Mecanica_Analitica_Sanz_Sanchez

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MECÁNICA ANALÍTICA: LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS
DINÁMICOS
Book · January 2019
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ITER reactor View project
Javier Sanz Recio
Universidad Politécnica de Madrid
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Gonzalo Sanchez-Arriaga
University Carlos III de Madrid
110 PUBLICATIONS   508 CITATIONS   
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MECÁNICA
ANALÍTICA
Francisco Javier Sanz Recio 
Gonzalo Sánchez Arriaga
LAGRANGIANA, 
HAMILTONIANA 
Y SISTEMAS DINÁMICOS
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S
MECÁNICA ANALÍTICA: 
LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS
La mecánica analítica, que tiene sus raíces en los siglos XVIII y XIX, ha experimentado recientemente 
importantes avances que han enriquecido sus métodos y la forma de aplicarlos a problemas 
modernos en física e ingeniería. Esta obra, dirigida a estudiantes de grado, máster y doctorado, 
sintetiza los más importantes y útiles progresos en el campo. De manera amena y rigurosa, el lector 
adquirirá desde conceptos básicos, como escribir las ecuaciones del movimiento, pasando por 
técnicas clásicas tales como el método de Hamilton-Jacobi, hasta terminar dominando el análisis 
avanzado de sistemas no lineales y caos determinista mediante la combinación de procedimientos 
analíticos y numéricos. 
La organización de la obra, estructurada en dos niveles, está sólidamente soportada por varias 
décadas de experiencia de los autores impartiendo la asignatura de mecánica analítica en cursos 
de grado e ingeniería. Por un lado, el cuerpo principal del libro contiene los fundamentos teóricos 
y utiliza herramientas matemáticas bien conocidas por los estudiantes, que podrán seguirlo de 
manera fl uida. Por otro, los cuadros al margen se han reservado para introducir notas biográfi cas de 
científi cos notables, conceptos avanzados y las consecuencias de los resultados teóricos del cuerpo 
principal a problemas específi cos en física e ingeniería como, por ejemplo, la mecánica orbital y la 
de vuelo, la relatividad general, la mecánica cuántica, la propagación de solitones… Se trata de un 
espacio reservado para abrir la mente del lector, estimular su curiosidad por la materia y resaltar la 
utilidad de los conocimientos adquiridos en multitud de disciplinas. 
El libro contiene una impresionante colección de alrededor de 200 ejercicios, la mitad de ellos 
resueltos, que refuerza los conceptos teóricos y facilita la incorporación de los métodos hamilto-
nianos a lo que Richard Feynman denominaría la caja de herramientas del lector, es decir, le dota 
de una batería de métodos para usar en su vida profesional. También incluye una serie de progra-
mas de ordenador para explorar la dinámica desde una perspectiva moderna y amena, al mismo 
tiempo que se consolidan con ayuda del ordenador los conocimientos teóricos y se adquieren 
competencias en cálculo numérico. 
Francisco Javier Sanz Recio 
Gonzalo Sánchez Arriaga
www.mheducation.es
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
MECÁNICA ANALÍTICA
LAGRANGIANA, HAMILTONIANA 
Y SISTEMAS DINÁMICOS 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
MECÁNICA ANALÍTICA
LAGRANGIANA, HAMILTONIANA 
Y SISTEMAS DINÁMICOS
FRANCISCO JAVIER SANZ RECIO 
GONZALO SÁNCHEZ ARRIAGA
MADRID · LONDRES · MÉXICO · NUEVA YORK · MILÁN · TORONTO
LISBOA · NUEVA DELHI · SAN FRANCISCO · SIDNEY · 
SAN JUAN · SINGAPUR · CHICAGO · SEÚL
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
MECÁNICA ANALÍTICA
LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS 
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento 
informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya seaelectrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso 
previo y por escrito de los titulares del Copyright. Diríjase a CEDRO (Centro 
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 McGraw-Hill/Interamericana de España, S.L.U.
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 Basauri, 17
 28023 Aravaca (Madrid)
© Francisco Javier Sanz Recio, Gonzalo Sánchez Arriaga, 2019
ISBN: 978-84-486-1539-0
MHID: 978-000850179-2
Depósito legal: M-6478-2019
Editora: Cristina Sánchez Sainz-Trápaga
Director General Europa Sur: Álvaro García Tejeda
Gerente Universidad y Profesional Grupo Ibero: Norberto Rosas Gómez
Equipo de preimpresión y maquetación de interiores: TRANSFORMA Pvt ltd
Diseño de cubierta: CIANNETWORK
Impresión: XXX
1234567890 — 2019876543
 IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN
Esta obra ha sido parcialmente financiada por el proyecto de la 
UPM con referencia REM180105FJSR 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
A María Jesús y Ana
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
vii
Contenido
Prefacio xiii
Agradecimientos xvii
Acerca de los autores xix
1 Dinámica lagrangiana de una partícula 1
1.1 Ecuaciones de Lagrange 2
1.1.1 Partícula sometida a ligaduras 7
1.1.2 Ligaduras geométricas u holónomas 7
1.1.3 Ligaduras no holónomas 11
1.2 Potencial de fuerzas 14
1.2.1 Definición elemental 14
1.2.2 Potencial generalizado de fuerzas 14
1.2.3 Componentes generalizadas de fuerzas que 
derivan de un potencial 16
1.2.4 Potenciales físicamente equivalentes 17
1.3 Lagrangiana de una partícula 18
1.3.1 Ecuaciones de Lagrange 18
1.3.2 Sistemas lagrangianos 19
1.4 Introducción a las leyes de conservación 21
1.4.1 Definición de integral primera 22
1.4.2 Definición de función energía 22
1.4.3 Conservación de la energía 23
1.4.4 Momento canónico 24
Ejercicios 28
2 Dinámica lagrangiana de un sistema 29
2.1 Ecuaciones de Lagrange para un sistema 
de N partículas 30
2.1.1 Espacio cartesiano de configuración 
3N dimensional 30
2.1.2 Ecuación vectorial de Lagrange en el espacio 
de configuración 32
2.1.3 Variedad de configuración. Ecuaciones 
de Lagrange 32
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
viii
Contenido
2.2 Introducción a las leyes de conservación 43
2.2.1 Definición de integral primera 43
2.2.2 Definición de función energía 43
2.2.3 Conservación de la energía 43
2.2.4 Momento canónico 44
2.3 Aplicación a la dinámica del sólido rígido 46
2.3.1 Variedad de configuración del sólido rígido 46
2.3.2 Componentes generalizadas de las fuerzas 47
2.3.3 Ecuaciones de Lagrange 48
2.3.4 Ecuaciones del movimiento del sólido en 
coordenadas arbitrarias 48
Ejercicios 54
3 El cálculo variacional y la mecánica 55
3.1 ¿Por qué el cálculo variacional? 56
3.2 Nociones básicas de cálculo variacional 57
3.2.1 Variación de un funcional 58
3.2.2 Ecuación de Euler-Lagrange 59
3.2.3 Ecuaciones de Euler-Lagrange: caso de varias 
funciones 62
3.2.4 Extremales con restricciones: multiplicadores 
de Lagrange 64
3.3 Principio de Hamilton 67
Ejercicios 74
4 Teorema de Noether: simetrías y leyes de conservación 75
4.1 Covariancia de las ecuaciones de Euler-Lagrange 76
4.1.1 Transformaciones puntuales 76
4.1.2 Transformaciones puntuales extendidas 77
4.2 Invariancia o simetría de una función 78
4.2.1 Grupos uni-paramétricos de transformaciones 78
4.2.2 Definición de invariancia de una función 80
4.3 Teorema de Noether 81
4.3.1 Grupo de transformaciones puntuales 81
4.3.2 Teorema de Noether para sistemas lagrangianos 
con transformaciones invariantes 82
4.3.3 Teorema de Noether para sistemas lagrangianos 
con transformaciones invariantes extendidas 85
Ejercicios 90
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
ix
Contenido
5 Oscilaciones próximas al equilibrio en sistemas lagrangianos 91
5.1 Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U (q) 92
5.1.1 Linealización de las ecuaciones alrededor 
del equilibrio 93
5.1.2 Evolución de las perturbaciones alrededor 
del equilibrio 94
5.1.3 Descomposición en modos normales o propios 
de oscilación 98
5.1.4 Propiedades extremales de las frecuencias 
propias de oscilación 102
5.2 Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U(q, q̇) 104
5.2.1 Linealización alrededor del equilibrio en 
sistemas giroscópicos 105
5.2.2 Efectos giroscópicos sobre un sistema 
lagrangiano 106
Ejercicios 109
6 Formalismo hamiltoniano: ecuaciones de Hamilton 111
6.1 De la lagrangiana a la hamiltoniana de un sistema 112
6.1.1 Ecuaciones canónicas de Hamilton 113
6.1.2 Estructura matemática del formalismo 
hamiltoniano 119
6.2 Transformada de Legendre y ecuaciones canónicas 121
6.3 El Principio de Hamilton 123
6.4 Notación simplética de las ecuaciones de Hamilton 124
6.4.1 Corchetes de Poisson 125
6.4.2 Leyes de conservación 126
6.5 Sistemas hamiltonianos 127
6.5.1 Transformaciones canónicas de coordenadas 
y momentos 129
6.6 El espacio de fases hamiltoniano 132
6.6.1 Hamiltonianos de un grado de libertad e
independientes de t 133
6.6.2 Hamiltonianos de un grado de libertad 
dependientes de t 137
6.6.3 Hamiltonianos independientes de t con 
varios grados de libertad 138
6.6.4 Conservación del volumen en el espacio 
de fases canónico 139
6.6.5 Invariante integral de Poincaré-Cartan 141
Ejercicios 144
