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l 
MODELOS MATEMATICOS 
EN 
HIDROLOGIA 
JULIO SANCHEZ ORDOÑEZ 
BOCOTA , COLOMBiA 
DICIEMBRE. 1974 
MODELOS MATEMATICOS EN HIDROLOGI.A 
BOGOTA, COLOMBIA 
Diciembre 1974 
JULIO SANCHEZ ORDOÑEZ 
Ingen iero Civil 
I N D ICE 
MODELOS MATEMATlCOS EN HIDROLOGIA 
página 
INTRODUCCION .•.••••••••••••••••......•.•..... .•••••••••.•.. . 1 
CAPITULO I - CONCEPTOS GENERALES 
1.1 SISTEMAS HIDROLOGICOS ••.••. •••.• •••..•..••.•..•••.••• 3 
1. 2 MODELOS DE SIMULACION •..••.. , .•.•••••••.••••.••••••• 5 
1.2.1 Simulación - Generalidades................................ 5 
1.2.2 Modelos Hidrológicos de simulación ......................... 8 
1.2.3 Elementos de un modelo de simulación............ ........... 10 
1.2.4 Aplicación de un modelo de simulación...................... 12 
CAPITULO II - CLASIFICACION DE MODELOS HIDROLOGICOS 
2.1 DETERMINISTlCOS y ESTOCASTICOS .... ....... •••••••• ..... 15 
2.2 ANALlTlCOS y EMPIRICOS ........... ..... ................ 18 
2.3 MODELOS A EMBALSES Y CON OPERADOR PLWIOHIDROLO 
GICO ............................... ~ ••••• ~ ................ o" 19 
2.4 LINEALES Y NO LINEALES ...................... .......... 19 
2.5 DESCRIPTIVOS Y CONCEPTUALES ................... ....... 19 
CAPITULO 111 - MODELOS DETERMINISTlCOS 
3.1 ANTECEDENTES ••••••••••.•.•••..•..••.••.•.. " ..••.•. ...• 23 
3.2 SIMULACJON DE ESCURRIMIENTO EN ZONAS INUNDABLES 
(Modelo SOGREAH - UN ESC O .. . • .. .. .. .. • .. • ... . .. .. . .. .. • 25 
3.2.1 Caracterfsticas del problema.. .. ........ .......... .. .... .... 25 
A. Generalidades......................................... 25 
3.2.2 
3.2.3 
3.2.4 
3.2.5 
3.3 
3.3.} 
3.3.2 
11 
B. Conñguracién de lo cuenca .... " .. ""."" ...... """"""" .. "" ........... .. 
Desc:ripción del modelo ••••.••.••••....•. .. " ~ " .......................... " .. 
A. 
B. 
Leyes 
Leyes 
entre embalses fluviales •••••••• " " .. " " .. " .... " " " .. " " " .. " " 
entre embalses no fluviales ...... " .... "" .. """ ...... " .... " .. " .. " 
Formulación matemática del modelo ,. " " "" .. " .... "" ...... " " .. " " " " " .. " .... 
A. 
B. 
C. 
Hipótesis previ 0$ .. "" .... " .. " .... " .... " .. "" .. " " " .. " ........ " .. " " ............ " 
Ecuación de continuidad .. " .. " .. " .. " .. """"" .... """" .. """"" .. """ .. " 
Ecuaciortes de descargas " .... " ........ " .... "" ........ " " " " " " "" " " " " " .... 
página 
26 
26 
26 
29 
31 
31 
31 
32 
Unión de tipo fluvial"" .... "" ............ " s." ...... " •• "" .... " .. """" .... " 32 
lJrlión de tipo vertedero .... " .. "" .. "" .. " .. " .. "" .. " " " .. " "",, " " ...... "" 35 
Desa.rrollo del m:odelo .... " ....... " .. "" ........ " ................ " 
A. 
B. 
C. 
D. 
D• 'b . ' " • ,strl uc Ion topo oglca .. "" ...... " .......... " .. " .... " ...... " .... " " " .... " 
Conformación de las motrices .. " .. " .......... " " ........... " .............. " .. 
Condiciones Irmites .. " .. " .... o. .... o.o.o.o. ....... o. .. o. ..... o. ............ . 
Condiciones aguas 
Condiciones aguas 
arriba 
abajo 
....................................... 
............ # ................... . 
Técnica de solución ............ o. .................. 'o. .... . 
Esquema de I programa de computador ......................... . 
MODELO DE LA UNIVERSIDAD DE TEXAS (Modelo Stonford IV 
Mocfificodo) ................................................. . 
Antecedentes ..................... . ................................... 
Caracterrsticas de I modelo ................................ . 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
F. 
G. 
H. 
I . 
Origen ............ o. ............................... o. ............ o. ..... . 
Almacenamiento de intercepción ................................ .. 
Almacenamiento superficial ..... 'o. .................. 'o. .. . 
Infiltración ... ... , ........................................... .. ....... 
Fluio o través de la zona no saturada ......................... .. 
Flujo sllbsuPf!mcial ......... o. .............. .- ............................... .. 
F luio subterráneo ......................................................... .. 
1:.._ .. " .. ..' I;;vuporaclon y evapotransprraclon ..................................... .. 
Propaga.ciór, de descargas .......................................... .. 
36 
36 
38 
42 
42 
44 
45 
47 
48 
48 
49 
49 
52 
52 
55 
59 
60 
62 
64-
66 
página 
3.3.3 Aplicaciones del modelo ••..•..•...••.•...•.•• ""............ 66 
3.4 MODELO SSARR (Streamflow Synthesis ond Reservoir Regulotion).. 70 
3.4. I General idodes ..••. . • • . . . • . . . . . . • . • . . . . . . . . . . • . • • . . . . . . • • . • 70 
3.4.2 Evolucián histórica del modelo •.••• .. ••.• •.•...••.. •.•.•..•. 70 
3.4.3 Características del programa SSARR.......................... 72 
A. Conceptos hidrolágicos incluidos ..•.••.•....•••••.••••••• 72 
B. Subdivisión de la cuenca............ • • . . • . •• . . . • . . . • . . 72 
C. Intervalos de Nempo • • . • . . . . • . . • • . • • • . . . • • . •• •••••.•• . • 72 
D. Datos de en trada ...•... . . . . . . • . . • . • . . . . . • . • . .. • . • • • . • • . 73 
E. Usos del modelo................................. •.•••. 73 
3.4.4 Tipos básicos de simulación empleados........................ 73 
3.4.5 Transformación IIuvia-descarga.............................. 74 
A. Determinación de lo precipitacián media en la cuenca •••••. 
B. Distribución de la lluvia ........................................ ....... .. 
C. Cá!eulo de la escorrentía total .••..••••••.•••...•.••.••• 
D. Cálculo de la humedad del suelo ....................... .. 
E. Determinación del flujo bose ........................... .. 
F. Separación de los flujos superficial y suhsuperficial •...•••. 
G. Propagación de las componentes ....•.....••.•••.••••..•• 
H. Definición de las características de la cuenca ........... .. 
3.4.6 Propagacián en el cauce ................................... . 
A. Ecuaciones básicos . ...................................... lO •• ' ... .. 
B I .' .. . .. nterpretaclon geornetnca ................................... . 
C. Esquema de cálculo .................................. .. 
D. Propagacián con efecto de remanso ••..•....•.....•....•. 
3.4.7 Aplicaciones prácticas del modelo ...••..•.••...•...•.•.•..•. 
CAPITULO IV - MODELOS ESTOCASTlCOS 
76 
77 
77 
78 
78 
80 
81 
81 
83 
83 
87 
87 
87 
91 
4.1 ALGUNOS ASPECTOS DE LOS EVENTOS HIDROLOGICOS •.•. 93 
4.1.1 Procesos hidrológicos - Defin iciones .• . . • . . • . . • . .. • • • . . . • • ... 93 
4.1.2 Características de los datos hidrológicos •..••.•... '" . ...••••• 93 
111 
IV 
página 
4.1.3 Naturaleza de las magnitudes hidrolÓgicas.................... 96 
4.2 APLICACIONES DE ESTADISTICA EN HIDROLOGIA •• , ••.•••• 
4 .. 2. 1 Nociones generales ....................................................... ~ .................. .. 
4 2 2 D'st'b r ' • .... I rr uc OI'l8S emp. rl cas .................. .............................. lO ................ .. 
4.2.3 Parámetros estadrsticos ....................................................................... .. 
96 
97 
98 
99 
A. Medidas de tendencia central ••••....•••••.••.•••.•••••• 99 
8:.. ~didas de d;spersión .. o......................................................... 100 
C. Medidas de asimetrfa •••••• • . . • . . . . . • . • • . . • . • • .... • •.•. 100 
4 2 4 C l · - • - 101 .... orre oClon y regreslon .................................................................... . 
4.2.5 Distribuciones de probabilidad .................. o..... •••••••••• 104 
A. Distribución normal ......... ............................... o ...................... .. 
8. Distribución lognonnal ................................................. ' .............. .. 
C D• 'b .-.. .strl UClorl gcamma .................................................................. .. 
D. Esquema para selección de la distribución •••••.••.•..•.•• 
104 
105 
106 
106 
4.3 SELECCION DE UN MODELO PARA SINTETIZAR CAUDALES... 108 
4.3.1 Elmodelo de Maricov......................................... 109 
A. Caudales con distribución normal......................... 110 
B. Caudales con distribución lognormal •••..•.•••••••• " ••• " 112 
C. Caudales con distribución gamma ......•................. 112 
4.3.2 Modelas estacionales de Markov .,... •••..• ••••••. .•••.•• ••• 112 
A. Caudales con distribución normal y lognormal ••..•..•.•.•• 113 
B. Caudales can distribución gamma •..•......•••••••..•.... 113 
REFERENClAS •. ....... ...•.•.••. . ..•. ... ........ .••••... ................... 115 
INTRODUCCION 
En los úlHmos años se ha incrementado considerablemente el uso de computadores digi-
tales en el análisis de datos hidrológicos paro diversidad de fines. En un principio los 
computadores se usaran básicamente paro labores rutinarios toles como conversión de do 
tos, propagación de hidrogramas, cálculo de remansos etc.; los avances logrados en la 
tecnolagía de computadores han tomado prácticos lo programación lineal y dinámico, por 
ejemplo, y avanzados técnicas estadísticos de análisis; el análisis numérico y los mode-
los matemáticos han aumentado su grado de sofisticación como resultado de la disponibi 
lidad de computadores cado vez más grandes y rápidos. -
Hasta antes del advenimiento de estos técnicos, los parámetras derivados analíticamente 
pora lo mayoría de los modelos matemáticos provenían de regresiones y correlaciones; 
estos porámetros estaban, par lo tonto, sujetos a condiciones de independencia, normali 
dad y linealidad, condiciones a los cuales no pueden restringirse los parámetros de lo 
mayoría de los sistemas hidrológicos, o tal punto que losporámetros tipo coeficiente de 
madelos tan restringidos pueden llegar o no tener ningún significado físico. 
