ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

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ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS 
5.1. CONJUNTOS, ELEMENTOS Y PERTENENCIA 
A La noción intuitiva de conjunto 
La expresión "conjunto de objetos" evoca la idea de unión, reunión, de colección o de agrupamien-
to de esos objetos, dejando una cierta imprecisión sobre lo que se trata en realidad. Existen, por 
ende, numerosos sustantivos que dan la misma idea de agrupamiento. 
El empleo de la palabra "conjunto" en Matemática necesita ciertas precauciones que 
se deben precisar a fin de evitar toda ambigüedad del término. En Matemática, antes de utilizar un 
concepto éste debe haber sido definido de una manera precisa que no deje ninguna duda o am-
bigüedad sobre su empleo y sus límites. 
La noción de conjunto parece a primera vista escaparse a esta regla fundamental; los 
matemáticos se contentan con la "idea intuitiva de la noción de conjunto". El uso común muestra 
rápidamente que la palabra "conjunto" tiene, en Matemática, restricciones que no se conocen en el 
lenguaje ordinario. Por el momento, se adoptará la actitud siguiente: "La noción de conjunto es una 
noción primitiva de la Matemática". Es decir, que no se dará la definición, de la misma manera que 
se hace en geometría con el punto. Se considera que todo el mundo comprende intuitivamente 
este concepto y que además todos tenemos la misma idea de él. Los numerosos ejemplos de 
conjuntos que se pueden citar o que se utilizarán en el futuro ayudarán a aclarar el sentido del 
término. 
Los objetos que constituyen un conjunto se llaman elementos de ese conjunto. 
Se admite la existencia de un conjunto universal o referencial U de la teoría. A partir 
de este conjunto de referencia se desarrolla toda la teoría, teniendo en cuenta que cada conjunto 
que aparece en un contexto determinado es un subconjunto de este referencial. 
En general, se notarán los conjuntos con letras mayúsculas A, B, C,... y sus elementos 
por letras minúsculas a, b, c, x, y... 
Ejemplos. 
i) El conjunto de las gotas de agua que se encuentran en un litro de agua no tiene ningún 
sentido, es decir, no está bien definido en el sentido matemático; 
ii) El conjunto de alumnos simpáticos de un curso dado no tiene sentido a menos que se 
establezca con precisión cuándo un alumno es o no simpático; 
iii) Las letras del alfabeto forman un conjunto, como así también las vocales y las consonan-
tes; 
iv) Los puntos de una dada figura geométrica forman un conjunto. 
v) La Tierra, la Luna y el Sol forman un conjunto. 
En estos ejemplos se ve que no es necesario que los objetos que componen un con-
junto sean homogéneos o que estén cerca en el espacio y en el tiempo. Lo que cuenta es que 
dado un objeto se pueda establecer con precisión si pertenece o no al conjunto. 
iiwi 
160 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
A Pertenencia 
Si x es un elemento de un conjunto A, se escribirá x E A, se lee "x pertenece al conjunto A". En el caso 
contrario, si x no es un elemento de A se escribirá x A se lee " x no pertenece al conjunto A. 
Para representar un conjunto se puede utilizar el diagrama de Venn: 
A b 	 aEA,b aA 
A Definición de un conjunto 
Un conjunto está definido cuando es posible hacer una lista de sus elementos o cuando es posible 
decidir si un objeto determinado es o no es un elemento de un conjunto. Existen los dos casos siguientes: 
1) Definición por extensión: el conjunto está definido por extensión cuando se pueden detallar uno 
a uno todos los elementos que lo constituyen. 
Ejemplo. El conjunto formado por las letras a, b se representa por { a, b }. 
2) Definición por comprensión: el conjunto está definido por comprensión cuando se enuncia una 
propiedad característica o atributo característico de sus elementos. 
Ejemplo. El conjunto de los elementos x de A que poseen la propiedad P se representa por la notación 
{x EA/P(x)} 
Un ejemplo es la circunferencia de centro en el punto O y de radio r (r > O) que se define como el 
conjunto de los puntos Q cuya distancia al punto O es igual a r; este conjunto se explicitará matemática-
mente en el Capítulo 7. 
Numerosos conjuntos serán utilizados, en especial: 
= { 1,2,3,....} conjunto de los números naturales, 
l= { ...., -3, -2, -1, 0, 1, 2,3,....} conjunto de los números enteros, 
• : conjunto de los números racionales, 
: conjunto de los números racionales positivos, 
• : conjunto de los números reales, 
• : conjunto de los números reales positivos, 
• : conjunto de los números complejos. 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 161 
Á Inclusión, igualdad, complementación y partes de conjuntos 
Definición 1. 
1) Un conjunto A es un subconjunto o una parte del conjunto B, si y sólo si todo elemento de A es 
elemento de B, es decir: 
(1) 	 A c B <=> (xe A 	xe B ) 
2) La inclusión de A en B se dice estricta cuando B tiene un elemento que no pertenece al conjunto 
A, es decir: 
 
(2) 	 AcB<=> 
(i) A c B 
(ii) xeBixo A. 
 
Observación 1. En general, el símbolo c es poco empleado, y por lo tanto el símbolo c representa 
tanto la inclusión amplia como la estricta. Se seguirá con este uso, excepto para los casos en que se 
presenten dudas. 
Definición 2. Dos conjuntos A y B son iguales cuando todo elemento de A es de B y recíprocamente, 
es decir: 
(3 ) 
	
A = B <=>AcB n BcA. 
Definición 3. Se nota con 0, conjunto vacío, al conjunto que no posee ningún elemento. 
Observación 2. El conjunto vacío 0 debe ser considerado como un subconjunto o parte de cual-
quier conjunto, es decir 0 c A, e A conjunto. También se lo puede representar mediante un par de llaves 
vacías { }. 
Definición 4. Sea A c B. Entonces el con-
junto complemento de A en B, que se notará 
CB(A), está definido por (región sombreada en el 
dibujo): 
(4) 
	
CB(A) = {x E B XE A}. 
En el caso en que se considere a B como 
el conjunto universal U, entonces se notará como 
A = Cu (A) al complemento de A respecto de U 
(región rayada del dibujo) 
,•111111H I 	 14 • 1 	 II 	I b 	 Hifi 1 	 I 	 n 	111, 
162 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
Observación 3. Si el subconjunto A de B está caracterizado por la propiedad P, entonces el comple-
mentario estará por la propiedad "no P", y por ende la noción de complemento está asociada a la de 
negación. 
Definición 5. El conjunto de las partes de un conjunto A es el conjunto de todos los subconjuntos 
de A, comprendiendo la parte total y la parte vacía de A, es decir: 
(5) P(A)= {X/X c A} 
Observación 4. Los elementos de P(A) son los subconjuntos de A, es decir: 
(6) X E P(A) <=> X c A 
Propiedades de la inclusión: 
1) Propiedad reflexiva : A c A, e A; 
2) Propiedad antisimétrica: A c B, B c A 	A=B 
3) Propiedad transitiva: A c B, B c C r A c C 
4) o cA c U, VA 
Propiedades de la complementación: 
1)0=U, 	2) A =A 
Demostración. Se verá solo la prueba de la propiedad 2). Para ello, basta probar que a) A cA y b) A c A 
a) xE A 	).(in‘xcinkA cA 
b) x E A 	x izAxEA A c A 
Propiedad que relaciona la inclusión y la complementación: 
1)AcB <=> BcA 
Demostración 
xEA 	)coAxelE3xEBAcB 
Definición 6 
1) Un conjunto es finito cuando se puede contar el número de sus elementos. 2) Un conjunto es 
infinito cuando no es finito. 
Ejemplos. N es un conjunto infinito y el conjunto {a, b, c, } es finito pues tiene 3 elementos. 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 163 
5.2. OPERACIONES CON CONJUNTOS 
A partir de conjuntos A, B, C,... elegidos como partes de un conjunto universal U, se pueden definir nuevos 
conjuntos, a saber: 
A Intersección de conjuntos 
Definición 7. La intersección de dos conjun-
tos A, B es el conjunto de los elementos que 
están sumultáneamente en A y en B, es de-
cir (región rayada en el dibujo) 
(7)ArIB ={x/ xEA A X EB}. 
Definición 8. Cuando los conjuntos A y B no tienen ningún elemento común (su intersección es 
vacía) se dicen conjuntos disjuntos, es decir: 
(8) A y B son conjuntos distintos 	<=> A n B= 0 
Propiedades de la intersección: 
1) Propiedad conmutativa: An B =B 	A ; 
2) Propiedad asociativa: (A n B) n C= A n(B (1 C) ; 
3) Propiedad de idempotencia: AnA = A ; 
4) Ano = o 	A (¡ u = A, VA ; 
5) A r1B c A 	, 	A riB c B, VA, B 
A Unión o Reunión de conjuntos 
Definición 9. La unión o reunión de dos conjuntos 
A, B es el conjunto de los elementos que están al menos 
en A o en B, es decir (región sombreada en el dibujo): 
( 9 ) 	A U B = {x / x E A y x E B}. 
Propiedades de la unión: 
1) Propiedad conmutativa: AUB = B U A ; 
2) Propiedad asociativa: (A U B) U C = A U (B U C) ; 
3) Propiedad de idempotencia: A U A = A 
4) A U 0 = A, AU U = U, VA ; 
5) A c AU B, B c A U B, VA, B. 
I 
164 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
Leyes de De Morgan: Se tienen las siguientes propiedades que relacionan la unión con la intersec-
ción a través de la complementación: 
(10) 	 (a) (A u 	= An B , 	(b) (A n 	= Au B. 
Demostración. Se probará solamente la igualdad (10a) pues la restante propiedad (10b) es análo-
ga. Por definición de igualdad de conjuntos se deberá probar que el primer conjunto está contenido en el 
segundo (parte (i)) y recíprocamente, que el segundo conjunto está contenido en el primero (parte ii)). 
i) Sea x E (A u B)— . Entonces se tiene que x E (A u B) con lo cual x EA A xeB. Por lo tanto 
x E A A xEB, es decir que x E (A n B ), con lo cual se deduce que (A u B) - c A n 
ii) Sea x E (A n B). Entonces se tiene que xcA A xEB con lo cual )(EA A xl B. Por lo 
tanto x E (A u B), es decir que x E (A u 	, con lo cual se deduce que AnB c (A u B) - . 
Otras propiedades: 
1) Propiedad distributiva para la intersección: A n (B UC)-(AnB) u(Anc); 
2) Propiedad distributiva para la unión: A U (B nO).(AUB) n(Auc) 
3) Propiedad de absorción para la intersección : A n(A U B) = A, V B. 
4) Propiedad de absorción para la unión :A U (A n B) = A, 	B 
Demostración. Se verá solamente la prueba de 1). 
a)xEAn(BUC)xEA AXE (BUC)xEA A(XEB vxEC) 
(xEAAxEB) v(xEA AxEC) 	xE(Af--1B) vxE(AnC)xE(Ar1B)U(AnC) 
Por lo tanto, se tiene que A n (B u C) c (A nB)u(AnC) 
b) x E (A n B) u(A n C) = x E(A nB) v x E (A nC) (x E A AxEB)v(xE A Ax EC) 
xEAA(xEBvxEC)xEAAxE(BuC)xEAn(BuC) 
Por lo tanto se tiene que (A n B) u (A n C) c A n (B u C ) 
A Diferencia de conjuntos 
Definición 10. La diferencia de dos conjun-
tos A, B (en ese orden) es el conjunto de los 
elementos que pertenecen al primer conjunto 
A y que no pertenece al segundo conjunto B, 
es decir (región gris en el dibujo). 
(11)A-B={x/x EA Axelli}=A nB 
Definición 11. La diferencia simétrica de dos 
conjuntos A, B es el conjunto de los elemen-
tos que pertenecen a uno sólo de esos dos 
conjuntos, es decir (región gris en el dibujo): 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 165 
(12) 	A AB={x/(xEAnx 1B)v(x EB AxoA)}= 
=( A-B) U (B-A)= CAuB(AnB)-(AUB)—(Ar)13) 
Propiedades de la diferencia de conjuntos: 
1) (A UB) - C = (A - C) U(B - C) ; 
2) (A nE3) - c . (A - C) (¡(B - c) 
Demostración. Utilizando las propiedades anteriores se tiene: 
1) (A uB) - C = (A u B) n = (A n6) u (B n E) = (A - C) u (B - C) 
2) (A nB) - C = (A ng) ne= A nB nC = A nB nC nC =(A n n(B n5) = (A - C) n (B - C). 
Propiedades de la diferencia simétrica: 
1)A A B=B A A 
	
