Red de números, símbolos y relaciones y

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UNIDAD
178 En marcha
8
Al terminar esta 
unidad lograré:
 -Resolver por el 
método gráfico 
un sistema de 
ecuaciones 
simultáneas.
 -Expresar una 
situación, bajo 
condiciones 
establecidas, 
en un sistema 
de ecuaciones 
simultáneas.
 -Resolver sistemas 
de ecuaciones por el 
método de igualación, 
sustitución y 
reducción.
 -Comprobar que 
un sistema de 
ecuaciones puede 
resolverse por 
eliminación de varios 
métodos.
SESIÓN 1
Números curiosos
Paso 1
Leemos:
El número capicúa, es un número palíndromo y debe su 
nombre a las palabras catalanas cap y cua que significan: 
cabeza y cola.
Un número capicúa hace referencia a cualquier número que 
puede ser leído de la misma forma, así sea de izquierda a 
derecha, como de derecha a izquierda. Para entender mejor 
este número especial veamos los ejemplos del Cuadro 1:
Actividad 1
RED DE NÚMEROS, 
SÍMBOLOS Y 
RELACIONES
Paso 2 
Leemos: ¿Cómo encontramos números capicúas?
Para generar números capicúas se elige un número al azar y 
se le suma el número que resulta de invertir sus cifras, veamos 
el siguiente ejemplo: 126 + 621 = 747
Palíndromo se refiere 
a palabras o frases 
que se leen de igual 
manera hacia adelante 
o hacia atrás.
Ejemplo: “la ruta 
natural”
Revisamos el siguiente 
link:
http://goo.gl/7nXBzP 
http://goo.gl/TKLSqC 
Cuadro 1
33 2,992
363
9,559
64,146
21,022,012
UNIDAD8
179En marcha
Continúa
Paso 2
Si el número resultante no fuera capicúa se repite el proceso a partir de este 
resultado hasta encontrar uno que lo sea.
Elegimos tres de los números que se encuentran en el Cuadro 2 y encontramos los 
números capicúas:
Paso 3
Leemos: El número 153 es un número curioso.
Revisamos el siguiente procedimiento:
 - Escogemos un número múltiplo de 3 (de preferencia de 2 cifras). Ejemplo: 72.
 - Elevamos al cubo cada una de las cifras que lo componen; 73 = 343 y 23 = 8.
 - Sumamos los resultados: 343 + 8 = 351 (Es un número capicúa).
 - Elevamos al cubo cada una de las cifras que lo componen: 33 = 27, 53= 125 y 13 = 1.
 - El resultado es: 153, de donde ya no podremos avanzar más.
 - Demostramos con el procedimiento anterior, que con el número 39 se llega a 153.
 - Discutimos el resultado en clase.
Existen nueve números 
palindrómicos de dos dígitos:
http://goo.gl/TihxPq 
21 46 54 64 75
123 491 667 845 345
Dato curioso
En la Biblia aparece el número 153, en Juan 21:11 donde Pedro saca una red 
a tierra llena con 153 peces.
Revisamos las propiedades del 153 en el siguiente link:
http://goo.gl/qnFblS
153 = 13 + 53 + 33
Cuadro 2
UNIDAD 8
180 Mochila de herramientas TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES
SESIÓN 2
TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES
UN SISTEMA CON SOLUCIÓN
Paso 1 
Leemos:
Alberto Yax les ha explicado a sus estudiantes que el álgebra permite escribir diversas 
situaciones en forma simplificada, mezclando números y letras. 
Resolvemos: 
Alberto plantea ejemplos que pueden escribirse como ecuaciones:
 - El perímetro de un rectángulo es 28.
 - El producto de dos números es 24.
 - La suma de las edades de tres hermanos es 43.
 - Escribimos las ecuaciones lineales que representan cada situación anterior y 
exponemos nuestros resultados en clase.
Paso 2 
Leemos:
La tía Marta repartió entre sus tres sobrinos 9 billetes que sumados dan 60 quetzales. 
Ella recuerda que los billetes eran de Q 5.00 y Q 10.00, pero no sabe cuántos de 
Q 5.00 y Q 10.00 repartió entre sus sobrinos.
 - ¿Cómo ayudamos a la tía Marta a saber cuántos billetes tenía de cada uno?
 - Seguimos el procedimiento.
Planteamos el sistema de ecuaciones como lo presenta el Cuadro 1.
 - Describimos: ¿Por qué la ecuación 1 está igualada a 9? y ¿Por qué la 
ecuación 2 esta igualada a 60?
 - Copiamos las ecuaciones en el cuaderno y verificamos si x = 4 e y = 5, son solución 
del sistema.
Actividad 2
X + Y = 9 (1)
(2)10X + 5Y = 60
x billetes de Q. 10.00
x billetes de Q. 10.00
y billetes de Q. 5.00
y billetes de Q. 5.00
UNIDAD8
181TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES Mochila de herramientas
 - Completamos las siguientes tablas en el cuaderno:
Trazamos la gráfica en el cuaderno e identificamos 
el punto P (x, y), donde las rectas se intersectan.
