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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE 
CARTAGENA 
 
Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial 
 
 
 
Optimización multi-objetivo en 
procesado de alimentos. Caso de 
estudio de la fritura de patatas 
 
 
TRABAJO FIN DE MASTER 
 
MASTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA INDUSTRIAL 
 
 
Autor: Carmen María Ruiz Sáez 
Directores: María Muñoz Guillermo 
Alberto Garre Pérez 
Codirector 
externo: 
Jose Alberto Egea Larrosa 
 
 
Cartagena, Septiembre 2023 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Agradecimientos 
En primer lugar, quiero agradecer a José Alberto Egea Larrosa la confianza que ha 
depositado en mí a lo largo de toda mi carrera universitaria, dirigiendo mi trabajo fin de 
carrera y guiando mi trabajo fin de máster. Sin duda alguna, este trabajo no habría visto 
la luz sin su apoyo y su constante atención y dedicación. Además de director, ha sido un 
amigo. 
También quiero dar las gracias a María Muñoz Guillermo por aceptar ser mi directora, 
por la paciencia que ha tenido conmigo y por su soporte, y a Alberto Garre Pérez por no 
dudar en unirse a este proyecto y por su guía. 
En el terreno personal, quiero resaltar el apoyo incondicional de mi familia a lo largo de 
mi etapa universitaria. A mis padres, Pedro y Carmen, por mantener firme su confianza 
en mí, incluso en los momentos de dudas. A mi hermana, Almudena, por ser un pilar 
fundamental en mi vida tanto personal como académica. A mi cuñado, Julio, por estar 
ahí cada vez que lo he necesitado. A mi bebé, Adrián, por darme el empujón definitivo 
para finalizar este trabajo. Por último, pero no menos importante, a mi pareja, 
Alejandro, por motivarme y comprenderme en todo momento. 
 
Muchas gracias a todos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Índice 
Índice de Figuras ................................................................................................................ v 
Índice de Tablas ................................................................................................................ vi 
1. Motivación y objetivos .............................................................................................. 1 
2. Resumen .................................................................................................................... 3 
3. Introducción .............................................................................................................. 4 
3.1. Optimización multiobjetivo en Ingeniería de alimentos ................................... 5 
4. Optimización multiobjetivo ....................................................................................... 7 
4.1. Formulación matemática del problema ............................................................ 7 
4.2. Métodos de resolución ...................................................................................... 7 
4.2.1. Método de la suma ponderada .................................................................. 9 
4.2.2. Método de la restricción 𝜀 ......................................................................... 9 
4.2.3. Método de optimización evolutiva multiobjetivo (EMO) .......................... 9 
5. Caso de estudio ....................................................................................................... 13 
5.1. El proceso de fritura de patatas ....................................................................... 13 
5.2. Modelos matemáticos que describen el problema ......................................... 14 
5.2.1. Balance de energía ................................................................................... 14 
5.2.2. Contenido de humedad ............................................................................ 16 
5.2.3. Propiedades ópticas: Amarillez (yellowness) ........................................... 17 
5.2.4. Acrilamida. Correlación con redness ........................................................ 18 
5.2.5. Resumen de variables, unidades y valores numéricos del caso de estudio
 21 
5.3. Plataforma de computación y paquetes utilizados ......................................... 23 
6. Resultados y discusión ............................................................................................ 27 
6.1. Optimización mono-objetivo y análisis de los perfiles y dinámicas ................ 27 
6.1.1. Balance Energético ................................................................................... 27 
6.1.2. Yellowness ................................................................................................ 30 
6.2. Optimización multiobjetivo ............................................................................. 31 
6.2.1. Resolución por el método de la suma ponderada ................................... 32 
6.2.2. Resolución por el método de la restricción 𝜀 ........................................... 34 
6.2.3. Resolución por el método NSGA-II ........................................................... 36 
6.2.4. Análisis de las soluciones .......................................................................... 37 
iv 
 
7. Conclusiones............................................................................................................ 41 
8. Bibliografía .............................................................................................................. 43 
Anexo I. Soluciones del frente de Pareto proporcionadas por NSGA-II ......................... 47 
Anexo II. Código .............................................................................................................. 52 
 
 
 
 
 
 
 
 
v 
 
Índice de Figuras 
Figura 1. Patatas fritas en freidora de aceite ................................................................... 2 
Figura 2. Ilustración del tipo de soluciones en un problema de optimización 
multiobjetivo con dos objetivos a minimizar .................................................................... 8 
Figura 3. Esquema del procedimiento NSGA-II. Fuente (Deb and Deb, 2014) ............... 10 
Figura 4. Correlación acrilamida-parámetro redness. Figura de (Mesias et al., 2019) 
adaptada. Valores críticos representados por la línea roja ........................................... 18 
Figura 5. Efecto de las condiciones de fritura en el parámetro “a” de las patatas fritas. 
Extraída de (M.K. Krokida et al., 2001) ........................................................................... 19 
Figura 6. Ilustración ejemplo de una freidora Premium para uso en grandes cocinas .. 23 
Figura 7. Curvas de nivel de la región factible del balance de calor frente a tiempo y 
temperatura.................................................................................................................... 27 
Figura 8. Curvas de nivel de la región factible yellowness frente a tiempo y temperatura
 ........................................................................................................................................ 30 
Figura 9. Soluciones del frente de Pareto mediante el método de la suma ponderada. El 
color de los puntos representa el valor de la restricción de contenido en humedad en 
base seca ........................................................................................................................ 33 
Figura 10. Soluciones del frente de Pareto mediante el método de la restricción 𝝐. El 
color de los puntos representa el valor de la restricción del contenido en humedad en 
base seca ........................................................................................................................ 35 
Figura 11. Soluciones del Frente Pareto obtenidas con el método NSGA-II. El color de los 
puntos representa el valor de la restricción del contenido en humedad en base seca .. 36 
Figura 12. Comparación de los frentes de Pareto obtenidos por los métodos restricción𝜖 y NSGA-II ..................................................................................................................... 37 
Figura 13. Soluciones del Frente Pareto obtenidas con el método NSGA-II. El color de los 
puntos representa el valor de la restricción de redness. ................................................ 38 
Figura 14. Soluciones del frente de Pareto proporcionadas por NSGA-II en el espacio de 
las variables de decisión. El color de los puntos representa el valor de las restricciones: 
Contenido en humedad en base seca (arriba) y redness (abajo). .................................. 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vi 
 
Índice de Tablas 
Tabla 1. Pseudocódigo de NSGA-II. Fuente (Matnei Filho and Vergilio, 2016) .............. 11 
Tabla 2. Parámetros de las ecuaciones presentadas ..................................................... 22 
Tabla 3. Métodos matemáticos utilizados en la resolución de la propuesta ................. 24 
Tabla 4. Contribución de los distintos términos del balance de calor para diferentes 
combinaciones de tiempo y temperatura. ...................................................................... 28 
Tabla 5. Soluciones del frente de Pareto mediante el método de la suma ponderada. . 33 
 
 
1 
 
1. Motivación y objetivos 
La mejora de la eficiencia de procesos industriales es uno de los objetivos clave en el 
desarrollo profesional de la ingeniería. Esta mejora redunda en productos de más 
calidad, más sostenibles, reducción de costes y, en muchas ocasiones, en el avance del 
conocimiento del propio proceso. El análisis puede llevarse a cabo usando herramientas 
matemáticas cuantitativas que describan el proceso en función de distintas condiciones 
de operación y/o diseño y permitan, por tanto, predecir qué condiciones serán las 
óptimas según los objetivos planteados. En la optimización matemática de procesos se 
requiere tanto de modelos matemáticos que describan el proceso como de 
herramientas de optimización numérica. “Por ello, se están estudiando y consolidando 
sofisticados métodos y estrategias de optimización, control y automatización de 
procesos que buscan explotar el máximo potencial de las unidades involucradas” (Peña, 
2015). 
En el caso de procesos relacionados con la industria alimentaria, la optimización, a la 
que hacíamos referencia, es especialmente crítica por los altos estándares de calidad y 
robustez exigidos, ya que entran en juego variables fundamentales como la calidad 
nutricional y la seguridad alimentarias, que inciden directamente en la salud de los 
consumidores. En estos procesos suelen aparecer restricciones de seguridad, calidad y/o 
medioambientales que hacen que su optimización sea especialmente compleja. 
Adicionalmente, los modelos que describen los procesos alimentarios suelen ser no 
lineales y dinámicos, son procesos muy complejos que necesitan modelos complejos. 
Por otro lado, suelen contemplar más de un objetivo a la vez. Todo esto hace necesario 
recurrir a herramientas numéricas avanzadas. 
En este trabajo abordaremos la optimización multiobjetivo de un proceso de fritura de 
patatas (Figura 1), de interés tanto a nivel industrial y de restauración como doméstico, 
considerando dos objetivos: minimización del coste energético y maximización de un 
parámetro de calidad alimentaria cuyo indicador está relacionado con el color del 
producto. A este problema se han añadido dos restricciones adicionales: una de calidad 
relacionada con el contenido de humedad final en la patata (y por tanto con su textura), 
y otra de seguridad relacionada con la formación de acrilamida, controlada a través de 
su correlación con otro parámetro de color, distinto al que mide la calidad. 
2 
 
