CLASE-11-obligatorios-resueltos7

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Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
1 
 
CLASE N° 11 - Ejercicios obligatorios 
INTEGRALES DEFINIDAS 
Ejercicio 1A 
∫ 4√𝑥
3 𝑑𝑥 
8
1
= 
Para empezar a trabajar con estos ejercicios, primero observamos si podemos aplicar alguna propiedad vista. 
∫ 4√𝑥
3
 𝑑𝑥
8
1
= 4 ∫ √𝑥
3
 𝑑𝑥
8
1
= 4 ∫ (𝑥)
1
3 𝑑𝑥
8
1
= 
 
= 4
(𝑥)
4
3
4
3
|
1
8
= 4.
3(𝑥)
4
3
4
|
1
8
= 3(𝑥)
4
3|
1
8
= [3(√8
3
)
4
] − [3(1)
4
3] = 48 − 3 = 45 
__________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 1B 
∫
𝑥 + 1
√𝑥
 𝑑𝑥
4
1
= 
En este ejercicio conviene distribuir el denominador y luego aplicar las propiedades correspondientes. 
∫
𝑥 + 1
√𝑥
𝑑𝑥
4
1
= ∫ (
𝑥
√𝑥
+
1
√𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫
𝑥1
𝑥1/2 
𝑑𝑥
4
1
+ ∫
1
𝑥1/2
𝑑𝑥
4
1
4
1
= 
 
= ∫ (𝑥)
1
2 𝑑𝑥 + ∫ (𝑥)− 
1
2 𝑑𝑥 = [
(𝑥)
3
2
3
2
+
(𝑥)
1
2
1
2
]|
1
4
= 
4
1
4
1
 
 
= [
2
3
(√𝑥)
3
+ 2√𝑥]|
1
4
= [
2
3
(√4)
3
+ 2(4)
1
2] − [
2
3
(1)
3
2 + 2(1)
1
2] = 
 
= (
16
3
+ 4) − (
2
3
+ 2) =
28
3
−
8
3
=
20
3
 
__________________________________________________________________________________________ 
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2 
 
Ejercicio 1C 
∫
1
2
∙ [cos(𝑥) + sin(𝑥)]𝑑𝑥
𝜋
2
0
= 
∫
1
2
[cos(𝑥) + sin(𝑥)]𝑑𝑥
𝜋
2
0
= ∫ [
1
2
cos(𝑥) +
1
2
sin(𝑥)]
𝜋
2
0
𝑑𝑥 = 
 
= ∫
1
2
cos(𝑥). 𝑑𝑥
𝜋
2
0
+ ∫
1
2
sin(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
0
= [
1
2
sin(𝑥) +
1
2
. (− cos 𝑥) ]|
0
𝜋
2
= 
 
= [
1
2
sin (
𝜋
2
) −
1
2
cos (
𝜋
2
)] − [
1
2
sin(0) −
1
2
cos(0)] = 
 
= [
1
2
. 1 −
1
2
. 0] − [
1
2
. 0 −
1
2
. 1] = 
=
1
2
− (−
1
2
) = 1 
__________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 1D 
∫
𝑥 cos(𝑥) + 1
𝑥
 𝑑𝑥
𝜋
𝜋
2
 
En este ejercicio conviene empezar a trabajar como lo hicimos anteriormente. 
∫
𝑥 cos(𝑥) + 1
𝑥
 𝑑𝑥 = ∫ (
𝑥 cos(𝑥)
𝑥
+
1
𝑥
) 𝑑𝑥
𝜋
𝜋
2
𝜋
𝜋
2
= 
= ∫ (cos(𝑥) +
1
𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥
𝜋
𝜋
2
𝜋
𝜋
2
𝜋
𝜋
2
= 
= [sin(𝑥) + 𝑙𝑛|𝑥|]|
𝜋
2
𝜋
= [sin(𝜋) + 𝑙𝑛|𝜋|] − [sin (
𝜋
2
) + 𝑙𝑛
𝜋
2
] = 
= [sin(𝜋) + 𝑙𝑛|𝜋|] − [sin (
𝜋
2
) + 𝑙𝑛
𝜋
2
] = [0 + ln 𝜋] − [1 + 𝑙𝑛
𝜋
2
] = 
= [0 + ln 𝜋] − [1 + 𝑙𝑛
𝜋
2
] = ln 𝜋 − 1 − 𝑙𝑛
𝜋
2
= 
log𝑐 (
𝑎
𝑏
) = log𝑐 𝑎 − log𝑐 𝑏 
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3 
 
