3c2b0-ac3b1o-tp-introduccic3b3n-a-polinomios-2016

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Matemática: "Introducción a Polinomios", 3° año Prof: Marcelo Stigliano 
 
1 
POLINOMIOS 
 
Parte de la introducción aquí presentada fue adaptada de: 
http://escritoriodocentes.educ.ar/recursos/pdf/matematica/polinomios_historia.pdf 
 
 
Significado 
 Polinomio significa literalmente "muchas partes" en referencia a "muchos términos". Su expresión sirve para 
describir y predecir gran cantidad de fenómenos naturales y conductas a través del uso de funciones 
polinómicas. 
 
 
Funciones polinómicas 
 Estas funciones están definidas para todos los números reales, y constituyen una de las familias de funciones 
que representan la mayor cantidad de fenómenos naturales. 
 
 
¿Para qué sirven estas funciones? 
 
En la Física... 
 Sabemos que al suspender un peso de un resorte, éste se alarga, ¿podríamos determinar la ley que rige este 
alargamiento, al menos para un determinado intervalo? Sería como tratar de expresar el alargamiento del 
resorte en función del tiempo. 
 
En la Química... 
 En el laboratorio de Química, ¿podemos estudiar la temperatura de una masa de agua con respecto al tiempo 
en que es sometida al calor? Se trata de relacionar la temperatura en función del tiempo. 
 
En la Economía... 
 Un investigador suele expresar el consumo en función del ingreso, también la oferta en función del precio, o 
el costo total de una empresa en función de los cambios de producción, entre otros muchos ejemplos donde se 
analiza cómo se comporta una variable en respuesta a los cambios que se producen en otras variables. 
 
En la Biología... 
 Cuando se trata se precisar: el crecimiento de una población animal o vegetal en función del tiempo, el peso 
de un bulbo en función del diámetro del mismo, el consumo de oxígeno en función del trabajo realizado, etc. 
 
En la Vida Cotidiana … 
 Si se fijan en algunas de las facturas de servicios de sus casas van a ver que el monto que pagan se basa en 
un cálculo hecho a partir de una función polinómica; sólo que son un poco más complicadas que las que 
vamos a ver nosotros en el curso. 
 
En la Escuela … 
 Anteriormente estudiaron, aunque sin saberlo, las siguientes funciones polinómicas: 
 
f(x) = b, función constante (recta horizontal). Ej: y=3; Ej: y= -1 
f(x) = mx + b, donde "m" es diferente de cero, función lineal (recta oblicua) Ej: 1x
3
2
y +−= 
 Tengan en cuenta que si se toman un taxi, el costo del viaje va a estar dado por una función polinómica del 
tipo: f(x)= mx+b donde: 
 
• "x" representa la cantidad de "calles" recorridas 
• "m" representa el costo por "calle" 
• "b" lo que se conoce como "bajada de bandera" que es el valor inicial por sólo subirnos al taxi. 
 
 
 Para poder operar con las funciones polinómicas vamos primero a ver qué es un polinomio, para lo cual 
vamos a describirlos y luego a definirlos. 
 
 
Matemática: "Introducción a Polinomios", 3° año Prof: Marcelo Stigliano 
 
2 
1) Fíjense bien en las siguientes expresiones algebraicas (números y letras) 
( )
(-x) seno z) 
1-x- x3x-x
5
 y)
 
x
 1-x- x3x-x
 x)1-x- xx
4
3
-x
2
1
 w) x v)71-x- u) c8-3c t) 
 x5 xs) xabcd r) x
2
1
x4 q) xx3x6 p) 2 xo) 
2
x
 n) x m) 
 x2x3x- l) x log k)2x 3x7 j) xm i) 
cx
x5
5
x
 h) 3m g)
 x12xxf) x10 e) 
3
22x
 d) yzx
3
2
a xc) .x3b b) ax12yx a)
234
234
234x3
522333
4
422
1
5 2
3
3
3410x2321
+
+
+=+
−++++−++
++−−
−−
+
++−+
−
+−+
−
 
 
 
