MATEMATICA-FINANCIERA_CICLO-III (1)

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III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MATEMÁTICA FINANCIERA 
 
III CICLO 
Cuaderno de Trabajo 
Formamos los Profesionales 
que el mundo exige 
 
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PRESENTACIÓN 
En una época de globalización y de alta competitividad como lo es el cambiante mundo 
moderno, es necesario estar al tanto de los diversos aspectos que forman parte de 
nuestro entorno. No sólo en el tema económico, también en el aspecto político, 
jurídico, social y cultural. Al estar mejor informado, el joven profesional podrá tomar 
mejores decisiones, ya que entiende cómo le afectan los cambios en el entorno. El 
manejar y entender eficientemente la información es uno de los principales 
argumentos que facilita la toma de decisiones en el mundo actual, y es un factor clave 
para el éxito en la vida. 
 
La motivación principal para el desarrollo e implementación de estos cuadernos de 
trabajo es permitir que nuestros docentes y estudiantes posean una herramienta 
uniforme, que los asista de manera eficiente en su proceso de enseñanza- aprendizaje. 
La Universidad de la Integración de las Américas (UNIDA) cumple de esta manera con 
la finalidad de apoyar y colaborar con nuestros estudiantes, por medio de la 
implementación de este moderno sistema de ayuda al aprendizaje, único en el 
Paraguay. 
 
El pensar en cómo brindar un mejor servicio a nuestros estudiantes es nuestro 
principal motor. Acompañarlos en su proceso de enseñanza aprendizaje es una 
obligación y un reto en sí mismo. El estudiante de UNIDA ya es por sí un estudiante 
sobresaliente, el cual exige y demanda lo mejor de sus docentes y del valioso equipo 
que los acompaña día a día en esta apasionante tarea que es participar en la formación 
de los futuros líderes del Paraguay del siglo XXI. 
 
 
UNIDA. 
 
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UNIVERSIDAD DE LA INTEGRACIÓN DE LAS AMÉRICAS 
LA VISIÓN 
"Es ser reconocida como una Institución de referencia en el escenario educativo 
regional, proporcionando a la sociedad, profesionales de excelencia con valores éticos 
y capacidades para integrarse a equipos multidisciplinarios e internacionales." 
 
LA MISIÓN 
"Promover la Educación Superior en todos los niveles formando profesionales capaces 
de contribuir para el desarrollo social y económico de la región y del país, buscando 
siempre la mejoría en la enseñanza, la viabilidad financiera y la satisfacción de sus 
alumnos, así como la producción de conocimiento a través de las investigaciones y 
servicios de extensión a la comunidad." 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Índice Pág. 
UNIDAD I 
EL INTERÉS SIMPLE 11 
TEMA 1: INTERÉS SIMPLE 13 
TEMA 2: EL MONTO O EL VALOR FUTURO 20 
TEMA 3: AMORTIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE O PAGOS PARCIALES 23 
TEMA 4: EL DESCUENTO 24 
TEMA 5: INTERÉS COMPUESTO. DESCUENTO COMPUESTO. 29 
TEMA 6: AV1 EXÁMENES PARCIALES 44 
 
---------------------------------------- 
UNIDAD II 
ANUALIDADES O RENTAS 45 
TEMA 7: ANUALIDADES O TEORIAS DE LA RENTA 46 
TEMA 8: VALOR DE LA ANUALIDAD O RENTA 51 
---------------------------------------- 
UNIDAD III 
AMORTIZACIÓN Y FONDO DE AMORTIZACIÓN 55 
TEMA 9: AMORTIZACIÓN 57 
TEMA 10: RETROALIMENTACIÓN 62 
----------------------------------------- 
UNIDAD IV 
APLICACIONES 63 
TEMA 11: INVERSIONES: BONOS, OBLIGACIONES Y ACCIONES 64 
TEMA 12: VALORES 65 
TEMA 13: AV2 EXÁMENES PARCIALES 71 
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TEMA 14: DEDRECIACIÓN Y AGOTAMIENTO 72 
TEMA 15: RENTAS VITALICIAS 80 
TEMA 16: SEGUROS DE VIDA 88 
TEMA 17: PF EXÁMENES FINALES 94 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA FINANCIERA 
 
COMPETENCIA 
• Reconocer y comprender los conceptos fundamentales, fórmulas y procedimientos de 
aplicación de los modelos matemáticos descriptivos pertinentes. 
 
CAPACIDADES 
• Identifica las características y cálculos propios a los intereses simple y compuesto. 
• Reconocer y comprender los conceptos fundamentales, fórmulas y procedimientos de 
aplicación de los modelos matemáticos descriptivos pertinentes. 
• Identifica las posibilidades de amortizaciones, así como la empleabilidad práctica de las 
mismas. 
• Reconocer los conceptos, métodos, fórmulas y procedimientos de los modelos matemático-
financieros descriptivos, aplicar eficazmente y valorar la importancia del uso y aplicaciones 
de este conocimiento en el mundo financiero. 
 
ACTITUDES 
• Demuestra responsabilidad en la investigación y el trabajo en equipo. 
• Practica la puntualidad en el horario de clases, la realización de trabajos en equipo e 
individuales asignadas por el docente. 
• Asume responsabilidad, respeto por los demás y creatividad cuando trabaja en equipo e 
individual. 
• Demuestra una actitud proactiva, asertiva, orden y respeto a los docentes en el desarrollo 
de las sesiones de aprendizaje. 
 
 
 
 
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UNIDAD I 
EL INTERÉS 
CAPACIDAD 
• Identifica las características y cálculos propios a los intereses simple y compuesto. 
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES 
• Formaliza y expresa con propiedad los conceptos teóricos sobre el interés en el tiempo. 
• Calcula el valor de las capitalizaciones y actualizaciones, así como los descuentos. 
• Identifica y aplica las variables de cálculo en las amortizaciones. 
• Distingue a través de casos las diferentes situaciones de descuento que se puedan 
presentar. 
• Realiza los cálculos pertinentes al interés compuesto. 
CONTENIDOS CONCEPTUALES 
TEMA 1: EL INTERÉS SIMPLE 
TEMA 2: EL MONTO O VALOR FUTURO 
TEMA 3: AMORTIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE O PAGOS PARCIALES 
TEMA 4: EL DESCUENTO 
TEMA 5: INTERÉS COMPUESTO. DESCUENTO COMPUESTO 
TEMA 6: AV1 EXÁMENES PARCIALES 
 
 
 
 
 
 
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DIAGRAMA DE CONTENIDOS 
 
 
 
 
EL 
INTERÉS 
 
ANUALIDADES 
O 
RENTAS 
 
AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE 
AMORTIZACIÓN 
 
 
APLICACIONES 
 
MATEMÁTICA FINANCIERA 
 
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SEMANA 1, UNIDAD I 
TEMA 1: INTERÉS SIMPLE 
Introducción 
Si arrendamos un bien inmueble valorizado en Gs. 90.000.000 –casa, oficina o tienda 
comercial-, pagamos por el derecho de ocupación un alquiler de Gs. 12.000.000 fijado 
por lapsos de tiempo medidos por meses, trimestres, semestres o años. (Para el caso 
es anual.) 
Si pedimos un préstamo a un banco de Gs. 90.000.000 también pagamos una cierta 
suma de dinero por el alquiler del dinero prestado -digamos que sean Gs. 12.000.000 
anuales- a este producto que pagamos se le llama interés. 
 
Entonces los inversionistas en bienes raíces tienen su dinero invertido en inmuebles y 
la remuneraciónde su inversión se le llama alquiler, mientras que el beneficio de los 
capitales que prestan o alquilan las entidades del sistema financiero se llama interés, 
es decir tanto el alquiler como el interés son producto de capitales invertidos. 
 
Definiciones del Interés que la literatura de la especialidad refiere: 
Definición 1.- Se llama interés a la ganancia o utilidad producida por un préstamo, 
depósito o inversión mediante una operación ya sea comercial bancaria o financiera. 
(Fernando Dávila Atencio). 
 Definición 2.- Interés es el pago por el uso del dinero ajeno. También puede decirse 
que interés es el dinero que produce un capital al invertirlo, al otorgarlo en préstamo o 
al pagarlo por la adquisición de bienes y servicios en operaciones crediticias. (José Luis 
Villalobos). 
 
Definición 3.- El interés es el precio a pagar por disponer de un capital y que depende 
en gran medida de los siguientes factores: 
• Del beneficio económico o social a obtener con la utilización de dicho capital, 
• Del tiempo de la operación, a mayor tiempo mayor interés aunque la tasa de 
interés permanezca invariable, 
• De la seguridad sobre el buen fin de la inversión, y del respaldo de la persona que 
solicita el crédito. Se supone que a mayor riesgo debe corresponder una mayor 
tasa de interés y viceversa, 
• De la situación del mercado de dinero. Una mayor demanda sobre la oferta 
presionará a un incremento de la tasa de interés, o a elegir entre aquellos 
demandantes de capital que presenten menor riesgo potencial. 
• De otras variables de carácter económico, político, social, etc. (Carlos Aliaga 
Valdez). 
 
Definición 4.- El interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero 
tomado en préstamo. (Lincoyán Portus Govinden). 
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Definición 5.- Podemos definir el interés como la ganancia generada por un capital 
invertido en forma productiva. (Jorge Valencia de la L.). 
 
Definición 6.- El interés es la renta que se paga por el uso del dinero (Robert y Hellen 
Cissell). 
 
Definición 7.- Remuneración que un prestatario paga a un prestamista por la 
utilización del dinero. (Banco Central de Reserva del Perú). 
 
Definición 8.- Interés es la cantidad que se paga por el uso del dinero que se pide 
prestado. (Loyce C. Gossage, Ed. D.) 
 
Existen en la literatura del curso muchas otras definiciones acerca del tema del interés, 
he consignado solo ocho de ellas, de autores nacionales y extranjeros y en conclusión 
notamos que todos definen el interés como remuneración, suma de dinero que se 
paga, ganancia generada por el dinero invertido, etc., todas están en lo cierto, unas 
más completas y complejas que otras, pero en resumen encierran lo mismo. 
 
El interés definido desde un punto de vista utilitario presenta dos situaciones: 
Punto de vista del prestamista.- Para un prestamista, es el dinero que cobra por los 
créditos, colocaciones o inversiones que hace. 
Punto de vista del prestatario.- Para un prestatario, el interés es el dinero que paga por 
el dinero que recibe o toma en calidad de préstamo. 
 
En la práctica el interés se calcula básicamente en función de los siguientes factores: el 
Capital o Principal o Stock inicial de efectivo, la tasa de interés y el tiempo o plazo; 
complementariamente a estos factores se debe tomar en cuenta el riesgo que cada 
operación en particular acarrea, también las variables económicas, políticas y sociales, 
que se dan en el entorno operacional, todas hacen que la tasa de interés y los plazos 
varíen. 
 
