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Una introducción a las
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Pedro Maŕın Rubio
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Pedro Maŕın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Universidad de Sevilla
Nota previa
El material desarrollado en estas páginas recoge, o al menos lo intenta, parte de los resultados
más significativos que un alumno debeŕıa conocer tras haber recibido un curso inicial de ecuaciones
diferenciales ordinarias (EDO).
La autoŕıa de estos apuntes es diversa, y merece por tanto una advertencia previa: Dirichlet,
Lagrange, Lindelof, Lyapunov, Peano, Picard... y muchos otros matemáticos y autores de libros
que hábilmente han reunido antes material similar.
Como siempre que se refiere a notas reelaboradas sobre material bien conocido, se trata más
bien de una cuestión de revisión, de hacer una propuesta coherente de conjunto como temario de
un posible proyecto docente. En lo que a mı́, el abajo firmante, respecta, he intentado aportar mi
propia visión de conjunto al inicio en el estudio de una materia tan importante como las EDO, y
lo he hecho pensando en el formato de una asignatura cuatrimestral como hoy d́ıa suele ser usual.
Junto con las fuentes bibliográficas consultadas (véanse al final del texto), he de citar y agrade-
cer el trabajo previo de otros compañeros del Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
de la Universidad de Sevilla donde actualmente desarrollo mi labor docente, especialmente a los
profesores Tomás Caraballo Garrido y José Real Anguas.
Por supuesto, las erratas que pueda haber en el manuscrito son absolutamente culpa mı́a, por
lo que pido disculpas de antemano.
En Sevilla, septiembre de 2006
Fdo.: Pedro Maŕın Rubio
3
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Pedro Maŕın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Universidad de Sevilla
Índice general
Introducción y notas bibliográficas 7
1. Preliminares sobre ecuaciones diferenciales 11
1.1. Primeros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Primeras definiciones. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Otros ejemplos en el ámbito matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. El problema de Cauchy y e.d.o. de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Sistemas diferenciales ordinarios de dimensión N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Métodos elementales de integración 23
2.1. Resolución e.d.o. de primer orden en forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. E.D.O. de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1. Coeficientes constantes. Casos homogéneo y no homogéneo . . . . . . . . . 33
2.2.2. Ejemplos y aplicaciones de e.d.o. de 2o orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3. Otras ecuaciones de orden mayor que uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4. Integrales primeras de sistemas diferenciales ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.1. Cálculo de integrales primeras. Combinaciones integrables . . . . . . . . . . 41
3. Existencia y unicidad de solución local para el problema de Cauchy 47
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Algunas notas sobre el espacio C(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3. Aplicaciones contractivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1. Otros resultados de punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4. Funciones lipschitzianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5. Formulación integral del problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6. Teorema de Picard. Método de las aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . 58
3.7. Existencia local de solución. Teorema de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7.1. El Teorema de Ascoli-Arzelà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7.2. Soluciones aproximadas. El Teorema de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4. Unicidad global y solución global del problema de Cauchy 69
4.1. Unicidad global de solución del (PC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2. Prolongación de soluciones para s.d.o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3. Comportamiento de la solución maximal en los extremos . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4. Algunos casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.1. El caso de un “dominio banda” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.2. El caso de un s.d.o. lineal de dimensión N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.3. La forma de los terminales para N = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5
6 ÍNDICE GENERAL
5. Ecuaciones y sistemas diferenciales ordinarios lineales 83
5.1. Consideraciones generales sobre s.d.o.l. Matriz fundamental . . . . . . . . . . . . . 83
5.2. Ecuaciones lineales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.1. Método de variación de las constantes para una e.d.o.l. no homogénea . . . 91
5.3. S.D.O.L. de coeficientes constantes. Exponencial matricial . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.1. Cálculo efectivo de la exponencial matricial. Formas de Jordan . . . . . . . 95
5.4. Sistemas diferenciales lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.5. E.D.O. lineal de orden n con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6. Regularidad de las soluciones del problema de Cauchy. Continuidad y derivabi-
lidad respecto de datos iniciales y parámetros 107
6.1. Regularidad de la solución del (PC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2. Continuidad de la solución respecto de los datos iniciales . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.1. Continuidad respecto datos iniciales y parámetros . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3. Comparación de soluciones de (PC) con ecuaciones parecidas . . . . . . . . . . . . 113
6.4. Derivabilidad respecto datos iniciales y parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4.1. Comentarios preliminares. Desarrollo heuŕıstico . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7. Introducción a la teoŕıa de la estabilidad para sistemas diferenciales ordinarios121
7.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2. Propiedades de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3. Criterios de estabilidad para s.d.o. lineales homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.4. Estabilidad en 1a aproximación para s.d.o. no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.5. Segundo método de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.5.1. Preliminares. Introducción heuŕıstica del método . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.5.2. Método directo de Lyapunov para s.d.o. autónomos . . . . . . . . . . . . . 130
8. Introducción a las E.D.P. de primer orden, casos lineal y casi-lineal. Integrales
primeras de un s.d.o. Método de las Caracteŕısticas 135
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.2. Integrales primeras para un s.d.o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.3. E.D.P. de 1er orden lineales y casi-lineales. Integral general . . . . . . . . . . . . . 139
8.4. (PC) y Método Caracteŕısticas para E.D.P. casi-lineales . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.4.1. Introducción heuŕıstica para dimensión N = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.4.2. Formulación del (PC). Método de las caracteŕısticas . . . . . . . . . . . . . 144
Bibliograf́ıa 153
Pedro Maŕın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Universidad de Sevilla
Introducción y notas bibliográficas
Como ya se ha dicho antes, estas notas pretenden recopilar el material esencial de uncurso
sobre ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.). Hemos pretendido generar un texto autoconte-
nido, pero resulta conveniente poder contrastar la exposición con otras monograf́ıas y otros puntos
de vista. En este sentido, intentamos recoger aqúı cuál es la estructura de la memoria, esbozar
brevemente sus contenidos y conexiones, y hacer a la vez algunos comentarios sobre bibliograf́ıa
en parte utilizada o donde poder profundizar sobre un tema concreto.
El Tema 1 es introductorio. Principalmente constituido por ejemplos reales que motiven la
necesidad de estudio de las E.D.O., contiene definiciones fundamentales sobre las soluciones de
una ecuación, o del problema de Cauchy asociado, que serán de utilidad en el resto de la memoria.
Referenciar algún texto esencial en un tema como éste es vano, pues se pueden encontrar en
cualquier libro. Para las reseñas históricas śı hay dos textos en nuestra opinión destacables: Guzmán
[11] (en parte seguido); y de lectura muy agradable –incluso a este nivel para el alumno– Simmons
[26]. Pueden resultar también de interés Hartman [13], y por sus numerosos ejemplos, Amann [2]
(algunos explicados con bastante detalle), aunque ambos de lectura más densa. Otros libros que
cabe citar son Braun [4], Fernández & Vegas, [10], Miller & Michel [19] y el texto de Novo, Oba-
ya & Rojo [21]. Existen otros textos recientes donde las motivaciones a través de aplicaciones y
proyectos a realizar por el alumno, como Edwards & Penney [9], Nagle, Sa↵ & Snider [20] y Zill [28].
El Tema 2 continúa la labor introductoria del Tema 1. En él se tratan ciertas ecuaciones dife-
renciales resolubles, varios tipos de primer orden y algunos casos concretos de segundo orden (casos
particulares que serán ampliados y justificados posteriormente). Puede parecer contradictorio re-
solver casos concretos dado que la mayoŕıa de las ecuaciones no serán resolubles expĺıcitamente. Sin
embargo, el interés de dichos ejemplos es mostrar expĺıcitamente la variedad de comportamientos
de las soluciones, su existencia a veces global, otras local, explosión en tiempos finitos, unicidad
en determinados casos cuando se añade una condición inicial, etc. Aśı se justifica la necesidad
del estudio cualitativo en temas posteriores. El tema concluye con algunas simplificaciones para
ecuaciones de orden superior, y el concepto y cálculo expĺıcito de integrales primeras de un sistema
diferencial ordinario, punto importante en el Tema 8, al final de la memoria.
El texto clásico para este tema es Kiseliov, Krasnov & Makarenko [16]. Pueden resultar también
muy útiles las monograf́ıas de Fernández & Vegas [10], Guzmán [11], Leighton [17], Novo, Obaya
& Rojo [21] (éste con muchos ejemplos y un estudio muy sistemático) y de nuevo Simmons [26],
donde se ilustra a la vez la resolución de ecuaciones y las aplicaciones de éstas. Existen otros libros
más orientados a la resolución de ejercicios, como el libro de Acero & López [1].
Los temas previos justifican la necesidad de un estudio teórico válido en un marco general.
El Tema 3 es el primero donde se hace un desarrollo importante en este sentido. Se estructura
en dos bloques, correspondientes a las dos cuestiones que serán tratadas (ambas de forma local):
la existencia y unicidad de solución (local), y la existencia, pero sin unicidad, de solución (local).
Comenzamos por el resultado de existencia y unicidad sencillamente por la simplicidad de la prueba,
el Teorema de Picard. No obstante resulta más intuitiva la idea subyacente en la construcción de
las poligonales de Euler, que darán lugar al segundo resultado: el Teorema de Peano (y útil en
7
8 ÍNDICE GENERAL
otros ámbitos, como el Análisis Numérico), que, como se verá, sólo garantiza existencia local
de solución (mas no unicidad), en un marco obviamente más general que el de Picard. Ambos
resultados requieren sendas introducciones funcionales que consideramos de capital importancia en
el desarrollo posterior de los estudios de la licenciatura, esto es, las técnicas de punto fijo (aqúı se
verá el Teorema de Banach para aplicaciones contractivas) y de compacidad (veremos el Teorema
de Ascoli-Arzelà) respectivamente.
El análisis del problema de Cauchy está expuesto con claridad en muchos textos, citemos por
ejemplo Amann [2], Coddington & Levinson [7], Corduneanu [8], Guzmán [11], Hartman [13],
Mart́ınez Carracedo & Sanz Alix [18], Novo, Obaya & Rojo [21] y Rouché & Mawhin [25]. Los li-
bros de Guzmán [11] y Mart́ınez Carracedo & Sanz Alix [18] proponen varias formas de demostrar
el teorema de Picard, además de cuestiones relacionadas con las iterantes de Picard y la convergen-
cia de éstas. Es muy interesante el libro de Coddington [6], en el que se comienza el desarrollo de
los sistemas diferenciales de orden n motivando algunas ecuaciones de segundo orden que aparecen
en F́ısica y los cambios que la llevan a un sistema de primer orden. Asimismo describe en detalle las
diferencias entre las demostraciones referentes a sistemas y las referentes al caso de una ecuación,
particularizando los resultados al caso lineal, en el que las soluciones están definidas en todo R.
Además plantea numerosos ejercicios, que vienen resueltos al final del libro.
