Ejercicio resuelto Mov Circular

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Una partícula describe una trayectoria circular de 10 m de radio como se 
muestra en la figura. En el punto A su velocidad es de 10 m/s, luego realiza 
un desplazamiento angular de 120º y pasa por el punto B con velocidad de 25 
m/s. Determine: 
a. El vector desplazamiento desde A hasta B. (graficar) 
b. La magnitud y dirección de la aceleración total en el punto B. (graficar) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se determina cada uno de los vectores posición. Se observa que el vector 𝑟𝐴⃗⃗ ⃗ tiene dirección vertical, por lo que tiene 
una sola componente, que es la componente en Y. La componente en X es cero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se puede ver que el vector en el punto B tiene proyección en el eje X y en el eje Y. La componente XB apunta 
hacia la derecha, es positiva y la componente YB apunta hacia arriba, es positiva. 
 
 
 
 
 
 
Y(+) 
A 
B 
120° 
VA 
VB 
𝒓𝑨⃗⃗⃗⃗ 
𝒓𝑩⃗⃗ ⃗⃗ 
∆𝒓⃗⃗ ⃗⃗ 
XB 
YB 
 
CO 
CA 
R 
∆𝒓⃗⃗ ⃗⃗ = 𝒓𝑩⃗⃗ ⃗⃗ − 𝒓𝑨⃗⃗⃗⃗ 
𝒓𝑨⃗⃗⃗⃗ = 𝑿𝑨�̂� + 𝒀𝑨𝒋̂ 
𝒓𝑩⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑿𝑩�̂� + 𝒀𝑩𝒋̂ 
𝑋𝐴 = 0 
𝑌𝐴 = 2 ∙ 𝑅 = 2 ∙ 10 = 20 𝑚 
Vector desplazamiento desde A hasta B 
El vector en el punto A, solo tiene 
componente en Y, se observa que el valor 
en Y corresponde al diámetro de la 
circunferencia. La componente es positiva 
debido a que el vector apunta hacia arriba 
𝒓𝑨⃗⃗⃗⃗ = 𝟐𝟎𝒋 ̂
X(+) 
Los vectores posición se dibujan 
desde el origen de coordenadas hasta 
donde se encuentra la partícula 
El vector desplazamiento ∆𝑟⃗⃗⃗⃗ se dibuja 
desde el punto A hasta el punto B 
Triángulo rectángulo: la hipotenusa 
es el radio de la circunferencia 
 
 
 
 
 
El vector posición en el punto B, se 
proyecta sobre los ejes X y Y. Se 
obtiene XB y YB 
Desplazamiento angular de la 
partícula desde A hasta B (∆) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Finalmente, se determina el vector desplazamiento desde A hasta B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinar las componentes de 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗ se 
escoge un triángulo rectángulo que se forma 
con las proyecciones del vector y la línea guía 
del desplazamiento angular ∆ 
CO 
CA 
R  
𝛼 = 180° − 120° 
𝛼 = 60° 
120° 
 
𝐶𝑂 = 𝑅 ∙ sin 60° = 10 ∙ sin 60° = 8,66 
𝐶𝐴 = 𝑅 ∙ cos 60° = 10 ∙ cos 60° = 5 
Con los valores de los catetos del 
triángulo, se pueden determinar 
las componentes del vector 
posición en el punto B 
La distancia desde el centro de la 
circunferencia hasta la línea de 
trayectoria es el Radio. 
Ver circunferencia 
𝑋𝐵 = 𝐶𝑂 = 8,66 𝑚 
R 
CA  
CO 
YB 
XB 
R 
𝑌𝐵 = 𝑅 − 𝐶𝐴 = 10 − 5 = 5 𝑚 
𝒓𝑩⃗⃗ ⃗⃗ = 𝟖, 𝟔𝟔�̂� + 𝟓𝒋̂ 
∆𝒓⃗⃗ ⃗⃗ = 𝒓𝑩⃗⃗ ⃗⃗ − 𝒓𝑨⃗⃗⃗⃗ 
−𝒓𝑨⃗⃗⃗⃗ = 𝟎�̂� − 𝟐𝟎𝒋 ̂
𝒓𝑩⃗⃗ ⃗⃗ = 𝟖, 𝟔𝟔�̂� + 𝟓𝒋̂ 
∆𝒓⃗⃗ ⃗⃗ = 𝟖, 𝟔𝟔�̂� − 𝟏𝟓𝒋 ̂
La magnitud y dirección de la aceleración total en el punto B. (graficar) 
 
 
 
Aceleración radial: la aceleración resultante se pide en el punto B, por lo que la aceleración radial se calcula 
en el punto B. 
 
