Unidad 1-Funciones de variable compleja

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Matemática D y D1 
 
Módulo I - Unidad 1 
 
1 
 
MATEMÁTICA D y D 1 
Módulo I: Análisis de Variable Compleja 
 
 
Unidad 1 
 
 
Funciones de variable 
compleja 
 
 
Mag. María Inés Baragatti 
 
1- Funciones de variable compleja 
 
Si a todo número z de un conjunto D de números complejos lo relacionamos con un único 
número complejo w , decimos que hemos definido una función de dominio D y 
codominio C . 
 
Para indicar que f es una función de D en C , anotamos 
 
f : D →→→→ C 
 z →→→→ w = f(z) 
 
Si f está en las condiciones anteriores, decimos que f es una función de variable compleja. 
 
Si z y w se escriben en forma binómica y suponemos que z = x + iy , w = u + iv entonces 
w = f(z) puede escribirse mediante la igualdad: 
 
u + i v = f(x + i y) 
 
y por lo tanto u y v , que son reales, dependerán de las variables reales x e y , es decir 
 
 u = u(x,y) , v = v(x,y) 
 
 
� Ejemplos 
 
1- f(z ) = z2 es una función de dominio C que a cada complejo lo relaciona con su cuadrado 
que verifica : 
 w = f(z ) = z2 = (x + iy)2 = x2 – y2 + i 2xy ⇒ u(x,y) = x2 – y2 y v(x,y)= 2xy 
 
2- g(z) = i / |z|2 es una función de dominio C – {0} que verifica: 
 w = g(z) = i / |z|2 = i / (x2 + y2) ⇒ u(x,y) = 0 y v(x,y) = 1 / (x2 + y2) 
 
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2 
3- h1(z) = arg(z) no es una función, pues cada complejo z no nulo tiene infinitos valores del 
argumento, en cambio h2(z) = Arg(z) es una función de dominio C – {0} pues el 0 es el 
único complejo que no tiene argumento y cada complejo tiene un único argumento 
principal. 
4- Sabemos que en variable real x)x(f ==== es una función con dominio [0, ∞∞∞∞) , en variable 
compleja z no es una función pues para cada complejo z , su raíz cuadrada tiene dos 
resultados. 
Recordar que en variable real se define x como aquel número positivo cuyo cuadrado es igual a x , así 4 = 2 
 
 
∆∆∆∆ Actividad 1: 
Indicar el dominio más amplio y explicitar la parte real y la parte imaginaria de las siguientes 
funciones: 
a) 
)z2Re(
z
)z(f1 ==== b) |z|1
i2
)z(f2 −−−−
−−−−==== c) 
z
z i
)z(f3 ==== 
 
 
 
2- Límite 
 
♦ Se denomina entorno de radio r de un complejo z0 al conjunto {z / |z – z0 | < r} que 
representa un círculo abierto centrado en z0 . Si a dicho círculo le sacamos el punto z0 
tenemos lo que se denomina entorno reducido. 
 
 
♦ Si en todo entorno de z0 hay infinitos puntos pertenecientes a un conjunto D, decimos que 
z0 es un punto de acumulación de D. 
 
♦ Sea z0 un punto de acumulación del dominio D de f(z) , decimos que f(z) tiene límite L 
cuando z tiende a z0 e indicamos L f(z) lím
0zz
====
→→→→
 sí y sólo sí 0 L-f(z) lím
0zz
====
→→→→
 
 
Como |f(z) – L| es una función a valores reales, sabemos que 0L f(z) lím
0zz
====−−−−
→→→→
 significa que : 
para todo número positivo εεεε, podemos encontrar un número positivo δδδδ, que depende εεεε, tal que 
| f(z) – L | < εεεε para todos los z de D que verifican 0 < | z – z0 | < δδδδ 
 
∆∆∆∆ Actividad 2: 
a) Justificar usando la definición que : 0 f(z) lím 0 f(z) lím
0z0z
====⇔⇔⇔⇔====
→→→→→→→→
 
b) Usando a) justificar que : z →→→→ 0 ⇔⇔⇔⇔ | z | →→→→ 0 
z0 
Entorno de z0 
z0 
Entorno reducido de z0 
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3 
∆∆∆∆ Actividad 3: 
Dada 
|z|
1
seni
|z|
1
cosf(z) ++++==== , comprobar que 1f(z) lím
0z
====
→→→→
 y 01 f(z) lím
0z
≠≠≠≠−−−−
→→→→
 
Este ejemplo muestra que en general |L|f(z) lím
0zz
====
→→→→
 no es equivalente a 0L f(z) lím
0zz
====−−−−
→→→→
 
 
 
ΞΞΞΞ Teorema de intercalación (también llamado del sandwich) 
Si en un entorno reducido de z0 se verifica que |g(z)| ≤≤≤≤ |f(z)| ≤≤≤≤ |h(z)| y 
A h(z) lím g(z) lím
00 zzzz
========
→→→→→→→→
 entonces A f(z) lím
0zz
====
→→→→
 
 
∆∆∆∆ Actividad 4: 
Dada f(z) = u(x,y) + i v(x,y) y z0 = x0 + i y0 , justificar que: 
 
 21
zz
L iL L f(z) lím
0
++++========
→→→→
 ⇔⇔⇔⇔ 1
)y.x()y,x(
L y)u(x, lím
00
====
→→→→
 y 2
)y.x()y,x(
L y)v(x, lím
00
====
→→→→
 
 
 
Tener en cuenta las indicaciones que se dan a continuación 
⇒⇒⇒⇒) Como la parte real y la parte imaginaria de un complejo son menores que su módulo , podemos 
afirmar que: 0 ≤≤≤≤ |u(x,y) – L1| ≤≤≤≤ |f(z) - L| y 0 ≤≤≤≤ |v(x,y) – L2| ≤≤≤≤ |f(z) - L| , y usando el teorema de 
intercalación se obtiene lo buscado. 
 
⇐⇐⇐⇐) Como el módulo de un complejo es menor o igual que la suma del valor absoluto de la 
parte real y el valor absoluto de la parte imaginaria, podemos considerar que : 
 0 ≤≤≤≤ |f(z) – L| ≤≤≤≤ |u(x,y) – L1| + |v(x,y) – L2 | , y usando el teorema de intercalación se obtiene 
lo buscado. 
 
⊕⊕⊕⊕ Observación 
Teniendo en cuenta lo afirmado en la actividad 4, podemos decir que el cálculo de un límite 
en variable compleja puede reducirse al cálculo de los límites dobles de sus componentes real 
e imaginaria. 
 