2) A A A = ; 
3) A A 0= A 
	
4) A A (B A C) = (A A B) A C 
Demostración. Se realizarán las pruebas de las propiedades de 1), 2), y 3) quedando la restante 
como ejercicio. 
1) A A B = (A uB) - (A n B) = (B uA) - (B n A) = B A A 
2) A A A = (A uA) - (A nA) = A - A = 
3) A A 0 = (A u0) - (A n0)=A-0= A 
A Producto cartesiano de conjuntos 
Definición 12. Sean dos conjuntos A, B (en ese orden). El par ordenado o dupla (x,y) está formado 
de un elemento x E A (primer elemento del par) asociado a un elemento y E B (segundo elemento del 
par). 
Por otra parte, se dirá que dos pares ordenados son iguales cuando los respectivos primeros y 
segundos elementos son iguales, es decir: 
(13) (a, b) = (a', b') <=> 	a= a' en A, b= b' en B. 
De la misma manera, dados n conjuntos 	la n-upla (x 1 ,....x n) está formada por la asociación 
de los elementos x 1 E Al 	, 	E An, respetando el orden. 
Definición 13. El producto cartesiano o simplemente producto de un conjunto A por un conjunto B 
es el conjunto de las duplas (x,y) formadas con un primer elemento cualquiera x de A y de un segundo 
elemento cualquiera y de B, es decir: 
(14) AxB={(x,y)/x EA,y EB} 
1 	I 	 IiPt1 	I 1 	1 I 	1 	 I I 
166 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
En el caso en que los conjuntos A, B sean iguales, entonces se tiene el producto cartesiano cua-
drado de un conjunto, dado por 
(15) 
Ejemplo. Si 
A2 =AxA={(x,y)/x e A, y o A}. 
A = { a, b, c} y B = { a,p } entonces 
A x B = { (a,a) , (a,p) , (b,ot) "c ,a) , (c,p) }. 
Observación 5. Se utilizarán con frecuencia los siguientes conjuntos: 
=- R 	,R3 =5:1><RxR, 
R" = R x 	 x lIB (n veces). 
Más aún, todo elemento de R 2 ([R3) estará asociado a un punto del plano (espacio) ordinario. 
El producto cartesiano A x B puede representarse mediante un gráfico de la siguiente manera: 
b 
B ( elementos de B ) 
(a, b)eAxB 
 
 
a 	A ( elementos de A ) 
 
Propiedades del producto cartesiano: 
1) A x (B U C) = (A x 13) U(A x C) ; 
3) A x (B n c) = (A x B) n(A x c) ; 
2) (A 	B) x C = (A x C)U(B x C) ; 
4) (A n B) x C = (A x C)n(B x 
5.3. RELACIONES 
A Gráficos 
Definición 14. Un gráfico G es un conjunto de pares ordenados. 
Ejemplo. El producto cartesiano de dos conjuntos es un gráfico. 
Observación 6. Siempre existen dos conjuntos A y B tales que para cada par ordenado (x,y) E G, se 
tiene que x E A, y E B entonces 
G cAxB 
Los gráficos, como así también los productos cartesianos de dos conjuntos pueden representarse 
de diversas maneras, a saber: 
\A a (3 
a X X 
b X 
c x 
caso 2 a 	b 
caso 3 
 
B 
 
a 
 
caso 4 
 
A 
c 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 167 
1) a través de una lista de los pares ordenados que constituyen el gráfico; 
2) a través de una tabla (o matriz). Los elementos del primer conjunto A, corresponden a las colum-
nas y los del segundo conjunto, B, a las líneas. Cada par que es un elemento del gráfico está representado, 
por ejemplo, por una cruz; 
3) a través de un diagrama cartesiano. Cada par que es un elemento del gráfico está representado 
por un punto del plano: la abscisa y la ordenada del punto son el primer y el segundo elemento del par 
ordenado; 
4) a través de una representación con flechas. Cada par que es un elemento del gráfico está repre-
sentado por una flecha cuyo origen es el primer elemento del par ordenado y cuya extremidad es el segun-
do elemento. 
Ejemplo. Sean los conjuntos A = { a,b,c} y B = { a, p }. Sea el gráfico G, dado por la siguiente lista: 
G = { (a, a), (a, (3), (b, [3), (c, a) } c AxB 	(caso 1) 
Entonces las tres representaciones restantes están dadas por: 
Observación 7. En el caso de ciertos conjuntos infinitos, por ejemplo, súbconjuntos de números 
reales, la representación cartesiana es la única que puede ser utilizada. Los conjuntos de números reales 
A, por ejemplo, a x b y B, por ejemplo, 	y d, figurarán como el conjunto de los puntos de un 
segmento en el eje de las abscisas y de las ordenadas, respectivamente. El producto cartesiano A x B 
estará entonces representado por el conjunto de puntos de un rectángulo y un gráfico G, una parte de A x 
B, será una parte de dicho rectángulo. 
Eje de las ordenadas 
B 
AxB 
A 	x 	Eje de las abscisas 
idill , 	di 
168 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
Algo análogo podría decirse sobre R 2 . ¿Qué sucede para los productos cartesianos RxN y [k x 
A Relaciones binarias 
Una de las nociones fundamentales en Matemática es la de relación; más adelante se verá también el 
concepto de función que es tanto o más importante que el de relación. 
Dados los conjuntos A,B, no necesariamente iguales, puede existir entre los elementos de A y de B 
una relación R, a saber: "ser hijo de", "ser esposo de", "ser menor que", "ser mayor que", "ser múltiplo de", 
"ser igual a", "ser alumno de", etc. Entonces, existirán elementos aEAy b E B para los cuales a está en 
relación (R) con b que notaremos a R b ; en caso de no estar relacionados se notará a y( b. 
Definición 15. Una relación en nuestro caso, relación binaria, de un conjunto A a otro conjunto B 
es una terna (A, B, G) donde G c A x B es un gráfico. Al conjunto A se lo llama conjunto fuente o de 
partida, al conjunto B se lo llama conjunto objetivo o de llegada y al conjunto G se lo llama gráfico de la 
relación. 
Observación 8. 1) Si A = B, entonces se habla de una relación en el conjunto A; 
2) El par (a, b) E G (con a EA, b E B) se dice que satisface la relación R y se escribe 
aRb (el elemento a E A está relacionado con b E B), de lo contrario será a1b (el elemento a E A no está 
relacionado con b E B). 
3) El gráfico G de una relación R, dada por el triple (A, B, G), está dado por 
(16) 	 G ={( a, b ) / a R b, a E A, b E B } 
4) Del mismo modo en que toda relación entre dos elementos se llama relación binaria, una relación 
entre tres elementos se dice una relación ternaria, y así sucesivamente. 
5) Numerosos símbolos particulares pueden reemplazar al símbolo general R, para la notación de 
las relaciones binarias usuales. Entre los símbolos matemáticos más familiares se encuentran: "=" (igual-
dad), "" (desigualdad, distinto), "E" (pertenencia), "1"(no pertenencia), "c" (inclusión)," 	(menor o igual), 
"<" (menor), ">" (mayor), ".." (mayor o igual), " II " (paralelo), " 1" (perpendicular), " —" (semejanza), " 
(implicancia), " <=>" (doble implicancia, equivalencia), "ser mútiplo de", "ser divisor de", etc.; 
6) Si para una dada relación R se considera un solo par (a, b) con a EA , b E B, entonces el único 
resultado que se puede tener es que la proposición aRb sea verdadera o sea falsa. Por otra parte, la noción 
de relación presenta un real interés cuando se pueden considerar numerosos pares. es decir, poner en 
relación los elementos de conjuntos. 
Ejemplo. Sean los conjuntos 
A = {1,2,3,5}, 	B = { 1,2,3,10} 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 169 
y la relación R de A a B "ser mayor que", es decir: 
aRb 4=> a> b, con a E A, b E B 
Entonces se tiene que el gráfico G correspondiente está dado por: 
G = {(2,1), (3,1), (3,2), (5,1), (5,2) , (5,3)} 
cuya representación por flechas es la siguiente: 
Observación 9. 
1) Existen algunos elementos del conjunto fuente A que pueden ser utilizados como antecedente, 
primer elemento del par, más de una vez o ninguna vez; 
2) Existen algunos elementos del conjunto objetivo B que pueden figurar más de una vez o ninguna 
vez, como consecuente, segundo elemento del par, de pares que satisfacen la relación; 
3) Se puede decir, resumiendo lo expresado en 1) y 2), que de los elementos del conjunto A puede 
partir una, ninguna o más de una flecha de conexión a los elementos del conjunto B a los cuales puede 
llegar una, ninguna o más de una flecha de conexión; 
4) Si se conocen los conjuntos A, B y el gráfico G c A x B entonces se conoce la relación R, teniendo 
en cuenta que: 
	
(17) 	 aRb <==> (a,b) E G, con a E A, b E B 
5) En general, se confunde la relación R con su gráfico G, lo cual es un abuso, siempre que no haya 
dudas de quienes son los conjuntos A,B. 
Definición 16. 
1) Se llama Dominio de relación R, dada por la terna (A,B,G) al subconjunto del conjunto fuente A 
constituido por todos aquellos elementos que sirven de antecedentes, primer elemento, de los pares orde-
nados (a,b) que satisfacen la relación ((a,b) E G) cualquiera sea el elemento b E B, es decir: 
	
(18) 	Dom(R) = {a E A/ a Rb, para algún b E B } = 
= { a EA / ( a,b ) E G, para algún b E B} c A, 
II 	~ iYYY ~ 1 I • 	 I 	 11 1 	II 	1i lh 
	 n 	lió 
170 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
2) Se llama Recorrido o Imagen de la relación R, dada por la terna (A,B,G), al subconjunto del 
conjunto objetivo B, constituido por todos aquellos elementos que sirven de consecuentes (segundo ele-
mento) de los pares ordenados (a,b) que satisfacen la relación ( ( a,b) E G) cualquiera sea el elemento 
a EA, es decir: 
Im (R) = Rec (R) )={b E B/ 3a EA con a Rb } = 
(19) 
={b EB/ 3 a EAcon(a,b) E G}cB 
Ejemplo: del ejemplo dado anteriormente se tiene. 
Dom (R) = {2,3,5,} c A, 	 Im(R) = {1,2,3,} c B 
Definición 17. Sea una relación R de A a B, dada por la terna (A,B,G). Se llama relación inversa 
R -1 deBaAala que resulta de invertir los pares que satisfacen la relación R, es decir: 
(20) bR'a <=> aRb,aEA,b E B 
Dicho de otra manera, la relación inversa R -1 es una relación formada por la terna (B, A,G -1 ) donde el 
gráfico G -1 c B x A está dado por: 
(21) (b, a) E G 1 <=> b R-1 a <=> a R b <=> (a, b) E G con a E A, b E B 
Ejemplo: Del ejemplo dado anteriormente se tiene que R - les la relación de B a A "ser menor que" 
cuya representación por flechas está dada por: 
siendo: 
Dom (R -1 ) = Im (R) = { 1,2,3 } c B , 
Im (R -1 ) = Dom (R) = 2,3,5 } c A , 
G-' = { (1, 2), (1, 3), (1, 5), (2,3), (2,5), (3, 5) } 
❑ Propiedades de las relaciones binarias en un conjunto 
A continuación se verán algunas propiedades de una relación binaria R de A en A. 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 171 
Definición 18. 
1) La relación binaria R es Reflexiva <=> a Ra, Va E A; 
2) La relación binaria R es Simétrica <=> (a R b = b R a, V a, b E A ); 
3) La relación binaria Res Transitiva .(=> ( a R b AbRc = a R c, V a, b, c E A ) ; 
4) La relación binaria R es Antisimétrica <=> (aRb AbR a, V a, b EA 	a=b); 
5) La relación binaria R es de Equivalencia <=> R es reflexiva, simétrica y transitiva ; 
6) La relación binaria R es de Orden <=> R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. 
Definición 19. Si la relación R de A en A es de equivalencia, entonces se llama clase de equivalen-
cia del elemento a E A al conjunto de los elementos de A que están relacionados con a, es decir: 
(22) 	 a=[a]=C1(a)= {b EA / aRb } 
Observación 10. Siempre se tiene que todo elemento está en su clase de equivalencia, es decir a E 
[a] V a E A. 
Definición 20. Una partición de un conjunto A es un conjunto de partes A (i El) no vacías de A, 
disjuntas dos a dos, y cuya unión es el conjunto total A, es decir: 
(23) 	P = { A. }, E , es una partición de A <=> 
(i)A i cA,ViEl, 
(ii) A = U A. 
E. 
(iii)A n 	0, y i 	E I. 
5.4 FUNCIONES 
 
