1461-2018-10-02-qchaos2018

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¿QUÉ ES EL CAOS CUÁNTICO?
Armando Relaño1
1Departamento de Estructura de la Materia, Física Térmica y Electrónica
Universidad Complutense de Madrid
20 septiembre 2018
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 1 / 34
Fenomenología del caos
Mecánica Clásica: H(q1, . . . ,qN ; p1, . . . ,pN) −→

q̇i =
∂H
∂pi
ṗi = −
∂H
∂qi
Caos debido a ecuaciones diferenciales no lineales
Mecánica Cuántica: −→ i~ ∂
∂t
|Ψ〉 = H |Ψ〉
La ecuación de Schrödinger es lineal −→ No genera caos
|〈Ψ(0)|Φ(0)〉|2 = |〈Ψ(t)|Φ(t)〉|2 ∀t
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 2 / 34
Fenomenología del caos
Mecánica Clásica: H(q1, . . . ,qN ; p1, . . . ,pN) −→

q̇i =
∂H
∂pi
ṗi = −
∂H
∂qi
Caos debido a ecuaciones diferenciales no lineales
Mecánica Cuántica: −→ i~ ∂
∂t
|Ψ〉 = H |Ψ〉
La ecuación de Schrödinger es lineal −→ No genera caos
|〈Ψ(0)|Φ(0)〉|2 = |〈Ψ(t)|Φ(t)〉|2 ∀t
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 2 / 34
Matemáticas del caos: sistemas integrables
N constantes de movimiento: {H,Fi} = 0, i = 1, . . . ,N.
En involución {Fi ,Fj} = 0 ∀i , j .
Funcionalmente independientes.
H(q1, . . . ,qN ; p1, . . . ,pN)
(p,q)→(I,φ)−−−−−−−→ H(I1, . . . , IN)
İi = 0
φ̇i = ωi(I1, . . . , IN)
} Movimiento multiperiódico
↓
Trayectorias en un toro
Ruptura de integrabilidad −→ Caos (teorema KAM)
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 3 / 34
Matemáticas del caos: sistemas integrables
N constantes de movimiento: [H,Fi ] = 0, i = 1, . . . ,N.
En involución {Fi ,Fj} = 0 ∀i , j .
Funcionalmente independientes.
H(q1, . . . ,qN ; p1, . . . ,pN)
(p,q)→(I,φ)−−−−−−−→ H(I1, . . . , IN)
İi = 0
φ̇i = ωi(I1, . . . , IN)
} Movimiento multiperiódico
↓
Trayectorias en un toro
Ruptura de integrabilidad −→ Caos (teorema KAM)
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 4 / 34
Matemáticas del caos: sistemas integrables
N constantes de movimiento: [H,Fi ] = 0, i = 1, . . . ,N.
Conmutan entre sí [Fi ,Fj ] = 0 ∀i , j .
Funcionalmente independientes.
H(q1, . . . ,qN ; p1, . . . ,pN)
(p,q)→(I,φ)−−−−−−−→ H(I1, . . . , IN)
İi = 0
φ̇i = ωi(I1, . . . , IN)
} Movimiento multiperiódico
↓
Trayectorias en un toro
Ruptura de integrabilidad −→ Caos (teorema KAM)
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 5 / 34
Matemáticas del caos: sistemas integrables
N constantes de movimiento: [H,Fi ] = 0, i = 1, . . . ,N.
Conmutan entre sí [Fi ,Fj ] = 0 ∀i , j .
Todas las constantes de movimiento son funciones de un
operador general O.
¿¿¿¿????
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 6 / 34
¡Pero tiene que haber caos!
Mecánica cuántica
H = ωa†a + ωoJz +
λ
2
√
N
[(
a + a†
)
(J+ + J−)
]
 50
 60
 70
 80
 90
 100
 110
 120
 130
 0 50 100 150 200
<
a+
 a
>
t
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 7 / 34
¡Pero tiene que haber caos!
Mecánica clásica
H =
ω
2
(
p2x + x
2
)
+
ωo
2
(
p2y + y
2 − 1
2
)
+
√
2λxy
√
1−
(
p2y + y2
)
 0
 50
 100
 150
 200
 250
 300
 350
 400
 0 50 100 150 200
N
um
er
o 
de
 fo
to
ne
s
t
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 8 / 34
Observables en mecánica cuántica
Evolución temporal del valor esperado
Espectro del Hamiltoniano: H |φn〉 = En |φn〉.