 Identifiquen y descarten aquellas expresiones en las que las letras (no los números) estén: 
 
a. afectadas por operaciones que no sean potencias (conocidas o desconocidas) 
b. afectadas por potencias negativas o fraccionarias 
c. ubicadas en el denominador 
d. estén debajo de raíces 
e. estén como exponente 
f. como parte de una ecuación 
 
 2) Sobre las restantes, indiquen en una tabla para cada caso: 
 
a. cantidad de términos 
b. cantidad de indeterminadas distintas (letras); identifíquenlas 
c. números que aparecen como factores en cada término; identifiquen a qué conjunto numérico 
pertenecen (N, Z, Q, I) 
d. operaciones involucradas (suma, resta, producto, división, potenciación, radicación, etc.) 
e. operaciones que afectan directamente a cada una de las indeterminadas 
 
 
Definición: 
 
 Una definición nos permite saber claramente qué es un polinomio y qué no lo es. Ya tenemos una idea de 
qué es un polinomio; ahora vamos a usar letras para dar una formulación más general: 
 
• "P" es el nombre del polinomio (usamos mayúsculas de imprenta) 
• "x" es la indeterminada porque su valor, al menos en principio, no interesa a los efectos de las 
operaciones que vamos a considerar 
• an, a n-1, ..., a1, a0 son todos números (N, Z, Q o I) que están multiplicando a la indeterminada y 
son llamados coeficientes del polinomio 
• an es un número distinto de cero, llamado "coeficiente principal" 
• a0 es llamado término independiente, pues no depende de "x" (término sin equis) 
• "n" es algún número natural y se lo llama "grado del polinomio" (es el mayor exponente de "x") 
 
 
Luego, a la expresión: 
P(x) = an .x
n + an-1. x 
n-1 + an-2 . x
n-2 + ... + a1x + a0 
 
 
se la conoce como Polinomio "P" de indeterminada "X" , y se lee: "pé de equis" 
 
 
 
Matemática: "Introducción a Polinomios", 3° año Prof: Marcelo Stigliano 
 
3 
Ejemplo 1: P(x) = 3x
4 - 4 x3 +2x -1 Ejemplo 2: Q(x) = -2x
5 +2 x4 +x +3 
 
Notas 
• Una constante (número), diferente de cero, es un polinomio de grado cero Ej: P(x) = 4 
• Al polinomio P(x) = 0 , se lo llama Polinomio nulo, pero no tiene grado 
 
• Existen polinomios con más de una indeterminada pero nosotros no vamos a estudiarlos 
 
3) Sobre los polinomios considerados en el punto 2: 
 
a. Tomen solamente los que cuentan con una sola indeterminada. Si éstos figuran con una letra que no 
es la “x“, reescríbanlos con “ x “. 
 
b. En cada polinomio, ¿cómo podríamos distinguir los distintos tipos de términos entre sí? ¿Qué resulta 
más relevante, el coeficiente o la potencia de la indeterminada? ¿Por qué? 
 
c. ¿Cuándo podríamos decir que dos términos son semejantes? ¿Cuándo son iguales? 
 
d. ¿Es posible utilizar el criterio hallado en el punto anterior para ordenar un polinomio de alguna manera? 
¿Cómo sería eso? 
 
e. ¿Qué está indicando el hecho de que no aparezcan todos los exponentes menores al mayor (enteros no 
negativos)? ¿Cómo los harían aparecer sin modificar los coeficientes del polinomio? 
 
4) Completen el cuadro indicando: nombre, indeterminada, grado, tipo, coeficiente principal y término 
independiente. Luego completen y ordenen el polinomio 
 
Polinomio Nombre 
Indeter
minada 
Grado Tipo 
Coeficiente 
Principal 
Término 
Independiente 
Completo y ordenado 
3x12x3x:A 64(x) −+− 
 
 
 
 
 3-2sss5s2:G 853(s) +−+
 
 
 
 x:F (x) − 
 
 
 
 
 2 x:M(x) +− 
 
 
 
 
 x:C 3(x) − 
 
 
 
 
 22xxx5x:T 853(x) ++−+
 
 
 
91 :D(x) 
 
 
 
 
 
3
2
zz- :H 12(z) −−
 
 
 
4
(x) x2:B − 
 
 
 
