Clase-12-Obligatorios-Resueltos6

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Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
 
1 
 
CLASE N° 12 - Ejercicios obligatorios 
TRABAJO PRÁCTICO: INTEGRALES IMPROPIAS 
 a,c,g,k,l,m 
EJERCICIO A 
∫ 𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥
0
−∞
 
La función 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑒𝑥 es continua en (−∞; 0]. Es impropia pues uno de los límites de integración es −∞ 
∫ 𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥
0
−∞
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
∫ 𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥
0
𝑏
= 
Resolvemos la integral definida ∫ 𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥
0
𝑏
. 
Entonces hallemos 
∫ 𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥 = |
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 1𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑣 = ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
| = 𝑥. 𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 
∫ 𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥
0
−∞
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
∫ 𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥
0
𝑏
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
[𝑥. 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥]𝑏
0 = 
 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
[(0. 𝑒0 − 𝑒0) − (𝑏. 𝑒𝑏 − 𝑒𝑏)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
[(0 − 1) − 𝑏. 𝑒𝑏 + 𝑒𝑏] = 
= −1 − 𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
[𝑏. 𝑒𝑏] + 0 = −1 − 𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
[𝑏. 𝑒𝑏] = −1 − 𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
[
𝑏
𝑒−𝑏
] 
Resulta que 𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
[𝑏. 𝑒𝑏] = ∞. 0 indeterminado 
𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
[
𝑏
𝑒−𝑏
] =
−∞
+∞
 
= −1 − 𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
[
𝑏
𝑒−𝑏
] = −1 − 𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
[
1
𝑒−𝑏 . (−1)
] = −1 − [
1
→ −∞
] = −1 − 0 = −1 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
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2400 - Matemática I 
 
 
2 
 
EJERCICIO C 
∫
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
𝑑𝑥
+∞
1
 
La integral es impropia de primera y segunda especie, uno de sus extremos de integración es infinito y 
además la función es discontinua en 𝑥 = 1, se procede entonces aplicando límite con la variable auxiliar 
“𝑏”, tendiente a más infinito, en el extremo superior y la variable auxiliar “𝑎”, tendiente a uno por la derecha, 
en el extremo inferior: 
∫
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
𝑑𝑥
+∞
1
= ∫
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
𝑑𝑥
2
1
+ ∫
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
𝑑𝑥
+∞
2
 
∫
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
𝑑𝑥
+∞
1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑎→1+
∫
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
𝑑𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
∫
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
𝑑𝑥
𝑏
2
=
2
𝑎
 
La primitiva la hallamos aplicando sustitución: 
∫
2𝑥
(𝑥2−1)2
𝑑𝑥 = 
𝑡 = 𝑥2 − 1 ⇒ 𝑑𝑡 = 2𝑥𝑑𝑥 ⟹
𝑑𝑡
2𝑥
= 𝑑𝑥, reemplazando: 
∫
2𝑥
(𝑥2−1)2
𝑑𝑥 = ∫
2𝑥
(𝑡)2
𝑑𝑡
2𝑥
= ∫ 𝑡−2 𝑑𝑡 =
𝑡−1
−1
= −
1
𝑡
+ 𝐶 =
−1
𝑥2−1
+ 𝐶 
Luego: 
∫
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
𝑑𝑥
+∞
1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑎→1+
∫
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
𝑑𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
∫
2𝑥
(𝑥2 − 1)2
𝑑𝑥
𝑏
2
=
2
𝑎
 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑎→1+
−1
𝑥2 − 1
|
𝑎
2
+ 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
−1
𝑥2 − 1
|
2
𝑏
 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑎→1+
[(
−1
22 − 1
) − (
−1
𝑎2 − 1
)] + 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
[(
−1
𝑏2 − 1
) − (
−1
22 − 1
)] = 
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3 
 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑎→1+
[−
1
3
− (
−1
𝑎2 − 1
)] + 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
[(
−1
𝑏2 − 1
) +
1
3
] =→ (−
1
3
+ ∞) + (→
1
3
) = (⟶ +∞) 
Siendo 𝑎 → 1+ ⇒ (
−1
𝑎2−1
) → −∞ y 𝑏 → +∞ ⇒ (
−1
𝑏2−1
) → 0 entonces 
La integral diverge y ∫
2𝑥
(𝑥2−1)2
𝑑𝑥
+∞
1
= +∞ 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO G 
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)
3
2
=
4
0
 
La integral es impropia de segunda especie, la función a integrar es discontinua en uno de sus extremos de 
integración, se procede entonces aplicando límite con la variable auxiliar “𝑏”, tendiente a cuatro por la 
izquierda, en el extremo superior: 
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)
3
2
=
4
0
𝑙𝑖𝑚
𝑏→4−
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)
3
2
=
𝑏
0
 