En el Tema 4 se abordan cuestiones complementarias al Tema 3. ¿Qué hay del carácter global
de las soluciones? ¿Cuándo y cómo se puede hablar de ellas no sólo de forma local? ¿Cuántas hay?
Estudiamos la unicidad de solución, para ello el resultado fundamental expuesto es el Lema de
Gronwall, y posteriormente se trata la existencia (y unicidad) de solución maximal o global del
problema de Cauchy bajo condiciones adecuadas, que serán estándar ya en el resto de la memoria.
Para este objetivo se tratará la prolongación de soluciones, y se establecerá también un resultado
sobre condiciones equivalentes de prolongación (y por tanto de no prolongación). El tema acaba
con algunos casos particulares, en concreto se analizan un dominio banda y un sistema lineal, en
cuyos resultados nos apoyaremos para el tema siguiente.
El estudio de prolongación y unicidad de solución es bastante completo en Corduneanu [8].
El libro de Guzmán [11] también es muy interesante, ya que demuestra los resultados de prolon-
gación de forma más general, aunque por tanto más compleja. En Coddington & Levinson [7] y
en Rouché & Mawhin [25] hay ejemplos numerosos de cuándo fallan las condiciones de unicidad,
describiendo las trayectorias de las soluciones. También debemos citar aqúı las monograf́ıas de
Hartman [13] y Mart́ınez Carracedo & Sanz Alix [18].
Hacemos un alto en el análisis cualitativo general para detenernos en el caso de los sistemas
lineales. Aśı, por un lado acentuamos la importancia teórica de los resultados vistos en los dos
temas previos, respecto del resto de cuestiones teóricas generales que se analizarán; y por otro lado
reforzamos la idea general tan frecuente en el estudio matemático de que el caso lineal siempre es
más rico en propiedades (y muchas veces un rodeo que es útil dar). El Tema 5 se compone de dos
bloques, en el primero se estudia la estructura del conjunto de soluciones tanto de ecuaciones (de
orden superior a uno) como de sistemas de ecuaciones lineales, casos homogéneo y no homogéneo,
abordando el concepto de matriz fundamental y la fórmula de variación de las constantes. En
segundo lugar se particulariza a la situación de coeficientes constantes del término lineal, para cal-
cular expĺıcitamente la solución, abordando la exponencial matricial con un necesario recordatorio
previo de las formas de Jordan (compleja y real).
El contenido teórico de este tema puede encontrarse en casi todos los textos que tratan sobre
ecuaciones diferenciales. Nos parecen especialmente recomendables los libros de Guzmán [11], No-
vo, Obaya & Rojo [21], Coddington [6] y Hirch & Smale [14]. También pueden seguirse Fernández
& Pérez [10], Hartman [13] y Rouché & Mawhin[25]. Para la segunda parte del tema, una muy
buena referencia es el libro de Novo, Obaya & Rojo [21] (aunque no detalla la factorización de
Jordan). Aparte de los textos clásicos de Álgebra Lineal, hay una demostración completa en el
libro de Guzmán [11]. Otras referencias útiles son Leighton [17], Mart́ınez Carracedo & Sanz Alix
[18], Miller & Michel [19] y Simmons [26]. Es muy interesante el ejemplo de aplicación de sistemas
Pedro Maŕın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Universidad de Sevilla
9 ÍNDICE GENERAL
lineales de primer orden que aparece en el libro de Zill [28], modelando la acción de terremotos
sobre edificios de varios pisos.
El Tema 6 retoma el análisis teórico general de ecuaciones y sistemas diferenciales. En él se
responden principalmente tres cuestiones: la regularidad de la solución, y la continuidad y deri-
vabilidad respecto a datos iniciales y parámetros. La primera cuestión será desarrollada más en
profundidad en asignaturas de ampliación para búsqueda de soluciones a través de otros métodos.
La segunda cuestión es lógica desde el punto de vista de la modelización: mal modelo seŕıa aquél
proveniente de una ecuación diferencial que no tuviera un comportamiento continuo (en intervalos
finitos) respecto de los datos. Este punto será ampliado con una comparación entre soluciones de
sistemas con segundos miembros parecidos (también en intervalos finitos). Finalmente la tercera
pregunta muestra, apoyándose en la continuidad anteriormente probada, que bajo hipótesis ade-
cuadas la solución es derivable respecto de datos iniciales y parámetros. Posiblemente se trata del
tema más complejo en cuanto a pruebas, pero su desarrollo es necesario para el Tema 8.
Para los resultados de regularidad podemos consultar Coddington & Levinson [7], Corduneanu
[8], Guzmán [11] y Mart́ınez Carracedo & Sanz Alix [18]. El estudio de la continuidad y derivabili-
dad respecto de los datos iniciales y parámetros está bien desarrollado en los textos de Amann [2],
Pontriaguine [23] y Rouché & Mawhin [25]. También se pueden consultar los libros de Fernández
& Vegas [10] y Hartman [13].
El Tema 7 pretende ser una introducción a la teoŕıa de la estabilidad para ecuaciones diferencia-
les. La propiedad vista antes de continuidad respecto de la variable independiente en un intervalo
finito no responde en absoluto al deseo en las aplicaciones. Un objetivo en el funcionamiento de
un mecanismo es que los errores o pequeñas variaciones en los datos iniciales no influyan en la
solución obtenida: grosso modo la estabilidad consiste en pedir distintas condiciones de cercańıa
entre las soluciones “ideal” y “perturbada” en todo tiempo futuro. Es frecuente dejar este estudio
para cursos (opcionales) de ampliación, pero creemos conveniente dar al menos una breve pincelada
al respecto aqúı. Aśı, en este tema se tratan la primera aproximación de Lyapunov para sistemas
lineales y pequeñas perturbaciones, y se esboza el segundo método de Lyapunov sólo en sistemas
autónomos pero ahora no lineales.
En general, todos los textos de ecuaciones diferenciales tienen un apartado sobre estabilidad.
Algunas obras que creemos adecuado citar son las de Guzmán [11], Brauer & Nohel [3], Mart́ınez
Carracedo & Sanz Alix [18], y por sus muchos ejemplos la monograf́ıa de Pontriaguine [23]. También
resultan interesantes Corduneanu [8], Rouché & Mawhin (Tomo II) [25], Simmons [26], Kiseliov,
Krasnov & Makarenko [16] y Hartman [13].
Por último, el Tema 8 muestra una aplicación de los sistemas diferenciales ordinarios. Se in-
troducen las ecuaciones en derivadas parciales (E.D.P.) y se consideran dos métodos de resolución
para las E.D.P. lineales y casi-lineales. El primero de ellos usa integrales primeras de sistemas
diferenciales asociados a E.D.P. lineales (en los ejemplos se recuperarán las técnicas de cálculo del
Tema 2). En el desarrollo de esta parte se utilizarán los resultados del Tema 6 en combinación con
el Teorema de la Función Impĺıcita. La segunda parte del tema desarrolla el Método de las Carac-
teŕısticas para resolver E.D.P. de tipo lineal y casi-lineal. De nuevo los resultados del Tema 6 serán
esenciales, ahora en combinación con el Teorema de la Función Inversa. Para facilitar la exposición,
primero nos restringimos al caso de dimensión 2, consideraciones geométricas nos ayudarán a dar
una introducción heuŕıstica de la prueba.
Para esta aplicación hemos tenido que introducir algunas referencias de E.D.P. Consideramos
muy recomendables el desarrollo de Peral [22], y válido, aunque más profundo, el libro de John [15].
Otras monograf́ıas clásicas de E.D.P. útiles aqúı son Casas [5] y Sneddon [27]. También pueden
consultarse libros propiamente de ecuaciones ordinarias, por ejemplo, Hartman [13].
Pedro Maŕın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Universidad de Sevilla
10 ÍNDICE GENERAL
Pedro Maŕın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Universidad de Sevilla
Tema 1
Preliminares sobre ecuaciones
diferenciales
Este tema pretende ser introductorio y servir al alumno para comenzar a conocer a través de
algunos ejemplos la naturaleza y variedad de las ecuaciones diferenciales ordinarias y sus soluciones,
posibilidades de cálculo, dominios de definición, comportamientos, etc.
Servirá como motivación previa a la asignatura en si, de modo que salvo por algunas definiciones
básicas, los desarrollos serán formales en su mayoŕıa.
1.1. Primeros ejemplos
Es bien conocido que muchas leyes de la naturaleza son expresables en términos de ecuacio-
nes diferenciales. Dada una magnitud cuya cantidad evoluciona con el tiempo, digamos y(t), la
velocidad a la que ésta crece o decrece es y0(t).
Las relaciones entre la evolución de una magnitud y su(s) derivada(s) tienen aplicación en leyes
de la F́ısica, la Economı́a, la Qúımica, incluso en las Ciencias Sociales, y por supuesto también en
la propia Matemática. Veamos algunos ejemplos que suscriben esta afirmación.
Ejemplo 1.1 (Predicción térmica). Consideramos la ley de enfriamiento de Newton, un modelo
para predecir la evolución de la temperatura de un cuerpo situado en un ambiente a temperatura
constante.
dT
dt
= k(A� T ),
donde T = T (t) es la temperatura del objeto estudiado, A es el valor de T en situación de equilibrio,
o dicho de otro modo, la del medio, y k es una constante positiva.
Ejemplo 1.2 (Cáıda en medio resistente). Otro ejemplo también con origen f́ısico: la cáıda
de un cuerpo en un medio resistente.
d2x
dx2
=
1
m
✓
F � cdx
dt
◆
,
donde x = x(t) representa el espacio recorrido, F es la fuerza exterior (supuesta constante) ejercida
sobre el cuerpo, m la masa del cuerpo, y c un coeficiente de resistencia a la cáıda en el medio.
Ejemplo 1.3 (Desintegración radioactiva). Fenómenos naturales de origen f́ısico-qúımico:
descomposición de elementos radioactivos.
dN
dt
= ��N,
11
12 TEMA 1. PRELIMINARES SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES
donde N = N(t) es el número relativo de moléculas sin desintegrar de la sustancia, y � es una
constante positiva dependiente del material.
Un ejemplo muy interesante lo constituye el isótopo radioactivo del carbono C
14
. Resolver la
ecuación junto a datos concretos permite conocer en paleontoloǵıa edades a que pertenecieron los
restos hallados.
Ejemplo 1.4 (Dos modelos simples de Dinámica de Poblaciones). Veamos dos casos t́ıpi-
cos dentro del campo de la Bioloǵıa, más concretamente la Dinámica de Poblaciones.
(a) El Modelo de Malthus (economista londinense preocupado por la relación entre el número de
personas en una sociedad y los recursos alimenticios de la misma) propone
dp
dt
= ↵p,
donde p = p(t) es el número de individuos de una población, y ↵ es una constante relacionada
emṕıricamente con la diferencia entre natalidad y mortalidad.
No tardaremos mucho en comprobar que se trata de un modelo válido paraetapas muy cortas
ya que su solución es exponencial.
