Inv Det

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Inventarios
En toda empresa se almacenan bienes para
asegurar un trabajo uniforme y eficiente en sus
operaciones.
Decisiones:
◦ Cuantas unidades comprar, q? 
◦ Cuando comprar, t?
Dos Casos:
◦ Subalmacenamiento
◦ Sobrealmacenamiento
Inventarios
Sobrealmacenamiento:
> Capital invertido por unidad de tiempo. 
< Frecuencia de escasez.
Subalmacenamiento:
< Capital invertido por unidad de tiempo. 
> Frecuencia entre pedidos y escasez.
Inventarios
LOS DISTINTOS INTERESES EN JUEGO, QUE 
PRESIONAN CONFLICTIVAMENTE SOBRE LAS 
CONVENIENCIAS O NO DE MANTENER NIVELES 
DE STOCK PARA DETERMINADOS ARTÍCULOS, 
PUEDEN SER ENTRE OTROS:
NIVEL DE STOCK
IMPUESTOS Y SEGUROS
CAPITAL INMOVILIZADO
OBSOLENCIAS
PERDIDAS Y DETERIOROS
LIMITACIONES FISICAS 
(restricciones de capacidad)
PRESTIGIO COMERCIAL
ABASTECIMIENTO DE PRODUCTOS
CICLOS COMERCIALES EXTENSOS
CICLO DE PROGRAMACIÓN DE LA 
PRODUCCION
MEJOR SERVICIO AL CLIENTE
¿Por qué mantener Inventario?
4
Objetivos del Inventario
1. Mantener independencia en las operaciones
2. Ajustarse a la variación de la demanda de productos
3. Permitir flexibilidad en la programación de la producción
4. Proveer resguardo por la variación de entrega de los
proveedores.
5. Aprovechar el tamaño del pedido de compra económico,
con descuentos por cantidad
Inventarios : Clasificación
Demanda:
◦ Determinística:
Estática
Dinámica
◦ Probabilística:
Estacionaria
No Estacionaria
Análisis de los productos:
Uno – Varios (Multiproductos)
Sustitutos
Perecederos o no
Inventarios Clasificación
1. Análisis de los tiempos de entrega:
Determinísticos
Aleatorios
Instantáneo o no
2. Revisiones:
Continuas o periódicas
3. Periodos de tiempo:
Finito o Infinito
4. Demanda independiente (mercado) o demanda 
dependiente (MRP)
Generalmente hay muchos artículos en almacén, para establecer 
prioridades se realiza una curva ABC, que esta en función de :
 Precio unitario de compra (bi)
Demanda anual (Di) 
A partir de esta información se calcular la “Demanda Anual 
Valorizada”(DAVi)
Se determina el % de DAV de cada ítem , ordenándolos de mayor a 
menor, se acumulan los valores y se clasifican en artículos A, B y C
A partir de ello, se define la política de control de inventarios
Curva ABC
A
B
C
% DAV
Nros. de Items
100%
95%
80%
0
20% 50% 100%
Gráfica de la Curva ABC
Teoría de Stock
Control de inventario
Clase A:. Control estricto 0-80%
Clase B: Control moderado 80-95%
Clase C: Escaso 95-100%
A
C
B
Inventarios Determinísticos
Son aquellos en que la Demanda es determinística
Denominaremos:
q: Cantidad de inventario que debe pedirse (función de t ; f(t) )
t : tiempo entre pedidos
◦ Sistema de revisión Periódica: en intervalos de t iguales (período de
tiempo fijo)
◦ Sistema de revisión continua: cuando el inventario llega a un punto,
se coloca un nuevo pedido (cantidad fija)
Costos de Inventarios






