El concepto de función de un conjunto a otro es uno de los conceptos más útiles en la Matemática y en 
cualquiera de sus aplicaciones. 
A Función de un conjunto a otro 
Siguiendo con los conceptos dados para relaciones de un conjunto a otro, se tiene la siguiente noción: 
Definición 21. 
1) Se llama función o aplicación de un conjunto A en otro conjunto B a la terna (A,B,f) que 
verifica las siguientes condiciones: 
a) f es una relación del conjunto A al conjunto B ; 
b) El dominio de f es todo el conjunto A, es decir Dom(f) = A. Al conjunto B se lo llama codominio, 
conjunto objetivo o de llegada. 
c) La relación f es funcional, es decir que todo elemento del dominio A está relacionado o ligado a lo 
sumo a un elemento del codominio B, es decir. 
(24) 	 V x EA , 3 !y EB/y=f(x). 
Se suele decir que f es una ley o una relación que aplica al conjunto A en el conjunto B. 
11111111i 	1 
172 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
2) Se llama valor de la función para un elemento x del dominio A, al elemento y en el codominio B que 
corresponda a x, lo cual se escribirá y = f(x). Dicho elemento y E B es la imagen de x por la relación o la ley f. 
Observación 11. 
1) las expresiones "f transforma x en f(x)", "f envía x sobre f(x)" y "f(x) es el valor de f en x" son 
sinónimas. También se suele usar la notación x---->f(x) que se lee "x tiene por imagen a f(x)" o "f(x) es la 
imagen de x"; 
2) Es muy importante no confundir las notaciones f, ley que a cada elemento de A le asigna un único 
elemento de B, con f(x) elemento de B que resulta ser la imagen del elemento x E A; 
3) Una función definida por la terna (A, B, f) es generalmente representada en la forma más "gráfica" 
f: A 	B o por A 	B:4) Muchas veces, como un abuso de lenguaje y notación, se habla de la función f haciendo sólo 
referencia a la ley o relación correspondiente, sin decir nada sobre su dominio A y codominio B. Como regla 
general, esto sólo debe realizarse cuando no haya dudas de quienes son los conjuntos A y B. 
5) El gráfico de la función f: A 	B está dado de la siguiente forma: 
(25) 	 G={(x,f(x))/x EA) c AxB 
Observación 12. Resumiendo, para definir una función se deben tener los siguientes elementos: 
1) Un conjunto fuente, de partida o dominio A; 
2) Un conjunto objetivo, de llegada o codominio B; 
3) Una ley f que asigne a cada elemento x E A un único elemento y E B. 
Observación 13. Si f : A 13 es una función, entonces en su representación (del gráfico): 
1) Por flechas, de todo elemento del conjunto A parte una única flecha; 
2) Por tabla o matricial, sobre todas las filas figura una única cruz; 
3) Cartesiana, sobre toda vertical figura como máximo un punto. 
Definición 22. Igualdad de funciones. Dos funciones f: A B, g:C D son iguales, se escribirá f 
=g, si y sólo si A=C, B=D, f(x) = g(x), e x E A 
Definición 23. Función Identidad. La función identidad respecto al conjunto A es la función IA: 
A A, definida de la siguiente manera: 
(26) 
	
I A (x) = x , 	Vxé A 
Definición 24. Función constante. Una función constante es una función f: A—* B que está definida 
por f(x) =c, 	x E A, donde c E B es un determinado elemento del conjunto B. 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 173 
Definición 25. Sea f:A 	B una función del conjunto A en el conjunto B entonces: 
1) para todo subconjunto P de A se define la imagen de P por f de la siguiente manera: 
(27) f(P)={yEB/ 3 p EPcony=f(p) } c B 
Cuando P = A se dice que f(A) es el conjunto imagen de la función, es decir : 
(28) Im (f) = f (A) ={y E B / 3x E A con y = f (x) } c B 
2) Para todo subconjunto Q de B se define su pre-imagen por f de la siguiente manera: 
(29) 	 f-1 (Q)={xEA/f(x)EQ}cA 
Observación 14. Si f: A —> B es una función entonces se tiene la relación inversa f -1 que va de B en 
A pero, en general, no es una función como puede verse en el siguiente ejemplo; más adelante se verán 
cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que f" 1 :B A sea una función. 
Ejemplo. Sean los conjuntos A= {a,b,c} y B = { ex, 0, y } y la relación o ley dada por la representación 
siguiente: 
f(a) = a , f(b) = a , f(c) = 
Se tiene que f: A —> B es una función que verifica : 
f(A) = { ex, 	} 	, f ( a, b ) = { 	} , f( a, c ) = { a, -y } 
Por otro lado, la relación inversa f -1 de B a A no es una función pues: 
1) f-1 ( {a } ) = {a, b } y por ende no satisface el requisito fundamental de que a cada elemento del 
conjunto B se le asigna un único elemento del conjunto A; 
2) f -1 no está definida en el elemento R E B 
A Funciones particulares 
Se analizarán diversas nociones con el objetivo de hallar las condiciones necesarias y suficientes para que 
la relación inversa de una determinada función sea también una función. 
❑ Restricción de una función 
Definición 26. Sea f : A —› B una función. Sea S c A un subconjunto de A. Se llama restricción de 
f a S a la función f I s :S —> B definida de la siguiente manera: 
(30) 	 (f1 s) (x) = f (x) 	,yxeS 
Observación 15. La nueva función fl s , restricción de f al conjunto S, es única. 
I , ■ 19-1 	utot tu 
174 • CURSO DE NIVELACION DE MATEMÁTICA 
❑ Prolongación de una función 
Definición 27. Sea f: A —> B una función. Sea D un conjunto que contenga al conjunto A, es decir A c D. 
Se dice que a una función g : D —> B es un prolongación de f a D cuando f es la restricción de g al 
conjunto A. 
Observación 16. En general, la prolongación de una función no es única. 
Ejemplo. Sean los conjuntos 
A = {a,b,c}, 	 D= {a,b,c,d}, 	 B= { a, p., y } 
y las siguientes funciones f : A —> B, g l :D —> B, g 2 : D 	B, definidas por las leyes: 
f(a) = a 	 f(b) = 	 f(c) = y, 
g i (a) = a 	 g i (b) = 	 g, (c)= -y 
	
g, (d)= ja, 
g2 (a) = a 	 g2(b) = a 	 g2 (c) 
	
g 2 (d) = -y, 
entonces la restricción de las funciones g i : D -* B (i=1, 2) al conjunto A es la función f: A —>B y, se puede 
pensar que las siguientes funciones g 1 y g2 son dos prolongaciones de la función f. 
J Composición de dos funciones 
Definición 28. Sean dos funciones f: A —> B y g : B 	con la particularidad de que el conjunto de 
llegada, codominio, de una función es el conjunto de partida, dominio, de la otra función. Entonces la 
función composición de f con g, se dice f compuesta con g, es la función gof:A —>C, definida de la 
siguiente manera: 
(31) 	 (gof) (x) = g (f(x) ) EC,VxEA 
Observación 17. 
1) La función de gof está bien definida pues f(x) E B, V x EAy por ende g(f(x)) E C, V x EA; 
2) La composición de g con f, es decir fog, no tiene sentido, excepto en el caso en que se tenga la 
igualdad C = A; 
3) En el caso en que tengan sentido las dos funciones composiciones fog y gof, por ejemplo f:A 	B 
y g: B - A, éstas no son iguales pues sus respectivos conjuntos dominio y codominio son distintos al ser 
fog: B —> B y gof : A 	A, excepto en el particular caso en que A = B. Más aún, para el caso A = B, en 
general, la composición de funciones no es conmutativa, es decir gof # fog. 
Ejemplo. Sean las funciones f: N 	1%1 y g :1%1—> N definidas por 
g(n) =2n , 	VnENI f(n) = 	, 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 175 
Entonces las dos funciones compuestas gof 	NI y fog : l 	NI están dadas por las leyes: 
(fog) (n) = f (g(n)) = f (2n) = (2n) 2 = 4n 2 , VneN 
(gof) (n) = g (f(n)) = g (n 2) = 2n 2 , en eN 
que evidentemente son distintas. 
Proposición 1. La composición de funciones es asociativa, es decir, si f : A ----> B, g:B 	C y h : C 
D son tres funciones, entonces se tiene que las funciones compuestas (hog) of : A -e D y ho (gof) : A 	D son 
iguales, es decir: 
(32) 	 (hog) of = ho (gof) 
Demostración. Los dominios y codominios de las funciones (hog) of y ho(gof) son iguales al ser A y 
D, respectivamente. Además, se tiene: 
[ ( hog ) of ] (x) = ( hog ) (f(x)) = h ( g(f(x))) = h((gof)(x)) = [ho (gof)] (x), V x E A, 
que es lo que se quería probar. 
Observación 18. Si f: A --> A es una función, entonces tienen sentido las composiciones reiteradas 
de f consigo misma, notándose: 
f2 = fof , f 3 = fofof , 	, fn = fo 	of (n veces) 
❑ Funciones inyectivas, sobre y biyectiva 
Definición 29. Sea f : A ---> B una función. 
1) Se dice que f es una función inyectiva cuando todo elemento de la imagen de f es imagen de, a 
lo sumo, un único elemento del dominio; es decir, si se verifica una de las siguientes proposiciones equiva-
lentes: 
(a) x1 x2 = f (x,) f (x 2) , d x i , x2 E A , 
(33) 
(b) f(x 1 ) = f( x2) con x 1 E A , x2 E A = x 1 = x2 
2) Se dice que f es una función sobre (suryectiva) cuando todo elemento del codominio es la 
imagen de al menos un elemento del dominio, es decir que: 
(34) ey E B, 3 x E A/f (x) = y 
En forma equivalente se puede decir que f : A B es sobre cuando: 
(35) Im (f) = f (A) = B . 
4111111. 	1 
	
