ARITMETICA ESENCIAL

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Omar Salcedo Girón 
Luis Barrienìos Cale’:: .
*
Razones y serie de razones 
geométricas equivalentes
Lectura de motivación 13
Concepto de razón 14
Razón aritmética 14
Razón geométrica 15
Situaciones particulares 17
Serie de razones geométricas
equivalentes (SRGE) 22
Resolvemos juntos 30
Practiquemos lo aprendido 48
Magnitudes proporcionales
Lectura de motivación 53
Conceptos previos 54
Relación entre magnitudes 54
Propiedades 55
Aplicaciones de las magnitudes 57
Resolvemos juntos 64
Practiquemos lo aprendido 81
Promedios
Lectura de motivación 87
Concepto de promedio 88
Promedios importantes 88
Variación de la media
aritmética (a MÁ) 93
Promedios particulares 93
Resolvemos juntos 100
Practiquemos lo aprendido 118
Regla del tanto por ciento
Lectura de motivación 123
Concepto 124
Equivalencias importantes 124
Propiedad *25
Operaciones con el tanto por ciento 128 
Empleo del tanto por ciento 128
Resolvemos juntos 137
Practiquemos lo aprendido 154
Regla de interés
Lectura de motivación 159
Concepto 160
Elementos 160
Tasas equivalentes 161
Clases de interés 161
Resolvemos juntos 168
Practiquemos lo aprendido 191
Teoría de conjuntos
Lectura de motivación 197
Concepto de conjunto 198
Diagrama de Venn-Euler 198
Relación de pertenencia (e) 
y no pertenencia (g) 199
Determinación entre conjuntos 200
Relaciones entre conjuntos 200
Conjuntos especiales 202
Operaciones entre conjuntos 203
Resolvemos juntos 213
Practiquemos lo aprendido 230
Teoría de la numeración
Lectura de motivación 235
Concepto 236
Sistema de numeración 236
Numeral capicúa 238
Representación literal de
un numeral 239
Descomposición polinómica 239
Cambio de base de un numeral 240
Propiedades 242
Conteo de numerales 245
Resolvemos juntos 249
Practiquemos lo aprendido 268
Operaciones fundamentales en Z +
Lectura de motivación 273
Adición 274
Resta o sustracción 278
Complemento aritmético (CA) 280
Multiplicación 282
División 285
Resolvemos juntos 291
Practiquemos lo aprendido 308
Sucesión numérica
Lectura de motivación 313
Concepto 314
Progresión aritmética (P.A.) 314
Progresión geométrica (P.G.) 319
Resolvemos juntos 325
Practiquemos lo aprendido 348
Teoría de la divisibilidad
Lectura de motivación 353
Conceptos previos 354
Representación de los números 355
Principios fundamentales 357
Criterios de divisibilidad 361
Resolvemos juntos 369
Practiquemos lo aprendido 386
Clasificación de los números enteros
positivos (Z+)
Lectura de motivación 391
Clasificación según la cantidad 
de divisores 392
Clasificación por grupos
de números 395
Teorema fundamental de
la aritmética 397
Estudio de los divisores de 
un número entero positivo 398
Resolvemos juntos 494
Practiquemos lo aprendido 420
Estadística
Lectura de motivación 425
Concepto 426
Conceptos previos 426
Recopilación de los datos 427
Organización y presentación
de datos 427
Análisis de las variables 427
Gráficos 430
Medidas de tendencia central 431
Resolvemos juntos 435
Practiquemos lo aprendido 457
Análisis combinatorio
Lectura de motivación 467
Concepto 468
Principios de conteo 468
Técnicas de conteo 470
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
Teoría de probabilidades 
Lectura de motivación 
Conceptos previos 
Definición clásica de probabilidad 
(regla de Laplace)
Operaciones con eventos 
Propiedades 
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
Glosario
Bibliografía
481
502
507
508
509
509
510 
517 
535 
539 
541
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k
r
CÍ*&'W<« V -'• ^ • v" " < W -
1
^ S: : ir' - * - vV ■̂\ ̂
RAZONES Y SERIE DE RAZONES 
GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
' ¿‘VvwS
n
¡n
El número de oro, o numero áureo, es un número irracional 
que representamos con la letra griega phl ((¡>), en honor a 
Fidias por ser la primera letra de su nombre, y que es igual a
1+^ - = 1,6180339887...
Este número fue un hallazgo de los griegos de la época 
clásica y se utilizó para establecer las proporciones de los 
templos, tanto en su planta como en su fachada. Por ejem­
plo, en el Partenón (véase la figura), Fidias también lo apli­
có en la composición de las esculturas. Curiosamente, esta 
proporción, considerada como la más armoniosa para la 
sensibilidad humana, se corresponde con las proporciones 
que nos presenta la naturaleza.
Aprendizajes e s p e r a d a s
• Comparar y relacionar cantidades, ya sean homogéneas 
o heterogéneas.
Formar o reconstruir una serie de razones geométricas.
• Utilizar métodos prácticos, propiedades o algoritmos 
para la resolución de problemas.
¿Por qiaé es necesario este conocimiento?
Es necesario por la aplicación que se le da en la vida 
cotidiana. Por ejemplo, cuando vamos de compras, com­
paramos precios, de este modo encontramos una relación 
entre los precios a medida que las cantidades aumenten o 
disminuyan; en la ingeniería, al usar escalas para elaborar 
maquetas; o en el área contable, para realizar movimientos 
financieros.
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Razones y serie de razones geométricas 
equivalentes
1. CONCEPTO DE RAZÓN
Es la comparación que se establece entre dos cantidades me­
diante las operaciones de sustracción o división.
2. RAZÓN ARITMÉTICA
Es la comparación de dos cantidades mediante la operación de 
sustracción para determinar en cuántas unidades una cantidad 
excede a la otra.
j Cuando se diga solamente razón, i sin indicar de qué clase es, se 
i asume que se refiere a la razón 
C geométrica, porque es la más 
: usada en la vida cotidiana; por
i ejemplo, en la elaboración de 
| maquetas, en la lectura de las
i / escalas en un mapa...
V'lí! \ '!/ZZ//////‘ " ' ...........r í j
Ejemplos
1. Comparemos los números 20 y 12.
I £f ■/ 2 1 ‘azón ari tn iet c j
20 Sz 
V t * t
antecedente cerisecuenís
El resultado obtenido indica lo siguiente:
• 20 y 12 se diferencian en 8.
• 20 excede a 12 en 8.
• 12 es excedido por 20 en 8.
2. El ancho y el largo de un terreno rectangular miden 15 m y 
24 m, respectivamente. Comparemos estas cantidades.
razón aritmética 
------------ *------------ ,
24 m - 15 m = 9m
valor de la
antecedente consecuente razón aritmética
= 8
: | valor cíe la
razón, aritmética
El resultado obtenido indica lo siguiente:
• El largo y el ancho se diferencian en 9 m.
• El largo excede al ancho en 9 m. '
• El ancho es excedido por el largo en 9 m.
Razones y serie de razones geométricas equivalentes
i :Cuando sé diqa :< 4 y .. .. .1. " "rm r om ‘A es una vez 8 -> A -B 
• /A es 2 veces 8 -> A = 28 
-rrr—Á es 3 veces 8 A = 38; 
-~» A es n veces 8 —> A = n8
t-Pero cuando se diga
A es una vez más que 8 -> A=28
A=38 
A=48
• A es 2 veces más que 8 ->
■ sr: ■ A es 3 veces más que 8111 v/ íj ■ -r - , ' ' ■■■■■u* h A es n veces mas que 8 -4 A-(n+1)8
■ J
3. RAZON GEOMÉTRICA 
Es la comparación de dos cantidades mediante 
la operación de división para determinar 
cuántas veces una cantidad contiene a la otra.
Ejemplos
1. Comparemos los números 2 y 8.
antecedente
consecuente
1 x /-i 2j =_____
’ :_8 i 4 x /
T T t
4 i
razón
• geométrica
valor de ia?r:% ; 
razón geometrica
El resultado obtenido indica lo siguiente:
• 2 es la cuarta parte de 8.
• 2 y 8 son números en la proporción o 
relación de 1 a 4, porque 2 contiene 1 
vez a 2 y 8 contiene 4 veces a 2.
. 2 es como 1, y 8 es como 4, porque
2=1x2 y 8=4x2.
2. A una reunión asistieron 20 varones y 
30 mujeres. Comparemos estas cantidades.
antecedente-
consecuente
20
30
razón
geometrica
2 x /10 _| 2 j 
3 x )6 ¡_3_í
valor de la 
razón geométrica
El resultado obtenido indica lo siguiente:
• La cantidad de varones es los dos 
tercios de la cantidad de mujeres.
• La cantidad de varones y mujeres está 
en la proporción o relación de 2 a 3, 
porque 20 contiene 2 veces a 10 y 30 
contiene 3 veces a 10.
Además, si agrupamos a los varones de 2
en 2 y a las mujeres de 3 en 3, tenemos que
Hoy 10 grupos
20 varones—* 2 2 2 ... 2
30 mujeres — 3 3 3 ... 3
Hay 10 grupos
Por lo tanto, por cada 2 varones hay 3 
mujeres.
7-----— :---------------------- \
Importénte
Cuando se diga: “A y 8 están en la relación de m 
y n , quiere decir que\ i ;•?' , ; ' y '
A m A B .— ° — = — - k —> A=mk a B-nkB n m n
Las siguientes expresiones son equivalentes:
• Ay 8 están en la relación de m y n.
• A y 8 están en la proporción de m y n.
• A es como m y 8 es como n.
• A y 8 son entre sí como m es a n.
En general, para dos cantidades A y 8 tenemos
| j ¡ jj ! { ''V
: ! Aritmética Geométricai
iiCQ1 ó *
—
s
donde
- A: antecedente
- 8: consecuente
- r. valor de la razón aritmética
- k: valor de la razón geométrica
5
Aplicación 7
Determine el valor de la razón aritmética en
cada caso.
a. En un día, María confecciona 8 polos y Ana 
5 polos. Calcule la razón aritmética de las 
cantidades de polos.
b. Si las edades de Isabel y Marco hoy son 
30 años y 26 años, respectivamente, de­
termine la razón aritmética de sus edades 
dentro de 8 años.
Resolución
Resolvemos cada problema.
a. 8-5=3
b. Ordenamos los datos en la tabla/ . 2
Isabel 30 años 38 años
Marco 26 años 34 años
38-24 = 4 
Aplicación 2
2La razón geométrica de dos números es - . 
Si el antecedente es 6, calcule el valor del 
consecuente.
Resolución
antecedente — * 
consecuente — *•
Aplicación 3
La relación de dos números es de 3 a 7. Si el 
mayor número es 42, halle el menor número.
Resolución
menor — *• \x ¡ 3 x 6
mayor — * ;42¡ 7 x 6
x= 3x6 = 18 
Aplicación 4
Si A y 8 están en la relación de 7 a 4, además A 
excede a B en 12, calcule el valor de B.
Resolución
Como A y B están en la relación de 7 a 4, 
entonces tenemos
- = - -> A=7k a 8 = 48 
B 4
Además, A excede a B en 12.
A-B=42 -+ 78-48=121 
y < 3/c = 12 -> k=4
fí=4(4)=16 
Aplicación 5
Si A es tres veces más que B, además ambos 
números suman 35, calcule el valor de A.
Resolución
Como A es 3 veces más que B 
A = 48
Además 
A+B=35 
48+8=35
58=35 -+ 8=7
H o y D e n t r o d e B años
6 :_ 2_x 3 
x ; 5 x 3
x= 5x3 = 15 A=4(7) = 28
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Aplicación 6
Los volúmenes de dos cilindros son entre sí 
como 12 es a 15. Si el menor volumen es 44 m3, 
halle el mayor volumen.
Resolución
Sean v1 y v2 los volúmenes de dichos cilindros. 
Por dato, v1 y v2 son entre sí como 12 es a 15.
menor
mayor
i = ̂ = 4
'2
—> 44 4 x11 m3 
v2 5 x11 m3
v2=5x11=55
4. SITUACIONES PARTICULARES * 0
4.1. - En edades
Comparemos las edades (en años) de Juan y 
Carlos.
Hoy Edadactual
Dentro de 
4 AÑOS
Juan 13 años i 18 años 22 años
Cari os 11 años i 16 años 20 años
Diferencia: 2 años 2 años' 2 años
r r _ _ ■J______ ZT~
La diferencia no cambia.
En conclusión, al comparar las edades de dos 
personas a través del tiempo, se cumple que 
la diferencia de sus edades es constante (no 
cambia).
Aplicación 7
Hace 5 años, la diferencia de las edades de 
Luis y Alberto era de 4 años. Si la suma de sus 
edades actuales es 30 años, ¿cuál es la edad 
actual de Alberto?