 
 1x
4
x
:E 5
3
(x) +−
 
 
 
 1x:J 5(x) +− 
 
 
 
 
 tt2t:N 83(t) −+− 
 
 
 
 
2mm
3
2
 :I 4(m) −−
 
 
 
 1yy
2
3
:U 5(y) +−
 
 
 
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4 
Polinomio Nombre 
Indeter-
minada 
Grado Tipo 
Coeficiente 
Principal 
Término 
Independiente 
Completo y ordenado 
1x2:Q 3)x( − 
 
 
 
 
42
)x( xx2x7:W +−−
 
 
 
 
1xxx
4
3
:Y 326)x( +++
 
 
 
 
3xx
6
1
x:R 386)x( +++−
 
 
 
326
)x( xxx:S ++ 
 
 
 
 
234
)x( x
4
3
x
5
12
7
x
4
3
:K −+−
 
 
 
 
 
5) Den un ejemplo de un polinomio que cumpla con las condiciones dadas 
 
Grado Tipo 
Coeficiente 
Principal 
Término 
Independiente 
Polinomio 
3 Trinomio 2 1 
4 Binomio 1 -2 
1 Monomio 
3
1
 0 
0 Monomio 4 4 
7 Polinomio 
4
3
− 
4
3
− 
2 Binomio -1 
2
7
− 
5 Trinomio -3 0 
----- Nulo 0 0 
 
Operaciones 
 
Suma 
 Solamente se pueden sumar entre sí los "términos semejantes". Como ya dijimos, son los que presentan 
la misma indeterminada elevada al mismo exponente. Luego, lo único que debemos hacer es operar 
entre los coeficientes y mantener el grado de la indeterminada (salvo que sean opuestos, entonces se 
anulan). 
 
 Ej: Sean P(x) = 5x
4 y Q(x) = 2x
4 semejantes, entonces P(x) + Q(x) = (5+2)x
4 = 7x4 
 
 Ej: Sean R(x) = x
2 y S(x) = -7x
2 semejantes, entonces R(x) + S(x) = (1-7)x
4 = - 6x4 
 
 
 Si los polinomios tienen más de un término sólo operamos entre los semejantes, el resto los copiamos igual. 
Una forma de hacerlo es completando los polinomios y encolumnarlos según su grado 
 
 
 
P(x) + Q(x) = 0x
5 + 3x4 - 4 x3 + 0x2 + 2x - 1 
 + 
 -2x5 + 2x4 + 0 x3+ 0x2 +4x +3 
 
 -2x5 + 5x4 – 4x3 +0x2 +6x + 2 
 
 
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5 
 
 Si tenemos confianza con nuestras habilidades para operar podemos hacer el cálculo de otra forma: 
empezamos por el término de grado mayor entre ambos y vamos viendo si hay alguno semejante a él, si no 
hay lo copiamos tal cual, si hay operamos con los semejantes a él; luego seguimos con el siguiente grado 
menor hasta terminar 
 
 Ej: P(x) = 3x
4 - 4 x3 +2x -1 y Q(x) = -2x
5 + 2x
4 +4x +3 
 
 entonces P(x) + Q(x) = -2x
5+(3+2)x4 - 4x3+(2+4)x +(-1+3) 
 
 P(x) + Q(x) = -2x
5+5x4 – 4x3 +6x+2 
 
Nota: 
Hasta aquí hemos visto siempre polinomios que presentan, a lo sumo, sólo un término por cada grado. 
Cuando demos la expresión de un polinomio deberemos darla de este modo: sólo un término por cada 
grado, en caso contrario tenemos que operar entre los términos semejantes a fin de optimizarlo. 
 
