MateNegocios_unidad 2

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Unidad 2
Modelos de optimización
Objetivos
Al nalizar la unidad, el alumno:
  •  Construirá modelos matemáticos de optimización.
  •  Resolverá problemas prácticos con el método gráfico.
Matemáticas para negocios 45
2. Modelos de optimización
La investigación de operaciones utiliza una metodología sencilla para acercarse a 
la solución de problemas que requieren de optimización. Tal metodología puede 
expresarse como sigue:
	 •	 Identicación del problema que requiere de la investigación de operaciones 
y recopilación de información.
	 •	 Planteamiento del modelo matemático.
	 •	 Solución del problema matemático y ajustes al mismo.
	 •	 Implementación de la mejor solución.
Los puntos de la metodología pueden desarrollarse, también, respondiendo a 
algunas de las siguientes preguntas: ¿la situación o problemática es un problema 
operacional?, es decir, si se puede resolver con la investigación de operaciones; 
¿qué valores deben determinarse?, por ejemplo nivel de producción, número de 
horas-hombre por contratar, etc., ¿qué información se necesita para saber cómo 
se relacionan los valores por determinar?, es decir, la obtención del modelo 
matemático y ¿cómo puede resolverse el modelo obtenido para encontrar la mejor 
solución? Las respuestas a estas preguntas pueden orientar hacia el seguimiento 
de la metodología de la investigación de operaciones, y en este capítulo 
estudiaremos principalmente la obtención de modelos matemáticos de problemas 
operacionales.
Uno de los modelos más utilizado en la investigación de operaciones es el 
Modelo de Programación Lineal (PL), el cual tiene la característica de que 
todas las expresiones que lo componen son lineales. El modelo de programación 
lineal cuenta con una función objetivo, la cual se pretende optimizar, y una 
serie de expresiones matemáticas que representan las restricciones que deben 
satisfacerse para que la solución obtenida sea óptima y factible. Es decir, 
que la solución del modelo matemático sea la mejor posible y que pueda 
46 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
implementarse en la realidad. El siguiente es un ejemplo de un modelo de 
programación lineal:
 0 1
5 12Max Z x x= + (A)
 s. a
 0 1
2 125x x+ ≤ (1)
 0 13 65x x+ ≤ (2)
 CNN 0 1, 0x x ≥ (3)
La ecuación (A) es la función objetivo a maximizar en este caso, y las ecuaciones 
(1), (2) y (3) representan el conjunto de restricciones a satisfacer, cabe mencionar 
que la ecuación (3) se conoce como Condición de No Negatividad (CNN) y 
que el modelo se lee como “la función objetivo Z sujeta a (s. a) el conjunto de 
restricciones dado”.
2.1. Planteamiento del modelo
Un modelo es la representación abstracta de un proceso en particular o de la 
realidad en general. Dependiendo de la complejidad y del n de lo que se desea 
representar, se han desarrollado diferentes modelos como son los diagramas 
de  ujo,  que  indican  el  orden  y  secuencia  de  una  serie  de  actividades;  los 
organigramas, que indican la jerarquía e interrelaciones de una organización; 
o los modelos matemáticos, que son representaciones de problemas o casos 
prácticos con números y signos matemáticos. Ejemplo de estos últimos son las 
ecuaciones que representan la oferta y la demanda y la expresión matemática de 
las utilidades o de los costos de producción de una empresa.
Para comenzar el modelado se utilizan modelos sencillos, y a partir de éstos se 
construyen otros más complejos y con más información; concluyendo el modelado 
hasta que el responsable del mismo considere que con éste se representa de manera 
satisfactoria el problema de estudio; es decir, que se tiene un modelo con validez. 
A continuación se presenta la forma en la que se construyen los modelos 
matemáticos en la investigación de operaciones.
Matemáticas para negocios 47
2.1.1. Datos y variables de decisión
La identicación de un problema, proceso o situación que puede optimizarse con 
la investigación de operaciones se basa en reconocer si el problema de estudio 
cuenta con variables controlables, que llamaremos variables de decisión.
 
Una variable controlable o de decisión es aquella que se puede medir y modicar 
en su valor deliberadamente. 
Para invertir cierto capital C en tres instrumentos financieros T
1
, T
2
 y T
3
. Se 
requiere determinar la cantidad a invertir en cada uno de los instrumentos de 
modo que el rendimiento sea el mayor posible.
Los rendimientos que ofrecen los instrumentos T
1
, T
2
 y T
3
 son valores que no 
pueden ser determinados por el inversionista, pero la cantidad de dinero a invertir 
en cada uno de ellos (que podemos denotar como c
1
, c
2
 y c
3
 respectivamente) 
si es una decisión de la persona que invierte, por lo tanto, c
1
, c
2
 y c
3
 son las 
variables de decisión.
Las variables de decisión se identican con literales o etiquetas que faciliten su 
manejo en los modelos matemáticos; así, en el ejemplo anterior c
1
 representa la 
variable de decisión “cantidad proveniente del capital C a invertir en el instrumento 
T
1
”, donde se observa que el uso de la etiqueta c
1
 es más fácil de manejar en una 
ecuación, que todo el signicado de la variable.
Las variables de decisión de un problema pueden obtenerse respondiendo algunas 
de las preguntas:
  •  ¿Qué valores debo determinar para resolver el problema?
  •  ¿Qué valores puedo controlar para modicar los resultados del proceso?
  •  ¿Qué se desea cuanticar?
  •  ¿De cuáles variables se desea calcular su valor?
Analicemos el siguiente planteamiento para poder denir la variables de decisión 
del problema.
Denición 2.1.
Ejemplo 1
48 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
Una empresa comercializa dos tipos de viaje en globo aerostático, uno llamado 
de lujo y el segundo llamado económico a un precio de $3,000.00 y $2,000.00 
respectivamente. Saben que en un día sólo pueden vender a lo más 6 viajes 
de cualquier tipo, debido a que tienen prohibido volar de noche por razones 
de seguridad. Cada viaje de lujo requiere de tres cilindros de gas y cada viaje 
económico sólo dos cilindros, la empresa cuenta con 12 cilindros de gas en total. 
Con esta información se desea conocer la combinación óptima de viajes necesaria 
para maximizar los ingresos de la empresa.
De manera similar al primer ejemplo de la sección, las variables de decisión 
pueden  obtenerse  respondiendo  a  la  pregunta  ¿qué  se  desea  cuanticar?,  y  la 
respuesta está en el planteamiento mismo como “...la combinación óptima de viajes 
necesaria para maximizar los ingresos...”,  entonces  se  denen  como  variables  de 
decisión aquellas que indiquen la cantidad de viajes de cada tipo:
 :x = Cantidad de viajes de lujo que se requiere vender.
 :y = Cantidad de viajes económicos que se requiere vender.
A partir de este punto, las expresiones de “la función objetivo” y “las restricciones” 
del problema en un modelo de P. L. deben escribirse en función de las variables 
de decisión denidas. 
2.1.2. Función objetivo y las restricciones
Toda vez que se han denido las variables de decisión, es momento de indicar la 
forma en que estas variables y los datos se interrelacionan, obteniendo de esto la 
función objetivo y las restricciones del problema. 
Identicación de la función objetivo
La función objetivo es una expresión matemática que representa una cantidad, 
la cual tratamos de optimizar (maximizar o minimizar) como pueden ser los 
ingresos, las utilidades o los costos en una empresa.
Ejemplo 2 
Matemáticas para negocios 49
Como la investigación de operaciones es una herramienta que permite tomar 
decisiones de tipo operativo, estas decisiones son tomadas con la premisa de 
maximizar las utilidades o minimizar los costos de la organización, los cuales 
dependen de los siguientes factores:
  •  Costos de producción.
  •  Precio de venta.
  •  Volumen de venta.
Por lo tanto, toda función objetivo deberá estar conformada por este tipo de 
componentes. De no ser así, se sugiere validar la función objetivo conlas variables 
y datos del problema.
La  función objetivo  se obtiene,  primero,  identicando  si  se  trata de maximizar 
ingresos o minimizar costos y, segundo, escribiendo la forma en la que los ingresos 
o costos se cuantican.
Para el ejemplo 2 de los viajes en globo (del cual tenemos identificadas las 
variables de decisión) se trata de maximizar los ingresos de la empresa, ya que 
se indica “combinación óptima de viajes necesaria para maximizar los ingresos”; la 
forma en la que se cuantican los ingresos es multiplicando el ingreso que cada 
tipo de viaje genera por el número de viajes que se pueden comercializar. Esto 
es:
 