 
� Ejemplos 
 
1- 
2
i
i2
1
iz
1
 lím
)iz)(i(z
i-z
 lím 
1z
i-z
 lím
iziz2iz
−−−−========
++++
====
−−−−++++
====
++++ →→→→→→→→→→→→
 
 
2- 
|z|
z
 lím
2
0z
====
→→→→
? , en este caso puede buscarse la parte real e imaginaria de la función y luego 
calcular los límites dobles de cada una de ellas para (x,y) →→→→ (0,0). Como esto es bastante 
largo podemos analizar el módulo de la función y observar que: 
 
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4 
 |z|
|z|
|z|
 
|z|
z
0
22
========≤≤≤≤ , si tomamos g(z) = 0 , h(z) = |z| y llamamos f(z) a la función dada 
vemos que |g(z)| ≤≤≤≤ |f(z)| ≤≤≤≤ |h(z)| y como 0 h(z) lím g(z) lím
0z0z
========
→→→→→→→→
 entonces usando el 
teorema de intercalación obtenemos 0 f(z) lím
0z
====
→→→→
 y usando a) de la actividad 2 podemos 
afirmar que 0 f(z) lím
0z
====
→→→→
 
 
∆∆∆∆ Actividad 5: 
 
Calcular los siguientes límites 
a) 
1z
1-z
 lím
1z −−−−→→→→
 b) 
z
)Re(z
 lím
2
0z→→→→
 c) 
z
)Im(z
 lím
2
0z→→→→
 
 
 
3- Continuidad en un punto y en un dominio 
 
♦ Una función f(z) es continua en z0 sí y sólo sí )f(z f(z) lím 0
zz 0
====
→→→→
 
♦ Una función f(z) es continua en un dominio D si es continua en cada punto de D. 
 
 
∆∆∆∆ Actividad 6: 
Dada f(z) = u(x,y) + i v(x,y) y z0 = x0 + i y0 , justificar que: 
 
 f(z) es continua en z0 ⇔⇔⇔⇔ u(x,y) y v(x,y) son continuas en (x0 , y0) 
 
 Usar el resultado de la actividad 4 y la definición de continuidad. 
 
 
⊕⊕⊕⊕ Observaciones y ejemplos: 
 
Dado que la definición de continuidad es idéntica a la definición de continuidad de una 
función de una variable real, podemos enunciar las siguientes proposiciones, cuyas 
demostraciones son exactamente las mismas que las utilizadas en el caso real. 
 
1- La suma , resta y producto de funciones continuas es continua. El cociente de funciones 
continuas es continua salvo en los puntos en que se anula el denominador. 
2- La composición de funciones continuas es una función continua. 
3- Los polinomios complejos f(z) = a0 + a1 z + a2 z
2 +……+ an z
n son continuos para todo z 
 
∆∆∆∆ Actividad 7: 
 
1- Justificar porqué las siguientes proposiciones son verdaderas:a) g1(z) = Re(z) es continua en C 
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b) g2(z) = |z | es continua en C 
c) g3(z) = Im(z
3-3) es continua en C 
d) g4(z) =Arg(z) no es continua en el conjunto {(x,0) / x ≤≤≤≤ 0} 
e) g5(z) = Arg(z-2) no es continua en el conjunto {(x,0) / x ≤≤≤≤ 2} 
 
 
 
4- Derivada 
 
Hemos visto que los límites y la continuidad de las funciones complejas se reducen a los 
límites y la continuidad de pares de funciones reales de dos variables reales. Podría creerse 
que la derivabilidad de una función f(z) es reducible a la de sus partes real e imaginara, pero 
veremos que esto no es así y son esas diferencias las que dan interés a la teoría. 
 
 
♦ Si f(z) está definida en un entorno de z0 , entonces la derivada de f(z) en z0 , a la que 
indicamos f '(z0) , está dada por 
z
)f(z-z)f(z
 lím)z('f 00
0z0 ∆∆∆∆
∆∆∆∆++++====
→→→→∆∆∆∆
 cuando este límite existe. 
 
 
⊕⊕⊕⊕ Observaciones: 
 
Dado que la definición de derivada tiene la misma forma que la definición de derivada de una 
función de una variable real, podemos enunciar las siguientes proposiciones, cuyas 
demostraciones son exactamente las mismas que las utilizadas en el caso real. 
 
1- La función constante f(z) = k es derivable para todo z y f '(z) = 0. 
 
2- Si n es un número natural, f(z) = zn es derivable para todo z y , si n es un número entero 
negativo, f(z) = zn es derivable para todo z ≠≠≠≠ 0 . En ambos casos se cumple f '(z) = nzn – 1. 
 
3- Si f(z) es derivable en z0 entonces f(z) es continua en z0 . 
 
4- Si f(z) y g(z) son derivables en un dominio D entonces f(z) ±±±± g(z) , f(z). g(z) , f(z) /g(z) , 
con g(z) no nula en D y f(g(z)) son derivables en D y se cumple: 
 
a) [f(z) ±±±± g(z)]'= f '(z) ±±±± g'(z) 
 
b) [f(z) . g(z)]' = f '(z) g(z) + f(z) g'(z) 
 
c) [f(z) / g(z)]'= [f '(z) g(z) – f(z) g'(z)] / [g(z)]2 
 
d) d) [f(g(z))]'= f '(g(z)) g'(z) 
 
 
� Ejemplos 
 
1- Los polinomios complejos f(z) = a0 + a1 z + a2 z
2 +……+ an z
n son derivables para todo z 
 
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2- Las funciones racionales, es decir aquellas que son cociente de polinomios en z, son 
derivables en todos los complejos que no anulen el denominador. 
 
 
3- Si queremos saber si f(z) = |z|2 es derivable , calculamos 
 
z
|z|-|zz|
 lím 
z
)f(z-z)f(z
 lím
22
0z0z ∆∆∆∆
∆∆∆∆++++====
∆∆∆∆
∆∆∆∆++++
→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆
 (1), como este límite es indeterminado analizamos 
los siguientes dos casos : 
 
- Si ∆∆∆∆z es real, es decir si ∆∆∆∆z = ∆∆∆∆x + 0 i , entonces 
 
(1) = x2
x
xx 2x
 lím
x
)yx( -y x)(x
 lím
x
|z|-|xz|
 lím 
2
0x
2222
0x
22
0x
====
∆∆∆∆
∆∆∆∆++++∆∆∆∆====
∆∆∆∆
++++++++∆∆∆∆++++====
∆∆∆∆
∆∆∆∆++++
→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆
 
 
- Si ∆∆∆∆z es imaginario puro, es decir si ∆∆∆∆z = 0 + i∆∆∆∆y , entonces 
 
 
y2i
i
y2
yi
y y2y
 lím
yi
)yx( -y)(y x
 lím
yi
|z|-|yiz|
 lím (1)
2
0y
2222
0y
22
0y
−−−−========
∆∆∆∆
∆∆∆∆++++∆∆∆∆====
∆∆∆∆
++++∆∆∆∆++++++++====
∆∆∆∆
∆∆∆∆++++====
→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆
 
 
Si 2x ≠≠≠≠ - i 2y entonces el límite (1) no existe y por lo tanto f(z) = | z |2 no es derivable. 
Como la igualdad 2x = - i 2y sólo es verdadera si x = 0 e y = 0 , podemos afirmar que si 
z ≠≠≠≠ 0 entonces f(z) = | z |2 no es derivable. 
 
Si 2x = - i 2y , es decir si x = y = 0 o z = 0, entonces los dos límites anteriores son iguales, 
pero esto no alcanza para afirmar que el límite (1) existe. 
Para averiguar si es derivable en z = 0 calculamos el límite (1) en dicho punto: 
 
0z lím
z
z z
 lím
z
|z|
 lím
z
|0|-|z|
 lím 
z
)f(0-z)f(0
 lím
0z0z
2
0z
22
0z0z
====∆∆∆∆====
∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆∆∆====
∆∆∆∆
∆∆∆∆====
∆∆∆∆
∆∆∆∆====
∆∆∆∆
∆∆∆∆++++
→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆→→→→∆∆∆∆
 
 
 
Luego podemos afirmar que f(z) = | z |2 sólo es derivable en z = 0 y se verifica f '(0) = 0 
 
Como f(z) = | z |2 es continua para todo z, este ejemplo nos muestra que una función puede 
ser continua y no ser derivable. 
 
