Aplicación de estadística en la evaluación de los datos Regresión Lineal

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QUIMICA ANALITICA.
Aplicación de estadística en la evaluación de los datos.
Regresión Lineal.
Objetivo
Estimar el valor de una variable aleatoria, saber aplicar el
método analítico de los mínimos cuadrados para obtener la
solubilidad del NaCl en agua a diferentes temperaturas,
verificar los datos obtenidos con una curva de calibración.
La regresión lineal se utiliza para:
1.- determinar la relación de dependencia que tiene una
variable a otra.
2.- Ajustar la distribución de frecuencias de un alinea, es
decir, determinar la forma de la línea de regresión.
3.- predecir un dato desconocido de una variable partiendo de
los datos conocidos de otra variable.
Introducción
Es necesario determinar el efecto que una variable ejerce
sobre otra. Un experimento de laboratorio es una medida del
efecto de una variable sobre otra, con base a una cantidad de
muestra.
La mayoría de los métodos analíticos se basan en una curva
de calibración en la que una cantidad medida se grafica en
función de la concentración conocida de una serie de
patrones. La regresión lineal simple nos ayuda a establecer
una función matemática (línea recta), esta describirá dos
variables. 
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Generalmente los métodos analíticos se basan en una curva
de calibración en la que una cantidad medida, se grafica en
función de x. Cabe señalar que no todos los datos caen
exactamente en la recta, esto se debe a los errores aleatorios
en el proceso de medición. 
El método analítico conocido como: método de los mínimos
cuadrados, nos da los datos para la elaboración de una
ecuación, así mismo, especifica las incertidumbres asociadas
con su uso. Para la aplicación de este método es necesario
suponer que hay una relación lineal entre sus variables, y
está dada por la ecuación y = a + bx, en donde a es la
ordenada al origen, y b es la pendiente de la recta. Cualquier
desviación de los puntos individuales respecto a una línea
recta, es consecuencia del error en la medición, aquí los
patrones se preparan cuidadosamente y los errores
indeterminados en el proceso pasan a ser despreciables
comparados con los del proceso de medición.
Fundamentos 
Los fundamentos de la aplicación de la estadística, es que se
adquieran la destreza necesaria en la aplicación de esos
conocimientos a la resolución de los problemas que, en este
campo, se le presenten en el ejercicio de su profesión. La
estadística permite interpretar mejor determinada información
haciéndola más entendible e interesante. Aun cuando
presentan una cantidad limitada de datos y cifras
aproximadas, permite reforzar los argumentos o conclusiones
de una investigación presente. 
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Materiales y Reactivos
1 Mechero, triple y tela 1 probeta de 100mL
2 vasos de 150mL 
1 Piceta y agitador 
1 baño maría Cloruro de sodio (NaCl)
1 termómetro Hielo
1 balanza granataria Agua destilada
Metodología
1.- Pesar en la balanza granataria 150g de cloruro de sodio.
2.- Medir 50mL de agua destilada y colocarlos en el vaso de 150mL, 
enfriar en un baño de hielo a 0°C, saturar con cloruro de sodio.
3.- Pesar de nuevo el cloruro de sodio, y por diferencia determinar el 
peso de cloruro de sodio necesario para saturar los 50mL de agua 
destilada.
4.-Repetir los pasos 2 y 3, para las temperaturas de: 20, 40, 60, 80 y 
100°C.
Resultados:
Gramos de 
NaCl(y)
Temperatura(x)
1 1.1g 0°
2 1.5g 20°
3 3.1g 40°
4 4g 60°
5 5.9g 80°
6 8g 90°
Peso del vaso 108.1g+150g de NaCl=258.1g
258.1-257=1.1
258.1-256.6=1.5
258.1-255=3.1
258.1-254.1=4
258.1-252.12=5.9
258.1-250.1=8
4
0 20 40 60 80 90
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.1
1.5
3.1
4
5.98
8
Temperatura vs gr de NaCl
Temperatura(°C)
So
lu
bi
lid
ad
(g
r d
e 
Na
Cl
)
Cálculos 
Gramos 
de 
NaCl(Yi)
Temperatura(Xi) Xi2 Yi2 Xi* Yi
1 1.1g 0° 0 1.21 0
2 1.5g 20° 400 2.25 30
3 3.1g 40° 1600 9.61 124
4 4g 60° 3600 16 240
5 5.9g 80° 6400 35.7604 478.4
6 8g 100° 8100 64 720
Total 290 23.68 20100 128.8304 1592.4
Nota: la temperatura más alta que se alcanzó fueron 90°C y 
se tomó como referente dicha temperatura, porque el sistema
ya no nos dejó llegar la temperatura deseada (100°C).