(b) Para subsanar los fallos evidentes del modelo anterior, se introdujo el Modelo loǵıstico o de
Verhulst.
dp
dt
= ↵p� �p2 = p(↵� �p),
donde es obvio que se consigue evitar el problema de un crecimiento ilimitado marcando un umbral
en la propia ecuación a través de las constantes ↵ y �.
Dicha ecuación será uno de los tipos tratados en el Tema 2. Anticipamos que
y0 = y(1� y) ) dy
y(1� y) = dt )
✓
1
y
+
1
1� y
◆
dy = dt
conduce tras una integración a la solución y = 1� 1
Cet + 1
.
A pesar de este último ejemplo, cabŕıa citar a t́ıtulo informativo otros muchos modelos, me-
jor adaptados a situaciones biológicas concretas, como por ejemplo modelos con retardo que son
variantes del anterior.
Ejemplo 1.5 (Modelo presa-depredador). Veamos otro caso de modelo aplicable a Dinámica
de Poblaciones, pero algo distinto de los anteriores. Ahora tratamos un sistema, donde x = x(t)
representa el número de depredadores, y = y(t) representa el número de presas, y se tienen también
las constantes a, b, c, d > 0.
Es posible estudiar relaciones en el crecimiento o decrecimiento no sólo de una función, sino
de varias combinadas. Es claro que el número de presas depende de la cantidad de depredadores y
viceversa. ⇢
x0 = �ax + bxy,
y0 = cy � dxy = y(c� dx).
La primera ecuación indica que el hecho de que haya depredadores depende sobretodo de que haya
presas, si no, compiten entre ellos.
Sin embargo, el número de presas podŕıa depender sólo de la propia especie (si no hubiera
depredadores, y śı medios “ilimitados”). Pero si hay depredadores, el número de encuentros entre
ambas especies es proporcional al número de individuos de ambas especies.
Tras estos ejemplos es fácil deducir que muchos modelos son simplificaciones de la realidad, y
que son muchas veces mejorables (en la medida en que se tengan técnicas de resolución).
Pedro Maŕın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Universidad de Sevilla
13 1.2. PRIMERAS DEFINICIONES. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
1.2. Primeras definiciones. Interpretación geométrica
Antes de proseguir con más ejemplos, podemos dar ya algunas nociones generales y definiciones
sobre ecuaciones diferenciales.
En este curso veremos dos tipos de ecuaciones diferenciales (que describimos a continuación
muy a grosso modo):
-Mayoritariamente nos dedicaremos a tratar resolución expĺıcita y/o aspectos teóricos cualita-
tivos de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.). En ellas, la incógnita es una función,
que denotaremos normalmente por y(x) ó y(t), y que depende exclusivamente de una variable. En
la ecuación esta función aparecerá relacionada con sus derivadas.
-El segundo tipo que trataremos (muy brevemente, de forma introductoria, y en realidad como
aplicación de lo que se habrá visto hasta ese momento de ecuaciones diferenciales ordinarias)
serán las ecuaciones en derivadas parciales (E.D.P.). En ellas, la incógnita es una función
y(x
1
, x
2
, . . . , xn) dependiente de varias variables, y que aparece en la ecuación relacionada con sus
derivadas parciales.
Definición 1.6. Una ecuación diferencial ordinaria (e.d.o.) de 1er orden es una expresión de la
forma
F (x, y, y0) = 0
donde x es la variable independiente, y = y(x) es la función desconocida, y0 su derivada, y F :
O ⇢ R3 ! R es una función dada.
Observación 1.7.
Como ya se dijo antes, a menudo se denota también F (t, y, y0) = 0. (Cuando en el problema
la variable independiente juega el papel del tiempo).
Usualmente se pedirá que O sea un abierto y que F sea continua (será el requerimiento
mı́nimo natural, al menos en este curso).
El término “de 1er orden” que aparece en la definición hace referencia al orden de la derivada
mayor que aparece en la ecuación.
Definición 1.8 (momentánea). Llamaremos solución de la e.d.o. de 1er orden
F (x, y, y0) = 0 (1.1)
a cualquier función ' : I ⇢ R ! R definida en algún intervalo I no degenerado y tal que se
verifiquen las siguientes tres condiciones:
(i) ' tiene derivada en cada punto de I,
(ii) (x,'(x),'0(x)) 2 O 8x 2 I,
(iii) F (x,'(x),'0(x)) = 0 8x 2 I.
Diremos que (I,') es una solución (local) de (1.1), o equivalentemente, que ' es solución de (1.1)
definida en I.
Definición 1.9. Se dice que la e.d.o. (1.1) está en forma normal si F (x, y, y0) = y0 � f(x, y)
siendo f : ⌦ ⇢ R2 ! R.
Observación 1.10.
Tener una e.d.o. en forma normal, no es algo insustancial. Caso de no ser aśı, esto es una
forma impĺıcita general como (1.1), hace que el manejo y resolución de la ecuación sea más
complejo.
En el caso de tener la e.d.o. en forma normal, por supuesto tendŕıamos que O = ⌦⇥ R.
Pedro Maŕın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Universidad de Sevilla
14 TEMA 1. PRELIMINARES SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES
La forma “sensata” en que podemos definir solución de una e.d.o. en forma normal es análoga
al caso anterior. Se dice que (I,') es solución de y0 = f(x, y) si
(i) ' tiene derivada en cada punto de I,
(ii) (x,'(x)) 2 ⌦ 8x 2 I,
(iii) '0(x) = f(x,'(x)) 8x 2 I.
Junto al concepto de solución hay otra terminoloǵıa frecuente que resulta conveniente intro-
ducir:
{(x,'(x)) : x 2 I} es la trayectoria de la solución.
{'(x) : x 2 I} es la órbita de la solución.
Si tenemos un espacio X tal que la solución ' 2 X, a X se le suele denotar el espacio de
fases.
Interpretación geométrica
Por simplicidad, que no por necesidad, hacemos el siguiente planteamiento para una e.d.o. dada
en forma normal.
Sea la e.d.o. y0 = f(x, y) con f : ⌦ ⇢ R2 ! R. Supongamos que ' es solución de la e.d.o. en
cierto intervalo I. Para cada (x
0
, y
0
) 2 ⌦ denotamos p
0
= f(x
0
, y
0
), que debe ser la pendiente de
la recta tangente a la curva y = '(x) en (x
0
, y
0
).
Podemos ver ⌦ y sobre dicho conjunto la función f : ⌦ ! R como un “campo de direcciones”,
el dado por (1, f(x
0
, y
0
)), que va “conduciendo” la solución.
Observación 1.11.
Es fácil con paquetes informáticos, como por ejemplo Matlab, dibujar el “campo de direccio-
nes” generado por f en ⌦ y compararlo con la solución concreta en algún caso.
La interpretación geométrica puede ser muy beneficiosa para su uso posterior, tanto teóri-
co (cuando se demuestre el Teorema de Peano en el Tema 3), como práctico (cuando se
implemente el método numérico de Euler en otras asignaturas).
Existen algunos casos “especiales” en la interpretación geométrica anterior que nos obligan
a replantearnos algunas cuestiones.
- El caso de tangentes paralelas al eje OY requeriŕıa que los puntos (x
0
, y
0
) donde esto
ocurre tuvieran |f(x
0
, y
0
)| = 1.
- Otro inconveniente es que y = '(x) no puede cortar más de una vez rectas paralelas al
eje OY. Sin embargo se podŕıa generalizar el problema si se buscan curvas paramétricas
x(t) e y(t) tales que sus tangentes cumplan
dy
dx
(t
0
) =
y0(t
0
)
x0(t
0
)
= f(x(t
0
), y(t
0
)).
Para poder evitar casos extraños (como el primero de los dos anteriores) como para asegurar
que los cálculos formales tengan sentido, si p.ej. la derivada fuera continua y distinta de cero en un
punto, redefinimos el concepto de solución de una e.d.o. anulando con ello el dado en la Definición
1.8. [Lo hacemos sólo para el caso de una e.d.o. dada en forma normal; en forma impĺıcita es
análogo.]
Definición 1.12. Una solución (local) de una e.d.o. de primer orden escrita en forma normal,
y0 = f(x, y), con f 2 C(⌦), es un par (I,')
(i) ' 2 C1(I),
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15 1.3. OTROS EJEMPLOS EN EL ÁMBITO MATEMÁTICO
(ii) (x,'(x)) 2 ⌦ 8x 2 I,
(iii) '0(x) = f(x,'(x)) 8x 2 I.
A veces, cuando se busca una solución de una ecuación diferencial, se emplea también la ex-
presión “integración de la ecuación diferencial”.
Veremos más adelante tanto con ejemplos como teóricamente que cuando una ecuación dife-
rencialtiene una solución, entonces tiene infinitas soluciones.
1.3. Otros ejemplos en el ámbito matemático
Problemas de eliminación de parámetros
Sea F (x, y, C) = 0 una familia de curvas, donde C es un parámetro. Para eliminar C se intenta
despejar en el sistema ⇢
F (x, y, C) = 0,
Fx(x, y, C) + Fy(x, y, C)y0 = 0.
Esto conducirá muchas veces a una ecuación de la forma f(x, y, y0) = 0, que entre sus soluciones
contiene a la familia de curvas inicial (y posiblemente a otras soluciones).
Ejemplo 1.13. Las parábolas de vértice el origen y eje OY son de la forma y = Cx2. Si planteamos
el sistema ⇢
y = Cx2,
y0 = 2Cx,
obtenemos que la familia está contenida en las soluciones de
y0
y
=
2x
x2
) y0 = 2y
x
.
Familias que se cortan con un ángulo fijo
Trayectorias ortogonales
Supongamos una familia de curvas dada (según la sección anterior) a través de la ecuación
diferencial y0 = f(x, y).
Si se desea que una familia de curvas interseque a la anterior de forma ortogonal, es claro que
la pendiente en cada intersección de la nueva familia ha de ser
�1
y0
en el mismo punto (donde y0
es la pendiente de la familia dada). Esto se traduce simplemente en que la ecuación de la familia
ortogonal será
y0 =
�1
f(x, y)
.
Ejemplo 1.14. Consideremos la familia de curvas dada por la e.d.o. y0 = 2y/x (que en particular
vimos que contiene a las parábolas con vértice el origen y eje OY).
Entonces las curvas ortogonales vienen dadas por y0 = �x/(2y). Una manipulación formal nos
lleva a que 2yy0 = �x. Por tanto y2 = �x2/2 + C, es decir, la familia ortogonal son elipses.
Trayectorias isogonales
Dado un ángulo ↵ cualquiera, también es posible plantear a partir de una e.d.o. f(x, y, y0) = 0,
o dicho de otro modo, para la familia de curvas solución, cuál debeŕıa ser la ecuación para la familia
cuyas curvas intersequen a las dadas con ese ángulo fijo.