 - Verificamos si la gráfica obtenida es similar a la 
planteada en la Figura 1.
Respondemos a las siguientes preguntas:
 - ¿Qué coordenadas cartesianas (x, y), son la 
solución de este sistema?
 - Si no queremos completar las tablas anteriores, 
¿qué otra estrategia tenemos para trazar las 
rectas en el plano cartesiano?
SESIÓN 2
Figura 2
Continúa
Paso 2
Paso 3
¿Qué necesitamos saber? 
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 
está formado por dos ecuaciones lineales de la forma: 
ax+by=c, donde x y y son las incógnitas y los números a, b y 
c son conocidos. 
Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con 
dos incógnitas es un par de valores (x, y) que verifican las 
dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar 
una solución. La Figura 2 muestra el esquema general de un 
sistema de ecuaciones lineales.
Tabla de la ecuación:
x + y = 9
Si “x” 
vale:
Entonces “y” 
vale:
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
Tabla de la ecuación:
10x + 9y = 60
Si “x” 
vale:
Entonces “y” 
vale:
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
Recordamos que, 
para encontrar 
los valores de las 
tablas, hay que 
despejar y de ambas 
ecuaciones.
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Figura 1
x
y
1050–5–10
5
10
15
20
Recta de la 
ecuación (1)
Recta de la 
ecuación (2)
UNIDAD 8
182 Mochila de herramientas TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES
SESIÓN 3
CONJUNTO SOLUCIÓN
Actividad 3
Paso 4 
Leo:
Lucía ha decidido resolver el sistema de ecuaciones de la 
Figura 1, empleando la siguiente estrategia:
 - En x + y = 6, establece que si x = 0 entonces y = 6, 
luego, Lucía dice que si y = 0 entonces que x = 6. 
 - Con esto determina las parejas: (0, 6) y (6, 0), los ubica 
Figura 1
x + y =6
5x – 4y = 12
en el plano cartesiano y los une con una línea.
 - En 5x – 4y = 12, establece que si x =0 entonces y = –3, luego Lucía dice que si 
y = 0 entonces x =12/5 que es en números decimales 2.4, por lo tanto, determina las 
parejas (0, –3) y (12/5, 0), Luego, los ubica en el plano cartesiano y los uno con una 
línea.
Luego de la lectura, describo en el cuaderno de forma detallada la estrategia que ha 
 - Verifico que las rectas se cruzan en 
el punto de intersección (4, 2).
 - Compruebo si este punto satisface 
o es la solución de este sistema.
Rectas Uno los puntos: (x, y)
Recta (1) (0, 6) y (6, 0)
Recta (2) (0, -3) y (12/5, 0)
Paso 5 
Leo:
En la finca de don Mariano Rodríguez se tiene 
una avícola y, Ernesto su hijo, se ha encargado 
esta semana de acomodar 510 huevos en 
cartones pequeños que tienen capacidad para 6 
huevos y otros cartones grandes con capacidad 
para 12 huevos. En total, utilizó 50 cartones que 
x
y
3
2
1
–3
–2
–1
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6 7
Punto de intersección
seguido Lucía para encontrar las parejas 
(x, y).
Completo en el cuaderno la tabla y 
gráfica mostrada a continuación:
x + y = 50
Figura 2
serán llevados al mercado para la venta. 
Ahora, don Mariano necesita saber cuántos eran cartones pequeños y cuántos cartones 
grandes.
La Figura 2 me sirve de guía. 
 - Escribo el sistema de ecuaciones para esta situación.
 - Resuelvo el sistema trazando las rectas en el plano cartesiano.
UNIDAD8
183TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES Mochila de herramientas
SESIÓN 4
MIS CONOCIMIENTOS ESTÁN A PRUEBA
Actividad 4
Paso 6 
¿Qué necesitamos saber? 
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se 
resume de la siguiente forma:
 - Se encuentran, para cada una de las ecuaciones de primer grado obtenidas, dos 
puntos cartesianos: (x, y).
 - Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. 
 - Si el sistema es compatible o consistente (las rectas se intersecan).
Observo los siguientes sistemas de ecuaciones del Cuadro 1 y selecciono de las cuatroopciones el punto de intersección que satisface el sistema.
 - Dejo constancia en el cuaderno del trabajo realizado.
Leo y resuelvo en el cuaderno:
El circo de los Hermanos Navarro llegó al departamento de San Marcos y el encargado 
de vender los boletos ha informado que en la función de la tarde vendió 10 entradas 
de adultos y 9 de niños por un valor de 77 quetzales, y que en la función de la noche 
vendió 17 entradas de niño y 15 entradas de adulto por 126 quetzales.
 - ¿Cuál es el precio de una entrada de niño y una de adulto?