La simulación puede llevarse a cabo con mecan ismos analógicos o con computadores di 
gitales; en el primer coso lo simulación es posible usando la similitud que existe entre-
los expresiones matemáticos que describen el flujo eléctrico yel flujo del aguo; en for-
ma digital, el computador se usa paro resolver numéricamente toles ecuaciones. Cada 
uno de estos tipos tiene ventajas y desventajas, osi como campos de aplicación especí-
ficos, pero la computación digital es extremadamente útil en hidrología de superficie, 
por ejemplo poro resolver situaciones probabilísticos en los cuales las variables (preci-
pitaciones y escurrimientos, por ejemplo), varían aleatoriamente dentro de límites proba 
bies. -
El presente trabajo hoce referencia o 'o simulación con computadores digitales, e ¡nclu 
ye lo descripción de algunos modelos de amplio uso, exponiendo sus fundamentos y con-: 
ceptos básicos. 
I 
CAPITULO 
CONCEPTOS GENERALES 
1.1 SISTEMAS HIDROLOGICOS 
A través de la historia de la humanidad, el hambre siempre na estado lleno de 
curiosidad y se ha interrogado acerco del media ambiente donde vive. Con es-
te deseo y curiosidad de conocer la naturaleza, lo noción de un cíc lo hidroló-
gicose desarrolló desde épocas muy tempranos. Hacia fines del siglo I A.C., 
Marcus Vitruvius Pollio observó y describió lo siguiente: (ref 14) "El sol calien-
ta el agua de los arroyos, rías, lagos y mares, formando vapores que se elevan 
paro formar nubes. Las nubes son transportadas por el vi en to y, por lo perturba 
ción que sufren cuando ascienden montañas y forman tempestades, se rompen y 
disperson sobre la tierra. Las vapores, nubes y exhalaciones que se elevan de 
la tierra parecen flotar gracias al intenso calor, los fuertes vientos, el aire hú-
medo y su gran proporción de agua. Así, cuando de la frialdad de la noche asis 
tida por lo oscuridad, los vientos se levantan y se forman las nubes en los lugO 
res húmedos, el sol en su ascenso golpea la tierra con gran poder, caliento er 
aire, y eleva las vapores y el rocío al mismo tiempo". Esta descripción es poé-
tica y algo mística, pero sin embargo refleja el primer concepto científico racia 
nal sobre el ciclo hidrológico. -
Los hidrólogos madernos consideran el ciclo hidrológico como un gran sistema 
hidrológico. Con el objeto de alcanzar propositos prácticos, la hidrología cien 
tmca debe ir más allá de hacer una descripción teórica pura de naturaleza cuo 
litativa de sus problemas, puesto que el hidróloga práctico reclama cantidades-
y no estó interesado en cómo funciona el ciclo hidrológico ni en las expresio-
nes matemáticos que rigen sus partes, sino en conocer las cantidades de aguo 
involucradas en él. Con el concepto de sistema, es posible dar un enfoque mós 
cuantitativo y racional o lo hidrología. 
El concepto de sistema no es, por lo tanto, nuevo pora nosotros; sistemas de to-
das clases nos son comunes. Un sistema conlleva un grupo de elementos interde 
pendientes o interactuantes que conforman un tado un ificado. Por ejemplo, er 
sistemo solar, compuesto de una variedad de cuerpos celestes que operan como 
una unidad; el ecosistema, que relaciona los seres vivientes y el ambiente físico 
donde habitan; los sistemas del cuerpo humano (circulatorio, digestivo, etc. l,son 
3 
.. 
todos excelentes ejemplos de componentes inter-actuantes relacionados pera cons 
tltuir un sistema unificado. 
Una característica importante de cualquier sisteme, es que sus componentes están 
relae:ionados entre sí de tal manera que un cambio en uno de ellos afectará a 
los demás, e implicará por lo tanto un reajuste total hacia un nuevo equilibrio. 
El análisis de un sistema implico, entonces, lo comprensión de las característi-
cos de coda elemento y el conocimiento de cómo se relaciona con el sistema to 
tal; tal conocimiento nos llevará a predecir los principoles efectos resultantes -
de cualquier cambio porticular en alguna componente específica del sistema. 
El análisis de sistemes podría ser considerado como "anál isis de un cuerpo libre", 
puesto que siempre es necesario establecer las fronteros del sistema, cuya aeer-
toda delimitación es una clave importante pora el éxito del anólisis. Esto puede 
vel$e muy claramente en un ejemplo que se relaciono con la estabilidad de ta-
ludes ocurrido recientemente en lo costa de California. En estos óreas muchos 
de los álboles de raíces profundos fueron remplazados par pastos; e I pasto prote 
ge o lo superficie del suelo de lo erosión, pero las raíces profundas de los árbo-: 
les tenían dos influencias adicionales sobre el sistema: 1) extraían aguo desde -
profundidades considerables y contribuían así a mantener un e levado grodo de hu 
medad en los taludes, y 2) las raíces eran un elemento estabilizante del suelo -
profundo. Así, el retiro de los árboles produjo un reajuste en el sistema, que se 
tradujo en deslizamientos hasta alcanzar pendientes menores; es muy posible que 
un hidrálogo experimentodo, 01 mirar el sistema como un toda, hubiese podido 
prever estas reajustes. Aquellos que retiraron los árboles consideraron solo una 
porte de I si stema . 
Un sistema se puede definir como un conjunto de elementos o procesos físicos, 
químicos o biológicos unidos o través de alguna forma de interdependencia, que 
actúo sobre un grupo de variables de entrado para convertirlos en las de sali-
do. 
Los sistemas hidrológicos naturales son tan complejos que aún no se han deserro 
lIado leyes exactas que puedan explicar completo y exactamente los fenómenos-
hidro/Ógíc:os naturales. 
Codo uno de los elementos o procesos integrantes de un sistema hidrológico es 
el resultado de complicadas interrelaciones de muchos factores de gran variabili 
dad espacial y temparal, cuyos característicos físicas difícilmente pueden medir 
se o computarse directamente. -
Un sistema hidrolÓgico es físico, puesto que pertenece 01 mundo real, secuencial, 
porque consto de una entrado, solida y Un medio de trabajo (materia, energía o 
información) conocido como "throughput" que pasa o través del sistema; es ade-
más, dinámico porque recibe ciertos entrados cuantitativas y actúa de manera -
controlado bajo restricciones definidas pora producir uno serie de solidos cuanti-
tativas. 
larelación explícita entrada -salida de un sistema se puede reDresentar matemó 
ticamente por una ecuación del tipo: 
y (t} -== 3 x (ti 
donde Y (t) es la salida 
X (t) es la entrado 
% es el operador de tronsformoción o función de trarsferencía, que re 
presenta la acción intemo del sistema sobre la entrado X t) para cO'1vertirla -
en la salida Y (t). Un hidrograma unitario es un .. ¡emplo de op .. rodor de trons 
formación paro pasar de lluvias a descargas. 
1.2 MODELOS DE SIMULACION 
1.2.1 Simulación - generalidades 
la simulación matemótica es una técnica para producir una serie de eventos a 
través de expresiones matemáticas que representan las situaciOnes del mundo fr-
sico bajo estudio; los simulaciones generalmente son efectuados por computado-
res que aplican iterativamente esos expresiones, o partir de ciertas condiciones 
iniciales, y progresan en el tiempo, repitiendo las relaciones funcionales entre 
los diferentes elementos del sistema. 
La simulación no es una técnico nueva; por este término se entiende el antiguo 
arte de la construcción de modelos destinados tanto a la apreciación estética -
(pintura, escultura) como a los estudios científicos: modelos reducidos o analfti 
COSí desde el punto de vista científico, el objetivo fundamental de la simulaciÓn 
es el conocimiento del futuro. 
Los métodos deductivos, por lo tanto, son clasificados dentro de la filosofía es-
peculativa y han sido estudiados desde los filósofos griegos has!" el siglo XVII 
con Sir Francis Bacon. 
Aparecieron entonces sistemos filosóficos que intentaron construir una física en 
lo cual la explicación científica era remplazodo por simples "nalogías con expe 
riencias de la vida diaria. En 1.620, Bacon reconoció las limitaciones de 10-
filosofía especulativo como metodología de la predicción del futuro: "Lo razón 
sola no tiene ninguna capacidad de previsión; la consigue solamente en combi-
nación COn lo observación. Los métodos de predicción de la razón están conte-
nidos en las operaciones lógicas par medio de los cuales construimos un orden 
dentro de lo moterio observada y sacamos conclusiones, a trovés de inducciones 
lágicos". IReichenbach, 1. 95]) 
5 
6 
Es as( como la filosaffa cienttr.ca o método cientmco, puede desarrollarse en 
cuatro fases : 
Primera fase: Identificación y observación del sistema f(sico de interés. 
Segunda fase: Formulación de una hipótesis (o de un modelo) que intente expl.!. 
car los observaciones del sistema. 
Ten:era fase: Predicción de I comportamiento del sistema en base a esta hipóte-
sis, mediante deducciones matemáticas o lógicas (obtener soluc~ 
nes pora el modelo). 
Cuarta fase: Realización de experiencias pora comprobar la validez de la hi-
pótesis (o modelo). 
Sin embargo, la experiencia demuestra que no siempre es posible la real izadón 
de estas cuatro fases en todos los sistemas, y es allr entonces donde la simula-
ción puede ser un substituto útil para la fase o foses que están causando dificul 
tades. Como ejemplo de dificultades que pueden tomar impracticable en hidro= 
logfa alguna de las fases del método cientffico, pueden citarse : 
En la primera fase: En general existen imposibilidades f(sicas o económicas pora 
Observar en el mundo real los procesos constitutivos de un sistema hidrológico o 
de reCUr505 hfdricos. 
. En la segunda fase: Estos sistemas son muchas 'teces tan 
posible, al menos por ahora, describirlo exactamente con 
caso 
complejos que es im-. ' . ecuaciones matematr-
En la ten:era Fase: En el caso de ser posible la representación matemática de 
un proceso, podrTa ser impracticable, sin emborgo, obtener una solución poro las 
ecuaciones a través de técnicas directas. 