Resolución
Sean L y A las edades actuales de Luis y 
Alberto, respectivamente. Nos piden A
Como la diferencia de edades es constante, 
entonces
/ -A = 4
/ + A = 30 
2A = 26
A = 13 años 
Aplicación 8
La diferencia de las edades de Sandra y Cintia 
es 6 años. Si dentro de 4 años sus edades es­
tarán en la relación de 7 a 5, ¿cuál fue la edad 
de Cintia hace 5 años?\ yp
Resolución
Por dato
V= 30 ?
-5 -4
H a c e 
5 AÑOS
Edad
actual
D e n t r o d e 
4 AÑ O S
Juan 7k-9 7k-4 7 k
Carlos Sk-9 Sk-4 5 k
Diferencia: 6 años 6 años
De la tabla tenemos 
7k-5k=2k=6 -> k=3
Nos piden
5/r-9=5(3)-9=6 años
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Aplicación 9
Actualmente, las edades de dos personas 
están en la relación de 8 a 11, y dentro de 10 
años estarán en la relación de 7 a 9. ¿Cuál fue 
la suma de las edades hace 4 años?
Resolución
Por dato
Edades
actuales
8k~4 \ 8k
m - 4 \ . Hit-
Suma: 19/c—8
8/r+10
1U+10
de 7 a 9
.. ;■
Por dato
ri7+ in = X 72/r+90=77/:+70 1U+10 9 i
20=5k -> k-4 X
\ éP'V ¿f-
19/r—8=19(4)—8=68
4.2. En móviles ̂ :
Comparemos las velocidades y las distancias 
recorridas por dos móviles {A y 8), respectiva­
mente.
5 s
- vA y vB: las velocidades de A y 8
- dA y dB: las distancias recorridas por A y B
Comparamos las velocidades de A y B.
vA _ 3 j^ rrí/s) _ 3 
vb A ^ r r í l s j 4 vb 4
Comparamos las distancias recorridas por A y B.
dA _ 3(10 m) _ 3 
dB 4(10 m) 4
d_A = 3 
dB 4
Por lo tanto, cuando los tiempos son iguales, 
se cumple lo siguiente:
de
Es decir, la relación de las velocidades es igual 
a la relación entre las distancias recorridas por 
A y B, respectivamente.
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Aplicación 70
Dos móviles (A y fí), separados cierta distan­
cia, parten simultáneamente al encuentro. La 
velocidad del móvil A es dos veces más que 
la del móvil B. ¿Cuánta era la distancia que los 
separaba ¡nidalmente si cuando se produce el 
encuentro, uno de ellos recorrió 200 m más 
que el otro?
Resolución
Por condición, los móviles parten simultánea­
mente, entonces el tiempo que transcurre para 
ambos es igual.
Comparando las distancias recorridas por los 
móviles A y B, se tiene que
dA- d B = 2K=200 
-> K = m
Nos piden
4K=4(100) = 400
Aplicación 77
Dos móviles (A y B) están separados 500 km 
y parten al encuentro con velocidades en la 
proporción de 7 a 3. ¿Cuánto le falta llegar al 
otro extremo al móvil A en el instante en que 
ambos móviles están separados 90 km por 
segunda vez?
Resolución
De la condición del problema, la primera vez 
en que A y B están separados 90 km ocurre 
antes del encuentro entre A y B.
Gratam os
vB=3v
2»
A
h90 kfTH
500 km —
8
La segunda vez en que A y B están separados 
90 km ocurre después de haberse realizado.el 
encuentro entre A y B.
3 d
Del gráfico 
3d=90+x 
—> x=3c/-90
Además
7d+x =500
7c/+3c/-90 = 500 
10c/ = 590
-> d= 59
Nos piden x. 
x=3(59)-90 
x=B7
igfe A .....___ . v
La relación de las velocidades será iqual a la re-litm iir/ '/// n.v v v 'v '_______ - ■ 'láción de las distancias recorridas solo si el tiem­
po transcurrido es igual para todos los móviles 
y si sus velocidades permanecen constantes.
9
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
4.3. En una mezcla
En un recipiente mezclamos agua (A) y vino (V); 
como se muestra a continuación:
Al inicio Extraemos ' Nos quedan
— — ? ^ S
Ì ]
1/4 A 5 : A
40 L ' " " v 10 L ' . v
-, 1 
I
J
60 L
V
15 L 45 L
1/4 J
Comparando los volúmenes de agua y vino, 
respectivamente, se observa que
20 L _ 1 5 L _ 1 15 L - 1 %
4 0 L ~ 2 ' 10 L~ 2 ' / 30 L _ 2
t______________ t / '
La proporción de los volurneO 
nes de agua y virio no cambia)
En conclusión, al extraer parte de una mezcla, 
la proporción de sus ingredientes no se altera.
Además se observa que
• 5 L= —(20 L)4
• 10 L= —(40 L)
4
• 15 L= —(60 L)4
Ai extraer la cuartel 
. parte del total cieqa 
mezcla, en lo extraído 
sale la cuarta parte de 
cada Ingrediente.
En general, al extraer una fracción de la mez­
cla total, de cada Ingrediente sale también la 
misma fracción.
> ,v> j ? / / / / / . í / / / /
: ím núrian tt/ // ■,purtaiW /%//:
Una mezcla es la reunión de dos o más sus­
tancias llamadas ingredientes, en la cual cada
componente no pierde sus propiedades natu-
• . . i - ; - .rales.r r . ____ - - - . ______ _____________ ___2¿
Aplicación 12
De una mezcla que contiene 40 L de vino y 
30 L de agua se extraen 42 L. Calcule la razón 
aritmética de la cantidad de agua y vino que 
sobra luego de la extracción.
Resolución
Sean V el vino y A el agua.
Tenernos Extraemos Nos quedan
y
-̂--------^ ......—---- .------ ... .......... ---; . . V . V" .......... .............. ...............i ili# .... '- ' '
■ A A
70 7 x 6 - 4 2 L
Nos piden
16 L—12 L=4 L
Aplicación 13
Se tiene en un recipiente 100 L de una mezcla 
formada por gaseosa y vino. Si extraemos 40 L, 
de los cuales 10 L son de gaseosa,
¿cuántos 
litros de vino y gaseosa, respectivamente, que­
dan aún en el recipiente?
Resolución
Sean G la gaseosa y V el vino.
Tí»enemos Extraemos ios quedar
* \ ¿ u}
í 1
G
--- —? \
v G
- .......- -•?
.1(25) V 30 L “ 1 (10) V
100_L
4(25)
40 L 60 L
4Í1S1
Por lo tanto, quedan 45 L de vino y 15 L de 
gaseosa.
2
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Aplicación 14
Se mezclan 40 L de vino con 20 L de agua y 
de esta mezcla se extraen 12 L. ¿Cuántos litros 
de agua se deben agregar a lo que queda de 
la mezcla para obtener igual volumen de vino 
y agua?
Resolución
Por dato
Al ¡nido
vino
agua
60 L
Quedan
S ......... .. .................... -
; 4.(51 (2} vino 2x16..
■ 20 L (1) agua 1x16
3x16 = 48 L
Se extraen 12#..
Luego
vino
agua
—> 32 = 16+x 
x = 16
„„.V — — - .......^ ~ — ....... , s
______________ '■
12_L X t '
______________________ " "
• agua
^ _____ ! _____^
Aplicación 75
A una fiesta asistieron 140 personas, entre 
varones y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 
4 varones. Si se retiran 20 parejas, ¿cuál es la 
razón entre el número de mujeres y varones 
que se quedan en la fiesta?
Nos piden
40 _ 2 
60 ” 3
Aplicación 16
Si el producto de dos números es 180, pero su 
razón aritmética es 3, calcule la suma de dichos 
números.
Resolución
Sean A y B dichos números.
Por condición 
4 x 8 = 180
Además
4-8=3 -> 4 = 8 + 3
Luego
(8+3jx8 = 180 
. 82+38=180
Despejando tenemos 
82 + 38-180 = 0
8
8
+15
-12
- 158 +
- -128 
+38
8 + 15=0 o 8-12=0 
-+ 8 =—15 o 8 = 12 y 4=-12 o 4=15
Por lo tanto
• Si 4=-12 y 8=—15 -> 4 + 8=-27
• Si 4=15 y 8=12 -> 4 + 8=27
Resolución
Se tiene
Inicio Sfc VAN Quedan
Varonas 4x20 20 60
MU M RLS 3x20 20 40
Total: 7x20
Aplicación 17
En una granja se observa que el número de 
pavos es dos veces más que el número de co­
nejos y, además; la suma de las cantidades de 
cabezas y patas se encuentran entre 170 y 190. 
¿Cuántos conejos hay en la granja?
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Resolución
Recordemos que la expresión dos veces más 
significa tres veces. Entonces respecto de la 
cantidad de pavos, se tendría
N.° DE 
CABEZAS
N.° DE 
PATAS
N.° DE PAVOS
' X:2
3x̂
X-
*̂6x
i ':....... .N.° DE CONEJOS X -*4x
Total: 4x 10x
Por dato
170 < n.° de cabezasú+f n.° de patasen total en total <190j
Ax
-> 170<14x<190
12,14... < x< 13,57... 
x= 13
*0x
■•-14
5. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS I 
EQUIVALENTES (SRGE)
5.1. CONCEPTO
Es la igualdad que se establece entre tres o más 
razones geométricas que son equivalentes.
Ejemplos
1. Sean las razones
antecedentes
consecuentes
Igualamos
serie de 1res razo­
nes geométricas 
equivalentes
|27 _ 18 _ 30 ; 3 ;
—¡9 " 6 "10 i y
valor de la sazón 
o constante de . 
proporcionalidad
donde
- 27; 18 y 30: antecedentes
- 9; 6 y 10: consecuentes
- 27 y 10: términos extremos de la serie 
(el primer y último término)
2. Tenemos
antecedentes
3 6, 12 24 _ 1
consecuentes
Esta es una serie de cuatro razones geomé­
tricas equivalentes. En esta serie se obser­
va, en particular, que
• (2.° término) = (3.er término) = 6
•y (4.° término) = (5.° término) = 12 
y : (6.° término) = (7.° término) = 24
A este tipo de serie se le denominará serie de 
razones geométricas equivalentes continua. En 
general, una SRGE se representará así:
s
3 II. II -VII
cfiII
C1 2̂ Cn Cn
__ J
donde
- o,; a2; c?3; ...; an: antecedentes
- cv c2; c3; ...; cn. consecuentes
- k: razón o constante de proporcionalidad
- o1 y cn: términos extremos
Pero si la SRGE es continua, se cumple
a b _ c 
b c d
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
y IKv 7 ■ f/j 
Importante
; . n h r
La serie continua — =—=—=k b c d
también'se puede representar así:
. dk2 dk d
porque al despejar a; fe y c. en la serie original;
se tiene que 1
c=dk
. ,• b=ck-dk-k=dk2
• a-bk-dk2 ■ k=dk3a
J ; * \ x ,
ObservaciónI ü> 1117/En una serie de razones geométricas equi­
valentes, cada uno de los términos ocupa un\ 
lugar determinado.
1er término _ 3 er término _ 5.°término 
2 o término 4 o término< 6 o término 
Ejemplo j | ¡ j
Dada la SRGE
12 = 15 =_9 =.3j 
16 “ 20 "12 4
I | Ir I í I I I '/////////S- Stenemos
4 o término: 20
' \• ■
v-o\\
• 5 o término: 9
2.° término: 15
Aplicación 18
En una serie de cuatro razones geométricas 
equivalentes, los consecuentes son 10; 5; 7 y 12. 
Si la suma de los dos primeros antecedentes es 
75, halle los valores de los otros antecedentes.
Resolución
Formamos la serie con los datos indicados.
antecedentes
A =í = - = — = k] A + B = 7S 10 5 7 12
consecuentes
Despejamos
A = m i B=5k;C=7k y D=12/r
Nos piden 
C+ D = M
Por dato
A + B=-)5k=75 
—> k= 5
C=7(5)=35 y D=12(5)=60 
Aplicación 19
Si — = además x-y-z=192,
3 4 2
halle el valor de x+y+z.
Resolución
Igualamos la serie a una constante k.
3 4 2 k
Despejamos los valores de x; y, z en términos 
de k.
x=3k; y=4k; z=2k —> x+y+z=9k
Por dato
x-y-z=192
-> (3/í)(4C)(2íí)=240=192
0=8 -> k=2
x+y+z=9(2)=18
importante
Cuando se diga que los números A; B y C son
proporcionales a m; n y p, quiere decir que
N ¡ ■. "• ' .
A B C ,— = — = — = k —> A=mk; B=nk; C=nk m n p
' ;o\ ¡ i i ’•; v '//,'/, />
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicación 20
Las medidas de los ángulos internos de un 
triángulo son proporcionales a 1; 2 y 3. Calcule 
el mayor ángulo.
Resolución
Sean A; B y C dichos ángulos internos.
Por dato, A] B y C son proporcionales a 1; 2; 3, 
entonces
A=k; B=2k y C=3k
mayor ángulo
En un triángulo se cumple que
(suma de ángulos intemos)=180°
-> A + B + C = 180°
2/r-h3Ar = 180° -> k=30°.