 :x = Cantidad de viajes de lujo que se requiere vender.
 :y = Cantidad de viajes económicos que se requiere vender.
 
3000 2000Max Z x y= + ()
Identicación de las restricciones
Las restricciones son una serie de expresiones matemáticas que indican las 
relaciones entre las variables de decisión y las limitantes de la organización. 
Tales expresiones son desigualdades o igualdades lineales. Las limitantes de toda 
50 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
organización pueden clasicarse de manera general en limitantes físicas, políticas 
de la organización y limitantes externas a la empresa. Ejemplos de limitantes son: 
disponibilidad de recursos humanos, materiales, tecnológicos, y políticas como 
las regulaciones ociales, y externos como la demanda de los clientes. El siguiente 
esquema indica algunas limitantes de toda organización:
 
Las restricciones son las limitantes o condiciones que las variables de decisión 
deben satisfacer para constituir una solución del modelo de programación lineal.
Para el ejemplo 2 de los viajes en globo, tenemos las variables de decisión y la 
función objetivo, ecuación (), y como se ha indicado es necesario expresar las 
restricciones en términos de las variables de decisión:
 :x = Cantidad de viajes de lujo que se requiere vender.
 :y = Cantidad de viajes económicos que se requiere vender.
 
3000 2000Max Z x y= + ()
Para plantear las limitantes o condiciones que las variables deben cumplir se 
debe extraer información del planteamiento, primero identicado las limitantes o 
recursos del mismo, en este caso se sabe que “en un día sólo se pueden vender a lo más 
6 viajes de cualquier tipo” y “la empresa cuenta con 12 cilindros de gas en total”, lo cual 
indica claramente las limitantes de la política de ventas y la disponibilidad de los 
recursos materiales, y segundo, identificando la forma en la que se relacionan las 
variables de decisión con las limitantes. 
Matemáticas para negocios 51
Entonces, el número total de viajes que se puede vender debe ser menor o igual 
a 6 viajes:
 6x y+ ≤ (1) Cantidad de viajes vendidos en un día.
Y la cantidad de cilindros de gas que se utilizan en cada tipo de viaje (tres en los 
viajes de lujo y dos en los económicos) debe ser menor a 12 cilindros que son con 
los que cuenta la compañía:
 3 2 12x y+ ≤ (2) Cantidad de cilindros disponibles para los viajes.
Además de todas la restricciones del modelo, en todo modelo de programación 
lineal se debe incluir la condición de no negatividad que indica que todas las 
variables del modelo deben ser iguales o mayores a cero: 
 , 0x y ≥ (3) Condición de no negatividad (CNN).
Cabe mencionar que esta última restricción no se utiliza como una ecuación en 
sí pero debe cumplirse, ya que no puede considerarse una solución factible si una 
de las variables de decisión toma un valor negativo; por ejemplo, no se puede 
“vender” una cantidad negativa de viajes en globo. 
Una vez que se han establecido todas las restricciones del modelo, se escriben juntas 
la función objetivo y las restricciones para formar el modelo de programación 
lineal:
 3000 2000Max Z x y= + ()
 sujeto a
 6x y+ ≤ (1) Cantidad de viajes vendidos en un día.
 3 2 12x y+ ≤ (2) Cantidad de cilindros disponibles para los viajes.
 , 0x y ≥ (3) Condición de no negatividad (CNN).
Donde la ecuación () es la función objetivo y las ecuaciones (1) a (3) son las 
restricciones del modelo de programación lineal.
Se observa que aunque la construcción de modelos obedece a un planteamiento 
lógico de la información presentada, también es importante dejar claro que no 
existe una metodología especíca y puntual para construir modelos,  lo cual es 
considerado por algunos autores como un arte, y que la misma construcción y 
complejidad del modelo dependen totalmente del problema a resolver. Asimismo, 
52 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
debe considerarse que los modelos matemáticos pueden tener n variables y m 
restricciones, y que dependiendo del número de variables con que cuenta el 
modelo se selecciona el método de solución adecuado. 
2.2.  Solución gráca
La solución de un modelo de programación lineal es el siguiente paso después 
de obtener el modelo matemático de un problema. Para seleccionar el método de 
solución se requiere considerar la cantidad de variables de decisión del modelo 
matemático; cuando se tienen dos variables de decisión puede obtenerse la 
solución de manera gráca; sin embargo, cuando se tienen más de dos variables 
a gracar se torna complejo y por esta razón se han desarrollado otros métodos 
que se estudiarán más adelante. 
El método gráco para encontrar la solución de modelos de programación lineal 
es el siguiente:
  •  Se requiere un modelo PL.
  •  Se gracan las restricciones como desigualdades y se indican cada una de 
ellas.
  •  Se halla  la  región  factible  (región de posibles soluciones) y se señala en  la 
gráca.
  •  Se graca la función objetivo.
  •  Se desplaza la función objetivo hasta encontrar la solución óptima.
Aunque son pocos los ejemplos reales de dos dimensiones, éstos sirven como 
antecedente para comprender mejor el método analítico de solución que se 
estudiará más adelante, el cual se utiliza para resolver problemas de PL de n 
variables. 
Por otra parte realizaremos un análisis de sensibilidad, el cual consiste en estudiar 
el comportamiento de la solución óptima de un modelo cuando los coecientes de 
la función objetivo o las cantidades limitantes de las restricciones se modican. 
Se debe tener presente que existen problemas cuya solución no existe o bien no es 
única, lo cual se presenta continuamente en la realidad.
Matemáticas para negocios 53
2.2.1.  Gráca de rectas y desigualdades
Para utilizar el método gráco se requiere gracar rectas y desigualdades asociadas 
a la función objetivo y a cada restricción respectivamente, y debido a esta razón 
revisaremos los siguientes apartados.
Una línea recta es un objeto geométrico que ha sido denido por diversos autores 
con características bien denidas, las cuales utilizaremos para dibujarlas.
La ecuación general de una línea recta es de la forma Ax + By + C = 0, donde 
A, B y C son números reales. Ésta es una ecuación de primer orden con dos 
incógnitas que tiene un grado de libertad, esto quiere decir que podemos dar un 
valor arbitrario a cualquiera de las incógnitas y después despejar el valor de la otra 
variable, el cual queda determinado por el primer valor arbitrario que utilizamos. 
Otra forma de expresar la ecuación de una recta es la forma ordinaria y mx b= + ; 
donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen.
La pendiente m de una recta responde a la expresión 0
0
y y
m
x x
−= − , y todos los puntos 
(x,y) que cumplan esta relación pertenecen a la misma recta. Por otro lado, la 
ordenada al origen b indica la ordenada del punto de intersección de la línea recta 
con el eje y.
Gráca de rectas
Para  gracar  líneas  rectas  consideraremos  que  sólo  necesitamos  obtener  dos 
puntos de una misma recta; para obtener dichos puntos podemos utilizar dos 
caminos:
 1. Partiendo de la ecuación general Ax + By + C = 0 se da un valor arbitrario 
a una de las dos variables y se despeja o resuelve la ecuación para la otra 
variable. Como se indica, puede sustituirse cualquier valor;sin embargo, 
se recomienda sustituir el valor de cero para las dos variables (no al mismo 
tiempo), ya que esto  facilita  los cálculos y  la construcción de una gráca 
más precisa y con esto se determinan los puntos de intersección de la recta 
con los ejes coordenados.
54 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
Obtener la gráca de la ecuación  2 6 6 0x y+ − = .
Comenzamos por sustituir arbitrariamente el valor de 0x = en la ecuación 
general de la recta dada y resolver la expresión para y , con lo que se tiene:
 ( )2 0 6 0y+ − =
 0 6 0y+ − =
 6y =
Esto nos indica un primer punto por donde pasará nuestra recta, el punto es ( )1 0,6P = .
Ahora sustituimos el valor de 0y = en la ecuación general de la recta dada y se 
resuelve la expresión para x , con lo que se tiene:
 ( )2 0 6 0x + − =
 2 6 0x − =
 2 6x =
 