En la cuarta fase: Puede ser diffcil o sumamente costoso realizar experiencias 
válidas en los modelos que describen el sistema. 
las observaciones de la entrada y la salida de I sistema deben usarse coma in-
formación adicional para determinar la estructura del mismo y los porámetros des 
conocidos; también es esencial para ello un conocimiento de la formo generar 
de las relaciones entre las cantidades individuales y sus valores ff,¡cos permisi-
bles. ~(t la constl'\lCcián de un modelo significa lo determinación de un siste-
ma óptimo de ecuaciones que correspondan de lo mejor manera posible a las 
funciones de entrado y salida observadas y o un conjunto dada de limitaciones. 
las leyes fundamentales de lo f(sica (ecuaciones de energfa, balances hfdricos, 
ecuaciones del movimiento, etc. \ y los resultados experimentales, sirven como 
base poro la identificación del sistema hidrológico. 
la simulación numérica de los procesos hidrológicos que ocurren en uno cuenco 
ha surgido como un método potec,cialm"nte útil paro lo previsión de eventos hi-
drológicos, y como una herramienta poro mejorar notablemente la comprensión de 
tales procesos. Desde el punto de visto de aplicación a lo ingeniería, la hidro 
logía generolmente proporciona informacion"s como magnitud y frecuencia de-
avenidos, caudales de diseño de obras hidráulicos, Mc., mientros que desde el 
punto de visto de lo hidrología científico, el hombre estó interesado en i"cre-
mentar sus conocimientos sobre la estructuro intema de coda uno de los proc~sos 
físicos que ocurren en los distintos fos .. s del ciclo hidrológico. 
los técnicos tradicionales de anólisis hidrológico han sido en g"'ne ro I fragmenta-
rios, con métodos diferentes desarrollados poro cada problema específico. Los-
métodos referentes a los problemas de avenidas, por ejemplo, se basan en el -
análisis de series históricas, variaciones de lo fórmula "racional", variaciones del 
método del hidrograma unitario, anólisis de correlaciones y varias fórmulas espe-
cíficos. En "stas métodos donde las características de las descargas se estiman o 
portir de lluvias, una de las mayores inexactitudes o incertezos es la determina 
ción de la lluvia neta (o "fectivo) y la manero como es afectada por los condr-
ciones anteriores de la cuenca. 
La simulación se ha definido como "el desarrollo y aplicación de modelos mate-
móticos para representar la vcriación temporol de la interacción de los procesos 
físicos". Lo simulación numérico ofrece un importante avance en la solución de 
problemas hidrológicos según se ve en las siguientes proposiciones: 
o - En muchos lugares existen mejores y mós confiables registros de lluvias que 
de descargas. 
b - En muchos lugares urbanos o rurales han ocurrido cambios en los cuencos en 
el tronscurso del tiempo; la simulación numérica basada en características fr 
sicas reales, ofrece la mejor posibilidad de evaluar los cambios en las desear 
gos originados por modificaciones de lo cuenca conocidas o anticipadas, na-
turoles o artificiales. 
La simulación con computadores tiene las siguientes importantes ventajas: 
a - El sistema puede probarse sin destruirlo. 
b - Pueden probarse modificaciones propuestas de los sistemas existentes. 
c - Pueden probarse muchos posibilidades en cortos perradas de tiempo. 
d - Pueden ensayarse diseños hipot';ticos para estudios de factibilidad o compa-
ración con sistemas alternativos. 
e - Se incrementa el conocimiento interno del sistema estudiado. 
7 
• 
1.2.2 Modelos hidrológicos de simulación 
8 
En el pasado se han usado ampliamente modelos hidráulicos para simular procesos 
hidrológicos, pero esto tal vez seo debido mós o tradición que o uno justificación 
técnico o económico, puesto que muchos de estos procesos no pueden representar 
se con modelos hidráulicos sin grandes distorsiones; además tanto paro la reproduc 
ción del proceso con la ayuda del modelo hidráulico como para lo simulación con-
computadores electrónicos, es necesario un modelo matemático del proceso • 
lo importancia de los modelos de simulación para la investigación cientrfiea fue 
establecido por Rosenblieth y Wiener (1.945): "Ninguno parte substancial del uni 
verso es tan simple que puedo ser comprendida y controlada sin abstracción. Lo 
abstracción es lo substitución de la portedel universo en estudio por un modelo 
semejante, aunque de estructura más simple. Las modelos constituyen por lo ton-
to, uno necesidad primordial de cualquier procedimiento cient(fico·. 
Un modelo cient(fico puede definirse como uno abstracción de un sistema real 
que se presto o propósitos de predicción y cantrol. A través de él, un analis-
ta tendrfo condiciones para determinar en qué proporción las modificaciones de 
determinados aspectos del sistema afectarían otros aspectos o el sistema en conjun 
too En hidrología, el uso de modelos 5010 ha sido posible gracias o la octual -
disponibilidad de computadores analÓgicos y digitales, la cual ha permitido desa 
rrollar, por ejemplo, complejos modelos de lo fose precipitación -escorrentía de! 
ciclo hidrológico. 
Estos modelos basados en las leyes físicas que controlan los procesos constitutivas 
del sistema, son parcialmente subjetivos, puesto que prácticamente en ningún ca-
so existe un método generalmente aceptado pora describir tales leyes físicas. Asr, 
las aproximaciones empíricas util izadas afectan no solamente lo exactl tud de la 
predicción logrado con el mode lo, sino lo respuesta aparente de otros componen 
tes del sistema hidrológico. Ademós, el criterio de exactitud o bondad del ojwii 
incide directamente en el número y clase de los parámetros "óptimos· que descri 
ben las características físicas de una cuenca dado. Por lo tanto los cualidades-
deseables en un mode lo contrastan entre s(: 
a - El modelo deberá ser uno aproximación razonablemente precisa del sistema 
real y contener el mayor número posible de los aspectos importantes del mis-
mo. 
b - El modelo no debero ser tan complejo que se tome difícil de comprender o 
manipular. 
El uso potencial más importante de un modelo es lo predicción paro propÓsitos 
de diseño. La bondad de un mode lo no está re (acionada solamente al criterio 
mismo del ajuste obtenido, sino o la sensibilidad de la predicción, cama canse-
cuencia de modificaciones en los parámetros usados. Estos dos medios de juzgar 
un modelo deben ser tenidos en cuenta tanto por el que construye un modelo co-
mo par el que lo uso. f"ingún modelo es perfecto y por eso, codo uno está en 
un estado contrnuo de evolución, y cada cambio meiora el esquema concebido 
originalmente. 
Por lo tonto, deben tenerse muy ~n cuenta las limitaciones de la simulación nu 
mérica, tales como lo disponibilidad de datos de entrada adecuados; el procese 
de simulación en si, depende de las relaciones funcionales escogidas para repre 
sentar los procesos frsicos que ocurren en la cuenco y de los parámetros usodos-
para describir las características de lo misma. El arte de desarrollar un modelo 
de simulación satisfactorio estribo en alcanzar un grado apropiado de fidelidad 
en la reproducción de tos distintos procesos individuales y su interrelación, omi-
tiendo los detalles insignificantes e innecesarios que sólo agregan complicación 
al modelo. 
Los procesos hidrológicos, por tanto, deben considerarse como sistemas dinámicos 
con estructuras complejas y parcialmente desconocidas; así, el problema de simu 
larlos se puede esquematizar en tres etapas: 
a - Delimitación del sistema dE' interés y establecimiento de los carocterísticas 
que lo identifican; 
b - Expresión del fenómeno con relaciones matemáticos que reproduzcan los pro-
c"sos físicos en formo aproximado; puede ocurrir qu~ el fenómeno no tenga 
ecuaciones que lo representen o que tenga E'cuaciones diferenciales capaces 
de simularlo con precisión; salvo este último caso, la descripción del fenó-
meno es forzosamente incompleta; 
c - Determinación de los parámetros del modelo, los cuales vendrán a suplir esa 
deficiencia en la expresión matemática del proceso. 
En resumen, el d,.sarrollo de un modelo matemático operativo requiere dos pasos. 
El primero es la creación dE' un modelo conceptual que represente los elementos 
y sistemas del mundo real;E'sta conceptualización se baso en lo información cono 
cida y en hipótesis relatívas o los componQntes del sistema y sus interrelacioneS; 
en general SE' formulo 'm términos de los datos disponibles. 
El segundo paso es lo transición d4 1 modelo conceptual al modelo de computador 
propiamente dicho. Durante esto etapa se trotan de pxpresar en forma motemáti 
ca los procesos y relacion .. , identificados por el modelo conceptual. Es decir, -
se trata de la convE'rsión de los conceptos relativos al mundo real, en términos 
que puedan programarse en un computador. Este paso generalmente implico más 
simplificaciones y por consiguiente pérdida de información que viene a sumarse 
o la yo ocurrido en el paso del mundo real al modelo conceptual. 
9 
La adquisici~ de datos adicionales usualmente signiflca uno mejora en el made 
lo conceptual, lo cual provee uno base paltl el perfeccionamiento del modelo de 
computador. La salida del modelo puede, por supuesto, compaltl!Se con las salí 
das observadas en el mundo real y, si existen discrepancias entre ellas, se reqü4t 
rirán ajustes tanto en el modelo conceptual como en el de computador. -
1.2.3 Elementos de un modelo de simulación 
10 
En el campo de la hidrología, los elementos de un modelo matemático pueden 
clasificarse en " cate garras (ref. 3) : 
a - Componentes 
b - Variables 
c - Relaciones funcionales 
d - Parámetros 
0- Componentes: Son los elementos escogidos para integrar el modelo en 
funclén dé los Objetivos del mismo y de la importancia que se presume que estos 
elementos tengan sobre el sistema en conjunto; entre las componentes más comu-
nes de modelos de simulación hidrolÓgica encontramos: 
- Lluvia 
- Escurrimiento supe rficial 
- Evapotranspiracián 
- Demando de agua para consumo urbano 
- Demando de agua para irrigación 
- Reservas de agua en embalses 
Demanda de agua para otros fines (generación de energía, etc) 
b - Va r i a b I e s : Son una medida o representación cuantitativa de las compo-
nentes del sistema hídrica, que presentan variación espac ial o temporal; entre ellas 
podemos citar: 
- Precipitación horaria dentro de un área específica 
- Escurrimiento medio mensual en una sección 
- Descargo instantánea en uno sección 
- Consumo horario de agua potable 
- Demando mensual de agua paro irrigación 
- Demanda instantánea de una planta hidroeléctrica 
Pueden clasificarse estas variables dentro de tres grupos : 
Va r i o b I e s e x ó gen o S : son los variables independien.tes o de entrada al mo 
delo y se suponen conocidas previamente; son independientes del sistemarepreseñ 
todo por el modelo, es decir actuantes en el sistema pero no influidas por él. Es-
tas variables se pueden representar de dos moneros: como porámetros, dados por-
las condiciones del problema y previamente determinados y lerdos por el compu-
tador cama dotas de entrada, o como variables estadísticos que pueden ser gene 
radas internamente par el computador en el desarrollo del modelo. 
Voriab les endógenos o de sal ida: son los variables dependientes del 
sistema, generadas por lo interaccion entre las variables exógenos y las variables 
de estado, de acuerdo con los característicos operacionales del sistema. 
Variables de estado: son las que describen el estado de un sistema o de 
uno de sus componentes a través del tiempo (puede ser al principia, 01 fin de un 
intervalo de tiempo dado, o aún durante el transcurso de un corto período). Es-
tas variables interoctúon con los dos anteriores siguiendo los relaciones funciono 
les establecidas previamente. Por lo tanto, dependen no solo de los volares di 
una OMÓS variables exógenas relativas o un corto período de tiempo anterior, 
sino también de ciertas variables de salida del sistema en intervelos de tiempo 
anteriores. 
En la simulación de lo propagación de descargas en un trecho de r(a, por ejem-
plo, lo descargo de entrado 01 trecho sería una variable exógena, el almacena-
miento en e I mismo se río una variable de estado y la descarga de sal ida uno va 
riable endógeno. 
c - Relaciones funcionales: sepueden presentar baja dos formas: 10$ 
identidQdes y las caracterfstkas operacionales. 