/. C=3(30°)=90° ' V
Rcfto ataaber. . ~~
.Tres números son proporcionales a<20;/10,y,25?
. . . . . . .
: 3j¡....... i ¡y»
'"númefos? m
5.2. Propiedades 
Dada la siguiente SRGE:
12 20 _ 16 _ 32 _ 2 cas que se multiplican.
18_ 3 0 ~ 2 4 _ 48 3 Además, observemos que
observemos lo siguiente: 20 + 16-32 )6 2
30 + 24-48 ~~ 2A ~ 3
12+20 ^ 2 _ :2 :
18+30 /tá 20-16 + 32 36 2
30-24 + 48 34 3
20 + 16 + 32 faé Í 2 Í t n. razón de
16 + 12-20 ,8
- - ,
30 + 24+48 )Q Í i 3 i / 2 i
24 + 18-30 y¿ 3 i
12+20+16+32 J3(f _ : 2 : / 16-12 + 20 24 2 :
18+30 + 24+48 )2Ó i _3_ i 24-18 + 30_ 36 ~ 3-
En general
(suma de antecedentes) __ 'razón de i 
(suma de consecuentes) la SRGE j
Luego, al multiplicar
12x20
18x30
12:-¡X
18:
20
30
OO2
u
C G 1razón
3
12x20x32
18x30x48
¡12: 20: ¡32: f 2̂ |:— :x ---*X'--- ' = —:18: 30: :48: L 3 y
(2 ( 2 (2 razón
12x20x16x32
18x30x24x48
En general
12| !20¡ — 'X— x 
18 i ¡30 ¡
16; !32 — x — 
24 48
C? C? (.y C
2 4
3 /
t
3zón
I razón üe(producto de antecedentes)
(producto de consecuentes) i la SRGE j
razón de 
la SRGf.
2
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
. 6 d = f '
. u„ ̂ : , v . , ¡i ; .
\ Ij \ { / / / / / / / f i 4 / / / /.V '“ -“-- » -----------
i W fDada la SRGE S&N11iI I II s í s v S -o c e , :/S— = — = ~ = k ' '' s ÍSv
~ b d f s s :
a + b _ c + d _ e + f _ k +1 S - ífS s
* a -b c - d e - f k - 1 . . S S S y
¡ ^; ¡ - an+cn+en =kn
tn S ' ' -
X Z 3
Ä r V
WW/»
'qi f i f
siili 1 1 * %•$ ; $ $ i £ 1
i
| « i I | 
Mfl HU i , L i , S ::s;rS
S\\\\ y-Ss
Aplicación 21
a b c d ,Si - = ademas4 7 5 2
a + b -c = 48, calcule el valor de V^.
Resolución
Por dato
a _ ¿ > _ c _ c / _ ^ _ 48 _ g
c/= 2x8 -» c/ = 16
VÍ6 = 4
Aplicación 22
S¡ £ = - = - = - , además axb+ cxd= 207, 
4 2 5 3
calcule el valor de a+c.
Resolución
Dato:
o ¿i c d _ /
4 _ 2 _ 5 ~ 3
Por la propiedad de serie
0 ^ 4 = ̂ y 0 4 = it2
4 x2 5x3
—̂ axb=Qk¿ y cxcM S/í2
Del dato
axb+cxc/=23/^=207 
k^=9 —» /r=3
o _ ¿ > _ c _ c / _ 3 
4 ~ 2 _ 5~ 3 ~~
Porla propiedad de serie
£+ C=3
4+5
o+c = 9x3=27 
Aplicación 23
Si 32 y 4 son el primer y el último anteceden­
te de una serie de cuatro razones geométricas 
equivalentes continua, halle el valor del último 
consecuente.
Reso lu c ió n 
Por dato
S v ,S » prime'— i i— último
x antecedente 1 1 antecedente
32 _ a _ 6 _ 4
o ¿i 4 c
Por la propiedad de serie
= /r3 =8 -» k=232x^
xi X x^ x4
Nos piden c.
4 o 4
c . 2
c=2
Aplicación 24
En una serie de cuatro razones iguales, al dividir
el producto de los antecedentes entre el pro-
256ducto de los consecuentes, se obtuvo---- . Si
81
la suma de los consecuentes es 99, ¿cuánto es la 
suma de los antecedentes?
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Se tiene la siguiente serie:
- = - = * = l = k
b d f h
Del dato
a x c x e x g 4 256 - 
b x d x f x h ~ 81 <
44 . 4„ -» 6 = —
Además
o+c+e+g ,—■-------- . = 6
\b + d + f + h\ 1_4
y 3
—̂99
99x4 _ a+c+e+g = —-— = 132
Aplicación 25
Si los números 54; b; c y 128 forman una se­
rie de razones geométricas continua, en ese 
orden, calcule b+c.
Resolución
Nos piden b+c. Como los números 54; ¿>; c y 
128 forman una serie de razones geométricas 
continua, se tendría 
54 _ b _ _ c _ _ k
b ~ c " 128 “ v V #
Por la propiedad de serie'
27
+ T x / x / = k3 2 7 = j t 3
64
64
Extraemos la raíz cúbica.
i = *4
Luego
11 = 1 -> ¿> = l i l i = 72
b 4
c
128
3
4
—̂ c — ■
3
128x3 = 96
Aplicación 26
Las edades actuales de Carlos, Eduardo y Mila­
gros están en la proporción de 4; 7 y 5. Si hace 
15 años estaban en la relación de 3; 9 y 5, halle 
la edad de Eduardo dentro de 7 años.
Resolución
Sean C, E y M las edades actuales de Carlos, 
Eduardo y Milagros, respectivamente.
Nos piden 6+7.
Por dato 
C E M- = - = — = k -» C=46; £=76; M=56 4 7 5 •
Hace 15 años las edades fueron (46-15); 
(76-15) y (56-15).
Por dato
46—15 ̂ 76-15 56-15
Z . 3 ^ ^ 9 " 5
Luego igualamos
1 ̂ 46-15 56-15
— — = — ------ > 206-75 = 156.-45
56=30 -> 6=6 
£+7=7(6)+ 7 = 49
Aplicación 27
c.a 9 12 . . „Si - = - = — = 6, halle a+b.4 a b
Resolución
Del dato
a 9 2- = - —> a =36 4 a
—> o = 6
Reemplazamos el valor de a en la serie inicial.
6 = 9 = 12 3
4 6 ~ b “ 2b+c=72+96=168
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Entonces
12 3
7 - 2 -> 24=3b
b = — -» b =8 3
a + b = 6+8 = 14
Aplicación 28
Si - = — =z -̂ -̂ = 3i halle a-b + c. 
c 4 b
Resolución
De la serie observamos que
— = 3 -> c = 4x3 = 12 
4
Además
— = 3 -> 0 = 12x3 = 36
c \
Luego 
36 + 6 42= 3 -» b = — = 14 
b 3
a-ó + c=36-14+12=34
Aplicación 29
En una serie de tres razones geométricas con­
tinua, cuya constante de proporcionalidad es 
3, se sabe que la suma de los dos últimos con­
secuentes es 32. Determine la suma de los dos 
primeros antecedentes.
Resolución
Una serie continua de tres razones geométricas 
tiene la siguiente forma:
r valor de la constante
£ = - = - = k = 3 (i)
Al despejar se tiene que 
c-3 d
-> b=3c=3(3d) = 9d 
a=3b = 3{9d) = 27d
Reemplazamos (II), (III) y (IV) en (I).
primeros
antecedentes
(ID
(III)
(IV)
27d)_(9d)_3d^_3 
9d _ 3 d~ d 
Por dato
3d+d = 4d = 32 -+ d= 8 
Nos piden
• 27d+9d = 36d = 36(8) = 288
Aplicación 30
Rosa y María están distanciadas 320 m y 
parten a su encuentro con velocidades que 
están en la relación de 5 a 3, respectivamen­
te. ¿Cuál es la diferencia de los espacios re­
corridos por ellas cuando le falten 56 m para 
encontrarse?
Resolución
Tenemos
5
'3
María
d ^ 3 k
y
■ 56 m - 
320 m
Del gráfico
5/r+3/c+56=320
8/r=264 -» k=33 
-+ dR=5(33)=165 a dM=3(33)=99
dR~dM=66 m
Aplicación 31
Dos móviles {A y B) parten de dos ciudades 
hacia su encuentro con velocidades que es­
tán en la relación de 7 a 3, respectivamente. 
Luego de cierto tiempo se encuentran sepa­
rados 90 m después de su encuentro. En ese 
instante, ¿cuánto le falta a A para llegar al otro 
extremo si la distancia entre las ciudades es de 
500 m?
Resolución
Tenemos
vb 3 dB 3
Del gráfico
500=7/r+3/r=10/r -> k=50
Nos piden x. 
x= 3k-7x9 
x=3(50)-63
x=87
Para investigar
Busque cuántas parejas de números naturales cumplen que su razón aritmética sea igual a su razón 
geométrica.
Capítulo 1 
Razones y serie de razones geom
étricas equivalentes
RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.” 1
0+1- ¿» + 2 ,5 i---- =---- , ademas o + 6 + 3=60,2 3
halle el valor de o.
A) 23 
D) 12
Resolución
De la condición
o +1 6+2
B) 30
62 3
—> o + 1—2/c a 6 + 2=36
Sumamos
o = 26-1 
6 = 36-2 >
0 + 6 = 56-3
Se tiene que
o+6 + 3=60 
5 6 - / + X = 60 
56=60 -> 6=12
o=2(12)—1=23
Problema N.° 2
C) 18 
E) 28
i Clave \ «
Dos números están en la relación de 5 a 7. Si 
su razón aritmética es 18, ¿en cuánto excede el 
triple del menor al doble del mayor de dichos 
números?
A) 6 
D) 9
B) 2 C) 12 
E) 8
Resolución
Sean o y 6 dichos números.
Por dato
a 5 o = 56 (menor número)
b~ 7 6 = 76 (mayor número)
Nos piden
3o-26=3(56)-2(76)=6
Por dato 
6-o=18
76-56=26=18 -> 6=9 
3o-26=9
= Clave \
Problema N.° B
12La razón de dos números es — . Si la suma
5
de los cuadrados de dichos números es 676, 
calcule el mayor de los números.
A) 24 
D) 28
B) 18 C) 20 
E) 21
Resolución
Sean o y 6 dichos números.
Por dato
£ = 12 o = 126 (mayor número)
6 5 6 = 56 (menor número)
Nos piden o.
Por dato
o2 + 62=676 —> (126)2 + (56)2=676 
14462+2562=676 -> 169/^= 676 
62=4 -> 6=2 
o=12(2)=24
; Clave \
3
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema M.° 4_________________ _______________
La cantidad de dinero que tiene Ana y la canti­
dad de dinero que tiene Lucy son entre sí como 
11 es a 7. Si Ana da S/.80 a Lucy, ambas tendrían 
la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Ana?
A) S/.190 B) S/.260 C) S/.300 
D) S/.600 E) S/.440
Resolución
Por dato
-> 11/r- S/.80 = 7/r+S/.80 
4/r= S/.160 
k = S/.40
Nos piden 11 k.
... H(40)=S/.440
; Clave ; j
Problema N.° 5_______________________________ _
La suma de dos números es 200, y si le agre­
gamos 40 a cada uno de ellos, los nuevos nú­
meros obtenidos serían proporcionales a 3 y 4. 
Calcule el valor del mayor de dichos números.
Resolución
De los datos tenemos
-> (3k-40) + {4k-40)=200 
7A—80=200 
7^=280 
k=40
Nos piden 4Ar—40.
... 4(40)-40=120
i Clave \ } ̂:í- ̂ 'v¿.. • ..........
Problema N.° 6_________________________________
Una varilla de fierro de 40 cm de longitud es 
dividida en tres partes, tal que la longitud de 
la primera es dos veces la segunda, y esta es 
dos veces más que la tercera. ¿Cuál es la me­
dida de la parte intermedia?
A) 10 cm B) 18 cm C) 12 cm 
D) 15 cm E) 16 cm
Resolución
Tenemos
»=-—;---..tt:— ■, ............. - ....... ....- ■ ---- >
i------ A ------- t------B -------1----C ---- 1
i----------------- 40 c m -----------------1
A) 120 
D) 130
B) 80 C) 100 
E) 140
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Datos:
• A=2B
• B=3C -> A = 2(3Q = 6C
Luego
4k+ 40= m -S0 
90=6k -> k=15
Del gráfico
/4 + ß + C = 40cm 
6C+3C+C=40 cm 
10C=40cm -> C= 4 cm
Nos piden 3k-2.
/. 3(15)—2 = 43
; Clave
ß=3(4 cm)=12 cm
: C/C7Ve i
Problema N.° 7
La edad que tuvo Jenny hace 4 años y la edad 
que tendrá Nataly dentro de 6 años están en 
la relación de 1 a 2, además la edad que tendrá 
Jenny dentro de 6 años y la que tuvo Nataly 
hace 4 años están en la relación de 5 a 4. Halle 
la suma de sus edades actuales.