 - Establezco para esta situación un sistema de ecuaciones.
 - Trazo las rectas en el plano cartesiano.
 - Determino el punto (x, y), de intersección y respondo a la pregunta.
x – y = 1
x + y = 7
a. (3, 4)
b. (4, 3)
c. (–3, 4)
d. (No existe solución
x – 2y = 1
x – 2y = 4
a. (1, 0)
b. (4, 0)
c. (0, –2)
d. (No existe solución
2x + 3y = 18
3x + 4y = 25
a. (3, 4)
b. (4, 3)
c. (–4, 3)
d. (No existe solución
1 2 3
Cuadro 1
UNIDAD 8
184 Mochila de herramientas TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES
SESIÓN 5
OTROS CAMINOS
Actividad 5
Paso 1 
Leemos y analizamos:
En la meseta de los Cuchumatanes, 
Alfredo tiene una parcela que tiene 
forma rectangular que utiliza para la 
crianza de ovejas. 
El perímetro de la parcela es de 240 
metros. Ver Figura 1. 
Paso 2 
Indicamos cuál de las gráficas de la Figura 2 es solución del sistema: 
Respondemos:
 - ¿Qué estrategia empleamos para seleccionar una de las tres gráficas?
 - ¿Cuál es el conjunto solución del sistema de ecuaciones del Cuadro 1?
 - ¿Cuál es la diferencia entre la Gráfica 2 y las Gráficas 1 y 3?
Figura 1
 - Si el ancho es x y el largo es y, trazamos en el cuaderno la parcela y la ecuación de 
primer grado que representa el perímetro. 
x + y = 10
x – y = 2
Gráfica 1 Gráfica 2
x
y
3
2
1
4
5
6
7
8
9
–1–2–3
–2
–3
321 4 5 6 7 8 90
x
y
3
2
1
4
5
–1–2–3–4
–2
–3
–4
–5
32
1
40–1
Gráfica 3
x
y
3
2
1
4
5
6
7
8
9
–1–2–3
–2
–3
321 4 5 6 7 8 90
UNIDAD8
185TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES Mochila de herramientas
SESIÓN 5
En el Paso 1 de esta sesión se estableció una ecuación para el perímetro de la parcela.
Alfredo el dueño del lugar y sabe que, si medimos la parcela, esta es el triple de largo que de 
ancho.
Paso 3 
¿Qué necesitamos saber? 
Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar el método gráfico, tal como se hizo en 
las sesiones anteriores, además se pueden emplear cualquiera de los tres métodos siguientes: 
 - Método de sustitución 
 - Método de igualación 
 - Método de reducción 
Cuadro 1
2x + 2y = 240 (1)
y = 3x (2)
 - Si el ancho es x y el largo es y, escribimos una ecuación 
que exprese esta situación.
 - Verificamos si el sistema de ecuaciones del Cuadro 1 
representan a la parcela de Alfredo. 
 - Explicamos y escribimos nuestro razonamiento.
A continuación, se explica el método de sustitución para el 
sistema de ecuaciones del Cuadro 1: 
 - Observamos que las ecuaciones están numeradas.
 - Sustituimos la ecuación (2) en la ecuación (1) de la siguiente forma:
 - El método de sustitución consiste en reemplazar una de las expresiones en la otra ecuación. 
Se llega así a una ecuación de primer grado con una sola incógnita tal como se muestra a 
continuación:
 - Sustituimos x en la ecuación (1) o (2), seleccionamos la ecuación (2) y sustituimos:
y = 3x ∴ y = 3(30) = 90
 - Comprobamos que el conjunto solución de este sistema resuelto por el método de 
sustitución es x = 30, y = 90.
2x + 2 (3x) = 240
y = 3x
2x + 2 (3x) = 240
2x + 6x = 240
 - Determinamos el valor de x: 8x = 240 ∴ x = 240 = 308
UNIDAD 8
186 Mochila de herramientas TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES
SESIÓN 6
EL CAMINO DE LA IGUALACIÓN 
Actividad 6
Paso 4
¿Qué necesitamos saber? 
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación se debe 
despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones 
obtenidas. De nuevo obtenemos una ecuación de primer grado con una sola 
incógnita. 
El ejemplo 1 muestra el método de igualación para resolver un sistema de 
ecuaciones. 
Resolvemos:
 3x + 4y = –7
 x – 2y =1
Despejamos x en ambas ecuaciones:
 x – 2y = 1 es x = 2y + 1
3x + 4y = –7 es x =
–4y –7
3
 - En el cuaderno dejamos constancia del 
procedimiento que fue necesario para 
despejar x.
 - Igualamos ambas ecuaciones despejadas:
Recordamos que 
simplificar es reducir a 
la expresión mínima.
Veo el link:
https://goo.gl/FdJ
 - Explicamos, ¿qué obtuvimos con esta igualdad?