Las identidades son definiciones o proposiciones relativas a las componentes del 
modelo; por ejemplo, se define como descarga afluente a un embolse en un pe-
ríodo determinado, al volumen medio de agua por unidad de tiempo que captó 
el embolse en ese período. 
Las carocterísticos operacionales corresponden o hipótesis generalmente expresa 
das o través de ecuaciones matemáticos que relacionan las variables exógenas y 
de estado de un sistema con sus variables endógenas; en los procesos estocásti-
cos, los característicos operacionales toman la formo de funciones de densidad 
de probabilidad. 
d - Po ráme t ros son elementos cuyo función es expresor (o través de los 
relaciones funcionales) cuantitativamente el proceso estudiado; pueden ser deter 
minados por tentativas, como en el coso del ajuste de modelos matemáticos plu= 
vio-hidrológicos o uno región determinado, o calculados por inferencia estadrsti 
ca en el caso de modelos de transformación pluvio-hidrométrica bosodos en una 
11 
regresión múltiple, o en el caso de la estimativa del valor esperado de una va-
riable. &1 general, se consideran como parámetros las series históricas utiliza-
das como variables exógenas. 
1.2.4 Aplicación de un modelo· de simulación 
12 
La aplicación de un modelo hidrolÓgico de simulación o una cuenca particular 
se hace a través de un procedimiento de verificación donde se establecen los 
valores de ciertos parámetros paro un sistema típico particular. La verificación 
de un madelo se hace en dos etapas: la calibración o fijación de los valores 
de los porometros y la pruebo del madelo; para los dos se requieren datos del 
sistema prototipo. 
La calibración significa la realización de una serie de modificaciones en los po 
rometros hasta obtener un ojuste o aproximación adecuados entre las funciones -
de salida observada y calculada; de aquí se deduce, evidentemente, que la exoc: 
titud del modelo no puede exceder lo de los dotos históricos. . 
la evaluación de los parámetros del madelo puede hacerse mediante cualquier 
procedimiento deseado. El procedimiento más racional (Hill, 1972) consiste en 
asignar a cado coeficiente o variable un valar inicial, valores extremos y un 
número de incrementos que cubran eso variación. Se hace variar la primera va 
riable a través del intervalo especificado, mientras se mantienen las demás eñ 
sus valores iniciales. Se escriben.los valores de la función objetivo o de salida 
y se almacena el valor que produzca el mfnimo. Después de completar el ci-
elo para lo primero variable, se toma la segundo y se repite el procedimiento. 
Después de haber variada tados los coeficientes se escoge el con junto de valores 
que produjo cada mínimo local y con él se aplica el programo de simulación; 
lo función así obtenida se compara con lo mínimo obtenida en las pruebas pasa 
das. El vector que produce la m(nima función objetivo se selecciona como vec=-
tor inicial pora la próximo fase, y el proceso se repite hasta encontrar un vec 
tor que praduzca una razonable carrespondencia"entre las solidos observada y-
calculada. 
la calibroción del modelo se alcanza con un proceso de ajuste que establece 
los porámetros del madelo pora un coniunto particular de datos, de una unidad 
hidrolÓgica dada. La prueba del madela requiere el uso de un segundo conjunto 
de datos de lo misma unidad hidrológica, con el cual se aplica el modelo y se 
determina el grado de ajuste entre las datos observadas y calculados. 
Es muy posible que estas pruebas indiquen la necesidad de efectuar ajustes, ya 
seo en los datos de entrodo o en lo estructuro mismo del modelo. Cuando se ha 
ya realizado una verificación adecuado, el modelo está listo para ser operado. -
El análisis de sensibilidad se llevo a coba mediante la modificación del valor de 
una voriable, mientras se mantienen constantes las demás, para observor los cam 
bias en las funciones de salida. Si cambios pequeños en un parámetro produceñ 
grondes cambios en la respuesto del modelo, se dice que el sistema es altamente 
sensib le a ese parámetro. 
En esta forma es posible determinar lo importancia relativa de los parámetros y 
los funciones de entrada con respecto o la respuesta del sistema. 
13 
CAPITULO 11 
CLASIFICACION DE MODELOS HIDROLOGiCOS 
2.1 MODELOS DETERMINISTICOS y ESTOCASTlCOS 
Cuando los dos palabras estocástico y determinfstico se uson en hidrologfa y en 
recu/'5O$ h(dricos, y como ellas normalmente separan los dos enfoques más impor 
tantes de la hidrologfa, es conveniente una reflexión sobre la larga controver 
sia histórico en ffsica y filosoffa entre determinismo y probobili$ll1a, que com¡"en 
za desde la antiguo Grecia o aún antes de esa civilización. 
Es suficiente el estudio de la historia de lo ffsica y la astroffsica para hacer 
evidente eso controversia. los representates de ambas escuelas, la detenninfsfi 
ca y la estocást ica, han estado batallando entre sf desde hace cerca de dos 0-: 
tres mil años; ambas escuelas existfan en la ciencia y lo fi losoffo griegas. Uno 
era la del mundo predeterminado, con átomos concebidos como pequei'las partrc:u 
las muy bien definidos; la otra consideraba que el caos aparente demando que -
los fenómenos naturales estén sujetos a las leyes del azar y estima que el deter-
mini$ll1O es sólo un aspecto de lo qLe sucede en lo Naturaleza. Desde las9l'ie 
gos estas dos escue las se han remplazado y suplementado mutuamente. -
El concepto original de la ffsica de pequeñas part(culas discretas hasta el des-
cubrimiento de la molécula, enfatizó el punto de vista determinfstico para 10-
explicación de la estructura de la materia. Cuando se descubrió el movimien-
to Browniano, se demostró la existencia de un movimiento caótico de las molé-
culos de Ifquidos y gases para pequeñas escalas de tiempo y espacio; entonces 
la escala de espacio se redujo aún más hasta el tamaño del átomo. El concep 
to original de ffsica de partfculas determinfsticos se restableció y mantuvo has": 
to el descubrimiento del quantum, el cual revivió nuevamente el concepto de lo 
teorra estocástica sobre lo composición de lo materia. Cuando se penetró al in 
terior del ótomo, se volvió a tener en cuenta el concepto determinfstic:o para :: 
explicar $U estructura y la de la materia. Pero cuando los aceleradores de par 
t(culos fraccionaron los núcelos atómicos, se encontró un movimiento caótico -
dentro de ellos y surgió una vez mós un tipo de planteamiento probabilrstico 
para lo explicación de la estructura de la materia. 
15 
16 
Estos contrnuos cambios también se extendieron a la mecánica de flurdos; al mi 
rar los procesos del flujo laminar a la luz del movimiento Browniano, las Irneas-
de flujo san consideradas camo procesos determinfstic:os, propiedad que vino a 
convertirse en la base paro el determinfsmo de la mecánica de flurdos; sin em-
bargo, si se amplfa considerablemente lo escala del tiempa, el movimiento Brow 
niano mostrará los efectos aleatorios de las Ifneas de corriente. Cuando la velo 
cidad del agua se aumenta suficientemente, el flujo se convierte. en turbulento,-
como un proceso estocástico gobernado por las leyes del acaso. Cambiando las 
escalas de tiempo y espacio, ocurren virojes alternativos de la concepción deter 
mlnrstica a la estocástica, pora explicar los procesos de la mecánica de' flufdos:-
De manera similar, si vamos de la escala del tamaño de la tierra a una escala 
del orden de magnitud del sistema solar, se observa que los componentes de este 
sistema se mueven de una manera predeterminada; as( fué creado y mantenido el 
punto de vista determinfstica de la astronomfa, en el cual se basan mudtos prin-
cipios ffsicas y filosóficos resultantes del movimiento en el sistema salar. Estos 
principios pueden haber dada origen a la creencia de que todo está predetermina 
do en la Naturaleza, o que sus leyes son siempre determinrsticos. Pero cuando-
se penetrá en el espacio profundoy se estudió el número de estrellas contenido 
en un espacio dado, a uno esc"ala muchrsimo mayar, fué muy diffcil -si no ¡mpo 
sible- describir determinfsticamente lo distribución de los cuerpos celestes. Se re-- ' 
currió entances o los principios estocásticos poro establecer la probabilidad de 
encontrar cuóntas estrellas pueden hallarse en un espocio dado y en un tiempo 
dada. 
La anterior exposición sirve pora demostror cómo es posible encontrar fenómenos 
naturales en hldrologra que pueden ser estudiados y descritos determinfsticamente, 
siempre que puedon simplificarse, y cómo hay fenómenos que no pueden serla;-
en consecuencia, deben usarse métodos estocásticos y determinrsticos de investi-
gación, análisis y descripción, paro un moyor entendimiento de los procesos hi-
drológicos naturales. 
Existen, pues, dos criterios básicos para simular sistemos hidrológicos: el primero 
a través del uso de un "modelo determinfstico" cuya respuesta seo equivalente a 
la del sistema frsico. Un modelo es determinrstico cuando cualquiera que sea el 
valor de la variable tiempo, la respuesta a una entrada dado es siempre la mis 
ma, pora un mismo estado inicial del sistema. 
&! un modelo determinrstico el problema se reduce básicamente a la determina-
ción y aiuste de 'los parámetros que describen el sistema; por tal motivo estos mo 
delos son llamados también "paramétricos". Debe notarse sin embargo, que en -
real ¡dad no es posible Formular un sistema hidrolÓgico natural en términos estrlc 
tameryte determinrsticos pa cuanto: 
a - Existe variabilidad de los sistemas hidrológicos en el tiempo, debido o los -
cambios introducidos por el hambre directa o indirectamente, y o los proce-
$OS naturales de erosión, cambios climóticos y otros que constituyen la evolu 
ción geomorfológica de la tierra; 
b - Existe incerteza con respecto a las magnitudes y distribución espacial y tem 
poral de las entradas y salidas de los sistemas hidrológicos y con respecto (j 
los estados y propiedades de sus elementos interiores; 
c - Existen dificultades en la formulación matemática de los complejos procesos 
no lineales de transferencia de maso y energra que constituyen el ciclo hi-
drolÓgico. La variabilidad temporal, o no estacionalidad, es de importancia 
en el estudio de sistemas hidrológicos puesto que un sistema en proceso de 
cambio no puede producir relaciones invariables entrada-salida, debido a que 
tales sistemas tienen "memoria", si se entiende por este término el efectoque 
las entradas anteriores tienen sobre la operación presente del proceso; estó 
asociada con todas las etapas intermedios cuya influencia es siempre trans-
portada hacia adelante en el tiempo. 
Por lo tanto, mientras estos modelos operan de un modo determinrstico sobre los 
datos de entrada que se les suministran, podemos a lo sumo hacer afirmaciones 
probabilfsticas respecto a las sal idas correspondientes. En otras palabras, el he-
cho de que el modela sea determinrstico no significa que el comportamiento del 
sistema hidrológico natural por él representado lo sea. 
El segundo gran camino de simulación es la determinación de los pan:imetros esta 
drsticas que describen la respuesta de I sistema, para ser usados posteriormente en-
la generación de series de datos estadrsticamente indistinguibles de las series ob 
servadas; esta es la llamada simulación estocástica. 