A) 43 
D) 20
B) 60 C) 48 
E) 45
Resolución
Del primer dato tenemos
' -4 +6
Hace Edades Dentro de
4 AÑOS actuales: ,........ :__....-..A 6 años ;
f Jenny k k+4 +̂10
: Nataly 2/r-10• 2k-6 2 k
Suma: 3k-2
Además 
k +10
2/C-10 .4
Problema N.“ 8
Un recipiente contiene 64 L de vino y 16 L 
de agua. Si se extraen 20 L de la mezcla y se 
reemplazan por agua, de la mezcla resultante, 
¿cuál es la razón aritmética de la cantidad de 
vino y agua?
A) 20 L 
D) 24 L
B) 26 L C) 16 L 
E) 30 L
Resolución
Sean V el vino y A el agua.
80 L 20 L 50
1/4 final
Nos piden
V
A
48 L—32 L = 16 L
i Clave
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema N.* 9
Las velocidades de dos motociclistas están en 
la proporción de 7 a 9 y se dirigen uno al en­
cuentro del otro. Luego de 1 h se encuentran 
separados 240 km. ¿Cuánto tiempo transcurre 
en total hasta que se encuentran si inicialmen­
te estaban separados 400 km?
A) 2,5 h
B) 3h
C) 2h
D) 2 h 10 min
E) 3,5 h
Resolución
Sean A y B los motociclistas.
7x10 — h— 240 km —i— 9 x 10 — h
(-7x15+9x15-1 
i----------------- 400
km —
Para el motociclista 4
70 km ---- ► 1 h
105 km ---- xh
105x1 , r
En consecuencia
(tiempo)=(1+1,5)=2,5 h
Por lo tanto, en total transcurren 2,5 h hasta 
que se encuentren los motociclistas.
; Clave1.
Problema N.° 10___________________
A una fiesta asisten 200 personas entre varo­
nes y mujeres, donde hay 3 varones por cada 
2 mujeres. Luego de 4 h se observa que por 
cada mujer hay 2 varones. ¿Cuántas parejas 
formadas por un varón y una mujer se retira­
ron?
A) 64 B) 60 C) 50
D) 48 E) 40
Resolución 
Por ejemplo
A l in ic io Se v a n
^DE LA FIESTA 10 PAREJAS
Ahora
QUEDAN
:
70 y ! 10
60
r ' r¿r ./fy k M tailÈs 50 * 10 o
Diferencia: ' 20
t
20
t ̂ j , La diferenc:ía no se alte
retirarse ur igual mámero de
varones y de mujer- Î S .
En el problema
i
Ij
A l IN ICIO DE 
LA FIESTA
S e v a n
X PAREJAS
A h o r a
q u e d a n
V a r o n e s 3x40 X 2x40
! M u j e r e s i 2x40 X 1x40
Diferencia: ■ 1x40i 1x40à
Deben ser ¡guales
Total = 200 = 5x40
De la tabla
3 x40 -x= 2 x40 
x = 40
; Clave [.................... .'i
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Problema N.° 11
Si
a b e- = - = - y 2a + 3c= 310, 
calcule el valor de 2b.
A) 80 
D) 60
B) 50 C)' 70 
E) 40
Resolución
Del dato inicial
2x a _ b _ 3xc 
2x8 ~ 2 ~ 3x5 =k
í 310
- , 2ó=É = 3£=jt=g£+á£i=í0
16 2 15 31
0 = 2x10 = 20 
20 = 40 '
Clave
Problema N.’ 12
. . f í _ C =_D
S i A ~ B ~ C ~ D ~ 32' 
halle el valor deA + 5+C+D.
A) 20 
D) 16
Resolución 
Por dato
B) 30 C) 10 
E) 64
A B C = D_ = k1
A B C D 32 (*)
Por propiedad
1xA x5xC xP
A x fíxC xD x32 = ks - , <r5 = 132
Luego
‘ ' ■ y - H
iX
Reemplazamos k en la expresión (*).
J _ _ A _ 5 _ C _ _ D 
A~~B~C~ D~ 32 _ 2
Entonces
1 _ 1
A _ 2
2 _ |
B~2
4 _ J
C~ 2
8 _ _ |
D~ 2
A + B + C+D-30
- = - -> A = 2
- = - -> 5 = 4
- = - C= 8
- = - _> D = 16
C/ove
Problema N.° 13
Halle el menor de tres números proporciona­
les a 5; 10 y 15, con la condición de que el pro­
ducto de los dos primeros números sea 800.
A) 20 
D) 80
B) 40 C) 60 
E) 100
Resolución
Nos piden C. Sean A; 5 y C dichos números.
Por dato A; 5 y C son proporcionales a 5; 10 y 
15, es decir
A___5___C_ A _ 5 _ C
i ~ ) ó ~ y í
1 2 3
-> A = k] B = 2k] C = 3k
Capitulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Además
AxB=800 -» kx2k=800 
2b2 = 800
= 400 -> k = 20
/. C= 3(20) = 60
; Clave
Problema N.‘ 14 ______________________
A una fiesta asisten 240 personas, en donde la 
relación de varones y mujeres es de 5 a 7. Si en 
cierto momento de la fiesta se observa que las 
mujeres que no bailan y los varones que bailan 
están en la relación de 5 a 9, calcule cuántos 
varones no bailan.
A) 35 B) 40 Q 15,
D) 20 • X * 10
Resolución
Ordenamos los datos.
,
■ L B a i l a n . • Nú %BAILAN
. 3|
^OTAL
[ V a r o n e s ; 9 k 100-9/r 5x20
[ M U JER ES 9 k 5 k 7x20
12x20
24(3
íp<XKX><*X><X>C*><>0<><̂̂ -
Observación
En estos casos se cumple que
í n° de varones 
que bailan )
A n̂ 0 de mujeres 
que bailan
Clave \
Problema N.° 15___________________________ _____
Se tiene que los ángulos internos de un cuadri­
látero son proporcionales a los números 18; 12; 9 
y 15. ¿Cuál es la medida del mayor de dichos 
ángulos?
A) 100°
D) 120°
Resolución'
B) .180° C) 160° 
E) 60°
Sean A,: B; C y D dichos ángulos. Como son 
proporcionales a 18; 12; 9 y 15
.mayor..r í- %;
• > A = - 4 = C = - h ; A+B + C + D = 360° 
18 .12 ¿ 15 ----- -------'
6 4 3 5
4 =£ =£ =£ =* =M = 2 0
6 4 3 5 18
Nos piden A.
6x20 = 120°
; Clave
De la tabla
9/r+5/r=7x 20=140 
14/r = 140 
Ar = 10
Problema N.° 16 * 8
Dada la serie - = - = — = k,8 b 20
donde a; b y c son números enteros positivos, 
calcule el valor de c si a+b+c= 26.
B) 6Nos piden 100-9/c 
100-9(10) = 10
A) 5 
D) 20
C) 10 
E) 18
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Como a+b+c = 26 -> a+ c= 26-b 
Por la propiedad de serie
_ /r_ 26-ó 6 _ 26-¿>
8 b 20 28 b~ 28
6x28 = bx(26-b) = 14x12
Como 6 = 2^ o 12, entonces
• Si ¿> = 14 —» ^ =— (c? no es entero)8 14
c- u n 6 C• Si ¿> = 12 -> — = —12 20
/. C = 10 /
i C/m/e
Problema 17
En un corral se observa que por cada 2 gallinas 
hay 3 patos y por cada 5 pavos hay 4 patos. Si 
se aumentaran 40 gallinas, el número de estos 
sería igual al número de patos. ¿Cuántos pavos 
hay en el corral?
A) 150 
D) 100
B) 160 C) 130 
E) 140
Resolución 
Ordenamos los datos.
Gallinas Pa t o s
...... ’1
P a v o s ;
2 x 4 k
3x4 k 
4 x 3 k
12 k
. ¡
5 x 32
15 k
Por dato
8^+40 = 12/r -> k = 10 
(n.° de pavos) = 15(10) = 150
Clave ••
Problema N.* I B ____ _____________________
Juan le da a Pedro 100 m de ventaja para 
una competencia de 1000 m, y Pedro le da a 
Carlos una ventaja de 200 m para una compe­
tencia de 1800 m. ¿Cuántos metros de ventaja 
debe de dar Juan a Carlos para una carrera de 
2000 m?
A) 400 
D) 300
Resolución
B) 500 C) 600 
E) 700
f-— —----- j ---------- i
10x100 m
i----200 m ---- f — 8 x yoQ n i------ 1
- 1800 m --------------- 1
9x200 m
Entonces
ventaja de 
i— :— 400 m —
h
---- 8x200 m -----1
9x?.00 m --------- 1
10x200 m 
- 2000 m -
* Clave
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema N.° 19
En una serie de cuatro razones geométricas 
equivalentes continuas, la suma de los extre­
mos es 410. Si los términos y la constante son 
números enteros positivos, halle el término ex­
tremo mayor.
A) 360 
D) 390
B) 400 C) 405 
E) 380
Resolución
Representamos la serie continua así:
/-mayor extremo
ak ' akz
akó akc
°k2 _ ° k _ i<
°k :o : ♦
Ssífenteros menor W
extremo i . *
Dato:
ak4+a = 410 -> a{k4+^ = 410 = 5x82 
a(k4+l) = 5x(34+l) -+ 0=5 y k=3
ak4 = 5x34 = 405
Problema 20 * 49
Clave
Sea — = — = — = -̂ —. Calcule el valor de a+b
49 16 25 100
si 4a + 4b + \fc+ 77 — 52.
A) 248 
D) 260
B) 560 C) 290 
E) 520
Resolución
Extraemos la raíz cuadrada a todos los térmi­
nos de la serie y se obtiene
4a _4 b __ = = = '
T~~ 4 " 5 ” 10 2626
Igualamos la nueva 
ser¡e a una constante />
Elevamos al cuadrado. 
o _ b c _ d 
49 _ 16 _ 25 ~ 100 ~
Por la propiedad de serie tenemos 
a +b _
49+16 ~
- ' *£-65 '
a + b - 65x4 = 260
: Clave
Problema N.° 21
4az +9 _ 4b2 +16 Ve2 +25 
' 7l8 732 750
además a2+c2 = 544, halle b.
A) 20 * J . B) 15 C) 24
D) 16* E) 12
Resolución 
En el dato
V.
7o2 +9 _ 4b2 +16 _ 7c2 + 25 
7Í8 732 750
Elevamos al cuadrado todos sus términos. 
o2+9 ¿7+16 c2 +25
>8
9
¿2
16
J5tf
25
Luego al descomponer cada razón tenemos
9 +/9 “ Í 6 +/¡6 ~25 + l 5
Nos queda
í 
a
9 16 25 34
o2 b2 c2 544 = 16
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Luego
b2
— = 16 -> b2=16x16=162 16
¿>=16
; Clave [
Problema N.° 22
c¡ o +15 Ò + 20 c+40
b = r ~ in = ademas c-a= 75,o-15 b - 20 c -40
calcule el valor de a+b.
A) 80 
D) 120
B) 150 C) 105 
E) 65
Resolución • ; ':-
„ , . . o + 15 b + 20 c+40 íDe la serie------ = ------ =-------, observamoso-15 b - 20 c-40 ¿ r -
que por su forma podemos usar la siguiente 
propiedad: . C .
m p r
q s
■ rn + n p + o _*.+. + si 
m -n p - q - r#s
Entonces
o + 15 _ ¿>+20 _ c+40 ̂ _o___6___c_
o-15 ~~ ¿>-20 _ c -40 15 _ 20 ~ 40
Simplificando los consecuentes tenemos
o _ ¿> c _ c -o _7 5 
3 _ 4 _ 8 _ 8 - 3 _ 5 "
-+ o=3(15)=45 a ¿?=4(15)=60
Problema N/ 23
Carlos y Mariano parten a la vez uno al en­
cuentro del otro de dos ciudades (A y B), res­
pectivamente, con velocidades entre sí como 4 
es a 7, respectivamente, y la distancia de sepa­
ración es 550 m. Si, inmediatamente después 
del cruce, Carlos disminuye su velocidad a la 
mitad y Mariano duplica la velocidad que te­
nía, calcule cuánto le falta a Mariano para lle­
gar a A en el momento en que a Carlos le falta 
330 m para llegar a B.
A) 75 m B) 80 m C) 70 m 
D) 56 m E) 60 m
Resolución 
Del problema
Del gráfico 
*+140=200
o+ó=105
; Clave í.................*1
*=60 m
: Clave
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema N.° 24
En una fiesta se observa que los varones que 
bailan y las mujeres que no bailan están en la 
relación de 5 a 3, mientras
que las mujeres que 
bailan y los varones que no bailan están en la 
relación de 7 a 2. Si las personas que bailan 
exceden en 78 a las que no bailan, ¿cuántos 
varones no bailan?
A) 30 
D) 15
Resolución 
Nos piden 10k.' 