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
x
Contenido
7 Teoría de Hamilton-Jacobi 145
7.1 Funciones generatrices y transformaciones canónicas 146
7.2 Ecuación de Hamilton-Jacobi 152
7.2.1 La acción como una función de las coordenadas 152
7.3 Método de Hamilton-Jacobi de integración de las 
ecuaciones del movimiento 154
7.4 Sistemas separables 158
7.4.1 Hamiltoniana independiente del tiempo y 
separable 159
7.4.2 Hamiltoniana independiente del tiempo y 
con coordenadas cíclicas 160
7.4.3 Coordenadas separables 162
7.5 Teorema de Liouville sobre los sistemas integrables 166
7.6 Variables acción-ángulo 169
7.6.1 Variables acción-ángulo en sistemas de un 
grado de libertad 169
7.6.2 Variables acción-ángulo en sistemas de n grados 
de libertad 174
7.6.3 Geometría del movimiento en sistemas 
integrables 176
7.6.4 Invariantes adiabáticos 180
Ejercicios 187
8 Soluciones regulares en sistemas dinámicos 189
8.1 Sistemas dinámicos continuos y discretos 190
8.1.1 El espacio de estados 192
8.1.2 Estabilidad orbital 192
8.1.3 Sistemas disipativos y no disipativos 193
8.2 Soluciones de equilibrio de sistemas continuos 194
8.2.1 Análisis de estabilidad 195
8.2.2 Estudio de un sistema dinámico 
bidimensional 197
8.2.3 Teorema de Lagrange 199
8.3 Puntos fijos o de equilibrio de sistemas discretos 201
8.3.1 Análisis de estabilidad 201
8.4 Órbitas periódicas de sistemas continuos 203
8.4.1 Teorema de Poincaré-Bendixson 203
8.4.2 Estabilidad de órbitas periódicas 204
8.4.3 Resonancia paramétrica 207
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
xi
Contenido
8.5 Órbitas periódicas de sistemas discretos 211
8.6 Órbitas cuasiperiódicas de sistemas continuos 213
8.7 Órbitas homoclínicas y heteroclínicas 215
Ejercicios 220
9 Bifurcaciones y métodos aproximados en sistemas 
no lineales 221
9.1 Bifurcaciones 222
9.1.1 Bifurcaciones de posiciones de equilibrio223
9.1.2 Bifurcaciones de órbitas periódicas 226
9.1.3 Bifurcaciones de órbitas homoclínicas 
y heteroclínicas 228
9.2 Algunos métodos analíticos aproximados 230
9.2.1 Movimiento en un campo periódico de 
alta frecuencia 230
9.2.2 Método de Lindstedt-Poincaré 235
9.2.3 Método de promedio 237
9.2.4 Resonancia no lineal 238
Ejercicios 245
10 Caos determinista 247
10.1 Algunas propiedades del caos 248
10.2 Sistemas hamiltonianos casi integrables 252
10.2.1 Denominadores pequeños 253
10.2.2 Métodos de perturbaciones clásicos 254
10.2.3 El teorema KAM 256
10.2.4 Espacio de fases en sistemas casi integrables 258
10.2.5 Difusión de Arnold y ergodicidad 259
10.3 Caos disipativo 265
10.3.1 Cascada de Feigenbaum 266
10.3.2 Crisis 267
10.3.3 Intermitencia 268
Ejercicios 271
Bibliografía 273
Índice analítico 277
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
xiii
Prefacio
Cuando creíamos que teníamos todas las 
respuestas, de pronto, cambiaron todas las preguntas 
Mario Benedetti
Cuando parecía que la última palabra en mecánica estaba dicha al enunciar 
F = ma, los trabajos de Euler, Lagrange y Hamilton, en los siglos XVIII y XIX, 
demostraron que tal ley era consecuencia de un principio variacional más fun-
damental. Estas tres figuras, junto con otras, como Jacobi, Poincaré y Noether, 
sentaron las bases de lo que hoy se conoce como mecánica analítica o métodos 
hamiltonianos. La belleza de dicha teoría, entendida como simplicidad y carácter 
unificador, cautivó a físicos y matemáticos y se hizo imprescindible. La geometría 
euclídea y el cálculo vectorial fueron sustituidos por los métodos variacionales, 
los cuales aportaron un aparato matemático flexible del que se beneficiaron a 
principios del siglo XX la teoría general de la relatividad y la mecánica cuántica. 
A mediados de dicho siglo, ayudó a explicar lo que se conoce como caos deter-
minista y exportó conceptos como el de integrabilidad y variables acción-ángulo 
a los medios continuos. Actualmente, los métodos de la mecánica analítica están 
presentes en multitud de áreas de la física-matemática y de la ingeniería. 
Este libro va dirigido a alumnos de grado, máster y doctorado con conoci-
mientos básicos en mecánica clásica y matemáticas, que quieran introducirse 
en esta apasionante disciplina. Los autores, con varias décadas de experiencia 
impartiendo las asignaturas de Mecánica analítica, Física y Mecánica de vuelo 
en la Universidad Politécnica de Madrid y en la Universidad Carlos III de Madrid, 
son conscientes de que en ocasiones la mecánica es percibida de antemano por 
los alumnos como una materia difícil y abstracta. Sin embargo, la experiencia 
nos indica que, si se imparte de manera adecuada, los estudiantes incorporan los 
métodos hamiltonianos a lo que Richard Feynman denominaría su caja de herra-
mientas y los aplican de manera práctica y exitosa a multitud de disciplinas. Ese 
ha sido nuestro propósito y con ese fin hemos diseñado el libro. En base a las 
lecciones docentes aprendidas durante estos años, decidimos estructurarlo en dos 
niveles, los cuales quedan plasmados en un cuerpo principal y en una serie de 
cuadros separados al margen.
El cuerpo principal presenta lo fundamental de la mecánica analítica para sis-
temas con un número finito de grados de libertad. Esta parte utiliza herramientas 
matemáticas bien conocidas por los estudiantes de grado, que podrán seguirlo de 
manera fluida. Las explicaciones son sencillas y rigurosas. El texto arranca con 
una introducción a la formulación lagrangiana tomando como base la dinámica 
de una sola partícula. Sirve para introducir conceptos básicos que se formulan ya 
con rigor, pero que surgen de modo natural aludiendo a problemas clásicos de la 
mecánica, como la búsqueda de cantidades conservadas, las fuerzas de ligadura, 
etc. El segundo capítulo extiende la formulación anterior al caso de un sistema de 
N partículas contemplándolo, esencialmente, como una partícula equivalente en 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
xiv
Prefacio
movimiento en un espacio de dimensión 3N. La influencia y poder de la matemá-
tica en la mecánica lagrangiana se evidencia en el tercer capítulo, donde se aborda 
la formulación de las ecuaciones del movimiento con el cálculo variacional. Las 
ecuaciones de Euler-Lagrange se establecen aquí atendiendo a un principio último 
de representación matemática, el de Hamilton, que parece regir en la evolución de 
los sistemas físicos. El cuarto capítulo está dedicado a uno de los teoremas más 
interesantes y hermosos de la física matemática, el teorema de Noether; y el quinto, 
al análisis de oscilaciones próximas al equilibrio, de gran interés en multitud de 
sistemas físicos y que incluye también las oscilaciones en sistemas giroscópicos. 
Los dos siguientes capítulos muestran el formalismo hamiltoniano, el cual se pre-
senta de manera natural como un cambio de variables, pero exhibe implicaciones 
mucho más profundas. Las variables canónicas, posición y momento conjugados, 
tratadas en pie de igualdad configuran una perspectiva nueva de la Mecánica que 
da origen a nuevos métodos e interpretaciones. Un ejemplo es la contribución de 
Jacobi (de 1837), que se presenta aquí como culminación de la flexibilidad que los 
cambios de variable ofrecen para construir sistemas hamiltonianos mediante las 
trasformaciones canónicas. El libro culmina con tres capítulos sobre dinámica de 
sistemas no lineales, es decir, el análisis de las propiedades que exhiben las solu-
ciones de las ecuaciones obtenidas mediante el formalismo lagrangiano o hamilto-
niano. Se presentan las soluciones en orden creciente de complejidad, cubriendo 
desde las posiciones de equilibrio al caos determinista. Al finalizar la lectura del 
cuerpo principal, el alumno tendrá un conocimiento integral de la mecánica, inclu-
yendo las competencias para encontrar las ecuaciones del movimiento y estudiar 
sus soluciones. 
Si el cuerpo principal está pensado para adquirir y consolidar conocimientos, 
los cuadros al margen son un espacio para abrir la mente del alumno, estimular 
su curiosidad y motivarle para que profundice con la bibliografía complementa-
ria. En ellos se encuentran recogidas notas biográficas de científicos notables, 
herramientas matemáticas avanzadas que pueden ser adquiridas en una segunda 
lectura del libro, la extensión de los conceptos del cuerpo principal del libro a sis-
temas con infinitos grados de libertad o medios continuos, y ejemplos resueltos. 
Los datos biográficos han sido obtenidos en su inmensa mayoría de la enciclope-
dia de contenido libre Wikipedia, la cual consideramos un ejemplo extraordinario 
y útil de cooperación para transmitir conocimiento. Los cuadros ilustran las con-
secuencias de la teoría en problemas específicos en física e ingeniería: ¿Por qué 
los anillos de Saturno no son continuos? ¿Qué es el efecto mariposa? ¿Qué es un 
fractal? ¿Qué conexión existe entre la ecuación de Hamilton-Jacobi y la mecánica 
cuántica? ¿Qué podría explicar que la Gran Mancha Roja de Júpiter, una tormenta 
gigantesca, haya sobrevivido durante más de 300 años? ¿Qué son los puntos de 
Lagrange, y por qué la ESA mandó la misión SOHO a uno de ellos? 