Definición de los factores que determinan el Interés: 
El Capital o Principal o Stock Inicial de Efectivo ( P ), es la suma prestada, colocada, 
invertida o recibida en una operación con interés, este puede estar dado en moneda 
nacional o en moneda extranjera. También se le llama valor actual o valor presente o 
valor líquido o volumen monetario o dinero, etc. 
La Tasa de Interés (i), es el índice o indicador del costo o precio del dinero en una 
economía en particular. Se dice que cada país tiene un diferente espectro de tasas de 
interés - entendiéndose como tal, aquel que se constituye por todos los valores que la 
tasa de interés puede asumir en un momento determinado en operaciones financieras 
pasivas y activas -. 
 
La tasa de interés se enuncia o expresa como tanto por ciento (%), pero se le trabaja 
ecuacionalmente a tanto por uno en las fórmulas financieras,-valor que obtiene 
simple-mente desplazando coma decimal dos lugares a la izquierda y quitando el 
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símbolo % -. Algunos autores citan la importancia de la tasa de interés por ser un 
indicador de la salud económica de un país y por su utilidad en Planificación 
económica. 
 
El Tiempo o Plazo (t), es el factor que refiere el periodo durante el cual el prestatario 
estará en posesión de todo o parte del dinero prestado. Cuando el tiempo de un 
problema es expresado por una fracción de año, se manejará mediante una fracción 
a/b en donde el numerador “a” expresará el número de meses o días citados en el 
caso-problema y el denominador “b” dependerá de la expresión que contenga el 
numerador, si son meses el denominador será 12 y si son días será 360. 
Interés Simple ( I ).- Su modelo matemático simplemente lo define como el producto 
de los factores Capital o Principal ( P ), la Tasa de interés ( i ) y el tiempo ( t ). En esta 
operación el capital o principal permanece constante durante el plazo de la operación. 
 
Interés Simple = Capital o Principal x Tasa de Interés x tiempo 
I = P . i . t 
 
Esta fórmula o modelo matemático nos refiere que el interés es directamente 
proporcional al capital, tasa de interés y el tiempo o plazo. 
 
Ejemplo 1: Una pareja compra una casa, financiada con un préstamo de Gs. 
50.000.000 a la tasa del 15% de interés simple. El plazo total del préstamo es de 10 
años. 
a) ¿Cuál será el interés a pagarse durante todo el plazo?, 
b) ¿Cuál es el interés vencido del primer trimestre? y 
c) ¿Cuál es el interés vencido de los primeros 45 días? 
Factores: 
I =? P = Gs. 50.000.000 i = 15% o 0,15 
t
1 
=10 años t
2 
= 3 meses t
3 
= 45días 
 
Rpta. Este problema tiene tres respuestas 
 I
1 
= 50.000 x 0,15 x 10 = Gs. 75.000 
Que corresponde al plazo total de la deuda que es de 10 años 
I
2 
= 50.000 x 0,15 x 3/12 = Gs. 1.875.000 
Que corresponde a la segunda interrogante, por un tiempo de 3 meses. 
I
3 
= 50.000 x 0,15 x 45/360 = Gs 937,50 
Y esta última que corresponde al interés vencido por 45 días. 
 
Como se aprecia en el desarrollo del ejercicio los factores capital y tasa de interés se 
mantienen constantes, siendo el factor tiempo el elemento que particularmente ha 
variado para que se note su modo operativo o de trabajo en cada caso. 
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Ejemplo 2: Juan Alegre recibió un préstamo de $35 000,00 al 18% para invertirlos en 
un negocio. ¿Cuánto pagará por un año al prestamista por concepto de interés? 
Factores: I =? P = Gs. 35.000 i = 18% o 0,18 t = 1 año 
I = 35.000 x 0,18 x 1 = Gs. 6.300 
 
Rpta. El Sr. Juan Alegre pagó al prestamista $6 300 por concepto de intereses. 
Si el plazo fuera por dos años. Al final de dicho plazo el interés devengado será: 
I = 35.000 x 0,18 x 2 = Gs. 12.600 
 
Al final de una n - ésimo año el total de intereses devengados será de: 
I = 35 000 x 0,18 x n 
 
Para que la ecuación funcione los factores tasa de interés y tiempo deben ser 
homogéneos, es decir si la tasa de interés es anual, el tiempo de la operación deberá 
ser expresado en años. Si la tasa fuera mensual, el tiempo habrá de citarse en meses. 
 
Las aplicaciones fundamentales del interés simple se tienen en las cuentas de ahorro, 
los certificados de depósito, las cuentas a plazo, las letras de cambio, los pagarés,etc. 
 
Determinación de los factores Capital o Principal, Tasa de interés y Tiempo o Plazo: 
Cuando se conoce tres elementos de la ecuación del interés es posible determinar el 
cuarto factor a partir de las siguientes ecuaciones: 
 
Capital = 
tiempoxerésdeTasa
SimpleInterés
int
 Tasa de Interés = 
tiempoxCapital
SimpleInterés
 
 
Tiempo = 
InterésdeTasaxCapital
SimpleInterés
 
 
Problemas de aplicación 
1. ¿Qué inversión fue la que produjo en 2 años un interés de S/.34 566,00 si la tasa 
de interés de la operación era del 24%? 
Factores: P= ? I = Gs. 34.566.000 i = 24% o 0,24 t = 2 años 
P = 
224,0
56634
x
 = Gs. 72.012.050 
 
2. ¿Cuál fue el crédito que se otorgó si se pagó Gs. 22.222.222 dólares americanos 
por concepto de intereses al cabo de 9 meses si la tasa de interés que se acordó 
fue de 17,5%? 
Factores: P = ? I = U.S. Gs. 22.222.222 i = 17,5% o 0,175 t = 9 meses 
P = 
12/9175,0
22,22222
x
 = Gs. 169.312,15 
 
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3. ¿A qué tasa de interés anual tendrá que colocarse un capital de S/.23 456,78 para 
que en el plazo de 30 meses produzca S/. 12 345,67? 
Factores: I = Gs. 12.345,67 P = Gs. 23.456,78 t = 30 meses i = ? 
 
i = 
12/3078,45623
67,34512
x
 = 0,210526252964 ó 21,05% 
 
4. ¿Durante qué plazo deberá colocarse Gs. 11.222,33 para que al 9,6% anual 
produzca un interés de Gs. 3.232,03? 
Factores: I = Gs. 3.232,03 P = Gs. 11.222,33 i = 9,6% o 0,096 t = ? 
 
t = 
096,033,22211
03,2323
x
 = 3 años 
 
Si el resultado de un problema de cálculo de tiempo fuera fraccionario se multiplicará 
dicha fracción por 360 días y obtendrá el número de días al que se aplicará el 
redondeo correspondiente. 
¿Determinar el plazo de inversión necesario para que un capital de $678 901, sea 
remunerado con un interés de: Gs. 144.500, si la tasa que rige la operación es del 
14,4%? 
Factores: I = Gs. 144.500 P = 678 901 i = 14,4% o 0,144 t = ? 
 
t = 
144,0901678
500144
x
 = 1,478083288 años 
 
Para convertirlo a días multiplicamos el resultado por 360 y tenemos: 
t = 1,478083288 x 360 = 532,1099836 o 532 días 
 
5. Una persona colocó la cuarta parte de su capital al 36% anual durante 4 meses y el 
resto al 24% por un año. Si por la primera inversión cobró Gs. 84.000.000 de 
intereses. ¿Cuánto cobró de interés por el resto? ¿Cuál era su capital? ¿Qué suma 
invirtió en cada caso? ¿Cuánto recibió de intereses en total? 
 
Rpta. Primera: ¿Cuánto invirtió en el primer caso? 
Como colocó la cuarta parte de su capital este será igual a P/4=? El interés que recibió 
por dicha inversión fue de Gs. 84.000 = I; tiempo de inversión t
1 
= 4 ms. La tasa de 
interés fue del: 36% Luego tenemos 
 
P/4 = 
36,012/4
84000
x
 = Gs. 700.000 
 
El capital total invertido P =? P/4 = Gs. 700.000 P =700.000 x 4 = S/. 2.800.000 
El resto invertido o segunda inversión: 2.800.000 – 700.000 = Gs. 2.100.000 
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Interés rentado por la segunda inversión: I = 2.100.000 x 0,24 x 1 = Gs. 504.000 
Cobró en total por intereses: 84.000 + 504.000 = Gs. 588.000 
Calcular los intereses rentados por Gs. 25.000, Gs. 33.500 y Gs. 44.750 durante 45, 57 y 
73 días respectivamente a la tasa del 9%. Como es la misma tasa de interés se puede 
aplicar el método de los números mercantiles o numerales y tenemos 
I =[25.000x0.09x45/360]+[33.500x0.09x57/360]+[44.750x0.09x73/360]= 
I = 281,25 + 477,375 + 816,6875 = $ 1 575,31 
Si multiplicamos 0,09 x 360 el denominador Δ = 4.000 que sería el número mercantil o 
numeral que corresponde y el interés rentado será I = Gs. 1.575,31 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
 
INTERÉS SIMPLE 
Objetivo: 
Verificar la comprensión acerca de los elementos del interés simple 
Autoevaluación: dadas las características prácticas e instrumentales del curso, a 
continuación se formulan ejercicios de comprobación de los diferentes puntos 
dictados: 
1. Determinar el interés moratorio cobrado a una letra de cambio no pagada a su 
vencimiento, si su valor nominal es de Gs. 4.567,89 si es cancelada el día de hoy 14 
de marzo de 2008 sabiendo que venció el 04 de diciembre de 2007 si se cobra una 
tasa de interés del 33%. (año bisiesto) 
 
2. Hallar el capital prestado en una operación que liquidó por concepto de intereses 
Gs. 2.222,22 entre el 15 de octubre de 2007 y el día de hoy 14 de marzo de 2008 si 
la tasa de interés que se aplicó fue del 18,5%. 
 
3. ¿A qué tasa de interés se prestaron Gs. 25.000,00 si se paga por concepto de 
intereses Gs. 1.234,56 entre el 20 de septiembre del 2006 y el 28 de febrero del 
2008?(año bisiesto) 
 
4. ¿Cuál fue el plazo de inversión de un principal de US$83.444,55 si se liquidaron 
intereses por la suma de US$12.345,67, a la tasa de 12,75%? (año bisiesto) 
 
5. Determinar el interés simple que produce un capital de Gs. 6.000.000 en 90 días, 
colocando al 8% de interés anual. 
 
6. Sabiendo que Josué invierte Gs. 5.000.000 y al termino de un año recibe 
Gs. 5.176. 400 por su inversión. Determine la tasa de interés anual. 
 
