Cinematica Mov en el plano

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MOVIMIENTO EN EL PLANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. MOVIMIENTO DE PROYECTILES. 
Es un caso particular de movimiento bidimensional con aceleración constante. 
 
2. CONSIDERACIONES. 
✓ Se desprecia la curvatura terrestre. 
✓ Se desprecia la resistencia del aire. 
 
3. CARACTERÍSTICAS. 
✓ Verticalmente el cuerpo se mueve bajo la acción de la aceleración de la gravedad. 
✓ Horizontalmente el cuerpo se mueve a velocidad constante. 
✓ La trayectoria descrita por el cuerpo es una parábola. 
 
4. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidad inicial  𝑉𝑜⃗⃗ ⃗ = 𝑣𝑜𝑥𝑖̂ + 𝑣𝑜𝑦𝑗 ̂ magnitud  |𝑉𝑜⃗⃗ ⃗| = √(𝑣𝑜𝑥)2 + (𝑣𝑜𝑦)
2
 
 
Componentes rectangulares  𝑣𝑜𝑥 = 𝑣𝑜∙ cos 𝜃 𝑣𝑜𝑦 = 𝑣𝑜∙ sen 𝜃 
 
Como en el eje X el cuerpo se mueve a velocidad constante, se deducen las siguientes 
ecuaciones: 
 
Aceleración  𝑎𝑥 = 0 
 
Velocidad  𝑣𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 sustituyendo vox 𝑣𝑥 = 𝑣𝑜 ∙ cos 𝜃 
 
Posición  𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 ∙ 𝑡 sustituyendo vox 𝑥 = 𝑣𝑜 ∙ cos 𝜃 ∙ 𝑡 
 
Como en el eje Y el cuerpo se mueve bajo la acción de la aceleración de la gravedad, se 
deducen las siguientes ecuaciones: 
 
Aceleración  𝑎𝑦 = − 𝑔 
 
Velocidad  𝑣𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 + 𝑎𝑦 ∙ 𝑡 sustituyendo 𝑣𝑦 = 𝑣𝑜 ∙ sen 𝜃 − 𝑔 ∙ 𝑡 
 
Posición  𝑦 = 𝑦𝑜+𝑣𝑜𝑦 ∙ 𝑡 +
𝑎𝑦∙𝑡
2
2
 sustituyendo 𝑦 = 𝑦𝑜+𝑣𝑜 ∙ sin 𝜃 ∙ 𝑡 −
𝑔∙𝑡2
2
 
 
El movimiento en el plano es un movimiento resultante del movimiento del cuerpo en el eje X 
y el eje Y. Ecuaciones resultantes del movimiento. 
 
Aceleración 𝑎 = 𝑎𝑥𝑖̂ + 𝑎𝑦𝑗̂ 𝑎 = −𝑔𝑗̂ 
 
Velocidad �⃗� = 𝑣𝑥𝑖̂ + 𝑣𝑦𝑗̂ (vector velocidad) 
|�⃗� | = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 (rapidez) 𝛼 = tan
−1 (
𝑣𝑦
𝑣𝑥
) (dirección) 
 
Posición 𝑟 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ 
 
5. TIPOS DE LANZAMIENTO DE PROYECTILES. 
 
Lanzamiento hacia arriba desde una altura yo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lanzamiento hacia abajo desde una altura yo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lanzamiento horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(─) 
voy=0 
6. MOVIMIENTO CIRCULAR. 
Es un movimiento donde la trayectoria descrita por el cuerpo es una circunferencia de radio 
R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU). 
En este movimiento la velocidad es constante en módulo y varía en dirección y sentido. Esta 
variación es producida por la aceleración radial. 
 
 
 
 
 
 
|𝑉1⃗⃗ ⃗| = |𝑉2⃗⃗ ⃗| = |𝑉3⃗⃗ ⃗| 
 
 
𝑎𝑟 =
𝑉2
𝑅
 aceleración radial 
 
𝑎𝑡 = 0 aceleración tangencial 
 
 
 
 
 
 
 
8. MOVIMIENTO CIRCULAR VARIADO (MCV). 
En este movimiento la velocidad varía en módulo, en dirección y sentido. Esta variación en 
el módulo es producida por una aceleración perpendicular a la radial denominada aceleración 
tangencial. 
 
 
 
|𝑉1⃗⃗ ⃗| ≠ |𝑉2⃗⃗ ⃗| ≠ |𝑉3⃗⃗ ⃗| 
 
 
 
𝑎𝑟 =
𝑉2
𝑅
 aceleración radial 
 
𝑎𝑡 =
∆𝑉
∆𝑡
 aceleración tangencial 
 
 
 
 
 
 
 
Aceleración resultante. 
|𝑎 | = √𝑎𝑟2 + 𝑎𝑡2 
 
Velocidad en cualquier instante de la trayectoria. 
𝑉 = 𝑉𝑜 + 𝑎𝑡 ∙ 𝑡 
 
Espacio Recorrido  ∆𝑆 = ∆𝜃 ∙ 𝑅 También, por analogía con el MRU  ∆𝑆 = 𝑉𝑜 ∙ 𝑡 +
𝑎𝑡∙𝑡
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. COMPONENTE TANGENCIAL Y RADIAL DE LA ACELERACIÓN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. GRÁFICA DE LA ACELERACIÓN TOTAL. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )2t
2
r aaa

+−=
R
V
a
2
r =
ttr UarUaa =
Δt
ΔV
at =
Cambio de 
dirección y 
sentido de V 
Cambio de 
magnitud de V 
11. CONCEPTOS BÁSICOS. 
 
✓ Velocidad Angular (): Es el desplazamiento angular entre el intervalo de tiempo. 
 
 
 
 
✓ Período (T): Es el tiempo que tarda la partícula en completar una vuelta. 
 
 
 
✓ Frecuencia (f) : Representa el número de vueltas que efectúa la partícula por unidad de 
tiempo. 
 
 
 
 
12. PARÁMETROS LINEALES Y ANGULARES EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR. 
 
✓ Espacio Recorrido: 
 
 
 
✓ Velocidad: 
 
Como R es una constante entonces, dividimos 
 
 
 
 
✓ Aceleración: 
Relación entre la aceleración tangencial (at) y la aceleración angular (). 
 
 
 
 
 
 
Como la aceleración angular es sustituyendo 
 
Δt
Δθ
ω = 





s
rad
ω
2π
T =  s
T
1
f =
Δt ΔθRΔS =
RωV
Δt
Δθ
R
Δt
ΔS
==
 == Ra 
Δt
Δω
t
ΔθRΔS = 2t2
1
o tatVΔS +=
( )
Δt
ΔωR
Δt
ωωR
tt
RωωR
tt
VV
a o
o
o
o
o
t

=
−
=
−
−
=
−
−
=