La primitiva la hallamos aplicando sustitución: 
∫
𝑑𝑥
(4−𝑥)
3
2
= |𝑡 = 4 − 𝑥 𝑑𝑡 = −𝑑𝑥 − 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥| reemplazando: 
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)
3
2
= ∫
−𝑑𝑡
(𝑡)
3
2
= − ∫ 𝑡−
3
2 𝑑𝑡 = −
𝑡−
1
2
−
1
2
= 2𝑡−
1
2 =
2
√4 − 𝑥
+ 𝐶 
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)
3
2
=
4
0
𝑙𝑖𝑚
𝑏→4−
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)
3
2
=
𝑏
0
𝑙𝑖𝑚
𝑏→4−
2
√4 − 𝑥
|
0
𝑏
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→4−
(
2
√4 − 𝑏
−
2
√4 − 0
) == 𝑙𝑖𝑚
𝑏→4−
(
2
√4 − 𝑏
− 1) = 
= (⟶ +∞) − 1 = +∞ 
La integral es divergente y ∫
𝑑𝑥
(4−𝑥)
3
2
=
4
0
+ ∞ 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Departamento de Ciencias Económicas 
 
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4 
 
EJERCICIO K 
∫
1
𝑥
1
3
𝑑𝑥
8
−1
 
La integral es impropia del segundo caso, la función a integrar es discontinua en el interior del intervalo de 
integración en 𝑥 = 0 , se procede entonces separando en dos integrales 
 
-1 0 + 0 8 
∫
1
𝑥
1
3
𝑑𝑥
8
−1
= ∫
1
𝑥
1
3
𝑑𝑥
0
−1
+ ∫
1
𝑥
1
3
𝑑𝑥
8
0
= ∫ 𝑥−
1
3𝑑𝑥
0
−1
+ ∫ 𝑥−
1
3𝑑𝑥
8
0
 
Aplicando dos límites ahora 
∫ 𝑥−
1
3𝑑𝑥
0
−1
+ ∫ 𝑥−
1
3𝑑𝑥
8
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑎→0−
∫ 𝑥−
1
3𝑑𝑥
𝑎
−1
+ 𝑙𝑖𝑚
𝑏→0+
∫ 𝑥−
1
3𝑑𝑥
8
𝑏
 
La primitiva es la misma 
∫ 𝑥−
1
3𝑑𝑥 =
𝑥
2
3
2
3
+ 𝑐 =
3
2
√𝑥2
3
+ 𝑐 
Ahora 
𝑙𝑖𝑚
𝑎→0−
∫ 𝑥−
1
3𝑑𝑥
𝑎
−1
+ 𝑙𝑖𝑚
𝑏→0+
∫ 𝑥−
1
3𝑑𝑥
8
𝑏
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑎→0−
3
2
√𝑥2
3
|
−1
𝑎
+ 𝑙𝑖𝑚
𝑏→0+
3
2
√𝑥2
3
|
𝑏
8
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑎→0−
[
3
2
√𝑎2
3
−
3
2
√(−1)2
3
] + 𝑙𝑖𝑚
𝑏→0+
[
3
2
√82
3
−
3
2
√𝑏2
3
] 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑎→0−
[
3
2
√𝑎2
3
−
3
2
] + 𝑙𝑖𝑚
𝑏→0+
[6 −
3
2
√𝑏2
3
] 
 
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5 
 
Siendo 𝑎 → 0− ⇒ √𝑎2
3
→ 0 y 𝑏 → 0+ ⇒ √𝑏2
3
→ 0 entonces 
𝑙𝑖𝑚
𝑎→0−
[
3
2
√𝑎2
3
−
3
2
] + 𝑙𝑖𝑚
𝑏→0+
[6 −
3
2
√𝑏2
3
] =
3
2
. 0 −
3
2
+ 6 −
3
2
. 0 =
9
2
 
 
La integral es convergente y ∫
1
𝑥
1
3
𝑑𝑥
8
−1
=
9
2
 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO L 
∫
1
𝑥√𝑥
𝑑𝑥
+∞
1
 
La integral es impropia del primer caso, uno de sus extremos de integración es infinito, se procede entonces 
aplicando límite con la variable auxiliar “b” , tendiente a más infinito ,en el extremo superior. Además 
debemos considerar que la función es continua en [1; +∞), y sí lo es. 
∫
1
𝑥√𝑥
𝑑𝑥
+∞
1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
∫
1
𝑥√𝑥
𝑑𝑥
𝑏
1
 