 
Figura 1. Patatas fritas en freidora de aceite 
Por tanto, nuestro objetivo visto desde un punto de vista general puede describirse 
como la optimización de un proceso industrial haciendo uso tanto de la modelización 
matemática como de la optimización numérica. En nuestro caso, este objetivo se plasma 
en un caso particular, más concretamente, en el proceso de fritura de patatas, que es 
un como veremos, un proceso complejo, no lineal y multiobjetivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
2. Resumen 
En este trabajo se ha abordado la optimización multiobjetivo de un proceso de fritura 
de patatas en aceite. Para ello utilizaremos la modelización matemática, así como 
diversos recursos computacionales. Los objetivos considerados han sido el coste 
energético del proceso, que asimismo influye directamente en el coste económico y 
medioambiental, y un parámetro de calidad relacionado con el color del producto final 
denominado “yellowness” (amarillez en castellano). Las variables de diseño a considerar 
han sido la temperatura de fritura y el tiempo empleado en el proceso de fritura a 
temperatura constante. El objetivo energético ha sido a su vez subdividido en varios 
términos: calentamiento de aceite de temperatura ambiente a temperatura de trabajo, 
calentamiento del contenido de agua de la patata, calor latente de vaporización de parte 
de dicho contenido, calor sensible de calentamiento de la materia seca de la patata y 
pérdidas por radiación. 
En cuanto a las restricciones consideradas en el problema de optimización, se han 
añadido dos basadas en los datos aportados por la bibliografía relacionada: contenido 
de humedad del producto final, que debe ser inferior al 70% para asegurar una textura 
adecuada, y valor de otro parámetro de color, “redness”, que muestra una alta 
correlación con el compuesto tóxico acrilamida, el cual se forma en muchos procesos a 
alta temperatura con productos que contienen hidratos de carbono y asparagina, como 
es el caso de la patata. 
Todos estos objetivos y restricciones están descritos por modelos matemáticos 
dinámicos basados en balances de calor, de materia, relaciones semi-empíricas y 
ecuaciones cinéticas que se han usado en la formulación del problema multiobjetivo y 
que hemos resuelto con tres algoritmos de optimización numérica específicos para este 
tipo de problemas: suma ponderada, restricción ε y NSGA-II. 
Como pasos previos, hemos realizado un análisis individual de las funciones objetivo y 
de las restricciones mediante simulación y optimización, en este caso mono-objetivo, en 
el rango de temperatura y tiempo, para analizar sus dinámicas y sensibilidad a cambios 
en dichas variables. Como veremos, se modelizan relaciones de parámetros con la 
temperatura en base a datos experimentales para ser incluidos en la optimización e 
incluso se re-parametriza uno de los modelos de la bibliografía para hacerlo más robusto 
en las condiciones de trabajo consideradas. 
Los resultados de la aplicación de esta metodología se muestran en el frente Pareto de 
soluciones no dominadas (en las que un objetivo no puede ser mejorado sin perjudicar 
al otro) como herramienta de decisión para diseñadores de este tipo procesos. 
El análisis de las soluciones indica que casi no existen soluciones que requieran 
tratamientos a bajas temperaturas y tiempos cortos, y tampoco para temperaturas 
superiores a 185 ºC. La mayoría de las soluciones se sitúan en el tiempo máximo (600 
segundos) donde el cambio de temperatura es el factor decisivo en la selección del 
frente de Pareto. 
4 
 
3. Introducción 
En el campo de la ingeniería, la exigencia cada vez mayor de reducir los costes de 
producción para hacer frente a la competencia mundial ha conducido a la búsqueda de 
métodos rigurosos de toma de decisiones, como los métodos de optimización, para 
diseñar y producir productos y sistemas de forma económica y eficiente (Rao, 2009). En 
los procesos productivos modernos existen otros objetivos a perseguir relacionados con 
la calidad, sostenibilidad y seguridad que son cada vez más demandados y valorados por 
los consumidores. Como concepto básico, “la optimización consiste en elegir la mejor 
alternativa entre un conjunto específico de alternativas”,(Erdoğdu, 2008) 
La optimización implica una tarea eficiente y sistemática que debe tener en cuenta los 
siguientes elementos (Banga et al., 2003): 
 Se necesita una función objetivo que proporcione una medida de rendimiento 
cuantitativa escalar que deba minimizarse o maximizarse. Este puede ser, como 
ejemplo el coste o la sostenibilidad del sistema, así como otras o combinaciones 
de las mismas. Como ejemplo, en un problema de optimización en una planta de 
tratamiento de aguas residuales se puede formular el objetivo de máxima 
calidad del efluente o mínimo gasto energético. 
 Se requiere un modelo predictivo que describa el comportamiento del sistema y 
que consta de una serie de ecuaciones y variables que proporcionan salidas o 
resultados en función de los valores que toman estas variables. Estos modelos 
pueden ser mecanísticos, basados en balances de materia, energía, momento así 
como en cinéticas químicas, o empíricos, reflejando relaciones cuantitativas 
entre variables basadas en datos (por ejemplo, modelos de regresión). En 
muchos casos de aplicación reales se combinan los modelos mecanísticos con los 
empíricos. 
 Las variables que aparecen en el modelo predictivo simbolizan todas las 
magnitudes que están influyendo en las respuestas. En el ejemplo anterior de 
tratamiento de aguas residuales, algunos ejemplos de variables pueden ser la 
potencia de aireación, la altura del decantador de lodos u otras de naturaleza 
binaria como por ejemplo la apertura de una válvula de purga (sí/no). Las 
variables no deben confundirse con los parámetros, que son valores 
generalmente invariantes con el tiempo y caracterizan propiedades 
físico/químicas. Un ejemplo de parámetro puede ser la carga inicial de nitrógeno 
que lleva el agua residual, o el orden de reacción en una reacción redox. 
 En los problemas de optimización suelen aparecer unas funciones adicionales a 
la función objetivo denominadas restricciones que definen resultados que son 
no factibles por razones técnicas, medioambientales o de otro tipo. En el ejemplo 
anterior, una restricción podría ser que la cantidad de un contaminante en 
concreto a la salida de la planta no puede ser superior a un límite establecido en 
la legislación. O que la potencia eléctrica derivada de aireación y bombeo no 
puede ser superior a la capacidad de la planta. 
 
5 
 
3.1. Optimización multiobjetivo en Ingeniería de alimentos 
La ingeniería alimentaría ha recibido un creciente interés por sus implicaciones a nivel 
económico y sanitario. Siguiendo a Erdoğdu: 
 “La ingeniería alimentaria ha cobrado cada vez más importancia en las dos últimas 
décadas. Se han utilizado modelos matemáticos para comprender mejor y mejorar las 
operaciones de procesado de alimentos, y en este concepto han desempeñado un papel 
importante diversos enfoques de optimización. Como resultado, se ha producido un 
aumento espectacular de la eficacia y fiabilidad de los métodos de optimización para 
diferentes categorías de problemas”, (Erdoğdu, 2008) 
Las condiciones óptimas de funcionamiento en la industria alimentaria suelen buscarse 
para garantizar los máximos beneficios y la calidad del producto, con sujeción a las 
restricciones derivadas de cuestiones de seguridad alimentaria y, a menudo, de la 
normativa medioambiental. Sin embargo, la naturaleza dinámica, no lineal y altamente 
restringida de los modelos de procesamiento de alimentos puede convertir la 
optimización de estos procesos en una tarea compleja (Banga et al., 2003; García et al., 
2006). 
En la mayoría de los procesos industriales alimentarios suele haber más de un objetivo 
a optimizar como pueden ser la calidad del producto, el coste del proceso, la seguridad, 
la durabilidad, etc. En muchas ocasiones estos criterios suelen ser opuestos, como, por 
ejemplo, la economía del proceso, los parámetros de calidad o los índices 
medioambientales por lo que no hay una única solución óptima, no se pueden optimizar 
ambos criterios simultáneamente, sino que es necesario hacer una elección. El enfoque 
multiobjetivo se utiliza para encontrar el mejor conjunto de soluciones para un 
problema con múltiples objetivos. Estas soluciones se conocen como soluciones no 
dominadas u óptimas de Pareto (Steuer, 1986). Cada una de estas soluciones no tiene 
ninguna ventaja previa sobre otras soluciones óptimas de Pareto, por lo que el objetivo 
de la optimización multiobjetivo es generar tantas soluciones como sea posible para 
evaluar y priorizar las compensaciones óptimas entre los distintos objetivos (Abakarov 
et al., 2009). Existen numerosos ejemplos de enfoques multiobjetivo para resolver 
problemas de optimización en la industria de la ingeniería alimentaria. (Vilas et al., 2020) 
trataron de maximizar la calidad y seguridad de los alimentos mediante el desarrollo de 
sistemas inteligentes de envasado activo que optimizan el diseño del envase de los 
alimentos y la predicción de la vida útil prevista a lo largo de la cadena alimentaria. 
(Holdsworth and Simpson, 2016) obtuvieron un conjunto de soluciones Pareto-óptimas 
para el tiempo de procesado, la retención de calidad y la pérdida de textura bajo 
criterios específicos de la temperatura de procesado.(Gergely et al., 2003) utilizaron este 
enfoque para mejorar la filtración del vino. (Sendín et al., 2010) lo utilizaron para 
maximizar la retención de varios nutrientes y factores de calidad y minimizar el tiempo 
total del proceso. (Kiranoudis and Markatos, 2000) consideraron el enfoque 
multiobjetivo para diseñar el proceso de un secadero de cinta transportadora utilizando 
no sólo variables estructurales y operativas del proceso, sino también la calidad de las 
patatas tratadas. En la misma línea, (Olmos et al., 2002) utilizaron este enfoque para 
optimizar el tiempo de secado maximizando la calidad del producto y (Winiczenko et al., 
2018) estudiaron el efecto de la temperatura de secado y la velocidad del aire sobre los 
6 
 
parámetros de calidad de la manzana, como la diferencia de color, la relación de 
volumen y la capacidad de absorción de agua en el secado convectivo. Recientemente, 
(Peñalver-Soto et al., 2022) llevaron a cabo la optimización multiobjetivo de un proceso 
de fritura de patata para optimizar simultáneamente unos parámetros de calidad y 
adicionalmente el contenido en acrilamida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
4. Optimización multiobjetivo 
4.1. Formulación matemática del problema 
Las Ecuaciones (1)-(3) definen la formulación matemática general de un problema de 
optimización multiobjetivo dinámico donde algunas de las variables cambian con el 
tiempo: 
 min 𝐹(x(𝑡𝑓), v) 
 v 
(1) 
 
Sujeto a: 
 𝑔(x(𝑡𝑓), v) ≤ 0 (2) 
 
 v𝐼 ≤ v ≤ v𝑆 (3) 
donde el vector de funciones objetivo F (Ecuación (1)), contiene todos los objetivos 
considerados en el problema; x(𝑡𝑓) es el vector de variables de estado (por ejemplo, la 
amarillez), que en este trabajo se evalúa al finalizar el proceso, esto es, a tiempo final; v 
es el vector de variables de decisión, como por ejemplo la temperatura y el tiempo total 
de proceso en nuestro caso de estudio. La ecuación (2) representa las restricciones de 
desigualdad, que aquí son consideradas al final del proceso (aunque en otras 
aplicaciones podrían evaluarse en otros tiempos). Por último, la ecuación (3) 
corresponde a los límites inferior y superior de las variables de decisión. 
 