Escasez
 Costo
 
entoAlmacenami
de Costo
 
npreparació
o Fijo Costo
 
nFabricació
o Compra Costo
 
Inventario
Total CTO
• Costo de Compra: Es relevante cuando existen DESCUENTO POR CANTIDAD, sino 
es constante. La cantidad que se compra en el año es igual, varia la frecuencia
• Costo Fijo o de preparación: 
• Costo de Ordenar: Costo que se incurre cada vez que se efectúa la compra si 
se compra el artículo
• Costo de Preparación: Costo que se incurre cada vez que se efectúa la 
preparación del lote de fabricación (Si se elabora el artículo en la empresa).
Por ejemplo, costos relacionados con puesta a punto de los equipos, limpieza, etc
Costos de Inventarios
Costo de Almacenamiento: Costo por mantener las unidades en 
almacén.
Incluye: 
◦ Interés sobre el capital invertido
◦ Costos directamente relacionados con el Almacenamiento
◦ Manejo, obsolescencia y depreciación
Costo de Escasez: Penalización por no tener un ítem en existencia.
Puede ser perdida de ventas (contribución marginal del ítem) y
adicionalmente en algunos casos, perdida de la “buena voluntad
de los clientes”, que deciden optar por la competencia.
Modelos determinísticos de Inventarios 
Modelo EOQ
Modelo estático de un solo artículo con costo de
agotamiento ∞
Hipótesis:
◦ Demanda: Constante (D)
◦ Tiempo de reabastecimiento: Instantáneo
◦ Sin escasez, no se permite desabastecimiento
◦ Demanda independiente
10
Modelo EOQ—Modelo de cantidad fija de pedido
Referencias:
q: Cantidad de inventario a ordenar
t: Tiempo entre pedidos 
R = punto de Reorden
L = Plazo de reposición (Lead time)
L L
q qq
R Tiempo
Inventario
disponible
R
t t
k: Costo fijo de realizar el pedido 
C1: Costo de almacenamiento
D: Demanda anual
n: Número de pedidos al año
b: Precio unitario
Modelo EOQ
COSTO TOTAL ANUAL = Costo por almacenar + Costo por 
ordenar + Costo por comprar
D b C q 
2
1
 
q
D
k 
q
D
q bC 
q
D
 
D
q
 q 
2
1
 
q
D
k CTE
q
D
 q b C t q 
2
1
 k CTE
n q b C t q 
2
1
 k CTE
11
1
1















D
T q
 t 
D
q
 
T
t
q
D
 n 


Costo por año sera
Con T=1 (un año)
Reemplazando
Modelos determinísticos de Inventarios 
Desarrollo
D C
k 2
 t 
D C
Dk 2
 t 
D
q
 tComo
C
Dk 2
 q 
2
C
 
q
D
k 0 
2
C
 
q
D
k - 
q d
(q) CTE d
1
*
2
1
*
*
*
1
*
1
2
1
2



Valor Optimo de q (Minimizando)
Los componentes del trinomio una vez que calculamos el costo
anual son:
CTE =Cto por ordenar +Cto por almacenar + Cto de comprar
D b C q 
2
1
 
q
D
k CTE 1 
Modelos determinísticos de Inventarios
111
1/2
1
22
1/2
1
2
1
1
1
1*
C Dk 2 C Dk 2
2
1
 C Dk 2
2
1
 
Dk 2
C D k 2
 
C
C Dk 2
 
2
1
 
D C
k 2
Dk 
 
D C
k 2
 
2
C
 CTE
















Si ahora se reemplaza en la expresión del CTE, el valor
encontrado para el lote óptimo y se opera adecuadamente
obteniéndose:
bD 1
*
 C Dk 2 CTE
Modelos determinísticos de Inventarios
La Figura muestra que “El mínimo de la Función Costo” se alcanza con
un tamaño de lote para el cual se igualen entre sí los costos derivados
de ordenar y almacenar el producto respectivamente.
E
n esta curva podemos observar que pequeños cambios en la cantidad pedida, no
afectan significativamente el CTE
0
Costo total anual de 
inventario
Costo de 
ordenar
Costo de 
almacenamiento
Costos
q* q
Cantidad
13
Punto de Reorden
En muchas ocasiones existe demora desde la solicitud del pedido 
y la llegada al almacén, esta demora se conoce como:
“Lead Time”
Es importante determinar el punto de REORDEN, nivel de 
inventario en el que debemos solicitar el pedido, para que 
considerando la demora, lleguen las unidades en el momento 
que agotamos las existencias
_
 Punto de Reorden, R= d L
_
d = demanda diaria promedio (constante)
 L = Plazo de provisión (Lead time) (constante)
16
Ejemplo:
Consideremos un ítem en inventario cuyos parámetros
son los siguientes:
• Demanda Anual = 10.000 unidades
• Días por año considerados en promedio para la dem diaria = 365
• Costo de colocar una orden = $10
• Costo de almacenamiento por unidad por año= 10% del costo por
unidad
• Plazo de reposición (Lead Time) = 10 días
• Costo por unidad = $15
Determinar la cantidad económica a ordenar (EOQ) 
y el punto de reorden.
17
Solución
10.000 unidades/año
d= =27.397 unidades/día
365 días/año
_
R= d L=27,397 unidades/día (10 días)=273,97 o 274 unidades
Cuando el nivel de inventario llega a 274, ordenar 366 unidades.
Períodos de reposición: n= 28 reposiciones al año
Calculo del punto de reorden
dias13
10.000*1.5
10* 2
D C
k 2
 t
unidades 366 o unidades 365.14 
1.5
10.000 *10* 2
 