11111 	1 	1111 	l 	l ki • i 	i 	r i 	 u 	11 	141 r ¡lig I 
176 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
3) Se dice que f es una función biyectiva cuando f es inyectiva y sobre. En dicho caso, se dice que 
existe una correspondencia biunívoca entre los conjuntos A y B. 
Observación 19. Las dos proposiciones (a) y (b) en la definición de función inyectiva son equivalen-
tes debido a que la proposición (b) es la contrarrecíproca de la (a) (ver Introducción). 
Observación 20. 1) Cuando una función no es sobre, existirán ciertos elementos de B que no son 
imagen de ningún elemento de A por la ley f. Del presente análisis se deduce que la relación inversa V' no 
es una función al no estar definida en todo elemento del conjunto B, con lo cual se tiene la siguiente 
implicancia: 
f -1 : B 	A es una función = f : A 	B es sobre 
Por ejemplo, la función, f : 	definida por f(n) = 2n no es una función sobre, pues los números 
impares no son imagende ningún número natural. 
2) Cuando una función no es inyectiva significa que existen al menos dos elementos del dominio 
cuyas imágenes coinciden en un elemento del codominio; dicho de otra forma, cuando existe al menos un 
elemento b del codominio cuya pre-imagen f -1 ({b}) tiene al menos dos elementos del conjunto A. Del 
presente análisis se deduce que la relación inversa f -1 no es una función, con lo cual se tiene la siguiente 
implicancia. 
f-1 : B 	A es una función = f : A —> B es inyectiva 
Por ejemplo la función f 	—> 	definida por la ley f(x)=x 2 no es inyectiva pues 
f(3) = f(-3) =9; 
3) Teniendo en cuenta los dos puntos anteriores, se deduce que: 
f-1 : B --> A es una función 	f : A --> B es una función biyectiva 
Observación 21. 1) La función identidad IA : A —> A es una función biyectiva. Más aún, la relación 
inversa lq es una función biyectiva y coincide con IA, es decir: 
511 = IA, (51 (x) = IA (x)=x, Vx EA); 
2) Si se considera una función f constante de A en B, entonces se tienen las siguientes conclusiones: 
(a) Si el número de elementos del conjunto A es mayor o igual a 2, entonces f no es inyectiva. 
(b)Si el número de elementos del conjunto B es mayor o igual a 2, entonces f no es sobre. 
Lema 2. Sean f : A —> B yg:B --> C dos funciones. Entonces: 
1) gof es sobre = g es sobre, 
2) gof es inyectiva = f es inyectiva 
Demostración. 
1) Sea c E C. Como la función gof es sobre entonces 3 a E A/(gof)(a) = c, es decir g(f(a)) = c. Sea 
b = f(a) E B, entonces g(b) = c, con lo cual resulta que la función g es sobre. 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 177 
2) Sean a, E A y a2 EA dos elementos de A de manera que f(a l ) = f(a2). Entonces g(f(a,)) = g(f(a 2)) y 
(gof)(a,) = (gof)(a 2). Como la función gof es inyectiva, entonces resulta que a, = a 2 , con lo cual f es 
i nyectiva. 
❑ Función inversa 
Sea f:A —> B una función. Se quieren encontrar condiciones necesarias y suficientes, si existen para que la 
relación inversa f -1 : B —> A sea una función. Por lo visto anteriormente, se tiene que una condición nece-
saria para que f -1 sea una función es que la función f sea función biyectiva. A continuación se verá un 
resultado que garantiza la existencia de la función f -1 . 
Teorema 3. Sea f : A —> B una función. Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes: 
(1) f es una función biyectiva; 
(2) Existe una única función biyectiva g:B -A que verifica las siguientes propiedades: 
(36) gof =1 A , 	 fog = I, ; 
donde I A e I, son las funciones identidades en los conjuntos A y B, respectivamente. 
Demostración. En primer lugar se tiene que gof A —> A y fog : B 	B son dos funciones. 
(2) = (1). Como la función gof = 1 A es inyectiva, al ser 1 A inyectiva, se deduce que f es inyectiva y 
como la función fog = I, es sobre, al ser 1 8 sobre, se deduce además que f es sobre, con lo cual se obtiene 
que la función f es biyectiva. 
pía 
(1) 	(2). a) Definición de la función g: Sea b E B. Entonces, por ser f una función, existe un único 
elemento a E A de manera que f(a) = b. Por lo tanto, se define la función g: B —> A de la siguiente manera: 
(37) g(b) = a EA, con f(a) = b 
b) Propiedades de la función g: Se tiene que: 
(gof)(a) = g(f(a)) = g(b) =a , 	Va E A, 
(fog)(b) = f(g(b)) = f(a) 	, 	d 6 E B , 
es decir (36). 
Además, utilizando el mismo argumento de la parte anterior, cambiando f por g y A por B, se obtiene 
que g es una función biyectiva. 
c) La función g es única: si se supone que existen dos funcione biyectivas g l : B —› A y g 2 : B 	A de 
manera que: 
g 2of = g i of = IA , 	fog 2 =- fog, = IB 
entonces se deduce que: 
a= 1 A (a) = (g 2 of)(a) = g 2 (f(a)) =g 2 (b), 
a= I A (a) = (g i of)(a) = g, (f(a)) = g, (b) 
,11 	 tl{I1 ~In11111) , i 
178 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
igualdades que son válidas para todo elemento b E N de manera que f(a) = b. Por lo tanto, g l = g 2 . 
Definición 30. Sea f :A 	B una función biyectiva. A la única función g:B 	A que verifica las 
propiedades gof= 1 A fog=1 13 se la denomina función inversa de f y se la nota comúnmente por f -1 . 
Definición 31. Sea f:A -A una función biyectiva. Se dice que f es una involución cuando f -1 = f. 
Ejemplo. La función f: 	definida por f(x) = x es una involución, pues f 2 (x) = f(f(x)) = f(1x) 
=x, V x > O 
Definición 32. Se llama función real a toda función cuyo conjunto de partida y de llegada es un 
subconjunto de números reales. 
Observación 22. El estudio de las funciones reales será el objeto del Capítulo 7. 
5.5. ECUACIONES 
♦ La ecuación f(x) = b 
Sean f: A 	B una función y b E B un elemento del conjunto B. Se sabe que a cada elemento a E A la 
función f le hace corresponder un único elemento de B. En forma muy frecuente se plantea el siguiente 
problema: 
"dado b E B encontrar, si existen, los elementos del conjunto A cuya imagen por f, en el conjunto B, 
es el elemento b". 
Dicho de otra forma: determinar el conjunto de elementos x E A de manera que f(x) = b, es decir: 
	
(38) 	 hallar el conjunto { x e A / f(x) = b}. 
La expresión f(x) = b se lee "f de x es igual a b". Tomada fuera del contexto precedente, es una 
proposición que puede ser verdadera o falsa, dependiendo de cuál elemento de A reemplace a la letra x. 
Cuando se escribe f(x) = b, no se sabe a priori cuáles son los elementos de A para los cuales la 
igualdad es verdadera, ni aun si existen tales elementos. Se dice que se ha escrito una igualdad formal. 
Definición 33. 
1) Dada una función f 	B y un elemento b E B, se llama ecuación a la igualdad formal f(x) = b 
que define por comprensión el conjunto A' de los elementos x de A que tienen, por f la imagen b E B, es 
decir: 
	
(39) 	 A' = { x e A / f(x) =b } c A; 
2) Al elemento x E A se lo llama incógnita de la ecuación; 
3) Al elemento u. E A' se lo llama una solución o raíz de la ecuación f(x) = b, es decir que (V E A y 
satisface la igualdad f(u)=b; 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 179 
4) Al conjunto A', una parte del conjunto A, de los elementos de A que son soluciones de la ecuación. 
f(x)=b se lo llama el conjunto de soluciones de dicha ecuación; 
5) Resolver una ecuación en un conjunto A, es determinar en el conjunto A, al conjunto A' de sus 
soluciones. 
Observación 23. El problema "Resolver la ecuación f(x) =b" no tiene ningún sentido si no se precisa 
la función f y en particular al conjunto de partida A al cual el elemento x debe pertenecer. 
Ejemplo. La ecuación x 2 = 3 admite: 
i) dos soluciones 	y - 	en E ; 
ii) una solución Vá en 19 + ; 
iii) ninguna solución en NI y en 
Observación 24. Sean f: A —> B una función y b E B. Entonces para la ecuación f(x)=b, se tienen los 
siguientes resultados generales: 
1) Si b E Im(f) entonces la ecuación admite al menos una solución; 
2) Si f es sobre entonces la ecuación admite siempre al menos una solución, cualquiera sea el 
elemento b E B; 
3) Si f es inyectiva entonces si la ecuación admite soluciones entonces la solución es única. Más aún: 
(a) admite una única solución cuando b E Im(f); 
(b) no admite ninguna solución cuando b Im(f). En este caso f no es sobre; 
4) Si f es biyectiva entonces la ecuación admite una única solución. 
A La ecuación f(x) = g(x) 
Sean f:A 	, g : A 	dos funciones. Análogamente al caso anterior, se puede plantear el siguiente 
problema: determinar el conjunto de los elementos x E A que tienen, por f y por g, la misma imagen en B, 
es decir: 
(40) Hallar el conjunto A' = x E A / f(x) = g(x) } c A 
La igualdad formal f(x) = g(x) será, Verdadera para ciertos elementos x E A, en particular, x E A' y, 
Falsa para los elementos x E C A ( A'). 
Definición 34. La igualdad formal f(x) = g(x) es una ecuación que define por comprensión el conjun-
to A' de los elementos x de A que tienen , por f y por g, la misma imagen en B. 
Las nociones de incógnita, solución o raíz , etc. son las análogas que en el caso anterior. 
1il ,11,1 	1111,, 
180* CURSO DE NIVELACION DE MATEMÁTICA 
Observación25. Las ecuaciones del tipo f(x)=b constituyen un caso particular de las ecuaciones del 
tipo f(x)=g(x), tomando como función g una función constante de manera que g(a)=b, V a e A. 
Observación 26. En forma análoga al caso anterior, se puede plantear la ecuación del tipo f(x,y)=c, 
donde: 
x E A , 	y e B , 	c c C , 
f:AxB --> C es una función 
La incógnita será, en este caso, el par ordenado (x,y) E A x B. Todas las otras definiciones perma-
necen invariables. 
Más aún, se puede hablar también de las ecuaciones del tipo f(x,y)=g(x,y) 
5.6. CARDINAL DE UN CONJUNTO 
Anteriormente se vio la definición de un conjunto finito y de un conjunto infinito. Ahora, se tratará de 
analizar el número de elementos de un conjunto, lo que se conoce con el nombre de cardinal de un 
conjunto. 
Definición 35. Sea A un conjunto finito. Entonces se define como cardinal de A al número de ele-
mentos (número natural) del conjunto A, es decir: 
(41) card (A) = n(A) = número de elementos del conjunto A. 
Ejemplo. Se tiene: 
card(0) = O , card ({a})=1, 	card ({a,b,}) = 2, 
card ({1,2,3„n} ) = n. 
Definición 36. Se dice que dos conjuntos infinitos A y B tienen el mismo cardinal, la misma poten-
cia o son dos conjuntos equipotentes, se nota por A — B, si y sólo si: 
(42) : A 	B función biyectiva 
Proposición 4. La relación de equipotencia entre dos conjuntos es una relación de equivalencia. 
Definición 37. Se llama sucesión a toda función f definida en el conjunto de los números naturales, 
es decir f : , --> A, siendo A un conjunto dado. 
Observación 27. Si f es una sucesión, entonces quedan definidos los elementos a, =f (n)EA,Vn 
Recíprocamente, si se conocen los elementos a n E A , V n E 	, entonces se puede definir una 
sucesión f : 	A, de manera que f(n) = anenEN 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 181 
Por lo tanto, para conocer una sucesión f es necesario y suficiente conocer una lista infinita de 
elementos de A a 1 , a2 , 	,a, 	, que se simbolizará por la notación abreviada 
(43) 
	