 - Simplificamos la ecuación anterior y comprobamos que el resultado obtenido 
es: –4y –7 = 3(2y +)
 - Verificamos que el valor de y obtenido es igual a –1.
 - Obtenemos el valor x, sustituyendo y = – 1, en cualquiera de las ecuaciones 
del sistema.
 - Verificamos que el resultado sea, x = –1. 
Respondemos en el cuaderno. ¿Cuál es la principal diferencia entre el 
método de sustitución e igualación?
Resolvemos por el método gráfico este sistema de ecuaciones y el resultado lo 
exponemos en un cartel.
–4y –7
= 2y + 1
3
UNIDAD8
187TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES Mochila de herramientas
Paso 5 
La Figura 1 ilustra un sistema de ecuaciones resuelto por el método gráfico. 
 - Dado este sistema, resolvemos en el cuaderno, por el método de sustitución este 
sistema y demostramos que el resultado obtenido es el mismo.
 - Exponemos nuestro resultado en clase en un cartel.
Paso 6 
Leemos:
Sara ha establecido el sistema de ecuaciones del 
cuadro 1 que representa las edades de su madre y la 
de ella, las cuales describe de la siguiente manera:
—Mi madre Ana y yo, su hija llamada Sara, tenemos en 
la actualidad 56 años entre las dos. Dentro de 18 años, 
yo, Sara, tendré 5 años más que la mitad de la edad de 
mi madre.
SESIÓN 7
SUMAR Y RESTAR MANZANAS Y PERAS
Actividad 7
 - Consideramos que x es la edad de la madre y y la edad de Sara.
 - Explicamos cómo se construyen cada una de las ecuaciones.
 - Simplificamos la ecuación (2).
 - Utilizamos el método de sustitución o igualación para determinar la edad de Ana y Sara.
 - Dejamos constancia del procedimiento en el cuaderno.
Cuadro 1
x + y = 56 (1)
y + 18 = 5 + x + 18 (2)2
Figura 1
2x + y = 2
x – y = 1
1
2
0
0 1 2–1–2
–1
–2
(1,0)
UNIDAD 8
188 Mochila de herramientas TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES
SESIÓN 8
ENCUENTRO LA SOLUCIÓN.
Paso 1 
Leemos:
Alberto y Ana tienen dos tipos de botellas para la venta de refrescos de tamarindo y rosa 
de Jamaica. Ellos han colocado las botellas sobre una balanza en dos formas distintas, 
tal como se muestra en la Figura 1 y Figura 2. Luego, ellos han medido el peso total 
de las botellas y registraron en su cuaderno la información. 
 - Con los datos obtenidos por Alberto y Ana, ¿cómo podemos determinar el peso 
de cada botella?
Paso 2 
Respondemos: ¿Cuántos gramos tiene un hectogramo?
 - Escribimos una ecuación lineal para la siguiente distribución de botellas de refresco. 
Consideramos que las botellas grandes son x, las botellas pequeñas son y. 
 - La Figura 3 muestra esta situación donde cada punto representa un hectogramo.
Actividad 8
Figura 1 Figura 2
Respondemos: ¿Es posible resolver la ecuación formada a partir de la Figura 3?
Las tres botellas
Pesan 30 hectogramos
Las tres botellas
Pesan 18 hectogramos
UNIDAD8
189TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES Mochila de herramientas
 - Escribimos el sistema de ecuaciones formado a partir de las Figuras 4 y 5 en el cuaderno.
 - El facilitador tendrá en una bolsa varios papelitos con las siguientes palabras:
 - Un integrante saca un papelito de la bolsa e indica a su grupo qué método les ha tocado.
 - Resuelven el sistema de ecuaciones planteado por el método asignado.
Comprobamos que los resultados obtenidos son los siguientes
 - Las botellas grandes tienen un peso de 14 hectogramos. 
 - Las botellas pequeñas tienen un peso de 2 hectogramos.
 - Construimos un sistema de ecuaciones a partir de las Figuras 4 y 5 ilustradas a continuación, 
debemos considerar las mismas condiciones empleadasen el inciso anterior para formar 
cada ecuación del sistema.
Continúa
Paso 2
Figura 4
Figura 5
Método
gráfico
Método de
igualación
Método de
sustitución
UNIDAD 8
190 Mochila de herramientas TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES
SESIÓN 9
A REDUCIR SE HA DICHO.
Actividad 9
Paso 3 
Leo:
¿Qué necesitamos saber? 
El método de reducción, también llamado de suma y resta, permite resolver un 
sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. En este método, el 
desafío está en hacer iguales los coeficientes de una de las incógnitas. Veamos el 
ejemplo 1.
Seguimos el ejemplo 1, del Cuadro 1:
No necestitamos que las ecuaciones tengan coeficientes iguales, por lo tanto la 
estrategia es multiplicar por –2 toda la ecuación.
 - Comprobamos en el cuaderno que: x = 5 y y = 7 son las soluciones del sistema de 
ecuaciones.