C
Dk 2
 q
1
*
1
*


Intervalo entre
reposiciones
Costo de mantenimiento : C1 = $15 * 10% =1,5Modelo Estático de un solo artículo 
con costo de agotamiento
q*
q
t
t1 t2
s
q -s
Modelo Estático de un solo artículo con 
costo de agotamiento
tp = t1 + t2
t1: tiempo de almacenamiento
t2: tiempo se agotamiento
p
2
p
1
 t
q
s - q
 t
 t
q
s
 t


D
q
 
T
tp

C1: Costo de almacenamiento
C2: Costo de agotamiento
K: Costo de pedido 
q
D
 n 
Con T= 1
q
D
 
n

Modelo Estático de un solo artículo 
con costo de agotamiento
bD




















21
2
1
21
2
1
*
2
21
1
*
s
2
21
1
*
2211
C C
C
 k C D 2 CTE 
 
C C
C
 
C
k D 2
 S 0 
S 
CTE 
C
C C
 
C D
k 2
 t
 
C
C C
 
C
k D 2
 q 
 0 
q 
CTE 
;
q
D
 tC 
2
s-q
 tC 
2
S
 k CTE
Modelo Estático de un solo artículo con costo 
de agotamiento ∞ y con tasa de producción
q*
q
t1 t2
s
t
p-d d
Modelo Estático de un solo artículo con costo 
de agotamiento ∞ y con tasa de producción
Referencias:
p: tasa de producción 
d: tasa de demanda
Condición necesaria: p >= d
ts = t1 + t2 = q/D
s = t1 (p - d)
t1 = q/p ( de p t1 = q)
Modelo Estático de un solo artículo con costo 
de agotamiento ∞ y con tasa de producción
) 
p
d
 - 1 ( C
Dk 2
 q 0 
q 
CTE 
)C 
p
d
 - 1 ( q 
2
1
 
q
D
k 
q
D
 
D
q
 )C 
p
d
 - 1 ( q 
2
1
 k CTE
n ) t (t C s 
2
1
 k CTE
1
*
11
211

















Modelo Estático de un solo artículo, demanda 
constante, revisión continua con descuento en 
los precios
Función discontinua en q = k1
Se observa que la cantidad optima y* del pedido depende de donde se ubique q
(punto de reducción del precio) con respecto a tres zonas I, II y III
Si existen descuentos si se compra una cantidad superior a un valor ofrecido por el
vendedor, que llamaremos q (precio de corte)
Como y* (del modelo EOQ) es conocida, la solución de esta ecuación dará el valor de
Q. Las zonas será:
Zona 1: 0  q < y*min
Zona 2: y*min  q < Q
Zona 3: q  Q
Gráficamente y dependiendo de si k1 queda en la zona I, II o III, tenemos:
27
Modelo :Descuentos por cantidad
el valor optimo de compra es 
Las dos curvas tienen el mismo mínimo porque solo difieren en una constante
Si q < ym Zona 1, conviene comprar y*
Si q> ym; debo calcular Q, para delimitar Zona 2 y Zona 3; CTE1(ym)=CTE2(Q)
◦ Si q esta en la zona 2, compro q
◦ Si q esta en la zona 3; compro ym
CTE1
CTE2
Zona 1 Zona 2 Zona 3
q
Cto
Qym
c1 ; si y<= q
c2; si y>= q
Donde c1 > c2
Costo de compra por 
unidad es : Dc1 y Dc2 
qy ; D 1h y 
2
1
 