Este ejemplo también nos muestra que si z = x + iy entonces la función f(z) = | z |2 = x2 + y2, 
es un polinomio en las variables x , y , parece inofensiva y sin embargo sólo tiene derivada en 
z = 0 
 
Nos preguntamos: ¿ es posible averiguar si una función tiene o no derivada sin usar la 
definición? 
 
Los teoremas que se desarrollan a continuación nos darán la respuesta a este interrogante. 
 
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7 
ΞΞΞΞ Condición necesaria de existencia de derivada 
 
Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es derivable en z0 =x0 + i y0 entonces u(x,y) y v(x,y) verifican en 
(x0, y0) las condiciones de Cauchy Riemann : 
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))






∂∂∂∂
∂∂∂∂−−−−====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
x
y,xv
y
y,xu
y
y,xv
x
y,xu
0000
0000
 (C.R) 
Además se verifica que f '(z0) =
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
y
y,xu
 i
y
y,xv
x
y,xv
 i
x
y,xu 00000000
∂∂∂∂
∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂
∂∂∂∂====
∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂
 
 
Demostración 
Por ser f(z) derivable en z0 , sabemos que 
z
)f(z-z)f(z
 lím)z('f 00
0z0 ∆∆∆∆
∆∆∆∆++++====
→→→→∆∆∆∆
 y este límite existe 
independientemente del modo en que ∆∆∆∆z tienda a cero. 
 
Considerando ∆∆∆∆z = ∆∆∆∆x + i 0 , es decir tomando ∆∆∆∆y = 0, el límite anterior toma la forma: 
 
 
x
)y,x(v i)y,u(x-)y x,v(x i)y x,u(x
 lím)z('f 00000000
0x0 ∆∆∆∆
−−−−∆∆∆∆++++++++∆∆∆∆++++====
→→→→∆∆∆∆
 
 
y agrupando las partes reales e imaginarias y teniendo en cuenta que el límite existe se obtiene 
(((( )))) (((( ))))
x
y,xv
 i
x
y,xu
)z('f 00000 ∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂==== (*) 
 
Considerando ∆∆∆∆z = 0 + i ∆∆∆∆y , es decir tomando ∆∆∆∆x = 0, el límite toma la forma: 
 
 
yi
)y,x(v i)y,u(x-y)y ,v(x iy)y ,u(x
 lím)z('f 00000000
0y
0 ∆∆∆∆
−−−−∆∆∆∆++++++++∆∆∆∆++++====
→→→→∆∆∆∆
 
y operando convenientemente se obtiene 
(((( )))) (((( ))))
y
y,xu
 i
y
y,xv
)z('f 00000 ∂∂∂∂
∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂
∂∂∂∂==== (**) 
 
Comparando (*) y (**) , tenemos la igualdad entre dos complejos, por lo tanto sus partes 
reales son iguales entre sí y también sus partes imaginarias y las igualdades obtenidas son 
justamente las condiciones de CR, que queríamos demostrar. 
 
⊕⊕⊕⊕ Observación: 
 
Si u(x,y) y v(x,y) no satisfacen las condiciones de (C.R) en (x0, y0) entonces f(z) no es 
derivable en z0 =x0 + i y0 (Contra recíproco del teorema anterior) 
 
 
� Ejemplo 
 
Si queremos saber donde es derivable la función f(z) = x y - ixy2 entonces buscamos su parte 
real e imaginaria , en este caso u(x,y) = xy , v(x,y) = -xy2 y planteamos las condiciones de 
CR : 
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ux = vy ⇒⇒⇒⇒ y = -2xy ⇒⇒⇒⇒ y (1 + 2x) = 0 
uy = -vx ⇒⇒⇒⇒ x = y
2 
 
Como la primera ecuación es el producto de dos factores igualado a cero, alguno de ellos 
deberá ser cero , por lo tanto y = 0 ó x = -1/2. Reemplazando en la segunda ecuación 
vemos que : 
si y = 0 entonces x = 0, 
si x = -1/2 , entonces se obtiene y2 = -1/2 , que no tiene solución pues y es real 
 
Por lo tanto las condiciones de CR sólo se verifican en z = 0 + i 0 = 0 , podemos afirmar 
entonces que la función dada no es derivable si z ≠≠≠≠0 , pero no podemos afirmarsi es o no 
derivable en dicho punto pues el teorema anterior sólo indica una condición necesaria de 
derivabilidad pero no una condición suficiente. 
 
 
ΞΞΞΞ Condición suficiente de existencia de derivada 
 
Si u(x,y) y v(x,y) tienen derivadas parciales continuas en (x0, y0) y verifican (C.R) en dicho 
punto entonces f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es derivable en z0 =x0 + i y0 
 
Demostración 
 
Considerando que ∆∆∆∆z = ∆∆∆∆x + i ∆∆∆∆y , tenemos que demostrar que existe el siguiente límite 
 
 
yix
)y,x(v i)y,u(x-y)y x,v(x iy)y ,xu(x
 lím 00000000
)0,0()y,x( ∆∆∆∆++++∆∆∆∆
−−−−∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++++++∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++
→→→→∆∆∆∆∆∆∆∆
= (#) 
 
Como las derivadas parciales de u(x,y) y v(x,y) son continuas en (x0, y0), entonces dichas 
funciones son diferenciables en (x0, y0) y por lo tanto pueden aproximarse en un entorno de 
dicho punto por el plano tangente, así podemos escribir : 
 
u(x,y) = u(x0, y0) + u'x (x0, y0) (x - x0) + u'y (x0, y0) (y - y0) + E1(x – x0, y – y0) 
 
v(x,y) = v(x0, y0) + v'x (x0, y0) (x - x0) + v'y (x0, y0) (y - y0) + E2(x – x0, y – y0) 
 
donde E1 y E2 tienden a cero más rápido que la distancia que separa los puntos (x,y) y (x0, y0) 
 
Si consideramos x – x0 = ∆∆∆∆x , y – y0 = ∆∆∆∆y y usamos las condiciones de (CR) , las 
expresiones anteriores pueden escribirse como: 
 
u(x0 + ∆∆∆∆x, y0 + ∆∆∆∆y) - u(x0, y0) = u'x (x0, y0) ∆∆∆∆x - v'x (x0, y0) ∆∆∆∆y + E1(∆∆∆∆x, ∆∆∆∆y) (1) 
 
v(x0 + ∆∆∆∆x, y0 + ∆∆∆∆y) - v(x0, y0) = v'x (x0, y0) ∆∆∆∆x + u'x (x0, y0) ∆∆∆∆y + E2(∆∆∆∆x, ∆∆∆∆y) (2) 
 
donde 0
yx
)y,x(E
lím
22
j
)0,0()y,x(
====
∆∆∆∆++++∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆∆∆
→→→→∆∆∆∆∆∆∆∆
 , para j = 1,2 
 