Esta estructura en dos partes diferenciadas se ha reforzado con una colección 
de problemas resueltos y otra de ejercicios propuestos. Los primeros ilustran la 
potencia de los métodos de la mecánica analítica y su ubicuidad en problemas de 
muy distinta índole. Se han tomado ejemplos clásicos, tales como el péndulo, el 
problema restringido de los tres cuerpos y el disco que rueda, y otros quizás menos 
conocidos, como la propagación de un pulso láser en un plasma, el cálculode geo-
désicas en relatividad general y la mecánica de vuelo de una cometa. Estudiantes 
de Ciencias físicas y matemáticas, Ingeniería aeroespacial, y Telecomunicaciones, 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
xv
Prefacio
entre otros, podrán contemplar desde una nueva perspectiva algunos problemas 
abordados en otros cursos. Por último, el libro se acompaña de un conjunto de pro-
gramas de ordenador (disponibles a través de www.mheducation.es) que refuerzan 
los conocimientos adquiridos en los tres últimos capítulos sobre sistemas dinámi-
cos. Con ellos, y mientras se explora la dinámica de manera visual y amena, se van 
consolidando con ayuda del ordenador los conocimientos teóricos y se adquieren 
competencias en cálculo numérico. 
Creemos que esta organización hace el libro singular y atractivo para un amplio 
espectro de estudiantes, cubriendo perfiles teóricos y aplicados. Es nuestro deseo 
que esta revisión moderna y actualizada de una de las ramas más antiguas de la 
física resulte interesante para el lector y útil en su vida profesional.
Los autores
Madrid, 2019
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
xvii
Agradecimientos
Esta obra ha sido posible gracias al interés, el ánimo y la participación de compa-
ñeros, estudiantes, familiares y amigos. Queremos dar las gracias, en primer lugar, 
a nuestro compañero el profesor José Manuel Donoso, del Departamento de Física 
Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval de la Escuela Técnica Superior de 
Ingeniería Aeronáutica y del Espacio, por su trabajo y esfuerzo. Su amplia visión 
de la Mecánica Analítica y su dilatada experiencia docente están presentes en un 
buen número de capítulos de esta obra. También, a los profesores Juan Sanmartín 
y Ricardo García Pelayo, por sus acertados comentarios que nos han permitido 
mejorar la calidad del libro. En esta sección de agradecimientos no pueden faltar 
nuestros alumnos, cuyas preguntas, respuestas y sugerencias nos han impulsado 
a evolucionar en los métodos docentes. Por último, queremos dar las gracias a 
nuestros amigos y familiares por su apoyo durante los años que hemos dedicado 
a preparar la obra. Sospechamos que no ha sido por un amor incondicional a la 
Mecánica Analítica. 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
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xix
Acerca de los autores
Francisco Javier Sanz Recio es Doctor Ingeniero Aeronáutico por la Universi-
dad Politécnica de Madrid (UPM, 1981). Catedrático de Universidad (Física Apli-
cada) en la ETSI Aeronáutica y del Espacio (UPM) donde enseña Física General, 
Mecánica Analítica y Física de Plasmas. Sus investigaciones se han centrado en la 
Física de los Plasmas de alta temperatura y es autor de numerosas publicaciones. 
Es profesor invitado regularmente en la Universidad de Rochester (NY) y cola-
borador científico del Comisariado de Energía Atómica (Francia), del Instituto 
de fenómenos fuera del Equilibrio (Universidad de Marsella) y del Instituto de 
Ingeniería Laser (Universidad de Osaka). Actualmente lidera el grupo de Fusión 
Inercial y Física de Plasmas de la Universidad Politécnica de Madrid. 
Gonzalo Sánchez Arriaga es Doctor Ingeniero Aeronáutico (UPM, 2009) y Licen-
ciado en Ciencias Físicas (UCM, 2010). Realizó estancias de investigación en el 
Observatorio de Niza (Francia) y en la Universidad de Kyushu (Japón), y disfrutó 
de contratos postdoctorales en el Comisariado de Energía Atómica en París y en 
la UPM. Actualmente es investigador Ramón y Cajal en la Universidad Carlos III 
de Madrid, donde imparte la asignatura de Mecánica de Vuelo. Los métodos de la 
mecánica analítica están presentes en sus trabajos de investigación, que incluyen 
el estudio de amarras espaciales, las ondas solitarias en plasmas, y la generación 
de energía con sistemas aerotransportados.
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
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1
1 Dinámica lagrangiana de 
una partícula
1.1. Ecuaciones de Lagrange
1.1.1 Partícula sometida a ligaduras
1.1.2 Ligaduras geométricas u holónomas
1.1.3 Ligaduras no holónomas
1.2. Potencial de fuerzas
1.2.1 Definición elemental
1.2.2 Potencial generalizado de fuerzas
1.2.3 Componentes generalizadas de fuerzas que derivan de un potencial
1.2.4 Potenciales físicamente equivalentes
1.3. Lagrangiana de una partícula
1.3.1 Ecuaciones de Lagrange
1.3.2 Sistemas lagrangianos
1.4. Introducción a las leyes de conservación
1.4.1 Definición de integral primera
1.4.2 Definición de función energía
1.4.3 Conservación de la energía
1.4.4 Momento canónico
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
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2
Capítulo 1 Dinámica lagrangiana de una partícula
“Me he propuesto no cuidarme más de temas filosóficos; y espero que no tome usted 
a mal si nunca vuelve a encontrarme ocupado en esos menesteres.”
Carta de Isaac Newton al secretario de la “Royal Society”
Hacia 1788, Joseph-Louis Lagrange genera un formalismo operacional del que 
deducir las ecuaciones del movimiento de Newton, estableciendo una alternativa 
poderosa al tratamiento de problemas usuales de la dinámica. Su alcance tras-
ciende notablemente la mera reformulación de las leyes y postulados newtonianos 
ya que, si bien el formalismo de Lagrange no implica una nueva física, genera en 
sí mismo una nueva perspectiva en la formulación de las leyes de la dinámica. 
Lagrange llega a sintetizar en un postulado más último y general los principios de la 
dinámica newtoniana y concibió un procedimiento formal y práctico que, en nume-
rosas ocasiones, simplifica el tratamiento clásico de los problemas. En este capítulo 
se presentan las ecuaciones de Lagrange mediante una deducción matemática sim-
ple, operativa y singularizada al caso de la dinámica de una partícula, no por ello 
exenta de un carácter general y extensible a sistemas más complejos.
La notación que usaremos en esta obra para vectores y tensores será la de 
escribirlos, en general, en negrita. Utilizaremos también lo que se conoce como 
convenio de suma de Einstein, notación de Einstein o notación indexada, para 
abreviar la escritura de sumatorios eliminando así el símbolo del sumatorio. Este 
convenio se aplica solo a sumatorios sobre dos índices repetidos (subíndice y 
superíndice). Así por ejemplo la expresión 
n
i = 1aib
i se representará como aib
i 
(dos índices repetidos, índice y superíndice, se dice que son índices mudos, ya que 
la expresión no cambia si en vez de “i” usamos otro nombre “j ”). La expresión 

n
i = 1aij b
i (producto de matriz por vector) se representará por ai j b
i, dependiendo 
el resultado del índice j. De modo que si j = 1, ..., m, por ejemplo, Aj = aij b
i 
representan m cantidades que se obtienen con dicha operación. En una misma 
expresión también pueden aparecer dos índices no mudos. Si a
αβ
 representa los 
elementos de una matriz cuadrada no singular y aμν son los elementos de la matriz 
inversa, la expresión 
α
aμαa
αν
≡ δ
ν
μ se representa como aμαa
αν
≡ δ
ν
μ. La función 
δ
ν
μ se llama delta de Kronecker, y vale 1 si μ = ν y cero para μ ≠ ν . También, por 
ejemplo, la expresión Aki = 
n
j = 1aij b 
jk la escribiremos como Aki = aij b 
jk. No obs-
tante, la notación de Einstein no está exenta de cierta ambigüedad en algunos 
casos, por ejemplo si escribimos la igualdad ck = akbk , el miembro derecho de esta 
ecuación no hayque interpretarlo como a1b1 + a2b2 + ⋯, sino como la expre-
sión del conjunto de igualdades c1 = a1b1, c2 = a2b2, ..., etc. El convenio de suma 
de Einstein también se aplica a operadores. Así, la expresión ∂/∂xk, se interpreta 
como un objeto con subíndice “k”, mientras que ∂/∂xk sería un objeto con superín-
dice k. De este modo, la expresión k a
k
∂/∂xk ≡ a1∂/∂x1 + a2∂/∂x2 + ⋯ ≡ ak∂/∂xk.
1.1 Ecuaciones de Lagrange
Tomando como base la segunda ley de Newton para una partícula, cuyo movi-
miento es descrito en coordenadas cartesianas, es posible inferir las ecuaciones 
del movimiento en la formulación lagrangiana de forma sencilla. El procedimiento 
seguido en este capítulo, ilustrará no solo la forma de tales ecuaciones extensi-
ble a otros sistemas de coordenadas, sino que también introducirá a través de la 
exposición conceptos básicos, estableciendo así el léxico propio del formalismo 
lagrangiano que se aborda en el texto. 
La mecánica lagrangiana es una reformula-
ción de la mecánica newtoniana e introdu-
cida en 1788 por Joseph Louis Lagrange 
(1736–1813). De origen italiano y familia 
con buena posición social, se educó en la 
Universidad de Turín. No fue hasta la edad de 
los 17 años cuando Lagrange mostró interés 
por las matemáticas al leer un ensayo del 
astrónomo E. Halley. Se formó de manera 
prácticamente autodidacta y dio clases en la 
Academia Militar por encargo del rey Carlos 
Manuel III de Cerdeña. Entre 1754 y 1756 
Lagrange envió varias cartas a L. Euler que 
introducían una nueva y potente técnica: el 
cálculo de variaciones.
Euler quedó impresionado por el trabajo de 
Lagrange y en 1756 intentó persuadirlo para 
que dejara Turín y aceptara una posición más 
prestigiosa en Berlín. Lagrange declinó inicial-
mente, pero en 1765 d’Alembert intercedió 
ante Federico II el Grande quien escribió a 
Lagrange para invitarle a unirse a su corte y 
que “el rey más grande de Europa” tuviera 
“el matemático más grande de Europa”. 
Lagrange aceptó y pasó los siguiente veinte 
años en Prusia, donde escribió su famosa obra 
la Mecanique Analytique, y sucedió a Euler 
como director de la Academia de las Ciencias 
de Berlín. Tras morir Federico II, Lagrange 
aceptó la invitación de Luis XVI y emigró 
a París, donde fue nombrado profesor de la 
École Polytechnique y murió en 1813.