Ahora para calcular la primitiva 
∫
1
𝑥√𝑥
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥1 ⋅ 𝑥
1
2
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥
3
2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−
3
2𝑑𝑥 =
𝑥−
1
2
−
1
2
+ 𝐶 = −2𝑥−
1
2 + 𝐶 = −
2
√𝑥
+ 𝐶 
Volviendo al límite 
𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
∫
1
𝑥√𝑥
𝑑𝑥
𝑏
1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
−
2
√𝑥
|
1
𝑏
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
[(−
2
√𝑏
) − (−
2
√1
)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
[−
2
√𝑏
+ 2] 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
[−
2
√𝑏
+ 2] = 0 + 2 = 2 
La integral converge y ∫
1
𝑥√𝑥
𝑑𝑥
+∞
1
=2 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
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6 
 
EJERCICIO M 
∫
1
𝑥(ln 𝑥)2
𝑑𝑥
+∞
𝑒
 
La integral es impropia de primera especie, uno de sus extremos de integración es infinito, se procede 
entonces aplicando límite con la variable auxiliar “𝑏”, tendiente a más infinito, en el extremo superior: 
∫
1
𝑥(ln 𝑥)2
𝑑𝑥
+∞
𝑒
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
∫
1
𝑥(ln 𝑥)2
𝑑𝑥
𝑏
𝑒
 
La primitiva la hallamos aplicando sustitución: 
∫
1
𝑥(ln 𝑥)2
𝑑𝑥 = 
𝑡 = ln 𝑥 ⇒ 𝑑𝑡 =
1
𝑥
𝑑𝑥 ⟹ 𝑥𝑑𝑡 = 𝑑𝑥, reemplazando: 
∫
1
𝑥(ln 𝑥)2
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥(𝑡)2
𝑥𝑑𝑡 = ∫
1
𝑡2
𝑑𝑡 = ∫ 𝑡−2 𝑑𝑡 =
𝑡−1
−1
= −
1
𝑡
= −
1
ln 𝑥
+ 𝐶 
∫
1
𝑥(ln 𝑥)2
𝑑𝑥
+∞
𝑒
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
∫
1
𝑥(ln 𝑥)2
𝑑𝑥
𝑏
𝑒
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
−
1
ln 𝑥
|
𝑒
𝑏
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
[(−
1
ln 𝑏
) − (−
1
ln 𝑒
)] = 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
[−
1
ln 𝑏
+ 1] = −0 + 1 = 1 
La integral converge y ∫
1
𝑥(ln 𝑥)2
𝑑𝑥
+∞
𝑒
= 1 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
APLICACIONES ECONOMICAS: 
1) Una empresa vende un producto a $100.- la unidad. Si el costo total es 𝐶𝑇(𝑥) = 𝑥
2 + 20𝑥 + 500, 
obtener cuántas unidades se debe vender por día para obtener el máximo beneficio diario y calcularlo. 
 
Solución: 
Primero tenemos que hallar el beneficio / 𝐵𝑡(𝑥) = 𝐼𝑡(𝑥) − 𝐶𝑡(𝑥) 
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7 
 
El ingreso es: 𝐼𝑡(𝑥) = 𝑝. 𝑥 entonces𝐼𝑡(𝑥) = 100. 𝑥 
Si lo restamos con el Costo, obtenemos: 
𝐵𝑡(𝑥) = 100𝑥 − (𝑥
2 + 20𝑥 + 500) = −𝑥2 + 80𝑥 − 500 
𝐵(𝑥) = −𝑥2 + 80𝑥 − 500 
Hallamos el beneficio marginal 𝐵′(𝑥) = −2𝑥 + 80 
 
Utilizamos ahora la Condición de primer orden: 
𝐵′(𝑥) = 0 
−2𝑥 + 80 = 0 
𝑥 = 40 
PUNTO CRÍTICO de 1ª especie (posible máx/mínimos) 
Debemos ahora determinar si este punto crítico es máximo, mínimo o nada. 
 
Aplicamos la Criterio de la Derivada Segunda 
Calculamos 𝐵′′(𝑥) =? 
 
𝐵′′(𝑥) = −2 
𝐵′′(40) = −2 
para 𝑥 = 40 sigue dando lo mismo ya que es una constante. 
Es decir 𝐵′′(40) = −2 < 0 entonces 𝑥 = 40 es el valor que maximiza. 
 
Rta.: La demanda que maximiza el beneficio diario es de 40 artículos. 
 