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pues 22 yx ∆∆∆∆++++∆∆∆∆ es la distancia entre los puntos (x0 + ∆∆∆∆x ,y0 + ∆∆∆∆y) y (x0, y0) y tiende a 0 
sí y sólo sí (∆∆∆∆x, ∆∆∆∆y) tiende a (0,0) 
 
Reemplazando (1) y (2) en (#) y agrupando convenientemente tenemos: 
 
(#) = 
yix
)y,x(Ei)y,x(E
 )y ,(xv' i)y ,(xu'lím 1100x00x)0,0()y,x( 




∆∆∆∆++++∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆∆∆++++∆∆∆∆∆∆∆∆++++++++
→→→→∆∆∆∆∆∆∆∆
= 
 = u’x (x0, y0) + i v’x (x0, y0) 
 
pues el límite del último cociente vale cero pues podemos acotarlo de la siguiente manera 
 
 
22
2
22
111
yx
|)y,x(E|
 
yx
|)y,x(E|
yix
)y,x(Ei)y,x(E
0
∆∆∆∆++++∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆∆∆++++
∆∆∆∆++++∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆∆∆≤≤≤≤
∆∆∆∆++++∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆∆∆++++∆∆∆∆∆∆∆∆≤≤≤≤ y usando el teorema de 
 
intercalación concluimos que el límite (#) existe y por lo tanto f(z) es derivable en z0 
 
 
Antes de dar algunos ejemplos definimos el concepto más importante de las funciones de 
variable compleja: la analiticidad. 
 
 
5- Analiticidad 
 
♦ Si f(z) es derivable en z0 y en todo un entorno de z0, se dice que f(z) es analítica en z0 
 
 
⊕⊕⊕⊕ Observaciones: 
1- Si u(x,y) y v(x,y) tienen derivadas parciales continuas en un entorno de z0 y cumplen 
(C.R) en dicho entorno entonces f(z) es analítica en z0. 
2- Si u(x,y) y v(x,y) tienen derivadas parciales continuas en un dominio abierto D y cumplen 
(C.R) en D entonces f(z) es analítica en D. 
 
 
� Ejemplos 
 
Si queremos hallar el dominio de continuidad, derivabilidad y analiticidad de las siguientes 
funciones, procedemos de la manera que se indica a continuación: 
 
1- f(z) = 3 z4 – 2iz + 4 – i 
 
En este caso sencillamente decimos que f es continua, derivable y analítica para todo z, por 
ser suma y producto de funciones continuas, derivables y analíticas en todo C. 
 
2- f(z) = x2 y + i (y2 – x) ⇒⇒⇒⇒ u(x,y) = x2 y , v(x,y) = y2 – x 
 
Como u(x,y) y v(x,y) son continuas para todo par de números reales (x,y) ⇒⇒⇒⇒ el dominio de 
continuidad de f es el conjunto C. 
Matemática D y D1 
 
Módulo I - Unidad 1 
 
10
Para averiguar dónde es derivable, plantemos las condiciones de (C.R): 
 



====⇒⇒⇒⇒−−−−====
====⇒⇒⇒⇒====
1xvu
y2xy2vu
2
xy
yx
 
 
y resolvemos el sistema de ecuaciones obtenido: 
2xy = 2y ⇒⇒⇒⇒ 2y (x – 1) = 0 ⇒⇒⇒⇒ y = 0 o x = 1 
x2 = 1 ⇒⇒⇒⇒ x = 1 o x = - 1 
combinando los resultados obtenidos, podemos afirmar que: si x = 1 se satisfacen ambas 
ecuaciones (sin importar el valor de y) , también se satisfacen si (x,y) = (-1,0) , por lo tanto: 
 
- Si x ≠≠≠≠ 1 o (x,y) ≠≠≠≠ (-1,0) , las condiciones de (C.R) no se verifican y por 
lo tanto f no es derivable en dichos puntos( teorema de condición 
necesaria) 
- El conjunto formado por la recta x = 1 y el punto (-1,0) es el dominio de 
derivabilidad de f pues en ellos, además de cumplirse las condiciones de 
(C.R) las funciones u(x,y) y v(x,y) tienen derivadas parciales continuas 
(teorema de condición suficiente) 
 
 
 
 
 
 
 
El dominio de analiticidad de f es vacío pues es imposible encontrar entornos de 
derivabilidad. 
 
Además su derivada vale: f '(1+ iy) =
(((( )))) (((( ))))
iy2
x
y,1v
 i
x
y,1u ++++====
∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂
 , 
 f '(-1 + 0i) = 
(((( )))) (((( ))))
i
x
0,1v
 i
x
0,1u ====
∂∂∂∂
−−−−∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
−−−−∂∂∂∂
 
 
3- f(z) = (y2 – x) + i x2 y ⇒⇒⇒⇒ u(x,y) = y2 – x , v(x,y) = x2 y 
 
El dominio de continuidad es todo C, pues u(x,y) y v(x,y) son continuas para todo (x,y) por 
ser polinomios. 
 
Si plantemos las condiciones de (C.R) obtenemos : 
 




−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====
====−−−−⇒⇒⇒⇒====
xy2y2vu
x1vu
xy
2
yx 
 
y rápidamente podemos afirmar que este sistema no tiene solución pues la ecuación x2 = -1 
no se satisface para ningún número real x. 
Por lo tanto el dominio de derivabilidad es vacío y el de analiticidad también es vacío. 
 
4- f(z) = ex cos y + i ex sen y ⇒⇒⇒⇒ u(x,y) = ex cos y , v(x,y) = ex sen y 
El dominio de continuidad de f es el conjunto C pues tanto u(x,y) como v(x,y) son continuas 
para todo par de números reales (x,y) 
Planteando las condiciones de (C.R) obtenemos el sistema: 
 
-1 1 
x 
 y 
Matemática D y D1 
 
Módulo I - Unidad 1 
 
11




−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====
====⇒⇒⇒⇒====
senyesenyevu
ycoseycosevu
xx
xy
xx
yx
 
 
que lo satisfacen todos los pares (x,y) de números reales, como además u y v tienen derivadas 
parciales continuas podemos afirmar que f es derivable y analítica en todo C. 
 
Además su derivada es f ' (z) = ux + i vx = e
x cos y + i ex sen y . Es interesante observar que 
esta función verifica que f '(z) = f(z) 
 
5- 
2
2
z1
z
)z(f
++++
==== 
 
En este caso reconocemos que tanto el numerador como el denominador son continuos, 
derivables y analíticos en todo C por ser polinomios en variable z , por lo tanto f es continua, 
derivable y analítica en todo C salvo en los puntos ±±±± i , donde se anula el denominador y que 
además no pertenecen a su dominio. 
 
6- 
2
2
z1
|z|
)z(f
++++
==== 
 
Los puntos ±±±± i anulan el denominador y por lo tanto no pertenecen al dominio, fuera de ellos 
f es continua por ser cociente de continuas, por lo tanto el dominio de continuidad de f es C – 
{ i , -i}. 
 
Como sabemos que 1 + z2 es derivable para todo z y | z |2 sólo en derivable en z0 = 0, 
podemos afirmar que f es derivable en z0 = 0 por ser cociente de derivables y el denominador 
no se anula. 
 
