indicado,
aqúı cuestionamos una de sus hipótesis básicas, la hipótesis del infinito
actual.
10Obviamente, la independencia de los caṕıtulos tiene un coste narrativo en términos de
un excesivo número de repeticiones en el texto, por las que pido disculpas.
Convenciones —— 5
En la mayoŕıa de los caṕıtulos, el infinito en cuestión será el infinito nu-
merable (el más pequeño de los infinitos11) subsumido en el Axioma del
Infinito. Pero también el infinito que legitima las sucesiones de infinitos
crecientes12. Por lo tanto, demostrar la inconsistencia del menor de los in-
finitos implica la invalidación de todos los demás.
Existe un acuerdo general en que una contradicción es suficiente para de-
mostrar la inconsistencia de la hipótesis de la que se deducen los resultados
contradictorios. Excepto en el caso del infinito actual. Y esto no es una bro-
ma: en palabras de Cantor, algunas totalidades infinitas son inconsistentes
debido a su excesiva infinitud [33]. Una razón adicional para tratar exclu-
sivamente con el menor de los infinitos.
11El infinito del conjunto de los números naturales.
12La sucesión de los alefs: ℵo, ℵ1, ℵ2 . . . , y la de las potencias ℵo, 2
ℵo , 22
ℵo
. . .
6 —— Introducción
2.-Convenciones
1 Para facilitar las discusiones, todos los párrafos de este libro apare-
cerán numerados consecutivamente (como este mismo). Los párrafos serán
referidos mediante sus correspondientes números sin paréntesis, tal como
aparecen al principio de cada párrafo. Por la misma razón todas las ecua-
ciones serán numeradas consecutivamente dentro de cada caṕıtulo, aun-
que en este caso los números irán entre paréntesis y a la derecha de cada
ecuación. Para referirnos a las ecuaciones usaremos sus correspondientes
números entre paréntesis.
2 Los teoremas, definiciones, conclusiones, etc serán numerados con el
mismo número del párrafo en el que son enunciados. Por ejemplo, si un
teorema se enuncia en el párrafo 153 nos referimos a él como Teorema 153.
3 La mayoŕıa de las sucesiones y conjuntos que usaremos serán ω−or-
denados (como la sucesión 1,2,3, . . . de los números naturales en su orden
natural de precedencia). En unos pocos casos serán ω∗−ordenados (como
la sucesión creciente de los enteros negativos . . . -3, -2, -1). En muchos
argumentos también haremos uso de sucesiones de instantes dentro de
intervalos finitos de tiempo, esas sucesiones serán siempre estrictamente
crecientes y convergentes, siendo siempre el ĺımite de la sucesión el extremo
derecho del correspondiente intervalo de tiempo.
4 En la mayoŕıa de los casos se utilizará la palabra ’numerable’ para
referirnos a la infinitud del conjunto N de los números naturales y a la de
cualquier otro conjunto o sucesión que se puede ponerse en correspondencia
uno a uno con N. La palabra ’enumerable’ también se puede utilizar con
el mismo significado. Aunque la palabra ’contable’ suele ser usada para
referirse a conjuntos finitos o infinitos numerables, aqúı no la utilizaremos
con el fin de evitar confusiones. Por último, los términos ’no-contable’ o
’no-numerable’ se utilizarán para referirse a los infinitos mayores que el
infinito numerable.
5 En todos las discusiones y argumentos, el tiempo y la distancia se su-
7
8 —— Convenciones
pondrán eucĺıdeas. Todas las supertareas se supondrán realizadas en un
intervalo finito de tiempo (ta, tb), las sucesivas acciones ai de cada super-
tarea se supondrán realizadas en los sucesivos instantes ti, y solo en ellos,
de una sucesión ω−ordenada y estrictamente creciente de instantes 〈tn〉
dentro del intervalo (ta, tb), siendo tb el ĺımite de la sucesión.
6 Huelga decir que todos los argumentos de este libro son de carácter con-
ceptual, incluso cuando hagan uso de artefactos materiales como máquinas,
cajas, bolas y cosas similares, todas las cuales deberán ser entendidas como
dispositivos teóricos para facilitar las discusiones.
3.-El infinito actual
Introducción
7 Este libro se ocupa exclusivamente del infinito actual, aunque algunas
referencias al infinito potencial serán inevitables. Empezaremos entonces
introduciendo la distinción entre el infinito actual y el potencial. Una vez
introducida, definiremos el infinito actual en términos conjuntistas y la
distinción entre cardinales y ordinales infinitos. Eso es todo lo que nece-
sitamos para seguir los argumentos sobre la hipótesis de infinito actual
que se exponen en el resto del libro. La mayoŕıa de esos argumentos están
relacionados con ω, el menor de los ordinales infinitos; el ordinal del con-
junto N de los números naturales en su orden natural de precedencia: N
={1, 2, 3, . . . } (véase más abajo).
8 ’Infinito’ es una palabra común que usamos para referirnos a la cali-
dad de ser enorme, inmenso, ilimitado etc. En este sentido, y de acuerdo
con Gauss1 el infinito es una manera de hablar. Pero la palabra ’infinito’
también tiene un significado matemático preciso: un conjunto es infinito
si se puede poner en correspondencia uno a uno con alguno de sus sub-
conjuntos propios. Esta es la conocida definición de Dedekind que, junto
con los trabajos de Cantor sobre los números transfinitos, inauguraron la
moderna matemática transfinita a finales del siglo XIX. Aunque la historia
del infinito matemático hab́ıa comenzado veintisiete siglos antes.
9 Afortunadamente existe una excelente literatura sobre la historia delinfinito,2. No daré ni siquiera un sumario de esa historia, aunque podŕıamos
elegir arbitrariamente tres de sus protagonistas más relevantes como refe-
rencias históricas:
1) Zenón de Elea (490-430 A.C.), filósofo presocrático que utilizó por
primera vez el infinito matemático para defender la tesis de Par-
ménides sobre la imposibilidad de cambio. Sabemos del trabajo
1C.F. Gauss, carta al astrónomo H.C. Shumacher, 12 de julio de 1831
2Por ejemplo: [208], [124], [171], [22], [163], [50], [116], [135], [138], [110], [111], [1], [136],
[49], [197], [14].
9
10 —— El infinito actual
de Zenón (cerca de cuarenta argumentos, incluyendo sus famosas
paradojas contra la posibilidad de cambio [2], [51]) a través de
su doxógrafos (Platón, Aristóteles, Diogenes Laertius o Simplicius
[51]). El infinito en los argumentos de Zenón parece ser el infini-
to actual y contable, aunque obviamente Zenón no está haciendo
matemáticas infinitistas sino argumentaciones lógicas en las que
aparecen colecciones infinitas de puntos y de instantes. Los argu-
mentos de Zenón funcionan correctamente sólo si esas coleccio-
nes se consideran como totalidades infinitas completas (véase el
Caṕıtulo 20 sobre las Dicotomı́as de Zenón).
2) Aristóteles (384-322 A.C.), uno de los pensadores más influyentes
en la cultura occidental. Filósofo y naturalista, introdujo la no-
ción de correspondencia uno a uno precisamente cuando trataba
de resolver algunas de las paradojas de Zenón. Luego introdujo
la distinción fundamental entre el infinito potencial y el infini-
to actual, que aqúı analizaremos en términos conjuntistas en la
siguiente sección.
3) Georg Cantor (1845-1918), matemático alemán cofundador, junto
con R. Dedekind y G. Frege, de la teoŕıa de conjuntos. Su trabajo
sobre los números transfinitos (cardinales y ordinales) fundamen-
ta las modernas matemáticas transfinitas. Cantor inauguró el lla-
mado paráıso del infinito actual en el que, según D. Hilbert, los
infinitistas habitarán para siempre.