Leemos:
¿Qué logramos con esta operación?
Igualar los coeficientes de la variable x, pero con diferente signo, ahora efectuamos la 
suma de las ecuaciones para eliminar la variable x, dado que tienen signos distintos y 
resolver la ecuación resultante.
 - Seguimos el procedimiento del Cuadro 2:
Cuadro 1
x + y = 12
2x – 3y = 31
–2x – 2y = –24
2x + 3y = 31
por –2 toda la ecuación
dejamos igual la 
ecuación
Cuadro 2
x + y = 12
x + 7 = 12
x = 12 –7 = 5
Sustituimos y =7 en la acuación1, 
para obtener
–2x – 2y = –24
 2x + 3y = 31
y = 7
UNIDAD8
191TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES Mochila de herramientas
Paso 4
Leemos:
En los siguientes sistemas de ecuaciones, la estrategia es eliminar la variable x, 
igualando coeficientes con signo distinto. 
 - Copiamos en el cuaderno los sistemas y reducimos.
SESIÓN 9
x + 3y = 6
5x – 2y =13
Sistema de ecuaciones 1
7x – 15y = 1
–x – 6y =8
Sistema de ecuaciones 2
 - ¿Por qué número debemos multiplicar la ecuación 1, para reducir la variable 
x en el sistema?
 - Dejamos constancia del procedimiento en el cuaderno del proceso de reducción.
 - Verificamos si la variable y = + 1 
 - Determinamos el valor de x.
 - ¿Por qué número debemos multiplicar la ecuación 2, para reducir la variable 
x en el sistema?
 - Dejamos constancia del procedimiento en el cuaderno del proceso de reducción.
 - Verificamos si la variable y = + 1 
 - Determinamos el valor de x.
 - Empleamos el organizador gráfico: Tabla de secuencias, que se muestra en la Figura 
1, para describir el procedimiento que se emplea para resolver uno de los anteriores 
sistemas de ecuaciones simultaneas por el método de reducción.
Tabla de secuencias
Escribamos los pasos en orden cronológico
Tema
Primero
Siguiente
Siguiente
Siguiente
Siguiente
Último
Figura 1
UNIDAD 8
192 Mochila de herramientas TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES
SESIÓN 10
EL CAMIÓN DE DON RAMIRO
Actividad 10
Paso 5 
Leemos:
Don Ramiro tiene un camión cargado con 150 paquetes de manzanas y duraznos que 
debe llevar al mercado de Tecpán para la venta. 
Los paquetes de durazno pesan 1 kilogramo y los de manzana 2 kilogramos. 
 - Respondemos: ¿Cuántos paquetes de cada fruta lleva en el camión sí el peso 
total es de 265 kilogramos?
Seguimos la guía para dar respuesta a este problema:
 - La Figura 1 muestra ilustra el sistema de ecuaciones de forma gráfica. Si los paquetes 
de manzana son x y los de durazno y, entonces escribimos el sistema de ecuaciones 
en el cuaderno.
 - Explicamos porque la ecuación 1 está igualada a 150 y la ecuación 2 está igualada 
a 265, ¿Cuál es la diferencia?
 - Resolvemos por el método de reducción el sistema de ecuaciones planteado.
 - Verificamos que Don Ramiro lleva en su camión 35 paquetes de manzana y 115 
paquetes de durazno.
 - Demostramos que todas las cajas pesan 265 kilogramos.
 - Exponemos los resultados en clase en un cartel.
Figura 1
150
265(1) (2)
UNIDAD8
193TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES Mochila de herramientas
SESIÓN 11
SON DOS VARIABLES, NO UNA.
Actividad 11
Paso 6 
Leemos:
Santiago coloca sobre una balanza 5 manzanas y 2 peras. Al registrar su peso resulta que 
estas pesan en total 750 gramos. Luego, deja sobre la balanza 2 manzanas y 2 peras. Registra 
ahora el peso y obtiene 700 gramos, tal como se ilustra en la Figura 1.
Figura 1
Figura 2
 - Escribimos un sistema de ecuaciones que represente la Figura 1. Consideramos que x es la 
variable asociada a manzana y que y es la variable asociada a peras.
 - Resolvemos por el método de reducción el sistema de ecuaciones y dejamos constancia del 
procedimiento en el cuaderno.
 - Comprobamos que cada manzana tiene un peso de 100 gramos y que cada pera tiene un 
peso de 250 gramos.
 - Explicamos qué sucede si Santiago decide que el arreglo de frutas mostrado en la Figura 2 
se debe sustituir por la segunda ilustración de la Figura 1 ¿Cambian los resultados? 
UNIDAD 8
194 Mochila de herramientas TALLER DE ECUACIONES 
SESIÓN 12
ENCUENTRO LA RESPUESTA CORRECTA.
Actividad 12
Paso 1 
Observo que en la Figura 1 se muestra 2 gráficas que son 
la solución de un sistema de ecuaciones simultaneas. 
