INICIA-1BACH-MATCCSSLA-unit

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66
3 Matemática financiera
La mayoría de los ciudadanos del planeta no trabajan como asalariados sino que lo
hacen en pequeñas empresas familiares o por cuenta propia, en lo que se da en lla-
mar microempresa.
La microempresa, como cualquier otro negocio, necesita recursos externos para finan-
ciarse, pero los bancos no conceden préstamos a personas con niveles económicos
muy bajos puesto que no tienen garantías de recuperar el dinero prestado. Esto hace
que las microempresas acudan a soluciones como los loan shark (tiburones de prés-
tamos), que pueden llegar a cobrar entre el 1 100 % y el 2 200 % de interés anual.
Estos suelen ser de muy corta duración, generalmente días, y son el único recurso
con el que cuentan las economías desesperadas.
Mohamed Yunus (Bangladesh, 1940) fundó en 1976 el Banco Grameen, del que se han
beneficiado 11 millones de personas a las que se les ha concedido microcréditos
libres de intereses o a bajo interés, que se otorgan sin garantías y mayoritariamente a
mujeres. En el año 2006 Yunus, conocido como el padre de los microcréditos o el ban-
quero de los pobres, recibió el premio Nobel de la Paz. Sus primeras palabras fueron:
«Una paz duradera no puede lograrse sin que una parte importante de la población
encuentre los medios para salir de la pobreza».
67
Repasa lo que sabes
El logaritmo en base a de un número x es el número, y, al que hay que elevar a
para obtener x: y � loga x ⇔ ay � x
1. Calcula el valor de a para que se verifiquen las siguientes igualdades:
a) log 0,00001 � a c) loga 3 � �
5
2
�
b) log a � 3 d) log7 7�
5 7� � a
2. Sabiendo que log a � 5 y que log b � �1, utiliza las propiedades de los
logaritmos para calcular:
a) log (a2 � b5) c) log ��ab
2
3��
b) log �10a � �10b0�� d) logb a
Una ecuación es una igualdad que solo se verifica para determinados valores de
sus indeterminadas, que se denominan incógnitas.
Resolver una ecuación es hallar sus soluciones, es decir, hallar los valores de las
incógnitas para que la igualdad sea cierta.
3. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas y racionales.
a) �
x �
2
2
� � �
x �
4
3
� � ��
1
2
� d) x4 � 5x2 � 4 � 0
b) (x � 2)2 � 3 � 1 e) x3 � 3x2 � x � 3 � 0
c) �
3
x
x
�
�
1
3
�� �
x
x
2
�
�
1
2
� ��
7
x
x
2 �
�
1
1
� f) �
x2 �
4
1
� � �
x �
1
1
� � 0
4. Resuelve las siguientes ecuaciones radicales, logarítmicas y exponenciales:
a) �x � 6�� �x� � 6 d) �x � 1���
�x
2
� 1�
�
b) log x � log (x � 3) � 1 e) �2 � 3x � 9x � �1
c) log (11x � 1) � log (x � 1) � log (12x � 8) � 1 f) 2x�4 � 15 � 2x
Un porcentaje representa una parte del total. El uso de los porcentajes nos permi-
te calcular el valor de un aumento o descuento de una cantidad.
Para calcular varios aumentos o descuentos de una cantidad:
Cf � C1 � (1 � i1) � C2 � (1 � i2) � (1 � i1) � … � C � (1 � in) � … � (1 � i2) � (1 � i1)
5. En una tienda se vende una lavadora con un precio de 105 € sin IVA
Debido a las rebajas, se decide hacer un descuento del 10 %. Si el IVA es
del 21 %, calcula el precio de la lavadora.
6. Durante los meses enero y febrero, el precio de la gasolina aumentó un 
3 %, pero, durante el mes de marzo, el precio bajó un 2 %. Si el precio de
la gasolina en el mes de abril se encuentra a 1,253 €/L, calcula el precio
que tenía cuando comenzó el año.
OBSERVA
Para calcular un aumento o des-
cuento se utilizan las siguientes
fórmulas:
� Aumento:
Cf � C � C � i � C � (1 � i)
� Descuento:
Cf � C � C � i � C � (1 � i)
RECUERDA
Propiedades de los logaritmos:
� loga (M � N) � loga M � loga N
� loga ��MN��� loga M � loga N
� loga (M
n) � n � loga M
� loga M ��
l
l
o
o
g
g
b
b
M
N
�
68
1. Sucesiones
1.1. Definición. Término general
Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de los números
naturales en el conjunto de los números reales:
s: � � �
de manera que a cada número natural le corresponde un número real.
Los valores asociados a los números naturales se designan por s(n) o sn.
s: � � �
n � s(n) � sn
1 � s(1) � s1
2 � s(2) � s2
3 � s(3) � s3
Así, son sucesiones:
1, 2, 3, 4, …
3, 6, 9, 12, …
�1, 1, �1, 1, …
En algunas ocasiones es posible expresar el término n-ésimo (término que
ocupa el lugar n) en función de n. La expresión que permite expresar un 
término en función del lugar que ocupa recibe el nombre de término general
de la sucesión.
Por ejemplo:
� La sucesión 1, 4, 9, 16, 25, … tiene por término general an � n
2.
� La sucesión 0, 1, 2, 3, 4, … tiene por término general bn � n � 1.
� La sucesión �2, 4, �6, 8, �10, 12, �14… tiene por término general
cn � (�1)
n � 2n.
1.2. Progresiones aritméticas y geométricas
Existen dos casos particulares de sucesiones que merecen una atención
especial, ya que se presentan en multitud de ocasiones: son las progresiones
aritméticas y geométricas.
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números reales tal que cada uno de
sus términos, excepto el primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad
constante que se denomina diferencia.
Por ejemplo, las siguientes son progresiones aritméticas:
� 2, 5, 8, 11, 14, … Su primer término es 2, y la diferencia es 3.
� �10, �6, �2, 2, 6, … Su primer término es �10, y la diferencia es 4.
Si se designa por a1 el primer término y por d la diferencia, se puede escribir:
a1, a1 � d, a1 � 2d, a1 � 3d, a1 � 4d, …
El término que ocupa el lugar n tendrá por expresión:
an � a1 � (n � 1) � d
OBSERVA
� Una función real de variable re-
al, f(x), es una aplicación de D � �
en �, donde D es el dominio de
f(x).
� Una sucesión es una función
cuyo conjunto original son los nú-
meros naturales, �. Es decir, se tra-
ta de una función cuyo dominio
es �.
69
Así, los términos que ocupan el lugar 20 en los ejemplos anteriores son,
respectivamente:
� a20 � 2 � (20 � 1) � 3 � 59
� b20 � �10 � (20 � 1) � 4 � 66
Progresiones geométicas
Una progresión geométrica es una sucesión de números reales en la que cada
uno de sus términos, excepto el primero, se obtiene multiplicando el anterior 
por una cantidad constante llamada razón.
Por ejemplo, son progresiones geométricas las siguientes:
� 2, 6, 18, 54, 162, … Su primer término es 2, y su razón, 3.
� 3, 1, �
1
3
�, �
1
9
�, �
2
1
7
�, … Su primer término es 3, y su razón, 1/3.
Si se designa por a1 el primer término y por r la razón, se puede escribir:
a1, a1 � r, a1 � r
2, a1 � r
3, a1 � r
4, …
El término que ocupa el lugar n tendrá por expresión:
an � a1 � r
n � 1
Así, los términos que ocupan el lugar 20 en los ejemplos anteriores son,
respectivamente:
� a20 � 2 � 3
19
� b20 � 3 � � �
19
� � �
18
Ejercicios resueltos
Hallar la diferencia y el término general de estas progresiones aritméticas.