10 De Zenón a Aristóteles el único infinito fue el infinito actual, aun-
que esa noción estaba lejos de ser claramente establecida. De Aristóteles
a Cantor encontramos defensores de ambos tipos de infinitos (actual y
potencial) aunque con una cierta hegemońıa del infinito potencial, parti-
cularmente desde el siglo XIII, una vez que Aristóteles fue ’cristianizado’
por los escolásticos medievales. En esos tiempos preinfinitistas, se pod́ıan
utilizar los mismos argumentos en apoyo de una o de la otra hipótesis (por
ejemplo los argumentos basados en la correspondencia entre los puntos de
una circunferencia y los puntos de uno de sus diámetros). Pero no hay
todav́ıa una teoŕıa del infinito matemático propiamente dicha. La primera
teoŕıa matemática del infinito propiamente dicha aparece al final del siglo
XIX, siendo Dedekind, Bolzano y, especialmente, Cantor, sus creadores
más relevantes. Desde Cantor hasta la actualidad la hegemońıa del infinito
actual ha sido casi absoluta y, además, libre de cŕıticas serias.
Infinito actual y potencial —— 11
Infinito actual y potencial
11 La distinción entre el infinito actual y el infinito potencial la propuso
Aristóteles [11], [10]. La explicaremos a continuación, aunque en los térmi-
nos más modernos de la teoŕıa de conjuntos. Huelga decir que el único
infinito de las matemáticas transfinitas contemporáneas, incluyendo la de-
finición fundacional de Dedekind de los conjuntos infinitos, es el infinito
actual.
12 Considérese la lista ordenada de los números naturales en su orden
natural de precedencia: 1, 2, 3, . . . De acuerdo con la hipótesis del infinito
actual esa lista existe como una totalidad completa, es decir como una
totalidad que contiene en el acto a todos los números naturales. La elipsis
(. . . ) en:
N = {1, 2, 3, . . . } (1)
representa a todos los números naturales. Nótese que la lista ordenada de
los números naturales existe como una totalidad completa a pesar de que
no existe un último número que complete la lista.
13 Para subrayar ese sentido de completitud consideremos la tarea de
contar los números naturales 1, 2, 3,. . . De acuerdo con la hipótesis del
infinito actual es posible contar todos los números naturales en un tiempo
finito realizando la siguiente supertarea:3
Cuéntese cada uno de los sucesivos números naturales 1, 2,
3,. . . en cada uno de los sucesivos instantes t1, t2, t3,. . . de una
sucesión estrictamente creciente de instantes en el intervalo fi-
nito (ta, tb), siendo tb el ĺımite de la sucesión. Por ejemplo la
sucesión clásica:
tn = ta + (tb − ta)
2n − 1
2n
(2)
En esas condiciones, en el instante tb se habrán contado todos los números
naturales. ¡Todos!
14 La tarea anterior de contar todos los números naturales es un ejemplo
de supertarea. Se discutirán más adelante en este libro. Mientras tanto,
nótese que el hecho de emparejar los elementos de dos sucesiones infinitas
no prueba que ambas sucesiones existan como totalidades completas. Las
sucesiones podŕıan ser también potencialmente infinitas.
15 La alternativa a la hipótesis del infinito actual es la hipótesis del infi-
3Un resumen de la noción de supertarea puede verse, por ejemplo, en [154]. Véase también
el caṕıtulo sobre la Lámpara de Thomson en este libro.
12 —— El infinito actual
nito potencial, que rechaza la existencia de totalidades infinitas completas
y por tanto la posibilidad de contar todos los números naturales. Desde
esa perspectiva, los números naturales resultan del proceso interminable
de contar: siempre es posible contar números mayores que cualquier otro
número dado. Pero es imposible completar el proceso de contarlos todos, de
modo que la lista completa de números naturales no tiene sentido alguno.
16 En resumen, la hipótesis del infinito actual establece que las totali-
dades infinitas son totalidades completas, incluso sin que exista un último
elemento que las complete, como es el caso de la lista ordenada de los
números naturales. Desde esta perspectiva, es posible completar una suce-
sión de pasos en los que no existe un último paso que complete la sucesión,
o incluso sin un primer paso que la inicie, como en el caso de las suce-
siones ω∗−ordenadas (véase más abajo), por ejemplo la sucesión creciente
de los enteros negativos . . . , -3, -2, -1. Desde la perspectiva del infinito
potencial ambas posibilidades son imposibles. Desde esta perspectiva, las
únicas totalidades completas son las totalidades finitas. Tan grandes como
se quiera, pero siempre finitas.
17 El infinito potencial (el infinito ’impropio’ o ’no genuino’, como Cantor
lo llamaba [40, p. 70]) nunca ha merecido la atención de los matemáticos
contemporáneos. El infinito en la definición de Dedekind de los conjuntos
infinitos es el infinito actual. Los infinitos elementos de un conjunto infi-
nito existen todos a la vez, como una totalidad completa. La definición de
Dedekind está, por tanto, basada en la violación del viejo axioma eucĺıdeo
del todo y la parte [71]. La teoŕıa de conjuntos se ha construido sobre esa
violación.
18 La hegemońıa del infinito actual en las matemáticas contemporáneas
es casi absoluta. Tan absoluta como la sumisión de la f́ısica a las matemáti-
cas infinitistas. Tengo la impresión de que un número significativo de f́ısicos
creen que se ha demostrado formalmente la existencia de totalidades in-
finitas completas. Obviamente, si ese fuera el caso no seŕıa necesario el
Axioma del Infinito para legitimar esas totalidades (véase más abajo). La
hipótesis del infinito actual es sólo una hipótesis.
19 Las tres pruebas más influyentes sobre la existencia de totalidades
infinitas actuales (las de Bolzano, Dedekind y Cantor) son ilustrativas de
lo que podŕıa llamarse infinitismo naif. También explican por qué las ma-
temáticas infinitistas tuvieronfinalmente que establecer la existencia de
los conjuntos infinitos actuales en términos axiomáticos.
El axioma del infinito —— 13
20 La prueba de Bolzano es como sigue (tomada de [136, p 112]):
Una verdad es la proposición: Platón era griego. Llámese a esta
proposición p1. Pero hay otra verdad p2, a saber, que la propo-
sición p1 es verdadera [Pero hay otra verdad p3, a saber, que la
proposición p2 es verdadera]. Y aśı ad infinitum. Por lo tanto, el
conjunto de las verdades es infinito.
El problema aqúı es que la existencia de un proceso sin fin (p1 es verda-
dera, por tanto p2 es verdadera, por tanto p3 es verdadera, por tanto . . . )
de ninguna manera prueba la existencia de su resultado final como una
totalidad completa.
21 La prueba de Dedekind es muy parecida (tomada de [136, p 113]):
Dado algún pensamiento arbitrario s1, hay un pensamiento in-
dependiente s2, a saber que s1 puede ser objeto del pensamiento
[hay un pensamiento independiente s3, a saber, que s2 puede
ser objeto del pensamiento ]. Y aśı ad infinitum. Por tanto el
conjunto de pensamientos es infinito.
El comentario anterior a la prueba de Bolzano es también aplicable aqúı.
Dedekind dio otra prueba algo más detallada, aunque con el mismo defecto
formal que la se acaba de citar, basada en su definición de conjunto infinito
[59, p. 112].
22 Y finalmente la ’prueba’ de Cantor ([95, p 25], [136, p. 117]):
Cada infinito potencial presupone un infinito actual.
O bien ([38, p. 404] traducción inglesa [164, p. 3]):
... en verdad el infinito potencial tiene solo una realidad prestada
[derivada], en tanto que como tal concepto de infinito potencial
siempre señala a un concepto previo y superior de infinito actual,
de cuya existencia depende.
Queda claro ahora por qué la existencia de un conjunto infinito actual tuvo
que ser finalmente establecida por medio de un axioma.
El axioma del infinito
23 Nada en la naturaleza parece ser realmente infinito. Hasta ahora, todas
las cosas que hemos sido capaces de observar y medir han sido finitas.
Veintisiete siglos de discusiones, por otra arte, no fueron suficientes para
probar la existencia de infinitos actuales. De modo que, finalmente, los
infinitistas no tuvieron más remedio que declarar su existencia en términos
axiomáticos mediante el llamado Axioma del Infinito, uno de los axiomas
fundacionales en todas las teoŕıas axiomáticas de conjuntos (véase más
14 —— El infinito actual
abajo). La teoŕıa de conjuntos es entonces la puerta de entrada del infinito
en las matemáticas contemporáneas.