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8 
 
Para hallar el beneficio máximo, hay que reemplazar el valor de la demanda 𝑥 = 40 en la función 
beneficio: 
𝐵𝑡(𝑥) = −𝑥
2 + 80𝑥 − 500 
𝐵𝑀𝐴𝑋(40) = −(40)
2 + 80. (40) − 500 = 1100 
 
Rta.: El máximo beneficio alcanzado por la venta es de 1100 u.m. 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
3) Dada la función costo total 𝐶𝑇(𝑥) = 4𝑥
2 − 14𝑥 + 10 y la función demanda 
 𝑥 = √120 − 4𝑝 . Hallar la cantidad para la cual el beneficio es máximo y calcularlo. 
Solución: 
Primero tenemos que hallar el beneficio 
𝐵 = 𝐼 − 𝐶 
𝐵 = 𝐼 − [4𝑥2 − 14𝑥 + 10] 
𝐵 = 𝑥. 𝑝 − [4𝑥2 − 14𝑥 + 10] 
𝑥 = √120 − 4𝑝 
𝑥2 − 120 = −4𝑝 
𝑥2 − 120
−4
= 𝑝 
𝑥2
−4
−
120
−4
= 𝑝 
−
1
4
∙ 𝑥2 + 30 = 𝑝 
𝐵 = 𝑥. (−
1
4
∙ 𝑥2 + 30) − [4𝑥2 − 14𝑥 + 10] 
𝐵(𝑥) = 30𝑥 −
1
4
𝑥3 − 4𝑥2 + 14𝑥 − 10 
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9 
 
𝐵(𝑥) = −
1
4
𝑥3 − 4𝑥2 + 44𝑥 − 10 
Hallamos el beneficio marginal 
𝐵′(𝑥) = −
3
4
𝑥2 − 8𝑥 + 44 
𝐵′(𝑥) = 0 
 Entonces −
3
4
𝑥2 − 8𝑥 + 44 = 0 y obtenemos 𝑥1 = 4 ; 𝑥2 = −14,67 descartamos el valor negativo y 
nos quedamos con: 𝑥1 = 4 
Debemos ahora determinar si este punto crítico 𝒙𝟏 = 𝟒 es máximo, mínimo o nada. 
Aplicamos la Condición de segundo orden: 𝐵′′ < 0 
Como 𝐵′′(𝑥) = −
3
2
𝑥 − 8 y para 𝑥 = 4 reemplazamos 
 𝐵′′(4) = −
3
2
(4) − 8 = −14 < 0 entonces 𝑥 = 4 es el valor que maximiza. 
Rta.: La demanda que maximiza el beneficio es de 4 artículos. 
 
Para hallar el beneficio máximo, hay que reemplazar el valor de la demanda 𝑥 = 4 en la función 
beneficio: 
𝐵(𝑥) = −
1
4
𝑥3 − 4𝑥2 + 44𝑥 − 10 
𝐵𝑀𝐴𝑋(4) = −
1
4
(4)3 − 4(4)2 + 44(4) − 10 = 86 
Rta.: El máximo beneficio alcanzado por la venta es de 86 u.m. 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
6) Si se conoce el Ingreso marginal de un artículo dado por: Img(𝑥) =
2
(5−𝑥)3
 hallar la expresión general 
del Ingreso total si cuando se venden 2 unidades el Ingreso total es de $ 20. 
 
Solución: 
Buscamos la función ingreso dada la función Ingreso marginal, entonces: 
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10 
 
𝐼(𝑥) = ∫ 𝐼𝑚𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
𝐼(𝑥) = ∫ 
2
(5 − 𝑥)3
𝑑𝑥 = |
𝑧 = 5 − 𝑧
𝑑𝑧 = −1. 𝑑𝑥
−𝑑𝑧 = 𝑑𝑥
| = ∫ 
2
(𝑧)3
. (−𝑑𝑧) = −2 ∫ 𝑧−3𝑑𝑧 = −2.
𝑧−2
(−2)
+ 𝐾 
∫ 
2
(5 − 𝑥)3
𝑑𝑥 =
1
𝑧2
+ 𝐾 =
1
(5 − 𝑥)2
+ 𝐾 
La solución general es 
𝐼(𝑥) =
1
(5 − 𝑥)2
+ 𝐾 
Con el dato de si 𝑥 = 2 entonces el 𝐼(2) = 20 se puede obtener una solución particular, reemplazando 
estos datos 
𝐼(2) =
1
(5 − 2)2
+ 𝐾 
20 =
1
(5 − 2)2
+ 𝐾 
20 =
1
9
+ 𝐾 
179
9
= 𝐾 
𝐼(𝑥) =
1
(5 − 𝑥)2
+
179
9
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
7) Dado el Ingreso marginal Img(𝑥) =
4 x2−4 x+1
x-1
 y el Costo marginal Cmg(𝑥) =
𝑥+2
x-2
 de un producto calcular 
la función Beneficio total si, cuando se producen 5 unidades, el mismo asciende a 300. 
Solución: 
Para hallar el Beneficio podemos buscar primero el beneficio marginal: 
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𝐵′(𝑥) = (𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥))
′
 