� 1, 5, 9, 13, … El primer término es 1, la diferencia es 4, y el término
general es an � 1 � (n � 1) � 4 � 4n � 3.
� �2, 1, 4, 7, … El primer término es �2, la diferencia es 3, y el término
general es an � �2 � (n � 1) � 3 � 3n � 5.
� 10, 20, 30, 40, … El primer término es 10, la diferencia es 10, y el término
general es an � 10 � (n � 1) � 10 � 10n.
� , 4, �
9
2
�, 5, �
1
2
1
�, 6, … El primer término es , la diferencia es , y el
término general es an � �
7
2
� � (n � 1) � �
1
2
� � 3 � �
n
2
�.
Hallar la razón y el término general de estas progresiones geométricas.
� 3, 6, 12, 24, 48, … El primer término es 3, la razón es 2, y el término
general es an � 3 � 2
n � 1.
� 3, �6, 12, �24, 48, … El primer término es 3, la razón es �2, y el término
general es an �3 � (�2)
n � 1.
� 4, 2, 1, , , … El primer término es 4, la razón es , y el término 
general es an � 4 � ��12��
n �1
� 22 � (2)�n � 1� 23 � n
1
�
2
1
�
4
1
�
2
▼
1
�
2
7
�
2
7
�
2
▼
1
�
3
1
�
3
70
1.3. Suma de los n primeros términos 
de las progresiones aritméticas 
y geométricas
Supongamos que deseamos sumar n primeros términos de una progresión
aritmética cuyo primer término es a1 y cuya diferencia es d:
Sn � a1 � a2 � a3 � … � an � 2 � an � 1 � an
Observa que: a1 � an � a2 � an � 1 � a3 � an � 2 � …
Por tanto,podemos sumar en columna estas expresiones:
Sn � a1 � a2 � … � an � 1 � an
Sn � an � an � 1 � … � a2 � a1
2Sn � (a1 � an) � (a2 � an � 1) � … � (an � 1 � a2) � (an � a1)
Todos los paréntesis valen lo mismo, y hay n paréntesis. Por tanto:
2Sn � n � (a1 � an) ⇒ Sn � �
a1 �
2
an
� � n
Supongamos que deseamos sumar n primeros términos de una progresión
geométrica cuyo primer término es a1 y cuya razón es r:
Sn � a1 � a 2 � a3 � a4 �… � an � 2 � an � 1 � an
Si multiplicamos Sn � r, y hacemos Sn � r � Sn tenemos:
Sn � r � a1 � a2 � a3 � a4 � … � an � an � r
� Sn � a1 � a2 � a3 � a4 � … � an
Sn � r � Sn� �a1 � an � r
Es decir: Sn(r � 1) � an � r � a1
Como an � a1 � r
n � 1, se obtiene: Sn � �
a1 �
r
r
�
n �
1
a1
� � �
a1
r
(r
�
n �
1
1)
�
Calcula el término general de las siguientes progresiones aritméticas.
a) �1, ��
3
4
�, ��
1
2
�, ��
1
4
�, 0, �
1
4
�, …
b) 5, 3, 1, �1, �3, …
c) 3, 1, �1, �3, �5, …
Calcula el término general de las siguientes progresiones geométricas.
a) �2�, 2, 2�2�, 4, 4�2�, 8…
b) �3, 3, �3, 3, �3, …
c) �4, �12, �36, �108, …
Dada la sucesión an � (�1)
n ��
3
n
n
2 �
�
3
5
�, calcula los cinco primeros términos.
Solución: a1 � 4; a2 � 11; a3 � ��
7
3
�; a4 � �
1
1
7
3
�; a5 � ��
1
1
0
1
�
Dada la sucesión an � (�n)
3, calcula el séptimo término.
Solución: a7 � �343
Calcula el término general de estas sucesiones:
a) 1, �
4
3
�, �
6
4
�, �
8
5
�, … b) 0, �
3
7
�, �
8
9
�, �
1
1
5
1
�, … c) �
1
5
�, �
2
9
�, �
1
4
3
�, �
1
8
7
�, �
1
2
6
1
�, �
3
2
2
5
�, …
5
4
3
2
1
Actividades
OBSERVA
En una progresión aritmética se
cumple lo siguiente:
a2 � a1 � d, a3 � a1 � 2d, …
Además,
an � 1 � an � d,
an � 2 � an � 2d, …
Por tanto,
a1 � an � a2 � an � 1 �
� a3 � an � 2 � …
OBSERVA
En una progresión aritmética se
cumple lo siguiente:
a2 � a1 � r, a3 � a2 � r, …
En general: an � an � 1 � r
Por tanto:
S � r � a1 � r � a2 � r � … � an � r
se puede escribir de esta forma:
S � r � a2 � a3 � … � an � r
71
2. Intereses bancarios
Los bancos utilizan para negociar el dinero que depositan sus clientes; de
los negocios que realizan obtienen un beneficio que les permite pagar a sus
clientes unos determinados intereses. 
2.1. Interés simple
El tanto por ciento anual que un banco paga a sus clientes por el dinero
depositado se denomina rédito, r. Así, si tenemos un determinado capital, C,
en el banco, cuando al cabo de un año ingresen los intereses, tendremos:
C1 � C �1 � �10r0�� y los intereses serán: I1 � C �10r0�
Si el capital está depositado a un interés simple, cuando transcurra otro
año el interés se aplicará sobre la cantidad inicial depositada, de modo que
cuando hayan transcurrido n años el interés obtenido será:
I � C �
10
r
0
� n
Y el capital inicial, C, se verá incrementado. El capital final, Cf, será igual
al inicial más los intereses:
Cf � C � I � C � C �10
r
0
� n
El capital final, que se obtiene al depositar una cantidad C a un interés simple del
r % anual durante n años, es:
Cf � C �1 � �10r0� n�
Ejercicios resueltos
Una caja de ahorros ofrece a sus clientes un interés simple del 8 % anual por
una imposición de 18 000 € durante 5 años. ¿Cuál es el importe de los intere-
ses obtenidos por el cliente? ¿Cuál será el capital final?
I � 18 000 �
1
8
00
� 5 � 7 200 € Cf � 18 000 � 7 200 � 25 200 €
Una entidad financiera ofrece un interés simple del 9% anual por una impo-
sición de 300000 €, ¿cuántos años se debe tener invertida esa cantidad para obtener
108 000€ de intereses?
I � C � �
10
r
0
� � n ⇒ 108 000 � 300 000 � 0,09 � n ⇒ n � 4 años
Un banco ofrece un 12,5 % anual de interés simple. Calcular cuánto tiem-
po debe pasar para que el capital se duplique.
El capital final es el doble que el inicial Cf � 2C.
2C � C (1 � 0,125n) ⇒ 2 � 1 � 0,125n ⇒ n � 8 años
Se depositan en una libreta 20 000 € durante seis meses, se obtienen unos
intereses de 1 000 €, ¿A que interés simple anual está depositado el capital?
En primer lugar calculamos qué porcentaje representan 1 000 € de 20 000 €:
�
2
1
0
0
0
0
0
0
0
� � 0,05. Esto es el 5 %.
Si en medio año nos proporciona un 5 %, el interés anual será del 10 %.
▼
▼
▼
▼
RECUERDA
Cuando una determinada canti-
dad C se incrementa, por ejem-
plo, un 10 % se obtiene 1,10C, si
la cantidad se incrementa un 7 %
se obtiene 1,07C.
Interés simple
El interés simple se usa en productos
financieros como depósitos a plazo
fijo, en el que el banco dispone de
una determinada cantidad y los inte-
reses que esta genera los ingresa en
una cuenta en vez sumarlo a la canti-
dad depositada.