7. Esteban deposita cierto capital, a interés simple, durante 1 año, 6meses y 9 dias. 
Genera un interés de US$ 6.1400. Determina el capital primitivo, si la tasa de 
interés anual es del 10%. 
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8. Teresa invierte ahora US$ 3.500 en una cooperativa que paga intereses del 38% 
anual. En cuantos días tendrá US$ 4.300? 
 
 
 
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SEMANA 2, UNIDAD I 
TEMA 2: EL MONTO O VALOR FUTURO 
Cuando los intereses producidos por un capital determinado se suman a éste, la 
cantidad que se obtiene se llama monto, factor que denotaremos por la letra S 
mayúscula. 
Es decir 
S = P + I ( 
1 
) 
Si reemplazamos en ( 
1 
) al factor I por sus factores que lo determinan nos queda: 
S=P + P.i.t 
Como observamos el factor P se repite en el miembro de la derecha de la igualdad lo 
factorizamos y nos queda: 
S = P [1 + i. t], 
Que es la fórmula ( 
2 
) para calcular el monto de una obligación sin pasar por el cálculo 
previo del interés. 
 
Problema de aplicación 1: 
Una persona solicita un préstamo de Gs. 25.000.000 al 18% anual durante 56 días. 
¿Cuánto deberá pagar al vencer el plazo? 
Factores I = ? S = ? P = Gs. 25.000.000 i = 18% o 0.18 t = 56 días 
 
Podemos obtener el resultado de dos maneras: 
1ra. Calculando primero el interés y lo sumamos al capital prestado 
I = 25.000 x 0,18 x 56/360 = 700,00 
Interés que sumamos al capital y nos queda 
S = 25.000 + 700 = 25 700. 
La segunda opción es directa y aplicamos la fórmula ( 
2 
) 
Aplicando la fórmula del monto obtenemos: 
S = 25.000 [1+ (0,18) x (56/360)]= 25.700 
El monto se utiliza para valuar instrumentos financieros en el corto plazo a interés 
simple, tales como letras de cambio, pagarés, intereses moratorios y compensatorios 
por plazos relativamente cortos, etc. 
 
Valor presente de una deuda a interés simple. 
Es aquel valor que tiene un instrumento financiero en una fecha anterior a la de su 
vencimiento. La fórmula de determinación del valor presente la obtenemos 
despejando el factor capital de la ecuación de monto 
P = [ ]ti
S
.1+
 Fórmula ( 3 ) 
 
 
 
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Problema de aplicación 2: 
1. Determinar el valor presente de una letra de cambio que tiene un valor de 
vencimiento de $ 23 456,67 que se vende 75 días antes de su vencimiento a la tasa 
del 24% de interés anual 
Factores: P = ? S = $23 456,67 i = 24% o 0,24 t = 75 dias 
 
Aplicando la fórmula ( 3 ) 
P = 
)360/7524,01(
67,45623
x+
 = Gs. 22.339,69 
 
2. ¿Cuánto se pagó por un pagaré cuyo valor de vencimiento era de Gs. 333.333,33, 
que se vendió faltando 100 días para su vencimientoa la tasa de 27.5% y luego 
nuevamente faltando 45 días a la tasa de 33%? 
Parte 1 Factores: P
1 
= ? S = Gs. 333.333,33 i = 27,5% o 0,275 t = 100 días 
P1 = )360/100275,01(
33,333333
x+
 = Gs. 309.677,416258 
 
Parte 2 Factores: P
2 
= ? S= Gs. 333.333,33 i = 33% o 0,33 t = 45 días 
P2 = )360/4533,01(
33,333333
x+
 = Gs. 320.128,05 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
MONTO A INTERÉS SIMPLE Y VALOR PRESENTE 
Objetivo: 
Verificar la comprensión acerca de los elementos del monto y el valor presente 
Autoevaluación: Dadas las características prácticas e instrumentales del curso, a 
continuación se formulan ejercicios de comprobación de los diferentes puntos 
dictados: 
1. Determinar el monto o valor de vencimiento o valor futuro anotado en una letra 
de cambio que se emitió al financiar una venta de US$34 123,45 a la tasa del 21% 
de interés entre el día de hoy 14 de marzo de 2005 sabiendo que su vencimiento 
es el 04 de diciembre de 2005. 
 
2. Hallar el capital prestado en una operación que se liquidó con pagaré de US$56. 
789,12 entre el 04 de octubre de 2004 y el día 29 de septiembre de 2005 si la tasa 
de interés que se aplicó fue del 14,25%. 
 
3. Determinar el valor presente de una letra de cambio de US$ 50.000,00 que se 
vendió a la tasa del 21% de interés el día de hoy 11 de abril de 2005 sabiendo que 
su vencimiento es el 04 de septiembre de 2005. 
 
4. Determine el interés sobre un préstamo de Gs. 3.500.000 realizado el 4 de 
febrero con vencimiento el 19 de mayo si la tasa de interés es el 8%?. 
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5. Pablo consigue un préstamo por valor de U$S 3.000 a dos años 7 meses de 
plazo con una tasa de interés simple bimestral del 3%. Cuánto pagará al final de 
los dos años por el préstamo recibido?. 
 
6. Néstor prestó Gs. 200.000 el 18 de febrero de 2010 con intereses al 12,5%. Esta 
deuda debe ser liquidada el 24 de diciembre de 2010. Cuánto dinero devolverá 
en la fecha de vencimiento? 
 
7. Cuál es el valor actual de un televisor que se paga con un enganche o anticipo 
del 30% y un documento a 3 meses con valor nominal de Gs. 1.200.000 e 
interés anual del 22%?. 
 
8. Nicolás desea adquirir una computadora, cuyo precio de contado es de Gs. 8 
000.000. A plazo en 6 cuotas, la empresa que vende recarga el 3% mensual con 
tasa de interés directa. Calcula la cuota mensual que debe abonar. 
 
9. Calcula los intereses que producirá un capital de Gs. 1.000.000 colocados a 
interés simple durante dos años, 5 meses y 20 días, si la tasa es 20% anual 
durante el primer año y 36% anual durante el resto de la operación. 
 
10. Se coloca un capital por dos años. El primer año al 20% anual de interés simple 
y el segundo año al 30% de interés simple. A los nueve meses se aporta una 
cantidad de dinero igual a los intereses ganados hasta la fecha. Determina el 
capital inicial, si el monto final a los dos años es de Gs. 425.625 
 
11. Colocaron Gs. 5.000.000 a interés simple durante dos años. El primer año al 
24% anual y el segundo al 30 % anual. A los 15 meses se retiró una cantidad de 
dinero igual al 10% del monto acumulado hasta los seis primeros meses. 
Calcular el monto constituido al final de los dos años. 
 
12. Le ofrecen a un inversionista un galpón en una zona industrial por Gs. 100.000 
000. Su asesor de bienes raíces estima que podría venderlo dentro de dos años 
en Gs. 126.000.000 debido a que la zona industrial está en expansión. Por otro 
lado su banco le garantiza el 20% de interés simple anual con un riesgo bajo. 
Invertiría en el galpón el inversionista? 
 
 
 
 
 
 
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SEMANA 3, UNIDAD I 
TEMA 3: AMORTIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE O PAGOS PARCIALES 
 En el desarrollo de este tema trata de aplicaciones del interés simple a través de casos 
prácticos respecto al tratamiento que reciben las amortizaciones que se hacen a 
deudas en términos del interés simple. Tratará de Casos como el de la regla de los 
Estados Unidos de Norteamérica (USAR) y Regla Comercial o del Comerciante o 
Merchant Ruler (MR). 
En el desarrollo en si el alumno aplicará lo aprendido en los dos primeros temas 
estudiados ya que a través de una rutina para cada regla se determinará saldos 
pendientes de pago, luego de haber sido amortizadas las deudas respectivas. 
El enfoque es práctico en base a casos. 
Por ejemplo: 
La Empresa de Inversiones A & B S.A. obtuvo un préstamo de $ 4’500 000,00 el 28 de 
abril del 2003 con vencimiento al 02 de abril del 2008, a la tasa del 20% de interés. 
Entre las partes se acuerda la aceptación de amortizaciones proponiendo el deudor el 
siguiente calendario de amortizaciones: 
1ra. El 23 de abril del 2004 importe Gs. 1.400.000 
2do.El 20 de Octubre del 2004 importe Gs. 600.000 
3ro.El 17 de abril del 2005 importe Gs. 800.000 
4to.El 10 de Octubre del 2005 importe Gs. 900.000 
5to.El 9 de Mayo del 2006 importe Gs. 750.000 
6to.El 30 de septiembre del 2006 importe Gs. 850.000 
7mo.El 14 de febrero del 2007 importe Gs. 1.000.000 Si las amortizaciones 
fueron tratadas por las reglas en estudio, determinar su saldo en la fecha de 
vencimiento. 
En este caso el alumno a través de una práctica dirigida resuelve en aula el problema 
previa referencia del profesor acerca de los pasos a seguir en cada caso. En la práctica 
al aplicarse los conocimientos el alumno resolverá dos situaciones totalmente 
diferentes es decir las respuestas de la aplicación de ambas reglas reporta resultados 
diferentes, aunque en ambas situaciones los procesos que se siguen son lógicos. 
Adicionalmente se propone para el mismo caso la aplicación de la M.R. 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
AMORTIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE 
Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se 
entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo. 
 
AUTOEVALUACIÓN 
El Informe por escrito respectivo lo tendrá que presentar en la clase siguiente y será 
anotado en el registro su cumplimiento o no, como factor de referencia para una 
evaluación en parte subjetiva por parte del profesor. 
 
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SEMANA 4, UNIDAD I 
TEMA 4: EL DESCUENTO 
En el desarrollo de este tema se hace un enfoque inicial, respecto a los puntos de vista 
existentes para el tratamiento o estudio del descuento: el punto de vista del hombre 
de la calle y punto de vista financiero o bancario. 
El hombre común lo relaciona con aspectos de la compra venta de bienes y servicios y 
para él, la palabra descuento la interpreta como una rebaja sustantiva que se aplica o 
deduce de un precio conocido o precio de lista de bien de capital artículo o servicio 
que se concede por alguna razón causa motivo o circunstancia. Y en estos casos los 
descuentos se clasifican en: 
Únicos y 
Sucesivos, En Serie o En Cadena o Eslabonados 
 
Al respecto, se dice tal como lo refiere su expresión descuento único aquel que se 
deduce directamente si esta expresado por una cantidad o previa cuantificación 
también se deduce del precio de lista o precio marcado de un bien artículo servicio 
 
Ejemplo 1. Un producto que vale Gs. 120.000 le aplican un descuento de Gs. 20.000 
luego por él pagaré Gs. 100.000. 
 