(a n ) n E 
Definición 38. Un conjunto A es numerable si y sólo si A es equipotente al conjunto N de los 
números naturales. 
Observación 28. De acuerdo a la observación anterior, se puede decir que un conjunto A es numerable 
si y sólo si A puede considerarse como la imagen de una sucesión (ponerse en sucesión) donde no aparez-
can repeticiones, es decir: 
A = { a 1 , 	a, 	} = (a n)n E N 
Proposición 5. 
(i) El conjunto de los números naturales pares es un conjunto numerable. 
(ii) El conjunto de los números enteros 71 es un conjunto numerable. 
Demostración. Para probar que un conjunto es numerable basta ponerlo en sucesión. 
a) El conjunto de los números naturales pares P = {2,4,6,8,10,12,...} se puede poner en sucesión de 
la siguiente manera trivial. 
2, 4, 6, 8, 10, 12, 	 
Por tanto, se puede definir la función: 
f : N 
	
/ 	 f(n) = 2n, V .11 E N 
que resulta ser biyectiva con función inversa g definida por: 
f : P--> N 
	
g(P) = 
	Vp E P 
b) El conjunto de los números enteros 71= {...., -3,-2,-1,0,1,2,3, 	} se puede poner en sucesión de la 
siguiente manera: 
0,1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 	 
Por lo tanto se puede definir la función: 
O 	 si 	n = 1 
f : N-4 7L 	/ 	f(n) = si 	n es par 
que resulta ser biyectiva con función inversa g definida por: 
1 	 si 	z = 0 
g : 71 	N 	/ 	g(z) = 	2z 	 si 	z E N 
-2z+1 	si 	-z E N . 
n —1 si 	n es impar, n 3, 
2 
Definición 39. Un conjunto A tiene la potencia del continuo si y sólo si A es equipotente al conjunto 
IlB de los números reales. 
182 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
Proposición 6. Se tienen los siguientes resultados: 
1) El conjunto de los números racionales O es numerable: 
2) El conjunto de los números irracionales tiene la potencia del continuo. 
Demostración. Se demostrará solamente el resultado 1), pues el 2) está fuera del alcance del pre-
sente curso. 
Para ello se verá previamente que el conjunto U+ de los números racionales positivos es numerable, 
es decir, que CP se puede poner en sucesión ( ,P ri)n E N. 
De acuerdo al problema 11, planteado en el Trabajo Práctico, se tiene que O es el conjunto de las 
clases de equivalencias en el conjunto A+ de los números fraccionarios positivos donde: 
A = { -/p , q E 7L ,q=O} conjunto de los números fraccionarios 
y la relación de equivalencia es la dada por: 
qP s 
R r <=> ps - qr = O <=> P _ r 
q 	s 
(q = 0, 5=0 ) 
El conjunto A' puede ser representado por los elementos de una matriz o tabla infinita construida de 
la siguiente manera: en la fila q E N se colocan todos los números fraccionarios que son de la forma Ll con 
n E %, es decir: 
1 _ 1 	2 	3 = 3 4 =_ 
.T 	..., 	
6 	6 
i 
2J 	3,' 44, 1 5 	6 _ , = -v- 
	
2 2 	-u 
24 	3 .V -1 	5 	6 
-á- 	 5 	3 
= 2 	 
1 3 	4 = 1 5 	6_6 	 
4 - 2 4 	4 	4 	LT -' 
4 	5 _ i 6 
5 	5 
	
__1 _3 = 1 1 4 _ 2 5 	6 _ i 	 
I - N 	- 11.-- -5¿ 	---' 
Luego, utilizando el proceso de diagonalización de Cantor se puede poner O+ en sucesión de la 
siguiente manera, se utiliza la diagonalización indicada por las direcciones de las flechas en el cuadro 
anterior, comenzando desde la posición arriba a la izquierda hacia la derecha y abajo, y suprimiendo la 
fracción equivalente que fuera ya utilizada con anterioridad: 
I 
1 2 	q 1 A 3 2 1 5 , 
2' 	3' 	2' 3' 4" 
1 	6 5 4 3 2 
5" 2' 3' 4' 5' 6' 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 183 
Para finalizar, se utiliza el mismo proceso a través del cual 7L es numerable, con lo cual se deduce que 
es numerable pues puede ponerse en sucesión a través de: 
0, 1, 	-1, 2, 	-2, 	, 	- 	, 3, 	-3, 	, 
5, -5, 5, — 	, 6, —6, 	 
3 	3 2 _ 
3
' 4, - 4, 2' - 2 ' 3' 
, 	3, 1 	1 
4' 	4' 
Observación 29. 
1) En la demostración anterior se puso al conjunto Q en sucesión a pesar de no haber indicado la ley 
biyectiva en forma explícita; en dicho caso, la biyección está en forma implícita. 
2) Se puede demostrar que "la potencia del continuo es más que la numerabilidad", y por tanto se 
llega a la conclusión que los números irracionales (re, e, V-2-, J3, etc.)son muchos más que los números 
racionales, que son de uso frecuente en la vida cotidiana. 
5.7. PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA 
A El símbolo de sumatoria 
En muchas situaciones es conveniente abreviar la notación de una suma cuyos términos admiten una 
cierta ley de formación, por ejemplo: 
1) 	al + a2 + a3 + 	 -ha n , 	 2) 	1 + 2 + 3 	+ n , 
3) 1 2 + 22 + 32 + 	 +n 2 , 	 4) 	a 1 + 2 a2 + 3 a3 + 	 + n an 
Definición 40. Si a . es un número real que depende del índice i, entonces la suma a l + a2 + a3 + 
	+an se la notará, en forma abreviada, a través del símbolo de sumatoria 	de la siguiente manera: 
(44) 	 Ea; = + a 2 + a 3 + 	+ a, 
	
que se lee "sumatoria de los números a . 	 i desde 1 a n". Al elemento i se lo llama el índice de la 
sumatoria que tiene un rango de variación, en este caso, de 1 a n. 
Observación 30. 
1) En el desarrollo de una sumatoria se le asigna al índice de sumatoria i cada uno de los sucesivos 
valores de su rango de variación, y luego se suman todos los términos así obtenidos. 
2) Cabe destacar que el índice de sumatoria i puede ser reemplazado por cualquier otro sin alterar el 
valor de la sumatoria o resultado, es decir: 
	
al = 	al = 	a k = a l + a 2 + a 3 + 
	+ a,. 
i=i 	i= 1 	k = 1 
Proposición 7. El símbolo sumatoria satisface las siguientes propiedades: 
1 I 	 141, 	lill11,11111111,Jirm. 
184 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
	
n 	n 
(1 ) 	E(a i +b i )=Ia i +Eb i , 	 (2) 	
i 
	=na 
n m 	m n n 	 n 
(3) 	E (a a i ) = ala i , 	 (4) 	i114 	
j=1 i=1 
al = 1,1,aii 
i=1 	 i=1 	
=1 
 
Demostración. Utilizando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de los números 
reales se deduce: 
a) E (ai + bi) = (a i + ) + (a2 + b2) + + (an + bn ) = (a i + a2 + + an) + (bi + b2 + + b„)= 
= 
i=1 	i=1 
b) a=a+u+....+a(nveces)= na 
i=i 
C) 	etai ) = ()ta l + 022 + + (kan = ( + a2 + + an ) = 	ai 
i=, 	 i=i 
Observación 31. En el casoen que n=m, entonces la última expresión (4) se puede simbolizar de la 
siguiente manera: 
. 
d=' 
A El principio de inducción matemática (inducción completa) 
El principio de inducción matemática proporciona un método de demostración, por recurrencia, de pro-
piedades relativas al conjunto de los números naturales, y también una manera de definir nuevos conceptos 
matemáticos. 
Definición 41. Sea Pn una proposición o propiedad que depende del número natural n E N. Enton-
ces, Po es verdadera, yn EN si se tiene que: 
1) "La proposición P 1 es verdadera"; 
2) "Si la proposición P n es verdadera entonces la proposición Pn+ i es también verdadera". 
Observación 32. 
1) La condición de que P 1 sea verdadera debe obtenerse directamente por simple verificación. En 
general, esta condición se deduce trivialmente; 
2) Cuando la propiedad P o comienza a ser válida, por ejemplo, a partir de un cierto número natural n o 
 entonces la primera condición debe reemplazarse por la verdad de Pno . A veces no puede valer O; 
3) En general, la verificación de la segunda condición es más difícil que la primera. La idea básica es 
la de poner la propiedad P o + 1 en función de la de Pn; luego utilizar la hipótesis de inducción para P o para 
concluir entonces, a través de determinado argumento, la verdad de Pn+1. 
Proposición 8. La suma de los n primeros números naturales está dada por: 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 185 
(45) Ii.
n(n+1) 
2 	' 
VnENI 
Demostración: La proposición P n es en este caso: "la suma de los n primeros números naturales es 
igual a n(n+1)/ 2" . 
Se verá que las dos condiciones requeridas para que Pn sea verdadera se satisfacen: 
1) P1 es verdadera trivialmente, pues 1 = 	; 
2) Utilizando la hipótesis de inducción para n, se tiene que 
n+1 	 n
n(n 
2 
+ 1) 	
2 	
(n + 1)(n + 2) i = (n + 1) + 	i = (n + 1) + 	— (n + 111 + 	— 	2 
i=1 	 i=1 
es decir que la proposición P n+ 1 es verdadera. 
Corolario 9. Utilizando el resultado anterior deducir que la suma de los primeros números naturales 
pares e impares están dados por n(n+1) y n 2 , respectivamente. 
Demostración. Esto surge directamente de propiedades del símbolo sumatoria, es decir: 
n(n + 1) 
a) 1 2 i = 21 i = 2
2 	
— n(n + 1), 
i=i 	i=i 
1(2 i-1)= 	1= n (n+1)—n =n 2 . 
i=i 
A Potencia de un binomio, Binomio de Newton 
Dado un binomio (a+b), se desea calcular la potencia (a+b)^, siendo n E NI u {0}. En primer lugar, se 
observa que: 
(a+b)° =1, 
(a+b)' = a + b 
(a+b) 2 = a2 + 2ab + b 2 
(a+b) 3 = a3 + 3a2 b + 3ab 2 + b' , 	 
En general, desarrollando el producto de n factores: 
( a+b )( a+b ) 	( a+b ) ( n veces ) 
se obtiene que 
(a+b)n =v LJCnkan k b k = 
k=0 
(46) 	 = cnoa n b o 
	
Cn n- 
	+ CnnaCbn 
donde los coeficientes C n k se calculan de la siguiente forma: 
b) 
: C 00 =1 
: C io =1 
: 020 =1 
C 30 =1 
para n =4: 	040 =1 
para n =5: 	050 =1 
C 11 =1 
C21 =2 022 =1 
031 =3 032 = 3 033 —1 
C41 =4 042 = 6 043 =4 C44 =1 
C51 =5 052 = 1 0 C53 =10 C 54 =5 055 =1 
para n =0 
para n =1 
para n =2 
(47) 	para n =3: 
11411101di 	N , 
186 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
Los coeficientes C o k, se llaman coeficientes binominales, o también, números combinatorios n k, 
n
_ 
y se indican con el símbolo k . Estos coeficientes, ubicados en filas para cada valor de n, construyen el 
llamado triángulo aritmético de Tartaglia, cuya ley de composición se indica a continuación; ver más 
abajo la justificación a través de la Fórmula de Stieffel: 
1 
1 
1 
1 
1_> 
1 
1 
2 
3 
4 
5 
1 
3 
6 
10 
1 
4 
10 
1 
5 1 
n=0 
n = 1 
(48) n= 2 
n = 3 
n = 4 
n= 5 
Definición 42. Se denomina factorial de n y se simboliza n! al producto de los n primeros números 
naturales, es decir; 
(49) n! = 1.2.3 	(n - 1)•n 
Por conveniencia, se dará el valor 1 al símbolo 0!, o sea: 
(50) 0!=1 
Ejemplos. Se tienen: 
0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4! = 24, 5! =120, 6!=720 
n!=n(n-1)!, 	 n!=n(n-1)(n-2)! 
Definición 43. Se denominan coeficientes binomiales 
lan por la siguiente expresión: 
_
n
_ 
k a los números racionales que se calcu- 
(51) n 
k 
n! 	n(n - 1) 	(n -k +1) 
(n - k)! k! 	k(k - 1) 	2.1 
olzkÜk. , 1,y■E tt\I 
Lema 10. Propiedades de los coeficientes binomiales. Para todo n, k c %U {O}, se tienen las siguien-
tes relaciones: 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 187 
(52) 
1) [2]= { nri ] =1 
3 ) [ k n 1 1 + [ ij _ ínkFl 
2) M = ín—n kl' 
Fórmula de Stieffel 
 
Demostración. Se tienen: 
= n! =1 
] 	
n! 
r11
= 
0! 	
=1 
u 	n! O! 	 n! 
	
n! 	 n! 
	