72
2.2. Interés compuesto. 
Períodos de capitalización
Los bancos, la mayoría de las veces, no aplican un tipo de interés simple
en sus productos, sino que aplican un interés compuesto. La diferencia entre
el interés simple y el compuesto reside en el hecho de que en el interés com-
puesto los intereses se van acumulando al capital inicial. Así, si tenemos un
capital, C, depositado a un interés anual r, al cabo de un año tendremos:
C1 � C �1 � �10r0��
Si el dinero sigue en la cuenta bancaria junto con los intereses producidos,
al cabo de dos años de la imposición inicial tendremos:
C2 � C �1 � �10r0�� �1 � �10r0�� � C �1 � �10r0��
2
A los tres años:
C3 � C �1 � �10r0��
2 �1 � �10r0�� � C �1 � �10r0��
3
Y así sucesivamente.
El capital final, que se obtiene al depositar un capital C a un interés compuesto
del r % anual durante n años, es:
Cf � C �1 � �10r0��
n
Ejercicios resueltos
Depositamos 15 000 € al 6 % de interés anual. Calcular los intereses y el
capital obtenido en:
� 1 año
Cf � 15 000 � 1,06 � 15 900 €, I � 15 900 � 15 000 � 900 €
� 4 años
Cf � 15 000 � 1,06
4 � 18 937,15 €, I � 18 937 – 15 000 � 3 937,15 €
� 15 años y tres meses
Cf � 15000 � 1,06
15,25 � 36 475,87 €, I � 36475,87 � 15000 � 21475,87 €
¿Qué cantidad debemos invertir al 5% de interés anual para obtener 30 000 €
a los 10 años de la imposición?
Cf � C �1 � �10r0��
n
⇒ 30 000 � C � 1,0510 ⇒ C � 18 417,40 €
En algunas ocasiones, se abonan los intereses en intervalos de tiempo
menores a un año, como por ejemplo, un mes, un trimestre, un semestre,
etcétera. A estos períodos se les denomina períodos de capitalización.
Supongamos que un banco concede un rédito del r % anual, esto significa 
que cada mes el interés es �
1
r
2
� %, por tanto, si el banco abona los intereses 
mensualmente, la fórmula del capital final para n años será:
Cf � C �1 � �1 2r00��
12n
▼
▼
OBSERVA
De ahora en adelante, cuando ha-
blemos simplemente de interés
nos referiremos a interés com-
puesto.
macs1b9
73
Observa que los años, n, se multiplican por 12, ya que cada año tiene 12
meses y el interés anual se divide entre 12 para hallar el interés mensual.
Ejercicio resuelto
Depositamos 15 000 € al 6% de interés anual con un período de capitalización
mensual. Calcular el capital obtenido en:
� 1 año
Cf � 15 000 � �1 � �1 2600��
12
� 15 925,17 €
� 4 años
Cf � 15 000 � �1 � �1 2600��
48
� 19 057,34 €
� 15 años y tres meses
Cf � 15 000 � �1 � �1 2600��
183
� 37 366,34 €
Si el período de capitalización fuera trimestral, la fórmula para el capital
final para n años sería:
Cf � C �1 � �40r0��
4n
Ejercicios resueltos
Depositamos 15 000 € al 6% de interés anual con un período de capitalización
trimestral. Calcular el capital obtenido en:
� 1 año
Cf � 15 000 � �1 � �4600��
4
� 15 920,45 €
� 4 años
Cf � 15 000 � �1 � �4600��
12
� 17 934,27 €
� 15 años y tres meses
Cf � 15 000 � �1 � �4600��
61
� 37 198,02 €
Si tuvieramos las mismas condiciones que en el ejercicio anterior, pero el
período de capitalización fuese semestral ¿qué capital final obtendríamos?
� Cf � 15 000 � �1 � �2600��
2
� 15 913,50 €
� Cf � 15 000 � �1 � �2600��
8
� 19 001,55 €
� Cf � 15 000 �1 � �2600��
30,5
� 36 951,04 €
Por último, si el período de capitalización fuera diario, tendríamos:
Cf � C �1 � �36 5r 00��
365n
▼
▼
▼
OBSERVA
El factor 365 aparece cuando el
período de capitalizaciónes dia-
rio, aunque generalmente los
bancos utilizan 360 días.
OBSERVA
El factor 4 que multiplica a n apa-
rece puesto ya que un año tiene 4
trimestres. Si fuera en cuatrimes-
tres, el factor sería 3 porque hay 3
cuatrimestres en un año y, si el
período de capitalización fuese
semestral, el factor sería 2.
74
Ejercicio resuelto
Depositamos 1 000 € al 6 % de interés anual con diversos períodos de capi-
talización durante un año. Calcular el capital obtenido en cada caso:
� Si la capitalización es cuatrimestral. 
Cf � 1 000 � �1 � �3600��
3
� 1 061,21 €
� Si la capitalización es diaria.
Cf � 1 000 � �1 � �366500��
365
� 1061,83 €
� Si la capitalización es semestral.
Cf � 1 000 � �1 � �2600��
2
� 1 060,90 €
� Si la capitalización es anual.
Cf � 1 000 � �1 � �1600��
1
� 1 060 €
� Si la capitalización es trimestral.
Cf � 1 000 � �1 � �4600��
4
� 1 061,36 €
� Si la capitalización es mensual.
Cf � 1 000 � �1 � �1 2600��
12
� 1 061,68 €
Se han depositado 60 000 € al 3,4 % anual de interés simple durante un
período de 48 meses.
a) ¿Qué intereses producen?
b) ¿Cuál es el capital final?
Solución: a) 8 160 € b) 68 160 €
Calcula el tiempo que tarda un capital en incrementarse un 50 % deposi-
tado al 3 % de interés simple.
Solución: 16 años y 8 meses
A un 5 % de interés simple, ¿qué capital hemos de depositar para que en
45 días nos proporcione 45 € de intereses?
Solución: 7 200 €
Depositamos 10 000 € a un interés anual del 6 % durante 5 años, calcula
los intereses si:
a) El interés es simple.
b) El interés es compuesto.
Solución: a) 3 000 € b) 3 382,26 €
Depositamos 3 500 € en el banco a un interés anual del 4,5 %, calcula el
capital que tendremos a los 5 años.
Solución: C � 4 361,64 €
Determina con cuál de estos intereses obtendremos más beneficio:
� Un interés del 6 % anual.
� Un interés del 5 % anual capitalizable semestralmente.
� Un interés del 4 % anual con capitalización diaria.
11
10
9
8
7
6
Actividades
▼
75
2.3. Tasa Anual Equivalente (T.A.E.)
¿Qué ocurre cuando el rédito concedido por el banco es el mismo pero
varían los períodos de capitalización?
A partir del ejercicio resuelto anterior podemos ver el capital final que nos
puede producir depositar 1 000 € al 6 % en un año para diferentes períodos de
capitalización:
Período de capitalización Cantidad final obtenida
Anual
Cuatrimestral
Trimestral
Mensual
Diario
Semestral
Cf � 1 000 �1 � �1600��
1
� 1 060 €
Cf � 1 000 �1 � �3600��
3
� 1 061,21 €
Cf � 1 000 �1 � �4600��
4
� 1 061,36 €
Cf � 1 000 �1 � �1 2600��
12
� 1 061,68 €
Cf � 1 000 �1 � �366500��
365
� 1 061,83 €
Cf � 1 000 �1 � �2600��
2
� 1 060,90 €
Como se puede observar en la tabla anterior, la cantidad final que tenemos
al cabo de un año varía en función de los períodos de capitalización.