𝐵𝑚𝑔(𝑥) = 𝐼𝑚𝑔(𝑥) − 𝐶𝑚𝑔(𝑥) 
𝐵𝑚𝑔(𝑥) =
4𝑥2 − 4𝑥 + 1
𝑥 − 1
−
𝑥 + 2
𝑥 − 2
 
𝐵𝑚𝑔(𝑥) =
(4𝑥2 − 4𝑥 + 1) (𝑥 − 2) − (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
 
𝐵𝑚𝑔(𝑥) =
4𝑥3 − 12𝑥2 + 9𝑥 − 2 − (𝑥2 + 𝑥 − 2)
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
 
𝐵𝑚𝑔(𝑥) =
4𝑥3 − 13𝑥2 + 8𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
 
𝐵𝑚𝑔(𝑥) =
4𝑥3 − 13𝑥2 + 8𝑥
𝑥2 − 3𝑥 + 2
 
𝐵(𝑥) = ∫
4𝑥3 − 13𝑥2 + 8𝑥
𝑥2 − 3𝑥 + 2
𝑑𝑥 
 
4𝑥3 − 13𝑥2 + 8𝑥 + 0 𝑥2 − 3𝑥 + 2 
−4𝑥3 + 12𝑥2 − 8𝑥 + 0 4𝑥 − 1 
 −1𝑥2 + 0𝑥 + 0 
 +1𝑥2 − 3𝑥 + 2 
 −3𝑥 + 2 
 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 𝐶(𝑥) +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
 
4𝑥3 − 13𝑥2 + 8𝑥
𝑥2 − 3𝑥 + 2
= (4𝑥 + 1) +
(−3𝑥 + 2)
𝑥2 − 3𝑥 + 2
 
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12 
 
𝐵(𝑥) = ∫
4𝑥3 − 13𝑥2 + 8𝑥
𝑥2 − 3𝑥 + 2
𝑑𝑥 
𝐵(𝑥) = ∫ [(4𝑥 − 1) +
(−3𝑥+2)
𝑥2−3𝑥+2
] 𝑑𝑥 
𝐵(𝑥) = ∫ 4𝑥𝑑𝑥 − ∫ 1𝑑𝑥 + ∫
−3𝑥 + 2
𝑥2 − 3𝑥 + 2
 𝑑𝑥 
Donde la primera integral es inmediata y la segunda se resuelve por fracciones simples, raíces reales y 
distintas. 
−3𝑥 + 2
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
=
𝐴
𝑥 − 1
+
𝐵
𝑥 − 2
 
−3𝑥 + 2
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
=
𝐴(𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
 
−3𝑥 + 2 = 𝐴(𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 − 1) 
 
Si 𝑥 = 2 tenemos 
 −3(2) + 2 = 𝐴(2 − 2) + 𝐵(2 − 1) 
 𝐵 = −4 
 
Si 𝑥 = 1 
−3(1) + 2 = 𝐴(1 − 2) + 𝐵(1 − 1) 
−1 = 𝐴(−1) 
𝐴 = 1 
𝐵(𝑥) = ∫ 4𝑥. 𝑑𝑥 − ∫ 1𝑑𝑥 + ∫ [
1
𝑥 − 1
+
−4
𝑥 − 2
] 𝑑𝑥 
 
𝐵(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 + 𝑙𝑛|𝑥 − 1| − 4𝑙𝑛|𝑥 − 2| + 𝐾 
 
Para resolver el ejercicio debemos hallar el valor de la constante con las condiciones iniciales: 
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2400 - Matemática I 
 
 
13 
 
𝑠𝑖 𝑥 = 5 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐵 = 300, es decir: 
 
2(5)2 − (5) + 𝑙𝑛|5 − 1| − 4𝑙𝑛|5 − 2| + 𝐾 = 300 
𝐾 = 300 − 45 − ln(4) + 4 ln(3) ≈ 258 
 
Finalmente nos queda: 𝐵(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 + 𝑙𝑛|𝑥 − 1| − 4𝑙𝑛|𝑥 − 2| + 258 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
9)Dadas las siguientes funciones Costo marginal, hallar las funciones Costo total y Costo medio: 
a) 𝐶𝑚𝑔(𝑥) =
𝑒𝑥
1+𝑒𝑥
 si el costo fijo es de ln 2 
 
Solución: 
La función Costos será: 𝐶𝑇(𝑥) = ∫ 𝐶𝑚𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑥
1+𝑒𝑥
𝑑𝑥 
Resolvemos la integral por sustitución: 
∫
𝑒𝑥
1+𝑒𝑥
𝑑𝑥 entonces |𝟏 + 𝒆𝒙 = 𝒛 𝒆𝒙𝒅𝒙 = 𝒅𝒛 𝒅𝒙 =
𝟏
𝒆𝒙
𝒅𝒛| reemplazamos 
 