Ejemplo 2. Una tienda hace descuento de temporada del 25% a sus productos en 
general. ¿Si una persona compra Gs. 360.000 de ellos, el valor líquido a pagar será? 
Para ello previamente tengo que cuantificar el interés es decir determino el 25% de 
360 que es 90, por tanto el valor líquido a pagar por la compra con el descuento único 
del 25% es de 360 – 90 = Gs. 270.000 
 
Respecto a los descuentos sucesivos en serie o en cadena estos tienen que cumplir las 
siguientes propiedades: 1ra. No se pueden sumar dado que su deducción o aplicación 
es uno por uno a saldos insolutos,aunque después veremos que se pueden convertir a 
una tasa única equivalente (T.U.E.) cuya fórmula empírica dice lo siguiente: 
 
TUE = 1 - [ (1 – i
1
) (1 – i
2
)...........(1 – i
n
) ] 
 
Luego para aplicarlos en sí se les deduce uno por uno. 
 
Ejemplo 3: La Empresa Avícola Santa Ángela ofrece descuentos del 20% + 12% + 8% + 
2,5% a sus compradores mayoristas de huevos, por compras mayores de S/. 50 000,00. 
Si la Tienda Comercial Central hace una compra de Gs. 75000.000. ¿Cuánto pagará por 
su compra finalmente si se favorece con los descuentos antes referidos? 
Rpta. 
Valor Original de la compra: Gs. 75.000 
Menos el 1er. Descuento del 20% Gs. 15.000 
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Saldo después de deducir 1er. Dcto Gs. 60.000 
Menos el 2do. Descuento del 12% Gs. 7.200 
Saldo después de deducir el 2do. Dcto. Gs. 52.800 
Menos el 3er. Descuento del 8% Gs. 4.224 
Saldo después de deducir el 3er. Dcto. Gs. 48.576 
Menos el 4to. Descuento del 2,5% Gs. 1.214 
Por ser el último descuento por deducir 
Se le llama Saldo a pagar o valor líquido Gs. 47.361,60 
Resultado que también se podría obtener si aplicamos la TUE, es decir si convertimos 
las 4 tasas de descuento en una tasa única equivalente aplicando la fórmula a la 
siguiente información: 
 
Si d
1
= 20% o 0,2; d
2
= 12% o 0,12; d
3
= 8% o 0,08 y d
4
= 0,025 
TUE = 1 - [ (1- 0,2)(1-0,12)(1-0,08)(1-0,025)] = 0,368512 
Luego si el valor bruto de la compra es de Gs. 75.000 y a este le deducimos el 
36,8512% de descuento único tendré un valor líquido a pagar por la compra de : 
75.000 – (0,368512 x 75 000) = 75.000 – 27.638,40 = Gs. 47.361,60 
 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
El Descuento Comercial 
Objetivo: 
Verificar la comprensión acerca de los elementos del descuento comercial 
Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se 
entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo. 
 
AUTOEVALUACIÓN 
Resolver los siguientes problemas: 
1. Determinar el valor líquido a pagar en los siguientes casos: 
a.- Un aceite para autos se vende a Gs. 67,50 el galón y por una promoción se hace 
un descuento de Gs. 15,00. 
b.- Una tienda vende sus artículos de verano con un descuento del 35%, si una 
persona hace una compra de Gs. 980.000 y se beneficia con el descuento antes 
referido. 
2.- Tiendas Quality por fin de temporada vende todos los artículos de temporada con 
descuentos sucesivos del 25% +18% + 10%. Para un comprador de dichos artículos 
por la suma de Gs. 3.333,33. Deduciendo los descuentos uno por uno y aplicando la 
TUE 
3.- La Distribuidora de Alimentos S.A. ofrece a sus compradores de dulces importados 
descuentos del 17,5% + 12,5% + 7,5% + 4,5%. Si la Tienda PUN DUN GUN EIRL, hace 
una compra por la suma de Gs. 123.456,78, de los artículos antes mencionados, 
Deduciendo los descuentos uno por uno y aplicando la TUE. 
4.- Determinar la TUE para los siguientes descuentos sucesivos: 
a.- 20% + 20% 
b.- 25,5% + 15,4% + 5,6% 
Material exclusivo para los alumnos de la UNIDA. Prohibida su reproducción Página 26 
 
c.- 30,75% + 20,25% + 10,875% 
d.- 7,375% + 5,125% + 3,250% + 1,625% 
 
EL DESCUENTO COMERCIAL 
 
En el mundo financiero las operaciones comerciales se realizan a través del crédito y el 
pago se efectúa mediante documentos o instrumentos comerciales que son los 
llamados documentos de crédito, tal es el caso de las letras de cambio, los pagarés, 
obligaciones financieras, etc., que tienen el valor de pago referido en su contenido. En 
estos instrumentos, la persona deudora al aceptarlos adquiere el compromiso de pago 
dentro de un tiempo determinado. El acreedor que recibe estos documentos no tiene 
necesidad de esperar a su vencimiento para hacerlos efectivos o líquidos, ya que 
puede cobrarlos antes en la institución bancaria con la que maneje sus operaciones 
financieras, lógico será que al venderlos recibirá una suma menor que la consignada en 
los documentos, ya que la entidad financiera le descontará los días de anticipación o 
días que faltan para vencimiento. Esa diferencia valuada a partir del valor registrado en 
el documento constituye el Descuento Financiero o Bancario o Simple, es un interés 
sustractivo o adelantado o negativo. 
Su fórmula o modelo matemático simplemente define al Descuento Simple o Bancario 
o Financiero y denota por la letra mayúscula D como el producto de los factores Monto 
o valor de vencimiento o Valor Futuro (S), la tasa de interés cobrada por adelantado a 
la que se llama tasa de descuento denotada por la letra (d) y el tiempo de anticipación 
al vencimiento por el que se practica la operación. 
Descuento Simple = Monto o Valor de Vencimiento o Valor Futuro x Tasa de Descuento 
x Tiempo 
D = S . d . t 
 
También se utiliza con frecuencia la fórmula del valor líquido: 
Valor Líquido P = Monto o Valor de Vencimiento Valor Futuro menos 
 
Descuento Simple 
P = S – D 
 
Si reemplazamos D por los factores que lo determinan nos queda: 
P = S – S.d.t 
 
Como vemos el factor monto se repite, por ello factorizamos y nos queda: 
P = S (1 – d . t) 
 
Problema de aplicación: Una letra de cambio de valor de vencimiento Gs. 22.500 va a 
ser vendida el día de hoy en el Banco Interamericano de Finanzas, cuando faltaban 60 
días para el vencimiento si el banco aplica una tasa de descuento del 25%. ¿Cuál será la 
retención o descuento practicado por el banco al documento, y cuál será el valor 
líquido abonado por dicho instrumento? 
Factores: D = ? VF = Gs. 22.500 d = 25% o 0,25 t = 60 días 
Material exclusivo para los alumnos de la UNIDA. Prohibida su reproducción Página 27 
 
Aplicando la fórmula del Descuento tenemos: 
D = 22.500 x 0,25 x 60/360 = Gs. 937,50 
 
Para determinar el valor líquido aplicamos: 
P = 22.500 – 937,5 = Gs. 21.562,50 
 
También si queremos obtener directamente el valor líquido sin pasar por el cálculo 
previo del Descuento aplicamos la ecuación respectiva y tenemos: 
P = 22.500 [1 – (0,25) (60/360)] = Gs. 21.562,50 
 
Problema de aplicación 1: 
Un pagaré de valor de vencimiento $27 850,00 va a ser vendido el día de hoy en el 
Banco Interbank, cuando faltaban 180 días para el vencimiento si el banco aplica una 
tasa de descuento del 27,75%. ¿Cuál será la retención o descuento practicado por el 
banco al documento, y cuál será el valor líquido abonado por dicho instrumento? 
Factores: D = ? VF = Gs. 27.850,00 d = 27,75% o 0,2775 t = 180 días 
Rpta. 
Aplicando la fórmula del Descuento tenemos: 
D = 27.850 x 0,2775 x 180/360 = Gs. 3864,1875 
Para determinar el valor líquido aplicamos: 
P = 27.850 – 3864,1875 = Gs. 23.985,8125 
También si queremos obtener directamente el valor líquido sin pasar por el cálculo 
previo del Descuento aplicamos la ecuación respectiva y tenemos: 
P = 27.850 [1 – (0,2775) (180/360)] = Gs. 23.985,8125 
 
Problema de aplicación 2: 
Una obligación financiera paga a su vencimiento Gs. 360.000 va a ser vendida el día de 
hoy al Scotianbank, cuando faltan 540 días para el vencimiento si el banco aplica una 
tasa de descuento del 14,5%. ¿Cuál será la retención o descuento practicado por el 
banco al documento, y cuál será el valor líquido abonado por dicho instrumento? 
Factores: D = ? VF = Gs. 27.850 d = 14,5% o 0,25 t = 540 días 
Aplicando la fórmula del Descuento tenemos: 
D = 360.000 x 0,145 x 540/360 = Gs. 78.300,00 
Para determinar el valor líquido aplicamos: 
P = 360.000 – 78.300 = Gs. 281.700,00 
También si queremos obtener directamente el valor líquido sin pasar por el cálculo 
previo del Descuento aplicamos la ecuación respectiva y tenemos: 
P = 360.000 [1 – (0,145) (540/360)] = Gs. 281.700,00 
 
Problema de aplicación 3: 
Determinar el valor de vencimiento de una letra de cambio si con ella se consigue un 
financiamiento de $2’250 500,00 documentos que va a ser emitido el día de hoy 
siendo su vencimiento programado a 5 años si el banco aplica unatasa de descuento 
del 7,5%. 
Factores: S=? P = $2’250 500,00 d = 7,5% o 0,075 t = 5, años 
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Para determinar el valor futuro aplicamos su fórmula de determinación: 
S = [ ]).(1 td
P
−
 
P = [ ])5)(075,0(1
500250'2
−
 = Gs. 1.406.562,50 
 
 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
DESCUENTO BANCARIO O FINANCIERO 
Objetivo: 
Verificar la comprensión acerca de los elementos del descuento bancario o financiero. 
Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se 
entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo. 
 
AUTOEVALUACIÓN 
Resolver los siguientes problemas: 
1.- Hallar el valor líquido pagado por una obligación financiera que paga al vencimiento 
Gs. 250.000,00 Si se descuenta a la tasa del 21%, entre el 19 de marzo del 2006 y el 20 
de junio del 2008.- Un proyecto de inversión requiere de Gs. 2.000.000 en efectivo 
para su ejecución dinero que sólo se consigue utilizando una línea de crédito de 
descuento de pagarés autorizada en el Banco y en la que se cobra el 9,875% de 
descuento a un plazo de 5 años. 
 