4.2. Métodos de resolución 
Cuando se definen múltiples objetivos en un problema de optimización, se pretende 
obtener no una única solución óptima sino el conjunto de soluciones óptimas según 
todos los objetivos. Estas soluciones se conocen como soluciones no dominadas u 
óptimas de Pareto (Steuer, 1986), que pueden definirse como aquellas que forman el 
conjunto en el cual ninguna solución puede ser mejorada en al menos un objetivo sin 
empeorar en al menos otro objetivo. Es decir, considerando el problema general de 
optimización min
𝑋
𝐹(𝑥),siendo 𝐹: ℝ𝑛 ⟶ ℝ𝑚, tal que 𝐹(𝑥) = (𝑓1(𝑥), 𝑓2,(𝑥), . . . , 𝑓𝑚(𝑥)) 
. Diremos que una solución 𝑥1 domina a otra solución 𝑥2 si 𝐹(𝑥1) ≤ 𝐹(𝑥2) y 𝑓𝑗(𝑥1) <
𝑓𝑗(𝑥2) para algún 𝑗 ∈ {1,2, . . . , 𝑚}. Obsérvese que, dadas dos soluciones, no 
necesariamente una debe dominar a la otra. La optimización multiobjetivo genera 
tantas soluciones como sea posible del frente de Pareto como herramienta de decisión 
para los operadores del proceso. 
La Figura 2 muestra el frente de Pareto y representa la frontera del espacio entre las 
soluciones factibles y no factibles. El frente de Pareto, donde se sitúan las soluciones no 
dominadas (en verde) representa la frontera de factibilidad del problema. No es posible 
8 
 
encontrar soluciones más allá de ese frente. En el caso particular de la Figura 2, donde 
se pretenden minimizar dos objetivos, no es posible encontrar soluciones bajo el frente 
de Pareto. Frecuentemente se llama “solución utopía” (en rojo) a aquella que 
teóricamente produciría el valor óptimo en ambas soluciones por separado. En amarillo 
se representan las soluciones dominadas, esto es, aquellas en las que un objetivo puede 
ser mejorado sin perjudicar el otro. Estas soluciones son sub-óptimas desde el punto de 
vista de la optimización multiobjetivo. 
 
Figura 2. Ilustración del tipo de soluciones en un problema de optimización multiobjetivo con 
dos objetivos a minimizar 
El frente de Pareto sólo se puede calcular analíticamente en problemas muy simples. En 
la mayoría de casos industriales, que tratan problemas complejos, es necesario recurrir 
a aproximaciones numéricas para su obtención. 
Existen varios métodos para resolver estos problemas. Esta tesis recoge de forma breve 
dos métodos clásicos y un método evolutivo que son los que se han contemplado en el 
desarrollo de los estudios. Para un listado exhaustivo de métodos de resolución de 
optimización multiobjetivo se puede consultar, por ejemplo el trabajo de Marler y Arora 
(Marler and Arora, 2004) 
 
 
9 
 
4.2.1. Método de la suma ponderada 
El método de la suma ponderada, como su nombre indica, convierte un conjunto de 
objetivos en un único objetivo multiplicando previamente cada objetivo por un peso 
proporcionado por el usuario. Es habitual normalizar las funciones objetivo previamente 
para evitar sesgos por posibles diferencias en órdenes de magnitud de las unidades. Se 
forma una función objetivo compuesta sumando los objetivos normalizados ponderados 
y el problema se convierte en un problema de optimización de un solo objetivo. Los 
valores de los pesos que ponderan los objetivos se van variando, resolviendo cada vez 
un problema de optimización de un solo objetivo para generar así diferentes puntos del 
frente Pareto. Cabe destacar que diferentes combinaciones de los pesos pueden 
conducir al mismo punto del frente de Pareto y que este método puede ser poco 
eficiente con funciones objetivo y/o restricciones no lineales. Para más información 
sobre este método consultar, por ejemplo (Chankong and Haimes, 2008). 
 
4.2.2. Método de la restricción 𝜺 
Este método mejora al de la suma ponderada en problemas con espacios de objetivos 
no convexos. (Haimes et al., 1971) reformularon el problema de la suma ponderada 
manteniendo sólo uno de los objetivos y restringiendo el resto de los objetivos dentro 
de los valores especificados por el usuario según el parámetro εi, que representa un 
límite superior del valor de cada objetivo re-definido como restricción. Una de las 
dificultades de este método es que la solución del problema planteado depende en gran 
medida del vector ε elegido, en algunos casos el problema no tendrá solución. Una 
aproximación inicial consiste en realizar optimizaciones mono-objetivo con cada uno de 
los objetivos para tener una idea aproximada de qué valores mínimos puede alcanzar 
cada uno. Como en el método descrito anteriormente, el problema se resuelve muchas 
veces cambiando los valores de εi. 
 
4.2.3. Método de optimización evolutiva multiobjetivo (EMO) 
El método de optimización utilizado en este trabajo es el denominado Non-dominated 
Sorting Genetic Algorithm - NSGA-II (Deb et al., 2002) que realiza un procedimiento de 
ordenación no dominante usando conceptos de algoritmos genéticos. Los algoritmos 
genéticos (Goldberg, 1989) son métodos de optimización denominados como evolutivos 
en los que se generan una serie de soluciones en cada iteración, derivadas de las de la 
iteración anterior, y las sustituyen si las mejoran. Esta mejora suele estar basada en 
principios de calidad (mejoran valores de función objetivo) o diversidad. 
Los algoritmos de segunda generación, como es el caso de NSGA-II, enfatizan la 
eficiencia computacional. Se busca vencer la complejidad de la jerarquización de Pareto 
(O( kM2)), donde k es el número de funciones objetivo y M es el tamaño de la población) 
y de las técnicas tradicionales de nichos (O (M2)) (Coello Coello et al., 2007). 
NSGA-II trabaja utilizando un principio elitista (las mejores soluciones siempre son las 
que pasan a la siguiente generación), utiliza un mecanismo explícito de preservación de 
10 
 
la diversidad (para evitar que todas las soluciones converjan a una única y tener así un 
frente de Pareto lo más amplio posible) y hace hincapié en las soluciones no dominadas. 
El esquema del procedimiento del algoritmo se observa en la Figura 3. 
 
Figura 3. Esquema del procedimiento NSGA-II. Fuente (Deb and Deb, 2014) 
Siguiendo el esquema, la población de descendientes, llamada Qt, se crea utilizando la 
población de progenitores Pt. Una vez generada la población de descendientes, se 
combina con la población de progenitores para formar Rt, de tamaño 2N (donde N es el 
tamaño de la población o número de soluciones que pasan a la siguiente generación). A 
continuación, se realiza una clasificación no dominante y la nueva población se rellena 
con soluciones de diferentes frentes no dominantes, de uno en uno, comenzando con 
el mejor frente no dominante y continuando con soluciones del segundo frente no 
dominante, seguido por el tercer frente no dominante, y así sucesivamente. Tras esa 
ordenación, solo las primeras N soluciones pasan a la siguiente generación como 
progenitores Pt+1. Cabe destacar que los miembros del último frente aceptable que 
pasan a la siguiente generación, se eligen según un criterio de máxima diversidad, no de 
calidad. El proceso se repite iterativamente durante un cierto número de evaluaciones 
o de tiempo de computación obteniendo finalmente un frente de soluciones que en 
muchos casos es el frente de Pareto. NSGA-II ha sido aplicado con éxito a un gran 
número de problemas de ingeniería como se refleja en la reciente revisión de (Ma et al., 
2023). 
En la Tabla 1 se detalla el pseudocódigo del algoritmo NSGA-II donde se muestra cómo 
se inicializa el algoritmo, cómo se genera la población descendiente con la función “non 
dominated sorting”, clasificación no dominante, y cómo se clasifica por distancia de 
aglomeración, “crowding distance sorting”. 
 
 
 