Analicemos si f puede ser derivable en algún otro punto del dominio, para ello supongamos 
que existe un complejo z1 , con z1 ≠≠≠≠ 0 y z1 ≠≠≠≠ ±±±± i , tal que f sea derivable en z1 , entonces 
razonando del siguiente modo: 
{ {
1
1
11 z en derivable es no2
esdederivabl producto ser por,z en eesderivabl
z en derivable
2
z en derivable
|z|)z1( .)z(f ====++++
444 3444 21
43421
 
 
obtenemos una contradicción, por lo tanto no puede existir ese complejo z1 . 
Concluimos entonces que f sólo es derivable en z0 = 0 y por lo tanto el dominio de 
analiticidad es vacío. 
 
•••• Ejercicios 
 
1- Calcular usando la definición, la derivada de: 
 
a) h1(z) = Im(z) b) h2(z) = z . Re(z) c) h3(z) = |z |
2 d) h4(z) = z 
 
 
2- Indicar el dominio y derivar las siguientes funciones usando reglas: 
 
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12
a) k1(z) = 3 z
2 – 1/z b) k1(z) = z
2 . (-i + z4)3 c) k3(z) = 2
4
)z2(1
)1z2(
−−−−
−−−−
 
 
3- Si f(z) es derivable, calcular la derivada de a) w = z . [f(z)]2 b) w = f(z3) – 2 f(3z) 
 
4- Dadas las funciones f(z) = z , g(z) = Re(z) , h(z) = Im(z), comprobar que: 
 
 a) f(z) no es derivable en ningún punto pero F(z) = z f(z) es derivable en el origen. 
 b)g(z) no es derivable en ningún punto pero G(z) = f(z) (g(z))2 es derivable en (0,y), ∀∀∀∀ y.. 
b) h(z) no es derivable en ningún punto y H(z) = f(z) – g(z) + ih(z) es derivable ∀∀∀∀ z. 
c) Sacar conclusiones. 
 
5- Si f(z) es continua en z0 y g(z) = z
2 - z0
2 , demostrar que h(z) = f(z) . g(z) es derivable en z0 
y verifica h’(z0) = 2z0 f(z0) 
 
6- Hallar y graficar el dominio de derivabilidad y de analiticidad de las siguientes funciones y 
calcular f ’(z) en los puntos donde exista 
 
a) F1(z) = 3xy
2 + i (y3 – x3) b) F2(z) = -2y
 x2 + 6x2+ i (2x2 +6 yx2 ) 
c) F3(z) = z (senx - i y) d) F4(z) = e
2x (4 x y2 + y2 i) 
 
7- Demostrar: 
a) Si f(z) y |f(z)| son ambas analíticas en D ⇒ f(z) es una función constante en D. 
b) Si g(z) y )z(g son ambas analíticas ⇒ g(z) es constante 
c) Si h(z) = u(x,y)+ i [u(x,y)]2 es analítica ⇒ h(z) es constante 
 
8- Mostrar que no existe una función f(z) analítica en todo el plano tal que f’(z) = x 
 
9- Dada f(z) = 
22
33
yx
yx
++++
−−−−
22
33
yx
yx
i
++++
++++++++ si (x,y) ≠≠≠≠(0,0) y f(0,0) = 0 ; mostrar que satisface 
las condiciones de Cauchy Riemann en (0,0) pero no es derivable en z = 0 
 
10- Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) y expresamos x e y en coordenadas polares tenemos que 
f(z) = u(r cos θθθθ , r senθθθθ) + i v(r cos θθθθ , r senθθθθ) = U(r, θθθθ) + i V(r, θθθθ) , demostrar que si f 
es derivable en z = r eiθθθθ , entonces se verifican las siguientes condiciones de (C.R): 





θθθθ∂∂∂∂
∂∂∂∂−−−−====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
θθθθ∂∂∂∂
∂∂∂∂====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
U
r
1
r
V
V
r
1
r
U
 , (C.R en polares) y 





θθθθ∂∂∂∂
∂∂∂∂−−−−
θθθθ∂∂∂∂
∂∂∂∂====





∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂====
θθθθ−−−−
θθθθ−−−− Ui
V
r
e
r
V
i
r
U
e)z('f
i
i , r ≠≠≠≠ 0 
11- Si f(z) es analítica en un conjunto abierto D y z0 pertenece a D justificar que la función 




====
∈∈∈∈
−−−−
−−−−
====
00
0
0
0
z z si)z('f
}{z-Dz si
zz
)z(f)z(f
)z(g es analítica en D – {z0} y es continua en z0 
 
 
 
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13
6- Funciones elementales 
 
En variable real se tienen las funciones ex . sen x , cos x , ln x , ¿podrán extenderse dichas 
funciones a la variable compleja? A continuación encontraremos la respuesta. 
 
♦ Función Exponencial 
 
Se pretende definir la exponencial compleja f(z) = ez de modo que si z es real coincida con 
la exponencial real, es decir debemos exigirle que f(x + i 0) = ex . 
Como la derivada de ex es igual a ex , es natural imponer que f '(z) = f(z) para todo z. 
 
Hemos visto en el ejemplo 4 de la sección anterior que la función f(z) = ex (cos y + i sen y) 
verifica que f '(z) = f(z) para todo z y además cumple que f(x + 0i) = ex , por ello la 
exponencial compleja se define como se indica a continuación y resulta ser analítica en todo 
el plano complejo. 
 
♦ Función exponencial: exp(z) = ez = ex (cos y + i sen y) 
 
 
∆∆∆∆ Actividad 8: 
 
Justificar las siguientes propiedades: 
a) ez es analítica ∀∀∀∀z , y se cumple (ez)’= ez 
b) |ez| = ex 
c) ez ≠≠≠≠ 0 ,∀∀∀∀z 
d) | eiy | = 1 , para y real 
e) ez = 1 ⇔⇔⇔⇔ z = i 2kππππ , con k entero 
f) 21 zz e e ==== ⇔⇔⇔⇔ z1 – z2 = i 2kππππ , con k entero 
g) 2121 zzzz e .ee ====++++ 
 
 
 
♦ Función Logaritmo 
 
En variable real, la función logaritmo es la inversa de la función exponencial y si x > 0, vale : 
y = ln x ⇔⇔⇔⇔ ey = x 
 
Pretendemos definir w = ln z , de modo que ew = z , ¿será posible? 
 
Como la exponencial compleja nunca se anula de entrada pedimos que z ≠≠≠≠ 0 y si 
consideramos w = u + i v , entonces: 
 
ew = z ⇒⇒⇒⇒ eu (cos v + i sen v) = z ⇒⇒⇒⇒ eu = | z | , v = arg(z) = θθθθ + 2kππππ , con k = 0, ±±±±1, ±±±±2,…. 
 
De la expresión real eu = | z | podemos obtener que u = ln | z | , por lo tanto : 
 
w = ln z = u + i v = ln | z | + i (θθθθ + 2kππππ) , con k = 0, ±±±±1, ±±±±2,…. 
 