= ln 𝜋 − 𝑙𝑛
𝜋
2
− 1 = ln
𝜋
𝜋
2
− 1 = ln (𝜋 ∙
2
𝜋
) − 1 = ln 2 − 1 
__________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 1F 
∫
1
(1 − 2𝑥)3
𝑑𝑥
0
−2
 
Al empezar a trabajar con este con este ejercicio podemos observar que no podemos hacerlo que veníamos 
haciendo, entonces tenemos que recurrir a analizar si podemos aplicar algún método de integración. 
En este caso aplicaremos el método de sustitución. 
∫
1
(1 − 2𝑥)3
𝑑𝑥 
𝑡 = 1 − 2𝑥
𝑑𝑡 = −2𝑑𝑥
𝑑𝑡
−2
= 𝑑𝑥
0
−2
 
∫
1
(𝑡)3
∙
𝑑𝑡
−2
= −
1
2
∫
1
𝑡3
𝑑𝑡 = −
1
2
∫ 𝑡−3𝑑𝑡
0
−2
0
−2
0
−2
= 
[−
1
2
𝑡−2
−2
]|
−2
0
= [
1
4
1
(𝑡)2
]|
−2
0
= [
1
4
1
(1 − 2𝑥)2
]|
−2
0
= 
= [
1
4(1 − 2.0)2
] − [
1
4[1 − 2. (−2)]2
] =
1
4
−
1
100
=
6
25
 
 
__________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 1G 
∫
1
√(8 − 𝑥)2
3
 𝑑𝑥
7
0
 
Como podemos observar acá pasa lo mismo que en el ejercicio anterior, pero como tenemos una raíz en el 
denominador conviene empezar por expresarla como un exponente fraccionario para trabajar mejor y luego 
utilizar el método correspondiente. 
∫
1
√(8 − 𝑥)2
3
 𝑑𝑥
7
0
= ∫
1
(8 − 𝑥)
2
3
 𝑑𝑥
7
0
 
Utilizamos el método de sustitución. 
∫
1
(8 − 𝑥)
2
3
𝑑𝑥
7
0
 
𝑡 = 8 − 𝑥
𝑑𝑡 = −1𝑑𝑥
−𝑑𝑡 = 𝑑𝑥
 
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4 
 
∫
1
(8 − 𝑥)
2
3
 𝑑𝑥
7
0
= ∫
1
(𝑡)
2
3
(−𝑑𝑡) = (−1) ∫
1
(𝑡)
2
3
 𝑑𝑡
7
0
7
0
= 
= (−1) ∫ (𝑡)(−
2
3
) 𝑑𝑡
7
0
= [(−1)
(𝑡)(
1
3
)
1
3
]|
0
7
= [−3(𝑡)
1
3]|
0
7
 
(−3√𝑡
3 )|
0
7
= [−3√(8 − 𝑥)
3
]|
0
7
 
(−3√8 − 7
3
) − (−3√8 − 0
3
) = −3 − (−6) = 3 
__________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 1I 
∫
𝑥
2√1 + 𝑥2
 𝑑𝑥
√3
0
 
Comenzamos haciendo lo mismo que el ejercicio anterior y luego analizamos que método de integración 
conviene realizar. 
∫
𝑥
2√1 + 𝑥2
 𝑑𝑥
√3
0
= ∫
𝑥
2(1 + 𝑥2)
1
2
 𝑑𝑥
√3
0
 