11 
 
Tabla 1. Pseudocódigo de NSGA-II. Fuente (Matnei Filho and Vergilio, 2016) 
Método NSGA-II 
Input: N’, g, fk(X) N’ miembros evolucionan a g generaciones para resolver fk(X) 
1 Inicializar población P’; 
2 Generar población aleatoria – tamaño N’; 
3 Evaluar valores objetivos; 
4 Asignar rango (nivel) basado en el frente de Pareto; 
5 Generar población de descendientes; 
6 Selección de elementos a combinar; 
7 Recombinación y Mutación; 
8 for i=1 hasta g do 
9 for cada Progenitor y Descendiente en la población do: 
10 Asignar rango (nivel) basado en el frente de Pareto; 
11 Generar conjuntos de soluciones no-dominadas; 
12 Determinar distancia de aglomeración; 
13 Bucle (interior) añadiendo soluciones a la siguiente generación a partir de la 
primera hasta N’ individuos; 
14 end 
15 Seleccionarlos puntos de la parte frontal inferior con una distancia de 
aglomeración elevada 
16 Crear siguiente generación; 
17 Selección de elementos a combinar; 
18 Recombinación y Mutación; 
19 end 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
5. Caso de estudio 
5.1. El proceso de fritura de patatas 
El presente estudio se centra en el proceso de la fritura de las patatas fritas. Siendo la 
patata uno de los cuatros cultivos alimenticios más importantes del mundo no es de 
extrañar que a lo largo de los años se hayan desarrollado múltiples maneras de cocinarla 
para aprovechar su sabor y beneficios nutricionales. Entre las técnicas más usadas en la 
elaboración de alimentos se encuentra la fritura. Las patatas fritas se han convertido en 
uno de los acompañamientos indispensables en las mesas de los usuarios. En 2022 en 
España, el consumo de patatas fritas, junto con otros aperitivos salados supuso el 55,1% 
del volumen de aperitivos consumidos, según el informe del consumo alimentario en 
España, emitido por el Ministerio de Agricultura, Pesca y Alimentación del Gobierno de 
España (MAPA, 2022) 
Además de tratarse de un producto culinario casi del día a día en los hogares, es un 
elemento clave de venta en las franquicias de restaurantes de comida rápida como 
McDonald’s, Burger King, KFC, entre otros. La alta popularidad y consumo de este 
producto justifica la necesidad de avanzar en el conocimiento y mejorar el proceso. 
Según (M K Krokida et al., 2001), en los últimos años el término “calidad” considerado 
como una serie de parámetros del material de fritura, se ha vuelto necesario para 
predecir el tiempo de fritura y para modelar el proceso. Muchos estudios se han 
centrado en análisis particulares de alguna propiedad del producto en el contexto del 
proceso de fritura, pero dada la complejidad del mismo se recomienda un enfoque 
integrado que considere todos los aspectos simultáneamente (Saguy and Dana, 2003). 
A continuación, se detallan algunas de las propiedades relacionadas con la calidad de la 
patata frita. 
 Contenido de humedad. En el proceso de la fritura, las altas temperaturas 
generan una evaporación del agua haciendo que el alimento absorba el aceite. 
Se trata de una propiedad importante de calidad por su correlación con la textura 
de la patata. Como es de esperar, la pérdida de agua incrementa con la 
temperatura y el tiempo de fritura. 
 Contenido de aceite. En los últimos años el contenido de aceite se ha convertido 
en uno de los parámetros de calidad más importantes de las patatas fritas debido 
a la preocupación de los consumidores por adquirir productos bajos en grasas. 
Generalmente un proceso de fritura severo, a temperaturas altas, disminuye la 
absorción de aceite. 
 Color. El color de la patata frita es uno de los factores de calidad más 
significativos. La percepción visual constituye el principal factor de selección de 
un alimento ya que, en primera instancia, proporciona información de la buena 
o mala calidad del producto. Por otro lado, (Pedreschi, 2012) indica en su trabajo 
que “la concentración de acrilamida muestra una buena correlación lineal con el 
color de las patatas fritas”. Es también, por este motivo, que el color de la patata 
adquiere tanta importancia. 
 Propiedades mecánicas. El crujiente y la dureza son algunas de las propiedades 
físicas más importantes. Los procesos químicos relacionados con la transferencia 
14 
 
de calor y masa que tienen lugar durante la fritura afectan a las propiedades 
mecánicas de la patata. 
 Porosidad y volumen. Son también propiedades importantes por su correlación 
con las propiedades mecánicas. 
 Rugosidad. Esta propiedad física afecta a los procesos de transferencia de calor 
y masa relacionados con las superficies de los alimentos. 
 
De entre todas las propiedades descritas previamente, el presente trabajo se centra 
principalmente en el contenido de humedad y en el color, tanto por su relación con la 
apariencia visual (calidad) como por su relación con el contenido en acrilamida 
(potencial toxicidad). 
 
5.2. Modelos matemáticos que describen el problema 
5.2.1. Balance de energía 
En todo proceso industrial, el coste monetario de producción/fabricación es uno de los 
parámetros más importantes de controlar y reducir. 
El coste asociado a la fritura de la patata está relacionado con la energía necesaria para 
llevar a cabo tal transformación, ya que la facturación energética dependerá a su vez de 
la potencia necesaria. 
La energía, evaluada en kJ, constará de cuatro términos que componen el balance de 
calor, según indica la Ecuación (4). 
 𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 + 𝐸4 (4) 
El primer término, 𝐸1, representa la energía requerida para calentar el aceite desde su 
temperatura inicial, que coincide con la temperatura ambiente, Tamb (C), hasta la 
temperatura de trabajo, T(C). De este modo, es preciso conocer el volumen de aceite 
que se introduce en la freidora, 𝑉 (cm3), su densidad, 𝜌𝑎𝑐𝑒 (kg/ cm
3) y su capacidad 
calorífica, 𝐶𝑃,𝑎𝑐𝑒 (kJ/kgC), (Moran and Shapiro, 2004). 
 𝐸1 = 𝑉𝜌𝑎𝑐𝑒𝐶𝑃,𝑎𝑐𝑒(𝑇 − 𝑇𝑎𝑚𝑏) (5) 
El segundo sumando hace referencia a la energía necesaria para evaporar el agua de la 
patata. Durante la fritura, la patata va perdiendo agua por evaporación, permitiendo 
obtener un determinado nivel de crujiente. Esta evaporación viene definida por la 
Ecuación (6) , donde mwat es la masa de agua evaporada (kg), cv,wat, el calor latente de 
vaporización del agua (kJ/kg), mwat,ini la cantidad de agua al iniciar el proceso (kg) y 
mwat,fin la masa de agua al finalizar la fritura (kg). A su vez, mpat (kg) es la masa de patata 
que se introduce en la freidora, ℎ𝑢𝑚0,ℎ es el porcentaje de agua inicial en la patata en 
base humeda y ℎ𝑢𝑚𝑡,𝑇,ℎ es el porcentaje de agua en la patata en base húmeda cuando 
se la ha sometido a una temperatura 𝑇 (C ) durante un tiempo 𝑡 (s), (Moran and Shapiro, 
2004). 
15 
 
 𝐸2 = 𝑚𝑤𝑎𝑡𝑐𝑣,𝑤𝑎𝑡 = (𝑚𝑤𝑎𝑡,𝑖𝑛𝑖 − 𝑚𝑤𝑎𝑡,𝑓𝑖𝑛)𝑐𝑣,𝑤𝑎𝑡
= [(𝑚𝑝𝑎𝑡ℎ𝑢𝑚0,ℎ) − (𝑚𝑝𝑟𝑜𝑑ℎ𝑢𝑚𝑡,𝑇,𝑠)]𝑐𝑣,𝑤𝑎𝑡 
(6) 
El tercer componente de la Ecuación (4) muestra el calor sensible, que es la energía 
térmica asociada con el cambio en la temperatura de la patata. Es decir, es la cantidad 
de calor necesaria para aumentar la temperatura del producto desde la temperatura 
ambiente, Tamb (C) hasta 100C y de 100C a la temperatura de trabajo T(C), (Moran 
and Shapiro, 2004). En la Ecuación (7), mprod (kg) hace referencia al producto sólido, sin 
agua, por tanto se obtiene como la diferencia entre la masa de la patata, mpat y la 
cantidad de agua inicial, mwat,ini. 
 𝐸3 = 𝑚𝑝𝑟𝑜𝑑𝑐𝑝,𝑝𝑎𝑡,𝑇𝑎𝑚𝑏(100 − 𝑇𝑎𝑚𝑏) + 𝑚𝑝𝑟𝑜𝑑𝑐𝑝,𝑝𝑎𝑡,𝑇(𝑇 − 100) ; 
𝑚𝑝𝑟𝑜𝑑 = 𝑚𝑝𝑎𝑡 − 𝑚𝑤𝑎𝑡,𝑖𝑛𝑖 
(7) 
 
En la ecuación (7), cp,pat,Tamb (kJ/kgC) es la capacidad calorífica de la patata en el intervalo 
de temperatura de Tamb a 100ºC, y cp,pat,T (kJ/kgC) es su capacidad calorífica desde 100ºC 
hasta T. 
Durante el proceso de fritura, las pérdidas de energía se deben principalmente a la 
radiación al entorno. “Suponiendo que el aceite se comporta como un cuerpo negro con 
emisividad y factor de configuración iguales a la unidad, los valores máximos de pérdidas 
por radiación pueden estimarse a partir de la Ecuación (8)”, (Lioumbas et al., 2012). La 
ecuación original se ha adaptado multiplicando por el tiempo, t(s) para obtener la 
energía en kJ. Además, en esta ecuación, las temperaturas se introducen en grados 
Kelvin, T(K) y Tamb(K). 
 
𝐸4 = 𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠 = 𝜎𝐴[(𝑇)
4 − (𝑇𝑎𝑚𝑏)
4]
𝑡
1000
 (8) 
 
El parámetro σ es la constante de Stefan-Boltzmann (𝑊 (𝑚2 𝐾4))⁄ y A (m2) es el área 
del cuerpo emisor. En este caso, el área del cuerpo emisor hace referencia a la cara 
superior de la freidora donde el aceite entra en contacto con el ambiente. En el artículo 
de referencia, los autoresconsideraron que estas pérdidas se podían considerar 
despreciables en una primera aproximación. Sin embargo, a lo largo del presente trabajo 
las hemos tenido en cuenta para tener una mejor aproximación. 
 
 
 
 
16 
 
5.2.2. Contenido de humedad 
Muchos son los modelos matemáticos utilizados que podemos encontrar en la 
bibliografía para definir el proceso de la fritura de la patata. Por ejemplo, (Pedreschi et 
al., 2005) presentan en su libro la posibilidad de modelizar la pérdida de agua durante 
el proceso de fritura mediante dos modelos. El primero, basado en las leyes de Fick, 
supone un valor constante del coeficiente de difusión de la humedad, Deff. Por otro lado, 
el segundo modelo “considera que las propiedades físicas de la patata frita varían con 
los cambios de temperatura y humedad durante el proceso de fritura”, (Pedreschi et al., 
2005). Este segundo enfoque parece el más adecuado dada las propiedades del 
producto considerado y, especialmente, los grosores típicos de la patata frita comercial 
(entre 10 y 15 mm). Por esta razón, en el presente estudio, se ha optado por considerar 
el modelo semi-empírico propuesto por (Krokida et al., 2000), resumido en la Ecuación 
(9). 
 𝑋 = 𝑋𝑒 + (𝑋0 − 𝑋𝑒)𝑒
−𝑘𝑥𝑡 (9) 
 
Donde Xe, es el valor de la humedad en el equilibrio y se define según la Ecuación (10). 
 
𝑋𝑒 = 0.54 [
𝑇
170
]
−3.63
[
𝑑
10
]
0.89
 (10) 
Y kx (min-1), que es la contante cinética, se determina siguiendo la Ecuación (11). 
 