6
2
x =
 3x =
Esto nos indica un segundo punto por donde pasará nuestra recta, el punto es 
2 (3,0)P = . Los dos puntos recién obtenidos se gracan sobre ejes coordenados y 
se unen mediante una línea recta, la cual representa la recta de la ecuación dada. 
La línea recta que une los dos puntos puede prolongarse tanto como se requiera 
en cualquier sentido.
 
	 Figura	2.1.	 Gráca	de	una	línea	recta	a	partir	de	la	unión	de	dos	puntos	conocidos.
Ejemplo 3 
Matemáticas para negocios 55
 2. Partiendo de la ecuación ordinaria y = mx + b , se da un valor arbitrario a una de 
las dos variables y se despeja o resuelve la ecuación para la otra variable. Como 
en la primera forma, en realidad se está realizando la misma operación; sin 
embargo, el lector puede hacer uso de la que más fácil represente su manejo.
Obtener la gráca de la ecuación  1y x= − + .
Comenzamos por sustituir arbitrariamente el valor de 0x = en la ecuación 
ordinaria de la recta dada y se resuelve la expresión para y , con lo que se tiene:
 ( )0 1y = − +
 0 1y = +
 1y =
Esto nos indica un primer punto por donde pasará la recta, el punto es ( )1 0,1P = .
Ahora sustituimos el valor de 0y = en la ecuación ordinaria de la recta dada y se 
resuelve la expresión para x , con lo que se tiene:
 0 1x= − +
 1x =
Esto nos indica un segundo punto por donde pasará la recta, el punto es ( )2 1,0P = . Los dos puntos  recién obtenidos  se gracan  sobre  ejes  coordenados y  se unen 
mediante una línea recta.
 
	 Figura	2.2.	 Gráca	de	una	línea	recta	a	partir	de	la	unión	de	dos	puntos	conocidos.
Ejemplo 4
56 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
La línea recta que une los dos puntos puede prolongarse tanto como se requiera 
en cualquier sentido, como ya se ha mencionado; sin embargo, para el estudio 
de la solución gráca de modelos de PL, la condición de no negatividad (CNN) 
limita la búsqueda de la solución al primer cuadrante del plano cartesiano, por lo 
que las grácas obtenidas sólo se muestran en el primer cuadrante. Ahora es el 
turno de presentar la forma en que se gracan las desigualdades.
Gráca de desigualdades
Toda desigualdad de dos variables tiene asociada una línea recta, la cual se 
obtiene gracando la restricción o desigualdad como una igualdad. 
Considera la desigualdad 3 2 6x y+ ≤ , y la línea recta asociada a ésta 3 2 6x y+ = .
Se sabe que una desigualdad lineal de una variable, así como una desigualdad 
lineal de dos variables, tiene por solución una región del plano cartesiano, por lo 
que para obtener dicha región se emplea el siguiente procedimiento:
  1.  Gracar la igualdad asociada a la restricción. La línea recta obtenida divide 
el plano cartesiano en dos regiones.
 2. Para seleccionar la región que satisface la desigualdad, se toma un punto 
cualquiera del plano cartesiano. Este punto se sustituye en la desigualdad.
 3. Si la desigualdad se cumple, entonces la región donde tomamos el punto es 
la región solución. Si no satisface la desigualdad, entonces la región solución 
es la opuesta a donde tomamos el punto.
Ejemplo 5
Matemáticas para negocios 57
Con la desigualdad 3 2 6x y+ ≤ sabemos que la línea recta asociada a la igualdad 
es 3x + 2y = 6, de la cual obtenemos los puntos P
1
 = (0,3) y P
2
 = (2,0), con la 
metodología mencionada en la sección de gráca de rectas, gracando estos dos 
puntos sobre los ejes coordenados y uniendo los puntos con una línea recta como 
se muestra en la Figura 2.3.
 
	 Figura	2.3.	 Gráca	de	una	línea	recta	a	partir	de	la	unión	de	dos	puntos	conocidos.
Para seleccionar la región que satisface la desigualdad, se toma el punto ( )3,4 y 
se sustituye en la desigualdad 3 2 6x y+ ≤ , lo cual queda como: 
 + ≤3(3) 2(4) 6 
 + ≤9 8 6 
 ≤17 6 
Como no se cumple la desigualdad, quiere decir que el punto escogido para la 
prueba no pertenece a la región solución de la desigualdad y, por lo tanto, debe 
tomarse la región opuesta a donde pertenece el punto probado. Lo anterior se 
esquematiza en la Figura 2.4.
 
Figura	2.4.	 Gráca	de	una	desigualdad	y	el	punto	de	prueba	(3,4).	La	parte	sombreada	indica	la	región	
solución	de	la	desigualdad	incluida	la	línea	recta.
Ejemplo 6
58 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
Es importante hacer notar la diferencia entre las desigualdades de la forma < y ≤ 
o > y ≥ , por ejemplo, si se tiene la desigualdad 5 3 0x y+ > la línea recta asociada 
a la igualdad no es parte del conjunto solución de esta desigualdad. En general se 
indica con los signos ≤ y ≥ para incluir la línea recta en la región solución y con 
< o > para no incluirla.
Es común encontrar restricciones o desigualdades del tipo L1: 4x ≤ o L2: 2y ≥ , 
por ejemplo, las cuales se representan también con líneas rectas horizontales y 
verticales respectivamente como se observa en la Figura 2.5. 
 