Utilizamos el método de sustitución 
∫
𝑥
2(1 + 𝑥2)
1
2
 𝑑𝑥
√3
0
 
𝑡 = 1 + 𝑥2
𝑑𝑡 = 2𝑥. 𝑑𝑥
𝑑𝑡
2𝑥
= 𝑑𝑥
 
∫
𝑥
2(1 + 𝑥2)
1
2
 𝑑𝑥 = ∫
𝑥
2(𝑡)
1
2
𝑑𝑡
2𝑥
=
1
4
∫
1
(𝑡)
1
2
 𝑑𝑡
√3
0
√3
0
√3
0
= 
=
1
4
∫ (𝑡)−
1
2 𝑑𝑥 = [
1
4
(𝑡)
1
2
(
1
2
)
]|
0
√3
= [
1
4
. 2(𝑡)
1
2]|
0
√3√3
0
= 
= [
1
2
(1 + 𝑥2)
1
2]|
0
√3
= [
1
2
√(1 + 𝑥2)]|
0
√3
= 
= (
1
2
√1 + (√3)
2
) − (
1
2
√1 + (0)2) = 1 −
1
2
=
1
2
 
 
__________________________________________________________________________________________ 
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Ejercicio 1Q 
∫ 𝑥. 𝑒𝑥
1
0
𝑑𝑥 
Para resolver esta integral tenemos que utilizar otro método de integración distinto al que veníamos trabajando. 
Utilizaremos el método de integración por partes. 
∫ 𝑥. 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥
1
0
 
𝑢 = 𝑥 
𝑑𝑢 = 1. 𝑑𝑥
 
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒𝑥
 
𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢
1
0
 
= 𝑥. 𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥
1
0
= (𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥)|0
1 = 
= (1. 𝑒1 − 𝑒1) − (0. 𝑒0 − 𝑒0) = 0 − (−1) = 1 
__________________________________________________________________________________________ 
Ejercicio 1S 
∫ 𝑥 sin(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
0
 
Para resolver esta integral utilizamos el mismo método que en el ejercicio anterior. 
𝑢 = 𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = sin(𝑥) 𝑑𝑥
𝑣 = − cos(𝑥)
 
𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢
𝜋
2
0
 
𝑥. [− cos(𝑥)] − ∫ − cos(𝑥)
𝜋
2
0
𝑑𝑥 
= −𝑥 cos(𝑥) + ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
2
0
= [−𝑥 cos(𝑥) + sin(𝑥)]|0
𝜋
2 = 
[−
𝜋
2
cos (
𝜋
2
) + sin (
𝜋
2
)] − [−(0) cos(0) − sin(0)] = 1 
∫ 𝑥 sin(𝑥)𝑑𝑥 = 1
𝜋
2
0
 
__________________________________________________________________________________________ 
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Calcular el área de las regiones encerradas por las curvas 
EJERCICIO 2A 
𝒚 = 𝒙𝟐 𝒚 = 𝟎 𝒙 = 𝟑 
 
Hay que encontrar el área formada por la curvas 𝑦 = 𝑥2 y las rectas 𝑦 = 0 y 𝑥 = 3, sí graficamos las funciones 
nos queda: 
 
Usamos la integral definida ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, para calcular el área bajo la curva 𝐴, ahora la pregunta es quién es 
𝑎, 𝑏 y 𝑓(𝑥), en este ejercicio 𝑎 = 0, 𝑏 = 3 y 𝑓(𝑥) = 𝑥2, entonces: 
𝐴 = ∫(𝑥2 − 0) 𝑑𝑥
3
0
=
𝑥3
3
]
3
0
= (
33
3
) − (
03
3
) = 9 − 0 = 9 
𝐴 = 9 𝑢. 𝑎. 
__________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 2B 
𝒚 = 𝒙𝟑 𝒚 = 𝟎 − 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 
 
Hay que encontrar el área formada por la curvas 𝑦 = 𝑥3 y las rectas 𝑦 = 0 y la variable 𝑥 entre −1 y 3 
 (−1 ≤ 𝑥 ≤ 3), sí graficamos las funciones nos queda: 
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El área buscada es la suma de 𝐴1 y 𝐴2, debo tener cuidado con el 𝐴1 ya que está por debajo del 𝑒𝑗𝑒 𝑥 y quedaría 
negativa la integral definida, entonces: 
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 
El área 𝐴2 = ∫ 𝑥
3𝑑𝑥
2
0
 