Del problema
B) 24 C) 18 
E) 20
| V a r o n e s 
P M u je r e s
Ba il a n I SfO ÍiMÍAH
"7 OK
5(7 k) s, 2(5 ir):
7(5 k) 3(7 k)
Cuando las personas bailan en pareja (varón 
con mujer), se cumple que
n ° de varones 
que bailan
5m
Luego, por dato
'n.° de personas^ 
que bailan
n̂.° de mujeres 
que bailan
7(5k)
que no bailan
70
39^=78 —> k=2
31 k
10(2)=20
! Clave
Problema M. 25 ____ __________________ ____
Las edades de Kelly y Verónica hace 6 años es­
taban en la relación de 2 a 1, pero dentro de 
4 años será de 11 a 8. ¿Dentro de cuántos años 
la relación de edades será de 5 a 4?
A) 12 
D) 9
Resolución 
Nos piden x.
B) 8 C) 15 
E) 18
H a c e 
6 AÑOS • Ho y
.De n t r o 
Dt 4 AÑOi
K e lly 2(3/r)=12 18 11W
V e r ó n ic a ; 1(3Ar) = 6 12 m
Diferencia: 1 (3« 3 (k)
' . ̂ 2 ' Deben ser iguales.
De la tabla
2{3k)+6+4=m 
6/c4-10=11At 
10=5;k k=2
Luego, las edades dentro de x años serán 
(18+x) y (12+x).
-78 Por condición
18 + x 5
=78 12 + x ~~ 4
-> 72+4x=60 + 5x 
x=12
Clave
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Problema N.c 26
El peso de Andrés excede al de Joel en 10 kg, 
y el peso de Joel es excedido por el de Rosario 
en 8 kg. Halle cuánto pesa Andrés si se sabe 
que Rosario pesa 56 kg.
A) 40 kg 
D) 32 kg
Resolución
B) 48 kg C) 42 kg 
E) 58 kg
xxxxx><><x><>c>c><x><x>ooc<><c><̂
No OLVIDE
Cuando se dice que A excede a B en r, 
quiere decir que
A-B=r /
'̂ 0<><>C <>C <><><>O <><X ^ >o<x>ooo<x><x>c><x>c><><x̂ ^
Sean
- A: peso de Andrés \
- 7: peso de Joel
- R: peso de Rosario
Por dato
A - J =10 (I)
R-J= 8 (¡I)
R= 56 (III)
Operamos (II) y (III).
56-7=8
-+ 7=48 (IV)
De (I) y (IV)
4-48=10 
-> 4=58
Por lo tanto, el peso de Andrés es 58 kg.
i Clave
Problema N.° 27
Los sueldos de Santiago y Roxana están en 
la relación de 3 a 5; pero si Santiago ganase 
S/.640 más, la relación se invertiría. ¿Cuál es el 
sueldo de Roxana?
A) S/.500 
D) S/.800
Resolución
B) S/.720 C) S/.600 
E) S/.560
xso<x*x>o<xvxxvxv;
No OLVIDE
l Cuando se dice que Ay B están en la 
relación de m a n, significa que
A m 
B~ n 
\ -> A-mK a B-nK£ V}
Sean
- S: sueldo que gana Santiago 
R: sueldo que gana Roxana
Por dato
S _3 \k_
R~ 5k
Pero si Santiago ganase S/.640 más
5 + 640 5 
R ~ 3
Reemplazamos
3/C + 640 5
5 k ~ 3
-> 9/c+1920—25/c
1920=16k -+ k=120
Por lo tanto, el sueldo de Roxana es 5/c=S/.600
Clave
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema N.‘ 28 _ _ _ _ _ _ _ _ _
En la biblioteca Amauta, la cantidad de libros 
de matemática es el doble que la de cien­
cias, y la de humanidades es tres veces más 
que la de matemática. Si la cantidad de libros 
de humanidades excede a la de ciencias en 
350, ¿cuántos libros de matemática hay en la
biblioteca?
A) 80 B) 100 C) 120
D) 90 E) 130
Resolución
Sean
- M: cantidad de libros de matemática
C: cantidad de libros de ciencias 
- H: cantidad de libros de humanidades
Por dato
M= 2C (I)
H=4M (II)
Reemplazamos (I) en (II).
, H=4(2C)=8C
Además
H -C = 350 8C - 0 3 5 0
7C =350
C=50 OH)
Reemplazamos (III) en (I).
M=2(50) -> M=100
Por lo tanto, hay 100 libros de matemática.
: Clave
• . . . . . . . . i . . . . . . ♦* i
Problema N.° 29____________ __ ____ _________
Las edades de Jhonny y Luis están en la rela­
ción de 8 a 5, pero dentro de 10 años sus eda­
des estarán en la relación de 7 a 5. ¿Cuál fue la 
suma de sus edades hace 2 años?
A) 56 B) 42 C) 40
D) 36 E) 48
Resolución
De los datos, tenemos
10 años
Presentí: Futuro
Jhonny 8x(2 k) 7 x [3k]
Luís 5x(2 k) 5x[3 k]
f diferencia \ 
vde edades¿ 3x(2 k)"“ L .. _
2x(3 k)
La diferencia debo
De la tabla se observa que 
m+W=2M< -> 10=5/:
k=2
Nos piden la suma de sus edades hace 2 años.
Pasado Presente
Jhonny 30 32
Luis 18 20
Por lo tanto, la suma de las edades hace 2 años 
fue 48.
: Clave
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 30
En una fiesta, se observa que el número de 
varones y el de mujeres están en la relación 
de 7 a 6. Además, los varones que bailan y las 
mujeres que no bailan son entre sí como 3 es 
a 5. Si 76 varones no bailan, ¿cuántas personas 
están bailando?
A) 72 B) 48 C) 60
D) 80 E) 90
Resolución
Ordenamos los datos.
í Bailan
6k .
NO BAJEAN 
(5k/76) ‘JOTAL 'y ;
I Varones *3 k 76 3k+76lüi * 2' i
! Mujeres// 3 k 5 k co
Deben ser 
iguales.
Por dato
n.° de varones _ 7 
n.° de mujeres ' 6
Problema N.’ 31_____________________ ___________
De una mezcla de 100 L de agua y 80 L de al­
cohol, se extraen 90 L que se reemplazan con 
agua. De la mezcla resultante, calcule la razón 
aritmética de la cantidad de agua y alcohol.
i
A) 80
B) 120
C) 100
D) 90
E) 95
Resolución
Graficamos
_____
^ " \ 7 7 - ...;7 "7 ■...
... la mitad
a
...- -
\ la mitrici /
Los 90 L de mezcla que salieron los reemplaza­
mos por 90 L de agua.
3k + 76 _ 7 
8 k 6
m + 4S6= S6k 
456=38k
k
456
38
k=12
Por lo tanto, la cantidad de personas que están 
bailando es 6(12)=72.
] Clave •
Entonces ahora se tendrá en el recipiente
agua
alcohol
Por lo tanto, la razón aritmética de la cantidad 
de agua y alcohol es 140-40=100.
; Clave
Capítulo i Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema N.° 32
A una reunión asistieron 500 personas, y se 
observa que la relación de varones y mujeres 
es de 2 a 3. ¿Cuántas parejas deben retirarse 
para que la nueva relación de varones y muje­
res sea de 3 a 5?
A) 50 B) 60 C) 40
D) 25 E) 100
Resolución
O b s e rv a c ió n
i|- IM HÓ.V . V Inicio
. , , . . . .
Se van Quedan
N .° DE VARONES 70 12 58
• N .° DE MUJERES 50 12 38
Diferencia: 20 ̂ . if Ífo v A ’ 20 Ó ?,;:;
T 7 _ _ J
No le altera.
Por lo tanto, cuando se retira la misma canti­
dad de hombres y mujeres, la diferencia entre
las cantidades de hombres y mujeres no se
altera.\ _ _____ J L —U
En el problema, cuando se van x 
van x hombres y x mujeres.
parejas, se
Inicio Se van Quedan
: N .° DE VARONES ¡f .C lX '- v « > - . . 200 X 3x50
j N.° DE MUJERES 300 X 5x50
Total 500 S- I
Diferencia: 100 2x50
~T~
Deben ser ¡guilles.
200-x=3x50=150
Problema NV 33_______________________________
Dos amigas (Vilma y Kelly) analizaron sus aho­
rros mensuales. Vilma gana S/.1400, y lo que 
gasta y ahorra están en la relación de 7 a 3. 
Mientras que Kelly gana S/.1200, y lo que gana 
y gasta están en la relación de 5 a 3. ¿Quién 
de las dos ahorra más y por cuánto excede su 
ahorro al de su amiga?
A) Kelly; S/.120
B) Kelly; S/.60
C) Vilma; S/.180
D) Vilma; S/.30
E) Vilma; S/.120
Ganan Gastan A h o r r a n
■'■■■ ,v
VlLMA 10x140 7x140 3x140
Kelly 5x240 3x240 2x240
Entonces
• (ahorro de Vilma)=3x140=420
• (ahorro de Kelly)=2x240=480
-» 480-420=S/.60
Por lo tanto, Kelly ahorra más que Vilma y su 
ahorro excede en S/.60.
; Clave -,
Resolución 
Ordenamos los datos.
3
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problem a N.° 34 i Despejamos los antecedentes.
c . a b + 3 15 3 , ,, c=dk; ke Z (IDhallea+b+c.20 b + 7 c 5 ; b=ck=dkxk=dkz (III)
j a=bk=dk2xk=dkSl (IV)
A) 35 
D) 38
Resolución
B) 30 C) 25 
E) 40
Observe que la constante de proporcionalidad 
de la serie es entonces cada razón geomé-
3
trica la igualamos a - .
a 3 20x3
20 5 5 /
¿> + 3 _ 3 
b + 7 ~ 5 5ó + 15=3¿» + 21 -> b=3
15 3 15x5— = - -» c =----- = 25
c 5 3
a+b+c=40
Clave \
Problema N.° 35
Si - = - = - = k (ke Z); tf+c=260 y ó-c=40, 
b c d
halle c2+r/2
A) 250 
D) 104
Resolución 
Del dato 
a b e
B) 169 C) 200 
E) '300
b c d
= k 0)
Reemplazamos (II), (III) y (IV) en (I).
dk3 _ d k 2 _d k _ ̂
dkz dk d
Por dato
a + c=260
-> dk3+dk=dk(k2+1)=260 (V)
Además 
b - c -40
-> dkz-dk=dk(k-1)=40 (VI)
Dividimos (V) + (VI).
jdf( {k2 +l) _ ¿60 _ 13 k2 +1 _ 13
^ ( * - 1 ) " # 6 ~ 2 ^ ¥ T = 7
Aplicamos aspa simple.
2^+2=13^13
2/c2—13/r+15=0 
2 k 
k
3 —> 2/r-3=0 —> k = — x
2
-5 -» Ar— 5=0 -> Ar=5 ✓
En
(VI)
dx5x4=40 -> d = Z y c = 2x5=10 
c2 + d2 = 102 + 22 = 104
i Clave
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema 56 __ ________
Calcule la constante de una serie de tres razo­
nes iguales si la suma de los cuadrados de los 
antecedentes es 452 y la suma de los cuadra­
dos de los consecuentes es 1017.
«i
»i
»! «i
° !
Resolución
Por dato del problema, tenemos
o _ c _ e _ ̂ ’ y * 0*"*""**
b d f
Elevamos al cuadrado todos los términos.
V
Por la propiedad
suma de antecedentes 
suma de consecuentes
= constante
—̂ a2+c2+e2 
b2+d2 + f 2
= k‘
Por dato
0 2 = kc
-> k2 =^ =9 U
-f
! Clave •
Problema N.° 37
Si se cumple que
c + 20 15 o + 1 _30 
“ 7 “ ' a " b 3b'
calcule a + b+c.
A) 30 B) 55
D) 49
Resolución 
Del problema
.0+1 _ 30
/ ” 3 /
3o+3=30
3a = 27 -> o = 9
Luego
c + 20 _ >5 _ 5 
c $ 3
3c+60=5c 
60=2c —> c=30
Ahora
15 _ 9 + 1 _ 10 
9 ~ b ~~b
1 90-> b = — = 6 15
C) 40 
E) 45
a+b+c=9+6+30=45
i Clave
5
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N/ 38________
En una serie de cuatro razones geométricas 
iguales con constante de proporcionalidad 
positiva, los antecedentes son 2; 3; 7 y 11. Si el 
producto de consecuentes es 37422, halle la 
constante de proporcionalidad de la serie.
« 5 e> i o;
D | 5 Elf
Problema N.° 33 ______________ __
Una fiesta inició con una determinada canti­
dad de varones y mujeres. Transcurridas 2 h, 
60 varones se retiran, de modo que queda 
un varón por cada dos mujeres. Si luego de 
una hora se retiran 80 mujeres, de modo que 
quedan 14 mujeres por cada 9 varones, ¿con 
cuántas personas empezó la fiesta?