Figura.	2.5.	 Gráca	de	desigualdades	del	tipo	L1: ≤ 4x 	o		L2: ≥ 2y .	Las	echas	indican	la	región	solución	
de	cada	desigualdad.
2.2.2. Región factible
La región factible o región de soluciones factibles es una región del plano cartesiano 
donde se satisfacen todas las restricciones de un modelo de programación lineal 
y, por tanto, en ella se encuentran las probables soluciones del modelo. Existen 
diferentes tipos de región factible e incluso problemas que no tienen región factible 
debido a las condiciones que las restricciones imponen. 
En  un  solo  sistema  coordenado  se  graca  el  conjunto  de  restricciones  (rectas 
llamadas fronteras y regiones) cuya intersección será la región factible; es importante 
señalar la región factible de cada modelo, por ejemplo, sombreando la región, con 
una letra “R” o con el símbolo Ω, como algunos autores lo aconsejan.
Matemáticas para negocios 59
Encuentra la región factible asociada al modelo de programación lineal:
 2 1
Min Z x x= + ()
 Sujeto a
 1
5x ≤ (1)
 2
3x ≤ (2)
 1 2
3
3
5
x x+ ≤ (3)
 CNN 1 2, 0x x ≥
Las restricciones (1) y (2) son vertical y horizontal respectivamente, para la 
restricción (3) se obtienen dos puntos y se gracan las tres desigualdades en un 
mismo plano cartesiano. Sin embargo, para este ejemplo se gracan por separado 
para al nal juntar las tres grácas.
La gráca de  1 5x ≤ es: 
 
La región solución está hacia la izquierda de la restricción 1, ya que se requiere 
que los valores de 1x sean menores o iguales a cinco, se incluye la recta en la 
región solución debido a la igualdad.
La gráca de  2 3x ≤ está dada por:
 
La región solución está hacia abajo de la recta representada por la restricción 2, 
ya que se requiere que los valores de 2x sean menores o iguales a tres, se incluye 
la recta en la región solución debido a la igualdad.
Ejemplo 7
60 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
Para la restricción 3, primero se obtienen dos puntos, como se presentó en la 
sección de gráca de rectas con la ecuación  1 23 35 x x+ ≤ :
Si 1 0x = , entonces ( ) 23 0 35 x+ =
 20 3x+ =
 2 3x =
El primer punto es ( )1 0,3P = .
Si 2 0x = , entonces ( )13 0 35 x + =
 
1
3
0 3
5
x + =
 1
5
3
3
x
 =   
 1 5x =
El primer punto es ( )2 5,0P = .
Los puntos ( )1 0,3P = y ( )2 5,0P =  se gracan en un plano cartesiano y se unen 
con una línea recta,como se muestra a continuación:
 
La última acción para encontrar la región factible del modelo es empalmar las 
tres  grácas  en  una  sola  y  señalar  la  región  factible  como  la  región  donde  se 
cumplen todas las restricciones, es decir, la región donde se traslapan todas las 
regiones solución de cada restricción.
 
Matemáticas para negocios 61
Observamos que la región donde se cumplen todas las restricciones en este 
ejemplo es el polígono que se forma en la parte inferior izquierda de la gráca, 
por lo tanto, la gráca de la región factible del modelo de programación lineal 
es la siguiente:
 
La región factible del modelo de programación lineal es el polígono sombreado 
de la gráca anterior. Cabe mencionar que, como en toda gráca, es necesario 
indicar qué variable está en cada uno de los ejes de las abscisas y las ordenadas, 
además de escribir la escala de la gráca, ya que en algún momento se realizan 
lecturas de estos valores; por último, se observa que todas las restricciones 
están  etiquetadas  para  su  fácil  identicación  y  manejo  en  la  gráca  de  la 
región factible.
El  ejemplo  anterior  se  desarrolló  gracando  por  separado  cada  una  de  las 
restricciones; sin embargo, como ya se ha mencionado, este proceso se puede 
llevar a cabo en una sola gráca desde el principio.
A continuación se presentan los diferentes tipos de regiones factibles, así como los 
casos especiales cuando no existe solución a un modelo de PL.
Región factible acotada
La región factible es acotada si la región que se obtiene se encuentra dentro de un 
polígono irregular que contiene todos los puntos solución del modelo, las líneas 
del polígono también pertenecen a la región factible, ya que estamos trabajando 
con desigualdades donde la igualdad se incluye. Cabe mencionar que en este tipo 
de región factible es posible generar polígonos tanto regulares como irregulares.
62 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
La región factible que a continuación se presenta es acotada.
 
	 Figura	2.6.	 Región	factible	acotada.
En la Figura 2.6. se observa cómo se forma un polígono irregular correspondiente 
a la región factible de este ejemplo.
Región factible no acotada
La región factible es no acotada, cuando puede extenderse indenidamente hacia 
algún extremo del plano cartesiano.
La región factible que a continuación se presenta es no acotada. 
 
	 Figura	2.7.	 Región	factible	no	acotada.
Como en los ejemplos anteriores, las echas en la Figura 2.7. indican la región 
solución de cada desigualdad. En la misma gura se observa que no se forma un 
polígono para la región o zona factible, a diferencia de esto la región factible se 
extiende indenidamente hacia la extrema derecha del plano cartesiano. 
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Matemáticas para negocios 63
Región no factible
Otro  resultado  importante  en  el  método  gráco  se  reere  a  las  regiones  no 
factibles, esto quiere decir que existen modelos PL que no tienen solución debido 
a las condiciones y limitantes a las que están sujetos, es decir, el problema no 
puede ser resuelto y, por lo tanto, no se puede obtener una región factible asociada 
al modelo. Cuando un modelo tiene región no factible, quiere decir que no existe 
una región factible para el modelo en estudio.
La siguiente es una región no factible. Es decir, no existe una región factible 
donde se pueda buscar una solución potencial al modelo matemático al cual 
pertenece la gráca.
 
	 Figura	2.8.	 Región	no factible.
De la Figura 2.8. se puede concluir que no existe una región donde se cumplan 
todas  las restricciones gracadas,  lo más que encontramos son zonas donde se 
satisfacen dos restricciones a la vez, sin embargo, para tener una región factible, 
es estrictamente necesario generar una zona donde se satisfagan todas las 
restricciones del modelo; por lo tanto, esta región es una región no factible. 
La importancia de la región no factible radica en que este resultado nos lleva a 
concluir que el modelo no tiene solución tal como está planteado; sin embargo, 
al modicar el modelo o hacer más exible alguna de las restricciones, quizás el 
modelo pueda tener solución. Más adelante se presenta un estudio que permite 
identicar estos aspectos.
Ejemplo 10
64 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
2.2.3. Punto óptimo 
Una vez que se ha obtenido la región factible –si ésta existe– de un problema, es 
momento de localizar el punto óptimo en la gráca generada y para tal efecto es 
necesario gracar la recta asociada a la función objetivo del modelo PL. 
Para  gracar  la  función  objetivo  simplemente  se  toma  un  par  ordenado  que 
pertenezca a la región factible y se sustituye en la función Z, después se obtienen 
los puntos restantes de la recta por sustitución.
Cuando se tiene la gráca de la función objetivo, la línea recta que se obtuvo se 
desplaza de manera paralela a la recta original hasta alcanzar el último punto de 
la región factible sin salirse de la misma, considerando lo siguiente:
 i) Para maximizar se desplaza hacia la derecha y arriba de la región factible.
 ii) Para minimizar se desplaza hacia la izquierda y debajo de la región factible.
Es importante recordar que los desplazamientos siempre se realizan de forma 
paralela a la gráca de la recta de la función objetivo.
Una forma de realizar los desplazamientos abarca los siguientes pasos:
 1. Alinear una escuadra sobre la función objetivo.
 2. Apoyar el otro lado recto de la escuadra sobre una regla o escuadra.
 3. Desplazar la primera escuadra hacia la izquierda o derecha, según 
corresponda, de la región factible hasta el último punto de la misma.
El punto localizado por este método se le conoce como punto óptimo del modelo 
y representa los valores de la variables de decisión del problema, lo cual quiere 
decir que con este punto podemos interpretar la solución de un modelo.
Del ejemplo 8 recuperamos la región factible generada para gracar la función 
objetivo del modelo PL sobre la región factible.
Matemáticas para negocios 65
Resolver el modelo:
 2 1
Min Z x x= + ()
 Sujeto a
 1
5x ≤ (1)
 2
3x ≤ (2)
 1 2
3
3
5
x x+ ≤ (3)
 CNN 1 2, 0x x ≥
Donde la región factible se muestra en la Figura 2.9.
 