y
D
k CTE1  c
qy D; 2h y 
2
1
 
y
D
k CTE2  c
h
Dk 2
 y 
*

27
Modelo :Descuentos por cantidad
Si q < ym Zona 1, conviene comprar y*
Si q> ym; debo calcular Q, para delimitar Zona 2 y Zona 3; CTE1(ym)=CTE2(Q)
◦ Si q esta en la zona 2, compro q; Si q esta en la zona 3 compro ym
ymq qym Q
Compro ym Compro q
ym Q q
Compro ym
27
Modelo :Descuentos por cantidad
Ejemplo:
D= 10000 cajas/año; K= 5 $/pedido; Cto mantenimiento de inventario= 24%
q<200 ; b = 4.40
200 <q<400; b = 4.20
q> 400 ; b= 4.00
Calculo q*= (2*5*10000/4.4*0.24)1/2= 307,7
No verifica que q<200, 
Si b1= 4.20; q*= (2*5*10000/4.2*0.24)=314.97
Verifica que: 200<q<400, 
Si b1= 4.00; q*= (2*5*10000/4.0*0.24)=322.75
No verifica q>400
Comparando costos
CTE (q=200)= 44355,60 $/año
CET (q=314.97)= 42317.49 $/año
CTE (q=400)= 40317.0 $/año
Conviene comprar400 cajas , porque tiene el menor CTE
Modelo estático de múltiples 
artículos con limitaciones 
Limitaciones:
◦ De espacio ( tipo físico)
◦ De cantidad de ordenes emitidas (tipo adm)
◦ De capital inmovilizado (tipo financiero)
Si no hubiera limitaciones? Modelo EOQ
Con restricciones se aplica el método de los
multiplicadores de Lagrange (no es el único)
27
Restricciones de volumen
Para mayor cantidad de item, pueden existir restricciones de 
capacidad de almacenamiento 
En este caso se trabaja con la función de Lagrange
L (λ; q1; q2; …)= Min (CTE (q1; q2; …) – λ (restricción de volumen)
Se deriva el dL/dq
Se deriva el dL/d λ
Se calcula el q* (f λ) = (2KD/(h-2 λ a))^1/2
Se calcula para cada item, el q* sin restricción y luego ajusta con 
valores de λ iterativamente
27
Modelo TI y TO, total inmovilizado y total 
de ordenes
Este modelo se aplica cuando no podemos determinar el Costo de Ordenar 
(TO) y el costo de capital inmovilizado (TI)
En este caso también se utiliza la función de Lagrange.
◦ Minimizar TO, sujeto a TI constante 
◦ Minimizar TI, sujeto a TO constante
Item Ordenes /año (D/Q) Demanda Precio (b) Inventario promedio (D*b/2) TI
1 1 1 5 2,5 5
2 1 2 10 10 20
3 1 4 15 30 60
4 1 10 5 25 50
5 1 1 10 5 10
5 72,5 145
TI 145
TO 5
Inv Prom 72,5
27
Modelo TI y TO; Minimizar TI, sujeto a TO constante
Minimizar TI, sujeto a TO constante
Min z = Σ qi*bi/2
sa. Σ Di/qi = 5
L = Σ qi*bi/2+ λ (Σ Di/qi = 5)
Derivo con respecto a λ y a qi; λ= 12.2
Item Capital inmovilizado Numero de ordenes de compra 
1 11,04 0,46
2 22,09 0,9
3 38,24 1,57
4 34,91 1,43
5 15,61 0,64
121,89 5
 
TO
)bi Di(
 
 2
 1
2
2

 
i
2
b
Di
qi


27
Modelo TI y TO; Minimizar TO, sujeto a TI constante
Minimizar TO, sujeto a TI constante
Min z = Σ Di/qi 
sa. Σ qi*bi/2 = 72.5
L = Σ Di/qi + λ (Σ qi*bi/2 - 72.5)
Derivo con respecto a λ y a qi; 
λ= 0.057
Item Numero de ordenes de compra qi
1 0,14 6,89
2 0,29 6,89
3 0,43 9,19
4 0,14 68,99
5 0,29 3,44
1,29
 
I T
)bi Di(
 
 2
 1
2
2

 
bi 
2

di
qi 
6
E(1)
Demanda Independiente vs. 
Demanda Dependiente
Demanda Independiente
(Demanda no relacionada a otros items)
Demanda Dependiente
(Derivada)
27
MRP (Material Requirement Planning)- Demanda 
Dependiente
Información requerida
BOM (Bill Of Material- Cuenta de materiales- Diagrama de 
Gozinto)
Inventarios de productos terminados y materiales
Capacidad de producción
Recepciones planificadas
Ordenes planificadas en firme