𝑘𝑥 = 0.78 [
𝑇
170
]
1.61
[
𝑑
10
]
−2.27
 (11) 
Donde d es el espesor de la patata frita en mm (en este trabajo d=10), t es el tiempo en 
minutos, T es la temperatura en C y X0 es el valor inicial de la humedad de la patata en 
base seca, que ha sido seleccionado como 3.9 g agua/g sólido según (Krokida et al., 
2000). 
Se ha de tener en cuenta que la Ecuación (9) maneja los valores de humedad en base 
seca (masa de agua entre masa de materia sólida), aun cuando en otras expresiones se 
contabiliza en base húmeda (masa de agua entre masa total). Para la conversión de una 
a otra se utiliza la Ecuación (12). 
 
ℎ𝑢𝑚𝑠 =
ℎ𝑢𝑚ℎ
(100 − ℎ𝑢𝑚ℎ)
 (12) 
Donde ℎ𝑢𝑚ℎ es la humedad en base húmeda expresada como porcentaje. Así pues, la 
humedad inicial considerada en este trabajo ℎ𝑢𝑚𝑠 = 3.9 como se indica más arriba, 
corresponde con un valor de ℎ𝑢𝑚ℎ = 79.6%. 
 
17 
 
5.2.3. Propiedades ópticas: Amarillez (yellowness) 
El color de los productos fritos es uno de los factores de calidad más tenidos en cuenta 
en la aceptación de un producto. Los factores que afectan a la cinética del color incluyen 
las condiciones de fritura, es decir, la temperatura del aceite, el tipo de aceite utilizado 
como medio de fritura, el grosor de la muestra y el tipo de pretratamiento (M. K. Krokida 
et al., 2001). 
Los espacios de color suelen modelar los colores que puede percibir el ojo humano. 
Aunque existen muchos espacios de color para modelizar la visión humana, uno de los 
más extendidos es el modelo cromático CIELAB, comúnmente conocido como LAB 
(Darge et al., 2019). El modelo LAB es un modelo tridimensional que viene definitivo por 
tres parámetros: 
 L, lightness. Representa la luminosidad del color en una escala de 0 (negro) a 100 
(blanco). 
 a, redness-greenness. Indica la posición entre el rojo (positivo) y el verde 
(negativo). 
 b, yellowness-blueness. Indica la posición entre el amarillo (positivo) y el azul 
(negativo). 
El modelo matemático descrito para la amarillez (b), por (M. K. Krokida et al., 2001) se 
resume con la Ecuación (13). 
 𝑏 = 𝑏𝑒 + (𝑏0 − 𝑏𝑒)𝑒
−𝑘𝑏𝑡 (13) 
 
Donde be, es el valor de la amarillez en el equilibrio y se define según la Ecuación (14). 
 
𝑏𝑒 = 36.2 [
𝑇
170
]
1.012
[
𝑑
10
]
−0.2
 (14) 
Y kb (min-1), que es la contante de velocidad, se determina siguiendo la Ecuación (15). 
 
𝑘𝑏 = 0.12 [
𝑇
170
]
2.49
[
𝑑
10
]
−0.44
 (15) 
De nuevo, d es el espesor de la patata frita en mm, t es el tiempo en minutos, T es la 
temperatura en C y b0 es el valor inicial de la amarillez, que ha sido seleccionado como 
20.55 según (M.K. Krokida et al., 2001). 
 
 
 
 
18 
 
5.2.4. Acrilamida. Correlación con redness 
Durante los tratamientos térmicos aplicados a los alimentos se puede dar lugar a la 
formación de productos químicos nocivos para la salud que es necesario controlar y 
limitar. Algunos de ellos, como la acrilamida, están clasificados como posible 
cancerígeno para el ser humano. La acrilamida es una sustancia química que se forma 
principalmente por la presencia de los azúcares y aminoácidos presentes en los 
alimentos ricos en almidón cuando éstos son sometidos a procesos de cocinado a alta 
temperatura. 
En 2017, la Comisión Europea estableció niveles de referencia para los alimentos más 
propicios en la formación de acrilamida, siendo 500 μg/kg el límite fijado para las patatas 
fritas. 
(Mesias et al., 2019) ajustaron en su artículo, mediante regresión lineal, el contenido de 
acrilamida con el parámetro de color rojez, a, Figura 4 . De este modo, en el presente 
trabajo se tratará de limitar el valor de redness ya que, en general, un incremento del 
parámetro rojez no es deseado porque está correlacionado con la formación de 
acrilamida. 
 
Figura 4. Correlación acrilamida-parámetro redness. Figura de (Mesias et al., 2019) adaptada. 
Valores críticos representados por la línea roja 
 
19 
 
Teniendo en cuenta el límite establecido por la Comisión Europea, el valor de redness, 
a, no debería superar el 1.3, (ver Figura 4). 
(M.K. Krokida et al., 2001) estudiaron la evolución del parámetro “a” respecto al tiempo 
de fritura para distintas temperaturas, Figura 5. 
 
Figura 5. Efecto de las condiciones de fritura en el parámetro “a” de las patatas fritas. Extraída 
de (M.K. Krokida et al., 2001) 
 
El modelo matemático descrito para redness (a), por (M. K. Krokida et al., 2001) se 
presenta en las Ecuaciones (16) - (18). 
 
 
𝑎 = 𝑎𝑒 + (𝑎0 − 𝑎𝑒)𝑒
−𝑘𝑎𝑡 (16) 
 
 
𝑎𝑒 = 11.6 [
𝑇
170
]
2
[
𝑑
10
]
−0.7
 (17) 
 
 
𝑘𝑎 = 0.02 [
𝑇
170
]
−7.4
[
𝑑
10
]
0.21
 (18) 
 
𝑎𝑒 y 𝑘𝑎 son términos análogos a los definidos en las ecuaciones (14) y (15), 
respectivamente. Esto es, el valor de redness en equilibrio y la constante de velocidad 
(min-1). Una vez más, d es el espesor de la patata frita en mm, t es el tiempo y en minutos, 
T es la temperatura en C y a0 es el valor inicial de la amarillez, que ha sido seleccionado 
como -6.3 según (M.K. Krokida et al., 2001). 
La simulación de valores de redness a distintos tiempos y temperatura usando este 
modelo produjo resultados incoherentes en los que, por ejemplo, para un mismo tiempo 
se obtienen valores inferiores de redness a temperaturas superiores y viceversa. El 
20 
 
ajuste con las condiciones experimentales de (M.K. Krokida et al., 2001) es bueno para 
esos datos particulares pero no extrapolan adecuadamente. Tras un análisis de las 
posibles causas podemos concluir que el exponente negativo en la ecuación (18) no 
tiene sentido desde el punto de vista químico. Ese exponente negativo implicaría que al 
aumentar la temperatura la constante cinética disminuye, lo cual es contradictorio 
termodinámicamente hablando. Probablemente la parametrización del modelo elegida 
por estos autores, así como la no inclusión de restricciones en los parámetros de ajuste 
llevó a este resultado. 
Para solventar este problema se realizó un ajuste del modelo extrayendo los datos 
experimentales de la Figura 5 con la herramienta plotdigitizer1 y realizando nuestro 
propio ajuste. Teniendo en cuenta que en este trabajo el diámetro de patata 
considerado es de 10 mm, el tercer término de los productos de las ecuaciones (17) y 
(18) pasaría a ser la unidad, y el problema de estimación de parámetros se formularía 
como: 
 
min
p
∑(𝑦𝑖 − 𝑦�̂�)
2
𝑛
𝑖=1
 (19) 
 
Sujeto a: 
 p ≥ 0 (20) 
 
Donde 𝑦𝑖 es cada uno de los valores deredness los puntos experimentales mostrados 
en la Figura 5; 𝑦�̂� son los valores predichos de redness según el modelo definido en la 
ecuación (16); n es el número de puntos experimentales de la Figura 5 (n = 26). El 
conjunto de parámetros p = 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4 son los parámetros a ajustar en las ecuaciones 
(17) y (18) modificadas, que quedan de la siguiente forma en el problema de 
optimización 
 
𝑎𝑒 = 𝑝1 [
𝑇
170
]
𝑝3
 (21) 
 
 
𝑘𝑎 = 𝑝2 [
𝑇
170
]
𝑝4
 (22) 
Los límites de los parámetros a ajustar se han elegido para que sean no-negativos. La 
no-negatividad se justifica porque termodinámicamente las constantes cinéticas 
deberían aumentar con la temperatura y porque a mayores temperaturas se asume que 
el valor del parámetro de color será mayor o como mínimo igual que a temperaturas 
inferiores. 
 
1 https://plotdigitizer.com/app 
https://plotdigitizer.com/app
21 
 
El problema fue resuelto con el algoritmo L-BFGS-B de Byrd et. al. (1995) implementado 
en la función optim de R, que implementa una modificación del método BFGS quasi 
Newton. Este algoritmo permite introducir límites inferior y superior en las variables. 
El procedimiento de optimización empleado utiliza una metodología multi-arranque 
para encontrar el óptimo global en un problema que mostró ser multi-modal en 
ejecuciones previas. Se generaron 1000 combinaciones aleatorias de valores iniciales de 
los parámetros contenidos en los límites inferior y superior y se ejecutó el algoritmo 
desde todos ellos, quedándonos con la solución que proporcionaba el mejor valor de la 
función objetivo (Ecuación (19)). Los valores de los parámetros óptimos fueron 𝑝1 =
4.464, 𝑝2 = 0.042, 𝑝3 = 14.33, 𝑝4 = 0. Cabe destacar que, según este ajuste, el valor 
de la constante cinética 𝑘𝑎 sería independiente de la temperatura. En cualquier caso, la 
parametrización del modelo tiene mala identificalidad y en futuros trabajos debería 
abordarse la misma. 
 