Condición inicial |Ψ(0)〉 =
∑
n Cn |φn〉.
〈M〉 =
∑
i,j
C∗j Ci e
−i(Ei−Ej)t/~︸ ︷︷ ︸
Energías
〈
φj
∣∣M |φi〉︸ ︷︷ ︸
Funciones de onda
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 9 / 34
Cuantizando sistemas integrables: espectro
REGLAS SWI: MECÁNICA CUÁNTICA ANTIGUA
Hamiltoniano clásico integrable: H(I1, . . . , IN).
Cuantizamos las acciones: Ii = 2π~ni −→ Primera aproximación
al espectro: En1,...,nN = H(2π~n1, . . . ,2π~nN).
La particular geometría de los sistemas clásicamente integrables
se manifiesta en la forma del espectro
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 10 / 34
Ejemplo: billar rectangular
Dos constantes de movimiento, p2x y p2y −→ dos números
cuánticos, nx y ny ,
Enx ,ny =
~2π2
2m
[(nx
a
)2
+
(ny
b
)2]
.
Fijando nx (autoestados correspondientes a p2x = C), secuencia
ordenada de niveles E ∼ n2y .
Espectro completo: mezcla aleatoria de todas estas secuencias.
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 11 / 34
Billar rectangular
nx = 1
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 12 / 34
Billar rectangular
nx = 1 nx = 2
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 13 / 34
Billar rectangular
nx = 1 nx = 2 nx = 3
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 14 / 34
Billar rectangular
nx = 1 nx = 2 nx = 3 nx = 4
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 15 / 34
Billar rectangular
nx = 1 nx = 2 nx = 3 nx = 4 nx = 5
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 16 / 34
Billar rectangular
nx = 1 nx = 2 nx = 3 nx = 4 nx = 5 nx = 6
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 17 / 34
Billar rectangular
nx = 1 nx = 2 nx = 3 nx = 4 nx = 5 nx = 6 nx = 7
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 18 / 34
Propiedades estadísticas del espectro
Parte suave del espectro:
Forma funcional del Hamiltoniano: H (I1, . . . , IN).
Diferente para cada sistema físico.
Parte aleatoria del espectro:
Consecuencia de mezclar diferentes secuencias ordenadas,
correspondientes a la cuantización de cada acción Ij = 2π~nj .
Universal: Característica de todos los sistemas integrables.
FLUCTUACIONES EN EL ESPECTRO
La distancia s entre cada dos niveles consecutivos si = Ei+1 − Ei ,
normalizada a uno 〈s〉 = 1, sigue una distribución de Poisson
P(s) = exp(−s) para todos los sistemas integrables de más de un
grado de libertad.
M. V. Berry and M. Tabor, Proc. R. Soc. Lond. A 356, 375 (1977).
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 19 / 34
Propiedades estadísticas del espectro
Parte suave del espectro:
Forma funcional del Hamiltoniano: H (I1, . . . , IN).
Diferente para cada sistema físico.
Parte aleatoria del espectro:
Consecuencia de mezclar diferentes secuencias ordenadas,
correspondientes a la cuantización de cada acción Ij = 2π~nj .
Universal: Característica de todos los sistemas integrables.
FLUCTUACIONES EN EL ESPECTRO
La distancia s entre cada dos niveles consecutivos si = Ei+1 − Ei ,
normalizada a uno 〈s〉 = 1, sigue una distribución de Poisson
P(s) = exp(−s) para todos los sistemas integrables de más de un
grado de libertad.
M. V. Berry and M. Tabor, Proc. R. Soc. Lond. A 356, 375 (1977).
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 19 / 34
Universalidad en espectros caóticos
Un sistema no integrable no tiene bastantes
constantes de movimiento: H 6= H (I1, . . . , IN).
No puede cuantizarse de la misma manera:
E 6= H (2π~n1, . . . ,2π~nN).
El espectro no es el resultado de mezclar
secuencias independientes −→ Correlaciones entre
niveles.
FLUCTUACIONES EN EL ESPECTRO: CONJETURA BGS
La distancia s entre cada dos niveles consecutivos si = Ei+1 − Ei ,
normalizada a uno 〈s〉 = 1, sigue una distribución de Wigner
P(s) = π2 s exp
(
−π4 s
2) para todos los sistemas clásicamente
ergódicos.