Resulta difícil comparar dos productos financieros cuando el interés 
nominal es distinto y el período de capitalización también. Para subsanar esta
dificultad, el Banco de España introdujo en 1990 el T.A.E. (Tasa Anual
Equivalente).
T.A.E. representa el porcentaje real de incremento del capital en un año.
Cálculo del T.A.E.
Para calcular el T.A.E. de un producto bancario se tiene que calcular el
interés anual que equivale al interés que realmente nos están aplicando con
la capitalización parcial.
Ejercicio resuelto
Calcular el T.A.E. correspondiente a un rédito anual del 9 % capitalizable
mensualmente.
Sabemos que el capital final al cabo de un año es:
Cf � C�1 � �1 2900��
12
Para saber el interés anual con el que obtendríamos el mismo capital final,
aplicamos:
Cf � C�1 � �T1.A00.E.��
1
Como los capitales finales son iguales, entonces:
C�1 � �1 2900��
12
� C�1 � �T1.A00.E.��
1
⇒ �
T
1
.A
00
.E.
� � �1 � �1 2900��
12
� 1 
⇒ T.A.E. � 9,38 %
▼
OBSERVA
El interés anual que declara el
banco se denomina interés nomi-
nal.
76
Observa que en el cálculo del T.A.E. no influye el capital inicial.
Ahora podemos completar la tabla y comprobar cómo el T.A.E. nos apor-
ta información sobre los beneficios reales que obtenemos de un producto
financiero.
Período de capitalización Cantidad final obtenida T.A.E.
Anual
Cuatrimestral
Trimestral
Mensual
Diario
Semestral
Cf � 1 000 �1 � �1600��
1
� 1 060 € 6 %
Cf � 1 000 �1 � �3600��
3
� 1 061,21 € 6,121 %
Cf � 1 000 �1 � �4600��
4
� 1 061,36 € 6,136 %
Cf � 1 000 �1 � �1 2600��
12
� 1 061,68 € 6,168 %
Cf � 1 000 �1 � �366500��
365
� 1 061,83 € 6,183 % 
Cf � 1 000 �1 � �2600��
2
� 1 060,90 € 6,09 %
Ejercicios resueltos
Un producto financiero con capitalización semestral tiene un T.A.E. del
3,74 %, calcular el interés nominal del producto.
1 � �
T
1
.A
00
.E.
� � �1 � �20r0��
2
⇒ 1 � �
3
1
,
0
7
0
4
� � �1 � �20r0��
2 
⇒ �1,0374� � 1 � �
20
r
0
� ⇒ r � 200 (�1,0374� � 1) ⇒ r � 3,71 %
Calcular el T.A.E. del 6 % anual capitalizable trimestralmente.
Sabemos que el capital final al cabo de un año es: Cf � C�1 � �4600��
4
Para saber el interés anual, aplicamos: Cf � C�1 � �T1.A00.E.��
1
Como los capitales finales coinciden: C�1 � �4600��
4
� C�1 � �T1.A00.E.��
1
⇒ �
T
1
.A
00
.E.
� � �1 � �4600��
4
� 1 ⇒ T.A.E. � 6,14 %
Calcula el T.A.E. del 5 % anual capitalizable trimestralmente.
Solución: 5,09 %
Una entidad bancaria ofrece un 8 % de interés nominal anual, con una
liquidación semestral de intereses. Una segunda entidad bancaria ofrece un 7,5 %
de interés anual con liquidación trimestral de intereses. ¿Qué entidad tiene el T.A.E.
más alto y por tanto es más conveniente para colocar el capital?
Una entidad bancaria ofrece un producto financiero con un T.A.E. del
5,46 %. ¿Cuál es la tasa de interés nominal si la capitalización es cuatrimestral?
Solución: 5,36 %
14
13
12
Actividades
▼
▼
macs1b10
77
3. Anualidades
Una anualidad es una cantidad de dinero que se paga cada cierto tiempo 
para reunir un capital o saldar una deuda.
3.1. Anualidades de capitalización
Las anualidades de capitalización son aquellas que reúnen un capital. Un
ejemplo de este producto financiero son los planes de pensiones.
Supongamos que el 1 de enero de 2015 una persona de 55 años decide
hacer un plan de pensiones para su jubilación, que será cuando tenga 65 años.
Al inicio de cada año deposita un capital de 3 000 € (la anualidad) y la enti-
dad financiera le garantiza un interés del 6 %. ¿Qué cantidad de dinero habrá
ahorrado cuando llegue su jubilación?
Confeccionamos una tabla en la que se tiene en cuenta que la primera
anualidad está produciendo intereses 10 años; la segunda, 9 años; la tercera, 
8 años, y así sucesivamente.
Fecha de la
imposición
Anualidad
Años hasta el final 
del período
Capital producido 
al final del período
01-01-2015
01-01-2017
01-01-2018
01-01-2019
01-01-2021 3 000 € 4 3 000 (1 � 0,06)4
01-01-2022 3 000 € 3 3 000 (1 � 0,06)3 
01-01-2023 3 000 € 2 3 000 (1 � 0,06)2
01-01-2024 3 000 € 1 3 000 (1 � 0,06)1
01-01-2020
01-01-2016
3 000 € 10 3 000 (1 � 0,06)10
3 000 € 8 3 000 (1 � 0,06)8 
3 000 € 7 3 000 (1 � 0,06)7
3 000 € 6 3 000 (1 � 0,06)6 
3 000 € 5 3 000 (1 � 0,06)5
3 000 € 9 3 000 (1 � 0,06)9
El capital total ahorrado será:
C � 3 000(1 � 0,06)10 � 3 000(1 � 0,06)9 � … � 3 000(1 � 0,06)
La expresión anterior corresponde a la suma de diez términos de una 
progresión geométrica de razón 1,06 y primer término 3 000(1 � 0,06), por
tanto, sustituyendo los datos en la fórmula:
S ��
a1 �
r
r
�
n �
1
a1
�
obtenemos el capital total:
C � � 41 914,93 €
El capital acumulado, C, al imponer una anualidad A a un interés anual r % duran-
te n años es:
C �
Otra expresión equivalente es la siguiente:
C � A(1 � r) �
(1 � r
r
)n � 1
�
A(1 � r) � (1 � r)n � A(1 � r)
���
1 � r � 1
3 000(1 � 0,06) � 1,0610 � 3 000(1 � 0,06)
�����
1,06 � 1
macs1b11
78
Ejercicios resueltos
Determinar el valor del capital acumulado al imponer una cantidad de 
6 000 € anualmente a un interés del 6 % anual durante 15 años.
C � 6 000(1 � 0,06) �
1,0
0
6
,
1
0
5
6
� 1
� � 148 035,17
El capital acumulado será, entonces, de 148035,17 €.
Un matrimonio, que abren una libreta de ahorro juvenil para su hija de 
10 años, se quieren aseguran de que cuando tenga 25 años pueda disponer 
de 30 000 €. Si el banco les garantiza un interés del 7 % anual, ¿qué cantidad
deben ingresar al inicio de cada año?
30 000 � A(1 � 0,07) �
1,0
0
7
,
1
0
5
7
� 1
� ⇒ A � 1 115,74
Cada año deberán ingresar 1 115,74 €.
Supongamos que las imposiciones no se realizan anualmente sino con otro
período, entonces se deberá hacer la corrección correspondiente al interés y
también al tiempo.
Ejercicio resuelto
Determinar el valor del capital acumulado cuando se impone una cantidad
de 1 500 € trimestralmente a un interés nominal del 6 % durante 15 años.