El Informe por escrito respectivo lo tendrá que presentar en la clase siguiente y será 
anotado en el registro su cumplimiento o no, como factor de referencia para una 
evaluación en parte subjetiva por parte del profesor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material exclusivo para los alumnos de la UNIDA. Prohibida su reproducción Página 29 
 
SEMANA 5, UNIDAD I 
TEMA 5: INTERÉS COMPUESTO. DESCUENTO COMPUESTO 
INTERÉS COMPUESTO 
El interés compuesto simplemente es la aplicación reiterada del interés de tipo simple 
a un capital que crece a unidades constantes de tiempo llamados periodos de 
conversión, capitalización o interés, por efecto de sumarse el interés al capital. En 
términos más sencillos el interés compuesto es la operación que consiste en sumar el 
interés al capital periódicamente, formando cada vez un nuevo capital. Este hecho de 
sumarse el interés al capital luego de un periodo o unidad de tiempo se conoce como 
capitalización del interés. 
 
Ejercicios de aplicación 
1.- Calcular la suma que se obtendría, al término de 3 años, si invertimos $150,000.00 
al 18% capitalizando los intereses semestralmente, aplicando la definición de interés 
compuesto dada inicialmente que dice que el interés compuesto es la aplicación 
reiterada del interés simple...... y también si la inversión se realizara a interés simple a 
la misma tasa del 18% 
Aplicando la definición el procedimiento sería: 
Capital Inicial o al comienzo del plazo Gs. 150.000 
Interés simple del 1er.semestre I = 150,000.00 x 0.18 x 6/12 = Gs. 13.500 
Capital al comienzo del Segundo semestre Gs. 163.500 
Interés simple del 2do.semestre I = 163,500.00 x 0.18 x 6/12 = Gs. 14.715 
Capital al comienzo del Tercer semestre Gs. 178.215 
Interés simple del 3er.semestre I = 178,215.00x 0.18 x 6/12 = Gs. 16.039 
Y así hasta concluir el plazo tenemos la tabla demostrativa siguiente: 
 
Tabla de Acumulación de Intereses 
Semestre Capital al Comienzo. Interés del semestre Capital al término de cada 
semestre de cada semestre 
 Capital Intereses Capital e intereses 
1 150.000 13.500 163.500 
2 163.500 14.715 178.215 
3 178.215 16.039 194.254 
4 194.254 17.482 211.737 
5 211.737 19.056 230.793 
6 230.793 20.771 251.565 
 
 
 
 
 
Material exclusivo para los alumnos de la UNIDA. Prohibida su reproducción Página 30 
 
TOTAL INTERESES ACUMULADOS 101 565,02 
En la tabla de acumulación de intereses se observa en la columna Capital al término 
del semestre, que al concluir el plazo de 6 semestres (3 años) la suma acumulada del 
capital más los intereses capitalizados semestre a semestre es de $251 565,02 y se 
conoce como Monto Compuesto. Si calculamos la diferencia entre el Monto 
Compuesto y el Capital invertido inicialmente obtenemos el Interés Compuesto para 
nuestro ejemplo obtiene un valor de: 
251.565,02 – 150.000,00 = Gs. 101.565,02. 
El proceso descriptivo de estimación o cálculo anotado líneas arriba es conocido como 
Método Largo o Método demostrativo del proceso de cálculo del Monto Compuesto, 
aplicable a situaciones o problemas de muy corto plazo. 
Ahora si la operación anotada como ejemplo se hubiera realizado a interés simple, el 
monto o valor futuro a este tipo de interés al final de los 3 años de inversión sería de: 
(aplicando la ecuación de monto simple) 
 
S = P [ 1 + t . i ] = 150 000 [1+(3)(0,18) ] = $ 231.000 
 
Comparando el resultado operativo del Monto Simple con el Monto Compuesto o 
Valor Futuro S observamos que existe una diferencia de Gs. 20.565,02 que en la 
práctica viene a ser el interés generado por el propio interés. 
 
Cuando el plazo de una operación es largo, determina un número grande de periodos 
de capitalización y hace que el método largo antes desarrollado sea prácticamente 
imposible de aplicar por lo trabajoso de su aplicación unitaria, es en esos casos que se 
recurre a la aplicación de una ecuación o fórmula que simplifique dicho proceso de 
cálculo, dándose entonces el Método Corto, del que desarrollaremos la deducción de 
su ecuación previo tratamiento de los factores vinculados a él. 
 
Definiciones previas de los factores vinculados al interés compuesto. 
Capitalización: Proceso por el cual el interés generado en una unidad de tiempo se 
agrega o añade o suma al capital. 
Periodo de conversión o de capitalización o de interés (p
c
): es el tiempo o plazo que 
se mide o transcurre entre dos cómputos sucesivos de interés. 
Frecuencia de conversión o de capitalización o de interés (f
c
): es el número de veces 
por año que el interés se capitaliza o añade o suma al capital. 
Entre el periodo y la frecuencia de conversión existe una directa correspondencia, es 
decir a cada periodo de conversión o de capitalización le corresponde una frecuencia 
determinada, siendo los periodos más usados los siguientes: 
Periodo de conversión (p
c
) Frecuencia (f
c
) 
Anual 1 
Semestral 2 
Cuatrimestral 3 
Trimestral 4 
Bimestral 6 
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Cada 45 días 8 
Mensual 12 
Cada 21 días 17,14 
Quincenal 24 
Semanal 51,43 
Diario 360 
 
Tasa de Interés: En problemas de interés compuesto, la tasa de interés presenta 3 
valores llamados: Tasa Nominal ( TNj ó j ), Tasa efectiva por periodo de conversión, 
capitalización o interés (TEPI ó i ) y Tasa efectiva anual ( TEA ). 
 
La primera expresión es la tasa nominal, que denotaremos por la letra “j” minúscula o 
las siglas TNj, en la mayoría de operaciones financieras se acostumbra a mencionar la 
tasa anual de interés, -el valor de dicha expresión se cumple sólo en el caso de que la 
capitalización sea anual- y va acompañada de la frecuencia de conversión 
capitalización o de interés (f
c
) y es a partir de esos datos que se determina la segunda 
expresión llamada tasa efectiva por periodo, (esta se define como aquella tasa que 
efectivamente gana un capital prestado o invertido por periodo de conversión 
capitalización o interés) la que denotaremos por la letra “i” minúscula, 
 
Para obtener el valor de esta tasa efectiva por periodo bastará con dividir la tasa 
nominal entre la frecuencia de conversión, así por ejemplo si una operación se lleva a 
cabo a la tasa del 18% capitalizable bimestralmente el valor de la tasa efectiva por 
periodo será: 
i = 18%/6 = 3% 
Que se interpreta como que la operación gana o cobra o paga el 3% efectivo cada 
bimestre, porque la tasa nominal j es igual al 18%, la frecuencia de conversión que le 
corresponde a un intervalo bimestral es 6. 
 
La tercera expresión es la tasa efectiva anual, la definimos como aquella tasa que 
efectivamentegana un capital en un año de inversión (es decir siempre que dejemos 
que el interés producido se capitalice durante un año). En la actualidad un dispositivo 
legal obliga a las entidades financieras a comunicar a sus clientes la tasa efectiva anual 
que cobran en sus operaciones así como las comisiones por cuota, portes y cargos por 
seguros al inicio de las operaciones. 
 
Tiempo: En problemas de interés compuesto el tiempo se trabaja bajo la forma de 
unidades de tiempo que marcan el ritmo del proceso de capitalización siendo estas 
llamadas periodos de conversión o de capitalización o de interés. Entonces el tiempo o 
plazo deberá ser expresado por un número "n" de periodos de conversión, que se 
obtiene multiplicando el tiempo en años o fracción de año por la frecuencia de 
conversión, o de capitalización o de interés. 
 
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Ejemplo 1: Una transacción económica se realiza a un plazo de 3 años a la tasa de 
interés del 21% capitalizable mensualmente. ¿Cuántas capitalizaciones de interés se 
realizarán durante ese plazo? 
Rpta. Para calcular dicho número, primero vemos qué frecuencia de capitalización le 
corresponde a un periodo capitalización mensual y observamos que es 12, luego 
aplicamos la fórmula para calcular n y tenemos: n = 3 años x 12 = 36 
 
Monto Compuesto o Valor Futuro Interés Compuesto 
 
Proceso de deducción de su Fórmula de Cálculo o Método Corto. 
Si un capital VP es colocado a la tasa de interés i por periodo de capitalización, el 
Monto Compuesto o Valor Futuro VF a interés compuesto al final de un número n de 
periodos de capitalización teóricamente nos describirá la siguiente expresión: 
 
Periodo Capital al Intereses generados Capital e intereses al 
 Inicio del periodo en el periodo término de cada periodo 
 1 VP VPi VP + VPi = VP(1+i) 
 2 VP(1+ i) VP(1+ i)i VP(1+ i)+VP(1+ i)i = VP(1+i)
2 
 
 3 VP(1+ i)
2 
VP(1+ i)
2
i VP(1+ i)
2
+VP(1+ i)
2
i = VP(1+i)
3 
 
 . . . . . . . . . . . . 
 n VP(1 + i)
n-1 
VP(1 + i)
n-1 
i VP(1+ i)
n-1
+VP(1 + i)
n-1
i = VP(1 +i)
n 
 
 
Luego tenemos la fórmula de cálculo del Monto compuesto o Valor Futuro a Interés 
Compuesto: 
VF = VP( 1 + i )
n
, en donde 
VF = Monto Compuesto o Valor Futuro a Interés Compuesto o Valor de Vencimiento 
VP = Capital o Capital Inicial 
 (1 + i)
n 
= Factor de Simple de Capitalización de la Unidad Monetaria o factor simple de 
capitalización FSC siglas que corresponden a la hoja de cálculo Excel. 
 
Los valores del factor simple de capitalización de la unidad monetaria (1 + i)
n 
se pueden 
determinar por multiplicación sucesiva, utilizando tablas financieras pre elaboradas, 
logaritmos, por la fórmula del binomio de Newton o calculadoras con funciones. Se 
podrá utilizar las tablas financieras si ellas registran los valores que estamos 
trabajando de "i", sino se recurrirá a la utilización de calculadoras científicas que 
tienen tanto logaritmos como exponentes. 
 