Como 𝐴1 = − ∫ 𝑥
3𝑑𝑥
0
−1
, para p der calcular el área 𝐴1, debemos asegurarnos de que nos dé el valor 
correspondiente al área, aplicando alguna propiedad de la integral definida o directamente aplicar módulo, es 
decir, 
𝐴1 = − ∫ 𝑥
3𝑑𝑥
0
−1
 o 𝐴1 = ∫ 𝑥
3𝑑𝑥
−1
0
 o 𝐴1 = |∫ 𝑥
3𝑑𝑥
0
−1
| 
Entoncesel área buscada nos queda: 
𝐴1 = − ∫ 𝑥
3𝑑𝑥
0
−1
= − [
𝑥4
4
|
−1
0
] = − [(0) − (
1
4
)] = − (−
1
4
) =
1
4
 
 
𝐴2 = +
𝑥4
4
]
2
0
= [(
24
4
) − (
04
4
)] = [(
16
4
) − (0)] = 4 
 
𝐴 =
1
4
+ 4 =
17
4
 
__________________________________________________________________________________________ 
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EJERCICIO 2C 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, 𝒈(𝒙) = 𝒙 
 
Ahora debemos calcular el área entre dos curvas, en este caso antes de realizar el gráfico debemos saber en 
donde se cortas las curvas, y estos valores me ayudarán a graficar y armar la integral definida para calcular el 
área. Para encontrar en donde se cortan las curvas, debemos igualarlas, es decir: 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
𝑥2 = 𝑥 
Ahora resolvemos la ecuación: 
𝑥2 − 𝑥 = 0 
𝑥. (𝑥 − 1) = 0 
Como tenemos un producto igual a 0 entonces: 𝑥 = 0 o 𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 1 
Quedando como solución 𝑥1 = 0 y 𝑥2 = 1 y sus respectivas imágenes son: 
𝑦1 = 𝑓(0) = 𝑔(0) 
 𝑦2 = 𝑓(1) = 𝑔(1) 
𝑦1 = 0 y 𝑦2 = 1. 
Es decir que las dos funciones tienen que pasar por los puntos (0; 0) y (1; 1) 
Si graficamos las dos funciones obtenemos el siguiente gráfico: 
 
El área entre las curvas es 𝐴, y en este caso usamos el famoso “Techo menos Piso” es decir calculamos la 
diferencia entre el área de la función techo (𝑔(𝑥) = 𝑥) y la función piso (𝑓(𝑥) = 𝑥2) 
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Nota: si no tenemos que graficar para saber que función es “techo” y cual es “piso” entre 𝑎 y 𝑏, en nuestro 
ejemplo 0 y 1, calculamos la imagen de un valor intermedio y la mayor será el techo y la menor será el piso. 
Por ejemplo, si 𝑥 = 0,5 =
1
2
 entonces:𝑓 (
1
2
) =
1
4
, 𝑔 (
1
2
) =
1
2
 y 𝑔 (
1
2
) > 𝑓 (
1
2
), por lo tanto, la “función techo” es 
𝑔(𝑥) y la “función piso” es 𝑓(𝑥) como lo obtenido en el gráfico. 
Volviendo al cálculo del área, tenemos que el área se obtiene resolviendo la siguiente integral definida: 
𝐴 = ∫ [𝑔(𝑥)⏞
𝑇𝑒𝑐ℎ𝑜
− 𝑓(𝑥)⏟
𝑃𝑖𝑠𝑜
]
1
0
𝑑𝑥 
𝐴 = ∫[𝑥 − 𝑥2]
1
0
𝑑𝑥 = (
𝑥2
2
−
𝑥3
3
)|
0
1
 
𝐴 = (
12
2
−
13
3
) − (
02
2
−
03
3
) 
𝐴 = (
1
2
−
1
3
) − (0) =
1
6
 
__________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 2D 
𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟓, 𝒚 = 𝟎, − 𝟑 ≤ 𝒙 ≤ −𝟐 
 
Hay que encontrar el área formada por la función 𝑦 = 4𝑥 − 5 y las rectas 𝑦 = 0 y la variable 𝑥 entre 
−3 y−2(−3 ≤ 𝑥 ≤ −2), 
si graficamos las funciones nos queda: 
 