Para ello, si llamamos y0 = tan� a una pendiente de una curva de la familia original, entonces
debemos tener para la nueva curva buscada una pendiente ỹ0 = tan(↵+ �). Como
tan(↵+ �) =
tan↵+ tan�
1� tan↵ tan� ,
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16 TEMA 1. PRELIMINARES SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES
la familia de curvas isogonales de ángulo ↵ será
f
✓
x, y,
y0 + tan↵
1� y0 tan↵
◆
= 0.
Curvas dadas por condiciones sobre tangentes, normales o proyecciones
Podemos extender los comentarios anteriores sobre ortogonalidad para tratar también curvas
dadas a través de relaciones de sus tangentes o normales con ciertas condiciones geométricas.
Ejemplo 1.15. Hallar las curvas planas cuya normal en cada punto pasa por el origen.
Si consideramos la curva (x, y(x)), su normal tendrá pendiente �1/y0. Si deseamos que pase
por el (0, 0) y por (x, y), entonces
y
x
=
�1
y0
) y0 = �x
y
.
Definición-construcción de funciones a través de e.d.o.
A veces las ecuaciones diferenciales permiten construir a través de sus soluciones nuevas fun-
ciones que añadir a las ya “conocidas”. Veámoslo a través de un ejemplo.
Ejemplo 1.16. Supongamos que no conocemos la existencia de la función exponencial, aún aśı tie-
ne sentido que planteemos una e.d.o., y veremos que sólo tiene una solución, cuyas propiedades
nos ayudará a determinar cómo es (recuperando la función exponencial).
Concretamente, consideramos la e.d.o. y0 = y unida a una condición y(0) = 1.
Su solución, caso de existir (resultados locales serán expuestos en el Tema 3), la denotaremos
por ahora y = f(x).
• Una propiedad interesante que se consigue sobre la función f, derivando la función g(x) =
f(x)f(�x) es que f(�x) = 1/f(x). Por tanto, la función f, caso de existir, cumple f(x) 6= 0
8x 2 dom(f).
• Si f es distinta de cero, por su continuidad, tiene signo constante, y por verificar la ecuación
diferencial y la condición de positividad en 0, sabemos que f es creciente, más aún, y00 = y0, o sea,
que f es convexa.
• Supongamos que el problema consistente en la e.d.o. junto con la condición y(0) = 1, admite
dos soluciones f
1
y f
2
. Entonces derivando la función f
1
(x)/f
2
(x) obtenemos que f
1
(x) = kf
2
(x).
Pero al cumplirse que fi(0) = 1 para i = 1, 2 obtenemos unicidad de solución.
• Consideremos ahora un valor fijo a 2 R. Entonces la función r(x) = f(x + a) verifica que
r0(x) = f 0(x + a) = f(x + a) = r(x). De nuevo por tanto r(x) = kf(x) para cierto k 2 R.
Particularizando para x = 0 deducimos que r(0) = f(a) = kf(0) = k, o sea, k = f(a).
Concluimos entonces que
f(x + a) = f(x)f(a) 8x 2 R, 8a 2 R.
• Veamos ahora que para cualquier n 2 N, se tiene
f(na) = (f(a))n. (1.2)
Por inducción, dado que es cierto trivialmente para n = 1, si lo creemos para un valor natural k,
el caso k + 1 se resuelve simplemente aplicando la propiedad vista en el punto anterior:
f((k + 1)a) = f(ka + a) = f(ka)f(a) = (f(a))kf(a) = (f(a))k+1.
• En particular, si denotamos e = f(1), entonces tenemos que f(n) = en. Y por un resultado
anterior f(�n) = e�n.
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17 1.4. EL PROBLEMA DE CAUCHY Y E.D.O. DE ORDEN SUPERIOR
Para cualquier q 2 N, se tiene
e = f(1) = f
✓
q · 1
q
◆
=
✓
f
✓
1
q
◆◆q
,
de modo que
f
✓
1
q
◆
= e1/q.
De nuevo usando (1.2) concluimos que
f
✓
p
q
◆
= ep/q
primero para p 2 N, y después para p 2 Z.
• Finalmente, por continuidad, podemos afirmar que f(x) = ex 8x 2 dom(f). Además, sabe-
mos algo sobre la constante e = f(1), y es que al ser f creciente, e = f(1) > f(0) = 1.
Si la función f está definida para todo x 2 R, entonces
ĺım
x!+1
f(x) = +1
ya que en = (1 + b)n con b > 0, y se tiene que (1 + b)n > 1 + nb. Aśı, también ocurre que
ĺım
x!�1
f(x) = 0
pues teńıamos que f(�x) = 1/f(x).
Es posible desarrollar un análisis análogo al anterior para obtener las propiedades principales
de otras funciones vistas como soluciones de ecuaciones diferenciales, como por ejemplo la función
logaŕıtmica.
1.4. El problema de Cauchy y e.d.o. de orden superior
Hemos afirmado que si es posible resolver una ecuación diferencial puede ocurrir que tenga
infinitas soluciones (la prueba será natural tras el Tema 3).
De modo que se requiere alguna condición más para plantear un problema en el que esperemos
obtener sólo una. De hecho, en la sección anterior ya hemos visto un ejemplo, la ecuación y0 = y,
en que se teńıa unicidad de solución si además se impońıa la condición de que la solución pasara
por un cierto punto (x
0
, y
0
), en aquel caso el (0, 1).
Si imaginamos el tipo más simple de ecuación diferencial, aquélla en que y0 = f(x), es decir,
donde la respuesta es obvia (ya que no hay ecuación propiamente), se trata sólo de integrar, el
“grado de libertad” que se tiene al calcular la integral indefinida, queda neutralizado con un dato
inicial. Esto refuerza lo visto en el ejemplo previo, y nos induce a dar la siguiente definición.
Definición 1.17. Se llama problema de Cauchy o de valor inicial relativo a la e.d.o.
f(x, y, y0) = 0
con dato inicial (x
0
, y
0
) y se escribe
(PC)
⇢
F (x, y, y0) = 0,
y(x
0
) = y
0
,
al problema de encontrar ' : I ! R tal que (I,') sea solución de la e.d.o., que x
0
2 I, y que
'(x
0
) = y
0
. A tal par (I,') se le llamará solución local del problema de Cauchy.
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18 TEMA 1. PRELIMINARES SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES
Observación 1.18. De forma análoga se puede definir el problema de Cauchy y una solución local
en el caso de una e.d.o. en forma normal,
(PC)
⇢
y0 = f(x, y),
y(x
0
) = y
0
.
Observación 1.19 (Anticipo del Tema 2, sobre la resolución de ec. diferenciales). Del
mismo modo que no se puede escribir de forma cerrada toda integral definida en términos de
funciones elementales, el problema de Cauchy más básico
⇢
y0 = f(x),
y(x
0
) = y
0
,
cuya solución es y(x) = y
0
+
Rx
x0
f(s)ds, nos permite observar que tampoco cabe esperar que las
soluciones de ecuaciones diferenciales en general o bien de problemas de Cauchy puedan darse ex-
pĺıcitamente siempre. Se considerará resuelto el problema si se reduce a un problema de cuadratura.
Ejemplo 1.20. Hallar la curva plana que pasa por el punto (1, 2) y cuya normal en cada punto
pasa por el origen.
Se trata de resolver el problema de Cauchy
⇢
y0 = �x/y,
y(1) = 2.
Como yy0 = �x, es fácil en este caso resolver la ecuación: 1
2
y2 = �1
2
x2 + C. Si a la curva buscada
en la familia x2 + y2 = 2C le imponemos que pase por el (1, 2) entonces 2C = 5. Aśı la expresión
final de solución es x2 + y2 = 5 (que no es propiamente una función).
Ejemplo 1.21. Consideramos ahora el
(PC)
⇢
y0 = 2xey
2
,
y(1) = 0.
Despejando obtenemos e�y
2
y0 = 2x, con lo que la solución viene dada a través de la expresión
Z y
0
e�t
2
dt = x2 � 1,
de donde no puede ser despejada la y.
Definición 1.22. Llamamos ecuación diferencial ordinaria de orden n a una expresión de la
forma G(x, y, y0, . . . , y(n) = 0, donde G : O ⇢ Rn+2 ! R, x es la variable independiente, y = y(x)
es la función incógnita, e y0, y00, . . . , y(n son sus derivadas primera, segunda, ... y enésima.
Observación 1.23. Normalmente O será un abierto, y que G será continua sobre O.
La primera idea sensata que viene a la cabeza de lo que debeŕıa ser solución de una e.d.o. de
orden n es la siguiente.
Definición 1.24 (incompleta; véase Observación 1.25). Dada una e.d.o. de orden n
G(x, y, y0, . . . , y(n) = 0 (1.3)
y una función ' : I ⇢ R ! R definida sobre un intervalo no degenerado y tal que
(i) ' tiene derivada hasta orden n, 8x 2 I,
(ii) (x,'(x),'0(x), . . . ,'(n(x)) = 0 8x 2 I,
(iii) G(x,'(x),'0(x), . . . ,'(n(x)) = 0 8x 2 I,
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19 1.4. EL PROBLEMA DE CAUCHY Y E.D.O. DE ORDEN SUPERIOR
diremos que (I,') es solución local de (1.3) o que ' es solución de (1.3) en I.
Observación 1.25. Normalmente G será continua en un abierto O, de modo que al igual que se
hizo para e.d.o. de orden uno, pediremos a la solución en vez de que satisfaga la condición (i), que
cumpla ' 2 Cn(I).
Definición 1.26. Llamamos e.d.o. de orden n en forma normal o expĺıcita a una e.d.o.
de orden n donde
G(x, y, y0, . . . , y(n) = y(n � g(x, y, y0, . . . , y(n�1)
con g : ⌦ ⇢ Rn+1 ! R.
Observación 1.27. Usualmente se pedirá que g 2 C(⌦).
Definición 1.28. Llamamos problema de Cauchy relativo a la e.d.o. impĺıcita de orden n
G(x, y, y0, . . . , y(n) = 0
y dato inicial (x
0
, y
0
, y0
0
, . . . , y
(n�1
0
) y se escribe
(PC)
⇢
G(x, y, y0, . . . , y(n) = 0,
y(x
0
) = y
0
, y0(x
0
) = y0
0
, . . . , y(n�1(x
0
) = y(n�1
0
,
a encontrar ' : I ! R tal que (I,') sea solución de la e.d.o. de orden n y verifique las condiciones
'(x
0
) = y
0
, '0(x
0
) = y0
0
, . . . ,'(n�1(x
0
) = y(n�1
0
.
Al par (I,') lo llamaremos solución local del (PC).
Algunas situaciones con e.d.o. de orden superior a uno
Problemas de eliminación de varios parámetros
Consideramos la familia dada por la siguiente ecuación con dos parámetros: F (x, y, a, b) = 0.
Para eliminar los parámetros y obtener una ecuación diferencial, calculamos (supuesto que
F tiene regularidad suficiente y es posible) derivadas parciales respecto de x y de y. Aśı, si las
derivadas cruzadas son iguales, se tiene el sistema
8
<
:
F (x, y, a, b) = 0,
Fx(x, y, a, b) + Fy(x, y, a, b)y0 = 0,
Fxx(x, y, a, b) + 2Fxy(x, y, a, b)y0 + Fyy(x, y, a, b)(y0)2 + Fy(x, y, a, b)y00 = 0.