Problemas de aplicación 1: 
1.- Calcular los montos compuestos resultantes de invertir Gs. 50, Gs. 9.000 y Gs. 360 
000 a la tasa del 14% capitalizable trimestralmente al cabo de 5 años. 
Rpta. Factores: VP
1
=$50 VP
2
=Gs. 9.000 VP
3
=Gs. 360.000 
j = 14% p
c 
= trimestral f
c 
= 4 i = 14%/4 = 3,5% o 0,035 
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t = 5 años n = 5 x 4 = 20 VF
1 
= ? VF 
2 
=? VF
3 
=? 
VF
1 
= 50 (1 + 0,035)
20 
= 50 x 1,98978886347 = Gs. 99,4894431735 ≅ $99,49 
VF
2 
= 9.000 (1 + 0,035)
20 
= 9.000 x 1,98978886347 ≅ $17 908,10 
VF
3 
= 360.000 (1 + 0,035)
20 
= 360.000 x 1,98978886347 ≅ $716 323,99 
2.- Se invierten S/.12 000 nuevos soles durante 3 años a la tasa del 18% capitalizable o 
convertible bimestralmente. Determinar el Monto Compuesto, Interés Compuesto y la 
Tasa efectiva anual. Rpta. VP = S/.12 000 j = 18% p
c = Bimestral fc = 6 i = 18%/6 = 3% t 
=3años 
n =3x6 = 18 
Aplicando la fórmula tendremos: 
VF = 12.000(1+ 0,03)
18 
= Gs. 20.429,20 
I
c 
= 20.419,20 – 12.000 = Gs. 8.429,20 
TEA = (1 + i)
fc 
– 1 = (1 + 0,03)
6 
– 1 = 0,19405229653 o ≅19,41% 
 
3.- Se invierten $147 500 dólares americanos durante 30 meses a la tasa del 14,4% 
capitalizable o convertible mensualmente. Determinar el Monto Compuesto, Interés 
Compuesto y la Tasa efectiva anual. 
Rpta. VP = S/.147 500 j = 14,4% p
c 
= mensual f
c 
= 12 i = 14,4%/12 = 1,2% 
t =30 meses n = 30/12 x 12 = 30 
Aplicando la fórmula tendremos: 
VF = 147.500 (1+ 0,012)
30 
= Gs. 210.963,54 
I
c 
= 210.963,54 – 147.500 = Gs. 63.463,54 
TEA = (1 + i)
fc 
– 1 = (1 + 0,012)
12 
– 1 = 0,15389462418 o ≅15,39% 
 
4.- Calcular los montos compuestos resultantes de invertir $66,888 a la tasa del 12% 
capitalizable semestralmente, trimestralmente, bimestralmente, mensualmente y 
quincenalmente al cabo de 4 años. 
Rpta. Factores: VP
1-2-3-4 y 5 
= $66 888 j
1-2-3-4 y 5 
= 12% 
p
c1
= semestral f
c1 
=2 i
1 
= 12%/2 = 6% t
1 
= 4 años n
1 
= 4x2 = 8 VF
1 
= ? 
p
c2
= trimestral f
c2 
=4 i
2 
= 12%/4 = 3% t
2 
= 4 años n
2 
= 4x4 = 16 VF
2 
= ? 
p
c3
= bimestral f
c3 
=6 i
3 
= 12%/6 = 2% t
3 
= 4 años n
3 
= 4x6 = 24 VF
3 
= ? 
p
c4
= mensual f
c4 
=12 i
4 
= 12%/12 = 1% t
4 
= 4 años n
4 
= 4x12 = 48 VF
4 
= ? 
p
c5
= quincenal f
c5 
=24 i
5 
= 12%/24 = 0.5% t 
5 
=4 años n
5 
= 4x24 = 96 VF
5 
= ? 
VF
1 
= 66.888 (1 + 0,06)
8 
= 66.888 x 1,59384807453 = $106 609,31 
VF
2 
= 66.888 (1 + 0,03)
16 
= 66.888 x 1,6047064391 = $107 335,60 
VF
3 
= 66.888 (1 + 0,02)
24 
= 66.888 x 1,60843724948 = $107 585,15 
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VF
4 
= 66.888 (1 + 0,01)
48 
= 66.888 x 1,61222607768 = $107 838,58 
VF
5 
= 66.888 (1 + 0,005)
96 
= 66.888 x 1,61414270846 = $107 966,78 
Tasas Equivalentes. 
Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de conversión son 
equivalentes si producen el mismo interés compuesto al término del año. 
 
Ejercicios de aplicación 
1. Hallar el monto compuesto o valor futuro de una unidad monetaria al final de un 
año a las tasas: 
Caso 1: 8% capitalizable trimestralmente 
Caso 2: 8,243216% capitalizable anualmente. 
Caso 1: VF = VP(1+i)
n 
= 1(1+ 0,08/4)
4 
= 1,08243216 
Caso 2: VF = VP(1+i)
1 
= 1(1 + 0,08243216)
1 
= 1,08243216 
Al obtener resultados similares podemos concluir que las tasas del 8% capitalizable 
trimestralmente y 8,243216 capitalizable anualmente, son equivalentes. 
 
2. Hallar la tasa que capitalizada anualmente es equivalente a la tasa nominal del 
18% capitalizable o convertible bimestralmente 
1+i = (1 +0,18/6)
6
 
i = (1 +0,03)
6 
– 1 
i = 0,19405229653 o sea 19,41% 
 
Determinar la tasa nominal j convertible mensualmente equivalente a la tasa efectiva 
anual del 12%. 
1 + j/12 = (1,12)
1/12
 
j = 12 [(1,12)
1/12 
– 1 ] 
j = 0,1138655148 ó 11,39% 
 
3. Determinar el tiempo necesario para que una inversión de Gs. 22.222 colocados a 
la tasa del 9,6% capitalizable bimestralmente se triplique es decir se acumule un 
monto compuesto o valor futuro de Gs. 66.666. 
Rpta. Datos: VP = Gs. 22.222; VF = Gs. 66.666; i = 9,6%/6 = 0,016 
A partir de la ecuación general del monto compuesto: VF = VP(1+ i)
n 
igualamos factores 
66.666 = 22.222 (1+0,016)
n 
 
(1 + 0,016)
n 
= 66.666/22.222 = 3 
 
Luego utilizando logaritmos despejo n: 
n log (1,016) = log 3 
 
Luego n = log 3 /log 1,016 = 69,21112097 x 60 = 4.152,667258 = 4 153 días aprox. 
 
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También se puede convertir a años dividiendo el resultado entre 360: 
4152,667258/360 =11,53518683 años y la fracción a la derecha de la parte entera 
multiplicarla por 12 y obtendremos los meses adicionales:0,53518683 x12= 6,422241933 meses y la fracción a la derecha de la parte entera 
multiplicarla por 30 y obtendremos los días que directamente redondearemos: 
0,422241933 x 30= 12,667258 ≅ 13 días. 
 
Ejercicios de aplicación 
1. Obtener los factores: Capital o principal, tasa nominal, periodo de conversión 
capitalización o interés, frecuencia de conversión, tasa efectiva por periodo, tiempo 
y número de periodos de conversión capitalización o interés y determinar el monto 
compuesto, interés compuesto y tasa efectiva anual para los siguientes problemas. 
a.- Una inversión de 80.000 dólares a la tasa del 14% capitalizable trimestralmente 
durante 27 meses 
b.- Un crédito de 45.678,00 dólares a la tasa de 12,6% capitalizable mensualmente 
durante 900 días. 
c.- Una persona apertura una cuenta plazo con un depósito inicial de Gs. 7.500,00 
cuentas que pagan un interés del 18% capitalizable diariamente durante 1.000 días. 
 
2. Un contrato de crédito hipotecario que financia el 80% del valor de una propiedad 
avaluada en Gs.120.000 a la tasa del 17,1% de interés capitalizable mensualmente 
a un plazo de 12 años. Determinar el valor futuro del contrato 
Rpta. Primero calculo el 80% de 120.000 = 96.000 (Capital Financiado) = P 
 
 Luego aplico la fórmula del Valor Futuro a mis factores predeterminados 
VF= 96.000(1+ 0,01425)
144 
=96.000(7,671536544)= Gs. 736.467,5083 
 
3. Una persona invirtió en una cuenta de ahorros Gs. 33.333 dólares la que pagaba 
un interés del 8,4% capitalizable mensualmente al cabo de 3 años de inversión, la 
tasa de interés fue bajada al 7,8% con capitalización quincenal, tasa que duró 18 
meses al término de dicho plazo bajó al 7,2% capitalizable bimestralmente. Si a la 
fecha han transcurrido 30 meses del último cambio de la tasa de interés ¿Cuánto 
habrá acumulado en la cuenta? 
 Rpta. 
VF = 33.333 (1+0,084/12)
36
(1+0,078/24)
36
(1+0,072)
15
= Gs. 57.593,4497 
VF = 33.333(1,285467023)(1,123906189)(1,195935307) ≅ Gs. 57.593,45 
 
4. Hallar la tasa nominal j, convertible mensualmente equivalente a la tasa efectiva 
anual del 12,9%. 
 Rpta. 
[1+(j/12)]
12 
= 1.129 traslado el exponente del miembro de la izquierda al de la derecha 
y tendremos: 1+(j/12) = (1,129)
1/12 
despejando j tenemos 
j = 12[(1,129)
1/12 
– 1] = 12[1,010162313 – 1]= 0,1219477546 
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j = 12,19477546% ≅ 12,19% 
 
5. Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal del 18% capitalizable o 
convertible trimestralmente. 
 Rpta. 
1+ i = [1+ (0,18/4)]
4 
despejando i 
tenemos i = (1+0,045)
4 
– 1 = 0,1925186006 
luego i ≅ 19,25%. 
 
6. Determinar el plazo necesario para que una inversión de Gs. 34.567,89 invertidos 
a la tasa del 18% capitalizable o convertible diariamente determine un monto 
compuesto o valor futuro de Gs. 100.000,00. Rpta. 
Factores: P =34.567; F = 100.000; i = 0,18/360 = 0,0005 Reemplazamos en la ecuación 
general de cálculo del valor futuro 100.000 = 34 567 (1 + 0,0005)
n 
 
2,892932566 = (1,0005)
n 
utilizando logaritmos despejamos el exponente “n” 
n log (1,0005) = log 2,892932566 n = log 2,892932566/log 1,0005 = 
n = 2 125,072524 periodos y dado que la capitalización es diaria la respuesta será n = 2 
125 días. 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
INTERÉS COMPUESTO 
Objetivo: 
Verificar la comprensión acerca de los elementos del interés compuesto. 
Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se 
entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo. 
AUTOEVALUACIÓN 
Resolver los siguientes problemas: 
 
1. Determinar el plazo necesario para que una inversión de Gs. 23.456 genere un 
monto compuesto de Gs. 44.444 si se paga un interés del 21% capitalizable o 
convertible mensualmente. La respuesta la das tú. 
 
2. Determinar el plazo de inversión para que un principal de Gs. 15.750 determine un 
monto compuesto o valor futuro de Gs. 43.210 estando invertido a la tasa del 24% 
capitalizable bimestralmente. La respuesta la das tú. 
 
3. El día en que nació su primogénito, sus padres depositaron a su nombre, Gs. 4.800 
dólares en una cuenta de ahorro que paga el 6% capitalizable trimestralmente. 
¿De cuánto dispondrá el hijo cuando cumpla los 21 años? 
 