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El área buscada 𝐴, está por debajo del 𝑒𝑗𝑒 𝑥 y quedaría negativo, entonces: 
𝐴 = | ∫ (4𝑥 − 5)𝑑𝑥
−2
−3
| 
𝐴 = |(
4𝑥2
2
− 5𝑥)]
−2
−3
| 
𝐴 = |{[2(−2)2 − 5(−2)] − [2(−3)2 − 5(−3)]}| 
𝐴 = |[(2 ⋅ 4 + 10) − (2 ⋅ 9 + 15)]| 
𝐴 = |(18 − 33)| 
𝐴 = |−15| = 15 
__________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 2K 
4𝑥2 − 9𝑦1 + 18 = 0, 2𝑥
2 − 9𝑦2 + 36 = 0 
Tenemos dos funciones expresadas en forma implícita, es decir no tenemos la 𝑦 despejada, lo que dificulta 
saber qué tipo de función es, por lo tanto, debemos despejar la 𝑦 
La primer función es: 
4𝑥2 − 9𝑦1 + 18 = 0 
Despejando: 
4𝑥2 + 18 = 9𝑦1 
4𝑥2 + 18
9
= 𝑦1 
𝑦1 =
4
9
𝑥2 + 2 = 𝑓(𝑥) 
Entonces la primer función es: 𝑓(𝑥) =
4
9
𝑥2 + 2 
La segunda función es: 
2𝑥2 − 9𝑦2 + 36 = 0 
Despejando: 
2𝑥2 + 36 = 9𝑦1 
2𝑥2 + 36
9
= 𝑦1 
𝑦1 =
2
9
𝑥2 + 4 = 𝑔(𝑥) 
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Entonces la segunda función es: 𝑔(𝑥) =
2
9
𝑥2 + 4 
Igualando las dos funciones para obtener los puntos donde se cortan. 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
4
9
𝑥2 + 2 =
2
9
𝑥2 + 4 
Resolviendo la ecuación: 
4
9
𝑥2 + 2 −
2
9
𝑥2 − 4 = 0 
2
9
𝑥2 − 2 = 0 
Resolviendo la ecuación cuadrática con la fórmula resolvente 
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
, donde: 
𝑎 =
2
9
, 𝑏 = 0 y 𝑐 = −2, obtenemos: 𝑥1 = −3 y 𝑥2 = 3. 
Las imágenes son: 
𝑦1 = 𝑓(−3) = 𝑔(−3) 
𝑦2 = 𝑓(3) = 𝑔(3) 
𝑦1 = 6 
𝑦2 = 6. 
Es decir que las dos funciones tienen que pasar por los puntos (−3; 6)y (3; 6) 
Si graficamos las dos funciones obtenemos el siguiente gráfico: 
 
 
 
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El área entre las curvas es 𝐴, y en este caso usamos el famoso “Techo menos Piso” es decir calculamos la 
diferencia entre el área de la función techo 𝒈(𝒙) =
𝟐
𝟗
𝒙𝟐 + 𝟒 y la función piso 𝒇(𝒙) =
𝟒
𝟗
𝒙𝟐 + 𝟐 
Entonces para calcular el área hay que resolver la siguiente integral definida: 
𝐴 = ∫[𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)]
3
−3
𝑑𝑥 
𝐴 = ∫ [(
2
9
𝑥2 + 4) − (
4
9
𝑥2 + 2)]
3
−3
𝑑𝑥 = 
𝐴 = ∫ [
2
9
𝑥2 + 4 −
4
9
𝑥2 − 2]
3
−3
𝑑𝑥 = 
𝐴 = ∫ [−
2
9
𝑥2 + 2]
3
−3
𝑑𝑥 = (−
2
9
∙
𝑥3
3
+ 2𝑥)]
3
−3
 
𝐴 = [−
2
27
(3)3 + 2 ⋅ (3)] − [−
2
27
(−3)3 + 2 ⋅ (−3)] 
𝐴 = (−
2
27
⋅ 27 + 6) − [−
2
27
(−27) − 6] 
𝐴 = (4) − (−4) = 4 + 4 = 8 
 