6) Dados los siguientes polinomios, hagan las sumas indicadas 
 
23
)x(
3
)x(
25
)x(
3
)x(
25
)x(
54
)x(
x
2
1
x
3
2
x1:U 1x:T x
4
3
x
5
1
:S
1x:R x2x4x:Q x
4
3
x
5
1
2
7
x:P
−+−−−−+
+−−+−−−+−−
 
 
 =+ )x()x( QP)a =+ )x()x( SR)b =+ )x()x( UT)c 
 =++ )x()x()x( RQP)d =++ )x()x()x( UTS)e =+ )x()x( RT)f 
 
Resta 
 
 Se trabaja del mismo modo que para la suma sólo que le cambiamos el signo a todos los términos del 
polinomio "sustraendo". Siguiendo con el mismo ejemplo que para la suma: 
 
P(x) - Q(x) = 0x
5 + 3x4 - 4 x3 + 0x2 + 2x - 1 
 + 
 2x5 - 2x4 - 0 x3 - 0x2 - 4x - 3 
 
 P(x) - Q(x) = 2x
5 + x4 – 4x3 + 0x2 - 2x - 4 
 
 
7) Dados los polinomios del punto anterior, hagan las restas indicadas 
 
 =− )x()x( QP)a =− )x()x( SR)b =− )x()x( UT)c =− )x()x( PT)d =− )x()x( US)e =− )x()x( RT)f 
 
 
Multiplicación de un polinomio por un número real 
 
 Sólo debemos multiplicar entre sí al número por el coeficiente del monomio: signo con signo, número con 
número. La indeterminada la mantenemos tal cual como estaba. 
 
Ej: 333 x2x
3
2
.3x
3
2
.3 == Ej: 44 x
4
3
x
4
5
.
5
3
−=





−
 
 
 Si el polinomio tiene más de un término, sólo debemos hacer una simple distributiva y proceder 
como ya vimos. 
 
 Ej 25
)x( x2x4x:P −+−− entonces ( )
2525
)x( x4x28x2x2x4x.2P . 2- +−+=−+−−−= 
 
 Ej xx
2
3
1x
3
2
:Q 34)x( +−−
 entonces x
3
2
x
3
2
x
9
4
3
2
-.xx
2
3
1x
3
2
 
3
2
-.Q 3434)x( −++−=











+−−=




 
Hemos cambiado de signo 
todos los términos de Q(x) 
 
 
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6 
8) Dados los siguientes polinomios, hagan los productos indicados 
 
23
)x(
3
)x(
25
)x(
3
)x(
25
)x(
54
)x(
x
2
1
x
3
2
x1:U 1x:T x
4
3
x
5
1
:S
1x:R x2x4x:Q x
4
3
x
5
1
2
7
x:P
−+−−−−+
+−−+−−−+−−
 
 =)x(P.3)a =− )x(S.2)b =6.T)c )x( =
2
1
.P )d )x( 
 =− )x(S).1)(e =− )2.(T)f )x( =− )
4
1
.(Q )g )x( =− )
3
4
.(U )h )x( 
 
Multiplicación de un monomio por otro 
 
 Es igual que el caso anterior sólo que esta vez debemos recordar la propiedad del producto entre potencias de 
igual base para hallar el grado de x: xa . xb = xa+b 
 
 
 Ej: 43 x3:)x(Q y x2:)x(P entonces 74343 x6x6x3 . x2)x(Q . )x(P === + 
 
9) Dados los siguientes monomios, hagan los productos indicados 
 
7
)x(
3
)x(
5
)x(
2
)x(
4
)x( x
2
5
:U 
3
x
:T x
5
1
:S x2:Q x:P −−− 
 
 =(x))x( Q . P )a =)x()x( T . S )b =(x))x( U . T)c =)x()x( S . P )d =(x))x( U . S )e =(x))x( S . S )f
 
 
De un polinomio por otro 
 
 Combinamos los dos casos anteriores, es decir, aplicamos la distributiva y hacemos, signo por signo, número 
por número y letra por letra sumando sus exponentes. Si luego de esto quedan términos semejantes, debemos 
operar entre ellos para obtener un solo término de cada grado. 
 