24 Puesto que los conjuntos estarán presentes en casi todos nuestros ar-
gumentos, parece conveniente hacer la siguiente consideración sobre las
diferentes formas en las que un elemento puede pertenecer a un conjunto.
Solemos asumir que un determinado elemento pertenece o no pertenece a
un conjunto determinado, aunque también podŕıamos considerar los llama-
dos conjuntos difusos [205], [64], cuyos elementos pueden tener diferentes
grados de pertenencia. En este libro, sin embargo, trataremos exclusiva-
mente con la pertenencia completa, i.e con conjuntos cuyos elementos le
pertenecen de forma completa.
25 Dicho lo cual, recordemos que el Axioma del Infinito establece:
∃N(∅ ∈ N ∧ ∀x ∈ N(x ∪ {x} ∈ N)) (3)
que se lee: existe un conjunto N tal que ∅ pertenece a N y para todo
elemento x de N el elemento x ∪ {x} también pertenece a N . De una
forma menos abstracta también se podŕıa escribir:
∃N(0 ∈ N ∧ ∀x ∈ N(s(x) ∈ N)) (4)
donde s(x) es el sucesor de x. En términos aritméticos podŕıamos escribir:
s(0) = 1; s(1) = 2; s(2) = 3; . . . (5)
De modo que, puesto en términos informales, el Axioma del Infinito dice:
existe un conjunto infinito numerable, donde numerable significa que se
puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto N = {1, 2, 3 . . . }
de los números naturales,4 e infinito significa infinito actual: todos los ele-
mentos de ese conjunto existen en el acto.
26 Por innecesario que pueda parecer, debemos recordar que un axioma
es solo un axioma. Es decir, un enunciado que se puede aceptar o recha-
zar. Aunque la elección tendrá consecuencias significativas en la teoŕıa
resultante. En el caso de la hipótesis del infinito actual algunos autores
relevantes como Kronecker, Poincaré, Brouwer, Wittgenstein, Kleene, en-
tre otros, la rechazaron. Otra cosa es la cŕıtica contra el infinito actual
una vez que la teoŕıa de conjuntos quedó axiomáticamente establecida y
formalmente desarrollada. Esa cŕıtica ha sido básicamente inexistente du-
rante los últimos sesenta años, y los pocos intentos que se hicieron fueron
4De dos conjuntos que se pueden poner en correspondencia uno a uno se dice que son
equipotentes.
Cardinales y ordinales —— 15
siempre ingenuos y frecuentemente basados en concepciones equivocadas
de los números transfinitos.
Cardinales y ordinales
27 Por la misma razón que necesitamos axiomas y leyes fundamentales
en la ciencia,5 también necesitamos conceptos primitivos en el lenguaje,
es decir, conceptos que no pueden ser definidos en términos de otros con-
ceptos, sin caer en definiciones circulares (los diccionarios son finitos). La
mayoŕıa de los conceptos matemáticos básicos pertenecen a esta categoŕıa:
número, punto, ĺınea, plano, conjunto, y algunos otros. Por lo tanto, decir
que el cardinal de un conjunto es el número de sus elementos es no decir
nada. No obstante, todo el mundo sabe lo que queremos decir cuando de-
cimos que el conjunto {a, b, c} tiene tres elementos, o que su cardinal es
tres. Incluso lo que queremos decir cuando decimos que el cardinal de un
conjunto numerable, como el conjunto N de los números naturales, es ℵo
(Alef-cero).
28 Aunque en términos informales, diremos que el cardinal C de un con-
junto X es el número de sus elementos; en śımbolos C = |X|. Por razones
obvias, los cardinales de los conjuntos finitos se llaman finitos, y los cardi-
nales de conjuntos infinitos se denominan infinitos. Aunque no lo haremos
aqúı, se puede demostrar fácilmente que el número de subconjuntos de
un conjunto cuyo cardinal es C, es precisamente 2C (incluyendo el propio
conjunto y el conjunto vaćıo).
29 Cantor dio por sentada la existencia de la totalidad de los cardinales
finitos (números naturales) [39, pgs. 103-104]:
El primer ejemplo de un agregado transfinito viene dado por
la totalidad de los números cardinales finitos v; llamamos a su
número cardinal ’Alef-cero’ denotado por ℵo, definimos pues:
ℵo = {v}
donde {v} es la notación de Cantor para el cardinal del conjunto {v} de
todos los cardinales finitos (|N| en notación moderna). Obviamente ℵo es
un cardinal infinito. Cantor demostró que es el menor cardinal mayor que
todos los cardinales finitos [39, § 6] (véase el Caṕıtulo 16).
30 los sucesivos números naturales 1, 2, 3, . . . se pueden definir como los
cardinales de los sucesivos conjuntos finitos de la sucesión de conjuntos
S = {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, . . . , o como los cardinales de cualquier sucesión
5La aristotélica regresión infinita de argumentos [9].
16 —— El infinito actual
de conjuntos finitos cuyos sucesivos términos sean equipotentes con los su-
cesivos términos de S (véase la definición operacional de Von Neumann de
los números naturales en el Apéndice B). Los números naturales se pueden
seguir usando en términos informales como los números de contar 1, 2,
3,. . . Al fin y al cabo decimos que el cardinal finito de un conjunto es n
después de contar sus elementos, o después de emparejarlos con los elemen-
tos de un conjunto que han sido previamente contados, o sucesivamente
considerados de alguna manera, o incluso aritméticamente calculados o
procesados.
31 Todos los conjuntos numerables, por otra parte, tienen el mismo car-
dinal ℵo. Aśı, como ya se ha indicado, el cardinal del conjunto N de los
números naturales es ℵo. El cardinal del conjuntopotencia P (N), el con-
junto de todos los subconjuntos de N (incluyendo N y el conjunto vaćıo),
no es ℵo sino 2
ℵo , que es también el cardinal del conjunto R de los núme-
ros reales. El cardinal del conjunto P (P (N)) de todos los subconjuntos de
P (N) no es 2ℵo sino 22
ℵo
. Lo mismo vale para el conjunto P (P (P (N))) de
todos los subconjuntos de P (P (N)) y aśı sucesivamente. Tenemos entonces
una sucesión creciente de cardinales infinitos:
ℵo < 2
ℵo < 22
ℵo
< 22
2ℵo
< . . . (6)
En este libro trataremos exclusivamente con ℵo, excepto en un pequeño
número de argumentos en el que aparecerá el cardinal 2ℵo , llamado potencia
del continuo.
32 Los números ordinales son algo más sutiles. Un ordinal es el tipo de
orden de un conjunto bien ordenado.6 Todos los conjuntos finitos con el
mismo número de elementos tienen el mismo ordinal, por ejemplo, el ordi-
nal del conjunto {a, b, c} es el mismo que el ordinal del conjunto {2, 3, 1}
debido a que sus elementos sólo pueden ordenarse como primero, segundo
y tercero (independientemente de qué elemento es el primero, el segundo
y el tercero). Y lo mismo se aplica a cualquier conjunto finito de n ele-
mentos. Los cardinales y ordinales de los sucesivos conjuntos finitos están
representados por los siguientes numerales (śımbolos):
{} : Cardinal 0. Ordinal 0 (7)
{0} : Cardinal 1. Ordinal 1 (8)
{0, 1} : Cardinal 2. Ordinal 2 (9)
6Un conjunto con una relación de orden total entre sus elementos y de tal manera que
todos sus subconjuntos tiene un primer elemento.
Cardinales y ordinales —— 17
{0, 1, 2} :Cardinal 3. Ordinal 3 (10)
...
...
...
Esta es una caracteŕıstica importante de los conjuntos finitos: tienen un
sólo cardinal y un solo ordinal, y usamos el mismo śımbolo (numeral) para
ambos. De acuerdo con la terminoloǵıa de Cantor los ordinales finitos son
llamados ordinales de la primera clase.