(n — k)! k! 	(n — k)! (n - (n - k))! 	[n n- 	; 
	
[ n 1 4_[nl 	n! 	n! 
[1<-11 	[k] 	(n-k+1)! (k-1)! 	(n-k)! 	= 
	
n!k +n! (n-k+1) 	nl (n+1) 	(n+1)! 	[n+11 
(n— k+1)! k! 	(n—k +1)! k! 	+1- k)! k! 	[ k J 
Se demostrará ahora, por inducción completa, que los coeficientes binomiales así definidos, son los 
que validan la siguiente fórmula. 
	
Binomio de Newton: sean a, bER y n E 	Entonces, para la potencia n-ésima del binomio (a+b), se 
tiene la siguiente expresión: 
	
(a + b) n = 	[nl an-k bk = 
&O k 
(53) 
= [2] an bo
[1] 	
b 1 	 [ n n 1 1 a l b n-i 	[lin ] ao b n . 
Demostración. Se utilizará el principio de inducción completa. 
a) La fórmula vale para n=0 ya que (a+b)° =1 = 	a ° b ° 
b) Si se supone que vale para n entonces se probará que para n + 1 se tiene la siguiente expresión 
n+1 
(a+ b) n+1 = Ií r1+1 an+l-kbk. 
k=0 
Se tiene que: 
(a + b) n+1 = (a + b) n (a +b)= {I[ Ijan-k b k }(a + b) 
k=0 	 JJJ 
= 	1- ni 	b k 	[nl 	b k+1 = 
ÍkJ 	 kJ 
k=0 	 k=0 
1) 
2) 
3) 
1 	 I 	11 11 	11 1 
188 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
 
 
n 	 n-1 
= r ol an+ 1 bo 	[n] &1+1-k bk +1, [ni 
[k 	 `-` 
	bk+1 + 
10.1 	
k=1 	
r 	 k=0 k 
[nn l a ° b n+1 = 
= [n-10-11 a n+1 b + O 	[] a 	b + 	1 
n+1-k k 	 n , 
a 	[n + 11 
	
n-i+1 b j 	11 a 0 b n+1 
2d — 
k=1 	 j=1 
= [n¿h11 an+ 1 b0 	
Jrk.1 
ni 	n 
1.1f a
n-k+1 bk 	
[ n + 1 
 11 a0 bn+1 = 
tl 	Lk — k=1 
n+1 
= 	[T1-1-1 a n+ 1- k bk , 
k=0 
que es lo que se quería probar. 
Ejemplos. El binomio de Newton para los valores más sencillos de n (casos 2, 3, 4, y 5) viene dado 
por las expresiones siguientes: 
n = 2: 	(a+b)2 = a2 +2ab + b2 ; 
n= 3: (a+b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 	; 
n= 4: (a+b) 4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 ; 
n = 5: 	(a+b) 5 = a5 + 5a4b + 1 Oa3b2 + 1 0a2b3 + 5ab4 + b5 ; 
que coinciden para n=2, 3 con lo ya visto en el Capítulo 2 para el cuadrado y cubo de un binomio. 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 189 
Trabajo Práctico 
	
1) 	Dé ejemplos de colecciones tales que: 
(i) la pertenencia de ciertos elementos sea discutible; 
(ii) la pertenencia de los elementos esté caracterizada por una propiedad, dé varios ejemplos. 
	
2) 	i) Dé ejemplos de conjuntos definidos por extensión y comprensión; 
ii) Defina por extensión los conjuntos siguientes: 
a){xEZ/x 2 55 	36 }, 	b){x ER/x 2 +x= O }; 
iii) Defina por comprensión los conjuntos siguientes: 
a) {1, 3, 5, 7, 	}, 	 b ) {5, 10, 15, 20, 	 } 
	
3) 	Sea el conjunto X= {1, 2,....8, 9} c N. Defina, por extensión, las partes de X siguientes : 
P: números pares 	 I: números impares 
Q: números primos, 	 A: números múltiplos de 3. 
Defina, por extensión y por comprensión, los complementarios de dichas partes con respecto al 
conjunto X. 
	
4) 	Indique si tienen sentido o no las siguientes expresiones: 
a E a, 	a E {a} , 	a c {a} , 	a c a, 	a = {a} 
A E A , 	AA, 	A E {A} , 	A E {A} , 	A c {A} 
	
5) 	Halle la intersección, unión, diferencia y diferencia simétrica entre: 
i) A = { 2, 4, 6, 8} 	, B 	{1, 4, 7, 9} ; 
ii) dos rectas del plano. (Analice los diferentes casos) ; 
iii) una recta y un círculo en el plano. (Analice los diferentes casos) ; 
iv) dos círculos del plano. (Analice los diferentes casos). 
	
6) 	Verifique que : 
i)A cB 	(AnC)c(B(1C), 	(A UC)c(B UC), VC. 
ii)A cB <1=>AnB =A <=>AUB=B <=>A n íá = 0 
	
7) 	Dé un ejemplo que verifique: 
i) A-B.B-A, 	 ii) A - (B - C) ( A -B) - C 
	
8) 	Si los conjuntos A y B tienen n y m elementos, respectivamente, entonces los conjuntos A x B 
y B x A tienen nm elementos, pero en general A x B .13 x A. Dé un contraejemplo. 
	
9) 	Grafique en el plano cartesiano los conjuntos A x B siendo: 
i)A=IF 	 B 
n 	11 	I 	i , W I 	Í b 	1 	 1 iit 	Uáálib 
190 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
ii)A={x E R/0 
iii)A= {x R/ 1 
iv)A= {x EN/1 
)(.5_ 	1 	}, 
5_ 2 }, 
5 }, 
B=R+; 
B={x ER/3 
B={x EN/0 
5_ 4 } 
3} 
	
10) 	Sean los conjuntos A = B = {1,2,3 	,15,16} y las siguientes relaciones: 
(i) R 1 : ser la mitad de; 
	
(h) R 2 : ser el doble de; 
(iii) 19 3 . ser un divisor de ; 
	
(iv) R4 : ser un múltiplo de; 
(v) R 5 : ser el cuadrado de; 
	
(vi)R 6: ser la raíz cuadrada de. 
Para cada caso, haga un estudio completo de la relación binaria (dominio, imagen o recorrido, 
gráfico, relación inversa, diferentes propiedades, etc.) 
	
11) 	(i) Sea el conjunto A = 	— , p,q E Z, q 	O } de los números fraccionarios. Se define la 
siguiente relación binaria en A: 
PR r<=> Ps q r = q 	s 
Verifique que R es una relación de equivalencia. 
ii) Halle las clases de equivalencia correspondiente a las fracciones 2 —
1 
y 3= —
3
; 
1 
iii) ¿Qué representa cada una de las clases de equivalencia halladas? 
Definición. Un número racional es una clase de equivalencia en el conjunto de los números 
fraccionarios. 
	
12) 	Verifique si las relaciones son de equivalencia o de orden: 
(i) "La igualdad" (=) entre conjuntos; 
(ii) "El paralelismo " (II ) entre rectas; 
(iii) "La semejanza" ( —) entre triángulos; 
(iv) "La inclusión" ( c ) respecto de los conjuntos; 
(v) "ser menor o igual que" ( 	) en 1:1 ; 
(vi) "ser mayor o igual que" ( 	) en R. 
	
13) 	Sea el conjunto A = { seres humanos vivos o muertos }. Se definen las funciones f: A 	A y g: A —> A 
de la siguiente manera: 
f(p) = "padre de p" 	 g(p) = "madre de p" , V p E A 
(i) Verifique que fog(p) = "abuelo materno de p", V p c A; 
(ii) Halle el significado de las composiciones gof, f 2 , g2 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 191 
	
14) 	Sean las funciones f 	--> 6g , g 	Urk definidas por f(x) = x3 , g(x) =2x +1, V E G1 . Halle fog, gof, 
f2 , g2 
	
15) 	Sean A y B dos conjuntos que tienen n y m elementos, respectivamente. Se considera una función 
f: A --> B. Compare los números naturales n y m cuando f es inyectiva, sobre y biyectiva. 
	
16) 	Sean los conjuntos A= {a,b,c,} y B = { (1, p, y } y la función f: A 	B definida de la siguiente manera: 
f( a ) = 	, 	 f ( b ) = 	, 	 f ( c ) = -y . 
Indique si f es inyectiva y / o sobre. 
	
17) 	Verifique que si dos funciones son inyectivas (sobre) entonces la composición es inyectiva (sobre). 
	
18) 	A todo punto de un círculo se le hace corresponder el punto diametralmente opuesto. Indique si se 
tiene una función sobre, inyectiva, biyectiva. 
	
19) 	Halle las funciones inversas de las siguientes funciones reales: 
(i)f:11—> R/f(x)=mx+h(m0); 
(ii) f : 	0;1+ / f (x ) = x 2 
¿Qué sucede si se considera la misma ley pero con f: 	f: í --> R+? 
iii)f:R 	/ f(x)=x3 
	
20) 	Sea P = {2, 4, 6, 	} el conjunto de los números naturales pares. Sea f : —> NyG:N 	P las 
funciones definidas por: 
f(n) = 2n, 	g(n) = 2n, 	VnEN 
Indique si f y g son funciones inyectivas, sobres, biyectivas. En caso de ser posible, halle la función 
inversa correspondiente. 
	
21) 	Resuelva en N, en el, en 0+, en y en R+ la ecuación 4x2 = 9 
	
22) 	Utilizando las nociones de intersección y de unión de conjuntos, defina en IR el conjunto de solucio- 
nes de la ecuación. 
(i) f (x) g(x) h(x) = 0, a partir de los conjuntos de soluciones de cada una de las ecuaciones f(x)=0, 
g(x)=0 y h(x)=0; 
(ii) f 2 (x) = g 2(x) a partir de los conjuntos de soluciones de cada una de las ecuaciones f(x)= g(x) y 
f(x) 	-g (x) 
23) (i) Dé 3 soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones: 
x+y= 1, 	2 x+y= 2; 
192 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
(ii) Exprese, como en el ejercicio anterior, el conjunto de soluciones del sistema de dos ecuaciones 
lineales: 
x + y = 1 
2x + y = 2 
(iii) Halle el conjunto de soluciones de la parte (ii) 
	
24) 	Demuestre que el conjunto de los números naturales impares es un conjunto numerable. 
	
25) 	Verifique que los conjuntos A y B tienen igual potencia siendo: 
A={x e R./ 0<x<1 }, 	 B={x E R/a<x<b} 
donde a y b son dos números reales cualesquiera de manera que a < b. 
	
26) 	Verifique que los siguientes conjuntos tienen la potencia del continuo; puede complementarse con lo 
que se verá en el Capitulo 7 sobre las funciones elementales y sus correspondientes gráficas: 
(i) IR' (Considere la función f(x)= 10x, V x ER); 
(ii) A= {x E R / 0 < x < 1 } (Considere la función f(x) = 1 / (1 + x), Vx E R+). 
	