Matemática D y D1 
 
Módulo I - Unidad 1 
 
14
que evidentemente no es función pues para complejo z ≠≠≠≠ 0 obtenemos infinitos valores del 
logaritmo 
 
Esta observación inicial permite dar la siguiente definición: 
 
♦ Logaritmo complejo : 
 
ln z = ln | z | + i (θθθθ + 2kππππ) para z ≠≠≠≠ 0 
 
 
Si fijamos el valor de k en la definición anterior y especificamos el valor del argumento θθθθ 
transformamos al logaritmo en una función, por ejemplo: 
 
Si k = 0, podemos definir las siguientes funciones : 
 
f1(z) = ln | z | + i θθθθ ,con -ππππ < θθθθ ≤≤≤≤ ππππ 
 
f2(z) = ln | z | + i θθθθ ,con 0 ≤≤≤≤ θθθθ < 2 ππππ 
 
f3(z) = ln | z | + i θθθθ ,con ππππ ≤≤≤≤ θθθθ < 3 ππππ 
 
Si k = 1, podemos definir las siguientes funciones : 
 
f4(z) = ln | z | + i (θθθθ +2ππππ) con -ππππ < θθθθ ≤≤≤≤ ππππ 
 
f5(z) = ln | z | + i (θθθθ +2ππππ) con θθθθ0 ≤≤≤≤ θθθθ < θθθθ0 + 2 ππππ 
 
De las infinitas funciones que pueden definirse a partir del logaritmo complejo, se distingue 
una, que se denomina rama principal del logaritmo, se indica Ln z y se define como: 
 
 
♦ Rama principal de la función logaritmo: 
 
Ln z = ln | z | + i Arg(z), con z ≠≠≠≠ 0 y -ππππ < Arg(z) ≤≤≤≤ ππππ 
 
Observar que: 
a) El dominio de Ln z es C – {0} 
b) Como ln | z | es continua para z ≠≠≠≠ 0 y Arg(z) es continua salvo en el eje real negativo, el 
dominio de continuidad de Ln z es C – {z = x + i0 , x ≤≤≤≤ 0} 
c) Como Ln z no es continua en el eje real negativo, no puede tener derivada sobre dicho 
semieje, pero puede verse fácilmente usando (C.R) en polares y analizando la continuidad 
de las derivadas parciales de la parte real e imaginaria que el dominio de derivabilidad y 
analiticidad es C – {z = x + i0 , x ≤≤≤≤ 0} y se cumple ( Ln z)'= 1/ z 
 
 
� Ejemplos 
 
1- ln i = ln | i | + i arg (i) = ln 1 + i ( ½ ππππ + 2kππππ) = i (½ ππππ + 2kππππ), k = 0, ±±±± 1, ±±±± 2,…. 
2- Ln i = ln | i | + i Arg (i) = i ½ ππππ 
3- ln (-1 + i) = ln |-1 + i | + i arg(-1 + i) = ln 2 + i ( ¾ . ππππ + 2kππππ), k = 0, ±±±± 1, ±±±± 2,…. 
4- Ln (-1 + i) = ln |-1 + i | + i Arg(-1 + i) = ln 2 + i ¾ ππππ 
Matemática D y D1Módulo I - Unidad 1 
 
15
⊕ Observación: 
 
Es sabido que en variable real vale: “logaritmo de un producto de factores positivos es igual a 
la suma de los logaritmos de cada factor”, ¿ valdrá esta propiedad en los logaritmos 
complejos?, para responder calculemos: 
 
Ln i + Ln (-1 + i) = i ½ ππππ + ln 2 + i ¾ . ππππ = ln 2 + i (½ ππππ + ¾ .ππππ ) = ln 2 + i 5/4 ππππ 
 
Ln [ i . (-1 + i)] = Ln [- i – 1] = ln | -1 – i| + i Arg(-1 –i) = ln 2 - i ¼ ππππ 
 
Por lo tanto: Ln i + Ln (-1 + i) ≠≠≠≠ Ln [ i . (-1 + i)] 
 
 
♦ Funciones trigonométricas e hiperbólicas 
 
Sabemos que si αααα es real valen las igualdades : eiαααα = cos αααα + i sen αααα 
 eiαααα = cos αααα - i sen αααα 
 
cuya suma y resta son respectivamente: eiαααα + e-iαααα = 2 cos αααα , eiαααα - e-iαααα = i 2 sen αααα . 
 
Despejando cos αααα y sen αααα de estas últimas obtenemos: 
 
2
ee
cos
ii αααα−−−−αααα ++++====αααα , 
2i
ee
sen
ii αααα−−−−αααα −−−−====αααα , con αααα real 
 
Teniendo en cuenta que estas expresiones, se define: 
 
 
♦ Coseno y el Seno de un número complejo z: 
 
2
ee
zcos
iziz −−−−++++==== , 
2i
ee
senz
iziz −−−−−−−−==== 
 
Observar que si z es real, es decir si z = x entonces cos z y sen z coinciden con el cos x y 
el sen x , ya conocidos de la variable real. 
 
Ambas funciones son analíticas en todo el plano complejo por ser suma y resta de analíticas y 
es sencillo verificar que : (cos z)'= - sen z , (sen z)'= cos z 
 
∆∆∆∆ Actividad 9: 
 
Justificar que los ceros de las funciones sen z y cos z son los mismos que los de las funciones 
sen x y cos x de variable real, es decir probar que: 
 
a) sen z = 0 ⇒⇒⇒⇒ z = k ππππ + 0i , k = 0, ±±±± 1, ±±±± 2,….., 
b) cos z = 0 ⇒⇒⇒⇒ z = (½ ππππ + k ππππ) + 0i , k = 0, ±±±± 1, ±±±± 2,….., 
 
 
Matemática D y D1 
 
Módulo I - Unidad 1 
 
16
♦ Tangente, cotangente, secante y cosecante de un complejo: 
 
z cos
z sen
z tg ==== , 
z tg
1 
z gcot ==== , 
z cos
1
z sec ==== , 
z sen
1
z eccos ==== 
 
El dominio de cada una de estas funciones son todos los complejos que no anulan el 
denominador y todas son analíticas en dichos dominios. 
 
 
♦ Seno hiperbólico y Coseno hiperbólico de un complejo: 
 
2
ee
z sh
zz −−−−−−−−==== , 
2
ee
z ch
zz −−−−++++==== 
 
Observar que si z es real y vale z = x entonces ch z y sh z coinciden con el ch x y el sh x 
ya conocidos de la variable real. 
 
Ambas son analíticas en todo el plano complejo y vale que : (ch z)’= sh z , (sh z)’= ch z 
 
♦ Exponencial generalizada 
 
En variable real se define ax = ex ln a para a > 0 que resulta ser una función, a la que se 
denomina exponencial generalizada. 
 