	 Figura	2.9.	 Región	factible	acotada.
Para gracar la función objetivo se toma el punto (0,1), por ejemplo, ya que está 
dentro de la región factible, y se sustituye en 2 1Z x x= + :
 ( )0,1 0 1Z = +
 ( )0,1 1Z =
Y con este resultado se buscan todos los puntos de la recta 2 1 1x x+ = para gracarla sobre la región factible. (Figura 2.10.)
 
	 Figura	2.10.	 Gráca	de	la	función	objetivo	sobre	la	región	factible	acotada.
Como el objetivo de este ejemplo es minimizar, tendremos que desplazar la 
función objetivo de manera paralela hacia la izquierda de la región factible 
Ejemplo 11
66 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
hasta alcanzar el último punto de la misma con la función, como se muestra en 
la Figura 2.11.
 
	 Figura	2.11.	 Desplazamiento	de	la	función	objetivo	sobre	la	región	factible	con	escuadras.
El último punto que se toca de la región factible con este desplazamiento es (0,0). 
Entonces, el punto óptimo del modelo es (0,0), lo cual quiere decir que el valor de 
las variables de decisión son 1 0x = y 2 0x = ; con un valor mínimo de 0.Z = El 
resultado de este modelo es de tipo didáctico; sin embargo, se resolverán modelos 
con resultados diferentes.
Una forma analítica de encontrar el punto óptimo de un modelo PL de dos 
variables proviene de aplicar un teorema (el cual no se demuestra en este texto) 
que asegura que la solución óptima de un problema (al maximizar o minimizar 
la función objetivo) se encuentra en uno de los vértices de la región factible.
Con base en lo anterior, lo que debe hacerse es identicar los puntos de todos los 
vértices de la región factible y evaluarlos en la función objetivo. Si el propósito es 
maximizar, se selecciona el punto con resultado máximo en la función objetivo; 
en caso de minimizarse escoge el punto cuyo valor en la función objetivo 
sea mínimo. Este método es más preciso por ser analítico, sin embargo, es 
indispensable obtener la región factible y después estudiar el comportamiento de 
los vértices en la función objetivo en lugar de los desplazamientos. De cualquier 
forma es indispensable señalar el punto óptimo en la región factible, como se 
muestra en la Figura 2.12.
 
	 Figura	2.12.	 La	función	objetivo	desplazada	sobre	el	punto	óptimo	de	un	modelo	PL.
Matemáticas para negocios 67
Existen algunos casos especiales en cuanto a las posibles soluciones de modelos 
de programación lineal, por ejemplo, cuando la función objetivo es paralela a 
una de las fronteras de la región factible se tiene una innidad de soluciones, ya 
que toda la frontera contiene soluciones al modelo PL. 
Para  concluir  con  la  solución  gráca  de  modelos  de  programación  lineal  se 
deben interpretar los resultados obtenidos para la implantación de la solución. 
Para mostrar todo el proceso relacionado con el método gráco, retomaremos el 
ejemplo 2 y su desarrollo completo.
Una empresa comercializa dos tipos de viaje en globo aerostático, uno llamado 
de lujo y el segundo llamado económico a un precio de $3,000.00 y $2,000.00 
respectivamente. Saben que en un día sólo pueden vender a lo más 6 viajes 
de cualquier tipo, debido a que tienen prohibido volar de noche por razones 
de seguridad. Cada viaje de lujo requiere de tres cilindros de gas y cada viaje 
económico sólo dos cilindros; la empresa cuenta con 12 cilindros de gas en total. 
Con esta información se desea conocer la combinación óptima de viajes necesaria 
para maximizar los ingresos de la empresa.
Se denen las variables de decisión:
 :x = Cantidad de viajes de lujo que se requiere vender.
 :y = Cantidad de viajes económicos que se requiere vender.
Se establece el modelo PL:
 3000 2000Max Z x y= + ()
 Sujeto a
 6x y+ ≤ (1) Cantidad de viajes vendidos en un día.
 3 2 12x y+ ≤ (2) Cantidad de cilindros disponibles para los viajes.
 , 0x y ≥ (3) Condición de no negatividad (CNN).
Ejemplo 12
68 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
La región factible asociada a este modelo con la función objetivo desplazada 
hacia la derecha de la región se ve como:
 
En este caso la función objetivo es paralela a una de las fronteras que contiene un 
punto óptimo, es decir, se tienen infinidad de soluciones; sin embargo, debe notarse 
que el problema de la comercialización de globos obedece a que las variables de 
solución tengan un valor entero, ya que no se puede vender una fracción de viaje, 
por lo tanto se pueden identicar tres puntos solución para este problema que son 
(0,6), (2,3) y (4,0); es decir, se requiere vender sólo seis viajes económicos, o dos 
viajes de lujo y tres económicos, o sólo cuatro viajes de lujo para tener un ingreso 
máximo de $12,000.00Z = para los tres casos; por lo que la implantación de la 
solución puede ser cualquiera de las tres presentadas.
2.2.4.  Análisis gráco de sensibilidad 
Debido a que los sistemas con los que se trabaja son dinámicos y no estáticos, 
es necesario realizar un análisis de sensibilidad para conocer cómo se afecta la 
solución a un modelo cuando se modican los coecientes de la función objetivo 
o las cantidades limitantes del modelo.
Cambio en los coecientes de la función objetivo
Los coecientes de la función objetivo representan la utilidad o costo unitario de cada 
uno de los bienes o servicios, y por esta razón un cambio en alguno de estos datos 
representará una modicación a la función objetivo, para lo cual se considera que la 
solución se mantendrá en el mismo vértice mientras la pendiente m de la recta asociada 
a la función objetivo sea tal que 
i jR R
m m m≤ ≤ ; siendo 
iR
m y 
jR
m las pendientes de 
las fronteras de la región factible cuya intersección forma el vértice solución. Como 
se muestra en la Figura 2.13. donde las curvas punteadas indican el cambio que la 
pendiente de la función objetivo puede tener sin modicar la solución del problema.
Matemáticas para negocios 69
 
	 Figura	2.13.	 Rango	de	movimiento	de	la	pendiente	m	de	la	función	objetivo	sin	cambiar	la	solución.
En la Figura 2.13. se observa que si la pendiente de la función objetivo cambia 
más que la diferencia 
2 1R R
m m− , se tendrá una solución diferente como se ve en 
la Figura 2.14. para el mismo ejemplo.
 