5.2.5. Resumen de variables, unidades y valores numéricos del caso de 
estudio 
En esta sección se resumen los parámetros, así como sus valores numéricos particulares 
elegidos para llevar a cabo nuestro caso de estudio, se presentan en la Tabla 2. Cabe 
recordar que todos estos valores de parámetros no provienen de un trabajo 
experimental que se haya realizado en este estudio, sino que proceden de datos 
bibliográficos publicados referentes al mismo proceso. Los datos han sido extraídos de 
los siguientes artículos: (Fundación Española de la Nutrición, 2014; Lioumbas et al., 
2012; Yamsaengsung and Saibandith, 2020). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Tabla 2. Parámetros de las ecuaciones presentadas 
Parámetro Unidades Valor Descripción 
V cm3 22x103 
Volumen de aceite en freidora 
modelo Premium diseñada para 
uso en grandes cocinas (ver 
Figura 6). 
ρace kg/ cm3 0.92x10-3 Densidad aceite de girasol 
Cp,ace kJ/kgC 1.97 
Capacidad calorífica aceite de 
girasol 
Tamb C 25 Temperatura ambiente 
mpat kg 5 
Masa de patata introducida en 
freidora 
hum0,h % 79.6 
Porcentaje de agua inicial en la 
patata en base húmeda 
cv,wat kJ/kg 2256 
Calor latente de vaporización del 
agua 
Cp,pat,Tamb kJ/kgC 2.9 
Capacidad calorífica de la patata 
a temperatura ambiente 
Cp,pat,T kJ/kgC 1.2 
Capacidad calorífica de la patata 
de T=100 C a T trabajo 
σ W/(m2 K4) 5.6703x10-8 Constante de Stefan-Boltzmann 
A m2 0.56x0.33 Área radiante freidora 
d mm 10 Espesor de la patata 
b0 - 20.55 Valor inicial de la amarillez 
a0 - -6.3 Valor inicial de la rojez 
 
23 
 
 
Figura 6. Ilustración ejemplo de una freidora Premium para uso en grandes cocinas 
 
5.3. Plataforma de computación y paquetes utilizados 
La implementación de los modelos matemáticos usados en este trabajo así como de los 
algoritmos de optimización y del resto de métodos usados en las distintas etapas de 
cálculo ha sido realizada en R (R Core Team, 2022). Los gráficos se han realizado con el 
paquete ggplot2 (Wickham, 2009) y la optimización multiobjetivo se ha llevado a cabo 
con el método NSGA-II (Deb et al., 2002) implementado a través del paquete nsga2R. La 
implementación de los métodos clásicos de suma ponderada y de restricción  se ha 
llevado a cabo mediante programación propia de la mayor parte del procedimiento 
usando como algoritmo de optimización NLOPT_LN_COBYLA. Las funciones 
matemáticas usadas en este trabajo, así como el paquete de R donde se implementan 
se resumen en la Tabla 3. 
 
 
 
 
 
 
24 
 
Tabla 3. Métodos matemáticos utilizados en la resolución de la propuesta 
Método 
matemático 
Librería 
R 
Función Descripción Objetivo 
Resolución 
de 
ecuaciones 
no lineales 
nleqslv nleqslv 
Método de 
Broyden o de 
Newton 
complete. 
Proporciona 
estrategias 
globales de 
búsqueda de 
línea y regiones 
de confianza 
para sistemas 
difíciles (Dennis 
and Schnabel, 
1996) 
Obtener las 
soluciones (t,T) 
que dan lugar a 
una humedad = 
70% y a un 
redness = 1.3 
Optimización 
mono-
objetivo con 
restricciones. 
Métodos 
suma 
ponderada y 
restricción  
nloptr NLOPT_LN_COBYLA 
Método de 
búsqueda 
directa que 
construye 
aproximaciones 
lineales 
sucesivas de la 
función objetivo 
y las 
restricciones 
mediante un 
simplex de n+1 
puntos, 
optimizando 
esas 
aproximaciones 
en una región de 
confianza en 
cada paso 
(Powell, 1994) 
1 Optimización de 
los dos objetivos 
de forma 
individual: 
1.1 Minimizar 
energía necesaria 
en el proceso de 
fritura de la patata 
sujeto a una 
cantidad de 
humedad 
determinada. 
1.2 Maximizar el 
parámetro 
yellowness 
restringido por el 
valor de redness. 
2 Uso como 
algoritmo de 
optimización en 
los métodos suma 
ponderada y 
restricción  
25 
 
Estimación 
de 
parámetros 
stats optim 
Método "L-
BFGS-B". Usa 
una 
modificación 
método quasi-
Newton BFGS 
permitiendo 
límites en las 
variables de 
decisión (Byrd et 
al., 1995) 
Ajuste de 
parámetro del 
modelo de 
redness 
Optimización 
multiobjetivo 
nsga2R nsga2 
Implementa el 
algoritmo 
evolutivo NSGA-
II para la 
obtención del 
frente Pareto en 
optimización 
multiobjetivo 
(Deb et al., 
2002) 
Resolución del 
problema 
multiobjetivo 
propuesto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
6. Resultados y discusión 
6.1. Optimización mono-objetivo y análisis de los perfiles y 
dinámicas 
En una primera aproximación se representan las funciones objetivo (Balance energético 
y yellowness) en su región factible acotadas por los valores críticos de las restricciones 
(contenido en humedad y redness) en el dominio de las variables de decisión para 
analizar su forma y variación. Asimismo, se optimizan los distintos objetivos por 
separado. 
6.1.1. Balance Energético 
Un análisis preliminar de la forma de la función del balance de calor, Ecuación (4), 
proporciona una idea de los valores que puede tomar esta función en el dominio de las 
variables de decisión, 𝑇(º𝐶) ∈ (120 − 200) y 𝑡(𝑠) ∈ (1 − 600). La Figura 7 muestra 
esta distribución de valores en la región factible representada como curvas de nivel. 
 
 
Figura 7. Curvas de nivel de la región factible del balance de calor frente a tiempo y 
temperatura 
Como se esperaba, tratamientos más severos (mayor tiempo y/o temperatura) 
producen un mayor gasto energético. La región factible está acotada a la izquierda 
(tiempos y temperaturas bajos) por la restricción de contenido de humedad menor o 
igual que el 70% en base húmeda (o 2.33 en base seca, ecuaciones (9) a (12)) para 
asegurar un contenido en humedad igual o inferior a éste, especificado por (Mesias et 
al., 2019) como contenido máximo para tener una textura aceptable. La región factible 
28 
 
está acotada a la derecha por la restricción de redness. Tratamientos muy severos (altos 
tiempos y/o temperaturas) producirían un valor de redness superior al límitedefinido 
anteriormente de 1.3 (ecuaciones (16), (21) y (22) por su correlación con la formación 
de acrilamida. 
Para estudiar la contribución de cada uno de los términos del balance de calor (Sección 
5.2.1) se realizaron simulaciones de 5 combinaciones de valores de temperatura y 
tiempo y se analizó la contribución de cada uno de los términos al balance global. Los 
resultados aparecen en la Tabla 4. 
 
Tabla 4. Contribución de los distintos términos del balance de calor para diferentes 
combinaciones de tiempo y temperatura. 
(t,T) Balance (kJ) E1 (kJ) E2 (kJ) E3 (kJ) E4 (kJ) 
(1,120) 
4068.3 3787.9 
(93.1%) 
33.9 
(0.83%) 
246.3 
(6.1%) 
0.17 
(0.004%) 
(1,200) 
7461.3 6977.7 
(93.5%) 
138.8 
(1.9%) 
344.3 
(4.6%) 
0.44 
(0.006%) 
(300, 160) 
12978.1 5382.8 
(41.5%) 
7214.2 
(55.6%) 
295.3 
(2.3%) 
85.7 
(0.66%) 
(600, 120) 
8660.3 3787.9 
(43.7%) 
4525.7 
(52.3%) 
246.3 
(2.8%) 
100.4 
(1.2%) 
(600, 200) 
15876.8 6977.7 
(43.9%) 
8289.7 
(52.2%) 
344.3 
(2.2%) 
265.1 
(1.7%) 
 
Lo primero que se observa es que las pérdidas por radiación (E4) en este proceso pueden 
considerarse casi despreciables, a pesar de que los cambios en porcentaje en este 
término sean los más significativos. Por otro lado, la energía requerida para calentar el 
aceite (E1) es la que más contribuye al total a tiempos bajos pues aún no ha dado tiempo 
a la evaporación de la humedad (término E2). A tiempos más altos la contribución 
porcentual de E1 baja mucho mientras que la de E2 aumenta en sentido contrario y 
situándose como la más importante en términos porcentuales. Un mayor tiempo y 
temperatura de proceso implica un menor contenido de humedad en el producto final 
y por tanto más energía invertida en evaporar el agua. Por último, el término de calor 
sensible (E3) se muestra en valores relativamente bajos en todas las situaciones 
moviéndose en la misma dirección que E1. 
Cabe destacar que, en un proceso continuo donde se fríen patatas continuamente 
entrando y saliendo, el término E1 habría que calcularlo únicamente al inicio del proceso 
y habría que añadir un término adicional de mantenimiento de la temperatura por 
intercambio de calor por conducción y convección con el aire exterior y las paredes de 
la freidora. Este caso no ha sido considerado aquí y el caso de estudio consiste en un 
proceso discontinuo partiendo del aceite a temperatura ambiente. 
29 
 
La formulación del problema de optimización con restricciones para el balance de calor 
teniendo en cuenta el contenido de humedad máximo permitido es el siguiente: 
 min 𝐵𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒𝑄 
 𝑡, 𝑇 
(23) 
Sujeto a: 
 ℎ𝑢𝑚𝑡 ≤ 2.33 (24) 
 𝑟𝑒𝑑𝑛𝑒𝑠𝑠 ≤ 1.3 (25) 
 0 ≤ 𝑡 ≤ 600(𝑠) (26) 
 120 ≤ 𝑇 ≤ 200(℃) (27) 
 
Donde la ecuación (23) se corresponde con la ecuación (4) y los términos de las 
restricciones (24) y (25) se formulan en las ecuaciones (9) y (16), respectivamente. 
El problema fue resuelto con el algoritmo NLOPT_LN_COBYLA a través del paquete 
nloptr2 de R. El resultado indica que el punto óptimo de operación sería el 𝑡 =
209 𝑠, 𝑇 = 120 ℃ , con un gasto energético de 7678.9 kJ. Es decir, para minimizar el 
consumo energético asegurando una textura adecuada de la patata frita, es necesario 
operar a baja temperatura y tiempos medios. Como era de esperar, el valor de humedad 
en ese punto es exactamente el 70% en base húmeda (o 2.33 en base seca). Es decir, en 
la solución óptima la restricción está activa. El valor de redness para esa solución es de 
-5.43. Se trata de un valor muy bajo como cabía esperar para esa baja temperatura y 
tiempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 https://cran.r-project.org/web/packages/nloptr/index.html 
30 
 
6.1.2. Yellowness 
Al igual que en el apartado anterior, se realiza un análisis preliminar de la forma de la 
función de yellowness, Ecuación (13), en el dominio de las variables de decisión, 
𝑇(º𝐶) ∈ (120 − 200) y 𝑡(𝑠) ∈ (1 − 600). La Figura 8 muestra esta distribución de 
valores de esta función en el rango de tiempos y temperaturas establecido. 
 