Ejemplo 1.29. Las circunferencias de radio R se expresan a través de la familia
(x� a)2 + (y � b)2 = R2. (1.4)
Derivando resulta
2(x� a) + 2(y � b)y0 = 0 (1.5)
de donde
x� a = �y0(y � b).
Una segunda derivada en (1.5) implica 1� (y0)2 + (y � b)y00 = 0, de donde deducimos
y � b = �1 + (y
0)2
y00
y por tanto
x� a = y
0(1 + (y0)2)
y00
.
Pedro Maŕın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Universidad de Sevilla
20 TEMA 1. PRELIMINARES SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES
Aśı, la forma general (1.4) que teńıa la familia se transforma en
✓
y0(1 + (y0)2)
y00
◆
2
+
✓
1 + (y0)2
y00
◆
2
= R2,
que operando queda reducida a
(1 + (y0)2)3/2
y00
= R.
Definición de funciones
Al igual que se hizo antes con ecuaciones diferenciales de orden 1, que permit́ıan demostrar
y caracterizar algunas funciones como ex y lnx, ecuaciones de orden superior, como y00 = �y
permiten deducir una serie de propiedades sobre las funciones senx y cos x cuando se usan los
datos iniciales adecuados (y(0) = 0, y0(0) = 1, e y(0) = 1, y0(0) = 0 respectivamente).
Aplicaciones f́ısicas donde aparecen e.d.o. de orden 2
El movimiento de un péndulo sin rozamiento corresponde a la situación “ideal” en que un
cuerpo de masa m colgado de una cuerda no extensible, de masa despreciable y longitud L tiene
un movimiento oscilante debido a la fuerza de gravedad, supuesta constante. (Volveremos en el
Tema 7 sobre este ejemplo).
Si denotamos ✓ = ✓(t) el ángulo en radianes que forma la cuerda con la vertical, la distancia
de arco de circunferencia recorrida por el péndulo en un instante t es x = ✓(t)L.
La segunda ley de Newton, F = ma, nos da la ecuación diferencial �mg sen ✓ = mL✓̈. Aśı, el
problema de Cauchy (no trivial, para que se genere movimiento) es
(PC)
8
<
:
✓̈ +
L
g
sen ✓ = 0,
✓(0) = ✓
0
, ✓̇(0) = 0.
1.5. Sistemas diferenciales ordinarios de dimensión N
Consideramos en esta sección una forma equivalente de ver las e.d.o. de orden superior a uno.
Esta forma resultará muy conveniente, ya que nos permitirá formular y demostrar los resultados
de toda la teoŕıa de este curso relativa a e.d.o. de cualquier orden de manera unificada como un
sistema de orden uno.
Definición 1.30. Se llama sistema diferencial ordinario (s.d.o.) de ecuaciones de primer
orden de dimensión N en forma normal o expĺıcita a un sistema de N ecuaciones de la
forma 8
>>><
>>>:
y0
1
= f
1
(x, y
1
, . . . , yN ),
y0
2
= f
2
(x, y
1
, . . . , yN ),
...
y0N = fN (x, y1, . . . , yN ),
donde fi : ⌦ ⇢ RN+1 ! R para i = 1, . . . , N.
Observación 1.31.
En general se supondrá que ⌦ es un conjunto abierto, y que fi 2 C(⌦) para todo i.
Cabŕıa la posibilidad de considerar sistemas con distinto número de ecuaciones que de incógni-
tas.
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21 1.5. SISTEMAS DIFERENCIALES ORDINARIOS DE DIMENSIÓN N
Se puede introducir una notación vectorial que abrevia y unifica el tratamiento de una e.d.o.
de orden uno y de un s.d.o. de primer orden.
Dicha notación vectorial seŕıa ~y0 = ~f(x, ~y), donde se entiende que los vectores siempre están
escritos por columna. Para unificar, como ya se ha dicho, el tratamiento de e.d.o. de orden
uno y de s.d.o. de primer orden normalmente se omitirá el śımbolo vectorial (salvo que se
quiera hacer especial hincapié en la diferencia).
Definición 1.32. Dado un s.d.o. de primer orden y dimensión N en forma normal, diremos que
la función ~' = ('
1
, . . . ,'N ) : I ⇢ R ! RN definida en un intervalo no degenerado I es solución
del s.d.o. si se cumplen las siguientes tres condiciones:
(i) ~' admite derivada para todo x 2 I,
(ii) (x, ~'(x)) 2 ⌦ 8x 2 I,
(iii) ~'0(x) = ~f(x, ~'(x)) 8x 2 I.
En tal caso se dirá que (I,') es solución local del s.d.o.
Observación 1.33 (Modificación de la definición anterior).
En general se pedirá que ~f 2 C(⌦).
Por tanto pediremos que en vez de (i) en la definición anterior, se cumpla ~' 2 C1(I; RN ).
Cualquier e.d.o. de orden N, y(N = g(x, y, y0, . . . , y(N�1), es equivalente a un s.d.o. de ecua-
ciones de primer orden y dimensión N mediante el cambio de variables
y
1
= y, y
2
= y0, y
3
= y00, . . . , yN = y(N�1.
Aśı se obtiene el s.d.o. 8
>>>>><
>>>>>:
y0
1
= y
2
,
y0
2
= y
3
,
...
y0N�1 = yN ,
y0N = g(x, y1, . . . , yN ).
Obsérvese que el rećıprocono es cierto, es decir, dado un s.d.o. de primer orden y dimensión
N, no siempre es posible reducirlo a una e.d.o. de orden N. (Para hacerlo, cuando se puede, se
procede por diferenciación y eliminación de las variables superfluas.)
Al hilo de la observación anterior, damos el siguiente
Ejemplo 1.34.
(a) Comencemos con un caso en que hay respuesta positiva al problema rećıproco.
Se considera el s.d.o. ⇢
y0 = y + z,
z0 = y � 2z.
Entonces
y00 = y0 + z0 = (y + z) + (y � 2z) = 2y � z = 2y � (y0 � y) = 3y � y0.
Una segunda opción seŕıa
z00 = y0 � 2z0 = y + z � 2(y � 2z) = �y + 5z = �(z0 + 2z) + 5z = �z0 + 3z.
(b) Es inmediato dar un contraejemplo a la cuestión, es decir, no siempre es posible hacer el cambio
de un s.d.o. a una e.d.o. Considérese el caso del s.d.o.
⇢
y0 = y,
z0 = 2z.
Pedro Maŕın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Universidad de Sevilla
22 TEMA 1. PRELIMINARES SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES
Definición 1.35. Se llama problema de Cauchy para un s.d.o. de primer orden y dimen-
sión N al problema de encontrar solución a
(PC)
⇢
y0 = f(x, y),
y(x
0
) = y
0
,
donde f : ⌦ ⇢ RN+1 ! RN .
Definición 1.36. Se dice que (I,') es solución local del (PC) anterior si ' : I ⇢ R ! RN es
solución del s.d.o. y0 = f(x, y) y además x
0
2 I, y se verifica '(x
0
) = y
0
.
Observación 1.37. Aunque tiene sentido tratar un s.d.o. de orden superior a uno, en tal caso se
podŕıa hacer un cambio que lo transformara a un sistema equivalente de orden uno y otra dimensión
(mayor), por lo que siempre se tratarán en esta forma.
Un ejemplo de s.d.o. fue tratado al principio del tema: el modelo biológico para un sistema de
dos especies presa-depredador.
Notas finales
El estudio aqúı iniciado de un problema de Cauchy deja varias cuestiones abiertas:
Sabemos ya que encontrar solución exacta al problema en general es imposible.
Por tanto nuestro objetivo a partir de ahora es desarrollar un estudio teórico de cuestiones
cualitativas como la existencia y otras propiedades de la(s) solución(es) sin conocerla(s)
expĺıcitamente.
El desarrollo de la teoŕıa cualitativa de e.d.o. se ve complementado con métodos de cálcu-
lo aproximados de las soluciones. Éste es el objetivo del Análisis Numérico aplicado a las
ecuaciones diferenciales.
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Tema 2
Métodos elementales de
integración
Ya anticipamos en el tema anterior que en general no es posible obtener soluciones expĺıcitas
para ecuaciones diferenciales. Aún aśı, para ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias śı es
posible, y ése será nuestro objetivo en este tema.
Aunque resulta aparentemente contradictorio invertir tiempo en un problema que en general
no será posible resolver, más que en casos contados, el motivo no es otro que servir de ejemplo
sobre algunos de los comportamientos que exhibirán las soluciones de las e.d.o. y que después
describiremos con el estudio teórico de forma general.
2.1. Resolución e.d.o. de primer orden en forma normal
Los tipos estándar que aparecen en los libros de problemas y que veremos aqúı son los siguientes.
De tipo inmediato.
Variables separables.
Homogéneas.
Lineales de primer orden.
Ecuaciones exactas.
Reducibles a exactas por factor integrante.
De tipo Bernoulli.
De tipo Ricatti.
De tipo inmediato
Entendemos como e.d.o. de tipo inmediato una ecuación diferencial que propiamente no es
ecuación (no aparece la incógnita en el miembro de la derecha).
y0 = f(x) ) y(x) =
Z
f(s)ds.
Si se tratará de un problema de Cauchy con dato inicial (x
0
, y
0
) evidentemente la solución seŕıa
y(x) = y
0
+
R x
x0
f(s)ds.
23
24 TEMA 2. MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN
Variables separables
Una e.d.o. se dice de variables separables si, sustituyendo formalmente y0 por
dy
dx
se puede
manipular la ecuación para dejar todos los términos dependientes de y en un lado y los dependientes
de x en el otro.
En tal caso, dada una expresión de la forma g(y)dy = f(x)dx la solución al problema se obtiene
por integración. Z
g(y)dy =
Z
f(x)dx.
En efecto, dada la e.d.o.
y0 =
a(x)
b(y)
,
consideramos A(x) y B(y), sendas primitivas de a(x) y b(y) respectivamente. Vemos que la ecuación
b(y)y0 = a(x) corresponde a
d
dx
(B(y)) = a(x)
por lo que efectivamente
B(y) = A(x) + C,
que era la solución anunciada.
Ejemplo 2.1. Consideramos la e.d.o. y0 = 1 + y2. Podemos pasar el término de la derecha di-
vidiendo sin problemas ya que no se anula el denominador (a veces esto no pasará y habrá que
analizar varios casos separadamente) y no causará problemas en
y0
1 + y2
= 1.
La integración es inmediata: arctg y = x + c, o sea, y = tan (x + c).
Un hecho interesante a resaltar es que la solución no existe globalmente para todo valor de
x, hay explosión en tiempo finito. ¿Ocurrirá esto siempre? ¿o si no es aśı, se puede caracterizar
cuándo ocurre? Responderemos afirmativamente esta última pregunta más adelante (cf. Tema 4).