O. Bohigas, M. J. Gianonni y C. Schmidt, Phys. Rev. Lett. 52, 1 (1984).
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 20 / 34
Universalidad en espectros caóticos
Un sistema no integrable no tiene bastantes
constantes de movimiento: H 6= H (I1, . . . , IN).
No puede cuantizarse de la misma manera:
E 6= H (2π~n1, . . . ,2π~nN).
El espectro no es el resultado de mezclar
secuencias independientes −→ Correlaciones entre
niveles.
FLUCTUACIONES EN EL ESPECTRO: CONJETURA BGS
La distancia s entre cada dos niveles consecutivos si = Ei+1 − Ei ,
normalizada a uno 〈s〉 = 1, sigue una distribución de Wigner
P(s) = π2 s exp
(
−π4 s
2) para todos los sistemas clásicamente
ergódicos.
O. Bohigas, M. J. Gianonni y C. Schmidt, Phys. Rev. Lett. 52, 1 (1984).
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 20 / 34
Comportamiento cualitativo
ArmandoRelaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 21 / 34
¿Por qué Wigner?
Perturbamos un sistema integrable: H = H0︸︷︷︸
Integrable
+ V︸︷︷︸
Caótico
Representación matricial.
Base integrable: H0 |Ψi〉 = E0i |Ψi〉:
Hij = 〈Ψi |H0
∣∣Ψj〉+ 〈Ψi | V ∣∣Ψj〉
Hij =

E01 + V11 V12 · · · V1n
V21 E02 + V22 · · · V2n
...
...
. . .
...
Vn1 Vn2 · · · E0n + Vnn

El espectro se obtiene diagonalizando Hij . Depende de cómo son
los elementos Vij .
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 22 / 34
¿Por qué Wigner?
TEORÍA DE MATRICES ALEATORIAS (TMA)
Modelo estadístico para interacciones complejas. Desarrollado
para Física Nuclear.
Representación matricial con elementos aleatorios.
Físicamente, todas las interacciones son igualmente probables.
La TMA genera espectros con distribución de Wigner
Los sistemas cuánticos cuya dinámica clásica es
ergódica se comportan como si sus interacciones
fueran muy complejas
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 23 / 34
¿Por qué Wigner?
TEORÍA DE MATRICES ALEATORIAS (TMA)
Modelo estadístico para interacciones complejas. Desarrollado
para Física Nuclear.
Representación matricial con elementos aleatorios.
Físicamente, todas las interacciones son igualmente probables.
La TMA genera espectros con distribución de Wigner
Los sistemas cuánticos cuya dinámica clásica es
ergódica se comportan como si sus interacciones
fueran muy complejas
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 23 / 34
Dinámica en un sistema integrable: cruces de niveles
Cambio de los niveles al modificar λ:
H = ωa†a + ω0Jz +
λ√
N
[(
a†J− + aJ+
)]
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
 0.1
 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5
E
λ
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 24 / 34
Dinámica en un sistema integrable: cruces de niveles
Lo que un sistema “ve”:
H = ωa†a + ω0Jz +
λ√
N
[(
a†J− + aJ+
)]
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
 4.5
 5
 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5
E
λ
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 25 / 34
Dinámica en un sistema caótico: anticruces
Cambio de niveles al modificar λ:
H = ωa†a + ωoJz +
λ
2
√
N
[(
a + a†
)
(J+ + J−)
]
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
 0.1
 0.12
 0.14
 0.16
 0.18
 0.2
 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5
E
λ
Las transiciones en un proceso λi
λ(t)−−→ λf son más probables
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 26 / 34
Dinámica en un sistema caótico: anticruces
Cambio de niveles al modificar λ:
H = ωa†a + ωoJz +
λ
2
√
N
[(
a + a†
)
(J+ + J−)
]
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
 0.1
 0.12
 0.14
 0.16
 0.18
 0.2
 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5
E
λ
Las transiciones en un proceso λi
λ(t)−−→ λf son más probables
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 26 / 34
Observables en mecánica cuántica
Evolución temporal del valor esperado
Condición inicial |Ψ(0)〉 =
∑
n Cn |φn〉:
〈M〉 =
∑
i,j
C∗j Ci e
−i(Ei−Ej)t/~︸ ︷︷ ︸
Energías
〈
φj
∣∣M |φi〉︸ ︷︷ ︸
Funciones de onda
Medida física 〈M〉 = limτ→∞ 1τ
∫ τ
0 dt M(t).