Ej: 4xx:Q ; 1x:P 5)x(
4
)x( −+−−−
 entonces ( ) ( )4xx . 1xQ . P 54(x))x( −+−−−= por distributiva 
 
 se tiene: Q(x) . P(x)4xx4x4xxx4xx 495459 =+−+=+−++− 
 
10) Dados los siguientes polinomios, hagan los productos indicados 
 
23
)x(
3
)x(
5
)x(
3
)x(
5
)x(
4
)x( xx2x1:U 1x:T x
5
1
:S 1x:R 4xx:Q 
2
7
x:P −+−−−+−−+−−− 
 
=)x()x( T . S )a =(x))x( P . T)b =(x))x( Q . P )c =)x()x( S . P )d =(x))x( U . S )e =(x))x( R . R )f 
 
 
En general se tiene para los polinomios las siguientes propiedades: 
 
Propiedad Suma Producto 
Conmutativa P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) P(x) . Q(x) = Q(x) . P(x) 
Asociativa [P(x) + Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)] P(x) . [Q(x) . R(x)] = [P(x) . Q(x)] . R(x) 
Elemento 
neutro 
P(x) + N(x) = N(x) + P(x) = P(x), 
entonces N (x) = 0 
P(x). S(x) = S(x). P(x) = P(x), 
entonces S(x) = 1 
Elemento 
opuesto 
P(x) + [-P(x)] = [-P(x)] + P(x) = 0 No se cumple 
Distributiva P(x) . [Q(x) + R(x)] = P(x) . Q(x) + P(x). R(x) 
 
 
 
Matemática: "Introducción a Polinomios", 3° año Prof: Marcelo Stigliano 
 
7 
11) Dados los siguientes polinomios realicen los cálculos combinados indicados 
 
23
)x(
5
)x()x(
5
)x(
4
)x( xx2x1:T x
5
1
:S 1x:R 4xx:Q 
2
7
x:P −+−−+−+−−− 
 
( ) ( )
)x()x()x((x))x()x()x()x((x))x()x()x()x(
)x()x()x((x))x()x()x()x()x()x()x(
RQ.P F S.5SQPE QT.TD
RQP
7
2
C ST .PB R -Q 2A
+=+−+=−=
−+−=−=−= 
 
 
División de un monomio por otro 
 
Es muy parecido al caso de la multiplicación, sólo que esta vez debemos recordar la propiedad del cociente 
entre potencias de igual base para hallar el grado de x: xa : xb = x a – b 
 
Para que el resultado siga siendo un polinomio se exigirá que el grado del numerador sea mayor o igual 
al del denominador (si no fuera así seria de "grado negativo") 
El monomio resultante tendrá como coeficiente el que surja de hacer la división entre ambos coeficientes; 
como grado tendrá el que resulte de la restaentre ambos (grado del numerador menos el del denominador) 
 
 Ej: 58 x2:)x(Q y x7:)x(P entonces 35858 x
2
7
x
2
7
x2: x7)x(Q : )x(P === − 
 
12) Dados los siguientes monomios, hagan las divisiones indicadas 
x
2
5
:U 
3
x
:T x
5
1
:S x2:Q x:P )x(
3
)x(
5
)x(
2
)x(
9
)x( −−− 
 =(x))x( Q : P )a =)x()x( T: S )b = 
U
T
)c
(x)
)x( =)x()x( S : P )d =
(x)
)x(
U
S
 )e =
(x)
)x(
S
S
 )f 
 
División de un polinomio por un monomio 
 
 Se trabaja igual que el caso anterior, sólo que esta vez vamos a aplicar distributiva. La condición para 
poder efectuar la división es que el término de menor grado del polinomio sea mayor o igual que el 
grado del monomio (similar al caso anterior). 
 
 Ej: Sean 538
)x( xx2x3P +−= y 
2
)x( x5Q = entonces ( ) 362538 x
5
1
x
5
2
x
5
3
x5:xx2x3)x(Q : )x(P +−=+−= 
 
13) Dados los siguientes polinomios, indiquen cuáles polinomios se pueden dividir por cuáles monomios; luego 
resuelvan esas divisiones 
 
 764
(x) 3x2x3x:A −− 
910
(x) xx2:B − 
8354
(x) 2xxx5x:C +−+ 
 5
)x(
2
)x(
4
)x( x
5
1
:S x2:Q x:P −− 
 
 
División por un divisor de la forma Ruffini 
 
 A todo divisor de la forma x + a se lo llama divisor de la forma Ruffini. Es decir, es un binomio, de 
coeficiente principal 1 (mónico) y grado 1, con a un número real distinto de cero. 
 