	 Figura	2.14.	 Cambio	de	la	pendiente	m	de	la	función	objetivo	que	ocasiona	se	modique	la	solución.
Al comparar las Figuras 2.13. y 2.14. puede identicarse la misma región factible 
en ambas guras, pero con la diferencia en el valor de la pendiente de la función 
objetivo, lo que provoca que la solución al modelo haya cambiado del vértice 
central al vértice inferior de la misma región factible.
Por lo anterior se concluye que la solución de un modelo de PL puede modicarse 
si los cambios realizados en los coecientes de la función objetivo afectan el valor 
de la pendiente de la recta asociada a esta función, de tal forma que se modique 
el valor de la pendiente a otro valor diferente y que este cambio sobrepase el rango 
que las pendientes del vértice solución le permiten.
Cambio en las cantidades limitantes
Cuando cambia alguna de las cantidades limitantes, la región factible cambia 
su tamaño, por lo que el vértice solución puede cambiar. Al realizar el análisis 
debemos cuidar que el cambio que se haga no provoque una región no factible. 
70 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
Para mostrar el efecto de un cambio en las cantidades limitantes del modelo se 
presenta el siguiente ejemplo.
Sea el modelo:
 
75 45Max Z x y= + ()
 Sujeto a
 
6 4 24x y+ ≤ (1) 
 
3 4 18x y+ ≤
 
(2)
 CNN , 0x y ≥ (3)
La región factible asociada a este modelo es:
 
Entonces, si se aplica un cambio en una de las restricciones, por ejemplo el cambio 
de 6 4 24x y+ ≤ a 6 4 30x y+ ≤
 
Se genera un aumento en la región factible y, como cambian los vértices, también 
se modica la región, lo cual se indica con la parte sombreada de la gura cuya 
frontera es la restricción 2R ′ . De manera general se puede decir que pequeños 
incrementos en las cantidades limitantes de las restricciones generan pequeños 
aumentos en la región factible y viceversa con los decrementos.
Ejemplo 13
Matemáticas para negocios 71
2.3. Desigualdades lineales: Casos de inversión y 
 distribución
Como una aplicación del modelo de programación lineal se encuentran los casos 
de inversión y distribución, los cuales generalmente están sujetos a múltiples 
restricciones que dependen de diversos contextos, desde reservas de capital hasta 
cantidad de orígenes y destinos de un problema de distribución.
El problema de un caso de inversión puede ser la selección óptima de los 
instrumentos  nancieros  que  conforman  un  portafolio  de  inversiones  donde 
las restricciones quizás estén asociadas al riesgo de cada instrumento, a la 
tasa de rendimientos o al plazo de que cada uno maneje. Otro problema útil 
en  los negocios puede ser  la  selección de diferentes  fuentes de nanciamiento, 
ya que generalmente los negocios requieren buscar recursos de varias fuentes y 
por esta razón la toma de decisiones debe apoyarse en información cuantitativa 
proveniente de la solución de modelos matemáticos. Las variables de decisión 
serían  la  cantidad  de  unidades  que  deben  ser  nanciadas  por  cada  opción  de 
nanciación y  la nalidad es maximizar  los  ingresos o minimizar  los pagos 
del nanciamiento. 
Para realizar una inversión se puede seleccionar entre cinco instrumentos 
diferentes  clasicados  con  nivel  de  riesgo  1,  2  y  3,  donde  1  es  el  nivel  más 
bajo y 3 el más alto. El nivel de riesgo de cada instrumento se muestra en la 
siguiente tabla:
Instrumento Nivel de riesgo Costo unitario Rendimiento
A 1 2 5%
B 2 7 8%
C 2 3 6%
D 3 10 12%
E 3 14 15%
La empresa tiene una política de no manejar riesgos combinados de más 
de siete unidades,es decir, que la suma del nivel de riesgo de todos los 
tipos de instrumentos adquiridos sea mayor a este riesgo combinado. Además, 
consideran que el capital máximo disponible es de $126,472.00.
Ejemplo 14
72 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
Para este caso de inversión es claro que las limitantes son el riesgo combinado de 
“7” unidades y el capital disponible de “$126,472.00” y estas limitantes generarán 
dos desigualdades de la forma: “expresión del riesgo combinado” 7≤ y “expresión del costo 
total inversión” 126,472≤ . En este ejemplo sólo se especica la relación de los casos de 
inversión y las desigualdades lineales, el modelo completo se obtendrá más adelante.
Otro problema útil y práctico es el relacionado con la distribución de productos, ya 
que toda actividad comercial está relacionada con el transporte de materia prima, 
insumos de ocina, distribución de productos, transporte de desechos de procesos 
e incluso transporte de personal. En este caso, las variables de decisión serían la 
cantidad de productos a distribuir de cada origen a cada uno de los diferentes destinos, 
con el propósito de minimizar los costos de transporte de toda la operación.
Una distribuidora de cartuchos para impresora que da servicio a domicilio tiene 
dos ocinas y tres clientes ubicados en diferentes puntos de la ciudad. Los costos 
unitarios de transporte se muestran en la siguiente tabla:
Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3
Ocina 1 4 3 8
Ocina 2 2 5 5
En cada ocina tienen 10 y 20 cartuchos de impresora respectivamente y cada 
cliente requiere al menos 7 cartuchos. Con esta información se desea conocer la 
combinación óptima de envíos para tener un costo de distribución mínimo.
Para este planteamiento se observa que las desigualdades asociadas a las 
restricciones del modelo pueden plantearse como 21≤ “número de cartuchos 
enviados” 30,≤ que en realidad son dos desigualdades.
En general, los problemas de inversión y distribución se relacionan con las 
desigualdades de manera tal que se generan las restricciones de un modelo, es 
decir, cada una de las condiciones que un problema debe cumplir. 
De manera práctica, los modelos que representan casos de inversión y distribución 
cuentan con más de dos variables, por lo que más adelante se resuelven ejemplos 
de este tipo de problemas.
Ejemplo 15
Matemáticas para negocios 73
2.4. Aplicaciones de la optimización en la toma de 
 decisiones en los negocios
En esta sección se muestra cómo la optimización puede aportar información 
válida y conable para sustentar una toma de decisión; es importante remarcar 
que, a n de cuentas, el gerente o administrador es quien tomará la decisión; sin 
embargo, si se fundamenta esta decisión en resultados cuantitativos se estará en 
posición de generar mejores resultados en un negocio.
Al manejar el término negocio podríamos pensar en diferentes deniciones, y para 
evitar confusiones se presenta la siguiente denición:
Se entiende por negocio: cualquier ocupación, quehacer o trabajo que sea lucrativo 
o de interés.
De acuerdo con lo anterior: cualquier planteamiento referido a alguna actividad 
de producción, transformación, distribución o en general que se apegue a la 
denición de negocio se considera como tal; dentro de estas actividades también 
se  tienen  negocios  particularmente  especícos,  como  los  casos  de  inversión  y 
distribución.
Se cuenta con un capital de $1,125,000.00 disponible para invertir en bienes 
raíces y en instrumentos de inversión. El rendimiento de los bienes raíces es de 
4% mientras que para los instrumentos de inversión es de 12%. La institución 
que manejará la inversión requiere que para invertir en bienes raíces se tenga un 
importe mínimo de $500,000.00 y para los instrumentos de inversión un importe 
máximo de $750,000.00, debido a las reglas de sociedades de inversión.
Como responsable de tomar la decisión en este negocio, tienes que indicar la 
combinación óptima de cantidad a invertir en los bienes raíces y en los instrumentos 
de inversión para maximizar las utilidades por concepto de rendimientos de 
inversión.
Para resolver este caso de inversión utilizaremos el método gráco. 
Denición 2.4.1.
Ejemplo 16
74 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
Se denen las variables de decisión como:
 x = Cantidad a invertir en bienes raíces.
 y = Cantidad a invertir en instrumentos de inversión.
Por lo tanto, el modelo de programación lineal asociado al caso de inversión es:
 0.04 0.12Max Z x y= + () Función de la utilidad de los rendimientos.
 Sujeto a
 1125000x y+ ≤ (1) Restricción del capital disponible.
 500000x ≥ (2) Restricción del importe mínimo de inversión 
 en bienes raíces.
 750000y ≤ (3) Restricción del importe máximo de inversión 
 en instrumentos.
 CNN , 0x y ≥ (4)
Es importante notar que en la función objetivo se utilizaron los valores en 
decimales correspondientes a los porcentajes dados como rendimientos. Como 
regla general no se utilizan porcentajes en ninguna ecuación.
La región factible del modelo matemático del caso de inversión se obtiene 
gracando las restricciones del modelo.
Los puntos para gracar la restricciones son:
 1125000x y+ ≤ (1)
 Si 0x = , entonces 0 1125000y+ ≤ ; 1125000y = , lo cual genera el punto 
 ( )0,1125000 .
 Si 0y = , entonces 0 1125000x + ≤ ; 1125000x = , lo cual genera el punto 
 ( )1125000,0 .
 500000x ≥ (2)
 Esta ecuación representa una recta vertical en 500000.x =
 750000y ≤ (3)
 Esta ecuación representa una recta horizontal en 750000.y =
Matemáticas para negocios 75
Entonces, la gráca de la región factible (R) es:
 