Un sistema se puede llamar probabilrstico cuando, a igualdad de estado inicial, 
la respuesta ante una misma entrada es aleatorio; por lo tanto, para una misma 
entrada pueden obtenerse salidas diferentes, siguiendo una determinada distribu-
ción de probabilidades. El sistema será llamado estocástico si, además, existe una 
relación secuencial (proceso en cadena) entre las OCUrrencias del fenómeno. 
Un modelo estocástico es, pues, un tipo de modelo probabi/(stico. 
En los modelos determinrstico se pretende simular de manera contrnuo en el tiem 
po uno sucesión de eventos hidrológicos, y lo comprobación de la validez del mo 
delo se hace por comparación con la sucesión de eventos observados; con los mo 
delos estocásticos no se busca uno simulación contrnua de eventos; su objetivo es, 
en general, la generación de series no observadas de igual probabilidad de ocu-
rrencia que las observados. 
Cada uno de los criterios expuestos tiene ventaias y limitaciones que los hacen 
aconsejables paro distintos tipos de problema. Los modelos parométricos general 
mente requieren datos de entrada con intervalos de tiempo cortos y sintetizan :' 
17 
bien respuestas para incrementos del mismo orden. (datOs horarios o diarios), ro 
zón par la cual se usan ampliamente para simular eventos hidrolÓgicos con inter 
valos cortos de tiempo. La simulación estocástica se usa fundamentalmente paro 
predicciones can intervalos largos de tiempo, donde lo que interesa no es la res 
puesta instantánea del sistema sino los valares caracterfsticos; como las modelos 
estocásticos trabajan con información estadfstica, es muy difi'ci I modelar con ellos 
fenómenos instantáneos a de intervalos cortos de tiempo; par eso, la simulación 
estocóstica es usada principalmente para prOpÓsitos de planeamiento, para gene-
rar series "igualmente probables" de caudales medios mensuales, por ejemplo. 
2.2 MODELOS ANALlTlCOS y EMPIRICOS 
18 
Un modelo hidrológico es analrtico cuando está basada en las ecuaciones básicas 
de la hidrodinámica; también es llamado "de sistema distribuido". &, estos mo-
delos el sistema se trota como un con junto de áreas distribuidas en el espacia, y 
se simula el comportamiento de las diferentes partes; son modelos en los cuales 
se analiza y se trata de seguir el proceso interno del sistema. El hecho de can 
siderar las coordenadas espaciales además del tiempo, implica que en estos mo':-
delos se trabaja con mós de una variable independiente. Eh el caso de que los 
relaciones den origen a diferenciales totales funciones de varias variables simul 
táneamente, se expresan o través de un sistema de ecuaciones diferenciales a efe 
rivadas parciales. 
Las modelos empfricos o "de sistema bloque", están detArminados, en términos ge 
nerales, sólo por los datos de entrada y salida disponibles (lluvias y descargas eñ 
una cuenca, par ejemplo); en ellos las coordenadas de posición carecen de impar 
tancia y todas las partes del sistema simulado se tratan como si estuvieran locali-
zados en un mismo punto del espacio. También suelen llamarse "de caja negra"-
porque no se siguen paso a paso los mecanismos que involucra el proceso interno 
del sistema. El modelo está constituido por un "bloque" que acepta datos de en 
trada y proparciona datos de salida, sin que interese conocer lo que sucede deñ 
tro del bloque; s/n embarga, el grado de empirismo puede conducir a distintos ti 
pos de "bloques"; en efecto, el bloque está constituido par el coniunto de algo 
ritmos que permiten sintetizar las datos de salida en función de 10$ datos de en-: 
trada; estos algoritmos pueden ser de cualquier fndale y tienen, en general, como 
única limitante la ecuación de continuidad. Por eiemplo, un modelo pluviohidro 
métrico que tiene como datos de entrada lluvias y cuyo "caja" está constituida-
por un algoritmo que incluya coeficientes de pérdida, sin preocuparse par espe-
cificar el proceso que conduce a las pérdidas por infiltración, evaporación desde 
el suelo, evaporación desde los almacenamientos superficiales transitarios, etc., 
podra llamarse con propiedad "de caja negra"; no asf si los algoritmos permiten 
individualizar coda uno de los procesos. 
En Hidrologra, a causa de que muchos procesos no san aún suficientemente co-
nocidos, todos los modelos tienen algo de empirismo; incluso en las analfticos o 
hidrodinámicos se puede llegar o un punto en donde es preciso acudir 01 empiris 
mo y originar así, en lo práctico, modelos denominados semi-empíricos. 
2.3 MODELOS A EMBALSES Y CON OPERADOR PLI'VIOHIDROLOGICO ¡OPH) 
Se clasifican así según el mecanismo de transformación de escorrentía en desear90. En los primeros, eso transformación se hace a través de uno serie de fases,-
cada una de las cuales simula el paso del agua a través de un embolse, y está 
especificado por dos ecuaciones: lo de continuidad y uno ecuación de almacena 
mienta. En estos modelos lo escorrentía puede dividirse hasta en cuatro compo": 
nentes; sin embargo, lo subdivisión en más de dos componentes no siempre está 
justificado. En los modelos con OPH la transformación de escorrentía en desear 
90 de salido se hace a través de un operador de transformación pluviohidrométrl 
ca tal como un hidragroma unitario. En ellos generalmente se consideran sólo-
dos componentes del flujo, con un operador de transformación para cado fose. 
2.4 MODElOS LINEALES Y NO LINEALES 
Un modelo será lineal o no según el carácter de la función de transformación 
usada; en términos generales, un operador es lineal cuando, actuando sobre una 
determinada entrada, produce una salida proporcional a ello; si un operador de 
transFormación es independiente de lo entrada y la solido podemos decir que es 
lineal; el hidrograma unitario, por ejemplo, es un operador lineal. En otras po 
labras, un modelo lineal es aquel representado. por ecuaciones lineales; si se tia 
ta de modelos de optimización de recursos hfdricos, todas las restricciones, o por 
te de ellos, y la función objetivo, son lineales; por ejemplo: -
ecuaciones lineales: Y ~ 5X l + 6X2 + 7X3 
ecuaciones no lineales Y ~ 5X~ + 6X 03 
y = Log XI 
2.5 MODELOS DESCRIPTIVOS Y CONCEPTUALES 
Es otro manera de enfocar lo clasificación de modelos matemáticos. El modelo 
descriptivo usualm~nte se diseña para reproducir fenÓmp.nos observados mientros 
que el modelo conceptual se construye coro dilucidar la esencia de lo teoría 
que puede interpretor el fenómeno. En la práctica, la distinción entre los dos 
clases na es muy definida y a veces, en efecto, suelen combinarse. Sin embar 
go, los extremos de los dos clases de modelos son claromente reconocibles. -
En un modelo descriptivo d~ un sistemo hidrológico, la base mós común pora su 
19 
20 
formulación es la ecuación de continuidad o balance de masas. El modelo con-
ceptual se fundamenta en un cierto concepto o teoría; por ejemplo, hoy modelos 
estocásticos que estón basados en la teoría de los procesos estocósticos. 
Si denominamos por x (t) las variables de entrado y sal ida de 
tiempo t, un modelo matemático podría definirse por 
[ 
d~ Jy.. 'O'y 
f 1<0, "'t-(O''dT' j" 'i{T 
donde g, 7 G, san porómetros estimados a portir de los datos. 
un sistema en el 
'1) 
Cuando el sistema en estudio es muy campleio, puede ser ventajoso adoptar una 
forma más simple f * (.) de lo función f l.) de lo ecuación 11), y expresar la 
"falta de ajuste" del modelo mediante un residuo o error; entonces, lo ecuación 
(1), remplazando las derivados porcioles por diferencias finitas, se convierte en 
(2), 
=0 2) 
donde Et es el residuo en ~I tiempo. La acertada escogencia de la funciÓn.f* (.) 
es lo más importante en lo definición del modelo. 
Clorke (ref. 19) ha propuesto ogrupor los diferentes modelos presentados en la li-
teratura hidrológica en cuatro grandes categorías: 
Estocástico Conceptual lEC) 
Estocástico Empírico (EE) 
Determinístico - Conceptual (OC) 
Determinístico - Empírico 'DE) 
Para modelar series hidrológicas es necesario usar modelos motemóticos que es-
tén de acuerdo can los características del problema que va ° ser resuelto. EI-
escurrimiento en cursos de agua es un proceso estocástico, lo cual implica una 
total dependencia temporal de las valores aleatorios (descargas\. Si este poróme 
tro (tiempo) en una etapo dada asume todos los valores reoles, tendremos un prO 
ceso estocástico contínuo (descarga instantónea); pero si asume valores integrares 
que son múltiplos de alguna duración de tiempo (año, mes, etc.), entonces esta 
remos ante una secuencia aleatoria o un proceso aleatorio discreto (descargo me:: 
dio anual, mensual, etc.). Por tonto, si alguna de las variables 1-~, 'ff.., E. en 
la ecuación (2) es aleatoria, con distribución de probabilidades, el' modelo será 
Estocástico, me jor que estadrstico, poro enfatizar la dependencia temporal de los 
variables. Si todas las variables en la ecuación í2) estón libres de variaciones 
aleatorias, o sea que ninguno tiene distribución de probabilidades, el modelo-
será considerado Detenninrstico. En otras palabras, si se toma en cuenta la po 
sibilidad de ocurrencia de los variables y el concepto de probabilidad se introdü 
ce en la formulación del modelo, el modelo serÓ estocástico o probabilístico. 
El modelo, por otra porte, serÓ conceptual o empírico, según que la formo de 
la función f* (.) en la ecuación (2) sea, o na, sugerida de acuerdo con los pro 
cesos físicos que actúon sobre las variables de entrada para converti rlas en las 
de solida. 
Describir un modelo como conceptual requiere mucho menOs justificación que ca 
lificarlo de -estocástico; sin embargo, los propiedades estocásticas tanto de la lIü 
vio (variable de entradal, como de la descorga (salida), han sido ampliamente-
recanocidas por varios autores: Sutcliffe 1] 966) I H utchinson (1970,1972), Dickinson 
(1967). 
Como ejemplos de modelos dentro de cada uno de los grupos, podemos citar: 
Modelos EC -
Modelos EE -
Modelos De -
Modelos DE -
a) Modelo de Dawdy - óDonnell (1965) 
b) Modelo de Nash-Suteliffe (1969) 
e) Modelo SSARR (1968) 
a) Mode los de regresión descritos por Guillot (1973) 
b) Modelo'de Thomas - Fiering 
cl Modelo de Mandelbrat (1971) 
d) óDonnel (J 973) 
e) Hidrograma Unitario Instantáneo, con ardenodas 
estimadas por mínimos cuadrodos (Snyder, 1955, 
óDonnell, 1966, Jenkins y Watts, 1968) 
al Modelo de Freeze (J 971), 
b) Modelo hidráulico de Wooding (1966), 
el Ecuación de Laplace para flujo variado en acuiTe-
ros no conFinados (Eagleson, 1970) 
a) H idrograma Unitario Instantáneo, estimado par ex-
pansiones de series armónicas (óDonnefl, 1961) 
b) Amorocho y Orl ob (1961) 
el Kulandaiswamy (1973. 