__________________________________________________________________________________________ 
m) 𝑥 + 2𝑦1 = 2 𝑦2 − 𝑥 = 1 2𝑥 + 𝑦3 = 7 
Como las funciones están en forma implícita despejemos la variable 𝑦 para saber con qué función estamos 
trabajando. 
La primera función es 𝑥 + 2𝑦1 = 2 
Despejando: 
2𝑦1 = 2 − 𝑥 = −𝑥 + 2 
𝑦1 =
−𝑥 + 2
2
= −
1
2
𝑥 + 1 
𝑦1 = −
1
2
𝑥 + 1 
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La llamamos 𝑓(𝑥): 𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥 + 1 
La segunda función es 𝑦2 − 𝑥 = 1 
Despejando: 
𝑦2 = 1 + 𝑥 
𝑦2 = 𝑥 + 1 
La llamamos 𝑦2 = 𝑔(𝑥): 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 
La tercera función es 2𝑥 + 𝑦3 = 7 
Despejando: 
𝑦3 = 7 − 2𝑥 = −2𝑥 + 7 
𝑦3 = −2𝑥 + 7 
La llamamos 𝑦3 = ℎ(𝑥): ℎ(𝑥) = −2𝑥 + 7 
Ahora ya sabemos que tenemos tres funciones lineales 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)y ℎ(𝑥), para poder calcular el área necesito 
saber las intersecciones entre ellas, por lo tanto, vamos a igualar todas las funciones y averiguar los puntos 
donde se cortan y así poder graficar y calcular el área. 
1) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
−
1
2
𝑥 + 1 = 𝑥 + 1 
−
1
2
𝑥 − 𝑥 = 1 − 1 
−
3
2
𝑥 = 0 
𝑥 = 0 ÷ (−
3
2
) 
𝑥 = 0 → 𝑦 = 1 
Por lo tanto, la función 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) se cortan en (0; 1) 
2) 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥) 
−
1
2
𝑥 + 1 = −2𝑥 + 7 
3
2
𝑥 = 6 
𝑥 = 4 → 𝑦 = −1 
Por lo tanto, la función 𝑓(𝑥) y ℎ(𝑥) se cortan en (4; −1) 
3) 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥) 
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2400 - Matemática I 
 
14 
 
𝑥 + 1 = −2𝑥 + 7 
3𝑥 = 6 
𝑥 = 2 → 𝑦 = 3 
Por lo tanto, la función 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥) se cortan en (2; 3). 
Graficamos las funciones: 
 
Nos queda calcular el área total 𝐴 que es la suma de las áreas 𝐴1 y 𝐴2, quedando que el área total es: 𝐴 = 𝐴1 +
𝐴2. 
Me conviene separar el áreas en suma de áreas que tengan un solo techo y un solo piso, como se ve en el grafico 
el área 𝐴1 tiene el techo verde y el piso azul y el área 𝐴2tiene el techo rojo y el piso azul. 
Para calcular el 𝐴1 vemos que la función techo es 𝑔(𝑥) y la función piso es 𝑓(𝑥)y los extremos son 𝑎 = 0 y 
𝑏 = 2. 
𝐴1 = ∫ [(𝑥 + 1) − (−
1
2
𝑥 + 1)]
2
0
𝑑𝑥 
𝐴1 = ∫ (𝑥 + 1 +
1
2
𝑥 − 1)
2
0
𝑑𝑥 
𝐴1 = ∫ (
3
2
𝑥)
2
0
𝑑𝑥 = (
3
2
∙
𝑥2
2
)]
2
0
= (
3
4
𝑥2)]
2
0
 
𝐴1 = (
3
4
∙ 22) − (
3
4
02) =
3
4
⋅ 4 = 3 
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15 
 
𝐴1 = 3 
Para calcular el 𝐴2 vemos que la función techo es ℎ(𝑥) y la función piso es 𝑓(𝑥)y los extremos son 𝑎 = 2 y 
𝑏 = 4. 
𝐴2 = ∫ [(−2𝑥 + 7) − (−
1
2
𝑥 + 1)]
4
2
𝑑𝑥 
𝐴2 = ∫ (−2𝑥 + 7 +
1
2
𝑥 − 1)
4
2
𝑑𝑥 
𝐴2 = ∫ (−
3
2
𝑥 + 6)
4
2
𝑑𝑥 = (−
3
2
∙
𝑥2
2
+ 6𝑥)|
2
4
= (−
3
4
∙ 𝑥2 + 6𝑥)|
2
4
 