En C se define la potencia generalizada de manera similar, pero no resulta ser función: 
 
♦ Potencia generalizada : az = ez ln a , con a ≠≠≠≠ 0 
 
 
Si en la expresión anterior se toma la rama principal del logaritmo, se obtiene una función 
denominada exponencial generalizada que se define por: 
 
♦ Función exponencial generalizada: az = ez Ln a , con a ≠≠≠≠ 0 
 
 
•••• Ejercicios 
 
 
12- Expresar en forma binómica los siguientes complejos: 
 
a) eiππππ/2 b) e(3-ππππi)/3 c)ln(1 + i) d) ln(-1) e) Ln (((( ))))i3 ++++ 
 
 
13- Mostrar que: a) ln(ez) ≠≠≠≠ z b) eln z = z para z ≠≠≠≠ 0 
 
14- Expresar en forma binómica los siguientes complejos: 
 
Matemática D y D1 
 
Módulo I - Unidad 1 
 
17
a) cos(-i) b) )i(sen −−−−ππππ c) sh(1-i) d) ch ( ½ ππππi) 
 
15- Demostrar: 
 
a) zz ee ==== b) e-z = 1/ ez c) eiz = cos z + i sen z 
d) ez = ch z + sh z e) z senz sen ==== f) sen(iz) = i sh z 
 
16- Demostrar : 
 
a) sen(x + iy) = sen x ch y + i cos x sh y b) cos(x + iy) = cos x ch y - i sen x sh y 
c) sh(x + iy) = sh x cos y + i ch x sen y d) ch(x + iy) = ch x cos y + i sh x sen y
 
 
17- Hallar todos los valores de z que verifican las siguientes ecuaciones: 
 
a) e2z = -1 b) eiz = 2 c)Ln z = iππππ/4 d) cosz = 2i 
 
e) chz = -2 f) cos z = sen z g) ez = 1 – i h) sen(iz) = sh z 
 
 
18- Expresar en forma binómica los siguientes complejos: 
 
a) (-1)1-i b) i2i c) (1- i)3-5i 
 
19- Hallar el dominio de derivabilidad y analiticidad de : 
 
a) g1(z) = 
Ln z
i - sen(iz)
 b) g2(z) = 
iz2z
2 |z|
2
2
++++
++++
 c) g3(z) = 
z
z cos
 
 
 
 
7- Funciones armónicas 
 
♦ Una función g(x,y) de dos variables reales se dice que es armónica en un dominio D si 
tiene derivadas segundas continuas y verifica en D la ecuación diferencial 0
y
g
x
g
2
2
2
2
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂
, 
denominada ecuación de Laplace. 
 
⊕⊕⊕⊕ Observaciones: 
 
a) La ecuación de Laplace es importante en física ya que está conectada, por ejemplo, con el 
flujo de calor o de fluidos, o cualquier sistema aislado que involucre el cálculo de 
funciones potenciales. 
b) La expresión 
2
2
2
2
y
g
x
g
∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂
 se denomina laplaciano de g(x,y) y es interesante observar que 
resulta ser la divergencia del gradiente de g y por ello se suele indicar: 
Matemática D y D1 
 
Módulo I - Unidad 1 
 
18
gg).( g) d(gradiv
y
g
x
g 2
2
2
2
2
∇∇∇∇====∇∇∇∇∇∇∇∇========
∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂ rrr
 
 
 
� Ejemplo 
 
g(x,y) = x3 – 3xy2 es armónica para todo par de números reales pues: 
 
gx = 3 x
2 – 3 y2 ⇒⇒⇒⇒ gxx = 6 x , gy = – 6 x y ⇒⇒⇒⇒ gyy = - 6 x 
 
por lo tanto gxx + gyy = 6x – 6 x = 0 
 
Como g satisface la ecuación de Laplace y tiene derivadas segundas continuas entonces g es 
armónica en todo el plano x,y. 
 
 
ΞΞΞΞ Teorema- Condición necesaria de analiticidad 
 
Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es analítica en un dominio D entonces las funciones u(x,y) y v(x,y) 
son armónicas en D. 
 
Demostración 
Para hacer esta demostración vamos a suponer que : si f(z) es analítica en D entonces existen 
las derivadas segundas de las funciones u(x,y) y v(x,y) y son continuas en D, por ello las 
derivadas segundas cruzadas son iguales (uxy = uyx , vyx = vxy ) 
 Más adelante esta suposición será justificada cuando veamos que una función analítica 
admite derivada de todo orden y todas sus derivadas son analíticas. 
 
Por ser f(z) analítica en D , se cumplen en D las condiciones (CR) : ux = vy y uy = - vx 
derivando la primera igualdad respecto de x y derivando la segunda respecto de y obtenemos: 
 



−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====
====⇒⇒⇒⇒====
xyyxxy
yxxxyx
vu vu
vu vu
 
 
y sumando miembro a miembro las últimas igualdades obtenemos: 
 
uxx + uyy = vyx + (- vxy) = 0 
 
por lo tanto u(x,y) es armónica en D. 
 
Repitiendo los pasos, pero derivando la primera respecto a y y derivando la segunda respecto 
de x y restando miembro a miembro, se prueba que v(x,y) es armónica en D. 
 
 
⊕ Observación: 
 
Saber que u(x,y) y v(x,y) son armónicas en D, no es suficiente para asegurar que la función 
f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es analítica en D. Por ejemplo u(x,y) = x y v(x,y) = -y son 
armónicas pero f(z) = u(x,y) + i v(x,y) = x – iy = z no es analítica en ningún punto. 
 
Matemática D y D1 
 
Módulo I - Unidad 1 
 
19
♦Conjugada armónica 
 
Si dos funciones u(x,y) y v(x,y) son armónicas en D y satisfacen las condiciones de (C.R) en 
D, se dice que v(x,y) es conjugada armónica de u(x,y). 
 
También puede decirse así: Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es analítica en un dominio D, entonces 
v(x,y) es la conjugada armónica de u(x,y). 
 
 
� Ejemplos 
 
1- Como f(z) = z2 = x2 – y2 + i 2xy es analítica en C , podemos decir que v(x,y) = 2xy es la 
conjugada armónica de u(x,y) = x2 – y2 
 
¿u(x,y) es la conjugada armónica de v(x,y)? 
 
Para responder debemos averiguar si v(x,y) + i u(x,y) = 2xy + i (x2 – y2 ) es analítica. 
Planteando las condiciones de (C.R) tenemos: 2y = -2y , 2x = - 2x . Como sólo se 
satisfacen en el origen, esta función tiene dominio de analiticidad vacío, por lo tanto u(x,y) 
no es la conjugada armónica de v(x,y). 
 
Es interesante observar que - u(x,y) es la conjugada armónica de v(x,y), pues la función 
v(x,y) - i u(x,y) = 2xy + i (-x2 + y2 ) es analítica en C. 
 
2- Hallar, si es posible, una función v(x,y) de modo que f(z) = x – 3y + e2x cos y + i v(x,y) 
sea analítica. 
 
Como u(x,y) = x – 3y + e2x cos y no satisface la ecuación de Laplace (comprobar que 
uxx + uyy ≠≠≠≠ 0 ) entonces u(x,y) no es armónica y por lo tanto, recordando la condición 
necesaria de analiticidad, es imposible hallar una función analítica f(z) que tenga a u(x,y) 
como componente real. 
 
3- Hallar, si es posible, una función v(x,y) de modo que f(z) = 2x – 3y - ex cos y + i v(x,y) 
sea analítica. 
 
En este ejemplo la parte real es u(x,y) = 2x – 3y - ex cos y , que satisface uxx + uyy = 0 , por 
lo tanto la parte real de f(z) es armónica. 
 