21 
CAPITULO ;[1 
¡\\ODELOS DET ER/'v'IN IST[C es 
3.1 ANTECEDENTES 
Los primeros hidrólogos q..'e comenzaron o obsprvor los fenómenos naturales a fines 
del siglo XIX y comienzos del XX, descubrieron inmediatamente en las observacio 
nes de precipitaciÓn, evaporación y escurrimiento, un significante "ruido" o "es:. 
tocasticidod" en las series temporales observados; sin embargo, esto aleatoriedad 
de los fenómenos se asimiló a algún componente sistemótico de la naturaleza en 
la forma de periodicidades en las series; '!ste aspecto dió un gran impulso al anó 
lisis de las series hidrológicas desde el punto de vista determinístico, en busca-
de regularidades periódicas. 
Una segundo ero de determinismo está ~n desarrollo actualmente, en la forma-
de investigaciones de funciones de respuesta determinístico entre variables hidro 
lógicas aleatorias, se observo uno variable aleatoria y se busco una relaciÓn fun 
donal matemática determinístico o experimental entre esa variable y otro u oh-as 
variables. Un eiemplo típico os lo relación precipitaciÓn -escurrimiento en la -
cual lo precipitaciÓn de entroda o una cuenco se convierte en lo salido (escurri 
miento) o trovés de funciones de respuesto fija a modelos determinísticos emprri 
COSi este tipo de respuesto hidrológico o reacción del sistemo, es la base de la 
actual era de desarrollo de los procesos hidrológicos desde este punto de visto. 
Sin embargo, algunos conceptos determinísticos corrientemente usados influyen de 
manero significativo en el análisis de los procesos estocásticos naturoles y ocosio 
non dificultades de varios tipos. 
En la literatura hidrológica se encuentro a menudo el concepto de que existe uno 
especie de rastro físico en los eventos hidrológicos (porte determinísticoJ, así co-
mo también algo de "ruido" '.porte estocástico). Con el tiempo, lo relaciÓn en-
tre el rastro explicado por los [ey"s ffsicas, al "ruido" no explicado, tiende a -
aumentari en otros polabras, el contínuo progreso enel conocimiento físico de los 
procesos hace que la porte desconocido vaya disminuyendo, "" lo medido en que 
se profundizo en el mecanismo físico que los controla; esto significa qu~ la expli 
cociÓn determinístico de las relaciones causa -efecto, será el resultado final de-
23 
24 
las investigaciones, mientras que la explicación estocástico de los fenómenos oleo 
torios notun:lles desaparecerá con el tiempo como uno propiedad indeseable y tem-
poral de estos fenómenos. -
Deben analizarse con especial cuidado los consideraciones emitidas en el párrafo 
anterior, pues éstas san, probablemente, uno de las equivocaciones básicas que 
se encuentran en las aproximaciones filosóficas a muchos problemas ffsicas en ge 
neral o geofísicos e hidrológicos en particular. -
Por ejemplo, en la determinación de la precipitación efectiva como eSCUrrImIen-
to superficial en lo aplicación de un hidrograma unitario, se omite la aleatorie-
dad de la evaporación, infiltroción, parámetros de la cuenca y otros factores que 
intervienen; para aplicar uno aproximación determinrstica, se trota generalmente 
de esquivar el carácter aleatorio de los procesas naturales. Para aclarar esto, es 
suficiente contemplar el coso de la rugosidad de las superficies. Es un hechosim 
pie que la rugosidad de un terreno, o de una cuenca, es un factor decisivo en -
la respuesta de una cuenca. Si se conservan iguales los demás factores geomé-
tricos de la cuenca, es fácil demostrar que la rugosidad tiene un efecto muy gron 
de sobre el hidrograma unitario. Entre más lisa sea la superficie y menor seo 10-
profundidad de la capa de flujo superficial, menor será la retención; entre menor 
sea la rugosidad del lecho Fluvial y moyor la velocidad del flujo, menor será la 
profundidad y por lo tanto menor el almacenamiento y más rápida 'a salida, y 
el tiempo de concentroción y los efectos del almacenamiento serán pequellos. -
Cuando hay vegetación (pastos) desarrollada en el área, mayor será la resisten-
cia al flujo y mayor la capa de escurrimiento superficial. Esto cambiará el hi-
drograma unitario. La rugosidad de la cuenca se puede modificar en forma pe-
riódico y también aleatoriamente a causa de los contfnuos cambios de la vege-
tación debidos al clima y a los muchos factores aleatorias involucrodos. El con 
cepto del hidrograma unitario constante para uno cuenca es, pues, una concep 
ció" artificial para aplicar una aproximación determinrstico a un procesa hidro": 
lÓgica básicamente muy complejo; como se mostró oqur, la rugosidad cambiante 
presenta dificultades en la aplicación del concepto de uno respuesta unitaria -
constante bajo condiciones naturales. 
No obstante las premisas anotadas anteriormente, los modelos determinrsticos -
orientados dentro de los principios establecidos, y aplicados racionalmente a los 
eventos aleatorios hidrológicos, son uno poderosa arma de amplia utilización en 
la actualidad que ha permitido resolver numerosos problemas prácticos y profundi 
zar notablemente no sólo en el conocimiento de los procesos ffsicos, sino tambi"en 
en su descripción matemática. A manero de ejemplo, se presentan 10$ fundamen 
tos de tres modelO$ que han sido probados y usados extensamente con resultados-
satisfactoriO$ 
3.2 SIMULACION DE ESCURRIMIENT O .0. TRAVES DE UNA ZONA DE INUNDA 
CION 
(Modelo SOGREAH-UNESCO, usado en el delta del Mekong) 
3.2.1 Características del problema 
A. Genera I i dades 
Los consideraciones siguientes se refieren al coso especrFico de lo simulación 
del escurrimiento en zonas inundables, donde 10$ modelos del tipo propaga-
ción sufren innumerables compl icaciones adicionales, ya que entran en jue-
go fenómenos físicos e hidráulicos que aumentan el número de parámetros que 
deben tenerse en cuenta en el made lo . 
la teoría fué desarrollada en el modelo SOGREAH-UNESCO paro ser aplica 
da en el delta del río Mekong, y una adaptación se usó con buenos resulta 
dos en el Centro de Hidrología Aplicada de Parto Alegre, Brasil, para l0si 
mulación del río CaL 
Se presento aquí la solución matemáticJ dada 01 problema, en vista de lo 
similitud de condiciones presentado por e I río Magdalena en su zona inunda 
ble, como uno sugerencia del enfoque que podría darse para la formulación-
de un modelo matemático capaz de simular aceptablemenle el escurrimiento 
en esa zona, donde la abundancia de ciénagas y lagunas profusamente inter 
conectadas, con canales de flujo reversible según el estado del rfo, dificuf= 
to grandemente los onólisis tradicionales. 
Los siguientes puntos resumen los característicos que son comunes o este ti-
po de problema : 
o) Escurrimiento multidimensional (o multidirecciono l), causado como ya se 
anotó, por lo zona logunorio que actúa como amortiguador de las crecien 
tes. 
b) Pequeñas velocidades, ya que el flujo en su mayoría se efectúo por los 
canales de drenaje principales, comportándose lo zona inundada como -
una serie de embalses de almacenamiento. 
cl Tres variables que entran en juega: dos de espacio Ilos coordenadas X 
e y de un punto cualquiero de lo cuenca), y e l tiempo t • 
d) Condiciones límites conocidos aguas arriba yaguas abajo de la zona si 
mulada. 
25 
e) Efecto posible de marea, ya que las zonas inundables normalmente (no 
siempre) se encuentran cer ca de lo desembocadura. Esto impl ica que 
los términ05 de inercia en los ecuaciones diferenciales que rigen los 
fenómenos, no pueden despreciarse. 
f) Puede presentarse otra dificultad adicional: en ocasiones, el efecto de 
marea se comunica de manera compleja o través de una red de cana-
les, o seo que lo zona de inundación que une el rfo al mar no se pre 
senta como una superficie contínua. -
B. Configuración de la cuenco 
En la figura 1 se muestra un esquema de lo cuenca que va a ser simulada, 
lo cual se subdivide en una serie de subáreas con base en lo topografía y 
en la configuración gener~1 del escurrimiento (canales, ríos, carreteras, zo-
nas de vegetación que pueden impedir la propagación del escurrimiento, di-
ques y defensas yo construidas, etc.) (figuro 2) . 
Cado una de estas subáreas será considerado como un embalse que intercam 
bia agua con las adyacentes, y sigue lo ecuación de continuidad y las leyes 
de descarga entre estos embalses. Esto solución permite analizar el escurri-
miento como unidimensional solamente, entre cada por de embalses (aunque 
son dos sentidos posibles). 
3.2.2 Descripción del modelo 
26 
Evidentemente, el modelo estaro fundamentado en los leyes de intercambio entre 
cada par de embalses adyacentes, de los cuales reconoCf'mos lo existencia de dos 
clases: de tipa flwial y no fluvial. 
A. Leyes entre embolses fluviales 
Seron tratadas en esta forma las uniones entre embalses comunicados directo 
mente, sin ninguno barrera física de importancia, tales como trechos de ríos 
y canales, unión de canal y río, etc., ocasiones ~n los que rigen los leyes 
del movimiento uniforme en canales, obedeciendo por tonto lo ecuación de 
Strickler 
Q¡k = kstr • A¡k • R¡k 2/3· }/2 (1) 
donde 
Qik = caudal que pasa del embolse a! k 
\ 
, , 
/ 
...... ~/:::::==::----. 
\ , 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
- ---- -- .......... 
-
e 
CI< 
::> 
c:> ... 
/ 
/ 
Q 
" ~ 
" 
.. • ~ ... 
;; ... 
e 
-o 
u 
" ~ 
.. 
Q 
e • ~ 
" 
E 
i 
• ~ -
",'" 
:;:~ 
e § 
O e 
U .-
27 
28 
kstr = coeficiente de Strickler 
Aik = área mojado de lo sección de poso entre dos embolses 
Rik = radio hidráulico correspondiente a la sección Aik 
J = pendiente de lo I rneo de aguo (= (Zk -Z i ) /L ik) 
El valor de k str está defin ido por 
21. 1 
'lf;' 
siendo e lo rugosidad absoluta de las pared .. s del canal; existen tablas que 
dan el valor de k str en función de la naturaleza del material constitutivo 
de las paredes : 
Canales con revestimiento de concreto 
Conales con revestimiento de concreto liso 
Galerras excavados en roco 
Canales antiguos con vegetación 
Canales de tierra 
Canales de arena 
R(os y arroyos : 
de fondo rocoso, rugoso .de fondo medianamente rugoso 
K = 53 a 57 
K '" 80 a 90 
K = 250 40 
K = 43 a 52 
K = 33 a 40 
K = 50 Q 90 
K = 20 
K=20a28 
Sin embargo, dada la dificultad para estimar su valor exactamente a causa 
del desconocimiento de los carocter(sticas frsicas de las secciones de paso, 
asr como de sus variaciones, kstr es tratado como un parámetro de aiuste 
del modelo. 