27) 	Verifique por inducción matemática la igualdad de las siguientes expresiones: 
2 	n(n +1)(2n +1) . 
(i) 	/I = 
6 
1 — qn+ 1 
(iii) 	1, a 	= a 	 (q 	1); 1 — q 
yn 
(v) 	
1 
 
i(i +1) 	n + 1' 
3 	
n 2 (n + 1) 2 	( 
= 4 	
_ 
— 	i -1 	 \j=1 ) 
2' 
= 1 — 
2n 
• 
, 
(1 + x)" 1 + nx (x > 0) 
1=1 
i = O 
	
28) 	(i) Aplique el binomio de Newton para expresar: 
(a) (x + 2) 5 , 	 (b) ( x - 2) 5 ; 
(ii) Indique los valores de x, de manera que el tercer sumando del desarrollo de (x + 2) 4 sea igual a 48. 
	
29) 	Sean A, B y C tres conjuntos finitos con número de elementos n(A), n(B) y n(C), respectivamente. 
Verifique que se tienen las siguientes propiedades: 
(i) n (A u B) = n (A) + n (B) - n (A n B) ; 
(ii) si A n B = 0 entonces n (A u B) = n (A) + n (B) ; 
(iii) n(A u B u C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A n B) - n (A n C) - n (B n C) + n (A n B n C). 
	
30) 	Resuelva los siguientes problemas de conteo: 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 193 
(i) Considere un grupo de 50 personas. Se sabe que de ellas 20 no estudian ni trabajan, 10 
estudian, y 5 estudian y trabajan. Indique: 
(a) ¿Cuántas personas trabajan? ; 	 (b) ¿Cuántas sólo trabajan? 
(c) ¿Cuántas sólo estudian? 
(ii) En un periódico, sobre 50 empleados de una sección sabemos que 16 son sólo reporteros, 14 son 
fotógrafos no diagramadores y entre éstos hay 4 que a la vez son reporteros, 5 son diagramadores única-
mente, 2 diagramadores y fotógrafos, 3 son diagramadores y reporteros. Además, hay 8 empleados que 
cubren otras especialidades de la sección. Indique cuántos empleados desarrollan las tres especialidades? 
(iii) En un banco hay 10 empleados exclusivos para la caja de ahorro, 30 que trabajan en cuentas 
corrientes, de los cuales 4 colaboran con los cajeros exclusivos que son 16. Además, hay 6 empleados 
que pueden trabajar en caja de ahorro y en cuentas corrientes, y 4 empleados (1 gerente, 1 secretario y 2 
contadores) que pueden apoyar en las 3 secciones. Indique: 
(a) ¿Cuántos empleados hay en el banco? 
(b) ¿Cuántos empleados desempeñan una única función en el banco? 
(c) ¿Cuántos empleados desempeñan al menos dos funciones en el banco? 
31) 	Hay 35 estudiantes que quieren cursar Matemática , Economía o ambos a la vez. Si 25 estudiantes 
se han inscrito en Economía y 20 en Matemática, ¿cuántos están inscritos en ambos cursos de 
Economía y Matemática? 
II 	41 
	 411 
194 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
Problemas Complementarios 
1) Demuestre por contradicción que si X e Y son números reales tales que: 
X O , 	Y O , 	X + Y =O , 
entonces 	X=OeY=0 
2) ¿Cuántos primos puede tener Juan, de acuerdo al siguiente diálogo, si se sabe que 
uno solo de los chicos dice la verdad? 
José dice: Juan tiene por lo menos 6 primos; 
Alberto corrige: No, tiene menos de 6 ; 
Pablo agrega : Tal vez tengas razón, pero lo que yo sé, es que tiene más de 1 
primo. 
3) Los trillizos Ramírez tienen la siguiente molesta costumbre: cada vez que se les hace 
una pregunta, dos de ellos dicen la verdad y el otro la mentira acerca de la respuesta. Se les 
preguntó cuál de los tres había nacido primero, y contestaron: 
José dice: "Juan nació primero" ; 
Juan dice: "Yo no soy el mayor" ; 
Pablo dice:"José nació primero". 
¿Cuál de los tres nació primero? 
4) Indique al menos tres respuestas para la siguiente pregunta de abstracción: ¿Cómo 
se puede demostrar que dos números reales son iguales? 
5) Demuestre por contradicción que: 
(i) En una fiesta de n personas (n 2) existen por lo menos dos personas que tienen el 
mismo número de amigos en la fiesta. 
(ii) No existen tres números naturales consecutivos tales que el cubo del mayor sea igual 
a la suma de los cubos de los otros dos. 
6) Indique, al menos tres respuestas, para la siguiente pregunta de abstracción: ¿cómo 
se puede demostrar que dos rectas del plano son paralelas? 
7) Sea la proposición directa: 
"Si ABC es un triángulo equilátero entonces ABC es un triángulo isósceles". 
(i) Indique si puede expresarse en forma equivalente diciendo: 
(a) Que un triángulo sea equilátero es condición suficiente, pero no necesaria, para que 
sea isósceles. 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 195 
(b) Que un triángulo sea isósceles es condición necesaria, pero no suficiente, para que sea 
equilátero. 
(c) Un triángulo es isósceles si es equilátero. 
(d) Un triángulo es equilátero sólo si es isósceles. 
La proposición recíproca de la directa dada es : " Si ABC es un triángulo isósceles entonces ABC es 
un triángulo equilátero". 
La proposición inversa es: "Si ABC no es un triángulo equilátero entonces ABC no es un triángulo 
isósceles". 
La proposición contrarrecíproca es : "Si ABC no es un triángulo isósceles entonces ABC no es un 
triángulo equilátero". 
(ii) Indique y justifique cuál de las cuatro proposiciones: directa, recíproca, inversa y contrarrecíproca, 
es verdadera o falsa. 
196 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
Respuesta Trabajo Práctico 
2) (ii) 	(a) 	{ 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6 } , 
(b) 	{0, -1 } ; 
(iii) 	(a) 	{x ENI/x= 2k -1 conkEKI} 
(b) 	{x EN/x=5kconk EN} 
3) P = { 2, 4, 6, 8 } , 	Q = { 1, 2, 3, 5, 7 } 
I = { 1, 3, 5, 7, 9 }, 	A = { 3, 6, 9 } , 
13 ={ 1, 3, 5, 7, 9 }={x 	N/x= 2k+1 ,k= 0, 1, 2, 3, 4 }, 
1={ 4, 6, 8, 9 }={x EKI/x= 2k ,k= 2, 3, 4 }u{ 9 }, 
T= { 2, 4, 6, 8 }={x ENI/x= 2k ,k= 1, 2, 3, 4 }, 
= {1, 2, 4, 5, 7, 8 } 
4) no 	 sí 	 no 	 no 
no 	 no 	 sí 	 sí 
5) (i) A n B = { 4 } 	A u B = { 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9 } 
no 
no 
A A B = { 1, 2, 6, 7, 8, 9 } 
Y 
Y 
1 	1 	1 
1 2 3 4 5 
(i) 	R 1 = { (1,2), (2,4) , (3,6), (4,8), (5,10), (6,12) , (7,14), (8,16)) 
Dom (R 1 ) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 
Im (R 1 ) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} 
R i : "ser el doble de ; 
Y 
4 
3 
	
3 
2 
	
2 
1 
	
1 
1 	2 
10) 
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS • 197 
(ii) 	R 2 = {(2, 1),(4, 2),(6, 3),(8, 4),(10, 5),(12, 6),(14, 7),(16, 8)} 
Dom (R 2) = Im (R 1 ) 	 Im (R 2) = Dom (R 1 ) 
R2 -1 : " ser la mitad de " 
11) (ii) [1={2 EA/q=2p} 	, 	[3]={—EA/p=3q} 
q 
12) (i), (ii) y (iii) relación de equivalencia, 
(i), (iv),(v) y (vi) relación de orden . 
13) (ii) 	gof (p) = " abuela paterna de p " , 
g2 (p) = " abuela materna de p " , 
f2 (p) = abuelo paterno de p " 
14) fog (x) = (2x + 1) 3 	 gof (x) = 2x 3 +1 , 	f2 (x ) =x9 
g2 (x) =4x + 3 . 
15) inyectiva n m , 	sobreyectiva n m 	 biyectiva : n = m . 
16) no es inyectiva ni sobreyectiva. 
18) es biyectiva. 
— 
19) (i) f -1 (y) = 
y 	h 	
(ii) f -1 (Y) = 	 (iii) f -1(Y) = 
20) f es inyectiva pero no sobreyectiva, 
g es biyectiva ; g -1 	—■ / n 2 
21) en NI no hay solución 
solución en O : 	, 	; 
solución en 	: 	; 
solución en (Er• 
' 2 ' 
solución en Er• • 
' 2 ' 
22) (i)S={x/f(x)=0} u{x/g(x)=0}u{x/h(x)=0} 
(ii) S = { x / f(x) = g (x) } u { x / f(x) = -g(x) } 
23) (i) 
	
	soluciones de x + y = 1 : (0, 1) ; (1, 0)1, -1); 
soluciones de 2x + y = 2 : (1, 0) ; (0, 2);(-1, 4) ; 
(ii) 	S={(x,y)/x+y= 1 } n{(x,y)/2x+y= 2 }; 	(iii) 	S = { (1, 0) } 
NÚMEROS REALES 
6.1. EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES 
Es un complemento de lo dado en el Capítulo 1 sobre los números reales. 
A Ley de composición interna 
Definición. 1. Sea A un conjunto no vacío. Una ley de composición interna definida en el conjunto A, es 
toda función de A x A en A, es decir, se trata de una operación que asigna a cada par ordenado de 
elementos de A un único elemento de A. Dicho de otra manera, la operación * es una ley de composición 
interna en A si y sólo si * : A A es una función, es decir que 
(1) 	 xEA,yEAx*yEA 
La imagen x * y, del par (x,y) por la operación * , es el resultado o la composición del elemento x de 
A con el elemento y de A. 
Observación 1. 1) La unicidad de la operación x * y está garantizada por el hecho de ser * una función: 
2) La adic ión y la multiplicación son leyes de composición interna en i, Z, (U y R. 
A Estructura de grupo conmutativo 
Definición 2. Sea A un conjunto munido de una ley de composición interna * . Se dice que la dupla 
(A, * ) es un grupo si y sólo si: 
1) La ley * es asociativa, es decir: 
(2) 
	
(x*y)* z=x*(y*z), 	 V x, y , z EA; 
2) La ley * posee un elemento neutro en A, es decir: 
(3) 
	
3 eEA/x*e=e*x = x 	V x EA; 
3) Todo elemento de A posee un elemento simétrico en A, es decir: 
(4) 	 V x E A, 3 x' E A / x * x' = x' * x = e 
Definición 3. Sea A un conjunto munido de una ley de composición interna * . Se dice que la dupla 
(A, * ) es un grupo conmutativo si y sólo si: 
1) (A, * ) es un grupo ; 
2) La ley * es conmutativa, es decir: 
(5 ) 	 x*y =y*x 	 V x, y E A. 
Observación 2. El elemento simétrico se llama opuesto cuando la operación * es la suma (+) 
ordinaria y se llama inverso o recíproco cuando la operación * es el producto (x) ordinario. 
200 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
Ejemplos. (i) (2,+), (C1,+), (R,+) son grupos conmutativos respecto de la operación suma (+) ordinaria. 
Más aún, el elemento neutro es el O (cero); 
(ii) ( 	x ) , (R-{0}, x) son grupos conmutativos respecto de la operación producto (x) ordinario. 
Más aún, el elemento neutro es el 1(uno); 
(iii) (R, x ),(2, x) no son grupos conmutativos. 
A Estructura de cuerpo 
Definición 4. Sea A un conjunto munido de dos leyes de composición interna (+) y (x) . Se dice que 
el triple (A, +, x) es un cuerpo si y sólo si: 
1) La dupla (A, +) es un grupo conmutativo, con elemento neutro 0; 
2) La dupla (A -{0}, x) es un grupo; 
3) La segunda ley de composición interna ( x ) es distributiva con respecto de la primera (+), es decir: 
(6) (i) a x(b+c)=a x b+a x c, 
(ii) (a+b) x c=a x c+b xc, 
V a, b , c E A; 
V a, b , c EA; 
 