Si el interés que nos da el banco es del 6 % anual, trimestralmente el inte-
rés es del 1,5 % y si realizamos la imposición de 1 500 € cada trimestre
durante 15 años, en realidad realizamos 60 imposiciones de 1 500 €, el
capital final será:
C � 1 500(1 � 0,015) �
1,0
0
1
,
5
0
6
1
0
5
� 1
� � 146 486,81
El capital acumulado al imponerlo trimestralmente es de 146 486,81 €.
Observa que en este ejercicio se ingresan en un año 6 000 €, pero a diferen-
cia con el primer ejercicio resuelto el período de imposición es diferente.
Una persona que inicia un plan de pensiones deposita a principio de cada
año 4 000 € en el banco, el cual le garantiza el 5,5 % de interés nominal. ¿De cuánto
dinero dispondrá al cabo de 13 años?
Solución: 77 170,29 €
Un hombre suscribe un plan de pensiones por un período de 20 años con
una cuota mensual de 150 €. Si la entidad bancaria le asegura un 9 % de interés
anual, ¿de qué cantidad podrá disponer al final de los 20 años?
Solución: 100 934,40 €
Un deportista profesional considera que solo le quedan 8 años para reti-
rarse, gana mucho dinero pero es previsor y cuando deje el deporte pretende crear
un negocio que le supondrá un gasto de 360 000 €. ¿Qué cantidad debe ingresar
anualmente en una entidad bancaria que le ofrece el 5 % para tener ahorrado el
dinero necesario dentro de 8 años?
Solución: 35 904,62 €
¿Durante cuántos años debo ingresar la cantidad de 600 € mensuales al
4 % anual para acumular un capital de 90 000 €?
Solución: Aproximadamente 10 años.
18
17
16
15
Actividades
▼
▼
▼
79
3.2. Anualidades de amortización
Las anualidades de amortización son aquellas que se pagan con la intención
de saldar una deuda. Un ejemplo de esto son las hipotecas.
Supongamos que una persona quiere comprarse un inmueble y no dispone
del dinero necesario, le faltan 150 000 €; pide un préstamo a una entidad que
se lo da al 6 % de interés anual si se compromete a devolverlo en 10 años.
Cuando esa persona devuelva la cantidad prestada deberá hacerlo con los
intereses correspondientes, es decir, deberá devolver: 150 000(1 � 0,06)10.
Cada año se paga una misma cantidad fija, A, que se llama anualidad.
� El primer año se paga una anualidad que, al finalizar el período del 
préstamo (dentro de 9 años), con los intereses se habrá convertido en: 
A(1 � 0,06)9
� El segundo año se paga la misma anualidad que, al finalizar el período del
préstamo (dentro de 8 años), con los intereses se habrá convertido en: 
A(1 � 0,06)8
� Así, cada año se pagará una cantidad, A, que al finalizar el préstamo se
habrá convertido en:
A(1 � 0,06)n
donde n es el número de años que quedan para acabar de pagar el préstamo.
La siguiente tabla recoge el capital producido por las anualidades en cada
uno de los años del préstamo:
Al final del crédito, el dinero que se ha devuelto al banco son las anuali-
dades más los intereses que estas han generado, esto es:
A(1 � 0,06)9 � A(1 � 0,06)8 � … � A(1 � 0,06) � A
Y esta cantidad debe ser igual a la cantidad que teníamos que devolver, es
decir, 150 000(1 � 0,06)10.
150 000(1 � 0,06)10 � A(1 � 0,06)9 � A(1 � 0,06)8 � … �
� A(1 � 0,06) � A
El miembro de la derecha es la suma de los 10 primeros términos de una
progresión geométrica de razón (1 � 0,06), de modo que:
150 000(1 � 0,06)10 � A�
(
(
1
1
�
�
0
0
,0
,0
6
6
)1
)
0
–
–
1
1
�
⇒ A � 150 000(1 � 0,06)10 �
(1 � 0
0
,
,
0
0
6
6
)10 – 1
�� 20 380,19 €
Fecha de la imposición
si el préstamo se pide
en 2014
Capital producido 
al final del período 
por la anualidad A
1-1-2015
1-1-2017
1-1-2018
1-1-2019
1-1-2020
1-1-2021
1-1-2022
1-1-2023
1-1-2024
1-1-2016
A(1 � 0,06)9
A(1 � 0,06)7
A(1 � 0,06)6
A(1 � 0,06)5
A(1 � 0,06)4
A(1 � 0,06)3
A(1 � 0,06)2
A(1 � 0,06)
A
A(1 � 0,06)8
80
Generalizando la expresión anterior, tenemos lo siguiente:
A � P �
(1
i(
�
1 �
i)n
i
�
)n
1
�, donde i � �
10
r
0
�
En esta expresión, P es el capital prestado; r, el interés; n, los años en que
se devolverá el préstamo, y A, la anualidad que se deberá abonar cada año a
partir del día 1 del año siguiente a la concesión del préstamo.
La anualidad, que se paga cada año, es una cantidad fija y de ella hay una
parte de amortización de la deuda y una parte de intereses. A medida que pasa
el tiempo baja la cuota de los intereses y aumenta la cuota de amortización.
La cuota que corresponde a los intereses se calcula aplicando el interés del
préstamo al capital pendiente de amortizar al final de cada año. Por ejemplo,
una persona tiene un préstamo de 12 000 € al 11 % de interés anual a devolver
en 3 años.
La cuota de amortización será:
A � 12 000 �
0
1
,1
,1
1
1
�
3
1
�
,1
1
13
� � 4 910,57 €
Si los pagos son mensuales, trimestrales, cuatrimestrales, semestrales o
diarios, se debe efectuar la misma corrección que se ha hecho previamente
para los distintos períodos de capitalización.
Ejercicios resueltos
Un consumidor solicita un préstamo de 300 000 €. Una entidad financiera
se lo concede con un interés del 7 % a devolver en 9 anualidades. Calcular el
valor de cada anualidad.
Aplicando la fórmula para determinar la anualidad de amortización:
A � 300 000 �
0
1
,0
,0
7
7
�
9
1
�
,0
1
79
� � 46 045,94 €
Se desea amortizar una deuda de 40 000 € en 4 años, al 10 % mediante
pagos trimestrales. ¿Cuál es la cuota trimestral que se debe satisfacer?
El interés cada trimestre es 2,5 % y 4 años corresponde a 16 trimestres:
A � 40 000 �
0,
1
0
,
2
0
5
25
�
1
1
6
,
�
02
1
516
�� 3 063,96 €
Determina las cuotas semestral y anual que se deben satisfacer para
devolver 15 000 € al 7 % anual en 3 años.
Solución: 2 815,02 € de cuota semestral y 5 715,77 € de cuota anual
Una persona decide comprar un piso que le cuesta 300 000 €. Como 
tiene 100 000 € ahorrados, pide una hipoteca al banco, que le conceden al 3,2 %
anual a devolver en 20 años. ¿Qué cuota debe satisfacer trimestralmente?
Solución: 3 394,41 €
20
19
Actividades
▼
▼
Año Cuota interés
Cuota
amortización
Capital amortizado (€)
Capital
pendiente
1
3
2
12 000 � 0,11 � 1 320 € 4 910,57 € 4 910,57 � 1 320 � 3 590,57 8 409,43 €
4 910,57 € 4 910,57 � 925,04 � 3 985,53 4 423,90 €
4 910,57 € 4 910,57 � 86,63 � 4 423,94 04 423,9 � 0,11 � 486,63 €
8 409,43 � 0,11 � 925,04 €
macs1b12
81
Se puede optar por calcular a1 y a30 y, a partir de aquí, sumar. Pero también es posible 
calcular solo a26. En este caso no es necesario hallar un término, porque (a5 � a26) � (a1 � a30):
a26 � a5 � d � (26 � 5) ⇒ a26 � �21 � (�1/3) � 21� �21 � 7 � �28
Por tanto:
S ��
a5 �
2
a26
�� 30 ��
�21
2
� 28
�� 30 � �735
Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética
1. Sumar los 30 primeros términos
de una progresión aritmética
sabiendo que: d � �1/3 y a5 � �21.