En la gráca se han identicado los vértices de la región factible con las letras A, 
B y C para un mejor manejo de la información. Las coordenadas de los vértices 
A y C se  leyeron directamente de  la gráca. Para obtener  las coordenadas del 
vértice B, como en el punto donde se cruzan las rectas, las restricciones tienen las 
mismas coordenadas, se igualaron las ecuaciones de las restricciones R1 y R2 y 
se resolvió el sistema de ecuaciones. 
 
1125000x y+ = (1)
 500000x = (2)
Para resolver este sistema, únicamente se sustituye el valor de x en la ecuación (2) 
y se obtiene el valor de y, con estos dos valores se generan las coordenadas del 
vértice B (500000, 625000).
En este ejemplo evaluaremos los vértices de la región factible en la función 
objetivo, para posteriormente elegir el punto que genere el valor máximo en la 
función objetivo como solución al problema.
Los vértices de la región factible y su evolución en la función objetivo pueden 
expresarse como sigue:
x=500000
y=750000
x + y =1125000
 A (500000, 0); evaluado en ( )(500000,0) 0.04(500000) .12 0 20000Z = + =
 B (500000, 625000); evaluado en ( )(500000,625000) 0.04(500000) .12 625000 95000Z = + =
 C (1125000,0); evaluado en ( )(1125000,0) 0.04(1125000) .12 0 45000Z = + =
76 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
Con el vértice B se obtiene el mayor valor de la función objetivo Z, por lo que se 
indica, en la región factible, este vértice como el punto óptimo del problema.
 
La conclusión de este problema consiste en interpretar la solución obtenida y ésta 
puede ser de la forma:
“Se debe invertir $500,000.00 en bienes raíces y $625,000.00 en instrumentos 
de inversión, para obtener una utilidad máxima por concepto de rendimientos de 
$95,000.00.”
Otro caso importante en los negocios será cuando se deba decidir entre diferentes 
fuentes de nanciamiento, por esto en  la  siguiente  sección  se proponen varios 
ejercicios para su solución.
Matemáticas para negocios 77
Ejercicios
Con  el  n  de  practicar  todos  los  pasos  del  método  gráco,  se  han  propuesto 
los  siguientes  ejercicios,  desde  los  pasos  básicos  del  método  para  gracar 
desigualdades hasta la completa aplicación del método e interpretación de los 
resultados.
 