𝐴2 = (−
3
4
42 + 6 ⋅ 4) − (−
3
4
22 + 6 ⋅ 2) 
𝐴2 = (−
3
4
⋅ 16 + 24 ) − (−
3
4
⋅ 4 + 12 ) 
𝐴2 = (−12 + 24) − (−3 + 12)𝐴2 = (12 ) − (9) = 3 
𝐴2 = 3 
Entonces el área buscada es: 
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 
𝐴 = 3 + 3 = 6 
𝐴 = 6 𝑢. 𝑎. 
__________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 2N 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 𝒙 = 𝟎, 𝒈(𝒙) = 𝟖 
 
Hay que encontrar el área encerrada por 
• 𝑦 = 𝑥3 
• 𝑦 = 8 
• 𝑥 = 0 
Si graficamos las funciones nos queda… 
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16 
 
 
El área entre las curvas es 𝐴, y en este caso usamos el famoso “Techo menos Piso” es decir calculamos la 
diferencia entre el área de la función techo (𝑔(𝑥) = 8) y la función piso (𝑓(𝑥) = 𝑥3), entre 0 y 2. 
Entonces para calcular el área hay que resolver la siguiente integral definida: 
𝐴 = ∫[𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)]
2
0
𝑑𝑥 
𝐴 = ∫[(8) − (𝑥3)]
2
0
𝑑𝑥 = 
𝐴 = ∫[8 − 𝑥3]
2
0
𝑑𝑥 = (8𝑥 −
𝑥4
4
)]
0
2
= (8 ⋅ 2 −
24
4
) − (8 ⋅ 0 −
04
4
) 
 
𝐴 = (16 −
16
4
) − (0) = 16 − 4 = 12 
__________________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 2R 
𝒚𝟏 = 𝟐
𝒙, 𝒚𝟐 = 𝟐
−𝒙, 𝒚𝟑 = 𝟒 
 
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17 
 
Hay que encontrar el área formada por las funciones 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 2−𝑥y 𝑦 = 4, sí graficamos las funciones nos 
queda: 
 
Podemos ver que el área total buscada es la suma de las áreas 𝐴1y𝐴2, es decir, 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 y podemos apreciar 
la simetría de las áreas,𝐴1 = 𝐴2 
Calculemos el área 𝐴2 para luego calcular el área total 𝐴 = 2 ⋅ 𝐴2. 
Para calcular el área 𝐴2 debemos saber que la función techo es 𝑦 = 4, la función piso es 𝑦 = 2
𝑥 y 𝑎 = 0 y 𝑏 =
2, entonces el área es: 
𝐴2 = ∫[(4) − (2
𝑥)]
2
0
𝑑𝑥 = ∫[4 − 2𝑥]
2
0
𝑑𝑥 = (4𝑥 −
2𝑥
𝑙𝑛2
)]
2
0
= (4 ⋅ 2 −
22
𝑙𝑛2
) − (4 ⋅ 0 −
20
𝑙𝑛2
) 
 
𝐴2 = (8 −
4
𝑙𝑛2
) − (0 −
1
𝑙𝑛2
) = 8 −
4
𝑙𝑛2
+
1
𝑙𝑛2
= 8 −
3
𝑙𝑛2
≈ 3,67 
 
Entonces el área total es: 𝐴 = 2 ⋅ 𝐴2 ≈ 2 ⋅ 3,67 ≈ 7,34 
__________________________________________________________________________________________ 
EXTRA 1 
Encontrar el área limitada por: 
• 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 1 
• 𝑔(𝑥) = 4 − 𝑥 
• ℎ(𝑥) = 0 
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18 
 
• 𝑥 = 0 
 
𝐴1 =
5
3
 𝐴2 =
9
2
 𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2 =
37
6
 
__________________________________________________________________________________________ 
EXTRA 2 
Encontrar el área limitada por: 
• 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 
• 𝑔(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥2 
 
Rta.: 𝐴 =
64
3
 
EXTRA 3 
Encontrar el área limitada por: 
• 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2 
• 𝑔(𝑥) = 14 − 2𝑥 
• ℎ(𝑥) = 1 
 
Rta.: 𝐴 = 27