 - Elijo la gráfica que corresponde a la solución del sistema 
que se muestra en el Cuadro 1. 
Cuadro 1
2x + 3y = 4
5x – 6y = 17
Figura 1
 - Explico los criterios que utilicé para elegir la solución correcta.
1
2
3
4
5
6
7
–1
–2
1 2 3 4 5–1–2–3–4–5
Gráfica (a)
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5–1–2
Gráfica (b)
UNIDAD8
195TALLER DE ECUACIONES Mochila de herramientas
SESIÓN 12
Paso 2 
Leo:
Nora vende atol en el Mercado Central. Hoy, Alberto le ha pagado 24 quetzales por 3 
vasos de atol de elote y 2 escudillas de atol blanco. Elena, que llega después, le compra 4 
vasos de atol de elote y una escudilla de atol blanco, por lo que le paga 22 quetzales.
¿A qué precio vende Nora el vaso atol de elote y a cuál precio el vaso de atol 
blanco?
Resuelvo en el cuaderno:
 - Analizo la Figura 1 y planteo una de las 
ecuaciones del sistema de ecuaciones 
simultaneas en el cuaderno para esta 
situación. Tomo en cuenta la información del 
Cuadro 2.
x = Precio de un vaso de atol de elote
y = Precio de un vaso de atol blanco
Cuadro 2
 - Analizo la Figura 2 y planteo la otra ecuación que completa el sistema de ecuaciones para 
esta situación.
Resuelvo el sistema de ecuaciones planteado por cualquiera de los métodos de eliminación en 
el cuaderno.
 - Explico cada uno de los procedimientos que realizo hasta llegar a la respuesta final.
 - Compruebo que la respuesta sea: x = 4, y = 6.
Atol de elote
Q. 4.00
Atol Blanco
Q. 6.00
2424XX YY
Atol de elote Atol Blanco
22X Y
Figura 1
Figura 2
UNIDAD 8
196 Mochila de herramientas TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Paso 3 
SESIÓN 13
RESOLVEMOS UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
Actividad 13
¿Qué necesitamos saber? 
Para resolver un problema mediante un sistema de ecuaciones simultaneas, 
hay que traducir al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado y después 
resolver el sistema planteado empleando cualquiera de los métodos ya estudiados. 
El ejemplo 1 sirve de guía.
x = Billetes de Q. 10.00
y = Billetes de Q. 20.00
Cuadro 1
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Cuadro 2
Seguimos el orden:
 - Establecemos, quién es x y quién es y, tal como se 
muestra en el Cuadro 1:
 - Escribimos las 2 ecuaciones que integran el sistema de 
ecuaciones. La Figura 1 muestra la primera ecuación 
ilustrada. Traducimos esta ecuación y la escribimos en el 
cuaderno.
Ejemplo 1:
Antonio tiene en alcancía billetes de 10 quetzales y 20 quetzales, en total tiene 20 
billetes y 440 quetzales, que servirán para la compra de zapatos de sus hijos. 
 - ¿Cuántos billetes tiene de cada valor? 
 - La segunda ecuación de este sistema se ilustra en la Figura 2. Completamos la 
ecuación.
Escribimos el sistema de ecuaciones de la forma que 
se muestra en el Cuadro 2, donde a1, b1, c1, a2, b2 y 
c2 son números reales.
Figura 2
50 + 10 = 440
Figura 1
x + y =
UNIDAD8
197TALLER DE SISTEMAS DE ECUACIONES Mochila de herramientas
Paso 4
Leemos: 
En su librería, Alejandra vende cuadernos de 100 páginas en 6 quetzales y de 150 páginasen 
9 quetzales. En esta semana, sólo de la venta de cuadernos, obtuvo 162 quetzales.
 
 - Si vendió 16 cuadernos grandes menos que los cuadernos pequeños, escribimos el sistema 
de ecuaciones que representa esta situación. Nos guiamos por la Figura 3.
Paso 5
Leemos:
Rudy vendió en su ferretería, durante una semana, 48 cubetas de pintura a bajo precio, por las 
que obtuvo 3,660 quetzales. La cubeta de pintura blanca vale 70 quetzales y la de color tiene 
un precio de 85 quetzales.
 - Realizamos para esta situación un planteamiento ilustrado que represente un sistema de 
ecuaciones. Luego, exponemos nuestro resultado en clase.
Paso 6
 - Elegimos cualquiera de los sistemas planteados en el Paso 4 y 5 de esta sesión y lo 
resolvemos empleando cualquiera de los métodos estudiados.
 - Justificamos cada paso y verificamos las respuestas. 
 - Para justificar cada paso empleamos el cuadro que se muestra en la Figura 4.
SESIÓN 13
Tabla de secuencias
Escribamos los pasos en orden cronológico
Tema
Primero
Siguiente
Siguiente
Siguiente
Siguiente
Último
Figura 4
22 + 27 = 156
Figura 3
– = 16
Variable que representa 
los cuadernos pequeños.