Gráca de rectas y desigualdades
  1.  Obtén la gráca de las siguientes rectas:
 a) La recta que pasa por lospuntos (3,4) y (2,1).
 b) La recta que pasa por los puntos (0,5) y (7,0).
    c)  ¿Cuál es la gráca de la ecuación  1 26 10 12x x− = ?     d) En el primer cuadrante del plano cartesiano graca la recta  1 22 6 18x x+ = .    e)  ¿Cuál es la gráca de 3 10 30x y+ > ?
    f)  En el cuadrante I del plano cartesiano graca la desigualdad 21 7 21x y+ ≤ .
Región factible
  1.  Graca la región factible asociada a cada uno de los siguientes modelos PL:
 a) 5 3Max Z x y= +
 Sujeto a 
 2 18y ≤
 2 3 12x y+ ≤
 , 0x y ≥
 b) 5 3Max Z x y= +
 Sujeto a 
 2 18y ≥
 2 3 12x y+ ≥
 , 0x y ≥
 c) 16 10Max Z x y= +
 Sujeto a 
 5 2 6x y+ ≥
 3 4 16x y+ ≤
 2 1x ≥
 , 0x y ≥
78 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
 d) 1 220 16Min Z x x= +
 Sujeto a 
 1 22 9x x+ ≥
 1 22 4 8x x+ ≥
 1 2, 0x x ≥
 e) 1 29 6Min Z x x= +
 Sujeto a 
 2 6x ≤
 1 22 4 18x x+ ≥
 1 3x ≤
 1 2, 0x x ≥
Método gráco
  1.  Resuelve los siguientes modelos PL con el método gráco.
 a) 5 3Max Z x y= +
 Sujeto a 
 2 10y ≤
 2 3 18x y+ ≤
 , 0x y ≥
 b) 5 3Max Z x y= +
 Sujeto a 
 2 4y ≥
 2 2 24x y+ ≤
 5 100x y+ ≤
 , 0x y ≥
 c) 8 5Max Z x y= +
 Sujeto a 
 2 5 6x y+ ≥
 4 3 16x y+ ≤
 2 3x ≤
 , 0x y ≥
Matemáticas para negocios 79
 d) 1 215 12Min Z x x= +
 Sujeto a 
 1 22 6x x+ ≤
 1 22 4 8x x+ ≥
 1 2, 0x x ≥
 e) 1 210 6Min Z x x= +
 Sujeto a 
 2 5x ≤
 1 22 4 18x x+ ≥
 1 3x ≥
 1 2, 0x x ≥
 2. Una empresa arma y vende dos clases de autos, uno de lujo y otro estándar; cada 
auto requiere un proceso diferente de fabricación. El auto de lujo requiere 20 horas 
de armado, 2 horas en equipamiento y produce una utilidad de $100,000.00. 
El auto estándar requiere de 10 horas de armado, 1 hora en equipamiento y 
produce una utilidad de $65,000.00. Se dispone de 1,000 horas para armado 
y 400 para equipamiento. Se ha pronosticado que la demanda para el modelo 
estándar es a lo más de 100 autos. ¿Cuál es el nivel óptimo de producción?
 3. Se desea vender dos clases de acciones de una empresa de manera telefónica 
y con apoyo de computadoras. Las acciones son de dos tipos, A y B; cada 
acción tipo A producirá una ganancia de $8.00, mientras que una de tipo B 
generará una ganancia de $3.00. Para vender una acción tipo A se necesitan 
2 minutos por teléfono y 1 minuto en la computadora. La acción tipo B 
requiere un minuto en el teléfono y 3 minutos en la computadora. Hay dos 
horas disponibles en el teléfono y cuatro horas de computadora. Suponiendo 
que todas las llamadas que se realizan concluyen con una venta y que a lo 
más se pueden vender 150 acciones tipo B, determine la combinación óptima 
de acciones vendidas que maximicen la utilidad.
  4.  Una  agencia  nanciera  maneja  $30  millones  para  nanciamiento  de 
pequeñas y medianas empresas. Conocen que la tasa anual de recuperación 
para las pequeñas empresas es de 8% y de 10% para las medianas. El comité 
técnico dictaminó que  la cantidad  total de nanciamiento a  las medianas 
empresas debe ser al menos de tres veces la cantidad total de nanciamientos 
de pequeñas empresas. ¿Cuál es el modelo de programación lineal que indica 
la  cantidad  invertida  en  cada  tipo de nanciamiento que  la  agencia  debe 
realizar para obtener el máximo monto de recuperación?
80 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
  5.  Resuelve con el método gráco el siguiente modelo:
 min 1 2
12 27Z x x= + ()
 Sujeto a:
 1 2
30x x+ ≥ (1)
 1 2
20x x+ ≤ (2) 
 1 2, 0x x ≥ CNN
Autoevaluación
 1. Es un modelo de uso común en la investigación de operación:
 a) Modelo de programación lineal.
 b) Modelo a escala.
 c) Modelo representativo.
 d) Modelo cuadrático.
 2. ¿De cuántas variables son los problemas que se pueden resolver con el método 
gráfico?
 a) 2 y 3 variables.
 b) Más de 2 variables.
 c) 2 variables.
 d) 3 variables.
 3. ¿Cuál es la solución de una desigualdad lineal?
 a) Un punto fuera del plano cartesiano.
 b) Una región del plano cartesiano.
 c) Los puntos de una línea recta.
 d) El origen.
 4. Es la zona donde se satisfacen todas las restricciones de un modelo PL.
 a) Región solución de una desigualdad.
 b) Zona de convergencia.
 c) Zona no factible.
 d) Región factible.
Matemáticas para negocios 81
 5. Si la región factible de un problema de maximización es no acotada:
 a) No hay solución.
 b) La solución es óptima pero no factible.
 c) La solución es factible pero no óptima.
    d) Hay innidad de soluciones.
 6. Cuando se tiene un polígono como región factible se dice que la región es:
 a) No factible.
 b) Inexistente.
 c) No acotada.
 d) Acotada.
 7. El punto óptimo de un modelo de programación lineal de minimización es 
aquel que:
 a) Evaluado en la función objetivo genera el valor mínimo posible.
 b) Evaluado en todas las restricciones es mínimo.
 c) Evaluado en la función objetivo genera el valor máximo posible.
 d) Evaluado en la condición de no negatividad es mínimo.
 8. Son las variables con las que se expresan la función objetivo y las restricciones 
de un modelo de PL.
 a) Variables aleatorias.
 b) Variables de decisión.
 c) Variables no controlables.
 d) Variables discretas.
 9. Un modelo PL tiene como una de sus características que todas las ecuaciones 
que los componen son de orden:
 a) Lineal.
 b) Exponencial.
 c) Cuadrático.
 d) Cero.
82 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
Respuestas a los ejercicios
Gráca de rectas y desigualdades
  1.  Obtén la gráca de las siguientes rectas:
 a)
 
 b)
 
 c)
 
 d)
 
 e) La región sombreada es la región solución y no incluye la recta, ya que es 
una desigualdad estrictamente mayor que (>).
 
Matemáticas para negocios 83
 f) La región sombreada es la región solución y sí incluye la recta, ya que es 
una desigualdad (≤ ).
 
Región factible
  1.  Graca la región factible asociada a cada uno de los siguientes modelos PL:
 a)
 
 b) Es una región factible no acotada.
 
 c)
 
    d) Es una región factible no acotada que se extiende indenidamente hacia 
la derecha del plano.
 
84 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
 e)
 
Método gráco
  1.  Resuelve los siguientes modelos PL con el método gráco.
 a) El punto óptimo es (9,0) con Z
max 
= 45.
 b) El punto óptimo es B( )10,2 con Zmax = 56 .
 c) El punto óptimo es D( )4,0 con Zmax = 32 .
 d) El punto óptimo es ( )0,2 con Zmin = 24.
 e) El punto óptimo es B( )3,3 con Zmin = 48.
 2. :x = Cantidad de autos de lujo a armar y vender.
 :y = Cantidad de autos estándar a armar y vender.
 max 100000 65000Z x y= + ()
 Sujeto a:
 20 10 1000x y+ ≤ (1) Restricción de las horas disponibles para armado.
 2 400x y+ ≤ (2) Restricción de las horas disponibles para 
 equipamiento.
 100y ≤ (3) Restricción de la demanda máxima de 
 autos tipo estándar.
 , 0x y ≥ CNN.
 
    De la gráca de la región factible se obtiene que el punto óptimo es el vértice 
B(0,100) con max 6500000Z = , lo cual quiere decir que se deben armar y 
Matemáticas para negocios 85
vender 100 autos estándar, ninguno de lujo, para tener una utilidad máxima 
de $6,500,000.00
 3. :x = Cantidad de acciones tipo A para vender.
 :y = Cantidad de acciones tipo B para vender.
 max 8 3Z x y= + ()
 Sujeto a:
 2 120x y+ ≤ (1) Restricción de las horas disponibles para 
 hablar por teléfono.
 3 240x y+ ≤ (2) Restricción de las horas disponibles de cómputo.
 150y ≤ (3) Restricción de la venta máxima de acciones
 tipo B.
 , 0x y ≥ CNN.
 
    De la gráca de la región factible se obtiene que el punto óptimo es el vértice 
D(80,0) con max 640Z = , lo cual quiere decir que se deben vender 80 acciones 
tipo A y ninguna acción tipo B, al menos para las condiciones que se tienen.
 4. 1 :x = Cantidad invertida en pequeñas empresas.
 2 :x = Cantidad invertida en medianas empresas.
 max 1 20.08 0.1Z x x= + ()
 Sujeto a:
 12 30 000 000x x+ ≤ (1) Restricción del capital para financiamiento.
 2 13x x≥ (2) Restricción propuesta por el comité técnico.
 1 2, 0x x ≥ CNN.
86 Unidad 2 ▪ Modelos de optimización
 
 El punto óptimo es el vértice B(22.5,7.5) con max 2.55Z = , pero como la escala de la gráca está en millones la interpretación es:
 “Se deben invertir $22,500,000.00 en medianas empresas y $7,500,000.00 en 
pequeñas empresas para obtener un monto máximo de recuperación de $2,550,000.00.”
 5. Como no existe una región factible para el modelo, entonces el problema no 
tiene solución.
 
Respuestas a la autoevaluación
 1. a)
 2. c)
 3. b)
 4. d)
 5. d)
 6. d)
 7. a)
 8. b)
 9. a)