Ejemplo 2.2. Consideramos el
(PC)
⇢
yy0 + (1 + y2) sen x = 0,
y(0) = 1.
Como
yy0
1 + y2
= � senx entonces
Z
y
1 + y2
dy =
Z
� senxdx,
o sea,
1
2
ln(1 + y2) = cos x + C.
Manipulando la expresión anterior llegamos a que
y = ±
p
e2 cos x+C � 1.
Aunque hay aparentemente dos familias de soluciones, el dato inicial sólo permite que nos quedemos
con la positiva, más aún,
y(0) = 1 ) 1 =
p
e2+C � 1 ) C = ln 2� 2.
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25 2.1. RESOLUCIÓN E.D.O. DE PRIMER ORDEN EN FORMA NORMAL
La solución del (PC) es por tanto
y(x) =
p
2e2 cos x�2 � 1.
El dominio de definición de la solución es un cierto intervalo simétrico [�x⇤, x⇤], donde se satisface
que cos x � (2� ln 2)/2. Vuelve a ocurrir que la solución no está definida globalmente, aunque esta
vez no hay explosión en tiempo finito, sino que llegamos al ĺımite donde la función deja de tener
sentido (concretamente, y teniendo en cuenta que la ecuación del problema se puede escribir como
y0 = f(x, y) con f(x, y) = � (1 + y
2)
y
senx, llegamos a donde la expresión deja de ser continua).
Homogéneas
Se dice que una función F (x, y) es homogénea de grado n si F (�x,�y) = �nF (x, y) para � > 0.
Dada una e.d.o. en forma normal y0 = f(x, y), con f homogénea de grado 0, se puede resolver
expĺıcitamente haciendo el cambio de variables
v = y/x.
Si somos cuidadosos con los signos, entonces observamos que quedan dos problemas del tipo ante-
rior, de variables separables:
v0 =
f(1, v)� v
x
si x � 0,
y
v0 =
f(�1,�v)� v
x
si x < 0.
Veamos un par de ejemplos ilustrativos. Los cálculos que haremos serán formales, i.e. no reali-
zaremos una casúıstica exhaustiva según el signo. De hecho, esto ya nos está indicando que de
las múltiples soluciones que se pueden obtener, el problema queda más delimitado si se tiene una
condición de valor inicial (igual que ocurŕıa en el ejemplo anterior).
Ejemplo 2.3. Consideramos la ecuación
y0 =
y +
p
x2 � y2
x
.
Con el cambio y = xu queda
xu0 + u =
xu +
p
x2 � x2u
x
= u +
p
1� u2,
donde en la última igualdad hemos supuesto, por simplicidad en la exposición que x > 0. Por tanto
xu0 =
p
1� u2 ) xdu
dx
=
p
1� u2 )
Z
1p
1� u2 du =
Z
1
x
dx.
Para poder efectuar el último paso hemos supuesto que 1� u2 6= 0. Aśı, obtenemos por un lado la
solución
y = x sen(ln |Cx|)
y por otro, ya que supońıamos que 1� u2 6= 0, la que corresponde a este caso u2 = 1, i.e. y = ±x,
que efectivamente se comprueba es también solución.
Hay dos casos concretos que podemos reseñar asociados a las ecuaciones homogéneas:
La e.d.o. y0 = f
✓
ax + by
cx + dy
◆
con la condición
����
a b
c d
���� 6= 0 para que no se trate de un ejemplo
trivial, es una ecuación diferencial homogénea, y admite resolución por el método anterior.
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26 TEMA 2. MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN
También es reducible a una ecuación homogénea la siguiente:
y0 = f
✓
ax + by + m
cx + dy + n
◆
,
donde de nuevo suponemos la condición
����
a b
c d
���� 6= 0.
Para obtener la ecuación homogénea hemos de calcular el punto de corte de las rectas ax +
by +m = 0 con cx+dy +n = 0. Si dicho punto lo denotamos por (x
0
, y
0
), entonces el cambio
de variables X = x� x
0
, Y = y � y
0
, permite escribir la ecuación (homogénea) en X e Y.
dY
dX
=
dY
dx
dx
dX
= f
✓
aX + bY
cX + dY
◆
ya que
aX + bY
cX + dY
=
ax + by + m
cx + dy + n
.
Lineales de primer orden
Llamamos e.d.o. lineal de primer orden a una ecuación del tipo
y0 + a(x)y = b(x). (2.1)
Hay dos métodos para resolver este tipo de problemas.
El primero consiste en encontrar un factor integrante (esto se usará también más adelante
y de forma más general). Si A es una primitiva de a, entonces la ecuación anterior equivale a
eA(x)y0 + eA(x)a(x)y = eA(x)b(x),
de donde
eA(x)y(x) =
Z
eA(x)b(x)dx.
El segundo método es la llamada fórmula de variación de las constantes de Lagrange,
y consta de dos pasos.
Primero resolvemos la ecuación lineal homogénea (i.e. sin término b)
y0 + a(x)y = 0,
que es del tipo de variables separables y tiene por solución y(x) = Ce�A(x) con C 2 R.
El nombre del método quedará claro con el segundo paso. Buscamos una variación de la
constante C anterior, concretamente suponemos que ahora C = C(x) es una función, e
imponemos que y(x) = C(x)e�A(x) sea solución de (2.1), tras lo cual una solución particular
de la ecuación no homogénea sumada con todas las soluciones posibles de la homogénea,
y = yp + yH ,
hace que recuperemos la solución general obtenida por el primer método.
Ejemplo 2.4. Consideramos la ecuación
y0 + y cos x = sen x cos x.
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27 2.1. RESOLUCIÓN E.D.O. DE PRIMER ORDEN EN FORMA NORMAL
Usamos el factor integrante para obtener la ecuación equivalente
esen xy0 + cos xesen xy = sen x cos xesen x.
Como
d
dx
[esen xy] = esen xy0 + cos xesen xy,
deducimos que
esen xy =
Z
senx cos xesen xdx.
La integral indefinida se hace por partes:
Z
senx cos xesen xdx = esen x(senx� 1) + C,
con lo que la solución final es
y(x) = senx� 1 + Ce� sen x.
Ejemplo 2.5. Consideramos de nuevo la ecuación del ejemplo anterior, pero lo resolvemos ahora
por el método de variación de las constantes de Lagrange.
La ecuación lineal homogénea y0 + y cos x = 0 puede verse como y0/y = � cos x (si suponemos
y 6= 0, caso que habrá que considerar aparte). La solución entonces es
ln |y| = � senx + C ) |y| = Ce� sen x con C 2 R
+
\ {0},
con lo que eliminando el valor absoluto e incorporando la función y ⌘ 0, que también es solución,
obtenemos
yH(x) = Ce� sen x con C 2 R.
El segundo paso consiste en imponer que
yp(x) = C(x)e� sen x
sea solución de y0 + y cos x = senx cos x. Al derivar yp(x) e imponer que sea solución se obtiene
una ecuación para C(x).
C 0(x) = senx cos xesen x,
o sea
C(x) =
Z
senx cos xesen xdx.
Efectivamente, haciendo la integral como antes, y = yp + yH nos devuelve el mismo resultado que
en el ejemplo anterior.
Ejemplo 2.6. Considérese el problema de Cauchy
(
y0 + y =
1
1 + x2
,
y(2) = 3,
cuya ecuación se resuelve por medio de
exy0 + yex =
ex
1 + x2
.
Concretamente la integración (definida, para incorporar ya si queremos el valor inicial) es
Z x
2
d
ds
(esy(s)) ds =
Z x
2
es
1 + s2
ds,
es decir,
exy(x)� 3e2 =
Z x
2
es
1 + s2
ds.
Aśı, la solución al problema es
y(x) = 3e2 � x + e�x
Z x
2
es
1 + s2
ds.
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28 TEMA 2. MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN
Ecuaciones exactas
Una e.d.o. de la forma
P (x, y) + Q(x, y)
dy
dx
= 0,
o equivalentemente escrita como
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,
con P,Q 2 C(⌦) y ⌦ ⇢ R2, se dice exacta si existe una función U(x, y) (función potencial) tal que
@U
@x
= P,
@U
@y
= Q. (2.2)
Por tanto las soluciones vienen dadas de forma impĺıcita por “las curvas de nivel” U(x, y) = C,
con C una constante, ya que
d
dx
[U(x, y(x))] = 0. Anticipamos, aunque lo veremos con rigor más
adelante, que entonces se dice que U(x, y(x)) es una integral primera del problema.
Un CRITERIO para saber si una e.d.o. es exacta, esto es, para ver si F = (P,Q) es conserva-
tivo es el siguiente: supuesto que P, Q 2 C1(⌦) y que ⌦ es un dominio simplemente conexo (esto
es, “sin agujeros”) Pdx + Qdy es exacta si y sólo si se cumple la igualdad
@P
@y
=
@Q
@x
en ⌦.
Ocurre de nuevo que hay dos formas de calcular U. Los exponemos a continuación y después
los ilustramos con varios ejemplos.
En tal caso, la función potencial U, al tener que cumplir
@U
@x
= P, es de la forma
U(x, y) =
Z
P (x, y)dx + g(y). (2.3)
Por otro lado, como también debe cumplirse
@U
@y
= Q, se tiene que verificar
@
@y
✓Z
P (x, y)dx
◆
+ g0(y) = Q,
de modo que la expresión final de la función U viene dada por (2.3) siendo
g(y) =
Z ✓
Q� @
@y
Z
Pdx
◆
dy.
El segundo método se basa en el hecho de que las integrales exactas no dependen del camino
elegido en la integración. Entonces
U(x, y) =
Z x
x0
P (s, y
0
)ds +
Z y
y0
Q(x, s)ds.
En efecto, veamos que se cumple (2.2) para dicha expresión de U(x, y). Se tiene que
@U
@x
(x, y) = P (x, y
0
) +
@
@x
Z y
y0
Q(x, s)ds.
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29 2.1. RESOLUCIÓN E.D.O. DE PRIMER ORDEN EN FORMA NORMAL
Pero por la igualdad
@P
@y
=
@Q
@x
,
@
@x
Z y
y0
Q(x, s)ds =
Z y
y0
@
@x
Q(x, s)ds =
Z y
y0
@
@y
P (x, s)ds = P (x, y)� P (x, y
0
).
Concluimos que
@U
@x
(x, y) = M(x, y). La derivada parcial restante es más simple:
@U
@y
(x, y) =
@
@y
Z x
x0
P (s, y
0
)ds + Q(x, y) = Q(x, y).
Ejemplo 2.7. Consideremos la e.d.o. y0 = �x
3 + xy2
x2y + y3
. Evidentemente evitamos el conjunto de
valores donde x2y + y3 = 0, esto es, {(x, y) : y = 0}.
Vamos a estudiar el problema en ⌦ = R2 \ {(x, y) : y = 0} = ⌦
1
[ ⌦
2
(realmente lo haremos
por separado en ⌦
1
y ⌦
2
; obsérves que ambos dominios son simplemente conexos.