33 Las cosas son muy diferentes con los conjuntos infinitos. Todos los con-
juntos numerables, por ejemplo, tienen el mismo cardinal ℵo, pero pueden
ser bien-ordenados de infinitas maneras diferentes:
{1, 2, 3, . . . } Ordinal ω
{2, 3, 4, . . . 1} Ordinal ω + 1
{3, 4, 5, . . . 1, 2} Ordinal ω + 2
{1, 3, 5, . . . 2, 4, 6, . . . } Ordinal ω2
{1, 4, 7, . . . , 2, 5, 8, . . . 3, 6, 9 . . . } Ordinal ω3
...
...
siendo ω < ω + 1 < ω + 2 < . . .< ω2 < ω2 + 1 < . . .< ω3 < . . .
34 Los números ordinales de los conjuntos numerables se denominan ordi-
nales de la segunda clase. Hay dos tipos de números ordinales de la segunda
clase:
1) Ordinales de la primera especie: ordinales α que tienen un prede-
cesor inmediato α′ tal que α = α′+1, donde ’1’ es el primer ordinal
finito. Todos los ordinales de la primera especie pueden escribirse,
por tanto, en la forma α+ n, siendo α infinito y n finito.
2) Ordinales de la segunda especie: estos ordinales son ĺımites de
sucesiones infinitas de ordinales finitos o de ordinales infinitos de
la primera especie. Por ejemplo:
ω = ĺım
n
(n); n = 1, 2, 3, . . . (11)
ω2 = ĺım
n
(ω + n); n = 1, 2, 3, . . . (12)
ω7 = ĺım
n
(ω6 + n); n = 1, 2, 3, . . . (13)
Casi todos los argumentos de este libro serán argumentos sobre ω, el primer
ordinal de la segunda clase, segunda especie; el más pequeño de los números
ordinales infinitos.
35 Por claridad y sencillez, en el resto del libro, diremos que un conjunto,
o una sucesión, es α-ordenada para expresar que se trata de un conjun-
18 —— El infinito actual
to (o sucesión) bien ordenado, cuyo ordinal es α, siendo α algún ordinal
transfinito, que casi siempre será ω.
36 Los ordinales de la segunda clase definen un conjunto nuevo: el con-
junto de todos los ordinales de la segunda clase (o conjunto de todos los
ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵo), cuyo cardinal es ℵ1
[39, Teorema 16-F]. A su vez, el conjunto de todos los ordinales cuyos con-
juntos tienen el mismo cardinal ℵ1 es otro conjunto cuyo cardinal es ℵ2. El
conjunto de todos los ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵ2
es otro conjunto cuyo cardinal es ℵ3. Y aśı sucesivamente. De acuerdo con
Cantor, existen entonces dos sucesiones crecientes de cardinales infinitos:
ℵo < 2
ℵo < 22
ℵo
< 22
2ℵo
< . . . (Sucesión de las potencias)
ℵo < ℵ1 < ℵ2 < ℵ3 < . . . (Sucesión de los alefs)
La famosa (y aún no resuelta) hipótesis del continuum afirma: ℵ1 = 2
ℵo . La
versión generalizada afirma que, para todo i, el i-ésimo término de la pri-
mera sucesión es igual al i-ésimo término de la segunda. Afortunadamente
no tendremos que abordar esa cuestión en este libro.
37 Obviamente esto no es más que una breve y esquemática introducción
a la teoŕıa de Cantor de los números transfinitos [39]. Pero es todo lo que
necesitamos saber para seguir los argumentos que desarrollaremos aqúı.
Como se señaló anteriormente, nuestra atención se centrará de forma casi
exclusiva en los objetos ω−ordenados (conjuntos y sucesiones), es decir en
objetos cuyos elementos se ordenan de la misma manera que los números
naturales en su orden natural de precedencia. Objetos como, por ejemplo,
la sucesión a1 a2 a3, . . . Este tipo de orden (ω−orden de ahora en adelante)
se caracteriza por:
1) Existe un primer elemento a1.
2) Cada elemento an tiene un predecesor inmediato an−1, excepto el
primero a1.
3) Cada elemento an tiene un sucesor inmediato an+1.
4) Entre dos elementos sucesivos cualesquiera, an, an+1 no existe
ningún otro elemento.
5) No existe último elemento, a pesar de lo cual los objetos ω−orde-
nados se consideran totalidades completas.
38 Ocasionalmente, también trataremos con objetos ω∗−ordenados, obje-
tos cuyos elementos se ordenan de la misma forma que la sucesión creciente
de los números enteros negativos: . . . , -3, -2, -1. Este tipo de orden usa-
Cardinales y ordinales —— 19
remos la notación an∗ para referirnos al n-ésimo elemento por la cola. El
ω∗−orden se caracteriza por:
1) Existe un último elemento a1∗.
2) Cada elemento an∗ tiene un sucesor inmediato a(n−1)∗, excepto el
último a1∗.
3) Cada elemento an∗ tiene un predecesor inmediato a(n+1)∗.
4) Entre dos elementos sucesivos cualesquiera, an∗, a(n+1)∗ no existe
ningún otro elemento.
5) No existe primer elemento, a pesar de lo cual los objetos ω∗−or-
denados se consideran totalidades completas.
39 Como ya se ha indicado, todos los números transfinitos (cardinales y
ordinales) se basan en la suposición de que existe un conjunto numerable
ω−ordenado. Por eso, casi todos los argumentos que siguen se ocuparán
únicamente de objetos ω−ordenados. Si se demostrara que esa hipótesis
infinitista es inconsistente, todo el edificio de las matemáticas transfinitas
se vendŕıa abajo como un castillo de naipes.
20 —— El infinito actual
4.-Reinterpretación de las paradojas de la reflexividad
Introducción
40 Si después de emparejar cada elemento de un conjunto A con un
elemento diferente de otro conjunto B, todos los elementos de B resultan
emparejados, decimos que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad
(el mismo número de elementos). Pero si uno o más elementos deB resultan
no emparejados y B es infinito, no se nos permite afirmar que ambos
conjuntos tienen diferente cardinalidad. En este caṕıtulo se discute por
qué no se nos permite hacerlo. Como veremos, la existencia de inyecciones1
exhaustivas y no exhaustivas entre dos conjuntos infinitos podŕıa estar
indicando que ambos conjuntos tienen y no tienen la misma cardinalidad.
Aśı, la distinción arbitraria de las inyecciones exhaustivas en detrimento de
las no exhaustivas podŕıa estar ocultando una contradicción fundamental
en la teoŕıa de conjuntos.
41 La mayoŕıa de las paradojas relacionadas con el infinito resultan de la
violación del Axioma eucĺıdeo del Todo y la Parte,2 entre ellas las llamadas
paradojas de la reflexividad, en las que los elementos de un todo son em-
parejados con los de una de sus partes propias.3 La paradojade Galileo4
es un ejemplo muy conocido de paradoja reflexiva. Autores como Proclus,
J. Filopón, Thabit ibn Qurra al-Harani, R. Grosseteste, G. de Rimini, W.
of Ockham etc. encontraron otros muchos ejemplos [171].
42 La estrategia de emparejar los elementos de dos conjuntos no es pre-
cisamente una invención moderna, Aristóteles ya la usó para tratar de
1Una inyección es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos A y B de
tal manera que todos y cada uno de los elementos de A se emparejan con un elemento
diferente de B.
2La hipótesis de que el todo es más que la parte es una de las nociones comunes que
aparecen en el primer libro de los Elementos de Euclides [71, pag. 19].
3[171], [62].
4Los elementos del conjunto de los números naturales se pueden emparejar con los ele-
mentos de uno de sus subconjuntos propios: el subconjunto de sus cuadrados: 1 ↔ 12,
2 ↔ 22, 3 ↔ 32, 4 ↔ 42, 5 ↔ 52. . . [78].
21
22 —— Reinterpretación de las paradojas de la reflexividad
resolver la Dicotomı́a de Zenón (en sus dos variantes).5 Y desde entonces
ha sido usada de forma extensiva por numerosos autores con diferentes
propósitos discursivos, aunque antes de Dedekind y Cantor (incluyendo el
caso de Bolzano [25]) nunca se usaron como un instrumento para consu-
mar la violación del viejo axioma eucĺıdeo. Por supuesto, la existencia de
una biyección entre dos conjuntos infinitos no prueba que ambos conjuntos
sean infinitos actuales, porque también podŕıan ser infinitos potenciales.