Además de su impresionante tratado Méca-
nique Analytique, Lagrange hizo importantes 
aportaciones en astronomía (problema de los 
tres cuerpos y puntos de Lagrange), álgebra 
(formas cuadráticas, y ecuaciones bino-
miales), ecuaciones diferenciales (método 
de variación de los parámetros), teoría de 
números, teoría sobre funciones analíticas, 
y, por supuesto, la mecánica.
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3
Capítulo 1 Dinámica lagrangiana de una partícula
Comencemos pues este capítulo deduciendo las llamadas ecuaciones de 
Lagrange, en coordenadas cartesianas por sencillez. Supongamos una partícula 
newtoniana (no relativista) de masa m que se mueve respecto de cierto triedro 
Ox1x2x3, con vector de posición r(t) = x1(t)e1 + x2(t)e2 + x3(t)e3, el cual llamare-
mos espacio de configuración cartesiano (Fig. 1.1). La partícula está sometida a 
la acción de una fuerza F = F1e1 + F2e2 + F3e3, siendo ei (i = 1, 2, 3) los vectores 
unitarios de los ejes Oxi. Como es sabido, el movimiento de la partícula viene 
descrito, para unas condiciones iniciales dadas de velocidad y posición, por la 
ecuación de Newton
m d 
2r
dt2
 = F, ⇒ m ẍi = Fi, i =1, 2, 3. (1.1)
Mediante uno y dos puntos sobre una variable se designará respectivamente a la 
primera y segunda derivada con respecto al tiempo de la magnitud correspondiente. 
Una forma equivalente a las ecuaciones cartesianas de (1.1) se puede obtener a 
partir de la energía cinética de la partícula, T = 12 mv
2
 = 
1
2 m(ẋ1
2 + ẋ2
2
 + ẋ3
2), donde 
v = dr/dt es el vector velocidad. De la identidad d(∂T/∂ẋi)/dt ≡ mẍi, y dado que 
la energía cinética (en coordenadas cartesianas) solo depende de t a través de las 
componentes cartesianas de la velocidad, ẋi, las componentes cartesianas de 
las ecuaciones se pueden escribir en la forma (ecuaciones de Lagrange)
d
dt
 ∂T
∂ẋi
 – ∂T
∂xi
 = Fi , i = 1, 2, 3. (1.2)
Este conjunto de ecuaciones escalares puede expresarse de modo compacto en lo 
que denominaremos ecuación de Lagrange en forma vectorial, dada por
d
dt
 ∂T
∂ v
 – ∂T
∂ r
 = F, (1.3)
en donde se ha usado la notación 
∂
∂ v
 = ek 
∂
∂ ẋk
 ≡ e1 
∂
∂ ẋ1
 + e2 
∂
∂ ẋ2
 + e3 
∂
∂ ẋ3
, (1.4)
para el operador gradiente respecto a las componentes cartesianas de la velocidad, 
de forma similar al operador gradiente usual
∇ = ∂
∂ r
 = ek 
∂
∂ xk
 ≡ e1 
∂
∂ x1
 + e2 
∂
∂ x2
 + e3 
∂
∂ x3
. (1.5)
Ecuaciones de Lagrange en coordenadas curvilíneas arbitrarias
En ocasiones, debido a la simetría de las fuerzas actuando sobre la partícula, o 
la geometría del problema físico, es conveniente usar un sistema de coordenadas 
diferente del cartesiano, por ejemplo, coordenadas esféricas, cilíndricas, o cual-
quier otro sistema de coordenadas curvilíneas. Supongamos que q1, q2, q3 repre-
sentan un conjunto de tres parámetros geométricos (coordenadas curvilíneas), 
que denominaremos coordenadas generalizadas y que engendran el nuevo espa-
cio de configuración. Estas coordenadas definen la posición de un punto en el 
espacio en la transformación de coordenadas dependientes del tiempo
xi = φi (q
1, q2, q3, t), i = 1, 2, 3. (1.6)
Cuadro 1.1 Gradiente, derivada 
direccional y vector normal a una 
superficie
En un triedro Oxyz introducimos la función 
U(r), donde r = xi + yj + zk es el vector de 
posición e i, j, k son los vectores unitarios 
según los ejes x, y, z. Aunque la función U(r) 
es un campo escalar, cualquier combinación 
de las derivadas de U (respecto de xyz) no 
es, en general, un escalar ni un vector. Se 
demuestra que la combinación de derivadas 
∇U ≡ i∂U/∂x + j∂U/∂y + k∂U/∂z, es un 
vector (gradiente de U). Efectivamente, tra-
tándolo como tal, si lo multiplicamos esca-
larmente por el vector infinitesimalmente 
pequeño dr ≡ idx + jdy + kdz, se obtiene 
∇U · dr = U(r + dr) – U(r) ≡ dU, que es un 
escalar. Llamemos gradiente al “vector” 
∇ ≡ ∂/∂r ≡ i∂/∂x + j∂/∂y + k∂/∂z. Para un 
vector u = uxi + uy j + uzk, entonces u · ∇U = 
ux∂U/∂ x + uy∂U/∂y + uz∂ U/∂ z define la deri-
vada direccional de U según u.
Sea ahora Φ(x, y, z, t) = 0 una superficie en 
핉
3 en donde “t” es un parámetro (por ejem-
plo, el tiempo) y r el vector de posición de 
uno de sus puntos. Ya que el incremento infi-
nitesimal, dΦ, entre dos puntos de la super-
ficie (a “t” fijado) es nulo,
dΦ = 0 = ∇Φ · dr,
el vector gradiente es normal a dr, el cual es 
tangente a la superficie. Es decir, el vector 
∇Φ es un vector normal a la superficie Φ = 0.
Figura 1.1 Partícula P de masa m sobre la 
que actúa la fuerza F (la cual podría incluir 
algún término de fuerza de inercia si el triedro 
no fuera inercial). 
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29
2 Dinámica lagrangiana de 
un sistema
2.1 Ecuaciones de Lagrange para un sistema de N partículas
2.1.1 Espacio cartesiano de configuración 3N dimensional
2.1.2 Ecuación vectorial de Lagrange en el espacio de configuración
2.1.3 Variedad de configuración. Ecuaciones de Lagrange
2.2 Introducción a las leyes de conservación
2.2.1 Definición de integral primera
2.2.2 Definición de función energía
2.2.3 Conservación de la energía
2.2.4 Momento canónico
2.3 Aplicación a la dinámica del sólido rígido
2.3.1 Variedad de configuración del sólido rígido
2.3.2 Componentes generalizadas de las fuerzas
2.3.3 Ecuaciones de Lagrange
2.3.4 Ecuaciones del movimiento del sólido en coordenadas arbitrarias
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30
Capítulo 2 Dinámica lagrangiana de un sistema
“El lector no encontrará figuras en este trabajo. Los métodos que he establecido no requieren 
construcciones ni razonamientos geométricos o mecánicos: solo operaciones algebraicas, 
sujetas a una regla de procedimiento regular y uniforme.”
Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813). “Mecanique Analytique”
En este capítulo extenderemos la dinámica lagrangiana de una partícula, estu-
diada en el capítulo anterior, a un sistema de N partículas newtonianas, y como 
caso particular a un sólido rígido. 
2.1 Ecuaciones de Lagrange para un sistema de N partículas
La metodología que se usará para deducir las ecuaciones de Lagrange de un 
sistema de N partículas será la misma que la del capítulo anterior, estableciendo 
la siguiente analogía: el movimiento de N partículas respecto de un triedro físico 
es matemáticamente equivalente al movimiento de una única partícula en un espa-
cio cartesiano 3N-dimensional.
2.1.1 Espacio cartesiano de configuración 3N dimensional
Partimos de un sistema de N partículas newtonianas de masas Mh ( h = 1, …, 
N ), moviéndose en un triedro Ox1x2x3, con coordenadas x 
h
i , i = 1, 2, 3. Sean Fi
h las 
componentes cartesianas de la fuerza total sobre la partícula h. Con esta notación, 
las 3N ecuaciones cartesianas de Newton que describen el movimiento del sistema 
de N partículas son
Mhẍ i
h = Fi
h, i = 1, 2, 3; h = 1, …, N, (sin suma) (2.1)
y l a energía cinética del sistema es
T = 12 ∑
N
h =1
 Mh (ẋ 
h
1)
2 + (ẋ h2)
2 + (ẋ h3)
2
 . (2.2)
Trataremos a continuación de escribir el sistema (2.1) de 3N ecuaciones diferen-
ciales escalares como una única ecuación vectorial, como si fuera una partícula, 
pero en un espacio de dimensión 3N. Tomemos primero una cierta ordenación de 
las N partículas. Para esa ordenación, introduzcamos la siguiente notación con el 
objeto de simplificar la descripción del movimiento del sistema 
x hi ≡ x
3h – 3 + i, i = 1, 2, 3; h = 1, …, N,
Fi
h ≡ f3h – 3 + i , (2.3)
Mh ≡ m3h – 2 ≡ m3h – 1 ≡ m3h.
De es te modo, el sistema de N partículas se describe mediante el conjunto de 
3N coordenadas rectangulares x = x1, x2, …, x 3N y 3N parámetros de masa de un 
punto P en un espacio cartesiano de dimensión 3N (espacio de configuración 
cartesiano). El movimiento de este punto está determinado por las ecuaciones
mj ẍ
j = fj, j = 1, …, 3N, (sin suma) (2.4)
y la ene rgía cinética del sistema es
Cuadro 2.1 Deducciones de las 
ecuaciones de Lagrange
En la bibliografía encontramos diferentes for-
mas de deducir las ecuaciones de Lagrange, 
las cuales pueden clasificarse como sigue: 
(a) deducciones basadas en el principio de 
D’Alembert y el principio de los trabajos vir-
tuales (H. Goldstein, Classical Mechanics); 
(b) deducciones a partir de la segunda ley 
de Newton por medio de una mera manipu-
lación de derivadas parciales (J. L. Synge 
y B. A. Griffith, Principles of Mechanics, 
McGraw-Hill, New York 1959; E. T. Whittaker, 
A Treatise on the Analytical Dynamics of Par-
ticles and Rigid Bodies. Cambridge University 
Press, Cambridge, 1927); (c) ecuaciones de 
Lagrange deducidas a partir de principios 
variacionales (C. Lanczos, The Variational 
Principles of Mechanics, University of Toronto 
Press, Toronto, 1949, Dover reprint 1989); 
(d) deducciones apoyadas en la geometría 
diferencial y el cálculo tensorial (J. L. Synge 
y A. Schild, Tensor Calculus, University of 
Toronto Press, Toronto, 1949, Dover reprint 
1978).