Cf � C�1 � �10r0��
n
⇒ 36 850 � 20 000 � 1,13n ⇒ 1,842 5 � 1,13n
Dado que tenemos la incógnita en el exponente, tomaremos logaritmos:
log 1,842 5 � log 1,13n ⇒ log 1,842 5 � n log 1,13 ⇒ n � �
lo
l
g
og
1,
1
8
,
4
1
2
3
5
� � 5 años
Intereses
2. Un inversor tiene 20 000 €
depositados al 13 % anual, calcular
cuánto tiempo debe pasar para
que se conviertan en 36 850 €.
Cf � C�1 � �10r0��
n
⇒ 2C � C � 1,07n ⇒ 2 � 1,07n
log 2 � log 1,07n ⇒ log 2 � n log 1,07 ⇒ n � �
lo
l
g
og
1,
2
07
� � 10,24 años
3. Determinar el tiempo quedebe
transcurrir para que una cantidad
colocada al 7 % anual de interés
compuesto se duplique.
En el caso de pagos anuales:
A � P �
(1
i
�
(1 �
i)n
i
�
)n
1
� ⇒ A � 4 000 000 �
0
1
,1
,1
2
2
�
10
1
�
,12
1
10
� � 707 936,66 €
Para pagos mensuales:
A � P �
(1
i
�
(1 �
i)n
i
�
)n
1
� ⇒ A � 4 000 000 �
0
1
,0
,0
1
1
�
12
1
0
,
�
011
1
20
� � 57 388,38 €
5. Un empresario solicita un
préstamo de 4 millones de euros al
12 % para su empresa y debe
devolverlo en 10 años. Determinar
la cuota de amortización en el caso
de pagos anuales y en el de pagos
mensuales.
A � P �
(1
i(
�
1 �
i)n
i
–
)n
1
� ⇒ A � 200 000 �
0,
1
0
,
5
0
5
55
�
2
1
0
,
�
055
1
20
�� 16 735,87 €
Cuotas de amortización
4. Una persona solicita un
préstamo de 200 000 € para 
la compra de una vivienda.
El préstamo tiene un interés 
del 5,5 % anual y se debe devolver
en 20 años mediante cuotas 
de amortización anuales. Cuando
han transcurrido 7 años, la persona
en cuestión decide cancelar 
el préstamo, ¿qué cantidad debe
abonar al banco?
Año Cuota interés
Cuota
amortización
Capital amortizado
(C. amort. – C.interés)
Capital
pendiente
1
3
4
2
200 000 � 0,055 � 11 000 16 735,87 5 735,87 194 264,13
16 735,87 6 051,34 188 212,76
16 735,87
16 735,87 
6 384,17
6 735,30 
181 828,59
175 093,29 
188 212,76 � 0,055 � 10 351,70
181 828,59 � 0,055 � 10 000,57
5 16 735,87 7 105,74 167 987,55 175 093,29 � 0,055 � 9 630,13 
6 16 735,87 7 496,55 160 491 167 987,55 � 0,055 � 9 239,32 
7 16 735,87 7 908,87 152 582,13 160 491 � 0,055 � 8 827
194 264,13 � 0,055 � 10 684,53
El cliente debe abonar 152 582,13 €.
Se puede observar que aunque se ha pagado mucho dinero, 117 151,09 €, se ha amortizado
poco porque las primeras cuotas tienen un porcentaje muy alto de intereses.
EJERCICIOS RESUELTOS
82
Sucesiones
El precio del alquiler de un piso es de 600 €. Si cada
año el propietario lo incrementa un 4,5 %, ¿cuál será el 
precio al cabo de 5 años?
Solución: 747,71 €
En una tienda de ropa, un determinado artículo tiene
un precio de 87 €. En las primeras rebajas se baja el precio
un 20 % y en las segundas, un 15 % del precio ya rebajado.
¿Cuál es el precio final?
Solución: 59,16 €
Un propietario tiene un piso valorado en 240 000 €,
hace 5 años.
a) Sabiendo que el precio de la vivienda se ha incremen-
tado en los últimos 5 años un 23 %, ¿cuál es el valor 
actual del piso? 
b) Si decide venderlo y al comprador le hace un descuento
del 7 %, ¿a cuánto lo vende?
Solución: a) 295 200 € b) 274 536 €
Calcula el término general de cada una de las suce-
siones siguientes.
a) 3, 7, 11, 15, 19, …
b) 2, 6, 18, 54, 162, …
c) 1, 3/2, 2, 5/2, 3, …
d) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, …
e) 2, 5, 10, 17, 26, …
f) 10, 26, 50, 82, …
g) �1/2, 1/5, 3/8, 5/11
h) 1, �2, �5, �8, �11, …
i) 4, 2, 1, 1/2, 1/4, …
Calcula las sumas de los 20 primeros términos de 
las progresiones aritméticas y geométricas de la actividad
anterior.
Solución: a) S20 � 820 
b) S20 � 3 486 784 400 c) S20 � 115 
h) S20 � �550 i) S20 � 8
Escribe los siete primeros términos de una progre-
sión aritmética cuyo primer término es a1 � 2 y cuya dife-
rencia es d � 1/3.
Solución: (an) � 2, 7/3, 8/3, 3, 10/3, 11/3, 4, …
Calcula el valor del término que ocupa el lugar 100
en una progresión aritmética de primer término –1 y dife-
rencia 3. Calcula, así mismo, la suma de los 100 primeros
términos de la progresión.
Solución: a100 � 296, S100 � 14 750
Calcula el primer término y la diferencia de una pro-
gresión aritmética tal que a3 � 1 y a30 � 82.
Solución: a1 � �5, d � 3
Calcula los cinco primeros términos de una progre-
sión geométrica que tiene como primer término 4 y cuya
razón es 1/5.
Solución: 4, 4/5, 4/25, 4/125/, 4/625
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Dada la progresión geométrica 3, 3�2�, 6, 6�2�, 12,…
determina el término 19 y la suma de los 19 primeros tér-
minos.
Solución: a19 � 1 536,
S19 � 3 069 � 1 533�2�
Los dos primeros términos de una progresión geomé-
trica son 3 y 8, determina la razón, el término 7 y la suma 
de los 7 primeros términos.
Solución: r � 8/3, a7 � 262 144/243,
S7 � 2 096 423/1 215
Determina la suma de los 10 primeros términos de
la progresión geométrica 4, 2, 1, 1/2, 1/4,…
Solución: S10 � �
1
1
0
2
2
8
3
�
Un concurso de televisión consiste en proponer al
concursante una sucesión de preguntas hasta que da una
respuesta equivocada y queda eliminado. Los premios 
para cada respuesta son de 1 € para la primera, 2 € para 
la segunda, 4 € para la tercera y así sucesivamente en 
progresión geométrica de razón 2.
a) Si el concursante responde 10 preguntas correctamente,
¿cuánto dinero conseguirá?
b) ¿Cuál es el número de preguntas que hay que responder
para conseguir un millón de euros o más?
Solución: a) S10 � 1 023 € b) 20 preguntas.
Intereses
Calcula a qué tanto por ciento de interés compuesto
debe colocarse un capital de 500 € si se quiere triplicar en
6 años. ¿Y si el capital es de 3 000 €?