Figura 8. Curvas de nivel de la región factible yellowness frente a tiempo y temperatura 
 
Al igual que en el caso del balance de energía, tratamientos más severos (mayor tiempo 
y/o temperatura) resultan en valores mayores de yellowness. Las restricciones definen 
la misma región factible que en el caso del balance de energía en cuanto a tiempos y 
temperaturas. 
La formulación del problema de optimización con una restricción para el yellowness 
teniendo en cuenta el valor máximo de redness permitido es el siguiente: 
 max 𝑦𝑒𝑙𝑙𝑜𝑤𝑛𝑒𝑠𝑠 
 𝑡, 𝑇 
(28) 
Sujeto a: 
 ℎ𝑢𝑚𝑡 ≤ 2.33 (29) 
 𝑟𝑒𝑑𝑛𝑒𝑠𝑠 ≤ 1.3 (30) 
31 
 
 0 ≤ 𝑡 ≤ 600(𝑠) (31) 
 120 ≤ 𝑇 ≤ 200(℃) (32) 
 
Donde la ecuación (28) se corresponde con la ecuación (13) y las restricciones son las 
mismas que en el caso de la optimización del balance de energía. 
El problema fue resuelto con el algoritmo NLOPT_LN_COBYLA a través del paquete 
nloptr de R. El resultado indica que el punto óptimo de operación sería el 𝑡 = 600 𝑠, 𝑇 =
185.7 ℃ , con un valor de yellowness de 35.3. Es decir, para maximizar el valor de 
yellowness sin sobrepasar un valor de redness de 1.3, es necesario operar a tiempo 
máximo y temperatura lo más baja posible permitida por la restricción. Como era de 
esperar, el valor de redness en ese punto óptimo es exactamente 1.3. Es decir, en la 
solución óptima la restricción está activa. El valor de la restricción de humedad es de 
0.28 (28% de humedad en base húmeda). 
 
6.2. Optimización multiobjetivo 
En los apartados anteriores se puso de manifiesto la necesidad de aplicar la optimización 
multiobjetivo a este problema. La optimización de cada objetivo de manera individual 
nos llevaba a, en el caso del balance de energía, contenidos de humedad muy altos y 
valores de yellowness demasiado bajos. Al maximizar el yellowness por separado se 
obtenían tiempos de procesado demasiado altos y un gasto energético muy alto. 
Tras el análisis y optimización individualizada de las funciones objetivo y sus respectivas 
restricciones, formulamos el problema de optimización multiobjetivo según la 
formulación de las Ecuaciones (1)-(3). En esta aplicación particular, la formulación sería 
la siguiente: 
 min(𝐵𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒_𝑄), ma x(𝑦𝑒𝑙𝑙𝑜𝑤𝑛𝑒𝑠𝑠) 
 𝑡, 𝑇 
(33) 
Sujeto a: 
 ℎ𝑢𝑚𝑡 ≤ 2.33 (34) 
 𝑟𝑒𝑑𝑛𝑒𝑠𝑠 ≤ 1.3 (35) 
 0 ≤ 𝑡 ≤ 600(𝑠) (36) 
 120 ≤ 𝑇 ≤ 200(℃) (37) 
 
Esta formulación integra las funciones objetivo y las restricciones de las formulaciones 
de optimización de un solo objetivo presentadas en las secciones anteriores. El dominio 
de las variables de decisión, tiempo y temperatura, tampoco cambia. 
32 
 
6.2.1. Resolución por el método de la suma ponderada 
Como se describió en la sección 4.2.1, éste es un método clásico de resolución de 
problemas de optimización multiobjetivo lineales pero que presenta dificultades para 
la obtención de un frente de Pareto amplio en problemas con funciones no lineales. La 
formulación del problema a resolver es la siguiente: 
 
min 𝑤 ·
𝐵𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒_𝑄
𝐵𝑄𝑚𝑎𝑥
− (1 − 𝑤) ·
𝑦𝑒𝑙𝑙𝑜𝑤𝑛𝑒𝑠𝑠
𝑦𝑚𝑎𝑥
 
 𝑡, 𝑇 
(38) 
Sujeto a: 
 ℎ𝑢𝑚𝑡 ≤ 2.33 (39) 
 𝑟𝑒𝑑𝑛𝑒𝑠𝑠 ≤ 1.3 (40) 
 0 ≤ 𝑡 ≤ 600(𝑠) (41) 
 120 ≤ 𝑇 ≤ 200(℃) (42) 
 
Donde la ecuación (38) es la suma ponderada de ambos objetivos. Para evitar sesgos por 
las diferencias entre los órdenes de magnitud de ambos objetivos, se ha dividido por 
valores cercanos a los máximos obtenidos en las optimizaciones mono-objetivo. 𝐵𝑄𝑚𝑎𝑥 
se ha establecido en 16000 mientras que 𝑦𝑚𝑎𝑥 se ha establecido en 35. El parámetro 
𝑤 ∈ {0,1} es un peso que balancea entre ambos objetivos. Nótese que la ecuación (38) 
es una resta ya que se trata de minimizar una función cuyo segundo término 
(yellowness) ha de ser realmente maximizado. 
El procedimiento para resolvereste problema fue el siguiente: Generación de 101 
valores de w uniformemente espaciados entre 0 y 1 (0, 0.01, 0.02,…, 1). La elección de 
101 pesos es tiene como objeto la posterior comparación con el resto de algoritmos 
considerados en este trabajo donde se generan 100 puntos del frente de Pareto; para 
cada valor de w se aplica el algoritmo NLOPT_LN_COBYLA usado en la optimización 
mono-objetivo; cada solución óptima correspondiente a cada valor de w se considera 
una solución del frente de Pareto. 
Tras la aplicación de esta metodología, el método de la suma ponderada solo fue capaz 
de encontrar 3 puntos del frente Pareto. Es decir, de las 101 soluciones (una por cada 
peso), todas ellas convergieron a alguna de las tres soluciones presentadas en la Tabla 
5 y en la Figura 9. 
 
 
 
33 
 
Tabla 5. Soluciones del frente de Pareto mediante el método de la suma ponderada. 
(t,T) BalanceQ (kJ) Yellowness 
(600,185.7) 15040.8 35.3 
(600,120) 8660.3 22.5 
(209.2, 120) 7678.9 21.3 
 
 
Figura 9. Soluciones del frente de Pareto mediante el método de la suma ponderada. El color de 
los puntos representa el valor de la restricción de contenido en humedad en base seca 
 
Dos de las tres soluciones encontradas por este método coinciden con las soluciones 
obtenidas en la optimización de cada objetivo por separado, con lo que la aportación de 
este método es muy pobre para poder abordar el diseño del proceso adecuadamente. 
 
 
 
 
 
34 
 
6.2.2. Resolución por el método de la restricción 𝜺 
Como se describió en la sección 4.2.2, éste es otro de los métodos clásicos de 
resolución de problemas de optimización multiobjetivo algo más robusto que el de la 
suma ponderada para problemas no lineales. La formulación del problema a resolver 
es la siguiente: 
 min 𝐵𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒_𝑄 
 𝑡, 𝑇 
(43) 
Sujeto a: 
 𝑦𝑒𝑙𝑙𝑜𝑤𝑛𝑒𝑠𝑠 ≥ 𝜖 (44) 
 ℎ𝑢𝑚𝑡 ≤ 2.33 (45) 
 𝑟𝑒𝑑𝑛𝑒𝑠𝑠 ≤ 1.3 (46) 
 0 ≤ 𝑡 ≤ 600(𝑠) (47) 
 120 ≤ 𝑇 ≤ 200(℃) (48) 
 
En esta formulación, uno de los objetivos (en este caso yellowness) se formula como 
una restricción de desigualdad. El problema se resuelve usando diferentes valores del 
parámetro 𝜖 para obtener diferentes puntos del frente de Pareto. El procedimiento para 
resolver este problema fue el siguiente: Generación de 101 valores de 𝜖 uniformemente 
espaciados entre 20 y 35.2, que son los valores que puede tomar yellowness en el rango 
de las variables de decisión. La elección de 101 valores de 𝜖 tiene como objeto, como en 
el caso anterior, la posterior comparación con el resto de algoritmos considerados en 
este trabajo; para cada valor de 𝜖 se aplica el algoritmo NLOPT_LN_COBYLA usado en la 
optimización mono-objetivo; cada solución óptima correspondiente a cada valor de 𝜖 se 
considera una solución del frente de Pareto. 
Tras la aplicación de esta metodología, este método fue capaz de encontrar 93 
soluciones diferentes del frente de Pareto, aunque una de ellas fue sub-óptima, algo 
reportado en la bibliografía para este método (Marler and Arora, 2004). Estas soluciones 
se presentan en la Figura 10. 
 
35 
 
 
Figura 10. Soluciones del frente de Pareto mediante el método de la restricción 𝝐. El color de los 
puntos representa el valor de la restricción del contenido en humedad en base seca 
El frente de soluciones proporcionado por este método permite tener una información 
más completa para poder llevar a cabo un diseño del proceso más eficiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
6.2.3. Resolución por el método NSGA-II 
El algoritmo NSGA-II fue descrito cualitativamente en la Sección 4.2.3. Se trata de un 
método adecuado para tratar funciones objetivo y/o restricciones de forma eficiente 
(Coello Coello et al., 2007). El resultado del frente de Pareto obtenido se muestra en la 
Figura 11. 
 