En esta formo, para cada sección de paso (de tipo fluvial) deben conocerse 
los siguientes datos: 
a) Un volar de "str 
b) Un valor de Lik (distancia entre los puntos centrales de dos subáreas 
o embalses adyacentes) 
c) Caracterrsticas geométricos de la sección de paso, con información sobre: 
Z altura del aguo 
Aik - área mojada 
Rik - radia hidráulico correspondiente 
d) Número de subdivisiones en cada sección de ooso, er. el caso "" que 
ésta puede subdividirse en otras más sencillas ver figura 3;. 
B. Leyes entre embalses no fluviales 
Se incluirá aquí lombi"n ,,1 caso de intercamio entre un emoolse fluvial y 
uno no fluvial; estomas anTe el caso de fluía sobre un vertedero, por locuol 
podremos denominar los secciones como de tipo v"rtedero. ¡ver figura ·fi 
Para oolicar las ecuaciones del vertedero, distinguimos dos coses: v"rtedera 
ahogado y no ahogado, con las siguientes ~otaciones; 
Seon f A Y 4D dos variables qU'l dependen de las características ffsicas 
del vertedera, para caso ahogado y no ahogado respectivamente, tales que 
iD = )"1 • e "9 
h = "'2· D' 29 
donde b longitud útil del vertedero 
.1' = coeficiente de descargo del vertedero 
Se ha estimado que ,r-o = :J, 386 ~A aproximadamente, ya que el coefi-
ciente de descargo vorf" ,pgún la condición hidráulico de la secció" de ~ 
so. 
En lo tabla siguiente se resumen los ecuaciones pora coda uno de los dos 
cosos mencionados, con el siguiente significado: 
~ = altura de la lámina en el embalse que cede agua '-k 
Z· = altura de la lómina er- el embalse que recibe agua I 
Zs = altura de la solera 
REGIMEt'-' I CONDICION FORMULA DE CALCULO 
i 
- ~ 1Zk ~ Qik +D • ~Zk -Zs) 3/2 No ahogado .' . " - -s) = -, - -s 3 
I 
- - ~ - - Qik ~A • ,Z¡ _ L SJ Zk -Li Ahogado ! :'k = -i - -s - - ·'51 I 
29 
I 
Zk 
30 
4 
SUBDIVISION DE UNA SECCION DE PASO 
l. 
T 
1 
I 
lo 
I , 
FIGURA 3 
UNIONES TIPO VERTEDERO 
FIGURA 4 
Ahi 
_1st i 
Si ..1 
FIGURA 5 
EIftbCII •• i 
i 
Zi 
Así, los parámetros necesarios 01 modelo, poro este cálculo, seron 
o - Número de vertederos en cado sección de paso 
b - Paro cado vertedero: valores de ;; y b;./ seré tomado como paréme-
tro de ajuste. 
3.2.3 Formulación motemótica del modelo 
A. Hipótesis previos 
Para lo formulación de las ecuaciones que definen el comportamiento hidró~ 
!ico del sistema, aceptamos dos hipótesis previas: 
a - La superficie del aguo se mantiene horizontal; suposición razonable pues 
to que la velocidad del flujo en las zonas inundados es muy reducida. 
b - Relación biunívoca entre caudal y alturo; condición derivada de la an-
terior. 
El problema podrá ser resuelto con el uso de dos ecuaciones: la de continui 
dad y la de descargos, ecuaciones que conformarán un sistema parabólico;" 
puesto que no se tendrén en cuenta los términos de inercia (no se considera 
efecto de mareo). 
B. Ecuación de continuidad 
Haciendo referencia o la figura 5, donde se ha representado un embolse i, 
si .1 hi es el aumento de altura en el interv<:rlo lH, tendremos que 
s· , • llhi 
donde 
'= p. , + (2) 
es lo precipitación caída en lo superficie del embolse i, 
es la descargo media intercambiada con todos los embolses ad 
yacentes en el período t; t; entonces, 
t t + 4 t 
Q ik = (1 - IX. ) Qik + oéQik 13) 
donde los índices t y t + .i t señalan que Qik es calculado en los 
instantes t y t + á t respectivamente, yo( es un coeficiente odimensional 
de ponderación que depende de lo manera como varían los descargos duran-
te el intervalo {j t; así, o( = _1_ significo que tomamos la descarga media 
2 
31 
32 
entre la del comienzo y la del final del intervalo, 
&ttonces, ...., 
() Qik 
+ ( a hi ) t fJ. hi + 
+ ( 
~Qik t 
'J hk ) ~ hk ] (4) 
Tomando las derivadas de primer orden (desarrollo en 5eries de potencias), 
Al combinar (2) y (4) Y dividir por (\ t obtendremos 
Si 
At 
.1hi 
Pi 
-- = 
LIt 
2 Q'k 
k ' 
remplazando (4) Y aceptando r/. igual poro todos los embalses, 
Si áh' Pi 1 ~ Q'k +Z:- a Q¡k Ll hi - ,- -- k ' k " ~i + o{ 6 t ",,ot o<. 
+~ d Qik .1 hk 
k 'a hk 
es decir 
Si ] o:::- d Qik 1 [ P' 1 --,,-- Cl hi + ~ Ó hk = - - --' +z"Q'k 
c( <1 t k a hk oc A t k ' 
La ecuación (5) seró una de las qu-. conforman el sistema parabólico; la 
segunda, será la expresión de descarga del vertedero, (convención de siS 
nos: Qik = - Qki ), 
C. EcuacionRs de descargas y sus derivadas 
Unión de tipo fluvial 
Como se dijo atrás, se opl ica la ecuación de Strickler en lo formo 
Q'k = E 'k • k t * oQ • "-, hk I 1/2 , I sr I ¡ni - /' (6) 
(5) 
donde 
hi , hk son las alturas de los planos de aguo en lo porte cenlral 
de cada sub órea i y k o 
donde 
é:. ik es el signo de (hi - hk): será positivo si hoy flujo de k 
hocio i y negativo en el coso contrario. 
FQ es uno función que depO~dQ de la configuración geométrica 
de los pores de embalses, dada por 
• R 2/3 
FQ = 
Lik es lo distancio entre los puntos centrales de los sub óreas 
i y k. 
kstr es el coeficiente de Strickler 
La tunción FQ se puede obtener por interpolación a portir de 
ho + hk 
a - una tabla de valores hik = --,-'-.,-__ 
2 
b - lo tabla correspondiente de FQ en función de hik; si tenemos 
Q'ik = 
Qik () Q ik = k • a Q'ik kslr entonces sIr 'O el hi hi 
Según lo dirección del flujo, son posibles das casos: 
Caso lo Cuando hi > hk, entonces é 0k = - 1 Y tendremos, derivando 
(6) :. I 
OQ'ik 
" hi 
'O Q'ik 
O hk 
= -
= 
él FQ 
"'b h i 
(1 ~C 
"O hk 
'hi - hk/ 1/2 __ 1 FG /hi _ hk 
/ - 1/2 
2 
1/2 
+ ~Q ./L o _ hk.' -1/2 , ni ' 
(7) 
Coso 20 Cuando \ > hi , por lo cual E ik = 1, tendremos: 
33 
OQ'lk 
'a hi 
d FQ /h
k 
-h¡ /1/2 _ -2 FQ /hk -hi /-1/2 
1} h¡ 
/hk -hi /1/2 +.2.. FQ / hk - h¡ / -112 2 
f hi + hk teniendo en cuenta que FQ = (h ik) y hik = ~-2-';'':'';' 
vemos que 
(8) 
o FQ O Fa = -* = 1 
2 
dFQ (pues ~ ~~ = -+) (9) 
dI. ¡k 
y = = 1 
2 
dFQ • 
d hik 
(10) 
remplazando (9) Y (1 O} en (7) y (8) tendremos: 
o Q'ik 1 dFQ 11.. _ h /1/2 1 FQfhí-h~-1/2 = --
'O hi 2 dhik . I k -2' 
(7' \ 
Q Q'¡k dFQ h ;1/2 1 FQ JI,. - h ;-1/2 
'O hk 
:: .. - / hi -2 dh ¡k k, +2" '1 k 
OQ'ik I dFQ 
1\ - h¡ / j/2 _ .2.. FQ fhk - 1..1-1/ 2 ~ h· = -2 dhik '2 I 
I 
(8' ) 
"O Q'ilo: 1 dFQ / hk - hi 
; 1/2 1 FQfhk - ni 1 -1/2 = 2"dIiik + -o hk 2 
Podemos ver que los rndi ces 
si llamamos 
y k pueden intercambiarse en /hi - hl/ í 
- 1 12 
a la expresión 
2 
FQ hk - hi ¡ I 
11 a la expresión 1 dFQ I hk - hi /1/2 y 
2 dhik 
lograremos uno solo expresión, cualquiera que sea el caso: 
-o Q'ik 
E 'H· ~ - 1 + • 1I ik I 
O Q'ik 
I t ik * I1 ~ + 
"O hk 
(10\ 
Unión de tipo vertedero 
Con referencia a la notoción indicada en la figura 6, distinguimos 3 casos: 
Caso 1. Cuando hm - h¡ < DHTOL, donde DHTOL, es un valor de tole-
rancia fijado adecuadamente, o bien hm < hs simplemente; entonces, 
~ 
Coso 2. 
godo, por 
o (ausencia de flujo) 
~ O 
Cuando (h¡ - hsl < 32 
lo cual, 
¿:.. 
'k rD . 
(hm - hs), tendremos regí men no aho-
(lJl 
de acuerdo con lo expuesto antes, llamando A o lo derivada de Qik 
en (11), tendremos que 
A ~ 3 
2 
3/2 
Si es el embalse oguas arribo, 
35 
'" -A y '" o 
mientros que si es el embalse aguas abajo, 
= O y = A 
2 
Caso 3. Cuondo (hj - hs ) ~ T (hm - hs ) estamos en el caso de régi-
men ahogodo y de acuerdo a lo expuesto en el numerol correspondiente, 
y al igual que en el caso anterior, las derivadas san: 
A = 
2 
1/2 1 1. 
(hm - h¡) -"2 'fN (h· - h ) (h h.) - 1/2 1 5 m - I 
Resumiendo los considerociones anteriores, si 
bo, 
= - A y = -
mientros que si es el embolse aguas abajo 
= B y = 
es el emba lse oguos arri-
B 
A 
3.2.4Desarrollo del modelo 
36 
A. Distribución topológica 
Paro plantear la solución· al problema, se dispone de sub óreas en una can-
figuroción esquemótica de líneas (o filos) sucesivas, de tal manero que cual-
NOTACION USADA 
FIGURA 6 
ETAPAS 
® 
® 61 
EJEMPl.O DE DISTRIBUCION TOPOl.OGICA 
FIGUR A 1 
• 
37 
38 
quier sub área de una línea pueda intercambiar agua solomente.con otros sub 
áreas de las dos líneas adyacentes o de la misma línea. Puede verse que 
existen varios configuraciones posibles, pero como el número de sub áreas 
de coda fila da el tomaí'lo de uno motriz que deberá invertirse, debe bus-
carse un número reducido de sub áreas en cada línea, de acuerdo con el ti 
po de computador d¡spon ib le. 