La deducción de las ecuaciones de Lagrange 
tipo (d) se basa en la sustitución y equiva-
lencia de un sistema físico de N partículas 
por el de una única partícula moviéndose en 
un hiperespacio de dimensión 3N. El punto 
crucial es que la métrica de este hiperespa-
cio es establecida por la forma de la energía 
cinética del sistema (James Casey, Geome-
trical Derivation of Lagrange’s equations for 
a system of particles, Am J Phys 62, 1994). 
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31
Capítulo 2 Dinámica lagrangiana de un sistema
T = 12 ∑
3N
j =1
 mj(ẋ 
j )2. (2.5)
Seguidamente introduzcamos la noción de distancia euclídea. Supongamos dos 
puntos muy próximos P y P’ con coordenadas x y x + dx, respectivamente. 
Basándonos en la expresión (2.5) de la energía cinética (suma de cuadrados), la 
cual es positiva, y llamando m ≡ 
N
h = 1Mh a la masa total del sistema de partícu-
las, podemos definir el cuadrado de la distancia euclídea infinitesimal, ds, entre los 
puntos P y P’ por (ds)2 = 2T(dt)2/m. Es decir,
(ds)2 = ∑
3N
j =1
  d(x j mj /m) 
2. (2.6)
De este modo, el espacio cartesiano con coordenadas x̃ j ≡ xj mj /m es un espacio 
euclídeo y, como sabemos del Álgebra lineal, es práctico asociar vectores a los 
puntos de dicho espacio. Trataremos el espacio euclidiano como un espacio vecto-
rial en el que usamos los elementos ya conocidos de producto escalar de vectores, 
módulo del vector, base canónica, etc. Denotamos por {uk; k = 1, …, 3N } la base 
canónica de vectores (3N componentes): u1 = (1, 0, …, 0), …, u 3N = (0, 0, …, 1). 
El vector de posición del punto P con coordenadas cartesianas x ≡ x 1, x 2, …, x 3N, 
tiene la representación habitual
r = ∑
3N
j =1
 x j mj /m uj = x
1e1 +⋯+ x 
3Ne3N ≡ x 
k ek, (2.7)
en donde 
ej ≡ mj /m uj , j = 1, …, 3N. (2.8)
Observe el lector que a la expresión x k ek en (2.7) se le está aplicando el convenio 
de suma de Einstein. El vector velocidad del punto P tendrá por expresión 
v = dr
dt
 = ẋ1e1+⋯ẋ 
3Ne3N ≡ ẋ 
k ek, (2.9)
en donde el módulo |ek| = mk /m . Es inte resante observar que, usando (2.8) y 
(2.9), la energía cinética del sistema, ecuación (2.5), se puede escribir como la ener-
gía cinética de una partícula de masa m moviéndose en un espacio 3N dimensional
T = 12 ∑
3N
j =1
 mj(ẋ 
j )2 ≡ 1
2
 mv2. (2.10)
Conviene también definir la base de vectores e j recíproca de la (2.8), es decir, 
el conjunto de vectores que verifica e j · ek = δk
j, siendo δk
j la delta de Kronec-
ker. Obsérvese que e j ≡  m /m j uj ≡ ej m /mj . Construyamos ahora un vector 
fuerza, f, con la base e j y las componentes cartesianas de las fuerzas, fj, 
dadas en (2.3),
f = f1e
1
+⋯+f3N e
3N ≡ f ke 
k. (2.11)
Se comprueba fácilmente que las 3N ecuaciones escalares (2.4) son las componentes 
cartesianas de la ecuación vectorial (ecuación vectorial de Newton en el espacio 
de configuración 3N dimensional)
m dv
dt
 = f. (2.12)
Figura 2.1 Partícula de masa m en P en 
el espacio de configuración cartesiano 3N 
dimensional.
Cuadro 2.2 Construcción del espacio 
de configuración cartesiano
Tomemos el conjunto de las N partículas 
de masas Mh (h = 1, …, N) con coordena-
das x i
h (i = 1, 2, 3). Sean F i
h las componen-
tes cartesianas de la fuerza total actuando 
sobre cada partícula. Establezcamos la 
siguiente correspondencia entre x i
h, Mh y Fi
h 
con x j, mj y fj ( j = 1, …, 3N):
x1
1, x2
1, x3
1, …, x1
N, x2
N, x3
N →
 x1, x2, x3, …, x3N–2, x3N–1, x3N.
M1, M1, M1,
 …, MN, MN, MN, →
 m1, m2, m3, …, m3N–2, m3N–1, m3N.
F1
1, F2
1, F3
1, …, F1
N, F2
N, F3
N, →
 f1, f2, f3, …, f3N–2, f3N–1, f3N.
El vector de posición se construye con la 
base ej y el vector fuerza con la base e 
j:
r = xkek ≡ x
1e1 + ⋯ + x
3Ne3N,
f = fke
k ≡ f1e
1 + ⋯ + f3Ne
3N.
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3 El cálculo variacional y la 
mecánica
3.1 ¿Por qué el cálculo variacional?
3.2 Nociones básicas de cálculo variacional
3.2.1 Variación de un funcional
3.2.2 Ecuación de Euler-Lagrange
3.2.3 Ecuaciones de Euler-Lagrange: caso de varias funciones
3.2.4 Extremales con restricciones: multiplicadores de Lagrange
3.3 Principio de Hamilton
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Capítulo 3 El cálculo variacional y la mecánica
Cuadro 3.1 Mecánica de medios 
continuos
Los sistemas mecánicos discutidos en el 
cuerpo principal del libro tienen un número 
finito de grados de libertad y están goberna-
dos por ecuaciones diferenciales ordinarias 
(EDO). Por ejemplo, un péndulo de longitud 
� que oscila en un plano vertical tiene como 
único grado de libertad o variable de estado 
el ángulo θ(t). Su ecuación del movimiento es 
θ̈ + (g/�)sin θ = 0.
Existen también sistemas físicos, como por 
ejemplo los fluidos, los sólidos deformables 
o los campos electromagnéticos, cuyas 
variables de estado dependen tanto del 
tiempo como de la posición. En esos casos, 
la dinámica de las variables de estado está 
gobernada por ecuaciones diferenciales en 
derivadas parciales (EDDP). Un ejemplo sen-
cillo es la temperatura T(x, t) en una barra de 
metal unidimensional de longitud � y situada 
a lo largo del eje x. Se puede demostrar que 
la evolución de la temperatura con el tiempo 
es la solución de la EDDP conocida como 
ecuación del calor 
∂ T
∂ t
 − α ∂ 
2T
∂ x2
 = 0,
dond e α es la difusividad térmica de la 
barra. Una diferencia importante con res-
pecto a los sistemas con un número finito 
de grados de libertad es que ahora, ade-
más de condiciones iniciales T(x, 0) = T0(x), 
hay que dar condiciones de contorno. En el 
caso de la barra, en donde hay derivadas de 
segundo orden en x, se puede imponer por 
ejemplo que la temperatura en los extremos 
de la barra adquiera ciertos valores, T(0, t) = 
TA(t) y T(�, t) = TB(t). 
Las técnicas y teoremas de la mecánica 
analítica para sistemas con un número 
finito de grados de libertad pueden exten-
derse a los medios continuos. Esto incluye, 
por ejemplo, el formalismo lagrangiano y 
hamiltoniano, la localización de invariantes 
mediante el teorema de Noether o las varia-
bles acción-ángulo, por citar algunos ejem-
plos. En cada uno de los capítulos del libro, 
y en paralelo con la discusión en el texto 
principal, iremos mostrando dichas extensio-
nes en los cuadros al margen.
Llegaron los fugitivos a estos sitios, donde ahora ves las altas murallas y el alcázar, 
ya comenzado a levantar, de la nueva Cartago, y compraron una porción de terreno, 
tal que pudiera toda ella cercarse con la piel de un toro, de donde le vino el nombre 
de Birsa.
Virgilio, La Eneida
Hasta el momento, las ecuaciones de Lagrange se han presentado en el texto 
como resultado de un tratamiento matemático de las ecuaciones de Newton del 
movimiento. Con este acercamiento, se ha visto, a posteriori, que la formula-
ción lagrangiana constituye una descripción elegante y completa que, a efec-
tos prácticos, se puede considerar independiente de la formulación newtoniana, 
aunque, obviamente, es equivalente a ésta. Cabe, pues, pensar que existe otro 
modo de fundamentar la mecánica lagrangiana recurriendo a postulados o prin-
cipios que resulten independientes de los enunciados por las leyes básicas de 
Newton. Dado que la física newtoniana lejos de los límites relativistas o cuán-
ticos es correcta, una nueva fundamentación de la mecánica en términos de las 
ecuaciones de Lagrange debería contener un número de postulados menor que 
los aportados por Newton, además de una sólida base matemática. Tal funda-
mentación existe, y se basa en un único principio, llamado de Hamilton, cuya 
base teórico-matemática se inspira en los denominados principios de mínimo, 
que siempre han estado ligados a la física y cuya historia es tan antigua como 
la de esta.
3.1 ¿Por qué el cálculo variacional?
