2015ss-caos

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Dinámica no Lineal y Caos Cuántico
(106116M)
Javier Madroñero
Departamento de F́ısica
Universidad del Valle
Cali, segundo semestre de 2015
javier.madronero@correounivalle.edu.co
http://javiermadronero.correounivalle.edu.co/ensenanza/caos
1D dynamics
. Topologically equivalent
E =
p2
2m
+ V (x) ⇔ p = ±
√
2m(E − V (x)
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Integrability
I Time-independent 1D systems are always integrable
I 2D systems: there must be two integrals of motion defining a torus
in phase space −→ action-angle variables
[Lichtenberg and Libermann, Regular and Chaotic Dynamics, Springer (1992)]
http://javiermadronero.correounivalle.edu.co/ensenanza/caos
Integrability
I Time-independent 1D systems are always integrable
I 2D systems: there must be two integrals of motion defining a torus
in phase space −→ action-angle variables
[Lichtenberg and Libermann, Regular and Chaotic Dynamics, Springer (1992)]
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Integrability
I Time-independent 1D systems are always integrable
I 2D systems: there must be two integrals of motion defining a torus
in phase space −→ action-angle variables
[Lichtenberg and Libermann, Regular and Chaotic Dynamics, Springer (1992)]
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Poincare surface of section
[Greiner, Classical Mechanics, Springer (2010)]
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Celestial two-body system
I Perfectly spherical celestial bodies: Kepler
problem −→ integrable
I Imperfect bodies
Example: Hyperion (Saturn’s moon)
Dimensions: 190 km× 145 km× 114 km
[wikipedia]
[Greiner (2010)]
[Wisdom, Proc. R. Soc. 413, 109 (1987)]
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Celestial two-body system
I Perfectly spherical celestial bodies: Kepler
problem −→ integrable
I Imperfect bodies
Example: Hyperion (Saturn’s moon)
Dimensions: 190 km× 145 km× 114 km
[wikipedia]
[Greiner (2010)]
[Wisdom, Proc. R. Soc. 413, 109 (1987)]
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Celestial two-body system
I Perfectly spherical celestial bodies: Kepler
problem −→ integrable
I Imperfect bodies
Example: Hyperion (Saturn’s moon)
Dimensions: 190 km× 145 km× 114 km
[wikipedia]
[Greiner (2010)]
[Wisdom, Proc. R. Soc. 413, 109 (1987)]
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Celestial two-body system
I Perfectly spherical celestial bodies: Kepler
problem −→ integrable
I Imperfect bodies
Example: Hyperion (Saturn’s moon)
Dimensions: 190 km× 145 km× 114 km
[wikipedia]
[Greiner (2010)]
[Wisdom, Proc. R. Soc. 413, 109 (1987)]
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Standard Map
Kicked rotor:
H(p, q, t) =
p2
2
+K cos(q)
∞∑
n=−∞
δ(t−n)
p′ = p−K sin(q)
q′ = q + p−K sin(q)
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Standard Map: Frequency Analysis
[R. Lohmayer & P.Schlagheck, unpublished]
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Coupled standard maps
H(p1, q1, p2, q2, t) =
p21 + p
2
2
2
+κ
∑
ninN
δ(t+n) cos q1 + cos q2 + � cos q1 cos q2)
[M. Schönwetter, P.Schlagheck, J.M., unpublished]
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Three-body Coulomb problem
I Moon-earth-sun, the oldest, best known but least understood
three-body problem.
[M. Gutzwiller, Rev. Mod. Phys. 70, 589 (1998)]
I A similar statement applies to the corresponding microscopic
three-body system.
I Why? → The nonseparability of the classical equations of
motion and the existence of chaos in the classical dynamics of the
three-body system.
I Failure of the first quantization schemes.
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Three-body Coulomb problem
I Moon-earth-sun, the oldest, best known but least understood
three-body problem.
[M. Gutzwiller, Rev. Mod. Phys. 70, 589 (1998)]
I A similar statement applies to the corresponding microscopic
three-body system.
I Why? → The nonseparability of the classical equations of
motion and the existence of chaos in the classical dynamics of the
three-body system.
I Failure of the first quantization schemes.
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Three-body Coulomb problem
I Moon-earth-sun, the oldest, best known but least understood
three-body problem.
[M. Gutzwiller, Rev. Mod. Phys. 70, 589 (1998)]
I A similar statement applies to the corresponding microscopic
three-body system.
I Why? → The nonseparability of the classical equations of
motion and the existence of chaos in the classical dynamics of the
three-body system.
I Failure of the first quantization schemes.