43 Las cosas empezaron a cambiar con Dedekind, que estableció la de-
finición de conjunto infinito precisamente sobre la base de esa violación:
un conjunto es infinito si sus elementos se pueden emparejar con los ele-
mentos de alguno de sus subconjuntos propios [59]. Dedekind y Cantor
inauguraron el llamado paráıso del infinito actual, en el que las inyecciones
exhaustivas (biyecciones o correspondencias uno a uno) juegan un papel
capital.
¿Paradojas o contradicciones?
44 Una inyección exhaustiva entre dos conjuntos A y B es una correspon-
dencia entre los elementos de ambos conjuntos en la cual cada elemento de
A queda emparejado con un elemento diferente de B, y todos los elemen-
tos de A y B resultan emparejados. Cuando al menos un elemento de B
resulta no emparejado la inyección se llama no exhaustiva. Las inyecciones
exhaustivas y no exhaustivas pueden usarse para comparar la cardinali-
dad de los conjuntos finitos. Pero si los conjuntos comparados son infinitos
entonces solo se permiten las inyecciones exhaustivas. Ninguna razón ha
sido dada nunca para justificar esa arbitraria distinción (véase más abajo
47-50) salvo que, por definición, los conjuntos infinitos violan el axioma
eucĺıdeo.
45 Pero, puesto que las definiciones también pueden ser inconsistentes,6
los conjuntos infinitos podŕıan haber sido definidos de manera inconsisten-
te sobre la base de uno de los términos de una contradicción: existe una
inyección exhaustiva entre un conjunto infinito y una de sus subconjuntos
propios. La otra parte de la contradicción seŕıa: existe una inyección no
exhaustiva entre el conjunto y el mismo subconjunto propio. Nadie ha ex-
plicado nunca por qué tener una inyección exhaustiva con un subconjunto
propio y al mismo tiempo tener una inyección no exhaustiva con el mismo
5Aristóteles acabó rechazando el método de los emparejamientos, proponiendo la distin-
ción entre infinito potencial e infinito actual [11], [10].
6Especialmente cuando la definición está basada en la violación de un axioma básico,
como es el caso de la definición de conjunto infinito de Dedekind.
¿Paradojas o contradicciones? —— 23
subconjunto propio no es contradictorio. Simplemente se ha ignorado el
problema y sobre la base de esa ignorancia se ha construido la teoŕıa de
conjuntos.
46 Si la noción de conjunto es primitiva (como parece ser) entonces sólo
podŕıamos realizar definiciones operativas de conjunto. Y si los conjuntos
pueden tener diferentes cardinalidades, debeŕıamos establecer un método
básico adecuado para comparar cardinalidades antes de definir los tipos de
conjuntos que podŕıan definirse en función de sus cardinales, especialmente
si el método de comparación forma parte de la propia definición, como es
el caso de la definición de conjunto infinito. Emparejar los elementos de
dos conjuntos es el único método conocido para lograr este objetivo, antes
de poder definir cualquier otra operación aritmética o conjuntista. Es en
este nivel fundamental de la teoŕıa de conjuntos donde vamos a discutir si
las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas son métodos apropiadas para
sacar conclusiones sobre la cardinalidad de dos conjuntos cualesquiera.
Por lo tanto, dilucidar esta cuestión debeŕıa ser un requisito necesario
antes de intentar cualquier definición que implique cardinalidades, como la
definición de conjunto infinito.
47 Parece razonable asumir que si después de emparejar cada elemento
de un conjunto A con un elemento diferente de un conjunto B todos los
elementos de B resultan emparejados, entonces A y B tienen el mismo
número de elementos. Pero también parece razonable asumir, y por las
mismas razones elementales, que si después de emparejar cada elemento
de A con un elemento diferente de B uno o más elementos del conjunto B
quedan sin emparejar, entonces A y B no tienen el mismo número de ele-
mentos. Es destacable que las inyecciones exhaustivas y las no exhaustivas
hacen uso del mismo método básico de emparejar elementos, sin llevar a ca-
bo ninguna operación aritmética finita o transfinita. No estamos contando
sino emparejando elementos, estamos discutiendo en el nivel fundacional
más básico de la teoŕıa de conjuntos.
48 Conviene recordar en este punto que las singularidades aritméticas de
los cardinales infinitos como ℵo = ℵo + ℵo y cosas por el estilo, se derivan
todas ellas de la hipotética existencia (Axioma del Infinito) de los con-
juntos infinitos, cuyos elementos, por definición, se pueden emparejar con
los elementos de alguno de sus subconjuntos propios. Aśı, y bajo pena de
razonamiento circular, de la existencia deducida de esas ’peculiaridades’
aritméticas (que podŕıan ser usadas para justificar la existencia de inyec-
ciones exhaustivas y no exhaustivas entre un conjunto infinito y alguno de
24 —— Reinterpretación de las paradojas de la reflexividad
sus subconjuntos infinitos), no podemos inferir la existencia de los conjun-
tos que permiten deducir esas peculiaridades aritméticas de los cardinales
infinitos. Aqúı estamos simplemente discutiendo si el método de emparejar
los elementos de dos conjuntos es apropiado para comparar sus respecti-
vas cardinalidades; y si lo es, por qué las inyecciones no exhaustivas son
rechazadas, porque ese rechazo podŕıa estar ocultando una contradicción
fundamental.
49 Las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas debeŕıan tener la misma
validez como instrumentos para comparar la cardinalidad de los conjuntos
infinitos porque ambas usan exactamente el mismo método de compara-
ción. Sin embargo, solo las inyecciones exhaustivas pueden usarse con ese
propósito. El problema aqúı es que la existencia de inyecciones exhaustivas
y no exhaustivas entre dos conjuntos infinitos podŕıa estar indicando la
existencia de una contradicción elemental (que ambos conjuntos tienen y
no tienen la misma cardinalidad), en ese caso la distinción de las inyeccio-
nes exhaustivas seŕıa la distinción de un término de una contradicción en
detrimento del otro.
50 Como mı́nimo, la alternativa de considerar inconsistente a un conjunto
porque existen inyecciones exhaustivas y no exhaustivas con los elementos
del mismo subconjunto propio es tan leǵıtima como la alternativa de con-
siderar consistente a ese conjunto. Como mı́nimo, la selección arbitraria de
una alternativa debeŕıa declararse expĺıcitamente enel nivel fundacional
de la teoŕıa, lo que no es el caso en las actuales teoŕıas de conjuntos. En
esas teoŕıas se ignora sistemáticamente la primera alternativa. Se podŕıa
argumentar que la definición de Dedekind implica asumir la existencia de
conjuntos para los cuales existen inyecciones exhaustivas y no exhaustivas
con al menos uno de sus subconjuntos propios, pero una simple definición
no garantiza que el objeto definido sea consistente, y entonces la alternati-
va de la inconsistencia ha de ser también considerada. La propuesta de esa
consideración es el principal objetivo de esta discusión. Una consideración
que, hasta donde yo sé, nunca ha sido seriamente planteada.
51 Supóngase, solo por un momento, que las inyecciones exhaustivas y
no exhaustivas fueran instrumentos válidos para comparar la cardinalidad
de dos conjuntos cualesquiera. En esas condiciones, sea B un conjunto in-
finito. Por definición, existe un subconjunto propio A de B y una inyección
exhaustiva f de A en B que prueba que ambos conjuntos tienen el mismo
número de elementos. Considérese ahora la inyección g de A en B definida
¿Paradojas o contradicciones? —— 25
12 1
2
22 2
2
3
2 3
2
4
2
4
2
1 1
2 4
3 9
4 16
… …… …
f(n ) = n
2 g(n ) = n
2 2
2,3
5,6,7,8
10,11,12 …
S N S N
Todos emparejados Todos emparejados No emparejados
Emparejados
Figura 4.1: El sospechoso poder de la elipsis: los conjunto S y N tienen (izquierda) y
no tienen (derecha) el mismo número de elementos.
por:
g(x) = x, ∀x ∈ A (1)
que, evidentemente, no es exhaustiva (los elementos del conjunto no vaćıo
B-A quedan sin emparejar). Las inyecciones f y g estaŕıan demostrando
que A y B tienen (f) y no tienen (g) el mismo número de elementos, i.e.
que los conjuntos infinitos son inconsistentes.