Llamamos P (x, y) = x3 + xy2, y Q(x, y) = x2y + y3. Vemos que efectivamente
@P
@x
=
@Q
@y
= 2xy.
Luego existen dos funciones �i 2 C1(⌦i) para i = 1, 2, tales que @�i
@x
= P,
@�i
@y
= Q.
Veamos cómo hallar la solución usando los dos métodos anteriores.
Método 1:
@�
@x
= x3 + xy2 ) �(x, y) = x
4
4
+
x2y2
2
+ C(y).
) @�
@y
= x2y + y3 ) x2y + y3 = x2y + C 0(y).
De modo que debe cumplirse que C(y) =
y4
4
+ k. En realidad, como la expresión de la solución
vendrá dada por �(x, y) = C, es preferible por ahora no arrastrar la constante k. Finalmente,
resulta
�(x, y) =
x4
4
+
x2y2
2
+
y4
4
=
1
4
(x2 + y2)2.
La solución vendrá de forma impĺıcita como
1
4
(x2 + y2)2 = C2.
En este caso concreto śı podemos despejar y con respecto a x y obtener una expresión expĺıcita (pero
esto no ocurrirá en general). Las soluciones (según estemos en el dominio ⌦
1
ó ⌦
2
), redefiniendo
C, son y = ±pC � x2.
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30 TEMA 2. MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN
Método 2: Aplicado al mismo problema:
�(x, y) =
Z x
x0
P (s, y
0
)ds +
Z y
y0
Q(x, s)ds
=
Z x
x0
(s3 + sy2
0
)ds +
Z y
y0
(x2s + s3)ds
=

s4
4
+
s2y2
0
2
�s=x
s=x0
+

x2s2
2
+
s4
4
�s=y
s=y0
=
x4
4
+
x2y2
0
2
� x
4
0
4
� x
2
0
y2
0
2
+
y2x2
2
+
y4
4
� y
2
0
x2
2
� y
4
0
4
=
x4
4
+
x2y2
2
+
y4
4
�
✓
x4
0
4
+
x2
0
y2
0
2
+
y4
0
4
◆
.
Ejemplo 2.8. Consideramos el
(PC)
⇢
3xy2y0 = 2x� y3,
y(1) = 1.
Notamos P (x, y) = 2x � y3, Q(x, y) = �3xy2. Como se tiene @P
@x
=
@Q
@y
= �3y2, la ecuación es
exacta. De nuevo lo resolvemos por los dos métodosposibles.
(a)
@
@x
�(x, y) = 2x� y3 ) �(x, y) = x2 � y3x + C(y).
@
@y
�(x, y) = �3xy2 = �3xy2 + C 0(y) ) C 0(y) = 0 ) C(y) = C.
La solución del problema viene dada por �(x, y) = x2 � y3x = C. Como debe cumplirse
y(1) = 1, entonces debe ser C = 0. Despejando, se tiene que y = 3
p
x.
(b)
�(x, y) =
Z x
1
P (s, 1)ds +
Z y
1
Q(x, s)ds
=
Z x
1
(2s� 1)ds�
Z y
1
3xs2ds
= [s2 � s]x
1
� [xs3]s=ys=1
= x2 � x� 1 + 1� xy3 + x,
de donde se obtiene la expresión impĺıcita de la solución: �(x, y) = x2 � xy3 = 0 (al haber
impuesto ya los ĺımites precisos de integración).
Reducibles a exactas por factor integrante
A veces puede ocurrir que una ecuación diferencial no sea exacta pero que exista un factor
µ 2 C1(⌦) con µ 6= 0 en ⌦ y tal que la expresión
µ(x, y)P (x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy = 0 (2.4)
śı es exacta, es decir, con la que se verifica
@
@y
(µ(x, y)P (x, y)) =
@
@x
(µ(x, y)Q(x, y)).
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31 2.1. RESOLUCIÓN E.D.O. DE PRIMER ORDEN EN FORMA NORMAL
En tal caso a µ se le llama factor integrante. La condición para que la (2.4) sea exacta si µ
depende expĺıcitamente de las dos variables x e y es en principio más complicada,
µyP + µPy = µxQ + µQx. (2.5)
Como en principio no sabemos si dicho factor integrante existe o no, por simplicidad buscamos
factores dependientes sólo de una variable. Aśı, resulta más fácil buscar por ejemplo µ = µ(x), en
cuyo caso la condición (2.5) queda
µPy = µ0(x)Q + µQx ) µ
0(x)
µ(x)
=
Py �Qx
Q
.
Si la expresión
Py �Qx
Q
sólo depende de x, entonces podŕıamos hallar el factor integrante (al
tratarse de una ecuación de variables separables).
Otras opciones válidas seŕıan µ = µ(y), o µ = µ(t) con t algún cambio de variables que resulte
claro a tenor de la ecuación de partida.
Ejemplo 2.9. La e.d.o.
x(1� y) + (y + x2)y0 = 0
no es exacta, ya que si denotamos P (x, y) = x(1 � y) y Q(x, y) = (y + x2), se tiene Py 6= Qx.
Veamos que µ(x, y) = ⌫(t), con t = x2 + y2, es un factor integrante.
Hay que intentar conseguir la igualdad
µyx(1� y)� xµ = µx(y + x2) + 2xµ,
o lo que es lo mismo, dada la relación entre µ y ⌫,
⌫0(t)2yx(1� y)� x⌫(t) = ⌫0(t)2x(y + x2) + 2x⌫.
Tras hacer algunas simplificaciones, se obtiene que
⌫0(t)(�2x)(y2 + x2) = 3x⌫(t) ) ⌫0(t) = � 3
2t
⌫(t),
con lo que una solución posible (no nos interesa obtener todas) es
⌫(t) = t�3/2.
Por tanto, hemos conseguido probar la existencia de un factor integrante, µ(x, y) = (x2 + y2)�3/2.
Aśı, la ecuación exacta es
µx(1� y) + µ(y + x2)y0 = 0.
La solución del problema ahora viene dada por
�(x, y) =
Z
x(1� y)
(x2 + y2)3/2
dx + C(y) = (�1 + y)(x2 + y2)�1/2 + C(y).
Imponiendo la condición con respecto a la derivada parcial respecto de y, debe cumplirse que
(x2 + y2)�1/2 � (y � 1)(x2 + y2)�3/2y + C 0(y) = y + x
2
(x2 + y2)3/2
.
Operando concluimos que C 0(y) = 0, o sea, C(y) =Cte, de modo que la solución final es:
�(x, y) =
y � 1p
x2 + y2
= C.
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32 TEMA 2. MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN
De tipo Bernoulli
La siguiente e.d.o. se llama de tipo Bernoulli:
y0 = a(x)y + b(x)y↵, ↵ 6= 0, 1.
(Los casos ↵ = 0 ó 1 ya han sido tratados antes). Hay dos modos de tratarla,
o bien haciendo el cambio de variables z = y1�↵, que la transforma en una ecuación lineal
en z,
z0
1� ↵ = az + b,
o bien con el cambio y = uv, y ahora imponemos que u0 = au y con esta primera ecuación
resuelta (denotemos A una primitiva de a) nos queda finalmente el problema
v0 = b(eA)↵�1v.
Ejemplo 2.10. Calcular las soluciones de la siguiente e.d.o. de tipo Bernoulli,
y0 +
1
x
y =
lnx
x
y2.
Usaremos, por ejemplo, el segundo de los métodos antes indicados. Sea y = uv. Ha de verificarse
entonces
u0v + uv0 +
1
x
uv =
lnx
x
u2v2. (2.6)
Obligamos previamente a que u0 + 1xu = 0 (lo que nos simplificará el estudio de (2.6)).
La solución de esta e.d.o. es u(x) = C/x, pero ya tendremos tiempo de poner la dependencia de
una constante arbitraria más adelante, en la segunda ecuación, aśı que por simplicidad pondremos
u(x) = 1/x. Entonces (2.6) se transforma en
v0 =
lnx
x2
v2.
De nuevo, por variables separables podemos resolver la ecuación:
�1
v
=
Z
lnx
x2
dx = � 1
x
(lnx + 1),
donde la última integral la hemos resuelto por partes. Despejando se deduce que
v(x) =
1
1+ln x
x � C
,
y por tanto
y = uv =
1
1 + lnx� Cx,
que constituye, junto con y ⌘ 0 (hubo un momento en que dividimos y por v, al suponerlas distintas
de cero) las soluciones de la ecuación.
De tipo Ricatti
Una e.d.o. de Ricatti tiene la siguiente forma:
y0 = a(x)y2 + b(x)y + c(x), a, b, c 2 C(I).
Es un caso especialmente interesante ya que es lo que obtendŕıamos de otra e.d.o. cualquiera al
aproximar el segundo miembro por su desarrollo de Taylor de orden dos.
Pedro Maŕın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Universidad de Sevilla
33 2.2. E.D.O. DE SEGUNDO ORDEN
Liouville demostró la imposibilidad de dar un método general para obtener solución de esta
ecuación. No obstante, si se conoce de algún modo una solución particular, llamémosla yp, entonces
el cambio y = yp + 1u permite transformar el problema en otra e.d.o. de tipo lineal.
En efecto,
y0 = y0p �
u0
u2
= a
✓
y2p +
1
u2
+
2yp
u
◆
+ b
✓
yP +
1
u
◆
+ c,
de donde, aplicando que yp es solución de la ecuación, resulta la e.d.o. lineal de primer orden
�u0 = a(1 + 2ypu) + bu.
(La forma más sensata de tantear para encontrar una solución particular es comenzar por funciones
simples, constantes, polinomios, o algo sugerido por la propia ecuación.)
Ejemplo 2.11. Resolver el siguiente
(PC)
⇢
y0 = (1� 2x)y � y2 + 2x,
y(0) = 0.
Si buscamos una solución constante, yp = A, debeŕıa tenerse 0 = (1� 2x)A�A2 + 2x, por lo que
el sistema sobredeterminado śı tiene una solución válida, yp ⌘ A = 1.
Hacemos ahora el cambio y = 1 + 1/z. (También cambiamos la condición inicial para el nuevo
problema, z(0) = �1). Desarrollando el cambio de variables e imponiendo que se satisfaga la
ecuación original, tenemos
z0 = z + 2xz + 1 ) e�x�x2z0 � e�x�x2(1 + 2x)z = e�x�x2 .
(e�x�x
2
z)0 = e�x�x
2 ) e�x�x2z(x) + e0 =
Z x
0
e�s�s
2
ds.
2.2. E.D.O. de segundo orden
Destacamos en esta sección por su relativa simplicidad de resolución algunas e.d.o. de segundo
orden muy significativas en F́ısica. Un estudio más amplio, que en concreto abarcará a esta sec-
ción, se hará en el Tema 5. (Sólo trataremos problemas de Cauchy, no problemas de contorno o de
valores en la frontera.)