Solución: 20,09 %, en ambos casos.
Se invierten 2 millones de euros a un interés com-
puesto anual del 6 %. ¿Cuál es el capital que habrá al cabo
de los 3 años?
Solución: Cf � 2 382 032 €
Calcula el capital que al ser invertido al 4 % anual de
interés compuesto nos proporciona 14 800 euros al finalizar
el décimo año.
Solución: C � 9 998,35 €
Una caja de ahorros ofrece a sus clientes un 9 % de
interés simple anual por una imposición de 15 000 €.
¿Cuánto tiempo debe transcurrir dicha cantidad para ob-
tener unos intereses de 9 450 €?
Solución: n � 7 años 
Se depositan en una libreta de ahorro 20 000 €,
¿qué interés simple nos dan si a los 4 años obtenemos un
capital total de 24 800 €?
Solución: r � 6 %
Una persona ha colocado 25 000 € en un fondo de 
inversión (en los fondos de inversión los intereses se 
acumulan al capital inicial) durante 2 años y obtiene 27 958 €.
¿Qué tipo de interés anual tenía ese fondo?
Solución: r � 5,75 %
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
83
Recibimos un préstamo de 30 000 € al 10 % anual,
lo hemos de devolver a los 5 años mediante un único 
pago. Averigua cuánto habremos de pagar si los períodos de
capitalización son:
a) anuales.
b) mensuales.
c) trimestrales.
Solución: a) C � 48 315,30 € b) C � 49 359,27 € c) C � 49 158,49 €
Pedimos un préstamo de 10 000 € al 6 % anual con
capitalización semestral. ¿Cuánto dinero deberemos abo-
nar transcurridos 3 años?
Solución: C � 11 940,52 €
Se deposita un capital de 3 000 € a un interés com-
puesto del 3 % anual durante 8 años. ¿Qué interés anual
habría de dar una entidad financiera para que un capital
de 2 500 € en un período de 10 años se convirtiera en el
mismo capital en que se convertirían los 3 000 € al 3 %?
Solución: 4,28 %
Un capital colocado a interés compuesto durante 
4 años se ha convertido en 1 345 517,58 €. Si hubiera 
estado depositado un año más habría producido
1 513 707,27 €. Calcula el tanto por ciento anual al que ha
estado colocado y el capital inicial depositado.
Solución: 12,5 %, Ci � 840 000 €
Un capital inicial se colocó durante 2 años al 9 %
anual; el capital obtenido se colocó al 5 % semestral durante
los 3 años siguientes y se convirtió en 7 960,84 €. ¿Cuál 
era el capital inicial?
Solución: C � 5 777,80 €
¿A qué interés se ha colocado un capital de 3 750 €
si al cabo de 5 años se ha convertido en 5 018,35 €?
Solución: 6 %
Tenemos una cuenta de ahorro al 5,75 % de interés
anual. Hasta ahora el banco nos abonaba los intereses a 
final de año, pero ahora nosotros querríamos que nos 
abonase los intereses trimestralmente. ¿Qué interés anual
equivalente nos habrá de pagar el banco?
Solución: 5,63 %
Calcula el capital que se ha de invertir para obtener
en 4 años 36 000 €:
a) Haciendo una única imposición inicial con un interés
simple del 5 %.
b) Haciendo una única imposición inicial con un interés
compuesto del 4 % con capitalización mensual.
Solución: a) 30 000 € b) 30 685,34 €
Tenemos un cierto capital en una cuenta bancaria en
lacual cada 4 meses nos abonan unos intereses de un 2 %
de este capital. ¿Cuál es el T.A.E. de esta cuenta bancaria?
Solución: T.A.E.� 2,01 %
Una entidad financiera ofrece un producto bancario
consistente en un 4 % anual capitalizable cuatrimestral-
mente. Calcula el T.A.E. de la operación.
Solución: T.A.E.� 4,05 %
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20 Una entidad financiera ofrece un producto capitali-
zable trimestralmente que supone un T.A.E. del 4 %. ¿Cuál
es el interés nominal?
Solución: 3,94 %
Una persona presta 10 000 € a un familiar. Cada tri-
mestre le da 200 € correspondientes a los intereses que
aquel capital ha producido durante ese trimestre. Calcula
el T.A.E. de este préstamo.
Solución: T.A.E.� 8,24 %
Determina cuál de los dos procedimientos finan-
cieros siguientes es más favorable para el inversor y calcula
también la diferencia que hay entre los dos capitales 
acumulados.
A. Ingresar 300 000 € a un interés simple del 8 % anual
durante 10 años.
B. Ingresar 300 000 € a un interés compuesto del 7 %
anual durante 10 años.
No recuerdo cuánto tiempo hace que coloqué
10 000 € en el banco a un interés compuesto anual que
ahora tampoco recuerdo. Esta mañana he ido al banco y
me han dicho que si ahora retirase el dinero me darían
13 310 €, pero que si espero 2 años me darán 16 105,10 €.
Calcula el interés anual que me abona el banco y los años
que hace que tengo el dinero. Di también cuál es el interés
anual equivalente que me habría de abonar el banco a
partir de ahora si le pido que me abone los intereses cada
mes.
Solución: r � 10 %, n � 3 años, rm � 9,57 %
Un banco ofrece dos opciones a sus clientes para
cobrar los intereses. Una consiste en un 2,25 % anual que
se ingresa mensualmente (cada mes se ingresa en la cuen-
ta la doceava parte de los intereses que le habría de pagar
a final de año a un 2,25 % anual). La otra posible opción es
un 2,4 % abonado trimestralmente (cada trimestre ingresa
la cuarta parte de los intereses que habría de pagar a final
de año a un 2,4 % anual) ¿Cuál de las dos opciones tiene el
T.A.E. más alto?
Hay dos anuncios muy parecidos en la prensa, rela-
tivos a posibles inversiones:
ANUNCIO 1
Interés del 5 % T.A.E. calculado para cualquier importe
superior a 1 €.
Abono mensual de intereses.
Tipo de interés nominal del 4,89 %.
ANUNCIO 2
Interés del 5 % T.A.E. calculado para cualquier importe
superior a 1 €.
Abono trimestral de intereses.
Tipo de interés nominal del 4,89 %.
Comprueba que el primer anuncio es correcto y explica si
puede serlo también el segundo.
35
34
33
32
31
30
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
84
Se pide un préstamo de 15 000 € a un interés anual
del 9,5 % a devolver en 15 años. ¿Qué cuota mensual debe
pagarse?
Solución: 157 €
Supóngase que en la actividad anterior la cuota
mensual que hay que pagar fuese de 125 €. ¿Cuánto tiempo
se tardaría en devolver el préstamo?
Solución: 376 meses
Dos amigos deciden realizar un viaje, para lo cual
deben reunir un capital de 8 000 € en 3 años. ¿Cuánto di-
nero han de colocar al año si el interés anual que les ofrece
el banco es del 8,2 %?
Solución: 2 273 €
Una señora deposita 50 € cada mes en una cartilla de
ahorro, al 5 % de interés anual, con la intención de acumular
un capital para su hijo. Sabiendo que empezó cuando el 
niño tenía seis años, determina qué edad tendrá el hijo 
cuando pueda retirar 5 000 €. ¿Qué cantidad de capital 
acumulado podrá retirar el hijo al llegar la mayoría de edad,
es decir, 18 años?
Solución: En 6 años y 11 meses podrá recuperar 5 000 €.
Y la cantidad acumulada hasta los 18 es 10 027,79 €
¿Cuánto tiempo se tardará en amortizar una deuda
de 2 500 € al 8,5 % de interés si se paga una anualidad de
250 €?