Queremos hallar v(v,y) para que f(z) sea analítica, por lo tanto deberán verificarse las 
condiciones de (C.R): 
ux = vy ⇒⇒⇒⇒ 2 - e
x cos y = vy 
 
uy = - vx ⇒⇒⇒⇒ -3 + e
x sen y = - vx 
 
Estas ecuaciones nos permiten conocer las dos derivadas parciales de v(x,y), integrando la 
primera respecto de la variable y y manteniendo x fija encontramos: 
 
v(x,y) = (((( )))) dy ycose2 x∫∫∫∫ −−−− = 2y – ex sen y + g(x) 
 
donde g es una función arbitraria que depende sólo de x, es decir es constante respecto de y 
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Módulo I - Unidad 1 
 
20
 
Sabemos ahora que v(x,y) = 2y – ex sen y + g(x) cuya derivada respecto de x es: 
vx = - e
x sen y + g'(x) , además por la segunda ecuación de (C.R) sabemos que 
vx = 3 – e
x sen y , por lo tanto igualando obtenemos : 
 
ex sen y + g’(x) = 3 – ex sen y ⇒⇒⇒⇒ g’(x) = 3 ⇒⇒⇒⇒ g(x) = dx 3∫∫∫∫ = 3x + k , donde k es una 
constante arbitraria. 
 
Reemplazando este valor de g(x) en la expresión de v obtenemos: 
 
v(x,y) = 2y – ex sen y + 3x + k 
 
Se deja como ejercicio la verificación que f(z) =2x – 3y - ex cos y + i (2y – ex sen y + 3x + k) 
es analítica. 
 
La parte real y la parte imaginaria de una función analítica , además de ser armónicas 
verifican una relación de ortogonalidad. 
 
∆∆∆∆ Actividad 10: 
Demostrar que : Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es analítica en un dominio D y P0(x0 , y0) 
pertenece a D entonces las curvas de nivel u(x,y) = u(x0 , y0) = c , v(x,y) = v(x0 , y0) = k , se 
cortan ortogonalmente en P0 (el ángulo entre los vectores tangentes o los vectores normales 
a ambas curvas trazados en P0 es recto) 
 
Ayuda: Calcular el gradiente de ambas curvas de nivel 
en P0 y comprobar que el producto escalar entre ambos 
es igual a cero (usar CR) y por lo tanto los vectores son 
ortogonales. 
Recordar que : Si una función de dos variables g(x,y) es 
derivable en un dominio D entonces su gradiente, que se 
define como j'gi'gg yx
((r
++++====∇∇∇∇ , evaluado en P0 es un 
vector normal a la curva de nivel g(x,y) = g(x0 , y0) = c, 
siempre que en dicho punto el gradiente no sea nulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Ejemplo 
 
Dada f(z) = z2 , y teniendo en cuenta su expresión equivalente 
u(x,y) + i v(x,y) = x2 - y2 + i 2xy , las curvas de nivel de su parte real e imaginaria que pasan 
por (x0 , y0) son : 
 
u(x ,y) = u(x0 , y0) ⇒⇒⇒⇒ x
2 - y2 = xo 
2 - y0 
2 , 
v(x , y) = v(x0 , y0) ⇒⇒⇒⇒ 2xy = 2 x0 y0 
 
Si llamamos c = xo 
2 - y0 
2 y k = 2 x0 y0 entonces las curvas de nivel tienen ecuación 
u(x,y) = x2 - y2 = c y v(x,y) = 2xy = k , que representan hipérbolas. 
 
Si calculamos el gradiente de cada curva y lo evaluamos en (x0 , y0) obtenemos un vector 
normal a cada una de ellas, en este caso los vectores normales son jy2ix2u
((r
−−−−====∇∇∇∇ , 
x0 
y0 u(x,y)=u(x0,y0) 
v(x,y)=v(x0,y0) 
Matemática D y D1 
 
Módulo I - Unidad 1 
 
21
jx2iy2v
((r
++++====∇∇∇∇ y si los evaluamos en (x0 , y0) y hacemos el producto escalar obtenemos 
(((( )))) (((( )))) 0xy4yx4jx2iy2.jy2ix2)P(v).P(u 0000000000 ====−−−−====++++−−−−====∇∇∇∇∇∇∇∇ ((((
rr
 
 
Como los vectores normales son ortogonales , las curvas se cortan ortogonalmente en P0 
 
•••• Ejercicios 
 
20- Comprobar que las siguientes funciones son armónicas en todo R2 y construir una función 
f(z) = u(x,y) + i v(x,y) que sea analítica ∀∀∀∀z 
 
a) u(x,y) = e-x cos y + 2xy b) u(x,y) = 3x – 2 – x2 + y2 
c) v(x,y) = cos y (ch x + sh x) d) v(x,y) = 3x2 y – y3 – 4xy – 3y + 1 
 
21- Hallar, si es posible, una función h(x,y) de modo que f(z) sea analítica en todo el plano 
 
a) f(z) = h(x,y) + 2 y2 – i xy b) f(z) = Re[z3 – 2z ] + i h(x,y) 
 
22- Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es analítica en z0 = a + i b, demostrar que )b,a(v)b,a(u ∇∇∇∇⊥⊥⊥⊥∇∇∇∇
rr
 
 
23- Hallar las curvas de nivel de f(z), representarlas gráficamente y comprobar su 
ortogonalidad en los puntos de contacto: 
 
a) f(z) = 3 z + 2i b) f(z) = z2 c) f(z) = Ln z d) f(z) = 1/z 
 
 
 
����Ejercicios adicionales 
 
1- Representar gráficamente los complejos z que verifican las relaciones siguientes: 
 
a ) Im(z) > 2 Re(z-2) b) 4iz1 <<<<−−−−≤≤≤≤ c) )zRe(z >>>> 
d) )zRe(z <<<< e) i-z z 2 ≥≥≥≥ f) |2i-z| |iz| 1z <<<<++++<<<<−−−−
 
2- Hallar y graficar el dominio de derivabilidad y de analiticidad de las siguientes funciones 
y calcular la derivada en los puntos donde exista 
 
a) F(z) = (2x – y)2 (1 + ix) b) G(z) = 3x y2 + 2x + i (y2 – 2 xy2 + 2y) 
c) H(z) = x2 {| z |2 + i y } d) K(z) = e3x ( cos (3y) + i sen (3y)) 
 
3- Confirmar que: a) Ln(-1 – i) – Ln i ≠≠≠≠ 




 −−−−−−−−
i
i1
Ln b) Ln(i 3) ≠≠≠≠ 3 Ln i 
 
4- Demostrar que a) cos(iz) = ch z b) |senz|2 + |cos z|2 = 1 ⇔⇔⇔⇔ z es real 
 
5- Demostrar: 
 
Matemática D y D1 
 
Módulo I - Unidad 1 
 
22
a) Si sen (x + iy) = a , donde a es un número real que verifica –1 ≤≤≤≤ a ≤≤≤≤ 1 entonces 
sen (x + i y)= sen x , y por lo tanto x = arc sen a + 2kππππ , y = 0 
b) Si sen (x + iy) = b , donde b es un número real que verifica b > 1 entonces sen x = 1 y 
ch y = b , y por lo tanto x = ππππ/2 + 2kππππ , y = arg ch b 
c) Si sen (x + iy) = c , donde c es un número real que verifica c < -1 entonces sen x = -1 y 
ch y = -c , y por lo tanto x = -ππππ/2 + 2kππππ , y = arg ch (-c) 
 
6- Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es analítica en un dominio D, averiguar si las siguientes 
funciones son analíticas en D 
 
a) g(z) = v(x,y) + i u(x,y) b) h(z) = v(x,y) - i u(x,y) 
 
7- Si u(x,y) y v(x,y) son armónicas en D , demostrar que f(z) = (ux + vy) + i (vx – uy) es 
analítica en D.