Variable que representa 
los cuadernos grandes.
Esta ecuación se lee así: 
“La diferencia entre los 
cuadernos pequeños y 
grandes es 16”
UNIDAD 8
198 Mesa de Trabajo PROYECTO
Empoderamiento comunitario; 
una mejor calidad de vida.
Fase II: Alianzas, consensos y donaciones
En mi comunidad
Nivel Aula: VCCCooperación
Forma de integración donde 
las personas trabajan juntos, 
prestándose ayuda de forma 
organizada.
Pequeña Industria
Entidad independiente 
conformada por un número 
pequeño de personas, se 
dedican a la producción, 
transformación y prestación 
de un servicio.
Crédito 
Es una operación financiera 
donde una persona 
(acreedor) o institución presta 
a otra (deudor). 
Financiamiento
Es el recurso monetario 
financiero para llevar a cabo 
una actividad económica. 
Sumas tomadas a préstamo 
que complementan los 
recursos propios.
Inventario patrimonial 
Es el conjunto de bienes 
de considerable valor 
acumulados por una 
comunidad a lo largo 
de su existencia. 
Plan de negocios 
Todo plan de negocios 
Incluye estudios financieros, 
de mercado y de impacto 
ambiental.
Paso 1 90 minutos 
Identificar la fuente de información y apoyo
 - Realizamos el análisis acerca del emprendimiento comunitario y las 
posibilidades para la creación y funcionamiento de pequeñas industrias 
en la comunidad. 
 - Revisamos las funciones de los gobiernos de aula y del consejo estudiantil.
 - Disponemos del mapeo de instituciones comerciales o de servicios con las 
que se pueda celebrar convenios a alianzas estratégicas, para financiar la 
pequeña industria local.
Paso 2 120 minutos 
Determinar la forma de ejecución
Preparación del lugar para la atención de expertos:
 - Gestionamos y preparamos el local (actividad organizada en el proyecto 7).
 - Coordinamos con las comisiones específicas y el gobierno de aula de cada 
grado, así como con el consejo estudiantil del centro educativo, la atención 
correspondiente a los expertos, según las consideraciones de la agenda 
preparada para este día.
Reunión con los expertos
- La comisión de emprendimiento dará la bienvenida a los expertos 
invitados para este día, quienes compartirán su experiencia en los procesos 
comerciales que realizan. El orden de las presentaciones y su moderación 
estará a cargo de la comisión, con apoyo del gobierno de aula y el consejo 
estudiantil.
Presentación 30 minutos
¿En qué consiste este proyecto integrador? 
En establecer alianzas y consensos, para formar pequeñas industrias comunitarias, 
que proveen los bienes y servicios necesarios, para mejorar las condiciones de vida 
y alcanzar el desarrollo de la comunidad.
¿Cuál es el propósito de este proyecto? 
Generar progreso y desarrollo sostenible en la comunidad, con el 
aprovechamiento adecuado de los recursos naturales, con acciones 
cooperativas, a fin de tener calidad de vida para todos.
¿Qué necesito para la ejecución de este proyecto? 
 - Conocer la organización estudiantil del centro educativo: quiénes 
conforman los gobiernos de aula de cada grado, quiénes forman el consejo 
estudiantil.
 - Análisis del inventario comercial y patrimonial de la comunidad.
 - Esquema integrador y cronograma de proyectos correspondiente al área 
de emprendimiento (proyecto 4). 
SESIÓN 14
Proyecto 8 Actividad 14
UNIDAD8
199PROYECTO Mesa de Trabajo
Mi ruta de salud 
Entrenamiento de hombros
Press Sentado Anterior.
Ejecución del ejercicio: 
3 series de 10.
- Sentado en banco 
o escritorio, con la espalda 
recta, sostengo una barra 
sobre la parte alta de mi 
pecho.
- Inhalo y elevo la barra 
verticalmente sobre mi 
pecho hasta la completa 
extensión de mis brazos.
- Desciendo la barra hasta 
la posición inicial. Exhalo. 
En mi comunidad
Nivel Aula: VCC
Paso 5 30 minutos
Texto paralelo
 - Elaboro un inventario acerca del patrimonio comercial de la 
comunidad. 
 - Recopilo información relacionada con el recurso humano 
profesional en mi comunidad: agricultura, arte culinario, 
recreación, servicios de salud, seguridad, educación, transporte, 
vivienda, entre otros.
 - Hago parte de mi texto paralelo, los comentarios y opiniones 
derivadas de mi proyecto empresarial, así como las 
reflexiones acerca de mis avances identificados a partir de las 
evaluaciones.
Paso 4 240 minutos
Ejecución de la actividad:
Desarrollo de proyecto empresarial
 - Elaboramos un plan de proyecto empresarial. Tomamos como 
base la información recabada a partir de exposiciones de los 
expertos e investigación de conceptos, según cintillo de la 
página anterior. Este plan incluirá la información básica, para 
formar una pequeña industria comunitaria.