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden son de la forma
P (x)y00 + Q(x)y0 + R(x)y = G(x), con P,Q,R, G continuas. (2.7)
2.2.1. Coeficientes constantes. Casos homogéneo y no homogéneo
Cuando P,Q y R son constantes, la estructura de las soluciones de (2.7) es sencilla. Hay dos
casos que distinguir.
Caso homogéneo
Las soluciones de
ay00 + by0 + cy = 0 con a, b, c 2 R, (2.8)
forman un espacio vectorial, es decir, dadas dos soluciones y
1
e y
2
cualesquiera de (2.8), y dos
constantes c
1
, c
2
2 R, la función y = c
1
y
1
+ c
2
y
2
es también solución de (2.8). Denotamos V al
conjunto de todas las soluciones de la ecuación diferencial.
Veamos cómo calcular el conjunto de todas las soluciones [en realidad, hasta el tema siguiente,
donde se da una condición de unicidad local, no podemos demostrar que son todas las posibles,
Pedro Maŕın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Universidad de Sevilla
34 TEMA 2. MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN
sino sólo un subconjunto de ellas. Sin embargo, supuesta la unicidad de solución para un (PC),
śı es simple concluir la dimensión del espacio vectorial V. Razónese el porqué].
Introducimos la ecuación caracteŕıstica asociada a la e.d.o. ay00 + by0 + cy = 0. La ecuación
caracteŕıstica es
ar2 + br + c = 0.
Como es bien sabido, puedenocurrir tres cosas,
Si las ráıces r
1
, r
2
de la ecuación caracteŕıstica son ambas reales y distintas entre śı, entonces el
conjunto de soluciones de la e.d.o. de segundo orden homogénea y con coeficientes constantes
es
V = {y(x) = c
1
er1x + c
2
er2x : c
1
, c
2
2 R}.
Si r
1
= r
2
2 R, entonces
V = {y(x) = c
1
er1x + c
2
xer1x : c
1
, c
2
2 R}.
Si las ráıces son complejas, rj = ↵± i�, entonces
V = {y(x) = e↵x(c
1
sen(�x) + c
2
cos(�x)) : c
1
, c
2
2 R}.
Caso no homogéneo
El conjunto de soluciones de la ecuación
ay00 + by0 + cy = G(x)
tiene estructura de espacio af́ın, i.e. dada una solución particular yp de la ecuación no homogénea,
el conjunto de todas ellas se obtiene como
VNH = {y = yp + yH : yH solución de (2.8)}.
Por tanto nos interesa buscar métodos para calcular soluciones particulares de la ecuación no
homogénea. Veamos dos métodos.
El método de los coeficientes indeterminados, consistente en buscar (por tanteo) solu-
ciones parecidas al término G(x) que aparece en la ecuación. Es especialmente válido para el
caso en que G sea un polinomio o una exponencial, o combinación de ambos.
Para aplicar este método no se debe olvidar el principio de superposición. Si y
1
es solución
de
P (x)y00
1
+ Q(x)y0
1
+ R(x)y
1
= G
1
(x),
y otra función y
2
es solución de
P (x)y00
2
+ Q(x)y0
2
+ R(x)y
2
= G
2
(x),
entonces y = c
1
y
1
+ c
2
y
2
es solución de
P (x)y00 + Q(x)y0 + R(x)y = c
1
G
1
(x) + c
2
G
2
(x).
El segundo método es el de variación de parámetros, que como veremos con más detalle
en el Tema 5, no es más que una extrapolación del método de variación de las constantes de
Lagrange.
El método consiste en que dadas dos soluciones y
1
e y
2
del problema homogéneo, se busque
solución del problema no homogéneo como y(x) = u
1
(x)y
1
(x) + u
2
(x)y
2
(x) imponiendo que
u0
1
y
1
+ u0
2
y
2
= 0. En tal caso, tenemos que
y0 = (u0
1
y
1
+ u0
2
y
2
) + (u
1
y0
1
+ u
2
y0
2
) = u
1
y0
1
+ u
2
y0
2
.
Pedro Maŕın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Universidad de Sevilla
35 2.2. E.D.O. DE SEGUNDO ORDEN
Ahora, derivando de nuevo,
y00 = u0
1
y0
1
+ u0
2
y0
2
+ u
1
y00
1
+ u
2
y00
2
.
Sustituyendo en la expresión ay00 + by0 + cy = G(x) y teniendo en cuenta que y
1
e y
2
son
soluciones de ay00 + by0 + cy = 0, resulta
⇢
u0
1
y
1
+ u0
2
y
2
= 0,
a(u0
1
y0
1
+ u0
2
y0
2
) = G(x).
Para cada valor x fijado, el anterior es un sistema lineal en las incógnitas u0
1
(x) y u0
2
(x), que
se puede resolver y de donde recuperar integrando las funciones u
1
y u
2
, y por tanto una
solución particular de ay00 + by0 + cy = G(x).
2.2.2. Ejemplos y aplicaciones de e.d.o. de 2o orden
Vemos algunos ejemplos interesantes que aparecen en la F́ısica cuyas ecuaciones son de segundo
grado.
Movimiento armónico simple de un muelle
La ley de Hooke F (x) = �kx sobre la relación de fuerzas en un muelle estirado o contráıdo y
su distancia respecto la posición de equilibrio se puede combinar con la segunda ley de Newton
para generar la ecuación
mx00 = �kx.
La solución general de la ecuación es
x(t) = c
1
cos(!t) + c
2
sen(!t),
y el valor ! =
p
k/m es por razones obvias frecuencia del movimiento.
Muelle sometido a fuerzas de fricción o fuerzas amortiguadoras
El movimiento descrito en la sección anterior es evidentemente un caso idealizado. Situaciones
más reales deben incorporar fuerzas de fricción (caso de un movimiento horizontal) o de tipo
amortiguador (caso de movimiento vertical). En tales casos la ecuación a estudiar es
mx00 + cx0 + kx = 0, con c > 0.
Es fácil comprobar que la ecuación caracteŕıstica mr2 + cr + k = 0 con c > 0 hace que las posibles
soluciones del problema contengan exponenciales de exponente negativo.
Vibraciones forzadas
Un caso que complementa a los anteriores es el de las vibraciones forzadas. ¿Qué ocurre si un
sistema relativo a un muelle con rozamiento recibe algún tipo de fuerza externa? (Esta situación
es totalmente práctica en la industria). Se trataŕıa de resolver la ecuación
mx00 + cx0 + kx = f(t),
donde de nuevo c > 0 y una hipótesis natural sobre f(t) es que sea también una función periódica.
Consideremos por ejemplo, y para evitar arrastrar constantes en los cálculos inmediatos, la
ecuación
x00 + x0 + x = sen t. (2.9)
La forma más corta de resolver la e.d.o. es observándola y buscando alguna función con si-
militud. Es claro que debemos probar con las funciones sen t y cos t. Ninguna de las dos sirve,
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36 TEMA 2. MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN
pero entonces observamos que � cos t śı es una solución particular. De modo que el conjunto de
soluciones de (2.9) es
V = {y = � cos t + c
1
y
1
+ c
2
y
2
},
donde y
1
e y
2
son soluciones independientes del problema homogéneo calculadas usando la ecuación
caracteŕıstica r2 + r + 1 = 0, que tiene ráıces �1±
p
3i
2
. Por tanto basta tomar
y
1
(t) = e�t/2 sen
 p
3
2
t
!
, y
2
(t) = e�t/2 cos
 p
3
2
t
!
.
Si no se hubiera tratado de un caso tan simple, hubiéramos tenido que emplear el método de
variación de parámetros. Es más largo, pero tiene la ventaja de ser expĺıcito y no depender de la
“astucia” de quien intenta resolver el problema.
Aplicar el método de variación de parámetros en este caso (aqúı sólo esbozamos parte del
procedimiento) consistiŕıa en:
yp(t) = u1(t)y1(t) + u2(t)y2(t), (2.10)
donde y
1
e y
2
han sido dadas anteriormente, y sobre las funciones u
1
(t) y u
2
(t) imponemos que
u0
1
y
1
+ u0
2
y
2
= 0,
de modo que
y0p = (u
0
1
y
1
+ u0
2
y
2
) + (u
1
y0
1
+ u
2
y0
2
) = u
1
y0
1
+ u
2
y0
2
.
Ahora calculamos
y00p = u
0
1
y0
1
+ u0
2
y0
2
+ u
1
y00
1
+ u
2
y00
2
.
Uniéndolo todo (y usando que y
1
e y
2
son soluciones de y00 + y0 + y = 0, obtenemos el sistema
⇢
u0
1
y
1
+ u0
2
y
2
= 0,
u0
1
y0
1
+ u0
2
y0
2
= sen t.
Resolviendo el sistema se obtiene
u0
1
(t) =
2p
3
et/2 sen t cos
 p
3
2
t
!
, u0
2
(t) = � 2p
3
et/2 sen t sen
 p
3
2
t
!
.
Usando las relaciones trigonométricas
2 sen a cos b = sen(a + b) + sen(a� b), 2 sen a sen b = cos(a� b)� cos(a + b),
se pueden resolver las cuatro integrales ćıclicas que aparecen para hallar u
1
(t) y u
2
(t), con las que
obtener por medio de (2.10) la solución del problema.
Nótese que en la expresión de la solución las exponenciales de exponentes positivos y negativos
se cancelan, por lo que queda efectivamente vuelve a quedar una función periódica (no cab́ıa esperar
otra cosa de un sistema f́ısico aún forzado pero con rozamiento).
Vibraciones forzadas sin amortiguamiento. Resonancia
El caso quizás más llamativo, en comparación con el anterior, lo constituye un movimiento
oscilatorio como los anteriores, forzado (digamos de nuevo de forma periódica, que seŕıa lo lógico
de ejercer por un instrumento mecánico), pero en el que de algún modo no hay amortiguamiento.
Consideramos la ecuación
mx00 + kx = f
0
cos(!t). (2.11)
Pedro Maŕın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Universidad de Sevilla
37 2.2. E.D.O. DE SEGUNDO ORDEN
Recordemos que la forma de la solución general de la ecuación homogénea es
x(t) = c
1
cos (!
0
t) + c
2
sen (!
0
t) con !
0
=
r
k
m
.
Intentamos obtener una solución particular para (2.11) por medio del método de los coeficientes
indeterminados.
Probamos con xp(t) = A cos(!t), siendo A una constante cualquiera. Si calculamos dos deriva-
das obtenemos
mx00p(t) + kxp(t) = �m!2A cos(!t) + kA cos(!t)
que efectivamente puede tomar el valor f
0
cos(!t) si (k �m!2)A = f
0
. Tomamos
A =
f
0
k �m!2 =
f
0
/m
!2
0
� !2 . (2.12)
Estamos suponiendo !2
0
� !2 6= 0.
La expresión final de la solución:
x(t) = xh(t) + xp(t) = c1 cos(!0t) + c2 sen(!0t) +
f
0
/m
!2
0
� !2 cos(!t).
Otra expresión