∫
𝑒𝑥
1+𝑒𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑥
𝑧
∙
1
𝑒𝑥
𝑑𝑧 = ∫
1
𝑧
𝑑𝑧 = 𝑙𝑛|𝑧| + 𝐶 = 𝑙𝑛|1 + 𝑒𝑥| + 𝐶 
 
Luego: 𝐶𝑇(𝑥) = 𝑙𝑛|1 + 𝑒
𝑥| + 𝐶 
 
Para resolver el problema buscamos el valor de la constante, dadas las condiciones: 
 
𝑙𝑛|1 + 𝑒0| + 𝐶 = ln(2) → 𝐶 = 0 recordar que 𝐶𝑇(0) = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜 
 
Finalmente: 𝐶𝑇(𝑥) = 𝑙𝑛|1 + 𝑒
𝑥| y 𝐶𝑚𝑒(𝑥) =
𝑙𝑛|1+𝑒𝑥|
𝑥
 
c) 𝐶𝑚𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 1)𝑒𝑥 si el costo fijo es de 30. 
 
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2400 - Matemática I 
 
 
14 
 
Solución 
La función Costos será: 𝐶𝑇(𝑥) = ∫ 𝐶𝑚𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(2𝑥 − 1)𝑒
𝑥𝑑𝑥 
Resolvemos la integral por “partes”: 
∫(2𝑥 − 1)𝑒𝑥𝑑𝑥 entonces 
 
𝑢 = 2𝑥 − 1 → 𝑢´ = 2 
𝑣´ = 𝑒𝑥 → 𝑣 = ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 
 
Entonces: 
∫(2𝑥 − 1)𝑒𝑥𝑑𝑥 = (2𝑥 − 1)𝑒𝑥 − ∫ 2. 𝑒𝑥𝑑𝑥 = (2𝑥 − 1)𝑒𝑥 − 2𝑒𝑥 + 𝐶 
 
∫(2𝑥 − 1)𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥(2𝑥 − 3) + 𝐶 
 
Luego: 𝐶𝑇(𝑥) = 𝑒
𝑥(2𝑥 − 3) + 𝐶 
 
Para resolver el problema buscamos el valor de la constante, dadas las condiciones: 
 
𝑒0(2.0 − 3) + 𝐶 = 30 → 𝐶 = 33 recordar que 𝐶𝑇(0) = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜 
 
Finalmente: 𝐶𝑇(𝑥) = 𝑒
𝑥(2𝑥 − 3) + 33 y 𝐶𝑚𝑒(𝑥) =
𝑒𝑥(2𝑥−3)+33 
𝑥
 
_________________________________________________________________________________________________________________________11) La función de Oferta para cierto objeto está dada por S(q) = 100 + 3𝑞3/2 + 𝑞5/2 , la demanda y la 
oferta están en equilibrio en 𝑞 = 9. Encontrar el superávit de los productores cuando el mercado está en 
equilibrio. 
Solución: 
Si el mercado está en equilibrio para 𝑞 = 9 implica que 
 𝑆(9) = 100 + 3(9)3/2 + (9)5/2 = 424 
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2400 - Matemática I 
 
 
15 
 
Para hallar el superávit de los productores aplicamos la siguiente fórmula: 
 𝑆𝑝 = ∫ [𝑝0 − 𝑆(𝑞)]𝑑𝑞
𝑞0
0
 donde 𝑞0 = 9 y 𝑝0 = 424 
𝑆𝑝 = ∫ [424 − (100 + 3𝑞3/2 + 𝑞5/2)]𝑑𝑞
9
0
= ∫ (324 − 3𝑞3/2 + 𝑞5/2)𝑑𝑞
9
0
 
𝑆𝑝 = [324𝑞 − 3
𝑞
5
2
5
2
−
𝑞
7
2
7
2
]
0
9
= [324𝑞 −
6
5
𝑞
5
2 −
2
7
𝑞
7
2 ]
0
9
 
𝑆𝑝 = 324(9) −
6
5
(9)
5
2 −
2
7
(9)
7
2 − 324(0) −
6
5
(0)
5
2 −
2
7
(0)
7
2 = 2916 −
1458
5
−
4374
7
 
𝑆𝑝 =$1999,54 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
12) Encontrar el superávit de los consumidores, cuando el mercado está en equilibrio si la función de 
Demanda para el aceite de oliva está dada por 𝐷(𝑞) =
16000
(2𝑞+8)3
 y si la oferta y la demanda están en 
equilibrio en 𝑞 = 6 
Solución: 
Si el mercado está en equilibrio para 𝑞 = 6 implica que 
 𝐷(6) =
16000
(2(6)+8)3
=
16000
8000
= 2 
Para hallar el superávit de los consumidores aplicamos la siguiente formula: 
𝑆𝑐 = ∫ [𝐷(𝑞) − 𝑝0]𝑑𝑞
𝑞0
0
 donde 𝑞0 = 6 y 𝑝0 = 2 
 