〈M〉 =
∑
i
|Ci |2 〈φi |M |φi〉
Cuánticamente, el sistema no olvida su condición inicial
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 27 / 34
Observables en mecánica cuántica
Evolución temporal del valor esperado
Condición inicial |Ψ(0)〉 =
∑
n Cn |φn〉:
〈M〉 =
∑
i,j
C∗j Ci e
−i(Ei−Ej)t/~︸ ︷︷ ︸
Energías
〈
φj
∣∣M |φi〉︸ ︷︷ ︸
Funciones de onda
Medida física 〈M〉 = limτ→∞ 1τ
∫ τ
0 dt M(t).
〈M〉 =
∑
i
|Ci |2 〈φi |M |φi〉
Cuánticamente, el sistema no olvida su condición inicial
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 27 / 34
Funciones de onda y observables físicos
Aunque no es posible universalizar, pues podemos “inventarnos”
observables, M, con cualquier comportamiento. . . La representación
de 〈φi |M |φi〉 suele ser irregular si el sistema es caótico.
A. Peres, Phys. Rev. Lett. 53, 1711 (1984).
Modelo de Dicke: ω = ω0 = 1, λ = 2.2, N = 10.
 0
 50
 100
 150
 200
 250
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
<
a+
 a
>
E
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 28 / 34
Funciones de onda y observables físicos
Aunque no es posible universalizar, pues podemos “inventarnos”
observables, M, con cualquier comportamiento. . . La representación
de 〈φi |M |φi〉 suele ser irregular si el sistema es caótico.
A. Peres, Phys. Rev. Lett. 53, 1711 (1984).
Modelo de Dicke: ω = ω0 = 1, λ = 2.2, N = 10.
 0
 50
 100
 150
 200
 250
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
<
a+
 a
>
E
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 28 / 34
¿Memoria cuántica de la condición inicial?
 0
 50
 100
 150
 200
 250
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
<
a+
 a
>
E
〈a†a〉 =
∑
i
|Ci |2 〈φi |a†a |φi〉 −→ Sistema no caótico, los detalles
de la condición inicial importan
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 29 / 34
¿Memoria cuántica de la condición inicial?
 0
 50
 100
 150
 200
 250
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
<
a+
 a
>
E
〈a†a〉 =
∑
i
|Ci |2 〈φi |a†a |φi〉 −→ Sistema caótico, los detalles de
la condición inicial no importan
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 30 / 34
¿Memoria cuántica de la condición inicial?
 0
 50
 100
 150
 200
 250
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
<
a+
 a
>
E
Eigenstate Thermalization Hypothesis
En un sistema cuántico caótico, los detalles sobre la condición inicial,
|Ci |2, son irrelevantes termodinámicamente debido a la aleatoriedad
de 〈φi |M |φi〉.
M. Srednicki, Phys. Rev. E 50, 888 (1994).
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 31 / 34
Obsevables y caos cuántico: modelo de Dicke
Dos condiciones iniciales distintas en la zona integrable
 40
 45
 50
 55
 60
 65
 70
 75
 80
 85
 90
 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
<
a+
 a
>
t
Trabajo en progreso. A. R. y C. Morales Lóbez.
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 32 / 34
Obsevables y caos cuántico: modelo de Dicke
Las mismas dos condiciones iniciales en la zona caótica
 9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
 19
 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
<
a+
 a
>
t
Trabajo en progreso. A. R. y C. Morales Lóbez.
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 33 / 34
Resumen
El caos clásico es debido a sus ecuaciones diferenciales no
lineales. La linealidad de la ecuación de Schrödinger impide el
caos en los mismos términos.
Fijado el Hamiltoniano, la dinámica siempre conserva información
sobre la condición inicial.
El espectro tiene propiedades estadísticas específicas en los
sistemas caóticos.
Las transiciones entre niveles son más probables si hay caos.
La información sobre el estado inicial se borra más fácilmente si
cambio el Hamiltoniano.
En los autoestados de los sistemas caóticos, los observables
fluctúan aleatoriamente.
La información contenida en el estado inicial es irrelevante.
Armando Relaño (UCM) ¿Qué es el caos cuántico? 20/9/2018 34 / 34