Ej 1: 1x + Ej 2: 1x − Ej 3: 
3
1
x + Ej 4: 
4
7
x − Ej 5: x2 + 
 No son divisores de la forma Ruffini: 
 
 CEj 1: 1x2 + el coeficiente principal NO es 1 
 CEj 2: 3x +− el coeficiente principal NO es 1 (ojo, es -1) 
 CEj 3: 7x 2 + el grado NO es 1 
 CEj 4: x el término independiente NO es distinto de cero 
 
 
Matemática: "Introducción a Polinomios", 3° año Prof: Marcelo Stigliano 
 
8 
 Si el divisor es de la forma Ruffini, es posible aplicar un algoritmo ("tablita") para hacer dicha división. 
Veámoslo con un ejemplo: 
 
 Sea 5x3xP 3)x( −+−= y 2xQ )x( += como )x(Q es de la forma pedida se puede hacer: 
 
 -1 0 3 -5 
 
 -2 2 + - 4 2 
 x 
 
 -1 2 - 1 -3 
 
 
Coeficientes ordenados y completos del polinomio cociente C(x) 
 
 Mecanismo de cálculo: multiplicamos el coeficiente principal por el opuesto de a y ponemos el resultado 
debajo de la siguiente columna, luego sumamos esa columna y escribimos el resultado debajo; repetimos los 
pasos hasta el final. La suma de la última columna es el resto de la división. 
 El grado de C(x) será un grado menor que P(x) (polinomio dividendo), es decir, C(x): - x
2 +2x-1 
 
 Entonces, al igual que en la división entera, podemos expresar a P(x) como: 
 
 P(x) = (x+2) . (-x
2 +2x-1) - 3 
 
 Q(x) C(x) Resto 
 
14) Indiquen cuáles de los siguientes polinomios son divisores de la forma Ruffini. Si no, indiquen por qué. 
 
A(x) = 3x
4 +1 B(x) = x
2 +1 C(x) = x+2 D(x) = x +2x
2 E(x) = x -1 
 
F(x) = -x +2 G(x) = x +3 H(x) = -2 +x I(x) = 2x -1 J(x) = x -1/2 
 
15) Dividan los siguientes polinomios por todos los divisores de la forma Ruffini del ejercicio anterior 
 
 P(x) = x
2 - 4 x +4 Q(x) = -x
3 +2x2 -1 R(x) = x
5 +1 
 
 Nota: Del mismo modo que decimos que 8 es divisible por 4 porque al hacer la división su resto es cero, 
diremos que P(x) es divisible por x+a (o que x+a es divisor de P(x)) cuando al hacer la división 
obtengamos como resto CERO, 
 
16) Indiquen cuáles de los polinomios del ejercicio anterior son divisibles por x+a , o lo que es lo mismo, 
cuáles de los x+a son divisores de los polinomios. 
 
Teorema del resto 
 
 Existe una propiedad que permite calcular el resto de dividir un polinomio por otro de la forma Ruffini 
(x+a) sin necesidad de hacer la división; sólo hay que reemplazar a la x en el polinomio por el opuesto de 
a y hacer la cuenta. 
 
 Ej: si en el ejercicio 14 dividimos P(x) = x
2 - 4 x + 4 por G(x) = x+3 el resto se puede calcular así: 
 
 Como a es 3, su opuesto (– a) es -3, entonces, al reemplazar la x por -3 en P(x) tendremos: 
 
 P(-3) = (-3)
2 -4.(-3) +4 luego, el resto de dividir P(x) por G(x) es 25, como ya sabíamos 
 
17) Usando el Teorema del resto decidan cuáles de los polinomios de la forma Ruffini son divisores de los 
polinomios dados 
 
1xA )x( += 1xB )x( −= 2xC )x( −= 
 4x2x2P 2)x( −−= 1xQ
3
)x( += 1xR
4
)x( +−= 
345
)x( xx2xS ++= 1x4T
2
)x( −= 1x3x3xU
23
)x( +++= 
Coeficientes ordenados y 
completos de P(x) 
Opuesto de a 
Resto Coeficiente Principal de P(x) 
Si hacemos el producto y las sumas 
debe darnos el polinomio original