A) 600 B) 800 C) 450
D) 620 E) 720
Resolución
Del problema, tenemos la siguiente serie de 
razones:
2 _ 3 _ 7 _ 1 1 _ ^ ' . \
a b c d
Por la propiedad de serie de razones tenemos
2x3x7x11 í4
— -------------------------- = k
a x b x c x d
Dato:
,.4
27 0 2
kA 1-- —y81 kA
i Clave
Resolución 
Ordenamos los datos.
1 - ■
! iI n i c i a: • : .••'a .. ¿..i ¿r..... .
Se
lV AN Quedan
: Se.
V A N Quedan
f t í f c óe ■
dmbNM, 9k+60 60 1x9 k[________
9 xk
V 'j ' :~,£; \\ MOJIES m : 2x9 k 80 14 x k
Total: 27/r+60
Del gráfico, observamos que 
2 x9k-80 = U k
4k=80 -> k= 20
Nos piden
27 k+60 -27(20) + 60 -600
i Clave \
............i
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema N.° 40
Las velocidades de Nahomy y Nidia están en la 
relación de 13 a 9. Cuando la más veloz llega 
al punto de partida de la más lenta, a esta le 
faltaba 352 m para llegar al punto donde partió 
la más veloz. Halle la diferencia de las distancias 
recorridas por ambas personas hasta el mo­
mento en que se produjo el encuentro.
Luego
4
Nahomy es más veloz.
A) 240 m
B) 248 m
C) 200 m
D) 196 m
E) 208 m
Resolución
Como las velocidades de Nahomy y Nidia 
están en la relación de 13 a 9, sus distancias 
recorridas están también en la relación de 13 a 
9; además Nahomy es la más veloz.
Por lo tanto, la diferencia de las distancias re 
corridas hasta el encuentro es
13x [52]-9x [52]=4x [52]=208 m
 ̂ ... / j • i Clave ..
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO%■
1. La edad de dos personas es de 36 y 
24 años; por lo tanto, están en la relación 
de 3 a 2. ¿Después de cuántos años dicha 
relación será de 5 a 4?
A) 48 B) 24 C) 36
D) 28 E) 22
2. La suma de tres números es 1425, la razón
11del primero y el segundo es — y la diferen­
cia de los mismos es 600. Halle el valor del 
tercer número.
A) 500 B) 550 - C) 608
D) 325 / E) 375
3. Una bolsa contiene dos docenas de huevos.
Si dicha bolsa se cae, ¿cuál de las siguien­
tes alternativas no puede ser la relación 
entre la cantidad de huevos rotos y enteros?
A) de 1 a 3 B) de 7 a 5 C) de 1 a 5
D) de 1 a 4 E) de 1a 2 ;
4. A una fiesta asistieron 3 mujeres por cada 
4 varones: Luego se retiran 25 parejas. 
¿Cuál es la razón entre el número de mu­
jeres y varones que se quedan en la fiesta 
si inicialmente habían 175 personas?
5. Tres de cada mil motociclistas se accidentan 
en 1 km. ¿Cuántos motociclistas de cada 
millón sufren un accidente en 1 km?
A) 6000 B) 300 C) 3000 
D) 600 E) 900
6. Lo que cobra y lo que gasta diariamente 
una persona suman S/.60; lo que gasta y 
lo que cobra están en la relación de 2 a 3. 
Si dicha persona gastara diariamente S/.12 
menos, ¿en qué relación estará ahora lo 
que gasta y lo que cobra?
A) de 1 a 4 B) de 2 a 5 C) de 1 a 5
D) de 2 a 4 E) de 3 a 9
7. Para elaborar pólvora se necesita salitre, 
carbón y azufre en la proporción de 23; 
5 y 4. ¿Cuántos kilogramos de azufre y sa­
litre, respectivamente, se necesitarán para 
elaborar 6,4 kg de pólvora?
A) 0,8 y 4,6 B) 0,6 y 4 C) 1 y 3,5
D) 0,7 y 4,1 E) 0,9 y 3,7
8. Si 4 y B están en la relación de 3 a 4, pero 
C y A se encuentran en la relación de 2 a 5, 
¿en qué relación están B y C?
A) de 9 a 5 B) de 4 a 1 C) de 10 a 3
D) de 15 a 4 E) de 20 a 6
9. Se divide 630 en tres partes (4; B y Q 
tales que A es 3 veces B, y B es 4 veces 
más que C. ¿Cuál es la razón aritmética 
entre la mayor y menor parte?
A) 360 B) 390 C) 450
D) 420 E) 280
10. Las edades de Jhonny, Wilmer y Jimmy 
son proporcionales a los números 4; 5 y 7, 
respectivamente. Si dentro de 8 años las 
edades de Wilmer y Jimmy estarán en la 
relación de 7 a 9, halle la edad de Jhonny.
A) 8 años B) 10 años C) 18 años
D) 16 años E) 12 años
E) -3
Razones y serie de razones geométricas equivalentes
11. En un recipiente se mezclan 12 L de agua y 
18 L de vino. ¿Cuántos litros de agua se de­
ben agregar a dicha mezcla para que la re­
lación inicial de sus ingredientes se invierta?
A) 15 
D) 18
B)' 12 C) 16 
E) 20
12. En una competencia atlética, Luis le ganó a 
Daniel por 40 m y Daniel le ganó a Jimmy 
por 72 m. ¿Por cuántos metros le ganó Luis 
a Jimmy si la pista atlética tenía una longi­
tud de 180 m?
A) 96 
D) 84
B) 90 C) 108 
E) 72
13. Si o + 8 3 b c +8 = 2,
a b+4 15
halle el valor de a + b+c.
A) 38 
D) 32
B) 36 C) 28 
E) 30
14. Si — = — = además A+B+C= 38,
1 1 ^
2 5 4
halle el valor de B.
A) 12 
D) 16
B) 8 C) 10 
E) 20
„ .8 1 o c v 15. Si — = - = - = — / o c v 16
calcule el valor de o+c+v.
A) 142 
D) 126
B) 116 C) 114 
E) 124
16. La sumía de los antecedentes de una
serie de tres razones geométricas ¡guales 
2es los - de la suma de los consecuentes. 
3
¿Cuál es el producto de los anteceden­
tes si el producto de los consecuentes es 
24 300?
A) 10 800 
D) 4800
B) 7200 C) 6000 
E) 3600
17. Tres números son proporcionales a 7; 
11 y 13, tales que el segundo más el cuá- 
druplo del primero suman 117. Calcule el 
valor del tercero.
A) 26 
D) 24
B) 13 C) 39 
E) 36
18. Se tienen 60 números que son proporcio­
nales a los 60 primeros números pares, 
donde la suma de los 20 primeros es 1050. 
Halle la suma de los 30 últimos números.
A) 8625 
D) 8265
B) 6285 C) 6825 
E) 5828
19. En un recipiente con una capacidad de 
60 L se han echado 10 L de agua y 400 g 
de azúcar. ¿Cuántos litros de agua se de­
berán agregar a dicha mezcla para que la 
relación entre la cantidad de litros de agua 
y la cantidad de gramos de azúcar sea de 
1 a 10?
A) 24 
D) 10
B) 30 C) 20 
E) 40
20. En un mapa a escala 1/500 000, la distan­
cia entre dos ciudades es de 10 cm. Halle 
la distancia real entre dichas ciudades, 
en kilómetros. Considere que la escala 
1/500 000 significa que 1 cm del mapa 
representa a 500 000 cm de longitud real.
A) 50 
D) 10
B) 5 C) 5,5 
E) 500
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
21 . Dos amigos (A y B) tienen juntos un capi­
tal de S/.24 000. La proporción de la parte 
que tiene A respecto a la de B es de 1 a 5. 
¿Dentro de cuántos meses estarán sus 
partes en la proporción de 1 a 3 si cada uno 
incrementa su capital en S/.400 mensual?
A) 20 B) 5 C) 15
D) 10 E) 4
2 2 . En un salón de clases, antes del recreo, el 
número de varones es al número de muje­
res como 9 es a 5. Si, después del recreo, el
que bailan y la cantidad de varones que no 
bailan están en la relación de 2 a 5. Si en 
ese momento hay 140 personas, ¿cuántas 
parejas están bailando?
A) 24 B) 12 C) 36
D) 18 E) 20
26. Juan y María parten del punto A rumbo al 
punto B con velocidades que son entre sí 
como 7 a 5. Si a los 40 min Juan llega a su 
destino, ¿cuánto tiempo emplea María en 
llegar al punto B1
número de varones y de mujeres disminu­
ye en 8 y 4, respectivamente, la razón del 
número de varones a mujeres es y ¿Cuán­
tas mujeres regresaron al salón?
A) 16 
D) 28
B) 29 C) 36 
E) 32
A) 56 min B) 60 min C) 42 min
D) 58 min E) 72 min
27. En una serie de tres razones geométricas 
equivalentes, la suma de dos razones cua-
»| 7 4 %lesquiera es — y el producto de anteceden­
tes es 240. Calcule el producto de conse-
23. Se tienen canicas verdes, rojas y negras.
Por cada 3 verdes hay 5 rojas y por cada 3 
rojas hay 5 negras. Si la cantidad de canicas 
negras excede a las verdes en 32, ¿cuántas 
canicas rojas hay? % , 5* .
A) 20 B) 30 C) 24
D) 18 E) 12
a2 b2 c2 d224. Se cumple que 
y a-b + c = 42. Halle d.
A) 60 B) 32 C) 70
D) 45 E) 36
25. En cierto momento de una fiesta, la canti­
dad de varones que bailan y la cantidad de 
mujeres que no bailan están en la relación 
de 3 a 4. Además, la cantidad de mujeres
cuentes.
A) 840 B) 360 C) 270 
D) 810 E) 720
28. Dada la siguiente serie de razones geomé­
tricas equivalentes:
o + 70 ¿> + 120 c + 300
35 60 150
calcule el valor de c si axb =756.
A) 60 B) 90 C) 120
D) 45 E) 75
29. Si ^ = 
3
°2 _ °3
5 7 = .
°n— y 19 y a6+o.i—48,
calcule n + on.
A) 65 B) 56 C) 48
D) 57 E) 66
5i
' ■ ■ • ’ -3 ' , -v! ' -■ téri:-'“ Vfjg { V t "
Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
30. Se tiene una mezcla de 70 L de agua y 
vino. Al extraer 14 L de dicha mezcla, de los 
cuales 4 L son de agua, ¿cuántos litros de 
agua deberán agregarse para que la rela­
ción de los ingredientes se invierta?
A) 72 
D) 84
B) 68 C) 56 
E) 60
31. Las edades de Juan y César están en la re­
lación de 1 a 2. Si hace 8 años la relación 
fue de 3 a 8, ¿dentro de cuántos años sus 
edades sumarán 72?
A) 10 
D) 12
B) 9 C) 8 
E) 6
32. En una asamblea, el número de varones 
con el total de personas están en la rela­
ción de 3 a 10, y la diferencia entre mujeres 
y varones es 52. ¿Cuál es la relación entre 
varones y mujeres si se retiran 26 varones?
» 1
6) í7 c)!
33. En una reunión se observa que por cada 
11 mujeres hay 9 varones. Si se retiran 30 
parejas y ahora la relación de mujeres y 
varones es de 5 a 3, calcule el número de 
asistentes al inicio.
A) 60 B) 100
D) 120
34. Se sabe que
C7-1 C7 2 ^ 4
7 “:T _ 7 ~ T
Calcule a3+a5+o7+...+a
C) 80 
E) 40
'17
si o\ +0 ̂\o \ +Og =4320.
A) 440 
D) 460
B) 560 C) 480 
E) 490
35. Calcule a + b+c+d si
_o_ _ 80 _ _ 45 c_ o_20
~30~~b ~ 34~ d V C
A) 200 
D) 370
B) 350 C) 400 
E) 345
Claves
1 5 9 13 ; 17 ; 21 : 25 29 33
2 6 10 14 18 22 26 30 34
3 7 11 15 19 23 27 31 35
4 8 12 16 20 : 24 28 32
r»:
MAGNITUDES PROPORCIONALES
El colibrí {Archilochus colubris) es el ave más pequeña del 
mundo, es nativa de México y habita en América. Tiene un 
tamaño que oscila entre 11 y 15 cm, y un peso de 6 a 8,5 g.
Las alas del colibrí se pueden mover hasta 80 veces por se­
gundo. Cuando un macho está tratando de impresionar a 
una hembra, el batido de sus alas puede aumentar hasta 200 
veces por segundo.
Es la única especie de ave que tiene la capacidad de volar en 
todas las direcciones. Durante un periodo normal de tiempo, 
su corazón latirá más de 1200 veces por minuto.
Como otros pájaros, el colibrí migra en los tiempos más fríos 
del año, llegando a volar hasta 2000 millas de distancia.
Más de la mitad de todos los colibríes muere durante el primer 
año de vida, pues la esperanza de vida de los que sobreviven 
es de hasta 4 años; sin embargo, existen informes, no verifi­
cados, de algunos que vivieron hasta 12 años.
Conocer las magnitudes y relacionarlas en su vida cotidiana. 