El cálculo variacional, también llamado cálculo funcional, está íntimamente 
relacionado con el cálculo de extremos de una función dada a los que estamos 
muy habituados, pero aquí no se habla de una función de una o varias variables, 
sino de una función de funciones. El problema de hallar puntos extremos de una 
función (las coordenadas para las cuales la función es un máximo o un mínimo) se 
traspone ahora al problema de encontrar las funciones (extremales) que hagan que 
una función de funciones sea máxima o mínima. La historia del cálculo de varia-
ciones tiene su origen más conocido en el famoso problema de la braquistócrona 
propuesto por Jean Bernoulli en 1696, en el que se plantea encontrar la trayectoria 
que debería seguir una partícula empleando un tiempo mínimo en un campo de 
fuerza constante para recorrer la distancia entre dos puntos fijos, no alineados con 
la fuerza (ver Ejemplo 1 del texto). El relato histórico que acompaña al desenlace 
de este problema mediante las soluciones encontradas al mismo en su época por 
matemáticos como Leibniz, L´Hopital o Newton, es ya un hito clásico en la historia 
de las matemáticas y de las ciencias naturales. El lector podrá encontrar informa-
ción en cualquier texto, pero la obligada referencia a este caso se justifica aquí para 
enmarcar históricamente un problema de la matemática que, en su aspecto más 
general, dio lugar a lo que hoy toma el nombre de cálculo de variaciones. Esta 
potente y eficaz herramienta matemática, rigurosamente establecida como método 
y reformulada por Euler hacia 1740, fue aplicada por Lagrange a la mecánica por 
primera vez. El cálculo de variaciones originó una elegante y sólida formulación 
de la dinámica, que se estableció 137 años después del primer enunciado de la bra-
quistócrona, y fue dada por W. R. Hamilton mediante lo que hoy se conoce como 
principio de Hamilton. 
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Capítulo 3 El cálculo variacional y la mecánica
Básicamente, el cálculo variacional se establece para dar respuesta a una cues-
tión muy habitual en problemas tanto de física como de ingeniería. Se trata de 
encontrar máximos y mínimos, pero no de una función en sí misma, sino de una 
magnitud que recibe el nombre de funcional Φ, cuyos valores se obtienen a través 
de su dependencia de una o más funciones. Por ejemplo, un funcional simple (Fig. 3.1) 
es la longitud de arco � de una curva y = y(x) del plano que une dos puntos de 
coordenadas (xa, xb)
� ≡ Φ[y(x)] = 
xb
xa
1 + (dy/dx)2 dx . (3.1)
También son funcionales, por ejemplo, las coordenadas del centro de masas y las 
componentes del tensor de inercia de un sólido continuo de densidad de masa ρ(r) 
conocida (véase Capítulo 2). En cualquier caso, el valor del funcional depende de 
una función escalar (o vectorial) dada, de sus derivadas, o de la variable (escalar 
o vectorial) independiente de la función. El cálculo de variaciones versa sobre 
el método de hallar valores extremos de un funcional dado, es decir, determi-
nar la función incógnita que permite que el funcional presente un valor extremo 
(máximo o mínimo) que se denomina valor estacionario. Así pues, mediante el 
procedimiento del cálculo variacional se llega, por lo general, a una solución con-
sistente en una ecuación diferencial para la función incógnita.
Dos son los problemas básicos que contribuyeron a la fundamentación del 
cálculo variacional, llamados problema de las curvas geodésicas y el problema 
isoperimétrico. Conviene que se citen aquí por su relación con el contenido del 
curso y con la mecánica, en particular por lo que se refiere a la existencia de 
constricciones o ligaduras impuestas sobre las ecuaciones del movimiento de un 
sistema. Por otra parte, estos problemas alcanzan hoy una formulación mucho 
más amplia y general que la dada originariamente en sus planteamientos geomé-
tricos más primitivos, abarcando así un gran número de problemas que surgen 
en todos los ámbitos de la física y la matemática. El problema de curvas geodé-
sicas consiste en determinar la curva sobre una superficie dada que da la menor 
longitud de arco entre dos puntos de la superficie g(x, y, z) = 0. En este caso, el 
funcional a minimizar es 
� = Φ[y(x), z(x)] = 
xb
xa
  1 + (dy/dx)2 + (dz/dx)2 dx , (3.2)
para el cual las funciones y(x) y z(x), sujetas ala condición o ligadura 
g(x, y, z) = 0, son las incógnitas del problema. Por otra parte, el problema isoperi-
métrico pretende hallar los extremales de un funcional, los cuales están sometidos 
a una restricción expresada por medio de una integral (condición isoperimétrica). 
En su planteamiento original e histórico (problema de la reina Dido), se trataba 
de determinar la curva cerrada de longitud fija � que delimite un área máxima (¡el 
círculo!). Aquí la expresión del área es el funcional, y la condición sobre � es una 
restricción o ligadura.
3.2 Nociones básicas de cálculo variacional
En física son frecuentes los problemas que se resuelven mediante la exigencia 
de que algún funcional conocido alcance un extremo, surgiendo así en ocasiones 
Figura 3.1 Curvas yI(x) e yII(x) con extre-
mos fijados. La longitud de curva que une 
dos puntos dados del plano x-y es un fun-
cional, el cual obviamente depende de la 
curva dada.
Figura 3.2 Curvas y(x) e y(x) + h(x) con 
h(xa) ≠ 0 y h(xb) ≠ 0.
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4 Teorema de Noether: 
simetrías y leyes de 
conservación
4.1 Covariancia de las ecuaciones de Euler-Lagrange
4.1.1 Transformaciones puntuales
4.1.2 Transformaciones puntuales extendidas
4.2 Invariancia o simetría de una función
4.2.1 Grupos uni-paramétricos de transformaciones
4.2.2 Definición de invariancia de una función
4.3 Teorema de Noether
4.3.1 Grupo de transformaciones puntuales
4.3.2 Teorema de Noether para sistemas lagrangianos con 
transformaciones invariantes
4.3.3 Teorema de Noether para sistemas lagrangianos con 
transformaciones invariantes extendidas
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Capítulo 4 Teorema de Noether: simetrías y leyes de conservación
Es preciso detenerse en algún punto, y para que la ciencia sea posible, debemos 
detenernos cuando encontremos la simplicidad.
Henri Poincaré
En los Capítulos 1 y 2 hemos visto algunas leyes de conservación elemen-
tales. Así, en un sistema lagrangiano que no dependa explícitamente del tiempo se 
tiene la ley de conservación de la energía, mientras que si el sistema posee una 
coordenada cíclica o ignorable, el momento canónico conjugado a dicha coor-
denada es una constante del movimiento. Ambas leyes de conservación se pue-
den ver tambien como consecuencia de ciertas simetrías de la lagrangiana. Si la 
lagrangiana no depende explícitamente del tiempo, da lo mismo usar la variable 
temporal t que la t′ = t + ε, siendo ε una constante cualquiera. Por otra parte, 
si la lagrangiana posee una coordenada cíclica o ignorable, qβ por ejemplo, 
podríamos usar en lugar de ella otra coordenada q′β = qβ + ε. Se dice entonces 
que la lagrangiana es invariante frente a traslaciones en el tiempo o invariante 
frente a traslaciones en la coordenada ignorable. También se suele decir que la 
lagrangiana tiene la simetría de traslaciones en el tiempo o traslaciones en la 
coordenada ignorable. Las leyes de conservación de la energía o del momento 
canónico son consecuencia, por tanto, de estas dos simetrías elementales que 
puede poseer la lagrangiana. 
4.1 Covariancia de las ecuaciones de Euler-Lagrange
La ventaja más importante que tienen los sistemas lagrangianos es que las 
ecuaciones de Lagrange son independientes del sistema de coordenadas genera-
lizadas que se usen. A esta propiedad se la llama covariancia y, como se explica 
en el Cuadro 4.2, dicha propiedad fue siempre un objetivo que debían cumplir las 
leyes fundamentales de la física. 
4.1.1 Transformaciones puntuales
Supongamos un sistema con lagrangiana L(q, v, t), en donde q = q1, …, qn y 
v = v1, …, vn, son las coordenadas y velocidades generalizadas, respectivamente, 
y se ha usado para simplificar la notación: v ≡ q̇1, …, q̇n. Como es sabido, las ecua-
ciones de Lagrange son
 d
dt
 ∂ L
∂ vj
 − ∂ L
∂ qj
 = 0, vj ≡ 
dqj
dt
; j = 1, …, n. (4.1)
Supon gamos que elegimos otro sistema de coordenadas q′ = q′1, …, q′n, que están 
relacionadas con las anteriores mediante n funciones
 qj = φ j(q′, t), j = 1, …, n. (4.2)
Una trans formación de este tipo se llama transformación puntual. Supondre-
mos que la correspondencia entre q y q′ es biunívoca para cualquier instante 
de tiempo t, y que las funciones φj se comporten bien. Surge, naturalmente, la 
pregunta: ¿cuál será, para las nuevas coordenadas, el nuevo sistema de ecua-
ciones de evolución de las q′(t) equivalente al sistema (4.1)? Para responder a 
esta cuestión conviene volver al planteamiento más básico que nos condujo a las 
ecuaciones de Lagrange, es decir al principio de Hamilton (véase Capítulo 3). Las 
Cuadro 4.1 Teoría de grupos
La teoría moderna de grupos en matemáticas 
nace en el siglo XIX de la mano del matemá-
tico francés Evariste Galois (1811–1832), 
quien abordó un interesante y antiguo pro-
blema matemático. Galois trató de averiguar 
bajo qué circunstancias las raíces de un 
polinomio con coeficientes racionales pue-
den ser expresadas únicamente mediante 
número racionales, multiplicaciones, divisio-
nes, sumas, restas y números elevados a 
la potencia 1/n siendo n un número entero. Si 
las soluciones se pueden expresar de dicha 
manera, se dice que la ecuación polinómica 
es resoluble por radicales. Por ejemplo, una 
ecuación de segundo grado
ax2 + bx + c = 0
es resoluble por radicales porque sabemos 
que su solución es
x = −b ± b
2 − 4ac
2a
.