Presentación de productos:
Promoción y mercadeo
 - Desarrollamos de manera creativa, alguna forma para dar a 
conocer nuestro proyecto empresarial. Puede hacerse uso de 
los recursos ya conocidos (afiches, volantes, anuncio de radio 
o televisión, entre otros). 
 - Elaboramos el plan de acción para la presentación de nuestros 
productos, actividad a realizarse en el próximo proyecto de 
emprendimiento: Feria de innovación empresarial.
Actividad 15
Sitios Web sugeridos 
 - https://www.flickr.com 
 - https://www.pinterest.com
Calidad de vida: 
 - https://es.wikipedia.org/wiki/Calidad_de_
vida
Estrategias para una calidad de vida 
sostenible: 
 - http://www.eurosur.org/futuro/fut52.htm
Iniciativas comunitarias: casos de 
estudio: 
 - http://www.bvsde.paho.org/bvsacd/
cd48/tools_compart.pdf
 - http://www.unicef.org/spanish/sowc08/
docs/sowc08_panel_3_7-sp.pdf
Fortalecimiento capacidades 
comunitarias:caso de estudio:
 - http://www.indeso.org/pdfs/2010/
ecoturismocuzalapa.pdf
 - http://biblio3.url.edu.gt/Tesis/2011/04/06/
Laynez-Martha.pdf
Ruta de la salud
Con la orientación del facilitador, realizo mi ruta de la salud. En esta 
oportunidad, flexionaré la espalda baja.
Proyecto empresarial
Es el conjunto de acciones 
que se realizan en un lapso 
determinado, en el cual 
se involucran una serie de 
recursos para su desarrollo. 
Todo ello con el fin de 
resolver una necesidad 
o aprovechar una 
oportunidad, obteniendo 
mediante su desarrollo, 
un beneficio para quien 
lo realiza.
SESIÓN 15
Paso 3 90 minutos
Dinámica de la presentación
Durante las intervenciones de los expertos:
 - Anotamos la información que consideremos relevante. 
 - Formulamos, con respeto, preguntas y comentarios.
 - Grabamos de ser necesario, sus presentaciones para dejar constancia 
de los modelos utilizados por los expertos.
 - Atendemos con mucho interés la presentación de los prototipos y planes 
de negocios, necesarios para implementar la pequeña industria.
UNIDAD 8
200 Evaluación - UNIDAD 8-
SESIÓN 16
EVALUACIÓN DE CIERRE DE LA UNIDAD
VALORO MI APRENDIZAJE.Problema 1 
En la tienda de Don Juan, por la mañana Doña Mercedes le compra 3 naranjas y 2 
zapotes y le paga por estas frutas 12 quetzales, luego por la tarde Doña Mercedes 
regresa a la tienda y le compra 4 naranjas y 1 zapote, por lo que paga 16 quetzales. 
La Figura 1 muestra el planteamiento de diferentes ecuaciones y solo dos de ellas 
cumplen con la compra realizada por Doña Mercedes. 
Actividad 16
Figura 1
 - Elijo 2 ilustraciones que cumplan con la compra de Doña Mercedes.
 - Escribo el sistema de ecuaciones.
 - Resuelvo el sistema de ecuaciones por el método de igualación o sustitución.
 - Indico el precio de una naranja y el de un zapote.
Resuelvo en el cuaderno las siguientes situaciones:
UNIDAD8
201Evaluación - UNIDAD 8-
SESIÓN 16
Problema 2
Roberto tiene dudas sobre sí las ecuaciones planteadas en el Cuadro 1 forman un sistema de 
ecuaciones simultaneas. Ayudamos a Roberto a comprobar que estas ecuaciones forman un 
sistema “consistente”.
 - Completo las tablas que se muestran en la Figura 1.
 - Trazo las rectas en el plano cartesiano y verifico si estas se cruzan.
 - Si se cruzan, identifico el punto (x, y) de intersección.
Problema 3
Ana María compró dos libros de autores guatemaltecos. Tal como se indica en el Cuadro 1, 
ella pagó por los libros 170 quetzales. Si la diferencia entre el costo de un libro y el otro es de 
20 quetzales, entonces:
 - Escribo un sistema de ecuaciones para esta situación.
 - Resuelvo el sistema por el método de suma y resta (reducción).
 - Determino: ¿cuánto costó cada libro?
 Recuerdo analizar y registrar mis progresos.
90 a 100: Lo logré con excelencia. Color verde oscuro
76-89: Lo logré. Color verde claro
60-75: Puedo mejorar. Color amarillo
0-59: En proceso. Color rojo
x = Precio del libro “Hombres de maíz”
y = Precio del libro “Guayacán”
Cuadro 1
Figura 2
x y
Ecuación (1)
3x + 2y = 24
x y
Ecuación (2)
4x + y = 22