52 Hemos de decidir, por tanto, si las inyecciones exhaustivas y no ex-
haustivas tienen la misma validez como instrumentos para comparar la
cardinalidad de dos conjuntos cualesquiera. Si la tienen, entonces los con-
juntos infinitos son inconsistentes. Si no la tienen, se debeŕıa dar alguna
razón (no circular) para explicar por qué no la tienen. Y si no se pude dar
ninguna razón, entonces la distinción arbitraria a favor de las inyecciones
exhaustivas debeŕıa ser declarada arbitrariamente por un nuevo axioma ad
hoc. Hasta entonces, la fundamentación de la teoŕıa de conjuntos descansa
sobre la base de uno de los términos de una posible contradicción.7
53 Como cabŕıa esperar de una teoŕıa con tales fundamentos, las in-
consistencias aparecieron nada más iniciarse el desarrollo de la teoŕıa: se
demostró que el conjunto de todos los ordinales (Burali-Forti) [28] y el
conjunto de todos los cardinales (Cantor) eran inconsistentes. Según Can-
tor esos conjuntos eran inconsistentes por su excesiva infinitud.8 Se puede
ser infinito, pero solo dentro de cierto ĺımites. Mediante las restricciones
axiomáticas apropiadas, fue finalmente establecido que ciertas totalidades
7Por incréıble que pueda parecer, la fundamentación axiomática de la teoŕıa de conjuntos
ha ignorado siempre este problema.
8Carta a Dedekind citada en [56, pag. 245], [79], [75].
26 —— Reinterpretación de las paradojas de la reflexividad
infinitas, como la totalidad de los cardinales o la de los ordinales, no exis-
ten porque conducen a contradicciones. Es fácil probar, como se verá en
el caṕıtulo siguiente, que en una teoŕıa infinitista e informal (sin restric-
ciones axiomáticas) de conjuntos, como la teoŕıa de conjuntos de Cantor,
cada conjunto de cardinalidad C origina nada menos que 2C totalidades
infinitas inconsistentes.
54 En el Caṕıtulo 18 veremos que el teorema de la reordenación de Rie-
mann también puede ser reinterpretado como una prueba de la inconsis-
tencia de la hipótesis del infinito actual. En el resto del libro se desarrollan
más de veinte argumentos, todos ellos sugiriendo la misma conclusión.
5.-Extensión de la Paradoja de Cantor
Introducción
55 La paradoja de Cantor no es una paradoja sino una verdadera in-
consistencia relacionada con el conjunto de todos los cardinales. Por esta
razón, ese conjunto se rechaza de manera expĺıcita en las modernas teoŕıas
axiomáticas de conjuntos. La siguiente discusión demuestra, sin embargo,
que no solo el conjunto de todos los cardinales es inconsistente, prueba que
en la teoŕıa informal de conjuntos de Cantor (naive set theory) cada con-
junto de cardinalidad C origina por lo menos 2C conjuntos inconsistentes
(cada uno de sus subconjuntos origina una totalidad inconsistente en ese
marco no axiomatizado de la teoŕıa primitiva de conjuntos).
56 Aunque Burali-Forti fue el primero en publicar [27], [79] la prueba
de una inconsistencia derivada de la existencia de un conjunto infinito,
Cantor fue el primero en descubrir una de esas inconsistencias infinitistas:
la paradoja del máximo cardinal [79], [56]. No hay acuerdo sobre la fecha en
la que Cantor descubrió su paradoja [79] (el rango de fechas propuesto va
desde 1883 [156] a 1896 [87]). La paradoja (inconsistencia) de Burali-Forti
del conjunto de todos los ordinales y la de Cantor del conjunto de todos los
cardinales están relacionadas con el tamaño de las totalidades consideradas,
tal vez demasiado grandes para ser consistentes según Cantor. Parece algo
irónico que un conjunto infinito puede ser inconsistente precisamente por
su excesivo tamaño. Por cierto, nótese el eufemismo de llamar paradoja
a lo que realmente es una inconsistencia, es decir, un par de resultados
contradictorios que seguramente derivan de una suposición previa común.
¿De qué suposición? nos podŕıamos también preguntar. ¿Tal vez de la
hipótesis de que los conjuntos infinitos existen como totalidades completas?
57 En efecto, la explicación más simple para ambas paradojas es que
sean realmente inconsistencias derivadas de la hipótesis del infinito actual,
es decir de asumir la existencia de conjuntos infinitos como totalidades
completas. Pero nadie se ha atrevido a analizar esa alternativa. Finalmente
27
28 —— Extensión de la Paradoja de Cantor
fue aceptado que existen algunas totalidades infinitas (como la totalidad de
los números reales) mientras que otras (como la totalidad de los cardinales,
o la totalidad de los ordinales, o el conjunto todos los conjuntos) no existen
porque conducen a contradicciones.
La paradoja de Cantor
58 La versión más sencilla y breve de la paradoja1 de Cantor es la si-
guiente: Sea a U el conjunto de todos los conjuntos, el llamado conjunto
universal2 y P (U) su conjunto potencia, el conjunto de todos sus subcon-
juntos. Denotemos por |U | y |P (U)| sus respectivos cardinales. Siendo U
el conjunto de todos los conjuntos debe contener a todos los conjuntos,
podemos, pues, escribir:
|U | ≥ |P (U)| (1)
Por otra parte, y teniendo en cuenta el teorema de Cantor sobre el conjunto
potencia [35], se verifica:
|U | < |P (U)| (2)
lo que contradice (1). Esta es nuestra versión simplificada de la inconsis-
tencia o paradoja de Cantor.
59 Como es bien sabido, Cantor no le dio importancia [75] a su paradoja
y zanjó la cuestión asumiendo la existencia de dos tipos de totalidades
infinitas, las consistentes y las inconsistentes [33]. Como se indicó más
arriba, en opinión de Cantor la inconsistencia de esas totalidades infinitas
seŕıa debida a su excesivo tamaño. Estaŕıamos ante la madre de todos los
infinitos, el infinito absoluto que, según Cantor, conduce directamente a
Dios, siendo precisamente la naturaleza divina de esa infinitud absoluta lo
que la hace inconsistente para nuestras pobres mentes humanas [33].
60 Como veremos de inmediato, es posible extender la paradoja de Can-
tor a otros conjuntos mucho más modestos que el conjunto de todos los
conjuntos. Pero ni Cantor ni sus sucesores consideraron tal posibilidad. Lo
haremos aqúı. Ese es precisamente el objetivo de la discusión que sigue.Una discusión que se llevará a cabo en el marco de la teoŕıa informal, y
por tanto no axiomatizada, de conjuntos de Cantor.
1Para un análisis detallado véase [79, pp. 66-74]. Por muy usual que pueda ser, la expresión
’Paradoja de Cantor’ es como mı́nimo confusa, puesto que no es una paradoja sino una
verdadera contradicción.
2La teoŕıa informal de conjuntos (como la teoŕıa de Cantor) admite conjuntos como el
conjunto universal U que están prohibidos en las teoŕıas axiomáticas modernas.
Una extensión de la Paradoja de Cantor —— 29
Una extensión de la Paradoja de Cantor
61 Puesto que los elementos de un conjunto en la teoŕıa informal de
conjuntos pueden ser conjuntos, conjuntos de conjuntos, conjuntos de con-
juntos de conjuntos y aśı sucesivamente, vamos a comenzar por definir la
siguiente relación binariaR entre dos conjuntos: diremos que el conjunto A
está R-relacionado con el conjunto B, escrito ARB, si B contiene al me-
nos un elemento que forma parte de la definición de al menos un elemento
de A. Por ejemplo, si:
A = { {{a, {b}}}, {c}, d, {{{{e}}}}, f} (3)
B = {1, 2, b} (4)
C = {1, 2, 3} (5)
entonces A está R-relacionado con B porque el elemento b de B forma
parte de la definición del elemento {{a, {b}}} de A, pero A no está R-
relacionado con C porque ningún elemento de C interviene en la definición
de los elementos de A.