Identificar las magnitudes y saber su relación de compara­
ción de dos o más magnitudes.
Utilizar métodos prácticos, propiedades o algoritmos para 
la resolución de problemas.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
En muchas ocasiones utilizamos frases como el agua está fría, 
hace mucho calor, ese caballo va rapidísimo, ese celular es 
.carísimo. Todas estas frases nos indican alguna medida y nos 
dejan con una idea muy subjetiva o vaga sin saber realmente 
con exactitud qué es lo que están diciendo. ¿Se imagina qué 
pasaría si toda la gente midiera las cosas según su criterio? 
Simplemente el mundo en que vivimos sería un caos.
Dentro del estudio de las magnitudes, las mediciones son 
importantes; estas deben ser exactas y precisas.
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Dato curioso
Hay magnitudes que no se 
pueden medir y se manifiestan 
a través de los sentidos de cada 
persona; por ejemplo, el amor, 
el miedo, la tristeza...
Importante
Sean A y B valores de 2 mag­
nitudes.
a. Reconocimiento del compor­
tamiento de las magnitudes
• A\ -> B] o Ai -» B\ 
Se concluye que A DP B.
• A —> B ! o A ; -> B 
Se concluye que A IP B.
b. Se cumple que
• A DP B <-> ^=K
• A IP B <-> AxB=K‘ 
donde K y K' son constantes.
Magnitudes proporcionales
CONCEPTOS PREVIOS
Es todo aquello que tiene la Es el resultado de medir o 
propiedad de cambiar; puede contar el cambio de una 
ser medido o cuantificado. magnitud.
Ejemplos
• Longitud
• Temperatura
• Rapidez
• Obreros
Ejemplos
• 40 m
• 35 °C
• 120 m/s
• 40
2, RELACIONES ENTRE MAGNITUDES 
Se pueden relacionar de manera directa o inversa.jĝ
im d& mecate
Dos magnitudes son DP si al aumentar o disminuir el valor de 
una de ellas, los valores correspondientes de la otra también 
aumentan o disminuyen en una misma proporción.
Ejemplo■
h f 50 100 200
B S B d : 10 20 40
Gráficamente
-> distancia DP tiempo
5 0 _1 0 0 _ 2 0 0 _5 
10 " 20 “ 40 “
I — Ci
Capítulo 2 Magnitudes proporcionales
2 2 . Magnitudes inversamente proporcionales (IP)
Dos magnitudes son IP si al aumentar o disminuir el valor de 
una de ellas, los valores correspondientes de la otra disminu­
yen o aumentan en la misma proporción.
Ejemplo
N ú m e r o d e o b r e r o s 4 8 12
6 3 2
Gráficamente
—> n.° de obreros IP n ° d
4x6=8x3=12x2=24
» C— slantg
3. PROPIEDADES^#
Sean A, B y C magnitudes.
1
-a. ADP B <-> A\P —D
1
A \P B <-> ADP —D
b. ADP B ^ An DP Bn 
A IP B <-> An IP Bn
c. .Si ADP B (C no varía) 
A DP C (B no varía)
A
¿Qué es medir?
La medición es un proceso bási­
co de la ciencia que consiste en 
comparar un patrón selecciona­
do con el objeto o fenómeno, 
cuya magnitud física se desea 
medir para ver cuántas veces el 
patrón está contenido en esta 
magnitud.
Equivalencias de medidas 
1 metro = 3 pies 
1 pie = 0,3048 metros 
1 milla = 1,6 kilómetros 
1 yarda = 0,9144 metros 
1 libra = 0,45 kilogramos 
1 galón = 3,78 litros
= constante
COLECCION ESENCIAL
üÜi
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Relación DP o ÍP según sea el caso en cada pareja de 
magnitudes
Oatocurioso
La paradoja del cuadrado
Recorte y arme la siguiente 
figura:
Área: 13x5=65 • 
Por qué cambia el área?
Área: 8x8=64
Capítulo 2 Magnitudes proporcionales
4. APLICACIONES DE LAS MAGNITUDES
4.1. Reparto proporcional
Consiste en distribuir cantidades de dinero, objetos, bienes, 
etc. Tenemos dos tipos de reparto.
4.1.1. Reparto simple (puede ser directo o inverso)
• Repartimos S/.100 DP a los números 3; 2 y 5.
- = - = - = k ^ B = 2k; C=5/r3 2 5 . . .
Además A + 6+C = 100
3k+2k+5k = m -> Ar=10
Las partes repartidas son A=30; 6=20; C=50.
• Repartimos S/.310 IP a 2; 3 y 5.
4 x 2 _ 6x3 _ Cx5
Observamos 30=MCM(2; 3; 5)
—> — = — = —= m —> 4=15m; 6=10/7?; C=6m 
15 10 6
Además 4 + 5+C = 310
15/7?+ 10/7?+ 6/7? = 310 -> m = 10
Las partes repartidas son 4 = 60; 6 = 32; C = 12.
4.1.2. Reparto compuesto (dos o más restricciones) 
Repartimos S/.104 DP a 5; 4 y 2, y a la vez IP a 2; 3 y 4.
f 4 ^ o f B 1 ( c )= 3- - = 4- —
, 5 , U J \ 2 J
Luego
12-5 12-4 12-2 30 16 6
_> 4=30/r; 6=166 C=6k
Además 4 + 6+C = 104
30/C+16/r+ 6Ar = 104 -> k = 2
Las partes repartidas son 4 = 60; 6 = 32; C = 12.
Reto al saber
¿Cómo desarrollar un proble­
ma textual de magnitudes?
• Identifique las magnitudes 
que están variando.
• Tome una de ellas como re­
ferencia y compárela con las 
demás, estableciendo una 
relación DP o IP según sea 
el caso.
• Construya la expresión a tra­
bajar y empezará a compa­
rar ya sea dos o más expre­
siones.
• Lea e identifique el valor de la 
magnitud que va a calcular.
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— ̂
Dato curioso
j La regla de compañía permite 
; hallar los beneficios o pérdidas 
j de una sociedad (negocio). Su 
evolución nos informa de los 
cambios que ha habido en la 
I economía.
: Por ejemplo, en el enunciado 
; 40 del Papiro de Rindt (aprox.
j 1650 a. n.e.), se pide hallar la 
forma de repartir 100 hogazas 
entre cinco personas de manera 
que los dos últimos solo reciban 
i un séptimo de lo que obtienen 
f los tres primeros y que las can­
tidades que resulten vayan en 
i progresión aritmética.
4.2. Regla de compañía
Consiste en repartir entre varios socios los beneficios (ganan­
cias) que han obtenido o las pérdidas que han sufrido en los 
negocios.
Sean ganancia, pérdida, capital y tiempo las magnitudes:
r D
gananci a DP capital
ganancia3 DP tiempo IV__
Entonces
ganancia------ --------- = constantecapitalxtiempo
---------- -------------------
pérdida DP capital
pérdida DP tiempo
Entonces *
pérdida----:— --------- =constantecapitalxtiempo
Ejemplo
Se tienen los siguientes datos:
Si la ganancia total fue de S/.8200, ¿cuánto ganó cada uno de 
ellos?
ganancia de Alicia_ganancia de Luis ganancia de Susana
2000-8 5000-6 3000-12
Luego
Ga
8 15 18
—> Ga - 8k; Gl — 15Ar; Gs=18/r
Además
GA + GL + Gs = ganancia total 
8/r+15/t+18/t = 8200 -a k = 200
Ga = S/.1600; Gl = S/.3000; Ĝ = S/.3600
4 3 . Sistema de engranajes
43.1. Ruedas engranadas
Si la rueda A gira en sentido horario, la rueda B girará en senti­
do opuesto, es decir antihorario; además se cumple
donde
VA;V B: número de vueltas 
- Da] Db: número de dientes
Ejemplo ,
Si la rueda A da 80 vueltas, ¿cuántas dará B? •
• ■ % 3 o ffb
Sabemos
va -da = vb -d b
r í í t
80-30 =x-20
x = 120
43 .2 . Ruedas unidas mediante un eje
P
Se cumple
( n.° de vueltas N 
[ de M j
^n.° de vueltas ̂
de N
"n.° de vueltas 
de P
\
y
Algunos ejemplos donde se rea­
liza un determinado trabajo.
• Las maquinarias pesadas sir­
ven para transportar material.
• El caballo realizando la siem­
bra de un cultivo.
• La vaquita con solo comer 
está haciendo un trabajo.
• La abeja produce miel y ela­
bora su propio panal.
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Dato curioso
• : ■ ,' , ", ,, .
: Los engranajes están formados
i por dos ruedas dentadas que sir-
j ven para transmitir movimiento
; mediante el contacto.
4.4. Magnitudes de una obra 
Las magnitudes que intervienen son
ip
(n.° de obreros) (n.° de días)
(horas diarias)
(eficiencia de los obreros) 
(dificultad de una obra) 
(obra a realizar)
Luego tenemos la siguiente relación:
(n.° de obreros)x(n.° de días)x(n.° de h/d.)x(eficiencia)-------------•$ - " 1 --------- ---------------- — — ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------—
(dificuitád)x(obra)
Los obreros también pueden ser personas en general, máqui­
nas y animales.
Ejemplo
Si 6 monos comen 6 plátanos en 6 min, ¿cuántos plátanos 
comerán 80 monos en 24 min?
Obreros
Monos
6
80
DP Obra 
Plátanos 
6 
y
Luego
(obreros)x (tiempo) 
(obra)
6x6 80x24
= constante
6 x 
-» x = 320
x = 320
Tiempo
Minutos
6
24
Por lo tanto, 80 monos comerán 320 plátanos en 24 minutos.
Capítulo 2 Magnitudes proporcionales
Aplicación 7
Si A es DP a B cuando ,4 = 8 y 6 = 12, calcule A 
cuando B = 36.
Resolución
Como /A DP B 
valor de A—> — ¡--- -— = constantevalor de B
Del enunciado tenemos
/3
—> *= 8 x3 = 24
Por lo tanto, /A toma el valor de 24. 
Aplicación 2
En un determinado día, un grupo de obreros 
hacen 100 mesas. Si se contratan 18 obreros 
más, harán 400 mesas. ¿Cuántos obreros ha­
bían inicialmente?
Resolución
— : ,.... .■ - -----------------“ : ~
Observación
En este ejercicio tenemos que analizar las 
magnitudes y establecer la relación que tienen 
como
n° de obreros! DP obra
1 . . . • ■ J
El número de obreros con la obra tienen una 
relación DP. Luego
número de obreros , ,—--------- ;-----= constante
Operamos
x4
x _x+ 18
Too _ 400
x4
-> 4x = x + 18 
3x = 18
-> x=6
Por lo tanto, inicialmente habían 6 obreros. 
A p lic a c ió n 3
El precio de venta de un libro de Aritmética 
es directamente proporcional a la raíz cua­
drada del número de páginas. José compra a 
S/.20 un libro de 900 páginas. ¿Cuántas pági­
nas tendrá un libro cuyo costo es de S/.8?
Reso lu c ió n
Como precio de venta es DP ^número páginas 
precio de venta-» —¡= ■ = constante
yn.° de páginas
20 _ 8 20 _ 8
' V900 v T 30~ VT
Se cumple 
20-\fx =30-8
—> Vx =12
x = 144
Por lo tanto, el libro de S/.8 tiene 144 páginas.obra (mesas)
Aplicación 4
Según el gráfico, calcule m xn.
Se cumple A DP B. 
m 18
que tuvo un tiraje de 250 unidades cuesta 
S/.8. ¿En cuánto varía su precio si se imprimen 
150 más?
A) S/.1 B) S/.2 C) S/.3
D) S/.4 E) S/.5
R e s o l u c i ó n
Según el enunciado del texto, evaluamos la 
relación de las magnitudes.
precio IP n.° de estampillas
10 n 
Luego
m xn =10x18 
m xn = 180
Aplicación 5
Luego
preciox(n ° de estampillas)=constante
Por condición del problema tenemos 
8-250=(8-x)-(250 + 150) 
8-250=(8-xj-400 -> 5 = (8-x)
El precio de una estampilla varía en razón I _> x=3 
inversa al número de estampillas del mismo f
tipo que hay en circulación. Una estampilla Por lo tanto, el precio varía en S/.3.
Si 8 niños comen 8 helados en 8 min, ¿en cuántos minutos comerán 6 helados 6 niños?
RESOLVEMOS JUNTOS
Problema NT 1
Si A es DP a B2 cuando A es 16 y B es 2, calcule 
A cuando B es 8.
A) 64 
D) 32
B) 256 C) 8 
E) 512
Resolución
Como A DP B2, se cumple
A— = cte. 
B2
Luego
16
22 82
4 = — 
64
-> x=256 
A - 256
Problema N.° 2
-» — =164 ” 64
Clave
Si A es IP a Vfí cuando A es 25 y B es 16, calcule 
A cuando B es 400.
A) 64 
D) 10
B) 5 C) 8 
E) 4
Resolución
Tenemos que A IP Vfí, además se cumple 
A x Vfí = cte.