Sxx=∑
i=1
n
X i
2- ¿¿¿
Sxx=20100 - (290)
2
6 =20100 - 
84100
6
Sxx=6083.333333
5
Syy=∑
i=1
n
Y i
2- ¿¿¿
Syy=128.8304 - (23.68)
2
6 =128.8604 - 
560.7424
6
Syy=35.37333333
Sxy=∑
i=1
n
(X i)(Y i)- ¿¿
Sxy=1592.4 - (290)(23.68)6 =1592.4 - 
6867.2
6
Sxy=447.866667
b=SxySxx=
447.866667
6083.333333=0.07362191787
b) Determine el coeficiente de correlación (r)
r= Sxy√Sxx∗Syy
r= 447 .866667(6083 .333333)(35.37333333)=
447 .866667
463 .8833665
r=0.965472572
c) Determine la ecuación de la recta.
Y=∑i=1
n
Y i
n
 X=∑i=1
n
X i
n
Y=23.686 =3.946666667 X=
290
6
=¿48.33333333
a=Y - bX
a=3.946666667 – (0.07362191787)(48.33333333)
a=0.3882739702
y=a + bx
y=0.3882739702 + (0.07362191787)X Ecuación de la 
recta
6
d) Determine la desviación de la pendiente y sobre la 
regresión.
Sr=√ Syy−b2Sxxn−2
Sr=√ 35.37333333−(0.07362191787 )2(6083.333333)6−2
Sr=0.774682249 
Sb=√ S r2Sxx
Sb=√ (0 .774682249)26083 .333333 = √ 0.6001325876083 .333333
Sb=9.932367905x10-3 
e) con la ecuación de la recta calcule las Y i, y 
grafique nuevamente para obtener la curva de 
regresión ajustada.
Ecuación de la recta:
Y=0.3882739702 + (0.07362191787)X
Para X=0°
Y=0.3882739702 + (0.07362191787)(0)
Y=0.3882739702= 0.398
Para X=20°
Y=0.3882739702 + (0.07362191787)(20)
Y=1.860712328=1.960 
Para X=40°
Y=0.3882739702 + (0.07362191787)(40)
Y=3.333150685=3.333
Para X=60°
Y=0.3882739702 + (0.07362191787)(60)
Y=4.805589042=4.905
Para X=80°
Y=0.3882739702 + (0.07362191787)(80)
7
Y=6.2780274=6.288
Para X=90°
Y=0.3882739702 + (0.07362191787)(90)
Y=7.014246579=7.014
n Temperatura(°C) 
X
Solubilidad gr 
de NaCl (Y)
1 0 0.398
2 20 1.960
3 40 3.333
4 60 4.905
5 80 6.288
6 90 7.014
0 20 40 60 80 90
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.398
1.96
3.333
4.905
7.014
Curva de regresión Ajustada 
Temperatura(°C)
So
lu
bi
lid
ad
(g
r d
e 
Na
Cl
)
f) ¿Qué cantidad de NaCl se disuelven en 100mL de agua 
destilada a 50°C?
8
Y=0.3882739702+ (0.07362191787)(50°C)
Y=0.3882739702+ 3.681095894
Y=(4.069369864)(2)=8.138739727gr de NaCl para 100mL
También puede calcularse por interpolación:
fx X
f(X0) X0
 f(X) X
f(X1) X1
 
f(x)= X−X1X0−X1 f (X ¿¿0)¿+
X−X0
X1−X 0
f (X¿¿1)¿
f(x)=50−6040−60 f (¿3 . 333)¿+
50−40
60−40
f (¿4 .905)¿
f(X)= (0.5)(3.333)+(0.5)(4.905)
f(X)=4.119 La cantidad de NaCl que se disolverá a 
50°C.
A 100mL (4.119)(2)= 8.238gr de NaCl en 100mL. 
g) ¿A qué temperatura la solubilidad de NaCl será de 33g 
por 100mL de agua?
Y=0.3882739702+ (0.07362191787)X
X=33−0.38827397020.07362191787 =
32.61172603
0.07362191787
fx X
3.333 40
 ¿? 50
4.905 60
9
X=442.962°C para 50 mL
Lo pide a 100mL, entonces:
(442.962)(2)=885.924°C  a 100 mL se diluye 33 gr de 
NaCl. 
Conclusión
Esta técnica estadística resulta útil para el análisis de las
variables de un proceso, ya que a través de la aplicación de
ésta, es posible conocer errores aleatorios por ejemplo.
En esta práctica se observó que los resultados de diferencia
fueron pequeños, así como la cantidad de NaCl para saturar
a diferentes temperaturas. A 90°C se llegó a 8 gramos de
NaCl, no se alcanzaron los 100°C puesto que las condiciones
no lo permitieron, se tomó tiempo llegar a los 90°C así como
también en un inicio llegar a los 0°C.