Tomamos como ejemplo lo distribución topolÓgica mostrada en lo figura 7, 
suponiendo que corresponde a las etapas de cálculo 9, 10 y JI; cada cosi-
lla represento uno sub área que intercambio aguo con sus vecinas, como in-
dican los conexiones. 
B. Conformación de los motrices 
la formo general de lo ecuación de continuidad puede escribirse como: 
[z 
k 
-~ 1 ~h + ~ d G ik llh _ 1 [Pi + Z 0.1 
ri. LI t i k ( el hk k ) - - T"Kt k ,k 
donde Si represento el área de lo sub área i; multiplicando por r:i. y reor-
denando, obtenemos 
S'1 l P' . <;;"" ] - _' L1 h¡ = - -' + L O'k 
lit Llt k ' (J 2\ 
Aplicando ahora lo ecuación (12) o coda sub áreo, obtendremos tantas ecua 
cianes cuantas sub áreas tengomos; así, lo 56 por e¡emplo, lÍen.; comunicacion 
con lo 51, 52, 57, 58 Y 59. 
Sub área 56 = 56 
k = 5 1, 52, 57,58 y 59 
La ecuación (J 2\ produce : 
eL ) 0 56,51 
¡; h
51 
2056,57 
Ó hS7 
/j hS7 + 
+ ri ) 056,58 
O hS8 11 hS9 +í J_6_· -... hS6 (0 56,51 +056,52 + 
Q 
+ 56,57 
Q 
+ 56,59) - P56 
Ót 
+ 
En formo similar se puede obtener uno ecuación para cada sub área; el sis-
tema resultante se puede expresar en formo matricial asr: 
h
51 1 I h59 
, 
r h56 h60 hS2 I 
I 
I h57 
' i 
h53 
, 
I h61 ¡ I + 11 - 111 = 
1 hS3 h54 I h2 j l h55 j 
-l P56 + ¿ Q56, k 1 (k = (51,52,57,58, 59) 
Ót k 
, -l P57 +2: Q57,k) (k = 53,56,60,61) 
! Ót k 
I 
l- [ ;:' +~ QS8, k 1 Ik "53,55,56,62) k 
J 
Donde cada una de los motrices 1, ¡ /, I i: son los siguientes 
39 
\ 
\ 
I
1 
1 
I 
\ 
\ 
1 : 
d. OQ56,51 r:f. 
Q 56,52 
~ h52 O O O O h51 
O O r:f. ~ Q57, 53 O O 
CJ h53 . 
aQ dQ 
O O IX 58,53 O o( 58,55 
o hS3 e hS5 
11 : 
t<.¿;: dQ56,k 556 
! 
o{ ~Q5,57 ~Q56,58 I - o( 
oh56 dI 
" h57 Ó h58 
k = 51,52,57,58,59 
dQ 5S7 I ;, Q57,56 C(¿. S7,k -- O 
o( ¡; h57 tl t I el FiS6 k = 53,56, 60, 61 
21 QS8 56 
~Q58 k 558 
a(~ '--Q( , O J hS8 á t o h56 k = 53, 55, 56, 62 
1II 
DI 
a Q56,59 
o 
1 o 
I o 
" h59 i 
)Q I ~Q57 61 : 
O Q( 57,60 
I 
c< ' O 
'2> h60 ti h61 
, I ; dQ 
O I O i O I oc 58,62 I ' el h62 
40 
Para simplificar, denominaremos las matrices de la siguiente manera: 
• 
1: Matriz precedente P (corresponde a la etapa precedente a la ac-
tual en desarrollo) 
11 : Matriz central C (etapa en actual desarrollo) 
111: Motriz siguiente S (correspondiente a la próxima etapa) 
Vector V: Matriz de los términos independientes. 
En general, si tenemos que: 
ni es el número de sub áreas de la etapa precedente 
n' es el número de sub áreas de la etapa central, y 
I 
nk es el número de sub áreas de la etapa siguiente, podemos escribir la 
ecuación matricial general como 
Ah· 1 1, r .1h. 1 1, 
, 
~ hk, 1 
Ah· 2 1, d h· 2 1, 6 hk 2 , 
[ pd x ......... + [ C¡] x ....... + 1 Si I x . ...... '" [ Vi] 
. . . . . . . . ......... . ....... 
11 h. . Ll h. áhk, nk 
1, nI 1, ni 
y las dimensiones de las matrices son 
MATRIZ No. DE FILAS I No. DE COLUMNAS 
P. ! n. I n· I I I 
C. n· n· 
I I 
I 
Si n· I 
n
k 
V. n. 
I I 
41 
42 
C. Condiciones Irmites 
• 
Están representodos por las condiciones aguas arribo yaguas abajo, tenie~ 
do en cuento que las incógnitas del sistema son los h: 
= VI 
= V 2 
~"~' .. ""'.".""""""" .. '.' .. """' ... ' 
P. , /;¡. 1 ,- + e i D. i+l = V. I 
" •••• " .. , , ••• , w ••• , •• " ••••• " " w • " " " •• " ••• , •• , , 
v = n 
Condiciones aguas arribo 
Tomando como ejemplo el modelo aplicado en el rro Car, mencionado en 
A, tenemos como condiciones aguas arribo 3 entradas, representadas par las 
descargas que entran en (2), (3) y (4) (ver diagrama de la figura 8); pora 
facilitar lo comprensión del esquema, suponemos que esos descargos provienen 
de 3 sub óreas ficticios (O, -1 Y -2), La ecuación de continuidad aplicada 
a la sub área (4) proporciona: 
5· L! h. = d t ~ Q ik + P. 1 , k • 1 
o seo 
54 ,h 4 = .1t [ 04 O , + ~,3 + Q4,8 \ ..L P,¡ 
como 
Q. k Qik o( 
j Q¡k 
6 h· ... o( 
d 0ik t. hk (4) 
" 
= + ;; h· , ':3 hk , 
entonces 
54 6 h4 
.1 t 
, 
Q4 O Q4 3 ... :1 
:1 Q4 3 
Ll h4 .,. 1 , = d 1'14 .ó t • 
I I 
, ...... , ,-, ,., 
\ -2 ' t -f } , 0\ ..... ' , I ''T' OO¡' , , , • , • , 
4 
)----{S 
CONDICIONES AGUAS ARRIBA 
FIGURA 8 
70 71 ¿ 
I 
I , 
I , 
I , , I 
I I 
, .. 1, ,.1., 
(75) 74 176) 
.... ' '.' 
f I , I 
I I 
f I 
I f 
I f 
,.1., , ... 1." 
(771 17S' , I '.' ,-
CONDICIONES AGUAS ABAJO 
FIGURA· 11 
43 
\ 
i 
\ 
44 
·"" 
Ó Q4,3 ?Q 
+ Il( .1 h3 + Q4 8 + ot 4,a¡jh4 
?í h3 
, ¿ h4 
o(. 
;, Q4 a 
.1 h8) + P4 + , 
ó ha t. t 
qgrvpando y haciendo las siguientes convenciones: 
" )4 -, ~ Q4,3 [~ 
ó 04 a .1 h4 el = o( tl h3 + 
, 
--:6tJ 75 h3 ¿ h4 
SI = ()( 
¿ Q4,a 
.6 ha 
d ha 
VI [ P4 Q4,O + °4,3 + Q4 8 1 = + J , Ót 
podemos expresar la 
. , 
la formo ecuacloo en 
= 
quedando incluidas en VIlos condiciones de entrada al sistema (datos de 
descargas de entr<:lda a la zona de inundación l. 
Condiciones aguas abajo 
Al igual que para las condiciones aguas arriba, aquf se supone la existen-
cia de sub áreas ficticias (o casillas), donde se conocen los niveles. 
Siguiendo con el ejemplo referido antes, en la figur<:l 9 se muestr<:l el final 
del diagr<:lma topolÓgico, para las etapas 18 y 19. los niveles en las casi-
llas 75, 76, 77 Y 78, que son conocidos, se incluyen en la última matriz, 
V¡9. Las matrices correspondientes a las dos últimas etapas serfan : 
, 
" 
,~ 
D. 
IXIJ Q6~, ~r I I ah., I 
I ! ! : 
I : I 
I 
I , i I 
T 
I I 
c( ;'Q92.14 
0",2 
i!l.' 
¡~ 
OQ'12.7~ .1h 
-ri "h .." - Q'2 76 
o ", J , 
eX. I 
¡¡C/u 17 
D~'3 
0(* 
~Q9<.'8 
oh,. 
El resto de ténninos en cada matriz se pncuentra normalmente; aqur sólo se 
han mostrado los que incluyen las sub áreas ficticias. 
Técnico de solución 
El problema se ha reducido ahora a la solución del sistema matricial 
C 1 11 1 + 51 !J 2 = VI 
P2 ~1 + C2 Ó 2 + S" lJ. 3 = Y2 ~ 
............. ~ .... ~ ........ ~ ....... ~ ......... . (13) 
Pi t:" i-l + Ci fJ. i + Si IJ. i+l y. I 
Si hacemos 
tendremos 
.¡. ( l;¡ 2) en la primero ecuación del sistema (13), 
45 
III el 
-1 
= - SI .1 2 + e -1 1 
o sea 
Al !J. 2 = MI + W¡ 
si MI = -C1-
1 SI y 
remplazando en la segunda ecuación de (13), obtenemos 
o sea 
de donde 
si hacemos 
M (P C2 ) -1 ( ) 2 = 2 MI + -S2 
y 
obtendremos finalmente 
En las demás ecuaciones se continúa remplazando sucesivamente : 
Vi' I = VI 
tJ i = Mi Ll i+l + Wi con M¡ = p¡ Mi_1 + ei 
W¡ = (Pi Mi-l + en -1 (Vi - Pi Wi-l) 
Si tenemos por ejemplo, 19 etapas de cálculo, lo último ecuación será 
con w e -1 19 = (P19 M18 + 19) (V19 -P19 W18) 
En esto formo, se procede desde lJ 19 hacia atrás hasta LI 1 ' Y se obtie 
ne un valar paro codo matriz cada vez que asignamos volares o los paráme 
tros de ajuste; tendremos, entonces, 01 final de codo uno de estos procesos;-
los niveles alcanzadas por el aguo en codo sub área. 
3.2.5 Esquema del programo de computador 
El esquema general adjunto muestro lo secuencio de cálculos o través de los di-
ferentes etapas : 
Plt'EL I 
114.." ----. 
I 
S ______ J 
'--¡~" .~.~.6:::_:-:-~- -1 
IJlI""'·:, ..... " .. 1 
______ J 
Lee los parámetros en tarjetas y los grabo en el disco; 
se hoce un programo paro codo cree ido. 
Lee los dotas de codo crecido (alturas de aguo en co-
da sub área) y algunos parámetros que varran