Entonces: 𝑆𝑐 = ∫ [
16000
(2𝑞+8)3
− 2] 𝑑𝑞
6
0
= ∫
16000
(2𝑞+8)3
𝑑𝑞
6
0
− ∫ 2𝑑𝑞
6
0
 
 
La primera integral se resuelve por sustitución y la segunda es inmediata: 
 
∫
16000
(2𝑞+8)3
𝑑𝑞
6
0
 si 2𝑞 + 8 = 𝑧 → 2𝑑𝑞 = 𝑑𝑧 → 𝑑𝑞 =
1
2
𝑑𝑧 reemplazando 
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16 
 
 
∫
16000
(𝑧)3
1
2
𝑑𝑧 = 8000 ∫
1
𝑧3
6
0
6
0
𝑑𝑧 = 8000. [−
1
2𝑧2
]
0
6
 
 
∫
16000
(2𝑞+8)3
𝑑𝑞
6
0
= 8000. [−
1
2(2𝑞+8)2
]
0
6
= 8000. [−
1
2(2(6)+8)2
+
1
2(2(0)+8)2
] 
 
∫
16000
(2𝑞+8)3
𝑑𝑞
6
0
= 8000. [−
1
800
+
1
128
]=52,50 
 
La segunda integral será: 
 
∫ 2𝑑𝑞
6
0
= [2𝑞]0
6 = 2. (6) − 2(0) = 12 
 
Finalmente el superávit será : 
 
𝑆𝑐 = ∫
16000
(2𝑞+8)3
𝑑𝑞 − ∫ 2𝑑𝑞 = 52,50 − 12 = $40,50
6
0
6
0
 
 
𝑆𝑐 = $40,50 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
13) Dadas las funciones de Oferta y Demanda, 𝐷(𝑞) = 24 − 𝑞
2 y 𝑆(𝑞) = 2𝑞 de un cierto producto se pide: 
a) el punto de equilibrio, b) el superávit de los consumidores y los productores c) graficar las funciones 
 
Solución: 
 Buscamos el punto de equilibrio: 
𝐷(𝑞) = 𝑆(𝑞) 
24 − 𝑞2 = 2𝑞 
𝑞2 + 2𝑞 − 24 = 0 
𝑞1 = 4 𝑜 𝑞2 = −6 
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17 
 
valor negativo y nos queda: 𝑞0 = 4 luego remplazo 
𝑆(𝑞) = 2𝑞 
𝑆(4) = 2. (4) = 8 
𝑝0 = 8 
𝐷(𝑞) = 24 − 𝑞2 
𝐷(4) = 24 − 42 = 8 
𝑝0 = 8 
Calculamos ahora los superávits: 
a) Del consumidor 
𝑆𝑐 = ∫ [𝐷(𝑞) − 𝑝0]𝑑𝑞
𝑞0
0
 donde 𝑞0 = 4 y 𝑝0 = 8 
 
𝑆𝑐 = ∫ [𝐷(𝑞)]𝑑𝑞
𝑞0
0
− 𝑝0. 𝑞0 
𝑆𝑐 = ∫ [24 − 𝑞2 − 8]𝑑𝑞 =
4
0
[16𝑞 −
𝑞3
3
]
0
4
= [16(4) −
(4)3
3
− 0] = 42,66 
𝑆𝑐 = $42,66 
b) Del productor 
𝑆𝑝 = ∫ [𝑝0 − 𝑆(𝑞)]𝑑𝑞
𝑞0
0
 donde 𝑞0 = 4 y 𝑝0 = 8 
𝑆𝑝 = 𝑝0. 𝑞0 − ∫ [𝑆(𝑞)]𝑑𝑞
𝑞0
0
 
𝑆𝑝 = ∫ [8 − 2𝑞]𝑑𝑞
4
0
= [8𝑞 − 𝑞2 ]0
4 = 8(4) − (4)2 − 0 = 16 
𝑆𝑝 = $16 
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18 
 
 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
EXTRA 1 
∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥
+∞
0
 
La integral es impropia del primer caso, uno de sus extremos de integración es infinito, se procede entonces 
aplicando límite con la variable auxiliar “b” , tendiente a más infinito ,en el extremo superior. Además 
debemos considerar que la función es continua en [0; +∞), y sí lo es. 
∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥
+∞
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥
𝑏
0
 