 
Figura 11. Soluciones del Frente Pareto obtenidas con el método NSGA-II. El color de los puntos 
representa el valor de la restricción del contenido en humedad en base seca 
 
Este método proporciona 100 soluciones diferentes para crear un frente lo más amplio 
posible. Todas las soluciones proporcionadas son factibles y no se observan síntomas de 
sub-optimalidad en ninguna de ellas. 
Los frentes de Pareto obtenidos por el método de la restricción 𝜖 y por NSGA-II, no 
muestran diferencias visualmente destacables, como se muestra en la Figura 12, donde 
se superponen ambos frentes de soluciones, y donde se puede observar que la 
superposición es prácticamente total con la excepción de dos soluciones subóptimas 
proporcionadas por el método de la restricción 𝜖 . 
 
37 
 
 
Figura 12. Comparación de los frentes de Pareto obtenidos por los métodos restricción 𝝐 y 
NSGA-II 
 
6.2.4. Análisis de las soluciones 
Atendiendo a los frentes de Pareto obtenidos aplicando los métodos anteriores, 
podemos decir que tanto el método de la restricción  como NSGA-II proporcionan 
frentes de Pareto similares y suficientemente amplios como para abordar un diseño 
adecuado del proceso. Para el análisis posterior de la soluciones utilizaremos las 
proporcionadas por NSGA-II por tener un número mayor de soluciones diversas (100 
frente a 93 de la restricción ) y no haber calculado ninguna solución sub-óptima. Los 
valores numéricos de dichas soluciones considerando tanto las variables de decisión 
(tiempo y temperatura) como las funciones objetivo (balance de energía y yellowness) 
y las restricciones (contenido en humedad en base seca y redness), se presentan en el 
Anexo I. 
La Figura 11 muestra lo esperado: un aumento de la amarillez conlleva un aumento del 
gasto energético y viceversa. La relación es cercana a la linealidad aunque con cierta 
convexidad. En cualquier caso, no se detecta ningún área donde un cambio pequeño en 
uno de los objetivos se traduzca en un gran cambio en el otro. Este frente de Pareto de 
soluciones no dominadas constituye una herramienta de decisión para el operador del 
proceso, pudiendo elegir así el punto de operación de entre los óptimos que mejor se 
ajuste a las condiciones del propio proceso o a las especificaciones sobrevenidas en cada 
momento. La Figura 11 muestra también en gradiente de colores el valor de la 
restricción de humedad. Los resultados también son los esperados y observados en el 
38 
 
apartado de optimización mono-objetivo, teniendo un contenido de humedad menor 
en tratamientos más severos y viceversa. 
La Figura 13 es idéntica a la Figura 11 pero en este caso el gradiente de colores de las 
soluciones representa la restricción de redness. El valor de redness se incrementa 
también con la severidad del proceso. Cabe destacar que el cambio en el contenido de 
humedad parece más gradual a lo largo del frente Pareto mientras que el cambio en 
redness es más abrupto, tomando valores muy bajos en casi todo el frente y sólo altos 
en puntos de tratamiento muy severo. 
 
Figura 13. Soluciones del Frente Pareto obtenidas con el método NSGA-II. El color de los puntos 
representa el valor de la restricción de redness. 
Para completar la información proporcionada por esta metodología, la Figura 14 
muestra los valores de las variables de decisión (tiempo y temperatura) para las 
soluciones del frente de Pareto. 
 
39 
 
 
 
Figura 14. Soluciones del frente de Pareto proporcionadas por NSGA-II en el espacio de las 
variables de decisión. El color de los puntos representa el valor de las restricciones: Contenido 
en humedad en base seca (arriba) y redness (abajo). 
 
 
40 
 
El análisis de las soluciones de la Figura 14 nos indica que, en el frente de Pareto, apenas 
existen soluciones que impliquen tratamientos muy suaves (bajas temperaturas y 
tiempos cortos) porque probablemente violen la restricción de contenido de humedad. 
Igualmente, tampoco hay soluciones con temperaturas superiores a unos 185 C para 
evitar tener valores de redness superiores al límite establecido como seguro. La mayor 
parte de las soluciones se sitúan en el tiempo máximo(600 segundos), y es por tanto el 
cambio en la temperatura el principal factor para seleccionar los puntos del frente de 
Pareto. Los puntos de temperaturas bajas proporcionan valores bajos de consumo 
energético y de yellowness, y viceversa. Ocurre de forma similar con las restricciones: a 
temperaturas bajas obtenemos humedades altas y valores de redness bajos y viceversa. 
Cabe destacar que el frente de Pareto no proporciona soluciones con tiempos inferiores 
a los 200 segundos y sí muchas muy cercanas o prácticamente iguales a los 600 
segundos. Cabe discutir si desde el punto de vista industrial estos serían tiempos 
aceptables. Probablemente en un restaurante donde la atención a los clientes debe ser 
rápida el tiempo final de proceso debería restringirse, mientras que en el proceso de la 
fritura de patatas para su venta posterior (como producto congelado o pre-procesado) 
estas condiciones de proceso sí podrían ser más asumibles en aras de la reducción del 
coste energético y/o mejora del parámetro de color. En cualquier caso, una sencilla 
extensión de este trabajo cambiando restricciones, condiciones iniciales o límites para 
las variables de procesos podría darnos soluciones adecuadas para otros contextos 
siguiendo exactamente la misma metodología. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
7. Conclusiones 
La optimización en ingeniería de alimentos ha alcanzado un nivel de importancia elevado 
debido a los múltiples aspectos que afecta. Por un lado, mejora de la calidad de los 
productos de consumo alimentario que se ve directamente relacionado con la salud de 
los consumidores. Por otro lado, optimiza los recursos necesarios para el proceso, tanto 
tiempo requerido como energía. En un ámbito doméstico, estos dos últimos aspectos 
tienen impacto directo en la economía familiar y en la gestión del tiempo requerido en 
la preparación de la alimentación. A nivel industrial, la optimización de estos parámetros 
se traduce en beneficios, mejora de rendimientos, aumento de capacidad, entre otros. 
De este modo, el presente trabajo se centra en la optimización multiobjetivo del proceso 
de fritura de patatas, con relevancia tanto a nivel doméstico como industrial. Los 
objetivos seleccionados han sido la energía necesaria para llevar a cabo el proceso y el 
parámetro de color yellowness que está directamente con la calidad del producto y la 
aceptabilidad por parte del consumidor. Ambos objetivos han sido examinados bajo las 
restricciones de humedad en el producto final, que determinan la textura de la patata 
(y por tanto con la calidad) y de redness, que tiene una alta correlación con la formación 
de acrilamida (y por tanto con la seguridad alimentaria). 
En primer lugar, los resultados aplicados a la optimización (minimización) del balance de 
calor de forma individualizada indican que para reducir el consumo energético 
asegurando una textura adecuada de la patata frita (restricción de humedad), es 
necesario operar a baja temperatura y tiempos largos. 
En segundo lugar, los resultados aplicados a la optimización (maximización) de 
yellowness de forma individualizada indican que para maximizar el valor de yellowness 
sin sobrepasar un valor de redness de 1.3, es necesario operar a tiempo máximo y 
temperatura lo más baja posible permitida por la restricción, quedando aun así ésta en 
el margen alto del límite de temperatura. 
Realizando la optimización multiobjetivo, la aplicación del método de la suma 
ponderada proporciona un número de soluciones demasiado reducido como para poder 
realizar un diseño robusto del proceso. El método de la restricción  y el algoritmo 
evolutivo NSGA-II proporcionan frentes de Pareto amplios y con un número elevado de 
soluciones diferentes. En particular, NSGA-II es el método que más soluciones distintas 
aporta sin proporcionar ninguna solución dominada, como sí presenta el método de la 
restricción . Es por esto que en el análisis de los resultados se han analizado los 
obtenidos con NSGA-II. Los resultados indican que un aumento de la amarillez conlleva 
un aumento del gasto energético y viceversa, como cabía esperar. No existen 
combinaciones determinantes de tiempos y temperaturas, sino que se destacan dos 
regiones de trabajo, una de altas temperaturas con tiempos medios-altos que sacrifican 
el coste energético a fin de ganar yellowness, y otra de temperaturas moderadas con 
tiempos muy elevados que conllevan bajo coste. El frente de Pareto obtenido permite 
seleccionar las condiciones de operación de entre un conjunto de soluciones no 
dominadas en función de qué importancia se le quiera dar a cada objetivo en cada 
momento. 
42 
 
Estos resultados se asocian a los parámetros particularizados para el caso en estudio 
pero son extrapolables a otro tipo de condiciones como puede ser la clase de patata o 
el aceite, con posibles diferencias en parámetros físicos como calores sensibles y 
similares. Asimismo, esta metodología sería igualmente válida para distintos límites en 
las variables de decisión y/o en las restricciones. 
Independientemente de los resultados numéricos particulares del caso de estudio 
presentado en este trabajo, se pone de manifiesto la importancia del uso de métodos 
de matemática aplicada para el diseño de procesos industriales. Para este ejemplo 
relativamente sencillo se han aplicado diversos métodos de resolución (ver Sección 5.3) 
combinados con la simulación de modelos, lo que conlleva un trabajo de programación 
que se adjunta en el Anexo II. 
Un punto de partida para futuros trabajos es la aplicación de esta metodología a un 
proceso en continuo, situación más acorde con la realidad industrial. En este supuesto, 
sería necesario aplicar ciertas modificaciones en el balance energético, incluyendo un 
término de mantenimiento de la temperatura. También sería posible la ampliación a 
distintas variedades de patata o alimentos crudos similares. Desde el punto de vista 
matemático, podría realizarse un enfoque de parámetros distribuidos donde las 
variables e incluso los parámetros variasen no sólo con el tiempo sino también con el 
espacio. Eso requeriría un abordaje de ecuaciones en derivadas parciales que no se ha 
planteado en este trabajo dadas las características del proceso y el producto, pero que 
sí sería necesario aplicar en otros casos con diferentes dimensiones o escalas 
temporales. Ese abordaje implicaría también un mayor coste computacional para la 
resolución del problema que podría requerir de metodologías computacionales de 
computación paralela o similares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
8. Bibliografía 
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