Solución: 23,25 años
Una familia tiene un préstamo hipotecario de
240 000 € al 8 % de interés anual a devolver en 15 años. Si
los pagos son mensuales, ¿qué cantidad mensual deberá
abonar a la entidad financiera para realizar una cance-
lación de su préstamo?
Solución: A � 2 299,11 €
Una persona abrió una cuenta de ahorro el día 1 de
enero de 2014 al interés (compuesto) del 0,3 % mensual.
Hizo una imposición inicial de 600 €. Desde entonces fue
ingresando 600 € en esta cuenta el día 1 de cada mes. El
día 1 de enero de 2015 ya no ingresó 600 € sino que sacó
todo el capital que tenía en la cuenta. Con el dinero que re-
tiró y un préstamo que le concedió el banco ese mismo día
se compró un coche que costaba 23 000 €. El importe del
préstamo era justamente la cantidad que le faltaba para
comprar dicho automóvil. El préstamo era al 1,1 % de interés
mensual y se debía devolver en 18 mensualidades del mis-
mo importe, la primera de las cuales se ha de pagar el 1 de
febrero de 2015. Determina el importe de las mensualidades.
Solución: A � 495,24 €
Una cierta entidad financiera presta un capital al
10 % anual amortizable en 10 años y otra entidad lo hace al
12 % a devolver en 9 años. ¿En qué entidad son más bajas
las anualidades? ¿Y en cuál es más baja la cantidad total
que se debe devolver? 
Decidimos ingresar en una cuenta de ahorro
1 200 € a inicios de año durante 10 años. En los seis prime-
ros años la libreta nos da unos intereses del 4,6 % y a partir
del séptimo año el interés disminuye al 4,2 % anual. ¿Cuál
es el saldo final de la libreta?
Solución: Cf � 15 289,86 €
51
50
49
48
47
46
45
44
43Cuando se afirma que la inflación anual es del 3,2 %,
se está indicando que un producto cuyo valor sea, por
ejemplo, de 100 € al inicio del año valdrá 103,20 € al fina-
lizar este. Según esto, halla cuánto habrá que pagar dentro
de 4 años por una vivienda que ahora cuesta 137 000 €,
suponiendo una inflación anual constante del 3,2 %.
Solución: P � 155 395,83 €
Considerando la misma inflación del 3,2 %, calcula
el precio que tenía una vivienda hace 4 años si actualmente
cuesta 200 000 €.
Solución: P0 � 176 323,91 €
Anualidades
Pepe tiene un préstamo de 10 000 € al 7 % de interés
compuesto por 6 años. ¿Qué anualidad debe abonar?
Solución: A � 2 097,98 €
Una familia desea abrir una cuenta vivienda para te-
ner un cierto capital en el momento de la compra. Ahorra
1 000 € mensuales y el banco le ofrece un 6 % de interés.
¿Cuánto habrá ahorrado a los 3 años? ¿Y a los 5?
Solución: En 3 años C � 39 532,79 €
En 5 años C � 70 118,88 €
El día 15 de abril del 2015 me dejaron 6 000 € a un
interés compuesto anual del 8 %. He de devolver este prés-
tamo en cinco anualidades del mismo importe, la primera
de las cuales he de pagarla el 15 de abril de 2016 y la últi-
ma, el 15 de abril de 2020.
a) Calcula el importe, A, de las anualidades.
b) Para cada uno de los años 2016, 2017 y 2018, calcula la
parte de la anualidad que se utiliza para pagar los inte-
reses del año y la parte que se destina a amortizar el
capital. Halla el capital total amortizado después de
pagar la anualidad y el capital pendiente en ese 
momento.
Solución: a) A � 1 502,74 €
b) 2016: Ctotal amortizado � 1 022,74 €, Cpendiente � 4 977,26 €
2017: Ct.a. � 1 104,56 €, Cp � 3 872,70 €
2018: Ct.a. � 1 192,92 €, Cp � 2 679,78 €
He abierto una cuenta corriente en un banco y he
olvidado qué interés anual me han dicho que me darán.
Recuerdo, sin embargo, que me han comentado que un ca-
pital cualquiera C ingresado en el banco a este interés, al
cabo de 12 años se habría duplicado.
a) ¿Qué interés compuesto anual me pagan?
b) ¿Cuál sería el interés mensual equivalente?
c) A partir de mañana, día 18 de diciembre de 2014, pien-
so ingresar 100 € cada mes al interés mensual anterior.
¿Cuánto dinero tendré el 18 de diciembre de 2015 an-
tes del ingreso correspondiente a aquel día?
Solución: a) r � 5,95 % b) r � 5,79 % 
c) C � 1 762,94 €
Un trabajador de 52 años invierte anualmente 
1 750 € a un interés compuesto del 5,5 % con la intención
de disponer de cierto capital cuando se jubile a los 
65 años. ¿De qué capital podrá disfrutar?
Solución: C � 33 762 €
42
41
40
39
38
37
36
85
Soy capaz de… Actividades
Resolver problemas de capitalización y amortización simple y compuesta utilizandoparámetros de aritmética mercantil. 1-10
Interpretar y contextualizar correctamente parámetros de la aritmética mercantil para 
resolver problemas del ámbito de la matemática financiera mediante los métodos de cálculo
o los recursos tecnológicos apropiados.
1-10
1. Calcula el capital final que se obtiene para los distintos casos que se dan:
a) Depositar 1 000 € a un interés simple del 3 % anual durante 3 años.
b) Capitalizar 500 € con un interés simple del 5 % anual durante 2 años.
c) Ingresar 1 500 € a un interés del 3 % anual durante 3 años.
d) Depositar 2 000 € a un interés del 2 % anual durante 2 años con un período de capitalización semestral.
2. Calcula el tiempo necesario para que una cantidad de 100 € se conviertan en una cantidad de 146,41 € con un
rédito anual del 10 %.
3. ¿Cuál es el rédito en una inversión para que una cantidad de 3 000 € durante 2 años se convierta en 3 307,50 €?
4. Un bono es un producto financiero que permite invertir una cantidad con un período de tiempo e interés fijo.
Calcula cuánto hay que invertir para que al finalizar el bono en 4 años, con un interés del 3 % se haya obtenido
una cantidad de 5 304,50 €.
5. Calcula el T.A.E. para los distintos supuestos:
a) Un rédito del 6 % anual con un período de capitalización semestral.
b) Un rédito del 12 % anual con un período de capitalización trimestral.
6. Un agente financiero ofrece un plan de pensiones a 5 años con un interés del 5 %. La anualidad para ese plan es
de 2 000 € cada año. Calcula cuánto podríamos ahorrar con ese plan de pensiones.
7. A través de un plan de ahorros, Ana ha ahorrado 30 000 €. Si el plan de ahorros ha durado 15 años con un inte-
rés anual del 6 %, calcula la anualidad que tenía que pagar Ana cada año.
8. Copia y completa la siguiente tabla para un préstamo de 1 000 € a 4 años. ¿Cuál es el interés?
9. Se obtiene un préstamo de 12 000 € con un interés anual del 2 % que se tendrá que devolver en 5 años. Calcula
la cuota de amortización y construye la tabla de amortización para cada año.
10. Utiliza la hoja de cálculo para elaborar la tabla de amortización y calcular la anualidad para una hipoteca de
150 000 € que se devolverá en 30 años a un interés de 1 % anual.
Año Interés
Cuota de
amortización
Amortización 
Capital
restante
0
2
3
1
� � � 1 000
282,01 � �
�
�
�
255,79
524,38
�
�
�
4 � � 013,43
50
Evaluación 
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