Galois descubrió que la solucionabilidad de 
una ecuación por radicales está relacionada 
con la estructura de un grupo de permuta-
ciones asociadas a las raíces del polinomio, 
lo que se conoce hoy en día como grupo de 
Galois del polinomio. Las ecuaciones polinó-
micas de grado < 5 son resolubles por radi-
cales, las de grado ≥ 5 no lo son en general.
Actualmente se utiliza el término grupo para 
denotar una estructura algebraica que con-
siste en un conjunto G de elementos equi-
pados con una operación interna, denotada 
aquí con el símbolo “*”, que cumple las 
siguientes propiedades
• Cierre: ∀a, b ∊ G, a * b ∊ G
• Asociativa: ∀a, b, c ∊ G, 
(a * b) * c = a * (b * c)
• Elemento identidad: ∀a ∊ G, 
∃e \ e * a = a * e = a
• Elemento Inverso: ∀a ∊ G, 
∃b \ b * a = a * b = e
Aunque Galois murió muy joven, con solo 20 
años y como consecuencia de las heridas 
sufridas en un duelo con pistolas, su legado 
matemático fue muy profundo. En particular, 
el trabajo de Galois sobre ecuaciones algebrai-
cas inspiró a Marius S. Lie, quien elaboró una 
teoría semejante para ecuaciones diferencia-
les. El lector interesado en la aplicación de la 
técnica de los grupos de Lie a las ecuaciones 
diferenciales puede consultar la obra de Peter 
Olver, Applications of Lie groups to differential 
equations (Springer Verlag, New York 1993).
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Capítulo 4 Teorema de Noether: simetrías y leyes de conservación
ecuaciones de evolución son las ecuaciones diferenciales de los extremales del 
funcional acción, es decir, se obtienen a partir de
 δS ≡ δ 
t2
t1
 L(q1, …, qn, v1, …, vn, t)dt = 0, (4.3)
para q(t1) y q(t2) fija dos. En el integrando del funcional, L(q, v, t), expresemos 
las variables q y v en función de las nuevas coordenadas. Las “q” vienen dadas 
por las funciones φ = φ1, …, φn, de las q′ y t. Mientras que las velocidades gene-
ralizadas v se expresan en función de las q′ y las nuevas velocidades genera-
lizadas, v′ ≡ dq′/dt, derivando con respecto del tiempo la transformación (4.2). 
Es decir,
 v j ≡ 
dφ j(q′, t)
dt
 = 
∂ φ j
∂ t
 + v′i 
∂ φ j
∂ q′i
, v′i = 
dq′i
dt
 . (4.4)
Observe el lector que al último sumando de la ecuación anterior se le está apli-
cando el convenio de suma de índices repetidos (índice “i”). Debe notarse que la 
transformaciónde las velocidades generalizadas no es una transformación inde-
pendiente, sino que está inducida por la propia transformación puntual de coorde-
nadas. En definitiva, el problema (4.3) de calcular los extremales queda planteado 
en la forma
 δS ≡ δ 
t2
t1
 L(q(q′, t), v(q′, v′, t), t)dt = 0. (4.5)
Es decir, debemos encontrar los extremales del funcional acción, con q′(t1) y 
q′(t2) fijados, en donde el integrando del funcional es otra función lagrangiana, 
L′(q′, v′, t), definida por
 L′(q′, v′, t) ≡ L(q(q′, t), v(q′, v′, t), t). (4.6)
Las nuevas ecuaciones de Lagrange en coordenadas q′ son, por lo tanto:
 d
dt
 ∂ L′
∂ v′j
 − ∂ L′
∂ q′j
 = 0, v′j ≡ 
dq′j
dt
; j = 1, …, n. (4.7)
Es decir, las ecuaciones de evoluc ión en las nuevas coordenadas se expresan de 
la misma forma (ecuaciones de Euler-Lagrange) a partir de una nueva lagran-
giana, L′(q′, q̇′, t), que se obtiene de la lagrangiana antigua, L(q, q̇, t), sustituyendo 
las coordenadas y velocidades generalizadas antiguas en función de las nuevas 
coordenadas generalizadas, q′, y las nuevas velocidades generalizadas, q̇′. Dire-
mos entonces que las ecuaciones de Euler-Lagrange de un sistema lagrangiano 
son covariantes o que tienen la propiedad de covariancia: las leyes o ecuaciones 
diferenciales para los extremales son independientes del sistema de coordenadas. 
Por supuesto, las nuevas ecuaciones de Lagrange (4.7), desarrolladas, tendrán un 
aspecto algebraico muy diferente, en general, de las anteriores ecuaciones (4.1) 
desarrolladas.
4.1.2 Transformaciones puntuales extendidas
La propiedad de covariancia de las ecuaciones de Lagrange también se tiene para 
las llamadas transformaciones puntuales extendidas: aquellas transformaciones 
Cuadro 4.2 Principio de covariancia 
en física (1/2)
Siguiendo las ideas de Galileo, Newton asu-
mió que las leyes de la mecánica tienen la 
misma forma en cualquier sistema de referen-
cia inercial. En particular, que la segunda ley
m dv
dt
 = F
es válida para cualquier observador ligado a 
un sistema inercial. En ese marco, el espa-
cio y el tiempo son conceptos absolutos 
e independientes. Sin embargo, a finales 
del siglo XIX y principios del XX, los físicos 
empezaron a sospechar que las leyes fun-
damentales de la física deberían tener la 
misma forma para cualquier observador y 
que la distinción entre sistemas inerciales y 
no inerciales podría ser ilusoria.
Una pista importante la proporcionaron 
las ecuaciones de Maxwell para los campos 
electromagnéticos, las cuales son invarian-
tes frente a las transformaciones de Lorentz. 
Por ejemplo, si tenemos un sistema S y otro 
S’ que se mueven con velocidad V a lo largo 
del eje x, las ecuaciones de Maxwell toman 
la misma forma si las coordenadas y el 
tiempo en ambos sistemas están relaciona-
dos por
x′ = x − Vt
1 − V2/c2
, t′ = t − Vx/c
2
1 − V2/c2
,
siendo y′ = y, z′ = z, donde c es la velocidad 
de la luz. Fíjese el lector que en estas trans-
formaciones el espacio y el tiempo se mez-
clan. Basándose en estas ideas, Einstein 
propuso en 1905 lo que ahora se conoce 
como teoría de la relatividad especial y que 
se basa en dos postulados:
• Las leyes de la física son invariantes en 
todos los sistemas inerciales.
• La velocidad de la luz en el vacío es la 
misma para todos los observadores, 
independientemente de la velocidad de la 
fuente de luz. 
En el marco de la relatividad especial, la 
segunda ley de Newton se escribe como
d
dt
 
m0v
1 − v2/c2
 = F,
siendo m0 la masa en reposo de la partícula. 
Esta ecuación es invariante frente a las 
transformaciones de Lorentz y recupera la 
segunda ley de Newton cuando la velocidad 
es mucho menor que la de la luz.
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5 Oscilaciones próximas 
al equilibrio en sistemas 
lagrangianos
5.1. Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U(q) 
5.1.1 Linealización de las ecuaciones alrededor del equilibrio
5.1.2 Evolución de las perturbaciones alrededor del equilibrio
5.1.3 Descomposición en modos normales o propios de oscilación
5.1.4 Propiedades extremales de las frecuencias propias de oscilación
5.2. Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U(q, q̇)
5.2.1 Linealización alrededor del equilibrio en sistemas giroscópicos
5.2.2 Efectos giroscópicos sobre un sistema lagrangiano
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Capítulo 5 Oscilaciones próximas al equilibrio en sistemas lagrangianos
Al considerar el movimiento de un sistema de partículas bajo la acción de un 
campo externo o como consecuencia de la interacción entre ellas, pueden existir 
posiciones de las partículas en las cuales el sistema esté en equilibrio. Es decir, 
posiciones tales que si las partículas se abandonaran en ellas con velocidad nula, 
permanecerían todo el tiempo en reposo en dichas posiciones. Parece natural 
entonces investigar el movimiento del sistema de partículas cuando se perturba 
levemente, sacándolo de las posiciones de equilibrio o impulsando las partículas 
con velocidades pequeñas. El movimiento subsiguiente que tendrá lugar podría 
ser el de un conjunto de vaivenes u oscilaciones alrededor de las posiciones de 
equilibrio, o que las partículas del sistema se alejaran continuamente de éstas. 
En cualquier caso, supondremos que las perturbaciones inicialmente introducidas 
son infinitesimalmente pequeñas, de tal modo que, durante un cierto tiempo, el 
sistema se mantendrá próximo al estado de equilibrio realizando un conjunto de 
movimientos que llamaremos, genéricamente, oscilaciones. 
En este capítulo estudiaremos el movimiento próximo a la posición de equili-
brio en dos tipos diferentes de sistemas lagrangianos. En primer lugar, conside-
raremos los sistemas en los que la lagrangiana L es de la forma L = T − U(q ), 
siendo la energía cinética T una función cuadrática homogénea de las veloci-
dades generalizadas, y el potencial U una función solo de las coordenadas. En 
segundo lugar, consideraremos un potencial de fuerzas más general que U(q ), 
añadiéndole un potencial giroscópico UGI, lineal en las velocidades generaliza-
das (ver Capítulo 2). Llamaremos a estos sistemas lagrangianos giroscópicos, en 
donde L = T − U(q ) − UGI .