 
Ahora para calcular la primitiva 
∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥 = |
𝑡 = −𝑥
𝑑𝑡 = −1. 𝑑𝑥
−𝑑𝑡 = 𝑑𝑥
| = ∫ 𝑒𝑡. (−𝑑𝑡) = − ∫ 𝑒𝑡𝑑𝑡 = −𝑒𝑡 + 𝑐 = −𝑒−𝑥 + 𝐶 
Volviendo al límite 
𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥
𝑏
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
(−𝑒−𝑥)|0
𝑏 = 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
[(−𝑒−𝑏) − (−𝑒−0)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
[−𝑒−𝑏 + 1] = 
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2400 - Matemática I 
 
 
19 
 
En límites: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
(𝒆𝒙) = 𝟎 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
(𝒆𝒙) = +∞ 
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
[−𝑒−𝑏 + 1] = [−0 + 1] = 1 
La integral impropia es ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥
+∞
0
= 1 y por lo tanto es convergente. 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
EXTRA 2 
∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥
0
−∞
 
La integral es impropia del primer caso, posee uno de sus extremos de integración infinito, se procede 
entonces aplicando límite con la variable auxiliar “b” ,tendiente a menos infinito ,en el extremo inferior: 
∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥
0
−∞
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥
0
𝑏
 
La primitiva es directa 
𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥
0
𝑏
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→+∞
𝑒𝑥|𝑏
0 = 𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
[(𝑒0) − (𝑒𝑏)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
[1 − 𝑒𝑏] 
Siendo que 𝑏 → −∞ entonces 𝑒𝑏 → 0, luego 
𝑙𝑖𝑚
𝑏→−∞
[1 − 𝑒𝑏] = 1 − 0 = 1 
La integral es convergente y ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥
0
−∞
= 1 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
EXTRA 3 
∫
1
√𝑥
𝑑𝑥
1
0
 
La integral es impropia del segundo caso. La función a integrar 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥
 es discontinua en uno de sus 
extremos de integración, se procede entonces aplicando límite con la variable auxiliar “b”, tendiente a cero 
por la derecha, en el extremo inferior: 
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20 
 
∫
1
√𝑥
𝑑𝑥
1
0
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→0+
∫
1
√𝑥
𝑑𝑥
1
𝑏
 
 
0 1 
Resolviendo la integral indefinida 
∫
1
√𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥− 
1
2𝑑𝑥 =
𝑥
1
2
1
2
+ 𝐶 = 2√𝑥 + 𝐶 
Reemplazando 
𝑙𝑖𝑚
𝑏→0+
∫
1
√𝑥
𝑑𝑥
1
𝑏
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→0+
2√𝑥|
𝑏
1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→0+
[(2√1) − (2√𝑏)] = 𝑙𝑖𝑚
𝑏→0+
[2 − 2√𝑏] = 2 − 0 = 2 
La integral converge y ∫
1
√𝑥
𝑑𝑥
1
0
= 2 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
EXTRA 4 
∫
1
√6 − 𝑥
𝑑𝑥
6
2
 
La integral es impropia del segundo caso, la función a integrar es discontinua en el extremo superior de 
integración, se procede entonces aplicando límite con la variable auxiliar “b”, tendiente a 6 por la izquierda, 
en el extremo superior: 
2 6 
∫
1
√6 − 𝑥
𝑑𝑥
6
2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑏→6−
∫
1
√6 − 𝑥
𝑑𝑥
𝑏
2
 
Resolviendo la integral indefinida 
∫
1
√6 − 𝑥
𝑑𝑥 = |
𝑡 = 6 − 𝑥
𝑑𝑡 = −1. 𝑑𝑥
−𝑑𝑡 = 𝑑𝑥
| = ∫
1
√𝑡
∙ (−𝑑𝑡) = − ∫ 𝑡 − 
1
2 ∙ 𝑑𝑡 = −
𝑡
1
2
1
2
+ 𝐶 = −2√𝑡 + 𝐶 
Volviendo a la variable original 
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2400 - Matemática I 
 
 
21 
 
∫
1
√6 − 𝑥
𝑑𝑥 = −2√6 − 𝑥 + 𝐶 
( )
( ) ( )
6 6 2
2
6 6
1
lim lim 2 6
6
lim 2 6 2 6 2 lim 2 6 4
b b
b b
b b
dx x
x
b b
− −
− −
→ →
→ →
= − −
−
   − − − − − = − +
  

 
𝑙𝑖𝑚
𝑏→6−
[−2√6 − 𝑏 + 4] = −2.0 + 4 = 4 
La integral converge y ∫
1
√6−𝑥
𝑑𝑥 = 4
6
2
 
_________________________________________________________________________________________________________________________ 
¡Fin! 
 
¡Felicitaciones por haber llegado hasta aquí!