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Frozen planet states
I Classical stable configuration
I Existence of quantum states
associated to this configuration
[Richter & Wintgen, PRL 65, 1965 (1990)]
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Nondispersive wave packets
0
J.M., et. al., Adv. At. Mol. Phys. 53, 33 (2006)
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Nondispersive wave packets
[J.M., et. al., Adv. At. Mol. Phys. 53, 33 (2006)]
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Contenido
1. Sistemas Dinámicos
Generalidades
2. Sistemas Hamiltonianos no Lineales
2.1. Formalismo hamiltonianos
2.2. Sistemas integrables
2.3. Sistemas no integrables
2.4. Teoŕıa canónica de perturbaciones
2.5. Caos en sistemas hamiltonianos
3. Caos cuántico
3.1. Cuantización semiclásica de sistemas integrables
3.2. Descripción semiclásica de sistemas no integrables
Funciones de Green; Integrales de camino de Feynman; Propagador de
van Vleck; Fórmula de la traza de Gutzwiller
3.3. Funciones de onda en el espacio de fase
3.4. Estad́ıstica de niveles
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Bibliograf́ıa
[1] ∗Sandro Wimberger, Nonlinear Dynamics and Quantum Chaos, Springer
(2014).
[2] ∗Fritz Haake, Quantum Signatures of Chaos, Springer (2010).
[3] Alfredo Ozorio de Almeida, Hamiltonian Systems: Chaos and Quantization,
Cambridge University Press (1988).
[4] Allan Lichtenberg and Michael Lieberman, Regular and Chaotic Dynamics,
Springer (1992).
[5] ∗Walter Greiner, Classical Mechanics: Systems of Particles and
Hamiltonian Dynamics, Springer (2010).
[6] Vladimir F. Lazutkin, KAM Theory and Semiclassical Approximations to
Eigenfunctions, Springer (1993).
[7] V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer
(1989).
[8] Walter Dittrich and Martin Reuter, Classical and Quantum Dynamics:
From Classical Paths to Path Integrals, Springer (1992).
[9] ∗Florian Scheck, Mechanics: From Newton’s Laws to Deterministic Chaos,
Springer (2010).
[10] ∗Gerd Baumann, Mathematica for Theoretical Physics: Classical Mechanics
and Nonlinear Dynamics, Springer (2005).
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Metodoloǵıa
El trabajo individual del estudiante es fundamental
para el buen desarrollo del curso!
Recuerde:
Para 16 semanas al semestre, esto significa que un crédito implica una
hora semanal de trabajo presencial y 2 horas de trabajo individual!
y
El curso electivo de Dinámica no Lineal y Caos Cuántico tiene 3 créditos,
es decir,
3 horas semanales de trabajo presencial y 6 horas
de trabajo indivual!!
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Metodoloǵıa
Clases y talleres
I Los aspectos teóricos más importantes del curso se expondrán en
lecturas plenarias (2h/semana).
I Talleres de problemas se propondrán regularmente para
complementar las lecturas plenarias. Los problemas de los talleres se
discutirán semanalmente en una sesión destinada a ello
(1h/semana). En los talleres se propondrán problemas de carácter
teórico y numérico.
I Es responsabilidad del estudiante (i) revisar permanentemente las
notas del curso y (ii) resolver constantemente los problemasde los
talleres: ésta es la única forma de garantizar el aprendizaje.
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Horarios de atención y Evaluación
Horario de atención:
I Mi. de 15:00-16:00 en Oficina 2174 (Ed. 320, 2o. piso) o con cita
previa por email.
I Por ningún motivo se atenderá en otro horario sin cita previa.
Evaluación:
• Talleres: [50%]
• Tarea/Exposición: [25%]
• Examen Final: [25%]
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Horarios de atención y Evaluación
Horario de atención:
I Mi. de 15:00-16:00 en Oficina 2174 (Ed. 320, 2o. piso) o con cita
previa por email.
I Por ningún motivo se atenderá en otro horario sin cita previa.
Evaluación:
• Talleres: [50%]
• Tarea/Exposición: [25%]
• Examen Final: [25%]
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Ejemplo de taller
.
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Evaluación de talleres
.
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Descargando los talleres
Para descargar los talleres
de la página web del curso
usted debe estar dentro de
su cuenta de correo institu-
cional
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Ingresando al campus Virtual
I Su nombre de usuario es su código de estudiante, seguido de un
guión (-), seguido del número de su programa académico.
Ejemplo: Si su código es 0505607 y su programa académico
es 7710 su nombre de usuario será 0505607- 7710.
I Su contraseña está formada por la primera letra de su primer
nombre en mayúscula, seguida de su código, seguida de la primera
letra de su primer apellido en mayúscula.
Ejemplo: Si su nombre completo es Juan Manuel Reyes
Garćıa, entonces su contraseña será J0505607R.
I Mayor información:
ver enlace ¿Cómo entrar al Campus Virtual Univalle?
del sitio http://campusvirtual.univalle.edu.co
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