HT_S10_CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
MATEMÁTICA BÁSICA PARA INGENIERÍA 
 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA PARA 
INGENIERÍA 
UNIDAD II: LÌMITES, CONTINUIDAD Y RAZÒNES DE 
CAMBIO 
SESIÓN 10: 
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÒN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2019 - 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA BÁSICA PARA INGENIERÍA 
 
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 
 
Una función f(x) es continua en un punto x = a si cumple: 
 
1.- Existe 𝑓(𝑎) . 
2.- Existe lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) → ∃ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
3.- Se cumple que 𝑓(𝑎)= lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 
PUNTOS DE DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 
 
 
1. DISCONTINUIDAD NO ESENCIAL O EVITABLE 
Una función presenta discontinuidad evitable en un punto a, si existe el límite en el punto, pero la 
función en ese punto, f(a), tiene un valor distinto o no existe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. DISCONTINUIDAD ESENCIAL O NO EVITABLE 
 
Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial o no evitable cuando se 
produce algunas de las siguientes situaciones: 
 
Discontinuidad de primera especie: si los límites laterales son distintos, o al menos uno de 
ellos diverge. 
 
Discontinuidad de segunda especie: si la función, al menos en uno de los lados del punto, no 
existe o no tiene límite. 
 
2.1 DISCONTINUIDAD ESENCIAL DE PRIMERA ESPECIE 
En este tipo de discontinuidad existen tres tipos: 
 
2.1.1 DE SALTO FINITO: Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su 
valor es finito, pero no son iguales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.2 DE SALTO INFINITO :Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si 
el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Infinito
 
 
 
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2.1.3 ASINTÓTICA: Si los dos límites laterales de la función en el punto x = a son 
infinitos. 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 DISCONTINUIDAD ESENCIAL DE SEGUNDA ESPECIE 
 
Si la función no existe en uno de los lados del punto, presenta una discontinuidad de segunda 
especie en ese punto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NIVEL I 
1. Dada la función f cuya gráfica es: 
Calcula: 
a) f(2) 
b) f(4) 
c) lim
𝑥→4
𝑓(𝑥) 
d) lim
𝑥→6−
𝑓(𝑥) 
e) lim
𝑥→6+
𝑓(𝑥) f) lim
𝑥→8
𝑓(𝑥) 
Estudie también el dominio y recorrido de esta función e indica en qué puntos es continua. 
 2. Calcule los siguientes límites de la función: 
a) lim
𝑥→−3+
𝑓(𝑥) 
b) lim
𝑥→−3−
𝑓(𝑥) 
c) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) 
d) lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) 
e) lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) 
f) lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) 
g) lim
𝑥→5+
𝑓(𝑥) 
h) lim
𝑥→5−
𝑓(𝑥)
 
Indique en qué puntos es continua y los tipos de discontinuidad. 
 
3. Represente y estudie la continuidad de la función 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 2
1 𝑠𝑖 𝑥 = 2
4 𝑠𝑖 𝑥 > 2
 
 
 
4. Represente y estudie la continuidad de la función 𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 < −3
𝑥2 − 2𝑥 − 7 𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥 < 2
−7 𝑠𝑖 𝑥 > 2
 
 
 
 
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NIVEL II 
5. Calcule el valor de a y b para que sea continua la función 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
 3 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 2
𝑏𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 2
6. Halle el valor de a para que la función 𝑓(𝑥) = {
𝑎𝑥2 − 6 𝑠𝑖 𝑥 < 3
12
𝑥
− 𝑎 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
 sea continua en todos los números 
reales. 
7. Determine el valor del parámetro a para que la función 𝑓(𝑥) = { 𝑥
2 − 𝑥 + 𝑎 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
−𝑥2 + 3𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 > 1
, sea 
continua en x=1. Para a=0, determine los vértices de cada una de las parábolas. 
8. Analice la continuidad de las siguientes funciones: 
 a. 
2 1
 , si 1
( ) 1
 2 , si 1
x
x
f x x
x
 −

= −

=
 b. 
2
2
3 2
 , si 2
2 4
( )
2 4
 , si 2
4
x x
x
x
f x
x
x
x
− +

 −
=
− =
 −
 
c. 
3 8
 , 2
2
( ) 3 , 2
 2 -1 , 2
x
si x
x
f x si x
x si x
−

−
= =




 d. 
2 1 3
 , 1
1( )
2 1
 , 1
3
x x
si x
xf x
x
si x
 + + −
 
 −= 
+


 
e. 
2
 4 -2 , 1
( ) 3 - , 1 4
 6 , 4
x si x
f x x x si x
x si x


=  


 
NIVEL III 
 
9. Considere la función 𝑓(𝑥) = {𝑥
2 − 𝑚𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
 𝑥 + 𝑛 𝑠𝑖 𝑥 > 1
.Halle los valores de m y n sabiendo que f es 
continua y toma el valor 5 para x=-1.
10. Una cochera cobra S/. 1,50 por hora o fracción, durante las primeras 8 horas de estacionamiento. Si 
una automóvil se queda más de 8 horas hasta 12 horas, cobra una tarifa plana de S/. 13,00. A partir de 12 
horas hasta 24 horas, cobra una tarifa plana de S/. 16,00. 
Determine la regla de correspondencia y esboce el gráfico de la función f, que representa el pago de un 
automóvil por estacionamiento, en soles; en términos de t, que representa las horas que esta estacionado, 
para un solo día. 
¿La función es continua en todo su dominio? 
 
 
 
 
 
 
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11. Los gastos mensuales en euros, que una familia tiene en alimentación está dado por la función: 
 ( )






+
+
=
1000;
3000
2000
10000;4,0
xsi
x
x
xsikx
xf 
donde 𝑥 son los ingresos de la familia en euros. Halle el valor de 𝑘 para que los gastos sean continuos, 
es decir, no haya salto en 𝑥 = 1000. 
12. Un comerciante vende un determinado producto, y por cada X unidades cobra la siguiente cantidad: 
( )




+

=
10,60010
100;5
2 xsix
xsix
xC 
 
 Indique si la función C(x) es continua o no cuando el número de unidades es de 10. ¿Cuál es la 
interpretación económica? 
 
Referencias Bibliográficas 
 
 CÓDIGO AUTOR TITULO EDITORIAL 
1 
513 
MOI 
Moisés Lázaro “Cálculo Diferencial ” MOSHERA 
2 
510 
STE 
James Stewart “ Cálculo de una variable” CENGAGE