5.1 Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U (q)
Supondremos en primer lugar un sistema lagrangiano de n grados de libertad 
con L = 12 mi j (q )q̇
iq̇ j − U(q ). Los coeficientes mi j dependen solo de las coor-
denadas generalizadas q ≡ q1, . . ., qn, son simétricos (mi j = mji ), y el determi-
nante de la matriz con coeficientes mi j es diferente de cero. Las ecuaciones de 
Euler-Lagrange para este sistema son (compruébese),
mikq̈
i + ∂ U
∂ qk
 + 
∂ mik
∂ qj
 q̇ jq̇i − 1
2
 
∂ mi j
∂ qk
 q̇iq̇ j = 0, k = 1, . . ., n. (5.1)
Busquemos a continuación las coordenadas de las posiciones de equilibrio 
q = qe ≡ q
1
e , . . ., q
n
e . Es decir, las posiciones del sistema en las cuales, si se aban-
dona en esa posición con velocidades generalizadas nulas, q̇1 = 0, . . ., q̇n = 0, el 
sistema permanece en reposo en dicha posición todo el tiempo (el concepto de 
posiciones de equilibrio y su estabilidad se estudiará con cierta profundidad en el 
Capítulo 8). Debido a que el tiempo no aparece explícitamente en las ecuaciones 
de Lagrange (5.1), el sistema permanecerá en reposo todo el tiempo en la posición 
q = qe si para esa posición las aceleraciones q̈ son también nulas. Para ello, según 
las ecuaciones (5.1), es necesario que ∂ U/∂ qk|qe = 0 con k = 1, . . ., n. Por lo tanto, 
las posiciones de equilibrio, q = qe, corresponden a un extremo del potencial U y 
se obtienen del sistema de n ecuaciones
∂ U
∂ qk
 |
q=qe
 = 0, k = 1, . . ., n. ⇒ qe. (5.2)
Daniel Bernoulli nació el 8 de febrero de 
1700 en Groninga, Países Bajos, en el seno 
de una familia de matemáticos.Además de 
él, también destacaron su padre, Johann 
Bernoulli, pionero del cálculo infinitesimal y 
profesor de Leonhard Euler, y su tío, Jacob 
Bernoulli, quien hizo contribuciones a la teo-
ría de la probabilidad. D. Bernoulli aceptó 
el consejo de su padre y estudió medicina, 
pero puso como condición que le enseñara 
matemáticas de manera privada. 
Tras acabar los estudios de medicina, fue 
rechazado por la Universidad de Basilea, 
pero poco después consiguió una plaza de 
profesor en la Academia de Ciencias de San 
Petersburgo. Allí trabajó ocho años y realizó 
importantes descubrimientos que le valieron 
para ganar un puesto como profesor en Basi-
lea. En 1750, le concedieron la cátedra que 
había ocupado su padre. 
D. Bernoulli hizo importantes contribuciones 
en hidrodinámica, elasticidad y teoría ciné-
tica de gases. En el año 1738 publicó su 
famosa obra Hydrodynamica. En ella explica 
lo que posteriormente sería conocido como 
el Principio de Bernoulli y que relaciona la 
velocidad con la presión en un fluido incom-
presible. También fue precursor de la teoría 
de oscilaciones, gracias a un trabajo que 
publicó en 1753. La teoría general sobre 
las oscilaciones de un sistema de partículas 
con un número finito de grados de libertad 
fue establecida por Lagrange entre los años 
1762 y 1765. La obra de Bernoulli fue muy 
extensa (86 trabajos) y recibió el reconoci-
miento de sus colegas, quienes le concedie-
ron diez premios de la Academia de Ciencias 
de París y le eligieron miembro de la Real 
Sociedad de Londres. Murió el 17 de marzo 
de 1782, a la edad de 82 años, en Basilea. 
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93
Capítulo 5 Oscilaciones próximas al equilibrio en sistemas lagrangianos
En general, (5.2) es un sistema no lineal de ecuaciones algebraicas y puede pre-
sentar varias soluciones que corresponden a diferentes posiciones de equilibrio. 
EJEMPLO 1
El potencial de fuerzas de un péndulo ideal de longitud � que oscila con ángulo 
θ alrededor de la vertical es U = −mg� cos θ . Las posiciones de equilibrio según 
(5.2) se obtienen de ∂ U/∂ θ = mg� sin θ = 0, cuyas soluciones son θ = 0 (péndulo 
en la posición más baja) y θ = π (posición más alta del péndulo). 
5.1.1 Linealización de las ecuaciones alrededor del equilibrio
Si en la posición de equilibrio del sistema, q = qe con q̇ = 0, se introducen unas 
perturbaciones infinitesimalmente pequeñas, x(t), de forma que q(t) = qe + x(t) 
con x(t) ≡ x1(t), . . ., xn(t), podemos linealizar el sistema de ecuaciones (5.1) alre-
dedor de q = qe y q̇ = 0. El primer término de la ecuación (5.1), el que contiene 
las derivadas segundas con respecto del tiempo, está ya prácticamente lineali-
zado. Bastará tomar mi k(q )q̈
i ≈ mi k(qe )ẍ
i, con coeficientes mik(qe ) evaluados en 
q = qe y, por lo tanto, constantes. Por brevedad y para simplificar la notación, los 
llamaremos mi k de aquí en adelante. El segundo término, el correspondiente a la 
derivada del potencial U, teniendo en cuenta que en q = qe sus primeras deriva-
das son nulas [ecuación (5.2)], lo desarrollamos en serie de Taylor hasta términos 
de segundo orden: U = U(qe ) + 
1
2 ki j x
i x j , en donde los coeficientes ki j , simétricos 
y constantes, vienen dados por
ki j = ∂
2 U/∂ qi ∂ q j|q
=
qe . (5.3)
De este manera, ∂ U/∂ qk ≡ ∂ U/∂ xk ≈ ki k x
i. Los términos tercero y cuarto de las 
ecuaciones (5.1) son de segundo orden (proporcionales a los productos de canti-
dades pequeñas, ∝ ẋi ẋ j ), y en la linealización del sistema serán despreciados. En 
consecuencia, el sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange linealizado se escribe
mi k ẍ
i + ki k x
i = 0, k = 1, . . ., n . (5.4)
El sistema anterior conviene escribirlo en forma mat ricial introduciendo las 
matrices constantes M (de componentes mi j), K (de componentes ki j) y el vector 
columna, x, de componentes (x1, . . ., xn). Se denotará por xT al vector fila (el trans-
puesto del vector columna x), y de modo similar para las matrices transpuestas 
MT y KT. El sistema de ecuaciones (5.4) escrito en forma matricial adopta la forma
M ⋅ ẍ + K ⋅ x = 0. (5.5)
Conviene notar que las ecuaciones (5.5) son las ecuaciones de L agrange de un 
sistema con coordenadas generalizadas x y con lagrangiana
L = T − U(x) ≡ 1
2
 ẋT ⋅ M ⋅ ẋ − 1
2
 xT ⋅ K ⋅ x. (5.6)
Cuadro 5.1 Oscilaciones 
amortiguadas
Cuando un sistema mecánico se mueve en 
un medio, la resistencia con él frena el movi-
miento, y la energía del sistema se disipa 
finalmente en forma de calor. La resistencia 
con el medio se puede describir, de un modo 
aproximado, mediante una fuerza de roza-
miento que depende de la velocidad y, para 
velocidades pequeñas, es proporcional a 
ella. La fuerza generalizada Qrk asociada a la 
coordenada xk puede obtenerse a partir de la 
llamada función de disipación de Rayleigh, 
F = 1
2
 ci j ẋ
iẋ j , por medio de Qrk = −∂ F/∂ ẋ
k. 
Se demuestra (usando argumentos termodi-
námicos) que la forma cuadrática F es simé-
trica, ci j = cji, y positiva. Las ecuaciones de 
Lagrange para las pequeñas oscilaciones, 
incluyendo este tipo de fuerzas, son
mik ẍ 
i + cik ẋ
i + kik x
i = 0, k = 1, . . ., n,
que, en notación matricial, escribiremos en 
la forma
M ⋅ ẍ + C ⋅ ẋ + K ⋅ x = 0,
siendo C la matriz de componentes cik. Bus-
cando ahora soluciones de la forma x = ueiσ t, 
llegamos a la ecuación matricial que nos 
proporciona los valores de σ y u, similar al 
caso de oscilaciones sin disipación,
(K − σ2M + iσ C) ⋅ u = 0.
Los valores de σ se obtienen de la condición 
|K − σ2M + iσ C| = 0.
Es fácil demostrar que si la matriz K es 
definida positiva (oscilaciones en torno a 
un mínimo estricto del potencial), entonces 
Re( iσ) < 0. El sistema efectúa oscilacio-
nes amortiguadas en el tiempo (estabilidad 
asintótica).
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© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
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6 Formalismo hamiltoniano: 
ecuaciones de Hamilton
6.1. De la lagrangiana a la hamiltoniana de un sistema
6.1.1 Ecuaciones canónicas de Hamilton
6.1.2 Estructura matemática del formalismo hamiltoniano
6.2. Transformada de Legendre y ecuaciones canónicas
6.3. El principio de Hamilton 
6.4. Notación simplética de las ecuaciones de Hamilton
6.4.1 Corchetes de Poisson
6.4.2 Leyes de conservación
6.5. Sistemas hamiltonianos
6.5.1 Transformaciones canónicas de coordenadas y momentos
6.6. El espacio de fases hamiltoniano
6.6.1 Hamiltonianos de un grado de libertad e independientes de t 
6.6.2 Hamiltonianos de un grado de libertad dependientes de t 
6.6.3 Hamiltonianos independientes de t con varios grados de libertad
6.6.4 Conservación del volumen en el espacio de fases canónico
6.6.5 Invariante integral de Poincaré-Cartan
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Capítulo 6 Formalismo hamiltoniano: ecuaciones de Hamilton
El conjunto de ecuaciones de Lagrange, asociadas a un sistema dinámico des-
crito por n coordenadas generalizadas, representa un sistema matemático de n 
ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, vinculadas a la interpre-
tación geométrica de punto móvil en el denominado espacio de configuración. 
Existe otra formulación alternativa a la mecánica lagrangiana, que nos lleva a 
un sistema de 2n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden para un 
conjunto de 2n variables dinámicas independientes. Estas ecuaciones son las lla-
madas ecuaciones de Hamilton y son la base de la formulación hamiltoniana de 
la mecánica. A pesar de que esta nueva formulación no supone, en general, una 
simplificación en la resolución matemática del problema, sí alumbra un nuevo 
marco teórico interesante, fértil en cuanto a interpretaciones físicas, y flexible 
en cuanto a proveer métodos para el análisis de sistemas