62 En esas condiciones sea X un conjunto cualquiera no vaćıo, e Y uno
de sus subconjuntos. A partir de Y se define el conjunto TȲ de acuerdo
con:
TȲ = {Z |¬∃V (V ∩ Y 6= ∅ ∧ ZRV )} (6)
TȲ es, por tanto, el conjunto de todos los conjuntos Z que no están R-
relacionados con conjuntos V que contengan uno o más elementos del con-
junto Y . Nótese que si Y = ∅ entonces TȲ es el inconsistente conjunto
universal.
63 Es fácil demostrar que TȲ es un conjunto infinito. En efecto, sea n un
número natural finito cualquiera y supongamos que |TȲ | = n. Tendremos:
TȲ = {T1, T2, . . . Tn} (7)
Consideremos ahora el conjunto A = {{...n{{T1}}...n}}. Puede ser que A sea
diferente de todos los Ti de TȲ , o puede ser que A = Tk para un cierto
k. Pero en el último caso tendŕıa que existir un ı́ndice h < n tal que
B = {{...
h
{{T1}}...h}} sea diferente de todos los Ti de TȲ , en caso contrario
tendremos |TȲ | > n. En consecuencia o bien A o bien B será diferente de
todos los Ti de TȲ . Por otra parte, A y B son conjuntos cuyos elementos
no están R-relacionados con conjuntos que contienen uno o más elementos
del conjunto Y . Por lo tanto ambos pertenecen a TȲ , y entonces |TȲ | > n.
Concluimos entonces que TȲ solo puede ser infinito.
30 —— Extensión de la Paradoja de Cantor
64 Sea ahora el conjunto P (TȲ ), el conjunto potencia de TȲ . Los elemen-
tos de P (TȲ ) son todos ellos subconjuntos de TȲ y por tanto conjuntos de
conjuntos que no están R-relacionados con conjuntos que contengan algún
elemento del conjunto Y :
∀D ∈ P (TȲ ) : ¬∃V (V ∩ Y 6= ∅ ∧DRV ) (8)
Consecuentemente, se verifica:
∀D ∈ P (TȲ ) : D ∈ TȲ (9)
Y entonces:
P (TȲ ) ⊆ TȲ (10)
Podemos, pues, escribir:
|P (TȲ )| ≤ |TȲ | (11)
65 Por otro lado, y de acuerdo con el teorema de Cantor, tenemos:
|P (TȲ )| > |TȲ | (12)
Nuevamente una contradicción. Pero ahora X es cualquier conjunto no
vaćıo, e Y uno cualquiera de sus subconjuntos. Hemos probado, por tanto,
el siguiente:
Teorema 65 (de la Paradoja de Cantor).-En la teoŕıa de
conjuntos de Cantor, cada conjunto de cardinal C da lugar a
por lo menos 2C conjuntos infinitos inconsistentes
66 El argumento anterior no sólo demuestra que el número de totalidades
infinitas inconsistentes es mucho mayor que el número de las consistentes,
también sugiere que el tamaño excesivo de los conjuntos podŕıa no ser la
causa de la inconsistencia. Consideremos, por ejemplo, el conjunto X de
todos los conjuntos cuyos elementos se definen exclusivamente por medio
del número natural 1:
X = {1, {1}, {1, {1}, {1, {1}}}, {{{1}}}, {{ 1, {1} }} . . . } (13)
Un argumento similar a 62/65 probaŕıa que es una totalidad inconsistente,
aunque en comparación con el conjunto universal es una totalidad insigni-
ficante.3
67 Nótese que los conjuntos como el conjunto X definido en (13) son in-
consistentes solo cuando se los considera desde el punto de vista del infinito
3Recordemos, por ejemplo, que entre dos números reales cualesquiera existe un número
infinito no numerable (2ℵo) de otros números reales diferentes. Lo que, como seguramente
se diŕıa Wittgenstein, llega a marear [202]
Una extensión de la Paradoja de Cantor —— 31
actual. Es decir, cuando se los considera como totalidades completas. Y re-
cuérdese que, desde el punto de vista del infinito potencial, estos conjuntos
no tienen sentido porque desde esta perspectiva las únicas totalidades com-
pletas son las totalidades finitas, tan grandes como se quiera, pero siempre
finitas.
68 Si hubiéramos sabido de la existencia de tantas totalidades infinitas
inconsistentes y no necesariamente tan enormes como el infinito absoluto,
tal vez la teoŕıa transfinita de Cantor habŕıa sido recibida de una manera
diferente. Tal vez la noción de infinito actual habŕıa sido puesta en cuestión
en términos de la teoŕıa de conjuntos; y quizás habŕıamos descubierto la
manera de probar su inconsistencia. Pero, como sabemos, ese no fue el
caso.
69 La historia de la recepción de la teoŕıa de conjuntos y la manera de
tratar sus inconsistencias (todas ellos derivadas de la hipótesis de infinito
actual y de la autorreferencia) es bien conocida. Desde los inicios del siglo
XX se ha venido realizando un gran esfuerzo para fundar la teoŕıa de con-
juntos sobre una base formal libre de inconsistencias. Aunque el objetivo
solo pudo alcanzarse con la ayuda del adecuado parcheo axiomático. Desde
entonces se han desarrollado al menos media docena de teoŕıas axiomáti-
cas de conjuntos.4 Varios cientos de páginas son necesarias para expli-
car en detalle todas las restricciones axiomáticas de las modernas teoŕıas
axiomáticas de conjuntos. Justo lo contrario de lo que cabŕıa esperar de la
fundamentación axiomática de una ciencia formal.
70 Como se señaló anteriormente, la explicación más simple de las in-
consistencias de Cantor y de Burali-Forti es que sean verdaderas contra-
dicciones derivadas de la inconsistencia de la hipótesis del infinito actual.
Lo mismo se aplica al conjunto de todos los conjuntos y al el conjunto
de todos los conjuntos que no son miembros de śı mismos (paradoja de
Russell), aunque en este caso hay una causa adicional de inconsistencia
relacionada con la autorreferencia. Todos los conjuntos involucrados en las
paradojas de la teoŕıa informal de conjuntos fueron eliminados de la teoŕıa
mediante las oportunas restricciones axiomáticas. Nadie se atrevió ni si-
quiera a sugerir la posibilidad de que esas paradojas fueran contradicciones
derivadas de la hipótesis del infinito actual; es decir, derivadas de asumir
la existencia de conjuntos infinitos como totalidades completas.
4Se han producido también algunos intentos contemporáneos por recuperar la teoŕıa
informal de conjuntos [104].
32 —— Extensión de la Paradoja de Cantor
71 Lo cierto es que el conjunto de Cantor de todos cardinales, el conjunto
de Burali-Forti de todos los ordinales, el conjunto de todos los conjuntos
y el conjunto de Russell de todos los conjuntos que no son miembros de
śı mismos, son todos ellos totalidades inconsistentes cuando se les conside-
ra desde la perspectiva de la hipótesis del infinito actual. Incluso el famoso
problema de la parada de Turing está relacionado con la hipótesis del infi-
nito actual porque también se asume aqúı la existencia de todos los pares
(programas, inputs) como una totalidad infinita completa [192]. Bajo la
hipótesis del infinito potencial, por otro lado, ninguno de esas totalida-
des tiene sentido porque desde esa perspectivasólo se pueden considerar
totalidades finitas, indefinidamente extensibles, pero siempre finitas.
72 Como se indicó más arriba, la Paradoja de Cantor (o la de Burali-
Forti) no es una paradoja sino una inconsistencia, un par de resultados
contradictorios: 


|U | ≥ |P (U)|
|U | < |P (U)|
(14)
Recuérdese que estamos discutiendo en el marco de la teoŕıa cantoriana
de conjuntos, en la que ninguna restricción axiomática hab́ıa sido hecha
aún. En esas condiciones, dos resultados contradictorios (14) solo pueden
derivarse de alguna hipótesis previa inconsistente. Pero la única hipótesis
necesaria para llegar a (14) es la hipótesis del infinito actual. Resulta en-
tonces chocante la conclusión de Cantor de que (14) es una consecuencia
de la excesiva infinitud del conjunto implicado. Cualquier cosa antes que
poner en cuestión sus profundas convicciones infinitistas, tan firmes como
una roca.