Luego comparamos 
25-VÍ6 = x-V4ÓÓ 
25-4 = x-20 
100 =x-20
5
: Clave [
Problema N/ 3 ______ __
Según el gráfico, calcule m xp.
A) 320 
D) 1280
B) 360 C) 4800
E) 960
Resolución
Del gráfico se observa que los valores de las 
magnitudes A y B tienen una relación IP, es 
decir
(valor de A) x (valor de B) = constante 
Luego
(m + 18)x16 = mx20 = (/n-16)xp
V (i) ' '
En (I) y (II), calculamos m.
(/tj+8)-16 = /t?x 20
(m + 8)-4 = mx5 
4/?? + 32 = 5/77 
-> 32-m
En (II) y (III), calculamos p.
/77X20 = (/77-16)xn
í . í2 D '.i 9
32x20 = 16xp 
640 = 16xp 
-> 40 = p
/. m xp = 1280
i Clave [
Magnitudes proporcionales
Problema N.° 4
Calcule a+b en el siguiente gráfico:
A) 5 -
D) 6
Resolución
B) 4 C) 8 
E) 10
Del gráfico se obsen/a que los valores que 
toman A y B son DP.
Se cumple
(I!)
A 1 o b— = cte. - = - = -B a b 8
En (I)
1 -b = a-a
b = a
En (II)
a-8 = b-b 
a-8 = b2 
a- 8 = (a2)2 
8 = a3
2 = a -+ b = 4 
a+b = 6
i Clave
Problema N.° S ______________________________
El precio de un ladrillo es proporcional a su 
peso IP a su volumen. Un ladrillo que pesa 
150 g y que tiene un volumen de 100 cm3 
cuesta S/.3. ¿Cuánto costará otro ladrillo de 
400 cm3 que pesa 160 g?
A) S/.0,6 
D) S/.5,6
B) S/.0,8 C) 7,5 
E) 0,9
Resoiudór9.
Del dato tenemos
(precio) DP (peso) 
(precio) IP (volumen)
Luego
precioxvolumen
—>
(peso)
3 100 x-400
= cte.
150 160
Efectuamos
x=S/.0,8
Por lo tanto, el costo es de S/.0,8.
Clave
Problema N.° 6
Un auto que avanza a 60 km/h cubre una dis­
tancia de Lima a Tumbes en 16 h. ¿A qué velo­
cidad debe conducir para cubrir dicha distan­
cia en la mitad de tiempo?
A) 30 km/h B) 38 km/h C) 60 km/h
D) 120 km/h E) 25 km/h
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Resolución
Lima Tumbes
velocidad
x tiempo = constante
I
ip
Tenemos
60-16 = x-8 -> x = 120km/h 
Por lo tanto, la velocidad debe ser 120 km/h
! Clave [
Problema N.c 7 ___________ ' ' %
Matías es tres veces eficiente que Pedro, y si 
juntos pueden hacer cierto trabajo en 12 días, 
¿cuánto tiempo utilizará Matías en hacerlo solo?
A) 12 días B) 16 días C) 18 días 
D) 14 días E) 15 días . '
Resolución
La eficiencia y el tiempo tienen una relación 
IP, es decir
eficiencia xtiempo=constante
• Eficiencia de Matías: 3
• Eficiencia de Pedro: 1
Problema N.‘ B_________________________________
El precio de un molde de pan es DP al cubo 
de su peso. Un molde de este tipo cuesta 
S/.10, luego se parte en 2 pedazos y se vende,
donde uno es los — del otro. ¿Qué precio de
valor sufrió dicho molde de pan?
A) S/.8 B) S/.7,5 C) S/.7,1
D) S/.7,2 E) 7
Resolución 
Ordenamos los datos.
' Inicio Final
SAIO S La S/.b
Del dato
(precio) DP (peso)3
Luego 
/precioi------ = constante
peso3
-» a = 0,64 a ¿> = 2,16 
a+b = 2,80
Por lo tanto, se pierde 7,20.
: Clove ■
Luego juntos se tendrá
^--solo Matías
(3+1)*12 = 3 -x -> x = 16
Por lo tanto, a Matías le tomará 16 días hacer 
el trabajo solo.
; Clave [
Problema N.° 9
Un cuartel tiene víveres para 120 soldados du­
rante 36 días. ¿Cuántos soldados deben retirar­
se para que los alimentos duren 18 días más?
A) 40 B) 20 C) 80
D) 25 E) 50
Capítulo 2 Magnitudes proporcionales
Resolución
Se analizan las magnitudes.
número de 
soldados x
número de' 
días = cte.V
ip
Luego
120 • 36 = (120—x) • (36+18) 
120 - 36 = (120—x) • 54 
120-18-2 = (120—x) * *18*3 
80 = (120-x) -> x = 40
Por lo tanto, deben retirarse 40 soldados.
\ Clave \ )
Problema N.* 10___________ | pJ tv > I
Siara puede leer un libro de 640 páginas en ; 
20 días. ¿Cuántos días se demorará en leer 8 
libros de 400 páginas cada uno?
A) 100 B) 50 C) 130
D) 120 E) 125
Resolución
Se tienen las magnitudes.
(n.° de páginas) (n.°dedías)
----------:
DP
Se cumple
(n.° de páginas)
(n.° de días)
640 8-400 
~20~~ x
x = 100
Por lo tanto, Siara se demorará 100 días.
; Clave \* • • .......... . . . . . . . . . r
Problema N.° TJ__________________ _ ___________
Julio pensó hacer un trabajo en 20 días, pero 
tardó 20 días más por trabajar 3 h menos por 
cada día. ¿Cuántas horas diarias trabajó?
A) 2 B) 3 C) 5
D) 6 E) 4
Resolución
Las magnitudes son horas diarias y número de 
días, y estas tienen una relación IP.
Se cumple
(horas diarias)x(número de días)=cte.
pensó hizo
i I
x-20 = (x-3) • (20 + 20)
-X x= 6
Nos piden 
% - 3 - 3
Por lo tanto, trabajó 3 h por día.
• Clave* ......... ............. .............
Problema N.* 12
Se sabe que el precio de una tarjeta navide­
ña varía en razón inversa al número de tarje­
tas del mismo tipo que hay en circulación. Si 
una tarjeta que tuvo un tiraje de 250 unidades 
cuesta S/.8, ¿en cuánto varía su precio si se 
elaborarán 150 más?
A) S/.1 B) S/.2 C) S/.3
D) S/.4 E) S/.5
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Resolución 
Del dato
precio (IP) número de tarjetas
Luego
(precio) x| número de = cte.y tarjetas j
-> 8x250 = (8 -x )• (250+150)
2000 = (8—x) ■ 400 
5 = 8 -x -> x —3
Por lo tanto, el precio varía en S/.3,:
i Clave
Problema N.° IB
Un estudiante en 8 h/d. ha empleado 4 días 
para recorrer 160 km. ¿Cuántas horas diarias 
debe caminar para recorrer 300 km en 10 días?
A) 9 
D) 8
B) 6 Q 5 
E) 3
Resolución
Relacionamos las tres magnitudes -teniendo 
como referencia a una de ellas.
distancia
horas por día 
días
DP
Luego
distancia 
(h/d.) x (días)
= cte.
160 300
8x4 x-10 
-> x=6
Por lo tanto, debe caminar seis horas diarias.
í Clave \
Prolsleiiia N.° 1 4 _____________ __________
Trabajando 10 h/d., durante 15 días, 5 hornos 
consumen 50 t de carbón. ¿Cuántas toneladas 
serán necesarias para mantener trabajando 8 
hornos en 9 h/d., durante 85 días?
A) 320 
D) 408
Resolución
B) 365 C) 388 
E) 496
Relacionamos las cuatro magnitudes, teniendo 
como referencia a una de ellas.
días
r toneladas de carbón
Luego
(hornos)(h/d.)(días)
carbón
+3
|
5-10-15 8-9-85
= cte.
50
.\ x = 408
x
• Clave
Capítulo 2 Magnitudes proporcionales
Problema N.’ IB
Para plantar gras en un terreno de 500 m2 3, 10 
personas demoraron 15 días de 7 h de trabajo. 
¿Cuántos días de 8 h de trabajo se demorarán 
en plantar 800 m2 15 personas que son el do­
ble de rápidas?
A) 4 
D) 5
B) 6 C) 8 
E) 7
Resolución
Similar al problema anterior, analizaremos las 
magnitudes.
:)i -— - obras
n.° de personas días ' . 
horas por día
10-15-7 30-X-8
800500 
-> x = 7
Por lo tanto, tardarán 7 días.
i Clave \
Problema N.a 16___________________________
Una cuadrilla de 35 obreros puede terminar 
una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de tra­
bajo se junta cierto número de obreros de otro 
grupo, de modo que en 15 días terminan lo 
que falta de la obra. ¿Cuántos obreros eran del 
segundo grupo?
A) 12 
D) 15
B) 13 C) 14 
E) 16
Resolución
Se sabe que 35 obreros pueden terminar una 
obra en 27 días.
7Ájy . Obra..;
Primera parte Segunda parte
- 6 días 
¡,- 35 obreros
- 15 días
- (35 +x) obreros
Se observa
(n.° de obreros) • (n.° de días) = cte.
Además
t̂otal de la obra' 'tramo ^tramo"
¿ a trabajar j l ¿ J ; b J
35x27= 35x6 + (35+x) -15 
->'V=14
Por lo tanto, del segundo grupo eran 14.
i Clave
Problema N.°17
2
En 12 días, 8 obreros han realizado los - de
3
una obra; en ese momento se retiran 6 obre­
ros. ¿Cuántos días tardarán los obreros restan­
tes en terminar la obra?
A) 20 
D) 24
B) 21 C) 22 
E) 25
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Resolución
Tenemos
Resolución
parte 2 
todo 3
■ . . .
s. \v \, TsW.v v , „ .. s n ;•
| Primera parte Segunda parte |
- 12 días - xdías
I - 8 obreros - 2 obreros
Luego se retiran |Nt
6 obreros.
i ' !
obreros
Se hizo
8-12
• 2
taita
2-x
1
—> (n.° de vueltas) ■ (n.° de dientes)=cte.
ip
Luego
Rúetla A Rueda 8
100-40 = x- 50 
x = 80
Por lo tanto, la segunda dará 80 vueltas.
-> x= 24
i Clave
Por lo tanto, tardarán 24 días.
; Clave i
•...................... . . . . . ’ i . . . * *
Problema N.a IB________________________________
Dos ruedas de 40 y 50 dientes están engra­
nadas. Si la primera da 100 vueltas, ¿cuántas 
vueltas dará la segunda?
Problema N.‘ 19
Una rueda 4 de 80 dientes engrana con 
otra rueda B de 50 di entes. Fija al eje de B 
hay otra rueda C de 15 dientes que engrana 
con una rueda D de 40 dientes. Si 4 da 120 
vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la 
rueda D?
A) 18 B) 32 C) 27
D) 25 E) 80
A) 18 B) 72 C) 27
D) 45 E) 180
Capítulo 2 Magnitudes proporcionales
Resolución
Graficamos el sistema de engranajes.
Luego, sumando las partes tenemos 
15x = 45000 
x = 3000
-> (5 o hijo) = 5(3000) = 15000
Por lo tanto, el menor recibirá S/.15 000.
i Clave ,
Calculamos x en las ruedas A y B.
120-80 = x-50 -> x = 19’2
Calculamosy en las ruedas C y D. 
x-15 =y-40
1 j
192-15 =y-40 -» y = 72 
Por lo tanto, D dará 72 vueltas.
: Clave ,
Problema M7 21____________________________ ___
El ahorro mensual de un trabajador es DP al 
salario que percibe. Un empleado que gana 
S/.900 ahorra mensualmente S/.90. Si al año 
siguiente su gasto mensual es de S/.1080, ¿en 
cuánto se incrementó su sueldo?
A) S/.1200 B) S/.640 C) S/.960 
D) S/.480: E) S/.300
Problema N.° 2D__________________ "
Un padre -reparte proporcionalmente S/.45000 
entre sus cinco hijos según el orden que na­
cieron. ¿Cuánto recibirá el hijo menor?
Resolución 
Sabemos que 
ahorro
salario = cte.
Dato:
A) S/.15 000 B) S/.3000 C) S/.6000
D) S/.12 000 E) S/.9000
90 k 
900 _ m
Resolución
1er hijo=x 
2 o hijo = 2x 
3 er hijo = 3x 
4 o hijo = 4x 
rr c-r.or 5 ° hijo = 5x
Luego
9/r=1080 -> k=120
Por lo tanto, el nuevo salario es S/.1200 y se 
incrementó en S/.300.
: Clave
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Problema N/ 22
Se tienen tres ruedas dentadas dispuestas 
{A, B y Q de modo que A engrana con B y esta 
a su vez engrana con C. Se sabe que A y B 
tienen 30 y 50 dientes, respectivamente, y que 
A y C dan 80 y 120 RPM, respectivamente.