 
 
 
 
Aceleración tangencial: como en el ejercicio la aceleración tangencial es constante en un intervalo de tiempo, 
se calcula en el intervalo de A hasta B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎𝑟 =
𝑉𝐵
2
𝑅
 
�⃗⃗� 
𝒂𝒓 
𝒂𝒕  
𝑎𝑟 =
252
10
 𝑎𝑟 = 62,5
𝑚
𝑠2⁄ 
𝑎𝑡 =
 ∆𝑉
∆𝑡
 𝑎𝑡 =
 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴
𝑡𝐴𝐵
=
25 − 10
𝑡𝐴𝐵
 
Se tiene que calcular el 
tiempo desde A hasta B. 
Desde A hasta B se tiene el 
desplazamiento angular ∆=120°, 
para utilizarlo en las ecuaciones se 
debe convertir a radianes 
𝑆𝐴𝐵 = 𝑅 ∙ ∆𝜃 = 10 ∙ 2,094 = 20,94 𝑚 
120° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 2,094 𝑟𝑎𝑑 
𝑎𝑡 =
 15
𝑡𝐴𝐵
 
Al tener ∆ en radianes se 
puede utilizar en la ecuación 
del arco de circunferencia S 
Se puede observar en la circunferencia que el arco de circunferencia 
(línea azul) es la distancia recorrida por la partícula. Entonces se 
puede utilizar las ecuaciones cinemáticas para hallar el tiempo 
S 
𝑆𝐴𝐵 = 𝑉𝑜 ∙ 𝑡𝐴𝐵 +
1
2
∙ 𝑎𝑡 ∙ 𝑡𝐴𝐵
2 
Se sustituyen los valores 
y queda una ecuación 
con dos incógnitas 
20,94 = 10 ∙ 𝑡𝐴𝐵 +
1
2
∙ 𝑎𝑡 ∙ 𝑡𝐴𝐵
2 
𝑎𝑡 =
 15
𝑡𝐴𝐵
 
20,94 = 10 ∙ 𝑡𝐴𝐵 +
1
2
∙ 𝑎𝑡 ∙ 𝑡𝐴𝐵
2 
Dos ecuaciones con 
dos incógnitas. 
Método de sustitución 
20,94 = 10 ∙ 𝑡𝐴𝐵 +
1
2
∙ (
15
𝑡𝐴𝐵
) ∙ 𝑡𝐴𝐵
2 
20,94 = 10 ∙ 𝑡𝐴𝐵 + 7,5 ∙ 𝑡𝐴𝐵 
20,94 = 17,5 ∙ 𝑡𝐴𝐵 𝒕𝑨𝑩=𝟏, 𝟏𝟗𝟕 𝒔 
𝑎𝑡 =
 15
𝑡𝐴𝐵
=
15
1,197
 
𝑎𝑡 = 12,54
𝑚
𝑠2⁄ 
 
 
 
S: arco de circunferencia o 
distancia recorrida por la partícula 
 
 
 La aceleración resultante ar: aceleración radial, se dibuja sobre el radio 
apuntando hacia el centro de la circunferencia 
at: aceleración tangencial, se dibuja tangente a la 
trayectoria, perpendicular a la aceleración radial. 
Como se trata de un movimiento acelerado la at 
va en el mismo sentido de la velocidad 
Magnitud y dirección de la aceleración resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|𝑎 | = √𝑎𝑟2 + 𝑎𝑡2 |𝑎 | = √62,52 + 12,542 |𝑎 | = 63,75𝑚 𝑠2⁄ 
𝛽𝑡 = tan
−1 (
𝑎𝑟
𝑎𝑡
) 𝛽𝑡 = tan
−1 (
62,5
12,54
) 𝛽𝑡 = 78,65°