6.-El siguiente racional
Introducción
73 El conjunto Q de los números racionales, en su ordenamiento natu-
ral, está densamente ordenado: entre cada dos números racionales existe
un número infinito de otros números racionales diferentes. Pero siendo nu-
merable [31], Q también puede ser ω−ordenado: entre cada dos números
racionales sucesivos no existe ningún otro número racional. El argumento
que sigue se aprovecha de esta especie de esquizofrenia numérica.
Discusión
1
2
3
4
5
Re
ct
a r
ac
io
na
l p
os
iti
va
Q+ Q+
f
N
q = f(1)
1
q = f(2)
2
q = f(3)
3
q = f(4)
4
q = f(5)
5
Densamente
ordenada
w-ordenado w-ordenado
Figura 6.1: ω -Ordenamiento de la
recta racional positiva.
74 Por sencillez trataremos con el conjun-
to Q+ de los racionales positivos mayores
que cero, que también es numerable y densa-
mente ordenado. Sea entonces f una corres-
pondencia biuńıvoca entre el conjunto N de
los números naturales y el conjunto Q+. Es
evidente que f permite un ω-ordenamiento
de Q+: gracias a f el conjunto de todos los
racionales positivos se puede escribir como
{q1, q2, q3, . . . }, siendo qi = f(i), ∀i ∈ N.
75 Sea ahora x una variable racional cuyo dominio es el intervalo racional
(0, 1) y cuyo valor inicial xo es cualquier elemento de (0, 1). Considérese la
siguiente sucesión 〈Di(x)〉 de definiciones recursivas de x:
{
D1(x) = xo
Di(x) = mı́n(Di−1(x), |qi − q1|), i = 2, 3, 4, . . .
(1)
donde Di(x) es la i-ésima definición de x y mı́n(x, |qi − q1|) el menor (en el
orden denso usual de Q) de los dos valores entre paréntesis, siendo |qi− q1|
el valor absoluto de qi − q1. Las sucesivas definiciones 〈Di(x)〉 definen a la
variable x como |qi − q1| si |qi − q1| es menor que Di−1(x), o como Di−1(x)
si no lo es.
33
34 —— El siguiente racional
76 Las definiciones, procedimientos y pruebas de infinitos pasos sucesivos,
como la definición (1), son usuales en las matemáticas infinitistas (véanse,
por ejemplo, el argumento de Cantor de 1874 o el conjunto ternario de
Cantor, más adelante en este libro). Por innecesaria que pueda parecer,
impondremos a las sucesivas definiciones Di(x) la siguiente:
Restricción 76.-Cada definición Di(x) se llevará a cabo si, y
solo si, x queda definida como un número racional de su dominio
(0, 1).
En lo que sigue diremos que una definición Di(x) es posible si, y solo si,
cumple la restricción anterior.
77 Es inmediato probar que para todo número natural v, las primeras
v definiciones sucesivas 〈Di(x)〉i=1,2,...v se pueden realizar. Evidentemente
D1(x) se puede realizar puesto que D1(x) = xo, y xo ∈ (0, 1). Supongamos
que, siendo n cualquier número natural, se pueden realizar las primeras n
definiciones sucesivas 〈Di(x)〉i=1,2,...n, lo que significa que x estará definida
con un cierto valor Dn(x) de su dominio (0, 1). Puesto que |qn+1−q1| es un
número racional positivo bien definido, será, o no, menor que Dn(x). Con-
secuentemente Dn+1(x) puede definir a x como |qn+1 − q1| si este número
es menor que Dn(x) o como Dn(x) si no lo es. En cualquier caso Dn+1(x)
define a x dentro de su dominio (0, 1). Por tanto, las primeras (n + 1)
sucesivas definiciones 〈Di(x)〉i=1,2,...n+1 también se pueden llevar a cabo.
En consecuencia, para cualquier número natural v, es posible realizar las
primeras v definiciones sucesivas 〈Di(x)〉i=1,2,...v.
78 Empezaremos probando que una vez realizadas todas las posibles1
definiciones sucesivas 〈Di(x)〉, el número racional q1 + x no es el menor
racional mayor que q1. Aśı es, cualquiera que sea el valor de x una vez rea-
lizadas todas las posibles definiciones sucesivas 〈Di(x)〉, el número racional
q1 + 0,1x, por ejemplo, es mayor que q1 y menor que q1 + x. Nótese que
este argumento es una consecuencia del orden denso de Q+.
79 Probaremos ahora, sin embargo, que una vez realizadas todas las po-
sibles definiciones 〈Di(x)〉, el número racional q1 + x es el menor racional
mayor que q1. Veamos que aśı ha de ser. Supongamos que una vez reali-
zadas todas las posibles definiciones sucesivas 〈Di(x)〉 el número racional
q1+x no es el menor racional mayor que q1. En tal caso habŕıa un número
racional qv mayor que q1 y menor que q1 + x:
q1 < qv < q1 + x (2)
1Nótese que si no fuera posible realizar todas las posibles definiciones sucesivas 〈Di(x)〉,
estaŕıamos ante la contradicción elemental de una imposible posibilidad.
Discusión —— 35
Por tanto, si restamos q1 a los tres miembros (todos ellos números racio-
nales propios) de las dos desigualdades tendremos:
0 < qv − q1 < x (3)
lo que es imposible porque:
a) El ı́ndice v de qv es un número natural.
b) De acuerdo con 77, es posible realizar las primeras v definiciones
sucesivas 〈Di(x)〉i=1,2,...v.
c) Todas las posibles definiciones sucesivas Di(x) se han realizado.
d) Por tanto, las primeras v definiciones sucesivas 〈Di(x)〉i=1,2,...v se
han realizado.
e) Como consecuencia de Dv(x), podemos afirmar que x ≤ qv − q1.
f) Es imposible entonces que x > qv − q1.
Por tanto nuestra hipótesis inicial ha de ser falsa y q1+x es el menor racio-
nal mayor que q1. Nótese que esta incréıble conclusión es una consecuencia
leǵıtima del ω−orden de Q+ inducido por la biyección f definida en 74.
En efecto, es esa biyección la que hace posible considerar sucesivamente y
uno a uno, todos los elementos qi de Q
+ y calcular uno a uno todos los
|qi − q1|.
80 Una vez completada la sucesión de todas las posibles definiciones
〈Di(x)〉, la variable x podŕıa haber sido definida un número infinito de ve-
ces sin una última definición. Por lo tanto seŕıa imposible conocer el valor
actual de x una vez completada la sucesión definiciones 〈Di(x)〉. Pero, en
cualquier caso, x continuará siendo una variable racional definida con un
cierto valor dentro de su dominio (0, 1). Por lo tanto, y por muy indeter-
minable que pueda ser ese valor, x seguirá siendo una variable racional
apropiadamente definida en su dominio racional (0, 1). Y eso es todo lo
que necesitamos para que el argumento anterior sea conclusivo.
81 En caso contrario, si después de completar la sucesión de todas las
posibles definiciones 〈Di(x)〉, la variable racional x hubiera perdido su con-
dición de variable racional apropiadamente definida dentro de su dominio
(0, 1), tendŕıamos que admitir que la compleción de una sucesión infinita
de definiciones posibles tiene efectos arbitrarios adicionales sobre el objeto
definido. Pero si ese fuera el caso, los mismos efectos arbitrarios adiciona-
les se podŕıan esperar de cualquier otra definición, procedimiento o prueba
consistente en un número infinito de sucesivos pasos, y entonces cualquier
cosa podŕıa esperarse de las matemáticas infinitistas.
36 —— El siguiente racional
82 Podŕıamos incluso temporizar la sucesión de definiciones 〈Di(x)〉 rea-
lizando cada definición Di(x) en el preciso instante ti de una sucesión
ω−ordenada y estrictamente creciente 〈tn〉 = t1, t2, t3. . . dentro del inter-
valo finito (ta, tb), cuyo ĺımite es tb. En estas condiciones,