4. Calcular el monto compuesto o valor futuro de una inversión de Gs. 42.000 a la 
tasa del 9% si la capitalización es: anual, semestral, trimestral, bimestral y 
mensual. Las respuestas las das tú. 
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Ley del Crecimiento Orgánico 
El modelo matemático que describe el interés compuesto o ley del interés compuesto 
se le llama también ley del crecimiento orgánico cuando es aplicada por los 
investigadores a todo fenómeno de la naturaleza, la ciencia, el campo comercial o 
mundo empresarial que se modifique en proporción constante, para ello el operador 
del modelo debe tener suficiente experiencia para su uso, porque debe trasladar al 
futuro tasas o porcentajes de variación que tuvieron vigencia en el pasado, haciendo 
las adecuaciones respectivas en las variables que opere 
 
a) La población de una determinada ciudad aumentó entre los años 1979 y 1999 a la 
tasa del 3,87% anual aproximadamente y el censo de dicha ciudad de 1999 dio una 
población de 567.890 habitantes. ¿Cuál será la población previsible de dicha 
ciudad para los años 2005 y 2010 suponiendo que continuara vigente la misma 
tasa de crecimiento poblacional? 
 Rpta. Factores: 
Caso 1 VP = 567 890, i = 0,0387 y n
1999-2005 
= 6 años F
2005 
= ? 
VF
2005 
= 567 890(1 + 0,0387)
6 
≅ 713 190 habitantes 
Caso 2 P = 567 890, i = 0,0387 y n
1999-2010 
= 11 años F
2010 
= ? 
 VF
2010 
= 567.890(1 + 0,0387)
11 
≅ 862.295 habitantes 
 
b) Las utilidades de una empresa han crecido entre 1980 y 1998 a razón del 12,5% 
anual aproximadamente. Si las utilidades del año 1998 fueron de Gs. 444.444,44 
¿Cuáles serían las utilidades proyectadas de esa empresa para los años: 2000, 
2001 y 2002, si continuara vigente dicha tasa de crecimiento? 
 Rpta. 
VF
2000 
= 444.444,44 (1 + 0,125)
2 
= Gs. 562.499,99 
VF
2001 
= 444.444,44 (1 + 0,125)
3 
= Gs. 632.812,49 
VF
2002 
= 444.444,44 (1 + 0,125)
4 
= Gs. 711.914,06 
AUTOEVALUACIÓN 
1. En un establecimiento comercial las ventas se han venido incrementando de 
manera constante año a año a la tasa de 6,75% anual. Si volumen de las ventas en 
1998 fue de Gs. 376.450,00 ¿Cuál será el volumen estimado para el año 1999, 
2000, 2001, 2002, 2003 y 2004, respectivamente? 
 
2. Durante el periodo 1980 – 1997, el dividendo anual pagado por acción común de 
la empresa Grafica B & H S.A. aumentaron a razón del 7,75% anual 
aproximadamente. Si dicho beneficio fue de Gs. 144,89 para 1997. ¿Qué dividendo 
o beneficio anual puede estimarse para el año 1999, 2000 y 2001? 
 
 
 
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Valor Actual, Presente o Líquido de una deuda a Interés Compuesto. 
Se define como aquel capital o principal P tal que, el monto compuesto o valor futuro a 
una fecha establecida sea igual a la cantidad dada o referida en el presente. La fórmula 
de cálculo la obtenemos despejando el factor capital o principal P a partir de la 
ecuación de monto compuesto o valor futuro a interés compuesto F. 
VP = VF / (1+ i)
n
, cociente que se puede expresar como producto empleando el 
exponente negativo: VP = VF (1+ i)
-n 
 
En donde 
VP = Valor actual, presente o líquido de una deuda a interés compuesto 
VF = Monto Compuesto o Valor futuro a interés compuesto. 
(1 + i)
-n 
= Factor del Valor actual, presente o líquido de la unidad monetaria, o Factor 
Simple de Actualización compuesto FSA
i;n
, en donde i es la tasa efectiva por periodo y n 
el número de periodos. Este factor en problemas de seguros (matemática actuarial) se 
representa por el símbolo v
n
,cuyos valores se encuentran en tablas financieras como 
valor actual de la unidad monetaria. 
El valor actual presente o líquido es uno de los instrumentos más útiles y poderosos 
del análisis económico, porque permite al analista financiero determinar el valor que 
tienen en el momento actual las cantidades que han de pagarse en el futuro. 
 
Problemas de aplicación. 
a) Determinar el valor presente de una deuda de $18.000 dólares americanos a 
pagarse dentro de 5 años siendo la tasa del 8% capitalizable trimestralmente. 
Rpta. VF = $18.000; j =8%; p
c 
= trimestral; f
c 
= 4; i = 0,08/4 =0,02; t =5 años; n = 5x4 = 20 
Aplicando la fórmula: VP = 18.000(1 + 0,02)
-20 
= 18.000 x 0,6729713331 
VP = 12.113,484 redondeando ≅ Gs. 12.113,48 
 
b) Una letra de cambio vence en 4 años 7 meses, siendo su valor de vencimiento de 
$7.500 dólares americanos. ¿Cuál es su valor presente o actual, si la tasa a la que se 
calcula éste es del 9% capitalizable bimestralmente? 
Rpta. Para dar respuesta a este problema analizaremos el hecho de que los periodos 
de capitalización no son un número entero por lo tanto deberemos utilizar un número 
tal que comprenda o incluya dicho plazo. En ese caso sería 4 años 8 meses que es el 
tiempo que más se aproxima o mínimo necesario y aplicamos la fórmula: 
VP = 7.500(1+0,015)
-28 
= 7.500 x 0,6590992494 = $4 943,24437 
Como en el plazo nos hemos excedido un mes aplicamos interés simple por ese mes: 
4.943,24437 x 0,09 x 1/12 = Gs. 37,07433278 
El valor actual lo obtenemos sumando VP + el interés simple antes calculado: 
VP = 4,943.24437 + 37.07433278 = Gs. 4.980,318703 ≅ Gs. 4.980,2 
 
c) Una persona desea adquirir una obra de arte y le presentan dos formas de pago: la 
primera pagando 12.000 dólares al contado y la segunda pagando una cuota inicial 
de 4.000 dólares y 10.000 más en 30 meses. Si esta persona puede invertir su 
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dinero al 7,2% capitalizado trimestralmente. ¿Cuál de las dos ofertas es más 
conveniente y porqué? 
 
Para dar respuesta a éste problema calculemos el valor actual de los 10.000 dólares a 
pagar en 30 meses al 7,2% capitalizable trimestralmente: 
VP = 10.000 ( 1 + 0,018 )
-10 
= 10.000 x 0,8366083984 
VP = 8.366,083984 ≅ Gs. 8.366,08 
Ahora analizaremos resultados: Si sumamos este valor presente calculado a la cuota 
inicial dada tendremos: 4.000 + 8.366,08 = Gs. 12.366,08 
Por tanto pagando al contado la persona ahorra 366.08 dólares valuados al momento 
actual o presente. Es decir la primera opción es la mejor. 
 
d) ¿Qué capital será necesario para saldar una deuda de Gs. 65.750,00 el 31 de 
diciembre del año 2010, si el préstamo tuvo lugar el 16 de enero del año 2007, a la 
tasa del 18% capitalizable diariamente? 
Debemos utilizar el tiempo exacto, en el mes de enero 31-16 
Rpta Factores: VF = 65,750 
i= 0,18/360 = 0,0005 
n = (1080/360) x360 = 1080 
 
Luego VP = 65 750 ( 1 + 0,0005)-1489 = Gs. 31.235,2021. 
 
e) Determinar el capital necesario para cancelar anticipadamente un pagaré el día de 
hoy, sabiendo que vence dentro 18 meses si nos otorgan un beneficio de 
reducción de la tasa de interés del 21% capitalizable mensualmente, si el valor de 
vencimiento o valor nominal de dicho documento es de $445.566 
Rpta. Factores: VF = 445.566 i = 0,21/12 = 0,0175 n = 18/12 x 12 = 18 
Luego: VP = 445.566 (1+0,0175)
-18 
= Gs. 326.056,2 
 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
INTERÉS COMPUESTO 
a) Las ventas de la compañía XYZ crecen mensualmente a una tasa constante del 
2,375%, si las ventas de diciembre de 2007 de la empresa fueron de: US$ 
678.901,23 Cuáles serán las ventas esperadas o probables para Diciembre del 
2008; Octubre del 2005; Marzo del 2010 y Julio del 2012, siempre que la tasa de 
incremento de las ventas se mantenga constante. 
 
b) Vendí un pagaré de US$ 45.789,01 cuando faltaban 882 días para su vencimiento a 
la tasa del 24% efectivo anual que procedía de la capitalización semanal de los 
intereses. 162 días después de la operación anterior el pagaré fue nuevamente 
vendido a la tasa del 27% capitalizable quincenalmente; 180 días después de la 
operación anterior lo vendieron nuevamente a la tasa del 19% efectivo anual que 
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procedía de la capitalización cada 45 de los intereses. Faltando 330 días para el 
vencimiento fue finalmente vendido a la tasa del 25% con capitalización cada 21 
días. Cuánto pagó cada uno por el documento. 
 
 
DESCUENTO COMPUESTO 
El descuento compuesto bancario es una operación que consiste, en la aplicación 
sucesiva del descuento simple al valor nominal o valor del vencimiento o valor futuro 
del instrumento o documento que se descuenta por unidades temporales o periodos 
de tiempo preestablecidos, obteniendo sucesivamente también valores líquidos 
durante el plazo u horizonte temporal de la operación. 
Cálculo del valor actual, presente o líquido a descuento compuesto bancario: 
VP
1 
= VF – VFd = VF ( 1 – d ) 
VP
2 
= VP
1 
– VP
1
d = VP
1 
(1 – d) = VF (1 – d ) (1 – d) = VF ( 1 – d )
2
 
VP
3 
= VP
2 
– VP
2
d = VP
2 
(1 – d) = VF (1 – d )
2 
(1 – d) = VF ( 1 – d )
3 
 
. . . . . . . . . . 
 
VP
n 
= VP
n-1 
– VP
n-1
d = VP
n-1
(1 – d) = VF(1 – d )
n-1
(1 – d) = VF ( 1 – d )
n 
 
 
Finalmente tenemos: 
VP = VF (1 – d )
n
 
VP = Valor Actual, presente o líquido a descuento compuesto bancario 
VF = Valor Futuro o Monto compuesto o Valor nominal o Valor de vencimiento 
(1 – d)
n 
= Factor del descuento de la unidad monetaria. 
 