Observación 3. En el caso en que la segunda ley de composición interna (x) sea conmutativa, las 
dos propiedades distributivas (6i) y (6ii) se reducen a una sola. En este caso, se dice que (A, +, x) es un 
cuerpo conmutativo. 
Definición 5. Sea A un conjunto munido de dos leyes de composición interna + y x. Se dice que el 
triple (A, +, x) es un cuerpo conmutativo si y sólo si: 
1) El triple (A, +, x) es un cuerpo; 
2) La segunda ley de composición interna (X) es conmutativa. 
Observación 4. En el conjunto de los números reales la operación producto (x) se suele indicar 
también por (.), pero en general se evita su colocación por conveniencia en las notaciones. 
Ejemplos. (i) El conjunto de los números reales con las operaciones suma (+) y producto (x) ordinario 
tiene una estructura de cuerpo conmutativo, es decir que (R, +, x) es un cuerpo conmutativo, 
(ii) El triple (O, +, x) es un cuerpo conmutativo; 
(iii) El triple (2, +, x) no es un cuerpo. 
Definición 6. En todo cuerpo conmutativo (A, +, x) se tienen además las dos leyes u operaciones 
siguientes: 
1) Resta o diferencia: 
( 7) 
	
x-y=x+(-y) 	 V x,yeA, 
donde (-y) E A designa el elemento opuesto de y EA: 
NÚMEROS REALES • 201 
2) 	División : 
(8) 	 x + y = —= x 	 V x, y e A con y O, 
Y 
donde y' = 	E A designa el elemento recíproco o inverso de y E A — {0}. 
A Propiedades fundamentales de los cuerpos conmutativos 
Las propiedades fundamentales de los cuerpos conmutativos, en nuestro caso, el conjunto de los números 
reales, son las que se utilizan corrientemente en el cálculo con dichosnúmeros. Se deducen utilizando las 
propiedades básicas, en especial, la propiedad distributiva. 
Proposición 1. En el conjunto de los números reales son válidas las siguientes propiedades: 
1) x0=0x=0,VxER; 
2) x ( -y) = - (xy), V x, y E R; 
3) Para que un producto de factores sea nulo es necesario y suficiente que al menos uno de los 
factores sea nulo, es decir: 
xy=0 ‹:=> x=0 V y=0 
4) El producto es distributivo con respecto a la resta, es decir: 
x(y-z)=xy-xz, Vx,y,z ER; 
5) La división es distributiva con respecto a la suma y resta, es decir: 
x — y + z 	x 	y 
Vx,y,z,aeRcona = O . 
a 	a 	a 	a 
6) Se tienen las igualdades fundamentales siguientes: 
(i) (x + y) 2 = x2 + y2 + 2 x y 	 V x, y, e R; 
(ii) (x - y) 2 = x2 + y2 - 2 x y 	 V x, y, e R; 
(iii) (x + y) (x - y) = x 2 - y2 	 V x, y, E R; 
Á Números racionales e irracionales 
Los distintos conjuntos de números que se utilizan se deducen a partir de sucesivas ampliaciones de 
conjunto de los números naturales N, de acuerdo a lo visto en el Capítulo 1. Ya se analizó que en N, ,/ y CP 
existen problemas sin solución. 
A continuación se verán propiedades importantes del conjunto de los números racionales. 
Proposición 2. Entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números racionales 
distintos entre sí. 
Demostración. Sean a y b dos números racionales distintos con a<b. Entonces (a+b)/2 es también 
un número racional que verifica las siguientes desigualdades : 
1111 11 11 , 	el 	1 	 111,1 	V 	liu 	,1111 	1 , 	1 	1 	 1,1111 	11111,1 eilv Iliválk 	e 
202 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
a + b a + b 
a < <b 
2 	2 
pues 
a + b 	a + b – 2a 	b – a 	 a+b 	2b–a–b 	b–a 
2
– a= 	
2 	 2 
	 > 0 , b– 	
2 	 2 	 2 
	 > 0 
Repitiendo indefinidamente este procedimiento se pueden hallar infinitos números racionales que se 
encuentran entre a y b. 
Observación 5. Por la propiedad anterior se dice que el conjunto la es denso con respecto de la 
relación "<". 
Observación 6. No se puede hablar de dos números racionales consecutivos. 
La pregunta simple que uno puede plantearse es "¿Existen otros números, utilizados en la vida 
cotidiana, que no sean números racionales?; la respuesta es afirmativa y para poder justificarla se puede 
considerar el siguiente problema. 
"¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyos lados tienen una longitud unitaria? o, dicho de otra 
forma, ¿cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles cuyos dos lados iguales tienen una 
longitud unitaria? 
Utilizando el Teorema de Pitágoras, resulta que la respuesta es J. Pero, inmediatamente surge la 
cuestión: ¿ -\/2 E el? antes de intentar dar una respuesta, se verán algunas propiedades de los números 
naturales. 
Lema 3. (i) Si p E N es un número par entonces p 2 es un número par; 
(ii) Si p E N es un número impar entonces p 2 es un número impar; 
(iii) Si p E f y p 2 es un número par entonces p es un número par; 
(iv) Si p E N y p 2 es un número impar entonces p es un número impar. 
Demostración: 
(i) Si p E N es un número par entonces p se puede escribir como p = 2n con n E N. Luego p 2 = 4 n2 = 2(2n2 ) 
que resulta ser un número par; 
(ii) Si p E N es un número impar entonces p se puede escribir como p = 2n - 1 con n E N. Luego 
p2 = (2n - 1) 2 = 4 n2 - 4 n + 1 = 2[2 n (n - 1)] + 1, 
con lo cual p2 es un número impar; 
(iii) y (iv) resultan ser corolarios inmediatos de (U) e (i), respectivamente. 
Teorema 4. Se tiene que: 
(10) 
Demostración. Se supone, por el absurdo que \/1 E U, es decir que existen dos números naturales 
ny m, primos entre sí, de manera que 	= —
m 
con n 1. Por tanto, elevando al cuadrado ambos 
n 
miembros, se tiene que m 2 = 2 n 2 ; es decir, que m 2 es un número par y en consecuencia m resulta ser un 
( 9 ) 
NÚMEROS REALES • 203 
número par. Por lo tanto, m puede ser escrito como m = 2 p con p E NI. Entonces, se tiene 2 n2 = m2 = 4p2 , 
 es decir n2 = 2 p2 . Luego, se deduce que n 2 es un número par por tanto n es un número par, lo cual resulta 
ser un absurdo al ser simultáneamente n y m números pares y primos entre sí. 
Teorema 5. 1) Si a y b son dos números racionales distintos con a < b, entonces el número real, 
definido por la expresión: 
	
x= 	
2 	2 
r
,2 
■ 
	 a + 
.N/í 
 b
, 
verifica las siguientes condiciones: 
(12) 	 (a) a < x < b 	 (b) x 
2) Entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números irracionales distintos entre sí. 
Demostración. 
1) (a) Se tiene 
	
-\/í 	-f2 	-,r2 
x - a = 1 - 	 a + —
2 
b - a = —
2 
(b - a) > O • 
2 ) 
r- 
 
b - x = b - 1 -
V2 
a 	
( 
b = 1 - 	b - 1 - 	 
2 	2 	 2 	 2 
a= 
( 
	
= 1- 
2 	
(b - a) > O 
por ende resulta a < x < b. 
(b) Si x E O, entonces de las relaciones obtenidas anteriormente se deduce que 
x - a 
-,/2 = 2 	 que resulta ser un racional, lo cual es absurdo. Por lo tanto x 1 
b - a 
2) Como entre dos números racionales existen infinitos números racionales, por la parte (1) se dedu-
ce que existen también infinitos números irracionales. 
Observación 7. El conjunto de los números reales es la unión de los conjuntos de números raciona-
les e irracionales. El número 	es irracional. Más aún, entre dos números racionales o irracionales 
existe siempre un número irracional. Los números reales se pueden construir, a partir de los racionales, de 
diversas maneras, por ejemplo a través del límite de sucesiones de Cauchy, o cortaduras de Dedekind. 
6.2. DESIGUALDADES ENTRE NÚMEROS REALES 
En el conjunto 11 de los números reales se han definido las relaciones "menor que" (<), "mayor que" (>), 
"menor o igual que" 	y "mayor o igual que" 	Por ejemplo, para a, b E fR , se indica con a > b cuando 
a - b > O. Idem para las otras relaciones 	y "<". 
1 , 41 d II, ¡II 	 I 	II 	I II U I 	'41111111LO 	Hl" I 	piro 	I I 	 IIII moi ¡III III alLIMIffilliálók»..t,-, 
204 • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 
Definición 7. Sean a b, c e R. Se indicará con a < b < c (c > b > a) cuando se cumplan simultá-
neamente las dos desigualdades siguientes: 
a<b(b>a) A b<c (c>b) 
Ejemplos. (i) La desigualdad 2 < x < 1 no tiene sentido pues 3 x e R/ 2 < x A x < 1; 
(ii) La desigualdad 1 < 2 < 3 tiene sentido pues 1 < 2 A 2 < 3 
Lema 6. Las relaciones "<" y ">" satisfacen las siguientes propiedades fundamentales (V x, y, z E R): 
1) x > y 	 =x+a>y+a V aER: 
2)x>y 	A 	y>z 	=x>z; 
3) x > y 	 -x < -y; 
4)x>y 	A 	b>a 	=x-a>y-b; 
5)x>y >O A 	a3,b>0 ax>by; 
6) x > y >0 	
1 
— > 1 — > 0; 
X>Y a>0 	
y ax>x y 
7) x < y < O 	 — < — <0; 
y 	x 
8) x > y > O 	 xn > y", VnEN: 
9) y < x < O 
	
	 i) y" > xn > O, V n E N/ n es par; 
yn< xn < 0, V n E N/ n es impar; 
Demostración. Se realizarán las pruebas de algunas propiedades. 
1) Como (x + a) - (y+a)= x- y >O entonces se tiene x + a > y + a, V a e R; 
2) Como x - z = (x -y)+(y-z)>0 entonces se tiene x > z; 
3) Como - y - (-x) = x - y > O entonces se tiene - y > -x; 
4) Como ( x - a) - ( y - b) = ( x - y ) + ( b - a) > O entonces se tiene x - a > y -b; 
5) Como ax - by = (ax - ay ) + (ay - by) = a ( x - y )+(a - b)y >0 entonces se tiene ax > by; 
6) Como —
1 
— 	
= x — y 
 > O entonces se tiene —
1 
> 
1 
y 	x 	xy 	 y 	x 
6.3. INTERVALOS DE NÚMEROS REALES 
Definición 8. Sean a y b dos números reales tales que a b. Entonces se definen los siguientes 
conjuntos: 
1) Intervalo cerrado [ a,b]. Es el conjunto dado por: 
(13) [a,b]={xeR/xa A 	b}={xeR/axb}; 
2) Intervalo abierto (a,b). Es el conjunto dado por: 
(14) (a,b) = {xeR/x>a A x<b}={xeR/a<x<b}; 
3) Intervalos semiabiertos. Son los conjuntos dados por: 
NÚMEROS REALES • 205 
[a,b) = {x e R / 	x < b} 	Cerrado por izquierda y abierto por derecha, 
(a,b] = {x E R/a<x b} 	Abierto por izquierda y cerrado por derecha; 
4) Intervalos ilimitados. Son los conjuntos dados por: 
	
= {x E El / x b} 	Intervalo cerrado ilimitado a izquierda; 
(-cc,b) = {x E R / x < b} 	Intervalo abierto ilimitado a izquierda; 
(16) 	[a,) = {x E R / a x} 	Intervalo cerrado ilimitado a derecha;