Problemas de aplicación 
1.- El 31 de agosto de 2000, el Banco Santander aceptó descontar una letra de cambio 
de su cliente la empresa Transportes Altursa S.A. de valor de vencimiento US$ 8.800,00 
que vence en 120 días. ¿Cuál fue el valor líquido que recibió la empresa en dicha fecha 
si la tasa nominal del descuento aplicada fue del 42%, con periodo bancario de 
descuento de 30 días? 
Rpta. Factores: VF = US$ 8.800,00 n = 4 d = 0,42/12 = 0,035 P= ? 
VP = 8.800,00 (1 – 0,035)
4 
= S/.7 631,184006 
8800 1 − �
0.42
12
�
120
360𝑥𝑥12
 
 VP = S/.7 631,18 
2.- Si la empresa deseara conocer el importe de los descuentos mensuales generados 
con respecto a la letra de cambio, elabore una tabla demostrativa del proceso del 
descuento aplicado a dicho documento. 
 Fecha Días Valor Actual Descuento Descuento 
 Líquido mensual acumulado 
29 –12 0 8.800,00 0 0,00 
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29 – 11 30 8.492,00 308,00 308,00 
30 – 10 60 8.194,78 297,22 605,22 
30 – 09 90 7.907,96 286,82 892,04 
 31 – 08 120 7.631,18 276,78 1.168,82 
 
3.- Un pagaré de valor nominal US$ 13.750,00 es descontado por un banco 4 meses 
antes de su vencimiento aplicando una tasa de interés adelantado del 21% con 
capitalización mensual ¿Cuánto deberá pagarse para cancelarlo 3 meses antes de su 
vencimiento? 
Rpta. Factores: VP = ? VF=US$ 13.750,00 n = 3 d = 0,21/12 = 0,0175 
VP = 13.750 (1 – 0,0175)
3 
= US$ 13.040,68412 
VP = US$ 13.040,68 
 
Modelo matemático para el cálculo del Descuento Compuesto Bancario 
Sabemos por el descuento que D = VF – VP como VP = VF (1 – d)
n 
, entonces 
D = VF – VF (1 – d)
n 
, Factorizando VF 
D = VF [ 1 – (1 – d )
n 
] 
 
4.- Determine el descuento compuesto bancario de una letra de cambio de valor de 
vencimiento US$ 25.000.00 si vence en 60 días, si es descontada a la tasa del 48% 
nominal anual con periodo de descuento mensual. 
Rpta. Factores: VF =US$ 25.000,00 n = 2 d = 0,48/12 = 0,04 D = ? 
D = 25.000,00 [ 1 – ( 1 – 0,04 )
2 
] 
D = US$ 1.960,00 
 
Cálculo del Valor Nominal o Valor de Vencimiento o Valor Futuro de un documento a 
descontar. 
Hay casosen los cuales sabemos el importe o cantidad de dinero que necesitamos y 
que conseguimos por vía del descuento compuesto bancario de documentos y nuestra 
pregunta es ¿Cuál sería el importe de documento a suscribir en dicho caso si este es 
descontado? En ese caso y a partir de la ecuación del valor líquido VP despejo el factor 
valor de vencimiento VF y nos queda: 
VF = VP (1 – d )
-n 
 
5. La empresa constructora Graña y Montero S.A. requiere para la ejecución de un 
proyecto a 120 días de capital de US$. 250.000,00, por ello utiliza su línea de 
crédito de descuento de pagarés. Determine el valor nominal o de vencimiento del 
instrumento a descontar a ese plazo, si la tasa de descuento que se aplica a la 
operación es del 54% con periodo de descuento bancario quincenal? 
Rpta. VP = US$ 250.000,00 n = 8 d = 0,54/24 = 0,0225 F = ? 
VF = 250.000 (1 – 0,0225 )
-8 
= Gs. 299.920,3126 
VF = US$ 299.920,31 
 
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Problema de aplicación 
1. La empresa El Gallo Ronco SAC, requiere de Gs. 250.000 para la ejecución de un 
proyecto de inversión a ejecutarse en los próximos tres años, si el dinero es 
conseguido descontando un pagaré a la tasa del 18% ¿Cuál será el importe del 
documento a emitirse por concepto de dicho crédito? 
 
Descuento compuesto bancario unitario o devengado en cada periodo de descuento 
D
z. 
 
Es posible calcular el descuento compuesto bancario unitario o devengado por cada 
periodo de descuento. Para un periodo z cualquiera, dicho descuento D
z 
lo calculamos 
con la fórmula que deducimos a continuación: 
 
Para z El Descuento El Valor Actual ó Líquido 
 
z = 1 D
1 
= VF d P
1 
= VF – VF d = VF (1 – d) 
z = 2 D
2 
= VF (1 – d) d P
2 
= VF(1 – d) – VF(1 – d)d = VF (1 – d)
2 
 
z = 3 D
3 
=VF (1 – d)
2
d P
3 
= VF(1 – d)
2
- VF(1 – d)
2
d = VF (1 – d)
3 
z = n D
n 
= VF (1 – d)
n-1
d P
n 
= VF ( 1 – d )
n 
 
z = 250 000 (1 – 0.18)3 
z= 137842 
 
2. Una letra de cambio de valor nominal Gs. 33.500 con fecha de vencimiento 15 de 
diciembre de 2002, fue descontada por un banco faltando 150 días para su 
vencimiento y se le aplicó una tasa anual de descuento del 54% con periodo de 
descuento mensual. Calcule el valor líquido y el descuento realizado en cada 
periodo de 30 días. 
 
Fecha Días Valor Actual Descuento Descuento 
 o líquido Mensual Acumulado 
15 – 12 0 33.500,00 0,00 0,00 
15 – 11 30 31.992,50 1.507,50 1.507,50 
16 – 10 60 30.552,84 1.439,66 2.947,16 
16 – 09 90 29.177,96 1.374,88 4.322,04 
17 – 08 120 27.864,95 1.313,01 5.635,05 
18 – 07 150 26.611,03 1.253,92 6.888,97 
Cálculo Del valor presente o líquido: VP = VF (1 – d )
n 
 
VP = 33.500.00 ( 1 – 0,045 )
5 
= GS. 26.611,03 
 
Cálculo de los descuentos periódicos: D = VFd (1 – d)
z-1 
 
 
Para z = 1 D
1 
= 33.500,00 x 0,045 ( 1 – 0,045)
1-1 
= 1.507,50 
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Para z = 2 D
2 
= 33.500,00 x 0,045 ( 1 – 0,045)
2-1 
= 1.439,66 
Para z = 3 D
3 
= 33.500,00 x 0,045 ( 1 – 0.045)
3-1 
= 1.374,88 
Para z = 4 D
4 
= 33.500,00 x 0,045 ( 1 – 0.045)
4-1 
= 1.313,01 
Para z = 5 D
5 
= 33.500,00 x 0,045 ( 1 – 0.045)
5-1 
= 1.253,92 
 
 
ACTIVIDAD APLICATIVA 
DESCUENTO COMPUESTO 
Objetivo: 
Verificar la comprensión acerca de los elementos del descuento comercial 
Se propone a los alumnos la práctica intensiva en sus casas de problemas que se 
entregarán por escrito, para su correspondiente desarrollo. 
 
AUTOEVALUACIÓN 
Resolver los siguientes problemas: 
 
1.- Hallar el valor de una letra de cambio de Gs. 7.890,12 que fue vendida el día de hoy 
(17/04/2005) sabiendo que vence el 07 /04/ 2007, a la tasa de descuento del 22,5 % 
deducible diariamente. 
 
2.- Un proyecto de inversión requiere de Gs. 750.000 para su ejecución, dicho dinero 
se puede conseguir descontando una obligación financiera de valor desconocido 
que será descontada a la tasa del 20% capitalizable mensualmente. Sabiendo que 
fue descontado 27 meses. 
 
3. Determinar el valor actual de un documento de Gs 1.000.000 que se descuenta al 
5% de interés anual compuesto, dos años antes de su vencimiento. 
 
4. Determinar el descuento que sufre un documento de Gs. 5.000.000, 3 años antes de 
su vencimiento, al 18% de interés anual compuesto. 
 
5. ¿Cuánto tiempo antes de su vencimiento fue descontado un documento de U$S 52. 
500 que sufrió un descuento de U$S 2.500 al 5% anual de interés compuesto? 
 
 
 
 
 
 
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SEMANA 6, UNIDAD I 
TEMA AV1: EXÁMENES PARCIALES 
EXAMEN FECHA 
AV1 
AV1E 
 
 
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UNIDAD II 
ANUALIDADES O RENTAS 
CAPACIDAD 
• Reconocer y comprender los conceptos fundamentales, fórmulas y procedimientos de 
aplicación de los modelos matemáticos descriptivos pertinentes 
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES 
• Calcula el valor futuro y el valor actual de las anualidades vencidas, anticipadas y diferidas. 
• Comprende cómo están inversamente relacionados el valor actual y la tasa de interés 
Cuando una aumenta la otra disminuye. 
CONTENIDOS CONCEPTUALES 
TEMA 7: ANUALIDADES, INTRODUCCIÓN, DEFINICIONES 
TEMA 8: ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ANTICIPADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SEMANA 7, UNIDAD II 
TEMA 7: ANUALIDADES O TEORIA DE LA RENTA 
La palabra anualidad se utiliza por costumbre que tiene su origen en los pagos que se 
hacían anualmente. En el mundo de las finanzas la palabra anualidad no significa pagos 
anuales sino pagos a intervalos iguales. 
En particular en la matemática financiera se utiliza esta palabra con un concepto más 
amplio, para referirse al sistema de pagos de cantidades fijas a periodos de tiempo 
iguales, que no solamente pueden ser anuales, sino de cualquier otra magnitud. Son 
ejemplos de anualidades: los sueldos, los pagos que hacemos por servicios públicos, 
los programas de créditos pagaderos a plazos, las pensiones universitarias, las 
pensiones de jubilación etc. 
Definición.- 
Una anualidad es una serie o sucesión de pagos, depósitos o retiros periódicos de 
cantidades iguales con interés compuesto. 
Definición de factores vinculados con las Anualidades o Rentas. 
Tiempo o Plazo de la Anualidad o Renta.- Es el tiempo que transcurre entre las fechas 
de inicio o comienzo del periodo y vencimiento o término del último. 
Intervalo o Periodo de Pago o Periodo de Renta.- Es el tiempo medido o fijado entre 
dos pagos sucesivos de la anualidad o renta. 
Pago Periódico de la Anualidad o Renta.- Es el importe o valor de cada uno de los 
pagos, depósitos o retiros que se hacen. 
Renta Anual.- Resulta de la suma de todos los pagos hechos durante un año. 
Tasa Interés de la Anualidad o Renta.- Es la tasa pactada o acordada por las partes que 
regirá para la anualidad o renta. Puede ser nominal o efectiva. 
Ejemplo de la identificación de los factores de las Anualidades o Rentas. 
Una persona adquiere un equipo DVD mediante un contrato de compra-venta a plazos 
en una tienda de electrodomésticos, a un plazo de 2 años por el que pagará Gs. 36.000 
mensuales, cuotas que han sido financiadas a la tasa del 36% efectivo anual. Los 
factores de la Anualidad o Renta son: 
Tiempo o plazo de la anualidad: 2 años 
Intervalo de Pago: Es de un mes o Mensual 
Pago Periódico: Gs. 36.000 
Renta Anual: Gs. 432.000 
La tasa de interés efectiva anual es del 36% de la que se deduce la 
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